3-4保守力与非保守力

一、 万有引力、重力、弹性力作功的特点
1 万有引力作功
如上图所示，有两个质量为m m ' 和的质点，其中质点m ' 固定不动。

取m ' 的位置为坐标原点，A 、B 两点对m ' 的距离分别为m
r r B A , 和经任一路径由点A 运动到点B ，万有引力作的功
为
)1
1(
A B r r m m G W -'= （3-10）
上式表明，当质点的质量m m ' 和均给定时，万有引力作的功只取决于质点m 的起始和终了的
位置，而与所经过的路径无关。

这是万有引力作功的一个重要特点。

扩充内容：计算万有引力作的功
设在某一时刻质点m 距质点m '的距离为r ，其位矢为r ，这时质点m 受到质点m '的万有引力为
r
2
e F r m
m G
'-=
r
e 为沿位矢r 的单位矢量，当m 沿路径移动位移元r d 时，万有引力作的功为
r e r F d d d r 2⋅'-=⋅=r m
m G
W
从图可以看出
r
d cos d cos d d r r ===⋅θθr r
e r e
于是，上式为
r r m
m G
W d d 2
'-=
所以，质点m 从点A 沿任一路径到达点B 的过程中，万有引力作的功为
⎰⎰
'-==B
A
r r B
A
r r m m G W W 2d 1d
即
2 重力作功
如右图所示，一个质量为m 的质点，在重力作用下从点A 沿ACB 路径至点B ，点A 和点B 距地面的高度分别为
2
1 y y 和，计算重力作功为
()
12mgy mgy W --= （3-11）
上式表明，重力作功只与质点的起始和终了位置有关，而与所经过的路径无关，这是重力作功的一个重要特点。

扩充内容： 计算重力作的功
因为质点运动的路径为一曲线，所以重力和质点运动方向之间的夹角是不断变化的。

我们把路径ACB 分成许多位移元，在位移元r d 中，重力P 所作的功为
r P d d ⋅=W
若质点在平面内运动，按图所选坐标，并取地面上某一点为坐标原点O ，有
j
i r y x d d d +=
且
j
P mg -=。

于是，前式为
y
mg y x mg W d )d d ( d -=+⋅-=j i j
质点由点A 移至点B 的过程中，重力作的总功为
)
(d 12 2
1
y y mg y mg W y y --=-=⎰
即
)
(12mgy mgy W --=
3 弹性力作功
下图所示是一放置在光滑平面上的弹簧，弹簧的一端固定，另一端与一质量为m 的物体相连接。

当弹簧在水平方向不受外力作用时，它将不发生形变，此时物体位于点O （即位于0
=x
处），这个位置叫做平衡位置。

现以平衡位置O 为坐标原点，向右为Ox 轴正向。

弹簧伸长量由1
x 变到
2
x 时，计算弹性力对物体的作的功为
)
2121(2
122kx kx W --= （3-12）
式中k 为弹簧的劲度系数。

从式（3-12）可以看出，对在弹性限度内具有给定劲度系数的弹簧来说，弹性力作的功只由弹簧起始和终了的位置（
1
x 和
2
x ）决定，而与弹性形变的过程无关。

扩充内容： 计算弹性力对物体所作的功
若物体受到沿Ox 轴正向的外力F '作用，弹簧将沿Ox 轴正向被拉长，弹簧的伸长量即其位移为x 。

根据胡克定律，在弹性限度内，弹簧的弹性力F 与弹簧的伸长量x 之间的关系为
i F kx -=
式中k 称为弹簧的劲度系数。

在弹簧被拉长的过程中，弹性力是变力。

但弹簧位移为x d 时的弹性力F 可近似看成是不变的。

于是，弹簧位移为x d 时，弹性力作的元功为
i i i i x F ⋅-=⋅-=⋅=x kx x kx W d d d d
有
x kx W d d -=
这样，弹簧的伸长量由21 x x 变到时，弹性力所作的功就等于各个元功之和。

由积分计算可得
⎰⎰-==2
1
d d x x x
x k W W
二、 保守力与非保守力 保守力作功的数学表达式
从上述对重力、万有引力和弹性力作功的讨论中可以看出，它们所作的功只与物体（或弹簧）的始、末位置有关，而与路径无关。

这是它们作功的一个共同特点。

我们把具有这种特点的力叫做保守力。

除了上面所讲的重力、万有引力和弹性力是保守力外，电荷间相互作用的库仑力和原子间相互作用的分子力也是保守力（参阅第6-1节和第7-5节）。

保守力作功与路径无关的特性还可以用另一种方式来表示：物体沿任意闭合路径运动一周时，保守力对它作功为零，即
⎰=⋅=0
d r F W （3-13）
式（3-13）是反映保守力作功特点的数学表达式。

然而，在物理学中并非所有的力都具有作功与路径无关这一特点，例如常见的摩擦力，它所作的功就与路径有关，路径越长，摩擦力作的功也越大。

显然，摩擦力就不具有保守力作功的特点。

我们把这种作功与路径有关的力叫做非保守力。

三、势能
1 从上面关于万有引力、重力和弹性力作功的讨论中，我们知道这些保守力作功均只与物体的始末位置有关，为此，可以引入势能概念。

我们把与物体位置有关的能量称作物体的势能，用符号
P
E 表示。

于是，三种势能分别为
重力势能
mgy
E =P
引力势能
r m
m G E '-=P （3-14）
弹性势能
2P 21kx E =
式（3-10）、式（3-11）、和式（3-12）可统一写成
P
P1P2)(E E E W ∆-=--= （3-15）
上式表明，保守力对物体作的功等于物体势能增量的负值。

2 对势能概念的进一步讨论 讨论：
1重力势能 （通常把质点在地球表面附近的引力势能叫做重力势能）
设地球半径为E
R ，质量为
E
m 。

质点m 处在地球表面h 处，与处在地球表面处的引力势能之
差为
)1
1(
)()(E E E E P E P R h R Gmm R E h R E -+-=-+
)(E E E
h R R h
Gmm +=
由于质点m 放在地球表面附近，故2
E E E )(R h R R ≈+，上式可近似写成
h
R mm G
R E h R E 2E
E
E P E P )()(≈-+
由于地球表面附近重力加速度的值2
E
E /R Gm g =，且取地球表面作为重力势能零点，即
)(E P =R E ，那么从上式可得质点在地球表面h 处的引力势能即重力势能为
mgh
h R E =+)(E P
可见，改变引力势能零点，引力势能的表述式也改变了。

2势能的进一步讨论
(1)势能是状态的函数。

在保守力作用下，只要物体的起始和终了位置确定了，保守力所作的功也就确定了，而与所经过的路径是无关的。

所以说，势能是坐标函数，亦即是状态的函数，即
)
,,(P P z y x E E =。

前面还说过，动能亦是状态的函数，
)
,,(z y x k k v v v E E =。

(2)势能的相对性。

势能的值与势能零点的选取有关。

一般选地面的重力势能为零，引力势能的零点取在无限远处，而水平放置的弹簧处于平衡位置时，其弹性势能为零。

当然，势能零点也可以任意选取，选取不同的势能零点，物体的势能就将具有不同的值。

所以，通常说势能具有相对意义。

但也应当注意，任意两点间的势能之差却是具有绝对性的。

(3)势能是属于系统的。

势能是由于系统内各物体间具有保守力作用而产生的。

因而它是属于系统的。

单独谈单个物体的势能是没有意义的。

例如重力势能就是属于地球和物体所组成的系统的。

如果没有地球对物体的作用，也就谈不上重力作功和重力势能问题，离开了地球作用范围的宇宙飞船，也就无所谓重力势能。

同样，弹性势能和引力势能也是属于有弹性力和引力作用的系统的。

应当注意，在平常叙述时，常将地球与物体系统的重力势能说成是物体的，这只是为了叙述上的简便，其实它是属于地球和物体系统的。

至于物体的引力势能和弹性势能，也都是这样。

四、思考题
1.保守力作的功总是负的，对吗？举例说明。

2、把物体抛向空中，有哪些力对它作功，这些力是否都是保守力？。