一线三等角型相似初三压轴题

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一线三等角相似、三垂直模型--2024年中考数学压轴题专题及参考答案

一线三等角相似、三垂直模型压轴题专题一线三等角概念1“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。

不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。

“一线三等角”的两种基本类型1.三等角都在直线的同侧2.三等角分居直线的两侧3.在初三各学校的考试和中考试题中，一线三等角的相似属于压轴题的热点题型之一，本专题从中考试题和初三各名校的试题中，精选一线三等角相似模型的经典好体，并根据角度区别把一线三等角模型细分为三类题型：三垂直模型、一线三锐角、一线三钝角，适合于初三学生进行压轴题专项突破时使用。

类型一：三垂直模型1(雅礼)如图，点A是双曲线y=8xx<0上一动点，连接OA，作OB⊥OA，使OA=2OB，当点A在双曲线y=8xx<0上运动时，点B在双曲线y=kx上移动，则k的值为.2(青竹湖)如图，∠AOB=90°，反比例函数y=−4xx<0的图象过点A−1,a，反比例函数y=k xk>0,x>0的图象过点B，且AB⎳x轴，过点B作MN⎳OA，交x轴于点M，交y轴于点N，交双曲线y=kx于另一点，则ΔOBC的面积为.3(广益)如图，点A，B在反比例函数y=kx(k>0)的图象上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，OA⊥AB，则k的值为．4(长沙中考2020)在矩形ABCD中，E为DC上的一点，把ΔADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC 边上的点F．(1)求证：ΔABF∼ΔFCE(2)若AB=23,AD=4，求EC的长；(3)若AE-DE=2EC，记∠BAF=α,∠FAE=β，求tanα+tanβ的值．5(广益)矩形ABCD中，AB=8，AD=12，将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．(1)如图1，若点P恰好在边BC上．①求证：△EBP∽△PCD；②求AE的长；(2)如图2，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．图1图26(长郡)如图，在平面直角坐标系中，O为原点，已知点Q是射线OC上一点，OQ=182，点P是x轴正半轴上一点，tan∠POC=1，连接PQ，⊙A经过点O且与QP相切于点P，与边OC相交于另一点D．(1)若圆心A在x轴上，求⊙A的半径；(2)若圆心A在x轴的上方，且圆心A到x轴的距离为2，求⊙A的半径；(3)在(2)的条件下，若OP<10，点M是经过点O，D，P的抛物线上的一个动点，点F为x轴上的一个动点，若满足tan∠OFM=12的点M共有4个，求点F的横坐标的取值范围．7(麓山国际)有一边是另一边的2倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹角叫做智慧角．(1)已知Rt△ABC为智慧三角形，且Rt△ABC的一边长为2，则该智慧三角形的面积为；(2)如图①，在△ABC中，∠C=105°，∠B=30°，求证：△ABC是智慧三角形；(3)如图②，△ABC是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角，A(3，0)，点B，C在函数y=kx上(x>0)的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为2．当△ABC是直角三角形时，求k的值．类型二：一线三锐角8(师大梅溪湖)如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=22，AD=AE，∠DAE=90°，CE=5，则CD的长为.(提示，作辅助线构造一线三等角的相似)9(青竹湖)如图，在△ABC中，∠B=∠ACB=45°，AB=62，点D是BC上一点，作DE⊥AD交射线AC于E，DF平分∠ADE交AC于F．(1)求证：AB•CF=BD•CD；(2)如图2，当∠AED=75°时，求CF的长；(3)若CD=3BD，求AFEF．10(广益)如图1，已知直线y=kx+2k(k为常数，k≠0)与x轴相交于点A，点B与点A关于y轴对称，点C在y轴的正半轴上，OC=3OA，连接AC，BC。

专题16 一线三等角相似模型--2024年中考数学核心几何模型重点突破(学生版)

专题16一线三等角相似模型【模型1】一线三锐角相等如图16-1，已知321∠=∠=∠，要证ABC ∆∽CDE ∆，可根据321∠=∠=∠，︒=∠+∠+∠1802DCE ACB ，︒=∠+∠+∠1801ACB A ⇒DCE A ∠=∠，结合31∠=∠，可证ABC ∆∽CDE ∆。

【模型变式1】一线三直角如图16-2，已知︒=∠=∠=∠9031ACE ，同一线三锐角相等模型可证得：ABC ∆∽CDE ∆。

【模型变式2】一线三钝角相等如图16-3，已知321∠=∠=∠，同一线三锐角相等模型可证得：ABC ∆∽CDE ∆。

【例1】如图，将含30°的直角三角尺放在矩形ABCD中，三角尺的30°角的顶点与点B重合，其余角的顶点分别在AD和CD边的点E，F处，若点E恰好为AD的中点，则DF FC的值是()A．12B33C．13D55【例2】如图，在正方形ABCD中，AB=12，AE=0.25AB，点P在BC上运动（不与点B，C 重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为______【例3】如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC中点，AE⊥DE于点E．点O 是线段AE上的点，以点O为圆心，OE为半径的⊙O与AB相切于点G，交BC于点F，连接OG．(1)求证：△ECD ∽△ABE ；(2)求证：⊙O 与AD 相切；(3)若BC ＝12，AB ＝3O 的半径和阴影部分的面积．一、单选题1．如图，△ABC 中，BC =6，BC 边上的高为3，点D ，E ，F 分别在边BC ，AB ，AC 上，且EF ∥BC ．设点E 到BC 的距离为x ，△DEF 的面积为y ，则y 关于x 的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．2．如图，点(0,3)(1,0)A B 、，将线段AB 平移得到线段DC ，若90,2ABC BC AB ∠=︒=，则点D 的坐标是（）A ．(7,2)B ．(7,5)C ．(5,6)D ．(6,5)3．如图，已知矩形AOBC 的顶点O 在坐标原点，点A 的坐标是（－2，1），点B 的纵坐标是3，则点C 的坐标是（）A ．1,42⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．2,43⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,52⎛- ⎝D ．2,53⎛- ⎝4．如图，在正方形ABCD 中，P 是BC 上一点（点P 不与点B ，C 重合），连接AP ．作PE ⊥AP ，PE 交CD 于点E ．若AB ＝6，点P 为BC 的中点，则DE ＝（）A ．32B ．92C ．12D ．535．如图所示，矩形ABCD 中，AD =a ，AB =b ，若要使BC 边上至少存在一点P ，使△ABP 、△APD 、△CDP 两两相似，则a ，b 间的关系一定满足（）．A ．2a b ≥B ．72a b ≥C ．4a b ≥D ．5a b≥6．如图，矩形ABCD ，E 在CD 上，连接BE ，将四边形ABED 沿BE 翻折得到四边形A BED ''，若A D ''恰好经过点C ，3AB =，5AD =，则线段BE 的长为（）AB ．C ．D ．二、填空题7．如图，正方形ABCD 的边长为8，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，且始终保持AM ⊥MN ．当CN =2时，CM =______．8．如图，正方形ABCD 的边长为8，E 是边BC 上一动点（与B ，C 不重合），连接AE ．G 是BC 延长线上一点，过点E 作AE 的垂线交DCG ∠的平分线于点F ，则CEF ∆面积的最大值是__．9．如图，正方形ABCD 中，12AB ＝，3AE ＝，点P 在BC 上运动（不与B ，C 重合），过点P 作PQ EP ⊥，交CD 于点Q ，则CQ 的最大值为___．10．如图，在矩形ABCD 中，E 为AB 边上的一点，将ADE 沿DE 翻折，得到DEF ，且F在BC 边上，G 为AD 边上的一点，过点G 作AD 的垂线交DF 于点H ，连接AH 交DE 于点P ，连接AF ，若7AB =，3BF =，HA 平分GHF ∠，则AG 的长度为______．三、解答题11．如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在边AD 、DC 上，ABE △∽DEF ，6AB =，9AE =，2DE =，求EF 的长．12．如图，在正方形ABCD 中，点E 是AD 的中点，点F 在CD 上，且CD =4DF ，连接EF 、BE ，求证BE =2EF ．13．如图，正方形ABCD 中，点E 在BC 边上，且AE ⊥EF ，若BE ＝2，CF ＝43，求正方形ABCD 的边长．14．如图，DA ⊥AB 于A ，EB ⊥AB 于B ，C 是AB 上的动点，若∠DCE =90°．求证：△ACD ∽△BEC15．如图，在矩形ABCD 中，3AB =10AD =，直角三角板的直角顶点P 在AD 上滑动，(点P 与A ，D 不重合)，一直角边经过点C ，另一直角边与射线AB 交于点E ．(1)求证：AEP △∽DPC △；(2)当30CPD ∠=︒时，求PE 的长；(3)是否存在这样的点P ，使DPC △的周长等于AEP △周长的2倍？若存在，求出BE 的长；若不存在，请说明理由．16．如图，四边形ABCD 中，90B C ∠=∠=︒，点E 在边BC 上，连接AE ，DE ，且AE ⊥DE ．(1)求证：ABE ECD ∽；(2)若6AB =，11BC =，4CD =，求tan DEC ∠的值．17．如图，9AB =，8AC =，P 为AB 上一点，A CPD B ∠=∠=∠，连接CD ．(1)若3AP =，求BD 的长；(2)若CP 平分ACD ∠，求证：2PD CD BD =⋅．18．如图，四边形OABC 是矩形，点A 的坐标为（0，6）点C 的坐标为（4，0），点P 从点A 出发，沿AB 以每秒2个单位长度的速度向点B 出发，同时点Q 从点B 出发，沿BC 以每秒3个单位长度的速度向点C 运动，当点P 与点B 重合时，点P 、Q 同时停止运动．设运动时间为t 秒．(1)当t =1时，请直接写出△BPQ 的面积为；(2)当△BPQ 与△COQ 相似时，求t 的值；(3)当反比例函数y =k x（x >0）的图象经过点P 、Q 两点时．①求k 的值；②点M 在x 轴上，点N 在反比例函数y =0k x x>（）的图象上，若以点M 、N 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有满足条件的M 的坐标．。

(挑战压轴)专项27.4 相似三角形-一线三等角综合应用(解析版)

（挑战压轴）专项27.4 相似三角形-一线三等角综合应用【方法技巧】1.如图1，BDE EDF C B ∆⇒∠=∠=∠∽CFD ∆（一线三等角）如图2，ABD ADE C B ∆⇒∠=∠=∠∽DCE ∆（一线三直角）如图3，特别地，当D 是BC 中点时：BDE ∆∽DFE ∆∽CFD ∆⇒ED 平分BEF ∠，FD 平分EFC ∠。

2.一线三等角辅助线添加：一般情况下，已知一条直线上有两个等角（直角）或一个直角时，可构造“一线三等角”型相似。

【类型1：标准“K ”型图】1．（2021秋•长安区期末）如图，将矩形ABCD 沿AE 折叠，使点D 落在BC 边的点F 处（1）求证：△ABF ∽△FCE ；（2）已知AB ＝3，AD ＝5，求tan ∠DAE 的值．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，∴∠BAF +∠AFB ＝90°，由折叠可得：∠D ＝∠AFE ＝90°，CB BC A A∴∠AFB+∠EFC＝180°﹣∠AFE＝90°，∴∠BAF＝∠EFC，∴△ABF∽△FCE；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝5，由折叠可得：AD＝AF＝5，∴BF＝＝＝4，∴CF＝BC﹣BF＝1，∵△ABF∽△FCE，∴＝，∴＝，∴CE＝，∴DE＝CD﹣CE＝3﹣＝，∴tan∠DAE＝＝＝，∴tan∠DAE的值为．2.如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交CD于F，交AD的延长线于点E．（1）求证：△ABM∽△MCF；（2）若AB＝4，BM＝2，求△DEF的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，∠B＝∠C＝90°，BC∥AD，∴∠BAM+∠AMB＝90°，∵ME⊥AM，∴∠AME＝90°，∴∠AMB+∠FMC＝90°，∴∠BAM＝∠FMC，∴△ABM∽△MCF；（2）解：∵AB＝4，∴AB＝BC＝CD＝4，∵BM＝2，∴MC＝BC﹣BM＝4﹣2＝2，由（1）得：△ABM∽△MCF，∴＝，∴＝，∴CF＝1，∴DF＝CD﹣CF＝4﹣1＝3，∵BC∥AD，∴∠EDF＝∠MCF，∠E＝∠EMC，∴△DEF∽△CMF，∴＝，∴＝，∴DE＝6，∴△DEF的面积＝DE•DF＝×6×3＝9，答：△DEF的面积为9．3.已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．如图，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．（1）求证：＝；（2）若OP与PA的比为1：2，求边AB的长．【解答】（1）证明：由折叠的性质可知，∠APO＝∠B＝90°，∴∠APD+∠OPC＝90°，∵四边形ABCD为矩形，∴∠D＝∠C＝90°，∴∠POC+∠OPC＝90°，∴∠APD＝∠POC，∴△OCP∽△PDA，∴＝；（2）解：∵△OCP∽△PDA，∴，∵OP与PA的比为1：2，AD＝8，∴，∴PC＝4，设AB＝x，则DC＝x，AP＝x，DP＝x﹣4，在Rt△APD中，AP2＝AD2+PD2，∴x2＝82+（x﹣4）2，解得：x＝10，∴AB＝10．4.（2020•香洲区校级一模）如图，四边形ABDC为矩形，AB＝4，AC＝3，点M为边AB上一点（点M不与点A、B重合），连接CM，过点M作MN⊥MC，MN与边BD交于点N．（1）当点M为边AB的中点时，求线段BN的长；（2）直接写出：当DN最小时△MNB的面积为．【解答】解：（1）∵AB＝4，∴当点M为边AB的中点时，AM＝BM＝2，∵四边形ABDC为矩形，∴∠A＝∠B＝90°，∵MN⊥MC，∴∠CMN＝90°，∵∠ACM+∠AMC＝90°，∠BMN+∠AMC＝180°﹣∠CMN＝90°，∴∠ACM＝∠BMN，又∵∠A＝∠B，∴△ACM∽△BMN，∴，∵AC＝3，AM＝BM＝2，∴＝，∴BN＝；（2）设BM＝x，DN＝y，∵四边形ABDC为矩形，AB＝4，AC＝3，∴AM＝AB﹣BM＝4﹣x，BN＝BD﹣DN＝3﹣y，由（1）知，，∴＝，∴（4﹣x）x＝3（3﹣y），∴﹣x2+4x＝9﹣3y，∴y＝x2﹣x+3＝（x﹣2）2+，∴当x＝2时，y取得最小值，即DN最小，此时DN＝y＝，∴BM＝2，BN＝3﹣＝，∴△MNB的面积为：×2×＝．故答案为：．5．（2019•玉州区二模）已知：如图，正方形ABCD中，E是边AB上一点，AM⊥DE于点M，CN⊥DE于点N．（1）求证：MN＝DM﹣AM；（2）连接AN，如果＝，求证：MN＝ME．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝90°，∴∠ADM+∠CDN＝90°，∵AM⊥DE，CN⊥DE，∴∠AMD＝∠CND＝90°，∴∠CDN+∠DCN＝90°，∴∠ADM＝∠DCN，∴△ADM≌△DCN（AAS），∴DN＝AM，∵MN＝DM﹣DN，∴MN＝DM﹣AM；（2）如图：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠DAE＝90°，∵∠DAE＝∠DNC＝90°，∠ADM＝∠DCN，∴△CDN∽△DEA，∴＝，∴＝，∵＝，∴＝，∴AE＝AN，∵AM⊥DE，∴MN＝ME．6．（2022•郴州）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6．点E是线段AD上的动点（点E不与点A，D重合），连接CE，过点E作EF⊥CE，交AB于点F．（1）求证：△AEF∽△DCE；（2）如图2，连接CF，过点B作BG⊥CF，垂足为G，连接AG．点M是线段BC的中点，连接GM．①求AG+GM的最小值；②当AG+GM取最小值时，求线段DE的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠CED+∠DCE＝90°，∵EF⊥CE，∴∠CED+∠AEF＝90°，∴∠DCE＝∠AEF，∴△AEF∽△DCE；（2）解：①连接AM，如图2，∵BG⊥CF，∴△BGC是直角三角形，∵点M是BC的中点，∴MB＝CM＝GM＝，∴点G在以点M为圆心，3为半径的圆上，当A，G，M三点不共线时，由三角形两边之和大于第三边得：AG+GM＞AM，当A，G，M三点共线时，AG+GM＝AM，此时，AG+GM取得最小值，在Rt△ABM中，AM＝＝＝5，∴AG+GM的最小值为5．②方法一：如图3，过点M作MN∥AB交FC于点N，∴△CMN∽△CBF，∴，设AF＝x，则BF＝4﹣x，∴MN＝BF＝（4﹣x），∵MN∥AB，∴△AFG∽△MNG，∴，由（2）可知AG+GM的最小值为5，即AM＝5，又∵GM＝3，∴AG＝2，∴，解得x＝1，即AF＝1，由（1）得，设DE＝y，则AE＝6﹣y，∴，解得：y＝3+或y＝3﹣，∵0＜6，0＜3﹣＜6，∴DE＝3+或DE＝3﹣．方法二：如图4，过点G作GH∥AB交BC于点H，∴△MHG∽△MBA，∴，由（2）可知AG+MG的最小值为5，即AM＝5，又∵GM＝3，∴，∴GH＝，MH＝，由GH∥AB得△CHG∽△CBF，∴，即，解得FB＝3，∴AF＝AB﹣FB＝1．由（1）得，设DE＝y，则AE＝6﹣y，∴，解得：y＝3+或y＝3﹣，∵0＜6，0＜3﹣＜6，∴DE＝3+或DE＝3﹣．、【类型2：做辅助线构造“K”型图】7．（2022春•定海区校级月考）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点C，分别过A、B两点作AE⊥l，BD⊥l，垂足分别为E、D．求证：△BDC∽△CEA．【尝试应用】（2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC上一点，过D作AD的垂线交AB 于点E．若BE＝DE，，AC＝20，求BD的长．【拓展提高】（3）如图3，在平行四边形ABCD中，在BC上取点E，使得∠AED＝90°，若AE＝AB，，CD＝，求平行四边形ABCD的面积．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∴∠BCD+∠ACE＝90°，∵AE⊥CE，∴∠AEC＝90°，∴ACE+∠CAE＝90°．∴∠BCD＝∠CAE．∵BD⊥DE，∴∠BDC＝90°，∴∠BDC＝∠AEC．∴△BDC∽△CEA．（2）解：过点E作EF⊥BC于点F．由（1）得△EDF∽△DAC．∴．∵AD⊥DE，，AC＝20，∴，∴DF＝16．∵BE＝DE，∴BF＝DF．∴BD＝2DF＝32．（3）解：过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC的延长线于点N．∴∠AMB＝∠DNC＝90°．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD．∴∠B＝∠DCN．∴△ABM≌△DCN（AAS）．∴BM＝CN，AM＝DN．∵AB＝AE，AM⊥BC，∴BM＝ME，∵，设AM＝b，BE＝4a，EC＝3a．∴BM＝ME＝CN＝2a，EN＝5a．∵∠AED＝90°，由（1）得△AEM∽△EDN．∴，∴，∴，∵，∴（2a）2+b2＝14，∴a＝1，．∴平行四边形ABCD的面积＝【类型2：特殊“K”型图】8．（2022秋•二道区月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，BC＝12，D，E分别是BC，AB上的动点（点D与B，C不重合），且2∠ADE+∠BAC＝180°，若BE＝4，则CD的长为．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∴∠C+∠B+∠BAC＝2∠C+∠BAC＝180°，又∵2∠ADE+∠BAC＝180°，∴∠C＝∠ADE，又∵∠BDE+∠ADC＝180°﹣∠ADE，∠CAD+∠ADC＝180°﹣∠C，∴∠BDE＝∠CAD，∴△BDE∽△CAD，∴＝，即＝，解得CD＝6．故答案为：6．9．（2020秋•南京期末）如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1．（1）求证△ABP∽△PCD；（2）求△ABC的边长．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，∵∠BPA+∠APD+∠DPC＝180°，且∠APD＝60°，∴∠BPA+∠DPC＝120°，∵∠DPC+∠C+∠PDC＝180°，∴∠DPC+∠PDC＝120°，∴∠BPA＝∠PDC，∴△ABP∽△PCD；（2）解：∵2BP＝3CD，且BP＝1，∴CD＝，∵△ABP∽△PCD，∴＝，设AB＝x，则PC＝x﹣1，∴，∴x＝3．即AB＝3．∴△ABC的边长为3．10.如图，AB＝9，AC＝8，P为AB上一点，∠A＝∠CPD＝∠B，连接CD．（1）若AP＝3，求BD的长；（2）若CP平分∠ACD，求证：PD2＝CD•BD．【解答】（1）解：∵AB＝9，AC＝3，∴BP＝AB﹣AP＝9﹣3＝6，∵∠A＝∠CPD，∠ACP+∠APC＝180°﹣∠A，∠APC+∠BPD＝180°﹣∠CPD，∴∠ACP＝∠BPD，∵∠A＝∠B，∴△ACP∽△BPD，∴＝，∴＝，∴BD＝，∴BD的长为；（2）证明：∵CP平分∠ACD，∴∠PCD＝∠ACP，∵∠ACP＝∠DPB，∴∠PCD＝∠DPB，∵∠CPD＝∠B，∴△CPD∽△PBD，∴＝，∴PD2＝CD•BD．。

中考数学压轴必刷专题4一线三等角模型(老师版)

【压轴必刷】中考数学压轴大题之经典模型培优案专题4一线三等角模型【例1】（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在ABC中，90BAC∠=︒，AB AC=，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D，E．求证：DE BD CE=+．（2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB AC=，D，A，E三点都在直线l上，并且有BDA AEC BACα∠=∠=∠=，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE BD CE=+是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过ABC的边AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高．延长HA交EG于点I．若7AEGS=△，则AEIS=△______．【答案】（1）见解析；（2）结论成立，理由见解析；（3）3.5【分析】（1）由条件可证明△ABD≌△CAE，可得DA=CE，AE=BD，可得DE=BD+CE；（2）由条件可知∠BAD+∠CAE=180°-α，且∠DBA+∠BAD=180°-α，可得∠DBA=∠CAE，结合条件可证明△ABD≌△CAE，同（1）可得出结论；（3）由条件可知EM=AH=GN，可得EM=GN，结合条件可证明△EMI≌△GNI，可得出结论I是EG的中点．【解析】解：（1）证明：如图1中，∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，∴∠BDA=∠CEA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠BAD +∠ABD =90°，∴∠CAE =∠ABD ，在△ADB 和△CEA 中，ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADB ≌△CEA （AAS ），∴AE =BD ，AD =CE ，∴DE =AE +AD =BD +CE ．（2）解：成立．理由：如图2中，∵∠BDA =∠BAC =α，∴∠DBA +∠BAD =∠BAD +∠CAE =180°-α，∴∠DBA =∠CAE ，在△ADB 和△CEA 中，BDA AEC DBA CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADB ≌△CEA （AAS ），∴AE =BD ，AD =CE ，∴DE =AE +AD =BD +CE ．（3）如图3，过E 作EM ⊥HI 于M ，GN ⊥HI 的延长线于N ．∴∠EMI =∠GNI =90°由（1）和（2）的结论可知EM =AH =GN∴EM =GN在△EMI 和△GNI 中，GIN EIM EM GNGNI EMI ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△EMI ≌△GNI （AAS ），∴EI =GI ，∴I 是EG 的中点．∴S △AEI =12S △AEG =3.5．故答案为：3.5．【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．【例2】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，∠B ＝∠C ＝40°，点D 在线段BC 上运动（点D 不与点B 、C 重合），连接AD ，作∠ADE ＝40°，DE 交线段AC 于点E ．（1）当∠BDA ＝105°时，∠EDC ＝ °，∠DEC ＝ °；点D 从点B 向点C 运动时，∠BDA 逐渐变．（填“大”或“小”）（2）当DC 等于多少时，△ABD ≌△DCE ？请说明理由．（3）在点D 的运动过程中，△ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA 的度数；若不可以，请说明理由．【答案】（1）35105︒︒，，小；（2）2，理由见解析；（3）110︒或80°【分析】（1）根据已知条件，三角形内角和定理和平角的定义，可得BAD EDC ∠=∠，ADB DEC ∠=∠，进而可得∠EDC ，∠DEC ，根据题意，可得当点D 从点B 向点C 运动时，BAD ∠逐渐变大，根据三角形内角和定理，即可得∠BDA 逐渐变小；（2）由（1）可得BAD EDC ∠=∠，ADB DEC ∠=∠，只要DC AB =,即可证明ABD DCE ≌△△，进而可得DC ；（3）根据题意，分ADE ∠为顶角和底角两种情况讨论，进而计算BDA ∠的度数．【解析】（1）40B C ∠=∠=︒，40ADE ∠=︒，1801804040100BAC B C ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，180140ADB EDC ADE ∠+∠=︒-∠=︒，180140ADB BAD B ∠+∠=︒-∠=︒，180140DEC EDC C ∠+∠=︒-∠=︒，BAD EDC ∴∠=∠，ADB DEC ∠=∠，∴当∠BDA ＝105°时，∴∠EDC ＝1801801054035BAD ADB B ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∠DEC ＝ADB ∠105=︒；当点D 从点B 向点C 运动时，BAD ∠逐渐变大，180140BDA B BAD BAD ∠=︒-∠-∠=︒-∠,则∠BDA 逐渐变小，故答案为：35105︒︒，，小；（2）BAD EDC ∠=∠，ADB DEC ∠=∠，当DC AB =2=时，ABD DCE ∴≌（AAS ），2DC ∴=，（3）△ADE 的形状可以是等腰三角形，BDA ∠=110︒或80︒，40B C ∠=∠=︒，1804040100BAC ∴∠=︒-︒-︒=︒，①当DA DE =时，()118040702DAE DEA ∠=∠=︒-︒=︒， 1007030BAD BAC DAC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，1801804030110BDA B BAD ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒；②当EA ED =时，ADE ∠=40,1804040100DAE DEA ∠=︒∠=︒-︒-︒=︒，1004060BAD BAC DAE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，180180406080BDA B BAD ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，③当AE AD =时，ADE ∠=40,1804040100DEA DAE ∠=︒∠=︒-︒-︒=︒，100BAC ∠=︒，∴此时D 点与B 点重合，由题意可知点D 不与点B 、C 重合，∴此种情况不存在，综上所述，当△ADE 是等腰三角形时，BDA ∠=110︒或80︒．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，分了他了是解题的关键．【例3】在正方形ABCD 中，点E 在射线CB 上（不与点B ，C 重合），连接DB ，DE ，过点E 作EF DE ⊥，并截取EF DE =（点D ，F 在BC 同侧），连接BF ．（1）如图1，点E 在BC 边上．①依题意补全图1；②用等式表示线段BD ，BE ，BF 之间的数量关系，并证明；。

2023年中考数学压轴题培优教案专题04 一线三等角模型(含答案解析)

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题4一线三等角模型在直线AB 上有一点P,以A,B,P 为顶点的∠1,∠2,∠3相等,∠1,∠2的一条边在直线AB 上,另一条边在AB 同侧,∠3两边所在的直线分别交∠1,∠2非公共边所在的直线于点C,D ． 1．当点P 在线段AB 上,且∠3两边在AB 同侧时．（1）如图,若∠1为直角,则有△ACP ∽△BPD ．（2）如图,若∠1为锐角,则有△ACP ∽△BPD ．2．当点P 在AB 或BA 的延长线上,且∠3两边在AB 同侧时．如图,则有△ACP ∽△BPD ．3．当点P 在AB 或BA 的延长线上,且∠3两边在AB 异侧时．如图,则有△ACP ∽△BPD ．【例1】．（2022·全国·八年级课时练习）（1）某学习小组在探究三角形全等时,发现了下面这种典型的基本图形．如图1,已知：在△ABC 中,∠BAC =90°,AB =AC ,直线l 经过点A ,BD ⊥直线l ,CE ⊥直线l ,垂足分别为点D ,E ．求证：DE =BD +CE ．321DBPAC 3CDBP A321CPDBA321CDBAP（2）组员小明想,如果三个角不是直角,那结论是否会成立呢？如图2,将（1）中的条件改为：在△ABC 中,AB=AC,D,A,E三点都在直线l上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？若成立,请你给出证明；若不成立,请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神,并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3,过△ABC的边AB,AC 向外作正方形ABDE和正方形ACFG,AH是BC边上的高．延长HA交EG于点I．若S△AEG=7,则S△AEI=______．【例2】．（2022·全国·八年级专题练习）在直线m上依次取互不重合的三个点D,A,E,在直线m上方有AB= AC,且满足∠BDA=∠AEC=∠BAC=α．(1)如图1,当α=90°时,猜想线段DE,CE之间的数量关系是____________；(2)如图2,当0<α<180°时,问题（1）中结论是否仍然成立？如成立,请你给出证明；若不成立,请说明理由；(3)应用：如图3,在△ABC中,∠BAC是钝角,AB=AC,∠BAD<∠CAE,∠BDA=∠AEC=∠BAC,直线m与CB的延长线交于点F,若BC=3FB,△ABC的面积是12,求△FBD与△ACE的面积之和．【例3】．（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图,△ABC中∠B=∠C=30°,∠DEF=30°,且点E为边BC的中点．将∠DEF绕点E旋转,在旋转过程中,射线DE与线段AB相交于点P,射线EF与射线CA相交于点Q,连结PQ．(1)如图1,当点Q在线段CA上时,①求证：△BPE∽△CEQ；②线段BE,BP,CQ之间存在怎样的数量关系？请说明理由；(2)当△APQ为等腰三角形时,求CQBP 的值．一、解答题1．（2022·全国·八年级课时练习）在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时．①请说明△ADC≌△CEB的理由；②请说明DE=AD+BE的理由；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,DE、AD、BE具有怎样的等量关系?请写出等量关系,并予以证明．(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,DE、AD、BE具有怎样的等量关系?请直接在横线上写出这个等量关系：________．2．（2022·江苏·八年级课时练习）（1）如图1,在△ABC中,∠BAC＝90°,AB＝AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E．求证：△ABD≌△CAE；（2）如图2,将（1）中的条件改为：在△ABC中,AB＝AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α,其中α为任意锐角或钝角．请问结论△ABD≌△CAE是否成立？如成立,请给出证明；若不成立,请说明理由．（3）拓展应用：如图3,D,E是D,A,E三点所在直线m上的两动点（D,A,E三点互不重合）,点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,连接BD,CE,若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC,求证：△DEF是等边三角形．3．（2022·全国·九年级专题练习）感知：（1）数学课上,老师给出了一个模型：如图1,∠BAD=∠ACB=∠AED=90°,由∠1+∠2+∠BAD=180°,∠2+∠D+∠AED=180°,可得∠1==______．我们把这个模型称为“一线三∠D；又因为ACB=∠AED=90°,可得△ABC∽△DAE,进而得到BCAC等角”模型．应用：（2）实战组受此模型的启发,将三等角变为非直角,如图2,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,点P是BC边上的一个动点（不与B、C,点D是AC边上的一个动点,且∠APD=∠B．①求证：△ABP∽△PCD；②当点P为BC中点时,求CD的长；拓展：（3）在（2）的条件下如图2,当△APD为等腰三角形时,请直接写出BP的长．4．（2022·山东烟台·七年级期末）问题背景：（1）如图①,已知△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D,E,易证：DE=______+______．（2）拓展延伸：如图②,将（1）中的条件改为：在△ABC中,AB=AC,D,A,E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC,请求出DE,BD,CE三条线段的数量关系,并证明．（3）实际应用：如图③,在△ACB中,∠ACB=90°,AC=BC,点C的坐标为(−2,0),点A的坐标为(−6,3),请直接写出B点的坐标．5．（2021·浙江·义乌市绣湖中学教育集团八年级阶段练习）（1）模型建立,如图1,等腰直角三角形ABC中,∠ACB＝90°,CB＝CA,直线ED经过点C,过A作AD⊥ED于D,过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；（2）模型应用：x+3与y轴交于A点,与x轴交于B点,将线段AB绕点B逆时针旋转90度,得到线段BC,过①已知直线y＝34点A,C作直线,求直线AC的解析式；②如图3,矩形ABCO,O为坐标原点,B的坐标为(8,6),A,C分别在坐标轴上,P是线段BC上动点,已知点D在第一象限,且是直线y＝2x﹣5上的一点,若△APD是不以A为直角顶点的等腰直角三角形,请直接写出所有符合条件的点D的坐标．6．（2022·江苏·八年级专题练习）（1）课本习题回放：“如图①,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D,E,AD=2.5cm,DE=1.7cm．求BE的长”,请直接写出此题答案：BE的长为________．（2）探索证明：如图②,点B,C在∠MAN的边AM、AN上,AB=AC,点E,F在∠MAN内部的射线AD上,且∠BED=∠CFD=∠BAC．求证：ΔABE≌ΔCAF．（3）拓展应用：如图③,在ΔABC中,AB=AC,AB>BC．点D在边BC上,CD=2BD,点E、F在线段AD上,∠BED=∠CFD=∠BAC．若ΔABC的面积为15,则ΔACF与ΔBDE的面积之和为________．（直接填写结果,不需要写解答过程）7．（2022·全国·八年级课时练习）通过对下面数学模型的研究学习,解决下列问题：（1）如图1,∠BAD＝90°,AB＝AD,过点B作BC⊥AC于点C,过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°,得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°,可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝,BC ＝AE．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；（2）如图2,∠BAD＝∠CAE＝90°,AB＝AD,AC＝AE,连接BC,DE,且BC⊥AF于点F,DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；（深入探究）（3）如图,已知四边形ABCD和DEGF为正方形,△AFD的面积为S1,△DCE的面积为S2,则有S1S2（填“＞、＝、＜”）8．（2021·北京·东北师范大学附属中学朝阳学校八年级期中）如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC,直线l 经过顶点C,过A、B两点分别作l的垂线AE、BF,E、F为垂足．（1）当直线l不与底边AB相交时,①求证：∠EAC＝∠BCF．②猜想EF、AE、BF的数量关系并证明．（2）将直线l绕点C顺时针旋转,使l与底边AB交于点D（D不与AB点重合）,请你探究直线l,EF、AE、BF之间的关系．（直接写出）9．（2021·四川达州·九年级期中）模型探究：（1）如图1,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CB=CA,直线ED经过点C,过A作AD⊥ED于点D,过B作BE⊥ED于点E．求证：BE=CD；模型应用：（2）已知直线l1:y=2x+4与坐标轴交于点A、B,将直线l1绕点A逆时针旋转90°至直线l2,如图2,求直线l2的函数表达式；x+4上,且AB=4√2．若直线与y轴的交点为M,M为AB中点．试判断（3）如图3,已知点A、B在直线y=12在x轴上是否存在一点C,使得△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形．10．（2022·全国·八年级课时练习）如图,线段AB=6,射线BG⊥AB,P为射线BG上一点,以AP为边做正方形APCD,且点C、D与点B在AP两侧,在线段DP上取一点E,使得∠EAP=∠BAP,直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）,（1）求证：△AEP≌△CEP；（2）判断CF与AB的位置关系,并说明理由；（3）△AEF的周长是否为定值,若是,请求出这个定值,若不是,请说明理由．11．（2022·全国·八年级课时练习）如图,在△ABC中,AB＝AC＝2,∠B＝40°,点D在线段BC上运动（D不与B,C重合）,连接AD,作∠ADE＝40°,DE交线段AC于E．（1）当∠BDE＝115°时,∠BAD＝°,点D从B向C运动时,∠BAD逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时,△ABD≌△DCE,请说明理由；（3）在点D的运动过程中,△ADE的形状也在改变,判断当∠BAD等于多少时,△ADE是等腰三角形．12．（2022·重庆江北·,在平面直角坐标系中,已知A(a,0)、B(0,b)分别在坐标轴的正半轴上．（1）如图1,若a、b满足(a−4)2+√b−3=0,以B为直角顶点,AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC,则点C的坐标是（________）；（2）如图2,若a=b,点D是OA的延长线上一点,以D为直角顶点,BD为直角边在第一象限作等腰直角△BDE,连接AE,求证：∠ABD=∠AED；（3）如图3,设AB=c,∠ABO的平分线过点D(2,−2),直接写出a−b+c的值．13．（2021·湖北·咸宁市第三初级中学八年级期中）如图,在等腰Rt△ABC中,∠ABC=90°,点A、B分别在x 轴、y轴上．（1）如图①,若点C的横坐标为5,求点B的坐标；的值；（2）如图②,若x轴恰好平分∠BAC,BC交x轴于点M,过点C作CD⊥x轴于点D,求CDAM（3）如图③,若点A的坐标为(−4,0),点B在y轴的正半轴上运动时,分别以OB、AB为边在第一、第二象限中作等腰Rt△OBF,等腰Rt△ABE,连接EF交y轴于点P,当点B在y轴上移动时,PB的长度是否发生改变？若不变求PB的值；若变化,求PB的取值范围．14．（2022·江西·丰城九中七年级期末）综合与探究：在平面直角坐标系中,已知A（0,a）,B（b,0）且a,b满足（a﹣3）2+|a﹣2b﹣1|＝0（1）求A,B两点的坐标（2）已知△ABC中AB=CB,∠ABC＝90°,求C点的坐标（3）已知AB＝√10,试探究在x轴上是否存在点P,使△ABP是以AB为腰的等腰三角形？若存在,请直接写出点P的坐标；若不存在,请说明理由．15．（2022·全国·八年级课时练习）如图,在△ABC中,AB＝AC＝2,∠B＝∠C＝40°,点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合）,连接AD,作∠ADE＝40°,DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA＝105°时,∠EDC＝°,∠DEC＝°；点D从点B向点C运动时,∠BDA逐渐变．（填“大”或“小”）（2）当DC等于多少时,△ABD≌△DCE？请说明理由．（3）在点D的运动过程中,△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以,请直接写出∠BDA的度数；若不可以,请说明理由．16．（2021·北京·北师大实验中学九年级开学考试）在正方形ABCD中,点E在射线CB上（不与点B,C重合）,连接DB,DE,过点E作EF⊥DE,并截取EF=DE（点D,F在BC同侧）,连接BF．（1）如图1,点E在BC边上．①依题意补全图1；②用等式表示线段BD,BE,BF之间的数量关系,并证明；（2）如图2,点E在CB边的延长线上,其他条件均不变,直接写出线段BD,BE,BF之间的数量关系．17．（2022·全国·八年级课时练习）在综合实践课上,李老师以“含30°的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知,在等腰△ABC纸片中,CA=CB=5,∠ACB=120°,将一块含30°角的足够大的直角三角尺PMN（∠M=90°,∠MPN=30°）按如图所示放置,顶点P在线段BA上滑动（点P不与A,B重合）,三角尺的直角边PM始终经过点C,并与CB的夹角∠PCB=α,斜边PN交AC于点D．（1）当∠BPC=100°时,α=______°；（2）当AP等于何值时,△APD≌△BCP？请说明理由；（3）在点P的滑动过程中,存在△PCD是等腰三角形吗？若存在,请求出夹角α的大小；若不存在,请说明理由．18．（2021·河南·舞阳县教研室八年级期中）如图,等腰直角△ABC中,BC＝AC,∠ACB＝90°,现将该三角形放置在平面直角坐标系中,点B坐标为（0,2）,点C坐标为（6,0）．（1）过点A作AD⊥x轴,求OD的长及点A的坐标；（2）连接OA,若Р为坐标平面内不同于点A的点,且以O、P、C为顶点的三角形与△OAC全等,请直接写出满足条件的点P的坐标；（3）已知OA＝10,试探究在x轴上是否存在点Q,使△OAQ是以OA为腰的等腰三角形？若存在,请求出点Q的坐标；若不存在,请说明理由．19．（2021·山东·肥城市汶阳镇初级中学七年级阶段练习）已知：CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线,CA=CB．E、F是直线CD上两点,∠BEC=∠CFA=∠α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部,∠BCD>∠ACD．①如图1,∠BCA=90°,∠α=90°,直接写出BE,EF,AF间的等量关系：__________．②如图2,∠α与∠BCA具有怎样的数量关系,能使①中的结论仍然成立？写出∠α与∠BCA的数量关系,并对结论进行证明；（2）如图3,若直线CD经过∠BCA的外部,∠α=∠BCA,①中的结论是否成立？若成立,进行证明；若不成立,写出新结论并进行证明．20．（2022·全国·八年级课时练习）（1）如图（1）在△ABC中,∠BAC＝90°,AB＝AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E．求证：DE＝BD+CE；（2）如图（2）将（1）中的条件改为：在△ABC中,AB＝AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α,其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立,请给出证明；若不成立,请说明理由．【例1】．（2022·全国·八年级课时练习）（1）某学习小组在探究三角形全等时,发现了下面这种典型的基本图形．如图1,已知：在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线l经过点A,BD⊥直线l,CE⊥直线l,垂足分别为点D,E．求证：DE=BD+CE．（2）组员小明想,如果三个角不是直角,那结论是否会成立呢？如图2,将（1）中的条件改为：在△ABC 中,AB=AC,D,A,E三点都在直线l上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？若成立,请你给出证明；若不成立,请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神,并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3,过△ABC的边AB,AC 向外作正方形ABDE和正方形ACFG,AH是BC边上的高．延长HA交EG于点I．若S△AEG=7,则S△AEI=______．{∠ABD=∠CAE ∠BDA=∠CEAAB=AC,∴△ADB≌△CEA（AAS）,∴AE=BD,AD=CE,∴DE=AE+AD=BD+CE．（2）解：成立．理由：如图2中,∵∠BDA=∠BAC=α,∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α,∴∠DBA=∠CAE,在△ADB和△CEA中,{∠BDA=∠AEC ∠DBA=∠CAEAB=AC,∴△ADB≌△CEA（AAS）,∴AE=BD,AD=CE,∴DE=AE+AD=BD+CE．（3）如图3,过E作EM⊥HI于M,GN⊥HI的延长线于N．∴∠EMI=∠GNI=90°由（1）和（2）的结论可知EM=AH=GN∴EM=GN在△EMI和△GNI中,{∠GIN=∠EIM EM=GN∠GNI=∠EMI,∴△EMI≌△GNI（AAS）,∴EI=GI,∴I是EG的中点．S△AEG=3.5．∴S△AEI=12故答案为：3.5．【点睛】本题是四边形综合题,考查了全等三角形的判定和性质,正方形的性质,直角三角形的性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．【例2】．（2022·全国·八年级专题练习）在直线m上依次取互不重合的三个点D,A,E,在直线m上方有AB= AC,且满足∠BDA=∠AEC=∠BAC=α．(1)如图1,当α=90°时,猜想线段DE,BD,CE之间的数量关系是____________；(2)如图2,当0<α<180°时,问题（1）中结论是否仍然成立？如成立,请你给出证明；若不成立,请说明理由；(3)应用：如图3,在△ABC中,∠BAC是钝角,AB=AC,∠BAD<∠CAE,∠BDA=∠AEC=∠BAC,直线m与CB的延长线交于点F,若BC=3FB,△12,求△FBD与△ACE的面积之和．【答案】(1)DE＝BD+CE(2)DE＝BD+CE仍然成立,理由见解析(3)△FBD与△ACE的面积之和为4【分析】（1）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°,进而得到∠DBA＝∠EAC,然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC,最后得到DE＝BD+CE；（2）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α,进而得到∠DBA＝∠EAC,然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC,最后得到DE＝BD+CE；（3）由∠BAD＞∠CAE,∠BDA＝∠AEC＝∠BAC,得出∠CAE＝∠ABD,由AAS证得△ADB≌△CAE,得出S△ABD＝S△CEA,再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比,得出S△ABF即可得出结果．（1）解：DE＝BD+CE,理由如下,∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°,∴∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝90°,∴∠DBA ＝∠EAC ,∵AB ＝AC ,∴△DBA ≌△EAC （AAS ）,∴AD ＝CE ,BD ＝AE ,∴DE ＝AD +AE ＝BD +CE ,故答案为：DE ＝BD +CE ．（2）DE ＝BD +CE 仍然成立,理由如下,∵∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝α,∴∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝180°﹣α,∴∠DBA ＝∠EAC ,∵AB ＝AC ,∴△DBA ≌△EAC （AAS ）,∴BD ＝AE ,AD ＝CE ,∴DE ＝AD +AE ＝BD +CE ；（3）解：∵∠BAD ＜∠CAE ,∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ,∴∠CAE ＝∠ABD ,在△ABD 和△CAE 中,{∠ABD =∠CAE ∠BDA =∠CEA AB =AC,∴△ABD ≌△CAE （AAS ）,∴S △ABD ＝S △CAE ,设△ABC 的底边BC 上的高为h ,则△ABF 的底边BF 上的高为h ,∴S △ABC ＝12BC •h ＝12,S △ABF ＝12BF •h ,∵BC ＝3BF ,∴S △ABF ＝4,∵S △ABF ＝S △BDF +S △ABD ＝S △FBD +S △ACE ＝4,∴△FBD与△ACE的面积之和为4．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质,三角形的面积,解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．【例3】．（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图,△ABC中∠B=∠C=30°,∠DEF=30°,且点E为边BC的中点．将∠DEF绕点E旋转,在旋转过程中,射线DE与线段AB相交于点P,射线EF与射线CA相交于点Q,连结PQ．(1)如图1,当点Q在线段CA上时,①求证：△BPE∽△CEQ；②线段BE,BP,CQ之间存在怎样的数量关系？请说明理由；(2)当△APQ为等腰三角形时,求CQ的值．BP②BE²=BP·CQ,理由如下∶∵△BPE∽△CEQ∴BE CQ=BPCE∴BE·CE=BP·CQ∵点E为边BC的中点,∴BE=CE,∴BE²=BP·CQ；(2)解：①当点Q在线段AC上时,∵∠A=180°-∠B-∠C=120°,为钝角,∴△APQ为等腰三角形时有AP=AQ,∵∠B=∠C,∴AB=AC,∴BP=CQ,∴CQBP=1②当点Q在线段CA的延长线上时,如图：连接PQ∵∠BAC=120°,∴∠BAQ=60°,当△APQ为等腰三角形时,有△APQ为等边三角形设AB=AC=2a,则BC=2√3a,BE=CE=√3a,设AQ=AP=x,则CQ=2a+x,BP=2a-x,由（1）得∶BE²=BP·CQ∴(√3a)²=(2a+x)(2a-x),解得∶x=a,∴BP=a,CQ=3a,∴CQBP=3综上CQBP的值为1或3．【点睛】本题考查三角形相似综合问题,熟练掌握一线三等角的相似三角形模型是解题关键．一、解答题1．（2022·全国·八年级课时练习）在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时．①请说明△ADC≌△CEB的理由；②请说明DE=AD+BE的理由；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,DE、AD、BE具有怎样的等量关系?请写出等量关系,并予以证明．(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,DE、AD、BE具有怎样的等量关系?请直接在横线上写出这个等量关系：________．【答案】(1)①理由见解析；②理由见解析(2)DE=AD−BE,证明见解析(3)DE=BE−AD【分析】本题“一线三垂直”模型即可证明全等,根据全等三角形的性质即可分别在三个图形中证明AD、EB、DE之间的关系．(1)解：①∵AD⊥MN于D,BE⊥MN于E,∴∠ADC=∠BEC=90°,∵∠ACB=90°,∴∠ACD+∠BCE=90°,∠ACD+∠DAC=90°,∴∠DAC=∠BCE,在△ADC和△CEB中{∠ADC=∠BEC ∠DAC=∠BCEAC=BC,∴△ADC≌△CEB,②∵△ADC≌△CEB,∴AD=EC,CD=BE,∵DC+CE=DE,∴AD+EB=DE,(2)结论：DE=AD−BE,∵BE⊥EC,AD⊥CE,∴∠ADC=∠BEC=90°,∴∠EBC+∠BCE=90°,∵∠ACB=90°,∴∠ACE+∠BCE=90°,∴∠ACD=∠EBC,∴△ADC≌△CEB,∴AD=EC,CD=BE,∴DE=EC−CD=AD−EB, (3)结论：DE=BE−AD,∵∠ACB=90°,∴∠ACD+∠BCE=90°,∵BE⊥MN,AD⊥MN,∴∠ADC=∠DEC=90°,∴∠ACD+∠DAC=90°,∴∠DAC=∠BCE,在△ADC和△CEB中{∠ADC=∠BEC ∠DAC=∠BCE AC=BC∴△ADC≌△CEB,∴AD=EC,CD=BE,∴DE=CD−EC=EB−AD．【点睛】本题考查全等三角形的判断和性质,灵活运用“一线三垂直”模型是解题的关键．2．（2022·江苏·八年级课时练习）（1）如图1,在△ABC中,∠BAC＝90°,AB＝AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E．求证：△ABD≌△CAE；（2）如图2,将（1）中的条件改为：在△ABC中,AB＝AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α,其中αABD≌△CAE是否成立？如成立,请给出证明；若不成立,请说明理由．（3）拓展应用：如图3,D,E是D,A,E三点所在直线m上的两动点（D,A,E三点互不重合）,点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,连接BD,CE,若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC,求证：△DEF是等边三角形．【答案】（1）见详解；（2）成立,理由见详解；（3）见详解【分析】（1）根据BD⊥直线m,CE⊥直线m得∠BDA=∠CEA=90°,而∠BAC=90°,根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD,然后根据“AAS”可判断ΔADB≌ΔCEA；（2）利用∠BDA=∠BAC=α,则∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°−α,得出∠CAE=∠ABD,然后问题可求证；（3）由题意易得BF=AF=AB=AC,∠ABF=∠BAF=∠FAC=60°,由（1）（2）易证ΔADB≌ΔCEA,则有AE=BD,然后可得∠FBD=∠FAE,进而可证ΔDBF≌ΔEAF,最后问题可得证．【详解】（1）证明：∵BD⊥直线m,CE⊥直线m,∴∠BDA=∠CEA=90°,∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°,∵∠BAD+∠ABD=90°,∴∠CAE=∠ABD,∵在ΔADB和ΔCEA中,{∠ABD=∠CAE ∠BDA=∠CEAAB=AC,∴ΔADB≌ΔCEA(AAS)；解：（2）成立,理由如下：∵∠BDA=∠BAC=α,∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°−α, ∴∠CAE=∠ABD,∵在ΔADB和ΔCEA中,{∠ABD=∠CAE ∠BDA=∠CEAAB=AC,∴ΔADB≌ΔCEA(AAS)；（3）证明：∵△ABF和△ACF均为等边三角形,∴BF=AF=AB=AC,∠ABF=∠BAF=∠FAC=60°,∴∠BDA＝∠AEC＝∠BAC=120°,∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°−120°,∴∠CAE=∠ABD,∴ΔADB≌ΔCEA(AAS),∴AE=BD,∵∠FBD=∠FBA+∠ABD,∠FAE=∠FAC+∠CAE,∴∠FBD=∠FAE,∴ΔDBF≌ΔEAF（SAS）,∴FD=FE,∠BFD=∠AFE,∴∠BFA=∠BFD+∠DFA=∠AFE+∠DFA=∠DFE=60°,∴△DFE是等边三角形．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质与判定,熟练掌握全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键．3．（2022·全国·九年级专题练习）感知：（1）数学课上,老师给出了一个模型：如图1,∠BAD=∠ACB=∠AED=90°,由∠1+∠2+∠BAD=180°,∠2+∠D+∠AED=180°,可得∠1=∠D；又因为ACB=∠AED=90°,可得△ABC∽△DAE,进而得到BCAC=______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型．应用：（2）实战组受此模型的启发,将三等角变为非直角,如图2,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合）,点D是AC边上的一个动点,且∠APD=∠B．①求证：△ABP∽△PCD；②当点P为BC中点时,求CD拓展：（3）在（2）的条件下如图2,当△APD为等腰三角形时,请直接写出BP的长．【答案】感知：（1）AEDE ；应用：（2）①见解析；②3.6；拓展：（3）2或113【分析】（1）根据相似三角形的性质,即可求解；（2）①根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C,根据三角形的外角性质得到∠BAP=∠CPD,即可求证；②根据相似三角形的性质计算,即可求解；（3）分P A=PD、AP=AD、DA=DP三种情况,根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质,即可求解．．综上所述,当△APD为等腰三角形时, BP的长为2或113【点睛】本题考查的是三角形相似的判定定理和性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理以及三角形的外角性质,掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．4．（2022·山东烟台·七年级期末）问题背景：（1）如图①,已知△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D,E,易证：DE=______+______．（2）拓展延伸：如图②,将（1）中的条件改为：在△ABC中,AB=AC,D,A,E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC,请求出DE,BD,CE三条线段的数量关系,并证明．（3）实际应用：如图③,在△ACB中,∠ACB=90°,AC=BC,点C的坐标为(−2,0),点A的坐标为(−6,3),请直接写出B点的坐标．∴△ADB≌△CEA,∴AE=BD,AD=CE,∴DE=AE+AD=BD+CE,即：DE=BD+CE,故答案为：BD；CE；（2）解：数量关系：DE=BD+CE,证明：在△ABD中,∠ABD=180°−∠ADB−∠BAD,∵∠CAE=180°−∠BAC−∠BAD,∠BDA=∠AEC,∴∠ABD=∠CAE,在△ABD和△CAE中,{∠ABD＝∠CAE∠BDA＝∠AECAB＝CA∴△ABD≌△CAE,∴AE=BD,AD=CE,∴DE=AD+AE=BD+CE；（3）解：如图,作AE⊥x轴于E,BF⊥x轴于F,由（1）可知,△AEC≌△CFB,∴CF=AE=3,BF=CE=OE−OC=4,∴OF=CF−OC=1,∴点B的坐标为B(1,4)．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质,掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．5．（2021·浙江·义乌市绣湖中学教育集团八年级阶段练习）（1）模型建立,如图1,等腰直角三角形ABC中,∠ACB＝90°,CB＝CA,直线ED经过点C,过A作AD⊥ED于D,过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；（2）模型应用：x+3与y轴交于A点,与x轴交于B点,将线段AB绕点B逆时针旋转90度,得到线段BC,过①已知直线y＝34点A,C作直线,求直线AC的解析式；②如图3,矩形ABCO,O为坐标原点,B的坐标为(8,6),A,C分别在坐标轴上,P是线段BC上动点,已知点D在第一象限,且是直线y＝2x﹣5上的一点,若△APD是不以A为直角顶点的等腰直角三角形,请直接写出所有符合条件的点D的坐标．综上可知满足条件的点D的坐标分别为(3,1)或(9，13)或(193，233)．【点睛】本题为一次函数的综合应用,涉及全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质、分类讨论及数形结合的思想,解题的关键是熟练掌握并灵活运用相关性质进行求解．6．（2022·江苏·八年级专题练习）（1）课本习题回放：“如图①,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D,E,AD=2.5cm,DE=1.7cm．求BE的长”,请直接写出此题答案：BE的长为________．（2）探索证明：如图②,点B,C在∠MAN的边AM、AN上,AB=AC,点E,F在∠MAN内部的射线AD上,且∠BED=∠CFD=∠BAC．求证：ΔABE≌ΔCAF．（3）拓展应用：如图③,在ΔABC中,AB=AC,AB>BC．点D在边BC上,CD=2BD,点E、F在线段AD上,∠BED=∠CFD=∠BAC．若的面积为15,则ΔACF与ΔBDE的面积之和为________．（直接填写结果,不需要写解答过程）【答案】（1）0.8cm；（2）见解析（3）5【分析】（1）利用AAS定理证明△CEB≌△ADC,根据全等三角形的性质解答即可；（2）由条件可得∠BEA＝∠AFC,∠4＝∠ABE,根据AAS可证明△ABE≌△CAF；（3）先证明△ABE≌△CAF,得到ΔACF与ΔBDE的面积之和为△ABD的面积,再根据CD=2BD故可求解．【详解】解：（1）∵BE⊥CE,AD⊥CE,∴∠E＝∠ADC＝90°,∴∠EBC＋∠BCE＝90°．∵∠BCE＋∠ACD＝90°,∴∠EBC＝∠DCA．在△CEB和△ADC中,{∠E=∠ADC∠EBC=∠DCABC=AC∴△CEB≌△ADC（AAS）,∴BE＝DC,CE＝AD＝2.5cm．∵DC＝CE−DE,DE＝1.7cm,∴DC＝2.5−1.7＝0.8cm,∴BE＝0.8cm故答案为：0.8cm；（2）证明：∵∠1＝∠2,∴∠BEA＝∠AFC．∵∠1＝∠ABE＋∠3,∠3＋∠4＝∠BAC,∠1＝∠BAC,∴∠BAC＝∠ABE＋∠3,∴∠4＝∠ABE．∵∠AEB＝∠AFC,∠ABE＝∠4,AB＝AC,∴△ABE≌△CAF（AAS）．（3）∵∠BED=∠CFD=∠BAC7．（2022·全国·八年级课时练习）通过对下面数学模型的研究学习,解决下列问题：（1）如图1,∠BAD＝90°,AB＝AD,过点B作BC⊥AC于点C,过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°,得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°,可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝,BC ＝AE．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；（2）如图2,∠BAD＝∠CAE＝90°,AB＝AD,AC＝AE,连接BC,DE,且BC⊥AF于点F,DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；（深入探究）（3）如图,已知四边形ABCD和DEGF为正方形,△AFD的面积为S1,△DCE的面积为S2,则有S1S2（填“＞、＝、＜”）【答案】（1）DE；（2）见解析；（3）=【分析】（1）根据全等三角形的性质可直接进行求解；（2）分别过点D和点E作DH⊥FG于点H,EQ⊥FG于点Q,进而可得∠BAF=∠ADH,然后可证△ABF≌△DAH,则有AF=DH,进而可得DH=EQ,通过证明△DHG≌△EQG可求解问题；（3）过点D作DO⊥AF交AF于O,过点E作EN⊥OD交OD延长线于N,过点C作CM⊥OD交OD延长线于M,由题意易得∠ADC=∠90°,AD=DC,DF=DE,然后可得∠ADO=∠DCM,则有△AOD≌△DMC,△FOD≌△DNE,进而可得OD=NE,通过证明△ENP≌△CMP及等积法可进行求解问题．【详解】解：（1）∵△ABC≌△DAE,∴AC=DE；（2）分别过点D和点E作DH⊥FG于点H,EQ⊥FG于点Q,如图所示：∴∠DAH+∠ADH=90°,∵∠BAD=90°,∴∠BAF+∠DAH=90°,∴∠BAF=∠ADH,∵BC⊥AF,∴∠BFA=∠AHD=90°,∵AB=DA,∴△ABF≌△DAH,∴AF=DH,同理可知AF=EQ,∴DH=EQ,∵DH⊥FG,EQ⊥FG,∴∠DHG=∠EQG=90°,∵∠DGH=∠EGQ∴△DHG≌△EQG,∴DG=EG,即点G是DE的中点；（3）S1=S2,理由如下：如图所示,过点D作DO⊥AF交AF于O,过点E作EN⊥OD交OD延长线于N,过点C作CM⊥OD交OD延长线于M∵四边形ABCD与四边形DEGF都是正方形∴∠ADC=∠90°,AD=DC,DF=DE∵DO⊥AF,CM⊥OD,∴∠AOD=∠CMD=90°,∠OAD+∠ODA=90°,∠CDM+∠DCM=90°,又∵∠ODA+∠CDM=90°,∴∠ADO=∠DCM,∴△AOD≌△DMC,∴S△AOD=S△DMC,OD=MC,同理可以证明△FOD≌△DNE,∴S△FOD=S△DNE,OD=NE,∴MC =NE,∵EN⊥OD,CM⊥OD,∠EPN=∠CMP,∴△ENP≌△CMP,∴S△ENP=S△CMP,∵S△ADF=S△AOD+S△FOD,S△DCE=S△DCM−S△CMP+S△DEN+S△ENP,∴S△DCE=S△DCM+S△DEN=S△AOD+S△FOD,∴S△DCE=S△ADF即S1=S2．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、直角三角形的两个锐角互余及等积法,熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．8．（2021·北京·东北师范大学附属中学朝阳学校八年级期中）如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC,直线l 经过顶点C,过A、B两点分别作l的垂线AE、BF,E、F为垂足．（1）当直线l不与底边AB相交时,①求证：∠EAC＝∠BCF．②猜想EF、AE、BF的数量关系并证明．（2）将直线l绕点C顺时针旋转,使l与底边AB交于点D（D不与AB点重合）,请你探究直线l,EF、AE、BF之间的关系．（直接写出）【答案】（1）①证明见解析,②EF＝AE+BF；证明见解析；（2）AE＝BF+EF或BF＝AE+EF．【分析】（1）①根据∠AEC＝∠BFC＝90°,利用同角的余角相等证明∠EAC＝∠FCB即可；②根据AAS证△EAC≌△FCB,推出CE＝BF,AE＝CF即可；（2）类比（1）证得对应的两个三角形全等,求出线段之间的关系即可．【详解】（1）证明：①∵AE⊥EF,BF⊥EF,∠ACB＝90°,∴∠AEC＝∠BFC＝∠ACB＝90°,∴∠EAC+∠ECA＝90°,∠ECA+∠FCB＝90°,∴∠EAC＝∠FCB,②EF＝AE+BF；证明：在△EAC和△FCB中,{∠AEC =∠CFB ∠EAC =∠FCB AC =BC,∴△EAC ≌△FCB （AAS ）,∴CE ＝BF ,AE ＝CF ,∴EF ＝CE +CF ＝AE +BF ,即EF ＝AE +BF ；（2）①当AD ＞BD 时,如图①,∵∠ACB ＝90°,AE ⊥l 直线,同理可证∠BCF ＝∠CAE （同为∠ACD 的余角）,又∵AC ＝BC ,BF ⊥l 直线即∠BFC ＝∠AEC ＝90°,∴△ACE ≌△CBF （AAS ）,∴CF ＝AE ,CE ＝BF ,∵CF ＝CE +EF ＝BF +EF ,∴AE ＝BF +EF ；②当AD ＜BD 时,如图②,∵∠ACB ＝90°,BF ⊥l 直线,同理可证∠CBF ＝∠ACE （同为∠BCD 的余角）,又∵AC ＝BC ,BE ⊥l 直线,即∠AEC ＝∠BFC ＝90°．∴△ACE ≌△CBF （AAS ）,∴CF ＝AE ,BF ＝CE ,∵CE ＝CF +EF ＝AE +EF ,∴BF ＝AE +EF ．【点睛】本题考查了三角形综合题,主要涉及到了全等三角形的判定与性质,解题关键是证明△ACE≌△CBF（AAS）,利用全等三角形的性质得出线段之间的关系．9．（2021·四川达州·九年级期中）模型探究：（1）如图1,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CB=CA,直线ED经过点C,过A作AD⊥ED于点D,过B作BE⊥ED于点E．求证：BE=CD；模型应用：（2）已知直线l1:y=2x+4与坐标轴交于点A、B,将直线l1绕点A逆时针旋转90°至直线l2,如图2,求直线l2的函数表达式；x+4上,且AB=4√2．若直线与y轴的交点为M,M为AB中点．试判断（3）如图3,已知点A、B在直线y=12在x轴上是否存在一点C,使得△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形．。

中考数学专题复习练习三等角型相似三角形题型压轴题完整版

中考数学专题复习练习三等角型相似三角形题型压轴题HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】三等角型相似三角形三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。

此规律需通过认真做题，细细体会。

【例2】如图，等腰△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 中点，∠EDF =∠B ，求证：△BDE ∽△DFE【思路分析】比较例1来说区别仅是点D 成为了BC 的中点，所以△BDE △CFD 相似的结论依然成立，用相似后的对应边成比例，以及BD =CD 可证得△BDE 和△DFE 相似解： ∵AB =AC ，∠EDF =∠B∴∠B =∠C =∠EDF∵∠EDC =∠EDF +∠FDC =∠B +∠BED ∴∠BED =∠FDC ∴△BDE ∽△CFD ∴DF DECD BE =又∵BD =CD ∴DF DE BD BE =即DFBD DE BE = ∵∠EDF =∠BCA DB E F∴△BDE ∽△DFE点评：三等角型相似中若点D 是等腰三角形底边上任意一点则仅有一对相似三角形，若点D 是底边中点则有三对相似三角形，△BDE 与△CFD 相似后若得DFDECF BD =加上BD =CD 可证得△CFD 与△DFE 相似【例3】如图，在△ABC 中，AB =AC =5cm ，BC =8，点P 为BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点P 作射线PM 交AC 于点M ，使∠APM =∠B ；（1）求证：△ABP ∽△PCM ；（2）设BP =x ，CM =y ．求 y 与x（3）当△APM 为等腰三角形时，求PB 的长．【思路分析】第（1）（2）小题都是用常规的三等角型相似的方法。

中考数学总复习《相似三角形综合压轴题》专项提升练习(附答案)

中考数学总复习《相似三角形综合压轴题》专项提升练习(附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题．【证明体验】如图1，在四边形ABCD 中点P 为AB 上一点90DPC A B ∠=∠=∠=︒，求证：AD BC AP BP ⋅=⋅．【思考探究】（2）如图2，在四边形ABCD 中点P 为AB 上一点，当DPC A B β∠=∠=∠=时，上述结论是否依然成立？说明理由．【拓展延伸】（3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在ABC 中22AB =45B ∠=︒以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △，点D 在BC 上，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且45EFD ∠=︒，若5CE =CD 的长．2．综合实践问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在ABC 中90,4B AB BC ∠=︒==分别取AB ，AC 的中点D ，E ，作ADE ．如图2所示，将ADE 绕点A 逆时针旋转，连接BD ，CE ．(1)探究发现旋转过程中线段BD 和CE 的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． (2)性质应用如图3，当DE 所在直线首次经过点B 时，求CE 的长． (3)延伸思考如图4，在Rt ABC △中90,8,6ABC AB BC ∠=︒==，分别取AB ，BC 的中点D ，E ．作BDE ，将BDE 绕点B 逆时针旋转，连接AD ，CE ．当边AB 平分线段DE 时，求tan ECB ∠的值．3．如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，DME A B α∠=∠=∠=且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ．(1)写出图中两对相似三角形；(2)连接FG ，如果45α=︒，42AB =3AF =，求FG 的长．4．如图，在ABC 中6cm AB =，12cm BC =和90B ．点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm /s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，设移动时间为()s t ．(1)当2t =时，求PBQ 的面积； (2)当t 为多少时，PBQ 的面积是28cm ？ (3)当t 为多少时，PBQ 与ABC 是相似三角形？5．下面是小新同学在“矩形折叠中的相似三角形”主题下设计的问题，请你解答．如图，已知在矩形ABCD 中点E 为边AB 上一点（不与点A 、点B 重合），先将矩形ABCD 沿CE 折叠，使点B 落在点F 处，CF 交AD 于点H ．(1)观察发现：写出图1中一个与AEG △相似的三角形：______．（写出一个即可）(2)迁移探究：如图2，若4AB =，6BC =当CF 与AD 的交点H 恰好是AD 的中点时，求阴影部分的面积． (3)如图③，当点F 落在边AD 上时，延长EF ，与FCD ∠的角平分线交于点M ，CM 交AD 于点N ，当FN AF ND =+时，请直接写出ABBC的值．6．【阅读】如图1，若ABD ACE ∽，且点B 、D 、C 在同一直线上，则我们把ABD △与ACE △称为旋转相似三角形．(1)【理解】如图2，ABC 和ADE 是等边三角形，点D 在边BC 上，连接CE ．求证：ABD △与ACE △是旋转相似三角形．(2)【应用】如图3，ABD △与ACE △是旋转相似三角形AD CE ，求证：③ABC ADE △△∽；③AC DE =；(3)【拓展】如图4，AC 是四边形ABCD 的对角线90,D B ACD ∠=︒∠=∠，25,20BC AC ==和16AD =，试在边BC 上确定一点E ，使得四边形AECD 是矩形，并说明理由．7．综合与实践如图1，已知纸片Rt ABC △中90BAC ∠=︒，AD 为斜边BC 上的高（AD BC ⊥于点D ）．观察发现（1）请直接写出图中的一组相似三角形．（写出一组即可）实践操作第一步：如图2，将图1中的三角形纸片沿BE 折叠（点E 为AC 上一点），使点A 落在BC 边上的点F 处；第二步：BE 与AD 交于点G 连接GF ，然后将纸片展平．猜想探究（2）猜想四边形AEFG 是哪种特殊的四边形，并证明猜想．（3）探究线段GF ，BE ，GE 之间的数量关系，并说明理由．8．如图1，已知AD 是ABC 的角平分线，可证AB BDAC CD=．证明思路是如图2，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，构造相似三角形来证明AB BDAC CD=．(1)利用图2证明AB BDAC CD=； (2)如图3，在Rt ABC △中90BAC ∠=︒，D 是边BC 上一点．连接AD ，将ACD 沿AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的E 点处．若1AC =，AB=2，求DE 的长．9．【教材原题】如图③，在ABC 中DE BC ∥，且3AD =，2DB =图中的相似三角形是__________，它们的相似比为__________ ；【改编】将图③中的ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到如图③所示的位置，连接BD 、CE ．求证：ABD ACE ∽△△；【应用】如图③，在ABC 和ADE 中90BAC DAE ∠=∠=︒，30ABC ADE ∠=∠=︒点D 在边BC 上，连接CE ，则ACE △与ABD △的面积比为__________．10．问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD 是ABC 的角平分线，可证AB BDAC CD=小慧的证明思路是：如图2，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，构造相似三角形来证明．(1)尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明AB BDAC CD=； (2)基础训练：如图3，在Rt ABC △中90BAC ∠=︒，D 是边BC 上一点．连接AD ，将ACD 沿AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的E 点处．若1AC =，2AB =求DE 的长；(3)拓展升华：如图4，ABC 中6AB = ，AC=4，AD 为BAC ∠的角平分线，AD 的中垂线EF 交BC 延长线于F ，当3BD =时，求AF 的长．11．定义：两个相似三角形，如果它们的一组对应角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“阳似三角形”、如图1，在ABC 与AED △中ABC AED ∽△△．所以称ABC 与AED △为“阳似三角形”，连接EB DC ，，则DCEB为“阳似比”．(1)如图1，已知R ABC 与Rt AED △为“阳似三角形”，其中90CBA DEA ∠=∠=︒，当30BAC ∠=︒时，“阳似比”DCEB=______； (2)如图2，二次函数234y x x =-++交x 轴于点A 和B 两点，交y 轴于点C ．点M 为直线12y x =在第一象限上的一个动点，且OMB △与CNB 为“阳似三角形”，连接CM ③当点N 落在二次函数图象上时，求出线段OM 的长度； ③若32CN =34BM MC +的最小值．12．已知在Rt ABC △中90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ．(1)在图1中写出其中的两对相似三角形．(2)已知1BD =，DC=2，将CBD △绕着点D 按顺时针方向进行旋转得到C BD '，连接AC '，BC ． ③如图2，判断AC '与BC 之间的位置及数量关系，并证明； ③在旋转过程中当点A ，B ，C '在同一直线上时，求BC 的长．13．定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“和谐四边形”，这条对角线叫“和谐线”．(1)如图1，在44⨯的正方形网格中有一个网格Rt ABC △和两个网格四边形ABCD 与四边形ABCE ，其中是被AC 分割成的“和谐四边形”的是______．(2)如图2，BD 平分ABC ∠，43BD =10BC =，四边形ABCD 是被BD 分割成的“和谐四边形”，求AB 长； (3)如图3，A 为抛物线24y x =-+的顶点，抛物线与x 轴交于点B ，C ．在线段AB 上有一个点P ，在射线BC 上有一个点Q ．P 、Q 5/秒，5个单位/秒的速度同时从B 出发分别沿BA ，BC 方向运动，设运动时间为t ，当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．在第一象限的抛物线上是否存在点M ，使得四边形BQMP 是以PQ 为和谐线分割的“和谐四边形”，若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．14．【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题：ABC 中D 是BC 的中点，E 是AB 上一点，延长DE 、CA 交于点F ，DE=EF ，AB=5，求AE 的长．小白的想法是：过点E 作EH BC ∥交AC 于H ，再通过相似三角形的性质得到AE 、BE 的比，从而得出AE 的长．请你按照小白的思路完成解答．【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题：ABC 中AD 平分BAC ∠交BC 于D ，E 为AB 边上一点，AE=AD ，H 、Q 为BC 上两点，CQ DH =和DQ mDH =，G 为AC 上一点，连接EQ 交HG 、AD 于F 、P ，180EFG EAD ∠+∠=︒猜想并验证EP 与GH的数量关系．15．【温故知新】（1）九（1）班数学兴趣小组认真探究了课本P 91第13题：如图1，在正方形ABCD 中E 是AD 的中点，F 是CD 上一点，且3CF DF =，图中有哪几对相似三角形?把它们表示出来，并说明理由．③小华很快找出ABE DEF △△∽，他的思路为：设正方形的边长4AB a =，则2,AE DE a DF a ===，利用“两边分别成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可证明，请你结合小华的思路写出证明过程； ③小丽发现图中的相似三角形共有三对，而且可以借助于ABE 与DEF 中的比例线段来证明EBF △与它们都相似．请你根据小丽的发现证明其中的另一对三角形相似；【拓展创新】（2）如图2，在矩形ABCD 中E 为AD 的中点，EF EC ⊥交AB 于F ，连结FC ．()AB AE > ③求证：AEF ECF ∽△△；③设2,BC AB a ==，是否存在a 值，使得AEF △与BFC △相似．若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．参考答案：1．（3）52．(1)2BD CE =(2)6CE =(3)1tan 2ECB ∠=3．(1)DMG ③DBM △，EMF ③EAM △ (2)53FG =4．(1)8(2)2秒或4秒(3)当t 为3或1.2秒钟，使PBQ 与ABC 相似．5．(1)FHG △或DHC （写出一个即可）(2)阴影部分的面积是23 (3)AB BC 的值为357．（1）ABC DBA ∽ ABC CAD ∽ DBA DAC ∽（其中一个即可，答案不唯一）；（2）四边形AEFG是菱形，（3）212GF GE BE =⋅ 8． 5 9．【教材原题】ADE ABC △△∽，35【应用】13 10．5(3)611．23105337 12．(1)BCD ACD ∽ BCD BAC ∽△△ CAD BAC △∽△（任写两对即可）(2)③2AC BC '= AC BC '⊥ ③BC 2595+2595-+13．(1)四边形ABCE ；(2)10AB =或245； (3)1118t = 2881t = 1825t = 180169t =．14．阅读理解 54AE =；解决问题，猜想：12EP m GH m +=+． 15．③存在 3。

压轴题一线三等角三直角型相似三角形

专题八《“一线三等角、三直角”相似三角形》姓名________学号________三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示。

及等角为直角时的特例。

如图：以上各图中在一条直线上的三个角如果相等，那么对应的三角形相似，请你证明. 【例1】如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF=60° （1）求证：△BDE ∽△CFD（2）当BD=1，FC=3时，求BE 【例2】如图，在梯形ABCD 中，AD ABC ∆5==AC AB 8=BC P Q CB AC P C BABC APQ ∠=∠①若点P 在线段CB 上（如图10），且6=BP ，求线段CQ 的长；②若x BP =，y CQ =，求y 与x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（2）正方形ABCD 的边长为5（如图12），点P 、Q 分别在直线．． ABC备用图ADDC F AB CD MEFCB 、DC 上（点P 不与点C 、点B 重合），且保持︒=∠90APQ .当1=CQ 时，写出线段BP 的长（不需要计算过程，请直接写出结果）.【例4】如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，5=AB ，43tan =B ，点D 是BC 的中点，点E 是AB 边上的动点，DE DF ⊥交射线AC 于点F ．（1）求AC 和BC 的长；（2）联结EF ，当EF BE EF DEF ∆CFD ∆BE 图，在△ABC 8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且C ADE ∠=∠．(1) 求证：△ABD ∽△DCE ； (2) 如果x BD =，y AE =，求y x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域；(3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由．2.在ABC ∆中，O BC AC C ,3,4,90===∠o是AB 上的一点，且52=AB AO ，点P 是AC 上的一个动点，OP PQ ⊥交线段BC 于点Q ，（不与点B,C 重合），已知AP=2，求CQAB CDE A C FED B A C B （备用图） AC B（备用图）3. 已知在等腰三角形ABC 中，4,6AB BC AC ===，D 是AC 的中点， E 是BC 上的动点（不与B 、C 重合），连结DE ，过点D 作射线DF ，使EDF A ∠=∠，射线DF 交射线EB 于点F ，交射线AB 于点H .（1）求证：CED ∆∽ADH ∆；（2）设,EC x BF y ==.①用含x 的代数式表示BH ；②求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的定义域.4. 如图，在平面直角系中，直线AB ：()440y x a a=+≠分别交x 轴、y 轴于B 、A 两点，直线AE 分别交x 轴、y 轴于E 、A 两点，D 是x 轴上的一点，OA OD =，过D 作CD ⊥x 轴交AE 于C ，连接B C ，当动点B 在线段OD 上运动（不与点O 点D 重合）且AB BC ⊥时 (1)求证：ABO ∆∽BCD ∆； (2)求线段CD 的长（用a 的代数式表示）； (3)若直线AE 的方程是1316y x b =-+，求BC:AB 的值．5. 已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2．（1）如图，P 为AD 上的一点，满足∠BPC ＝∠A ．求证；△ABP ∽△DPC ②求AP 的长．（2）如果点P 在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合），且满足∠BPE ＝∠A ，PE 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，那么 H ABCDEF①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；②当CE＝1时，写出AP的长（不必写出解题过程）．。

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中考热点5——三等角型相似三角形三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。

此规律需通过认真做题，细细体会。

典型例题【例1】如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点，∠EDF=60°（1）求证：△BDE∽△CFD（2）当BD=1，FC=3时，求BE【思路分析】本题属于典型的三等角型相似，由题意可得∠B=∠C=∠EDF=60°再用外角可证∠BED=∠CDF，可证△BDE与△CFD相似排出相似比便可求得线段BE的长度解：（1）∵△ABC是等边三角形，∠EDF=60°∴∠B =∠C =∠EDF =60°∵∠EDC =∠EDF +∠FDC =∠B +∠BED∴∠BED =∠FDC∴△BDE ∽△CFD（2）∵△BDE ∽△CFD ∴BECD BD FC ∵BD =1，FC =3，CD =5∴BE =35 点评：【例2】如图，等腰△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 中点，∠EDF =求证：△BDE ∽△DFE【思路分析】比较例1来说区别仅是点D 成为了BC 的中点，所以△BDE 与 △CFD 相似的结论依然成立，用相似后的对应边成比例，以及BD =CD 的条件可证得△BDE 和△DFE 相似解： ∵AB =AC ，∠EDF =∠B∴∠B =∠C =∠EDF C∵∠EDC =∠EDF +∠FDC =∠B +∠BED∴∠BED =∠FDC∴△BDE ∽△CFD∴DF DE CD BE =又∵BD =CD ∴DF DE BD BE =即DFBD DE BE = ∵∠EDF =∠B∴△BDE ∽△DFE点评：三等角型相似中若点D 是等腰三角形底边上任意一点则仅有一对相似三角形，若点D 是底边中点则有三对相似三角形，△BDE 与△CFD 相似后若得DFDE CF BD =加上BD =CD 可证得△CFD 与△DFE 相似【例3】如图，在△ABC 中，AB =AC =5cm ，BC =8，点P 为BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点P 作射线PM 交AC 于点M ，使∠APM =∠B ；（1）求证：△ABP ∽△PCM ；（2）设BP =x ，CM =y ．求 y 与x 的函数解析式，并写出函数的定义域．（3）当△APM 为等腰三角形时，求PB 的长．【思路分析】第（1）（2）小题都是用常规的三等角型相似的方法。

对△APM 进行等腰三角形的分类讨论时，可将条件转化成与△ABP ∽△PCM 相关的结论解：（1）∵AB =AC ，∠APM =∠B ∴∠APM =∠B =∠C∵∠APC =∠APM +∠MPC =∠B +∠BAP∴∠BAP =∠MPC∴△ABP ∽△PCM（2）∵BP =x ，CM =y ，CP =8-x ∵MC BPPC AB =∴y xx =-85 ∴x x y 58512+-=)80(<<x（3）当AP =PM 时 ∵AB PCPA PM =∴PC =AB =5∴BP =3当AP =AM 时∵∠APM =∠B =∠C∴∠PAM =∠BAC 即点P 与点B 重合∴P 不与点B 、C 重合∴舍去当MP =AM 时∴∠MAP =∠MPA∴△MAP ∽△ABC ∴85==BC AB AP MP ∴85==AB PC PA PM 即8558=-x ∴BP =839 点评：等腰三角形分类讨论需要灵活应用，可采用的方法添底边上的高，将等腰的条件进行转化，三等角型相似这类问题中可将等腰的条件转化至△ABP 和△PCM 中简化运算。

【例4】（1）在ABC ∆中，5==AC AB ，8=BC ，点P 、Q分别在射线CB 、AC 上（点P 不与点C 、点B 重合），且保持ABC APQ ∠=∠.①若点P 在线段CB 上（如图10），且6=BP ，求线段CQ 的长；②若x BP =，y CQ =，求y 与x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（2）正方形ABCD 的边长为5（如图12），点P 、Q 分别在直线．．CB 、DC 上（点P 不与点C 、点B 重合），且保持︒=∠90APQ . 当1=CQ 时，写出线段BP 的长（不需要计算过程，请直接写出结果）.【思路分析】本例与前几例的区别在于与等腰三角形底角相等的角的顶点不仅在线段上还可以运动至线段的延长线上，这类变式问题是上海中考中最常见的，虽然图形改变，但是方法不变，依旧是原来的两个三角形相似列出比例式后求解。

当等腰三角形变式为正方形时，依然沿用刚才的方法便可破解此类问题。

解：（1）∵BAP B CPQ APQ ∠+∠=∠+∠，ABC APQ ∠=∠，∴CQP BAP ∠=∠.又∵AC AB =，∴C B ∠=∠.∴QCP ∆∽ABP ∆.∴ ABCP BP CQ =. ∵5==AC AB ，8=BC ，6=BP ，268=-=CP ， ∴526=CQ ，512=CQ . （2）若点P 在线段CB 上，由（1）知ABCP BP CQ =. ∵x BP =，8=BC ， ∴x BP BC CP -=-=8，又∵y CQ =，5=AB ，∴ 58x x y-=，即x x y 58512+-=. 故所求的函数关系式为x x y 58512+-=，)80(<<x . 若点P 在线段CB 的延长线上，如图11.∵ CPQ APB APQ ∠+∠=∠，PAB APB ABC ∠+∠=∠，ABC APQ ∠=∠，∴ PAB CPQ ∠=∠.又∵ABC ABP ∠-︒=∠180，ACB PCQ ∠-︒=∠180，ACB ABC ∠=∠，∴PCQ ABP ∠=∠.∴QCP ∆∽PBA ∆.∴ PCAB CQ BP =. ∵x BP =，x BP BC CP +=+=8，5=AB ，y CQ =，∴ x y x+=85，即x x y 58512+= )0(>x . （2）当点P 在线段BC 上，255+=BP ，或255-=BP . 当点P 在线段BC 的延长线上，则点Q 在线段DC 的延长线上，2535+=BP . 当点P 在线段CB 的延长线上，则点Q 在线段DC 的延长线上，2535+-=BP . 点评：此题是典型的图形变式题，记住口诀：“图形改变，方法不变”。

动点在线段上时，通过哪两个三角形相似求解，当动点在线段的延长线上时，还是找原来的两个三角形，多数情况下这两个三角形还是相似的，还是可以沿用原来的方法求解。

强化训练：1. 如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且C ADE ∠=∠．(1) 求证：△ABD ∽△DCE ；(2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域；(3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由．2. 已知：如图，在△ABC 中，5==AC AB ，6=BC ，点D 在边AB 上，AB DE ⊥，点E 在边BC 上．又点F 在边AC 上，且B DEF ∠=∠．(1) 求证：△FCE ∽△EBD ；(2) 当点D 在线段AB 上运动时，是否有可能使EBD FCE S S ∆∆=4．如果有可能，那么求出BD 的长．如果不可能请说明理由．3. 如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上一点，且BP =2，将一个大小与∠B 相等的角的顶点放在P点，然后将这个角绕P点转动，使角的两边始终分别与AB、AC相交，交点为D、E。

（1）求证△BPD∽△CEP（2）是否存在这样的位置，△PDE为直角三角形若存在，求出BD的长；若不存在，说明理由。

4.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上的一个动点(与B、C不重合)，PE⊥AB与E，PF⊥BC交AC与F，设PC=x，记PE=y，PF=2y1（1）分别求y、2y关于x的函数关系式1（2）△PEF能为直角三角形吗若能，求出CP的长，若不能，请说明理由。

5.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上的一个动点(与B、C不重合)，PE⊥AB与E，PF⊥BC交AC与F，设PC=x，△PEF的面积为y（1）写出图中的相似三角形不必证明；（2）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）若△PEF为等腰三角形，求PC的长。

6. 已知在等腰三角形ABC 中，4,6AB BC AC ===，D 是AC 的中点， E 是BC 上的动点（不与B 、C 重合），连结DE ，过点D 作射线DF ，使EDF A ∠=∠，射线DF 交射线EB 于点F ，交射线AB 于点H .（1）求证：CED ∆∽ADH ∆；（2）设,EC x BF y ==.①用含x 的代数式表示BH ；②求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的定义域.7. 已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，（1）如图8，P 为AD 上的一点，满足∠BPC ＝∠A ①求证；△ABP ∽△DPC②求AP 的长．（2）如果点P 在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合），且满足∠BPE ＝∠A ，PE 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，那么①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP ＝x ，CQ ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；②当CE ＝1时，写出AP 的长（不必写出解题过程）．H ABC D E F C8.已知：如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，︒=∠90B ，8=AB ，12=AD ，34tan =C ，AM ∥DC ，E 、F 分别是线段AD 、AM 上的动点（点E 与A 、D 不重合）且AMB FEM ∠=∠，设x DE =，y MF =.（1）求证：DM AM =；（2）求y 与x 的函数关系式并写出定义域；（3）若点E 在边AD 上移动时， EFM ∆为等腰三角形，求x 的值；9.已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且BC =6，AB =DC =4，点E 是AB 的中点．（1）如图，P 为BC 上的一点，且BP =2．求证：△BEP ∽△CPD ；（2）如果点P 在BC 边上移动（点P 与点B 、C 不重合），且满足∠EPF =∠C ，PF 交直线CD 于点F ，同时交直线AD 于点M ，那么①当点F 在线段CD 的延长线上时，设BP =x ，DF =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；②当BEP DMFS S∆∆=49时，求BP 的长．10. 如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB =CD =BC =4，AD =2．点M 为边BC 的中点，以M 为顶点作∠EMF =∠B ，射线ME交边AB 于点E ，射线MF 交边CD 于点F ，连结EF ．（1）指出图中所有与△BEM 相似的三角形，并加以证明；（2）设BE =x ，CF =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；答案：1.解：（1）∵AB =AC ∴∠B =∠C∵∠ADC =∠ADE +∠CDE =∠B +∠BAD ∴∠BAD =∠CDE ∴△ABD ∽△DCE （2）∵△ABD ∽△DCE ∴ABCDBD CE = ∵x BD =，y AE =，x DC -=10∴y x x -=-8108∴845812+-=x x y )100(<<x（3）∵AC AB =，D 是BC 的中点∴AD ⊥BC ∴∠DAE+∠ADE=90°∵DE AE ≠∴△ADE 是直角三角形2.解：（1）∵AB =AC ∴∠B =∠C∵∠BED +∠DEF =∠C +∠EFC =90°又∵B DEF ∠=∠∴∠BED =∠EFC ∴△FCE ∽△EBD（2）∵BD =x ，BE =x 35，x EC 356-=∵△FCE ∽△EBD ∴2)(BDEC S S BED FEC =∆∆若EBD FCES S ∆∆=4∴4)356(2=-xx∴1118=x ∴31136356>=-x ∴BD 不存在 3.解：（1）∵AB =AC ∴∠B =∠C∵∠DPC =∠DPE +∠EPC =∠B +∠BDP ∴∠EPC =∠BDP ∴△ABD ∽△DCE （2）∵∠DPE=∠B ≠90°若∠PDE=90°，在Rt△ABH 和Rt△PDE 中∴cos ∠ABH =cos ∠DPE =53==PE PD AB BH ∴53==PC BD PE PD∵PC =4 ∴512=BD 若∠PED=90°在Rt△ABH 和Rt△PDE 中∴cos ∠ABH =cos ∠PED =53==PD PE AB BH ∴CC35==PC BD PE PD ∵PC =4 ∴5320>=BD （舍去）综上所述，BD 的长为512 4.解：（1）52454)6(541+-=-=x x y 、x y 342=（2）∵∠FPE =∠B ≠90°若∠PFE =90°，在Rt△ABH 和Rt△PFE 中∴cos ∠ABH =cos ∠FPE =53==PE PF AB BH ∴5312=y y ∴535245434=+-x x ∴1727=x 若∠PEF =90°，在Rt△ABH 和Rt△PFE 中∴cos ∠ABH =cos ∠FPE =53==PE PF AB BH ∴3512=y y ∴355245434=+-x x ∴3=x 5.解：（1）△PEB ∽△EPC（2）∵PC =x ∴x PF 34=，)6(54x PE -=，)6(251654x EP EH -== ∴)6(7532)6(2516342121x x x x EH PF y -=-⋅⋅=⋅⋅= 即x x y 256475322+-=)30(≤<xCCC（3）当PE =PF 时，△EPC ≌△PEB ，PC =BE =x ，536=-x x ∴49=x 当PE =EF 时，x PF PH 3221==，cos ∠EPH =cos B ，53)6(5432=-x x ∴43108=x 当FE =PF 时，)6(5221x EP PM -==， cos ∠FPM =cos B ，5334)6(52=-x x ∴2=x 综上所述，PC 的长分别为49=x 、43108、2 6.解：（1）∵AB BC =,∴A C ∠=∠∵CDE EDF A H ∠+∠=∠+∠又EDF A ∠=∠,∴CDE H ∠=∠CED ∴∆∽ADH ∆（2）①∵CED ∆∽ADH ∆，∴CE CDAD AH=∵D 是AC 的中点，6AC =，∴3AD CD ==，又 ∵,4CE x AB == ∴当H 点在线段AB 的延长线上时，334x BH =+，∴94BH x=-当H 点在线段AB 上时，334x BH =-，∴94BH x=-②过点D 作DG ∥AB ,交BC 于点G ∴12DG CG CD AB BC AC ===，∴2,2DG BG == ∴当H 点在线段AB 的延长线上时，∴BH BF GD GF =，∴9422y x y-=-∴18890924x y x x -⎛⎫=<< ⎪-⎝⎭当H 点在线段AB 上时，∴BH BFGD GF=，∴9422yx y -=+ ∴81894924x y x x -⎛⎫=≤< ⎪-⎝⎭7.解：（1）①证明：∵ ∠ABP ＝180°－∠A －∠APB ，∠DPC ＝180°－∠BPC －∠APB ，∠BPC ＝∠A ，∴ ∠ABP ＝∠DPC ．∵ 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，∴ ∠A ＝∠D ．∴ △ABP ∽△DPC ． ②解：设AP ＝x ，则DP ＝5－x ，由△ABP ∽△DPC ，得DCPD APAB =，即252x x-=解得x 1＝1，x 2＝4，则AP 的长为1或4．（2）①解：类似（1）①，易得△ABP ∽△DPQ ，∴ DQAPPDAB= 即y x x +=-252，得225212-+-=x x y ，1＜x ＜4．②AP ＝2或AP ＝3－5．8.证明：（1）过点M 作AD MG ⊥交AD 于G ∵AM//DC ∴C AMB ∠=∠∵8AB ,90B =︒=∠ ∴BMAB C AMB ==∠tan tan ∴BM 834=∴6B M =∵AD//BC ，AB//MG ∴AG=BM=6∵AD=12 ∴AG=GD ∴AGM ∆≌DGM ∆∴AM=DMCQE(2) ∵A MB FEM ∠=∠ A FE A MB ∠=∠∴EFM ∽∆∆AEM ∴FMEMEM AM =∵22226)-(8EM 1086AM x +==+=∴y x x 2222)6(8)6(810-+=-+ ∴1056101y 2+-=x x 定义域为：120<<x (3) ∵FEM AEF MAE EFM ∠>∠+∠=∠∴EM ≠FM∴若EFM ∆为等腰三角形，则EF =EM 或EF =FM ① 当EF =EM 时,12-x =10∴x =2②当EF =FM 时∵MA E F F ∠=∠=∠EM ME ∴AE =EM ∴226)-(x 8x -12+=∴311x =9.证明：（1）∵在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC ，∴∠B =∠CBE =2,BP =2,CP =4,CD =4，∴CDBPCP EB =，∴△BEP ∽△CPD (2)①FPC EPF BEP B EPF ∠+∠=∠+∠=∠ 又∠EPF =∠C=∠B ，∴FPC BEP ∠=∠∴△BEP ∽△CPF ，∴CFBPCP EB =∴462+=-y x x ∴43212-+-=x x y （42<<x ）②当点F 在线段CD 的延长线上时∠FDM =∠C=∠B ， FMD FPC BEP ∠=∠=∠，∴△BEP ∽△DMFBEP DMF S S ∆∆=49，∴xy BP DF ==23又43212-+-=x x y ，∴0832=+-x x ，Δ＜0，∴此方程无实数根，故当点F 在线段CD 的延长线上时，不存在点P 使BEP DMFS S ∆∆=49当点F 在线段CD 上时，同理△BEP ∽△DMFBEP DMF S S ∆∆=49，∴xy BP DF ==23，又∴△BEP ∽△CPF ∴CF BPCP EB =，∴y x x -=-462 ∴43212+-=x x y ，∴0892=+-x x ，解得 11=x ，82=x由于82=x 不合题意舍去，∴1=x ，即BP =1所以当BEP DMFS S∆∆=49时，BP 的长为1． 10. 解：（1）△CMF ∽△BEM ，△MEF ∽△BEM ．证明如下：在梯形ABCD 中，∵AD ∥BC ，AB =CD ，∴∠B =∠C ．又∵∠EMF +∠FMC =∠B +∠BEM ，∠EMF =∠B ，∴∠FMC =∠BEM ． ∴△CMF ∽△BEM ． ∴CMBEFMEM=．又∵CM =BM ，∴BMBE FMEM=．∵∠EMF =∠B ，∴△MEF ∽△BEM ．（2）∵△CMF ∽△BEM ，∴CFCMBM BE =．∵BM =CM =2，∴yx 22=．∴所求函数的解析式为xy 4=，（41≤≤x ）。