3-5 保守力和非保守力
大学物理 第三章 动量守恒定律和能量守恒定律 3-5 保守力与非保守力
m' m m' m 引力的功 引力的功 WAB = −(−G r ) − (−G r ) B A
A点势能： 点势能： 且令E 设B点为无限远 即rB=∞ 且令 PB=0 点为无限远
m' m WAB = −G rA
= − ( E pB − E pA ) = E pA
功与路径无关，只决定于初末位置。 功与路径无关，只决定于初末位置。 第三章 动量守恒和能量守恒
4
} ⇒ dW
物理学
第五版
3-5 保守力与非保守力 势能 -
F
dW
O
x1
x2
dx
x2 x
W = ∫ Fdx = ∫
x1
x2
x1
1 2 1 2 − kxdx = −( kx2 − kx1 ) 2 2
5
第三章 动量守恒和能量守恒
W p → p0 = −( Ep0 − Ep ) = −∆Ep
E p ( x, y, z) =
∫
E p0 = 0
( x, y,z )
F ⋅ dr
任意一点的势能等于在保守力作用下 从该点到势能零点保守力所作的功
第三章 动量守恒和能量守恒 10
物理学
第五版
3-5 保守力与非保守力 势能 -
W AB = − ( E pB − E pA ) = − ∆ E P
引力的功 引力的功
m' m m' m WAB = −(−G ) − (−G ) rB rA
引力势能 引力势能
m' m Ep = −G r
弹性势能 弹性势能
弹力的功 弹力的功
W AB 1 1 2 2 = − ( kx B − kx A ) 2 2
大学物理-保守力与非保守力
4/12
物理学
第五版
3-5 保守力与非保守力 势能 2 保守力作功的数学表达式
∫
(The mathematical expression of work by the conservative force)
ACB
F ⋅ dr = ∫
F ⋅ dr =
ADB
F ⋅ dr
∫
BDA
m 从 A 到 B 的过程中 作功： 的过程中F作功 作功：
A mθ m'm W = ∫ F ⋅ dr = ∫ − G 2 er ⋅ dr dr r A r rA e r dr er ⋅ dr = er ⋅ dr cos θ = dr r + dr
B
rB m'm B W = ∫ − G 2 dr rA r 1 1 m'm W = Gm′m( − ) W = −G dr = 0 2 rB rA l r
Elastic potential energy
m' m Ep = −G r
1 E p = kx 2 2
6/12
第三章 动量守恒和能量守恒
物理学
第五版
3-5 保守力与非保守力 势能 物体在地球表面附近距地面高为y时 具有的引力 物体在地球表面附近距地面高为 时,具有的引力 势能称为重力势能 重力势能(Gravity potenial) Ep = −mgy 重力势能 保守力的功(Work of conservative force) 保守力的功
第三章 动量守恒和能量守恒
z = 0, Ep = 0
11/12
物理学
第五版
本章目录
选择进入下一节： 选择进入下一节：
3-4-6 动能定理,保守力与非保守力,功能原理 机械能守恒定律
W Fcos d s
os 1
ds
s2
s
3
(3) 功是一个过程量，与路径有关。
(4) 合力的功，等于各分力的功的代数和。
F F i F j F k x y z d r d x i d y j d z k B B W F d r （ F d x F d y F d z ） x y z
21
3-6 功能原理 机械能守恒定律
一 质点系的动能定理
对第 i个质点，有
W W E E k i k i 0
ex i in i
m1
ex F i
外力功 内力功
m2
in m i F i
对质点系，有
i ex i i in i i k i k i 0 k k 0 i ex in
W W E E E E
8
1 2 1 2 W m v m v E E 2 1 k 2 k 1 2 2
合外力对质点所作的功，等于质点动能 的增量 ——质点的动能定理
注意
功是过程量，动能是状态量；
功和动能依赖于惯性系的选取， 但对不同惯性系动能定理形式相同。
9
例 2 一质量为1.0 kg 的小球系
在长为1.0 m 细绳下端，绳的上
势能具有相对性，势能大小与势能零点 的选取有关。 势能是属于系统的。 势能差与势能零点的选取无关。
20
3-5 保守力与非保守力
势能
四 势能曲线
E z p mg
1 2 Ep kx 2
m 'm E G p r
Ep
Ep
Ep
O
x
O
z
SCUT-3_5保守力与非保守力
m1
v ex Fi
外力功
内力功
v in m i m2 Fi
对质点系，有 对质点系，
∑W
i
ex
i
+ ∑Wi = ∑ Eki − ∑ Eki 0 = Ek − Ek 0
in i i i
质点系动能定理 质点系动能定理
W
ex
+W
in
= Ek − Ek0
第三章 三大守恒定律
值得注意：
内力做功可以改变系统的总动能。 内力做功可以改变系统的总动能。
第三章 三大守恒定律
3.5 势能 功能原理 机械能守恒 万有引力、重力、 一 万有引力、重力、弹性力作功的特点 1） 万有引力作功
v m 为参考系， 以 m' 为参考系， 的位置矢量为 r . m' 对 m 的万有引力为
v m' m v F = −G 3 r r v
作功为
m
m'
O
A
v v dr r (t)
m' m Ep = −G r
Ep
O
Ep
x
O
z
O
x
弹性势能曲线 弹性势能曲线 引力势能曲线 引力势能曲线
重力势能曲线 重力势能曲线
z = 0, Ep = 0
x = 0, Ep = 0
r → ∞, Ep = 0
第三章 三大守恒定律
三 质点系的动能定理 个质点， 对第 i 个质点，有
Wi + Wi = E ki − E ki 0
第三章 三大守恒定律
有一轻弹簧, 例 8 有一轻弹簧 其一端系在铅直放置的圆环的 顶点P, 另一端系一质量为m 的小球, 顶点 另一端系一质量为 的小球 小球穿过圆环并 在圆环上运动(不计摩擦 开始小球静止于点 不计摩擦) 在圆环上运动 不计摩擦 .开始小球静止于点 A, 弹簧 处于自然状态,其长度为圆环半径 当小球运动到圆环 处于自然状态 其长度为圆环半径R; 其长度为圆环半径 的底端点B时 小球对圆环没有压力 求弹簧的劲度系数. 小球对圆环没有压力. 的底端点 时,小球对圆环没有压力 求弹簧的劲度系数 解 以弹簧、小球和地球为一系统， 以弹簧、小球和地球为一系统，
保守力与非保守力
保守力与非保守力Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】非保守力：凡作功与路径有关的力称为非保守力。
常见的摩擦力,物体间相互作非弹性碰撞时的冲击力都属于非保守力。
非保守力具有沿任意闭合路径作功不等于零的特点。
非保守力包括耗散力和非耗散力两类。
在力学范围内接触的非保守力大多数是耗散力,所以长期以来耗散力就成了非保守力的同义词。
严格说来两者是有区别的，一个系统的总机械能减少，并转变为系统的热能或内能。
通常人们把这个过程叫耗散过程，而把导致耗散的力成为耗散力。
摩擦力是耗散力，但非保守力（如爆炸力）不一定都是耗散力。
⑴定义：做功多少只由始末位置所决定，而跟路径无关的力叫做保守力。
做功多少和物体运动路径有关的力叫耗散力。
⑵说明①保守力对物体做功的多少取决于物体始末位置，如果在该力作用下，物体的运动沿闭合路线绕行一周回到了起始位置，则所做功为零。
重力、弹力等属于保守力。
耗散力做功就不能由物体的始末位置决定，而和物体的运动路径有关，在其他条件相同的情况下，物体运动路径越长，所做的功也越多。
摩擦力、粘滞力等属于耗散力②保守力和耗散力所做功的情况不同，是和这两种力的本身的特点有关。
物体系确定后保守力和物体的运动状况无关，其大小由相互作用物体的相对位置所确定，它的方向总在两个相互作用物体的连线上。
例如，物体确定后，重力的大小决定于它离开地面的高度，方向竖直向下，而和物体以什么样的速度运动无关，和物体运动速度的大小和方向如何变化无关。
耗散力的大小和方向都随着物体运动速度的大小、方向的改变而发生变化。
例如，空气对运动物体的阻力，其方向随着物体运动的方向改变而变化，它的大小随物体运动速度增大而增加。
③保守力和物体系的势能有着极为密切的联系。
保守力做正功，则物体系的势能减少；反之，则物体系的势能增加。
而且相对两个位置之间，功量一定，能量差一定。
所以物体间存在保守力是物体系具有势能的条件。
保守力和非保守力-PPT课件
A
rA
r
rB
m
m'
B
4
( 2)
弹性力作功
设原长为坐标原点, 物体在F’外,位移： x ' F外 F
o
x
P
xபைடு நூலகம்
F d x kx i dx i kx 弹力： F kx i dW
1 2 1 2 ( kx k1 x ) W k x d x 2 dW x 1 2 2
mgy
Gm E g 2 RE
E
m y
Ep 0
取： E 0 有： E mgy p ,R E p ,R y
RE
)
15
重力势能： E mgy ( 取地面为零势点 p
谢谢大家！
16
1
一
万有引力和弹性力作功的特点
(1) 万有引力作功
m ' 对m 的万有引力为
m 'm F G 2 e r r
r时，F m 移动d 作元功为
A
r d r
r r
m
er
m'
B
m 'm G 2 e r d W F d r r d
r
2
m 'm d W F d r G 2 e r r d r
11
注意: 势能是状态的函数 E E ( x ,y ,z ) p p 是坐标的函数 势能具有相对性，与势能零点的选取有关.
通常取地面为重力势能的零点；取无穷远处为引力势 能的零点；取平衡位置处为弹性势能的零点。这样这 三种势能分别为：
重力势能： E p mgy
m m 引力势 E 能 G： p r 1 2 弹性势 E 能 ： kx p 2 注意：如果另选势能零点，则势能的值就不能 用上式来计算了。
保守力与非保守力
一、 万有引力、重力、弹性力作功的特点1 万有引力作功如上图所示，有两个质量为m m ' 和的质点，其中质点m ' 固定不动。
取m ' 的位置为坐标原点，A 、B 两点对m ' 的距离分别为m r r B A , 和经任一路径由点A 运动到点B ，万有引力作的功为)11(A B r r m m G W -'= （3-10）上式表明，当质点的质量m m ' 和均给定时，万有引力作的功只取决于质点m 的起始和终了的位置，而与所经过的路径无关。
这是万有引力作功的一个重要特点。
扩充内容：计算万有引力作的功设在某一时刻质点m 距质点m '的距离为r ，其位矢为r ，这时质点m 受到质点m '的万有引力为r 2e F r m m G '-=r e 为沿位矢r 的单位矢量，当m 沿路径移动位移元r d 时，万有引力作的功为r e r F d d d r 2⋅'-=⋅=r m m G W从图可以看出r d cos d cos d d r r ===⋅θθr r e r e于是，上式为r r m m G W d d 2'-=所以，质点m 从点A 沿任一路径到达点B 的过程中，万有引力作的功为⎰⎰'-==B A r r B A r r m m G W W 2d 1d即2 重力作功如右图所示，一个质量为m 的质点，在重力作用下从点A 沿ACB 路径至点B ，点A 和点B 距地面的高度分别为21 y y 和，计算重力作功为()12mgy mgy W --= （3-11）上式表明，重力作功只与质点的起始和终了位置有关，而与所经过的路径无关，这是重力作功的一个重要特点。
扩充内容： 计算重力作的功因为质点运动的路径为一曲线，所以重力和质点运动方向之间的夹角是不断变化的。
我们把路径ACB 分成许多位移元，在位移元r d 中，重力P 所作的功为r P d d ⋅=W若质点在平面内运动，按图所选坐标，并取地面上某一点为坐标原点O ，有j i r y x d d d +=且j P mg -=。
大学物理(一)教学大纲
《大学物理（一）》课程教学大纲一、课程名称1.中文名称大学物理（一）2.英文名称 University Physics (I)3.课程号 WL310011二、学时总学时54学时其中：授课54学时实验0学时三、考核方式考试四、适用专业应用型非物理各专业五、课程简介（200字以内）本课程系统地阐述了物理学中“力学”和“热学”的基本概念、基本理论和基本方法。
“力学”包括质点运动学、牛顿定律、动量守恒定律和能量守恒定律、刚体转动、振动、波动、相对论等；“热学”包括气体动理论和热力学基础等。
六、本门课程在教学计划中的地位、作用和任务物理学是探讨人类直接接触世界、时间、空间、以及时空中的物质结构和物质运动规律的科学,物理学着重研究世界中最普遍、最基本的运动形式及规律。
因此,它是自然科学和工程技术的基础,也是人类思想方法、世界观建立的基础。
在高等工科院校中,物理是一门重要的必修基础课,是一门建立正确的科学思想和科学方法论的基础课。
它的教学目的和任务是: 使学生对物理学的基本概念、基本原理和基本规律有较全面系统的认识，了解各种运动形式之间的联系,以及物理学的近现代发展和成就。
使学生在运算能力、抽象思维能力和对世界的认识能力等方面受到初步的训练；熟悉研究物理学的基本思想和基本方法；培养学生分析问题和解决问题的能力。
使学生在学习物理学知识的同时,逐步建立正确的思想方法和研究方法,充分发挥本课程在培养学生辩证唯物主义世界观方面的作用,进行科学素质教育。
大学物理课的教学宗旨不仅是为后续专业课打好基础，而且也是使学生建立正确的科学思想和方法论的一门基础课。
作为处在当今科学、社会高速发展阶段的大学生，应了解科学的进展，具备科学的思想和方法。
学生通过物理学的学习可以培养自己判断、推理、归纳的逻辑思维能力；细致、敏锐、准确的观察能力、想象创造力和运用其他学科知识处理、解决实际问题的能力等。
这些能力正是人们在自然界和社会中生存与发展必不可少的基本素质。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
F dr
ADB
F dr
F dr
ADB
W F dr
L
ACB
F dr 0
物体沿闭合路径运动一周时，保守力做功为零
W F dr 0
L
三 势能 E p 1.定义：
设保守力 F 将质点 m 由a→b，保守力的功： b Wab F dr EPa EPb ～势能 E P a
④系统具有势能的条件是物体之间的相互作用力必 须是保守力，而对非保守力系统谈论势能，则没有 任何意义。 如：摩擦力为非保守力，不存在什么摩擦势能。
§3-6 功能原理
机械能守恒定律
动能定理适合于单个物体，也可将其推广到多个 物体组成的系统，成为系统的功能原理。 一、质点系的动能定理 设系统由n个物体（质点）组成，作用于各个质点 的力所作的功分别为：
Mm 1 EP＝ r －G r 2 dr GMm r
F m r
M
o
③弹性势能
Wab
xb
xa
1 2 1 2 kxdx ( kxb kxa ) EP 2 2
弹性势能以弹簧原长为零势能点。
1 1 2 E P kxdx (0 kx ) kx 2 x 2 2 势能曲线对照表(势能随位置变化的曲线～势能曲线)
重力势能曲线
弹性势能曲线
万有引力势能曲线
WCin ( EPi EPi0 )
i 1 i 1
n
n
质点系的动能定理：
W Wnc ( Eki EPi ) ( Eki0 EPi0 )
ex in i 1 i 1 i 1 i 1
n
n
n
n
定义：机械能E：系统中各物体的动能与势能之总和。
E Eki EPi
er
dr
r dr
B
m
r
rA
rB
m'
A
以 m 所在处为原点, m 指向 m 的方向为矢径的 正方向。 m 受的引力方向与矢径方向相反。则万 有引力对质点所作的功为：
1 dW F dr Gmm 2 er dr r
er
er dr │ er │ │ dr │ cos │ dr │ cos dr
三、机械能守恒定律 若外力和非保守性内力都不作功，即 in W ex 0 Wnc 0 则有： E E E0 0
E
i 1
n
ki
EPi Eki0 EPi0
i 1 i 1 i 1
n
n
n
当作用于质点系的外力和非保守内力不作功时， 质点系的总机械能是守恒的～机械能守恒定律 在只有保守内力做功的情况下，质点系的机械能 保持不变。
0
保守力 重 力 弹 力
势能（E p ） mgh
1 2
势能零点 h=0
Ep
0
势能曲线
Ep
kx
2
x=0
Ep
0 0
x r
引 力
mM G r
r=∞
3.势能和保守力的关系： 势能是保守力对路径的线积分，EP＝
dEP F dl F cos dl Fdl l
dE P Fl dl
EP EP EP F Fx i Fy j Fz k i j k y z x = EP = gradEP
～保守力等于势能的负梯度。grad～梯度运算 说明： ①势能是状态的函数。在保守力作用下，保守力所 作的功与路径是无关的。所以，势能是坐标的函数， 亦即是状态的函数。
i 1 i 1
n
n
E0 Eki0 EPi0
i 1 i 1
n
n
质点系的末机械能
质点系的初机械能
in 则： W ex Wnc E E0 E
～质点系的机械能的增量等于外力与非保守内力作 功之和。这就是质点系的功能原理
注意：
ex W ① ～各质点所受外力作功之和，不是合外力 in W 作功；同理， nc 同上。
W 1 ,......, W i ,......, W n
各质点的初动能： Eki 0 末动能： Eki
i 1, 2,......, n
由质点的 W1 Ek1 Ek10 ........ 动能定理： W2 Ek 2 Ek 20 W E E i ki ki 0
以上各式相加得：
W Wi Eki Eki0
i 1 i 1 i 1
作用在n个质点上 的力所作的功之和
n
n
n
系统内n个质点 系统内n个质点 的末动能之和 的初动能之和
作用于质点系的力所作之功，等于该质点系的 动能增量。这也叫做质点系的动能定理。
系统内的质点所受的力，既有来自系统外的外 力，也有来自系统内各质点间相互作用的内力。 作用于质点系的力所作的功，应是一切外力 （系统外力）对质点系所作的功与质点系内一 切内力（系统内力）所作的功之和
注意：内力能改变系统的总动能，但不能改变系统 的总动量。
二、质点系的功能原理 将系统内力分成保守力与非保守力，其对质点系 作功分成保守内力作的功和非保守内力作的功。
即：
in W in Wcin Wnc
质点系内一切 内力所作的功
质点系内各保守 质点系内各非保 内力作功之和 守内力作功之和
因为系统内保守力作的功等于势能增量的负值， 所以，质点系内各内力的保守力所作的功应为：
即： n
Wi
i 1
ex in ex in W W W W i i i 1 i 1
n
n
作用质点系上的所 有力所作的功之和
作用于质点系的 所有外力作的功
质点系内一切 内力所作的功
质点系的动能定理：
W
ex
W
in
Eki Eki0
i 1 i 1
n
n
～所有外力对质点系做的功和内力对质点系做的功 之和等于质点系总动能的增量。
上式可改写为：
E
i 1
n
ki
Eki0 ( EPi EPi0 )
i 1 i 1 i 1
n
n
n
即：
Ek E p
说明：在满足机械能守恒的条件下，系统内的动 能与势能是可以相互转换的，而其转换是通过系 统内保守力作功来实现的。 分析：在机械能守恒的条件下，常见几种保守 力的势能曲线。 其中，曲线斜率为保守力的大小。由曲线观察零 势能点的选取，可分析系统的平衡条件及能量的 转化。
rB rB rA rA
r
dr
r dr
W dW Gmm
1 1 dr Gmm 2 r rA rB
万有引力做功只取决于质点m的起、末点位 置，而与路径无关。万有引力是保守力。
2. 重力作功 设质点m在重力作用下由A运动到B，取地面为坐标原 点，y轴向上为正，A、B的坐标分别为y1、 y2 。
x
x
x
可见，对在弹性限度内具有给定劲度系数的弹簧 来说，弹性力所作的功只由弹簧起始和终了的位 置决定，而与弹性形变的过程无关。弹性力是保 守力。
二 保守力与非保守力 保守力作功的数学表达式 凡其作功与路径无关，仅与始、末位置有关的力 称为保守力。 重力和弹性力，万有引力（重力就是一种万有 引力）、分子间相互作用的分子力、静电力等都 属于保守力。 凡作功与路径有关的力称为非保守力。 常见的摩擦力，物体间相互作非弹性碰撞时的 冲击力都属于非保守力。 推导保守力作功的数学表达式 设一物体m在保守力作用下,自点A沿路径ACB到达 点B，或沿路径ADB到达点B。根据保守力作功与路 径无关的特点做功与路径无关，只与起点、终点位 置有关。
当弹簧在水平方向不受外力作用时，它将不 发生形变，此时物体位于点0(即位于x=0处)， 这个位置叫做平衡位置 现以平衡位置0为坐标原点，向右为x轴正向。
F kxi
W
k
m
x2
x1
kxdx
1 2 1 2 ( kx2 kx1 ) 2 2
o k F m o x1 m k x o F 2
②势能的量值仅有相对意义。必须指出零势能参考 点。两点间的势能差是绝对的，即势能是质点间相 对位置的单值函数。
=grad i j k x y z
EP＝EP ( x, y, z)
只有当我们选定某一位置为系统的势能零点时， 其他系统的势能才有确定的量值。势能零点的选取 是任意的。通常，选地面为重力势能零点；无穷远 处为引力势能零点；平衡位置为弹簧势能零点。须 加以说明。 ③势能是属于具有保守力相互作用的质点系统的， 不应将其看作属于某一物体的。 重力势能～物体和地球组成的重力系统； 弹簧势能～物体和弹簧组成的弹性系统。
m
C
L1
F
B
A
L2
D
WACB WADB F dr
ACB
ADB
F dr
（路径L1）
（路径L2）
对沿闭合路径ACBDA运动一周的物体做功为
W F dr
L ACB
F dr
BDA
F dr
BDA
dW mg dr mgdy
y2 y1
m
y y1 y2
W mgdy mg ( y2 y1 ) mg ( y1 y2 )
3. 弹性力作功
mg
o 可见，重力是保守力。
如图所示是一放置在光滑平面上的弹簧，弹簧的一 端固定，另一端与一质量为m的物体相连接。