第9章有限元建模方法

求解（计算） 计算结果
后处理
评估、优化、修改
图 9-2 有限元分析的一般过程
9.1.2 有限元建模的重要性
对分析人员而言，在整个有限元分析过程中，建模是最重要、最关键的环节，这是因为： 一、影响结果精度 有限元模型要为计算提供所有原始数据，这些输入数据的误差将直接决定计算结果的精 度。如果模型本身不合理，即使计算算法再精确，也不可能得到高精度的分析结果。因此， 模型形式是决定结果精度的主要因素。 二、影响计算过程 模型的形式不仅决定计算精度，还影响计算的过程。对于同一分析对象，不同的模型所 需要的计算时间和存储容量可能相差很大，不合理的模型还可能导致计算过程死循环或中 止。 三、对人员要求高 由于分析对象的形状、工况条件、材料性质的复杂性，要建立一个完全符合实际的有限
元模型是很困难的。它需要综合考虑很多因素，如形状的简化、单元类型的选择、网格的设 置、边界条件的处理等，从而对分析人员的专业知识、有限元知识和软件使用技能等方面都 提出了很高要求。
四、花费时间长 建模所花费的时间在整个分析过程中占有相当大的比例。对分析人员来讲，他们的工作 不是开发有限元分析软件，而是如何利用软件分析他所关心的对象。目前已有很多功能很强 的有限元分析软件，如ANSYS、I-DEAS、NASTRAN、ABAQUS、ADINA等。利用现存的 软件，分析人员可把求解过程作为“黑匣子”来对待，而把精力主要集中在建模上。据统计， 建模花费的时间约占整个分析时间的百分之七十左右。因此，提高建模速度是缩短分析周期 的关键。 鉴于以上原因，本章将重点介绍有限元建模的相关知识。
单元数量 图 9-4 有限元解的收敛情况
为了提高有限元解的精度，可以适当增加单元数量，即划分比较密集的网格。但从图9-4 也可以看出，当单元数量增加到一定程度后，有限元解的收敛速度很低，这时再增加单元， 精度提高也不会太大，这时增加单元数量就不会有明显效果。实际计算时可以比较两种网格 的计算结果，如果相差较大，可以继续增加单元数量。如果结果变化不大，则可以停止增加。
5. 一维单元的截面特性（section properties） 截面特性包括截面面积、惯矩、极惯矩、弯心位置、剪切面积比等。截面特性通常由定 义的截面形状和大小由软件自动求出。
6. 相关几何数据 该类数据描述单元本身的一些几何特征，如各向异性材料的主轴方向、梁单元端节点的 偏移量和截面方位、刚体单元自由度释放码等。
代代
号 值 码 码量
单元数据
单 单 单 单单相 元 元 元元关
元 节 材 物截几 编 点 料 理面何
编 特 特特数 号 号 性 性性据
边界条件数据
位 载 热其
移 约 束 数
荷 条 件 数
边他
界 条 件
边 界 条 件
数数
据 据 据据
图 9-3 有限元模型的数据类型
9.1.4 有限元建模的基本原则
建立有限元模型时需要考虑的因素很多，不同分析问题所考虑的侧重点也不一样。但不 论什么问题，建模时都需要考虑两条基本原则：一是保证计算结果的精度，二是控制模型的 规模。
以上节点数据和单元数据定义了分析对象的几何特性和材料特性。
三、边界条件数据 边界条件数据用于描述分析对象和外界的作用。它包括的数据类型有：
1. 位移约束数据 该类数据规定模型中哪些节点、节点哪些自由度上的位移受到约束条件的限制以及约束 的类型和大小。
2. 载荷数据 用于定义模型中节点载荷、单元棱边载荷和面力、体力等作用的位置、方向和大小。
性 方
{q}
程
组
ห้องสมุดไป่ตู้
求
结
应
力 和
{σ }
果 显
应 {ε } 变
示
前处理（建模）
求解
后处理
图 9-1 有限元分析的一般步骤
在上述过程中，从单元分析到求出单元应力和应变的所有环节，都涉及大量的数值计算， 这些计算都是由有限元分析软件自动完成的，一般不需要人工干预。因此从应用角度来看， 上述过程可划分为三个阶段 —— 前处理、求解和后处理。
精度和规模是一对矛盾的因素，建模时应根据具体的分析要求和分析条件权衡考虑。保 证精度是必须的，通过减小规模来降低精度将使分析失去意义。在保证精度的前提下，减小 模型规模是必要的，它可在有限的条件下使有限元计算更好、更快地完成。
最大变形
一、保证精度原则 有限元法是一种数值计算方法，它的解是实际问题的一个近似解。如果近似解与真实解 的误差控制在一定范围内，这在工程上是允许的，也具有实际应用价值。但如果误差太大， 有限元解就会失去意义，有时还会带来严重后果。因此，无论什么问题的有限元分析，保证 结果精度是必须的。 如第8章所述，当单元位移函数满足连续性条件时，有限元解是收敛的。即随着单元数 量增加，有限元解逐渐逼近精确解。图9-4是一悬臂梁自由端的位移随单元数量增加时的收 敛情况。由于连续体离散后刚度会有所增加，受力后变形相对实际变形要小，因此有限元解 从精确解的下方收敛。
三、后处理 求解完成后所做的工作称为后处理（Post-processing），其任务是对计算结果进行必要 的处理，并按一定方式显示出来，以便对分析对象的性能进行分析和评估，以做出相应的改 进或优化，这是进行有限元分析的目的所在。 因此，整个有限元分析过程也可以用图9-2表示。
实际问题或设计方案
前处理（建模） 有限元模型
最大变形
真实解 二次单元
一次单元
单元数量 图 9-5 二次单元和线性单元的收敛情况
除了单元数量和单元阶次外，单元形状对计算结果精度也有影响。一般情况下，单元形 状为正多边形（等边三角形或正方形）和正多面体时最理想，单元形状偏离正多边形（正多 面体）越多，产生的计算误差越大，因此在划分网格时应尽量划分比较规则的网格形状，特 别是在应力精度要求很高的区域更应注意网格形状。
2. 组成单元的节点编号 指出单元由哪些节点组成，这组节点的坐标值决定了单元的网格形状。
3. 单元材料特性（material properties） 该类数据定义分析对象的各种材料特性，如弹性模量、泊松比、热膨胀系数、传热系数 和密度等，在形成单元特性矩阵时将用到这类数据。
4. 单元物理特性值（physical properties） 该类数据定义单元本身的物理特性和辅助几何参数，如弹簧单元的刚度系数、间隙单元 的间距、集中质量单元的质量、平面单元厚度等。
有限元分析是一个非常复杂的过程，计算结果的精度与很多因素有关，且一些因素对精 度的影响有较大的偶然性，所以对结果精度做出定量估计非常困难。由于一般结构均不能求 出其解析解，所以实际应用中通常用实物或相似结构的测试来验证计算结果。
二、控制规模原则 模型规模是指模型的大小，直观上可用节点数和单元数来衡量。一般来讲，节点和单元 数越多，模型规模越大。在数值计算中，主要采用带宽法和波前法求解刚度方程[K]{q}={R}， 运算次数和存储空间不仅与方程阶数有关，而且也与节点和单元的编号顺序有直接关系。从 这个意义上讲，模型规模还受节点和单元编号的影响。 在估计模型规模时，除了考虑节点的多少外，还应考虑节点的自由度数。因为总刚矩阵 的阶次等于节点数与其自由度数的乘积，即结构的总自由度数。例如在热分析中，每个节点 仅有一个温度自由度，模型节点数量增加一倍时，总刚矩阵的阶次也仅增加一倍。而壳单元 节点自由度达到6个，这时节点数量增加一倍，总刚矩阵的阶次将增加6倍。在节点数量相同 时，后者的模型规模要远远大于前者。 模型规模主要影响以下因素： 1. 计算时间 据统计，计算机求解线性方程组的近似运算次数正比于N3（N为总刚矩阵的阶次），采
在第8章假设的单元位移函数是一种线性函数，如果位移函数假设为二次函数（相应的 单元称为二次单元），则位移函数逼近真实位移的精度会提高。图9-5所示为线性单元和二次 单元的收敛情况。可以看出，二次单元的收敛曲线始终位于线性单元上方，说明在同样单元 数量的前提下，二次单元的计算精度高于线性单元。但单元数量增加到一定程度后，两者计 算精度的差异会越来越小。
3. 热边界条件数据 定义模型中节点温度、热流、对流换热和辐射换热的位置、大小和作用规律等。
4. 其它边界条件数据 定义模型中的主从自由度、连接自由度或运动自由度等其它用于分析的边界条件。 图9-3列出了有限元模型包含的各种数据类型。
有限元模型
节点数据
节 坐 坐 位节
标移
点
参 参点
标 考考
编
系 系数
一、前处理 在分析软件进行计算之前完成的工作称为前处理（Pre-processing）。前处理的任务就是 建立有限元模型（Finite Element Model），故又称建模（modeling）。它是将分析问题抽象 为能为数值计算提供所有输入数据的计算模型，该模型定量反映了分析对象的几何、材料、 载荷、约束等各个方面的特性。建模的中心任务是离散，但围绕离散还需要完成很多与之相 关的工作，如结构形式处理、几何模型建立、单元类型和数量选择、单元特性定义、单元质 量检查等。
是哪一个坐标系。
4. 位移参考系代码（node displacement reference system code ） 位移参考系是指节点位移自由度所参考的坐标系，它可以不同于坐标参考系。在不同的 位移参考系中，节点的位移分量所表示的方向是不同的，因此应指明节点位移是参考的哪个 坐标系。
5. 节点数量（node number） 模型中的节点数量决定了模型的规模，可根据节点总数来衡量模型的大小，以便确定合 理的建模策略。
二、求解 求解（solving）的任务是基于有限元模型完成有关的数值计算，并输出需要的计算结果。 其主要工作包括单元和总体矩阵的形成、边界条件的处理和特性方程的求解，即图9-1中从
单元分析到计算出需要的物理量等步骤。由于求解的运算量非常大，所以这部分工作由计算 机自动批处理完成。除计算前需要对计算方法、计算内容、计算参数和工况条件等进行必要 的设置和选择外，一般不需要人的干预。