人教版九年级数学上课件：22.2二次函数与一元二次方程
［解析］ 因为二次函数 y＝－x2＋2x－3 的函数值为－8 时，所对应的点的横坐标即为方程－x2＋2x－3＝－8 的解， 故可通过作出函数图象来估算方程的近似根.
灿若寒星
22.2 二次函数与一元二次方程
解： 作出函数 y＝－x2＋2x－3 的图象，如图 22－2－3 所 示.
图 22－2－3
根据图象知方程－x2＋2x－3＝－8 的根是抛物线 y＝－x2
＝22－4（k－3）×1≥0，∴k≤4，即 k≤4 且 k≠3.综上所述
k≤4.故选 B.
灿若寒星
22.2 二次函数与一元二次方程
［归纳总结］抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交点的个数可通 过一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 根的个数（或利用 b2－4ac 与 0 的大小关系）来判断.
一元二次方程 ax2＋bx＋c ＝0
灿若寒星
22.2 二次函数与一元二次方程
► 知识点二 抛物线与x轴的交点个数同一元二次方程根 的情况之间的关系
抛物线 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与 x 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0
轴的位置关系
（a≠0）根的情况
有两个公共点
有两个不相等的实数根
只有一个公共点
有两个相等的实数根
无公共点
无实数根
…
y －7.29 －7.76 －8.25 …
∴x＝－1.4 和 x＝3.4 为此方程的两个近似根，
即 x1≈－1.4，x2≈3.4.
灿若寒星
22.2 二次函数与一元二次方程
［归纳总结］ 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝m 的根实际上 是抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与直线 y＝m 的交点的横坐标.
［注意］ 抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交点的横坐标即为方程 ax2＋bx＋c＝0 的根.
灿若寒星
22.2 二次函数与一元二次方程
重难互动探究
探究问题一 利用二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象求一 元二次方程 ax2＋bx＋c＝m 的根
例 1 ［教材例题变式题］ 利用函数 y＝－x2＋2x－3 的 图象，求方程－x2＋2x－3＝－8 的近似解.
有两个不相等的实数根（b2 －4ac>0）
有两个相等的实数根（b2－ 4ac＝0）
没有实数根（b2－4ac<0）
抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴有两个交点 与 x 轴有一个交点 与 x 轴没有交点
灿若寒星
的关系，即函数 y＝－x2＋2x＋3 中，y 为某一确定值 m（如 4，
3，0）时，相应的 x 值是方程－x2＋2x＋3＝m（m＝4，3，0）
的根.
灿若寒星
22.2 二次函数与一元二次方程
探究问题二 抛物线与x轴的交点情况和一元二次方程根的关系 例 2 已知函数 y＝（k－3）x2＋2x＋1 的图象与 x 轴有
＋2x－3 与直线 y＝－8 的交点的横坐标.左交点的横坐标在－1.2
与－1.8 之间，右交点的横坐标在 3.2 与 3.8 之间.利用计算器探
索，填写下表.
灿若寒星
22.2 二次函数与一元二次方程
x －1.3 －1.4 －1.5 … y －7.29 －7.76 －8.25 …
x 3.3
3.4
3.5
用图象法求一元二次方程的近似根的步骤： （1）画出函数的图象，并由图象确定方程根的个数； （2）由图象交点位置确定交点横坐标的范围； （3）估计方程的近似根.
灿若寒星
22.2 二次函数与一元二次方程
［备选例题］ 如图22－2－4所示，你能直观看出哪些方程的根？
图22－2－4 ［解析］ 利用二次函数与一元二次方程之间的关系进行判断.
初中数学课件
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数学
新课标（RJ） 九年级上册
灿若寒星
22.2 二次函数与一元二次方程
灿理
► 知识点一 二次函数与一元二次方程的关系 如果抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴有公共点，公共点的横
坐标是 x0，那么当 x＝x0 时，函数值是 0，因此 x＝x0 就是方 程 ax2＋bx＋c＝0 的一个根.
灿若寒星
22.2 二次函数与一元二次方程
解： 根据图 22－2－4 所示的图象知： 方程－x2＋2x＋3＝4 的根为 x1＝x2＝1； 方程－x2＋2x＋3＝3 的两根为 x1＝0，x2＝2； 方程－x2＋2x＋3＝0 的两根为 x1＝－1，x2＝3.
［点评］ 此题充分展示了二次函数与一元二次方程之间
交点，则 k 的取值范围是（ B ）
A.k＜4
B.k≤4
C.k＜4 且 k≠3 D.k≤4 且 k≠3
［解析］ 函数 y＝（k－3）x2＋2x＋1 的图象与 x 轴有
交点，说明方程（k－3）x2＋2x＋1＝0 有实根，当 k－3＝0
时，该方程是一元一次方程，有实根 x＝－12；当 k－3≠0 时，
（k－3）x2＋2x＋1＝0 是一元二次方程，有实根的条件是 Δ
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22.2 二次函数与一元二次方程
解： 作出函数 y＝－x2＋2x－3 的图象，如图 22－2－3 所 示.
图 22－2－3
根据图象知方程－x2＋2x－3＝－8 的根是抛物线 y＝－x2
＝22－4（k－3）×1≥0，∴k≤4，即 k≤4 且 k≠3.综上所述
k≤4.故选 B.
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22.2 二次函数与一元二次方程
［归纳总结］抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交点的个数可通 过一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 根的个数（或利用 b2－4ac 与 0 的大小关系）来判断.
一元二次方程 ax2＋bx＋c ＝0
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22.2 二次函数与一元二次方程
► 知识点二 抛物线与x轴的交点个数同一元二次方程根 的情况之间的关系
抛物线 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与 x 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0
轴的位置关系
（a≠0）根的情况
有两个公共点
有两个不相等的实数根
只有一个公共点
有两个相等的实数根
无公共点
无实数根
…
y －7.29 －7.76 －8.25 …
∴x＝－1.4 和 x＝3.4 为此方程的两个近似根，
即 x1≈－1.4，x2≈3.4.
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22.2 二次函数与一元二次方程
［归纳总结］ 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝m 的根实际上 是抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与直线 y＝m 的交点的横坐标.
［注意］ 抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交点的横坐标即为方程 ax2＋bx＋c＝0 的根.
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22.2 二次函数与一元二次方程
重难互动探究
探究问题一 利用二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象求一 元二次方程 ax2＋bx＋c＝m 的根
例 1 ［教材例题变式题］ 利用函数 y＝－x2＋2x－3 的 图象，求方程－x2＋2x－3＝－8 的近似解.
有两个不相等的实数根（b2 －4ac>0）
有两个相等的实数根（b2－ 4ac＝0）
没有实数根（b2－4ac<0）
抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴有两个交点 与 x 轴有一个交点 与 x 轴没有交点
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的关系，即函数 y＝－x2＋2x＋3 中，y 为某一确定值 m（如 4，
3，0）时，相应的 x 值是方程－x2＋2x＋3＝m（m＝4，3，0）
的根.
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22.2 二次函数与一元二次方程
探究问题二 抛物线与x轴的交点情况和一元二次方程根的关系 例 2 已知函数 y＝（k－3）x2＋2x＋1 的图象与 x 轴有
＋2x－3 与直线 y＝－8 的交点的横坐标.左交点的横坐标在－1.2
与－1.8 之间，右交点的横坐标在 3.2 与 3.8 之间.利用计算器探
索，填写下表.
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22.2 二次函数与一元二次方程
x －1.3 －1.4 －1.5 … y －7.29 －7.76 －8.25 …
x 3.3
3.4
3.5
用图象法求一元二次方程的近似根的步骤： （1）画出函数的图象，并由图象确定方程根的个数； （2）由图象交点位置确定交点横坐标的范围； （3）估计方程的近似根.
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22.2 二次函数与一元二次方程
［备选例题］ 如图22－2－4所示，你能直观看出哪些方程的根？
图22－2－4 ［解析］ 利用二次函数与一元二次方程之间的关系进行判断.
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22.2 二次函数与一元二次方程
灿理
► 知识点一 二次函数与一元二次方程的关系 如果抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴有公共点，公共点的横
坐标是 x0，那么当 x＝x0 时，函数值是 0，因此 x＝x0 就是方 程 ax2＋bx＋c＝0 的一个根.
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22.2 二次函数与一元二次方程
解： 根据图 22－2－4 所示的图象知： 方程－x2＋2x＋3＝4 的根为 x1＝x2＝1； 方程－x2＋2x＋3＝3 的两根为 x1＝0，x2＝2； 方程－x2＋2x＋3＝0 的两根为 x1＝－1，x2＝3.
［点评］ 此题充分展示了二次函数与一元二次方程之间
交点，则 k 的取值范围是（ B ）
A.k＜4
B.k≤4
C.k＜4 且 k≠3 D.k≤4 且 k≠3
［解析］ 函数 y＝（k－3）x2＋2x＋1 的图象与 x 轴有
交点，说明方程（k－3）x2＋2x＋1＝0 有实根，当 k－3＝0
时，该方程是一元一次方程，有实根 x＝－12；当 k－3≠0 时，
（k－3）x2＋2x＋1＝0 是一元二次方程，有实根的条件是 Δ
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人教版九年级上册数学课件：二次函数与一元二次方程
x
人教版九年级上册数学课件：二次函 数与一 元二次 方程
人教版九年级上册数学课件：二次函 数与一 元二次 方程
归纳:
当二次函y数 a x2 bxc,当给定y的值时,则二次函数
可转化为一元二次. 方程
如:二次函数 y x24x的值为 3,求自变量 x的值, 可以解一元二次方x程 2 4x 3(即x2 4x30). 反过来,解方程x2 4x30又可以看作已知二次 函数y x24x3的值为 0,球自变量 x的值.
如果h=20，那50-20t2= 20 ，
如果h=0，那50-20t2= 0 。 如果要想求t的值，那么我们可以求 方程
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的解。
人教版九年级上册数学课件：二次函 数与一 元二次 方程
问题:王明手里抛出的篮球的飞行路线是一条抛物线,如果
不考虑空气阻力,球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t
人教版九年级上册数学课件：二次函 数与一 元二次 方程
呢？
∴当球飞行2s时，它的高度为4m。 （3）解方程4.1=4t-t2 即： t2-4t+4.1=0
因为(-4)2-4×4.1＜0，所以方程无解，
从上面我们看出， 对于二次函数 高为个度什时为么间3在球mh其 二两的=？实 次4就 方（t –是程4t）∴2把的t中球1解=函解的，0方,t飞数。程已2=行0值4知=高4hht换度-的t2达成值不常，即到数：求4.，1t时2m-求4间。t=一t0，元
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拓展升华
二次函数 yax2 bxc(a0)的图像如图，
根据图像解答下列问题：
（1）写出方程 ax2bxc0的两个根；
二次函数与一元二次方程之间的关系PPT课件
人教版 九年级上
第22章 二次函数
22.2 二次函数与一元二次方程 第1课时 二次函数与一元二次方程之
间的关系
提示：点击 进入习题
1
ax2＋bx＋c＝0；y＝0； 横
6
B
2A
7C
3C
8C
4A
9C
5 没有；有一个；有两个 10 见习题
答案显示
11 见习题 12 见习题 13 见习题
答案显示
1．求二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点横坐标， 就是求一元二次方程_a_x_2_＋__b_x_＋__c_＝__0___的两个根；一元
1．家庭电路是最常见、最基本的实用电路，它由两根 _进__户__线___、_电__能__表___、_总__开__关___、_保__险__装__置_、用电器 和导线等组成。家庭电路中的各用电器之间是 ___并___联的；控制用电器的开关与用电器____串____联 ，接在____火____线和用电器之间。
∴方程 2ax2＋3x＋1＝0 有实数解． ∴Δ＝9－8a≥0，解得 a≤98. 又∵a≠0，∴a≤98且 a≠0.
(2)当a＝－1，二次函数y＝ax2＋2x－1的自变量x满足 m≤x≤m＋2时，函数y的最大值为－4，求m的值；
解：根据题意可得抛物线C：y＝－x2＋2x－1， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1. ∵a＜0，∴抛物线开口向下． 当y＝－4时，有－x2＋2x－1＝－4，解得x＝－1或x＝3. ①在直线x＝1左侧，y随x的增大而增大， ∴x＝m＋2＝－1时，y有最大值－4，则m＝－3；
(2)对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当x___≥__－__1___时，y 的值随x值的增大而增大；
(3)若关于x的方程ax2＋bx＋c＝k(a≠0)有两个不相等的实数 根，求k的取值范围．
第22章 二次函数
22.2 二次函数与一元二次方程 第1课时 二次函数与一元二次方程之
间的关系
提示：点击 进入习题
1
ax2＋bx＋c＝0；y＝0； 横
6
B
2A
7C
3C
8C
4A
9C
5 没有；有一个；有两个 10 见习题
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11 见习题 12 见习题 13 见习题
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1．求二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点横坐标， 就是求一元二次方程_a_x_2_＋__b_x_＋__c_＝__0___的两个根；一元
1．家庭电路是最常见、最基本的实用电路，它由两根 _进__户__线___、_电__能__表___、_总__开__关___、_保__险__装__置_、用电器 和导线等组成。家庭电路中的各用电器之间是 ___并___联的；控制用电器的开关与用电器____串____联 ，接在____火____线和用电器之间。
∴方程 2ax2＋3x＋1＝0 有实数解． ∴Δ＝9－8a≥0，解得 a≤98. 又∵a≠0，∴a≤98且 a≠0.
(2)当a＝－1，二次函数y＝ax2＋2x－1的自变量x满足 m≤x≤m＋2时，函数y的最大值为－4，求m的值；
解：根据题意可得抛物线C：y＝－x2＋2x－1， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1. ∵a＜0，∴抛物线开口向下． 当y＝－4时，有－x2＋2x－1＝－4，解得x＝－1或x＝3. ①在直线x＝1左侧，y随x的增大而增大， ∴x＝m＋2＝－1时，y有最大值－4，则m＝－3；
(2)对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当x___≥__－__1___时，y 的值随x值的增大而增大；
(3)若关于x的方程ax2＋bx＋c＝k(a≠0)有两个不相等的实数 根，求k的取值范围．
九年级上《22.2二次函数与一元二次方程》课件
2．自主探究：
问题1
以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30°角的 方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线． 如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 h （单位 ：m ）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关 系 h = 20t - 5t 2． （2）小球的飞行高度能否达到 20 m？ 如能，需 要多少飞行时间？
归纳 一般地，从二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象可知： （1）如果抛物线 y = ax 2 + bx + c 与 x 轴有公共点， 公共点的横坐标是 x0，那么当 x = x0 时，函数值是 0， 因此 x = x0 是方程 ax 2 + bx + c = 0 的一个根． （2）二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与 x 轴的位置 关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共 点． 这对应着一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 的根的三种 情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等 的实数根．
y=ax2+bx+c的图 象和x轴交点
方程ax2+bx+c=0 的根
b2-4ac
函数的图象
y . o y o y o . x
有两个交点
方程有两个不相等 b2-4ac 的实数根
> 0
只有一个交点 方程有两个相等 b2-4ac = 0
的实数根
x
没有交点
方程没有实数根
b2-4ac
< 0
x
2．小组合作，类比探究
1．复习知识，回顾方法
问题1:一次函数y=kx+b与一次方程 kx+b=0之间有什么关系？
人教版初中数学九年级上册精品教学课件 第22章 二次函数 22.2 二次函数与一元二次方程
2
3
4
5
6
7
7.利用二次函数的图象求方程1
1 2
x +x+2=0的近似解(精确到0.1).
2
解: 函数 y=-2x2+x+2 的图象如图.
1 2
设-2x +x+2=0
的两根分别为 x1,x2,且 x1<x2,观察图象可知
-2<x1<-1,3<x2<4.
1
因为当 x=-1 时,y=-2×(-1)2-1+2=0.5>0,
的交点个数是3.故选A.
A
解析
关闭
答案
快乐预习感知
1
2
3
4
5
6
7
3.已知二次函数y=x2-2ax+a2-2a-4(a为常数)的图象与x轴有交点,且
当x>3时,y随x的增大而增大,则a的取值范围是(
)
A.a≥-2
B.a<3
C.-2≤a<3
D.-2≤a≤3
关闭
D
答案
快乐预习感知
1
2
3
4
5
6
7
4.(2023·浙江宁波中考)已知二次函数y=ax2-(3a+1)x+3(a≠0),下列说
1
时,y=-2×(-1.5)2-1.5+2=-0.625<0,
当 x=-1.5
所以-1.5<x1<-1.
因为当 x=3
1 2
时,y=-2×3 +3+2=0.5>0,当
1
时,y=- ×3.52+3.5+2=-0.625<0,
人教版数学九年级上册2二次函数与一元二次方程课件
A. 无交点
B. 只有一个交点
C. 有两个交点
D. 不能确定
4. 如果关于x的一元二次方程 x2－2x+m=0有两个相等的实数根， 则m=＿＿＿，此时抛物线 y=x2－2x+m与x轴有＿＿个交点.
5. 已知抛物线 y=x2 – 8x + c的顶点在 x轴上，则 c =＿＿.
6. 若抛物线 y=x2 + bx+ c 的c =0
22.2 二次函数与一元二次 方程
复习
二次函数：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，它的开口由 什么决定呢？ 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质： (1)顶点坐标与对称轴； (2)位置与开口方向； (3)增减性与最值．
活动
二次函数y＝x2＋2x，y＝x2－2x＋1，y＝x2－2x＋2的图象如图所示． (1)每个图象与x轴有几个交点？ (2)一元二次方程x2＋2x＝0，x2－2x＋1＝0有几个根？验证一下一元二次方程 x2－2x＋2＝0有根吗？
D. 0
2. 抛物线y＝4x2－4x－1与x轴的交点的个数是
.
3. 已知抛物线y＝(a＋2)x2＋2x＋1与x轴没有交点，则a的取值范围
是
.
利用二次函数的图象求一元二次方程的近 似根
根据二次函数与一元二次方程的关系，可得函数图象与x轴的交点 的横坐标就是相应的方程的解.
例题
如图22－2－2是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，且过点 A(3,0)，二次函数图象的对称轴是直线x＝1，则图象与x轴的另一个 交点坐标是
的根的情况是＿＿＿＿＿.
7. 已知抛物线y＝x2－ m x＋m－１. (1)若抛物线经过坐标系原点，则m______ (2)若抛物线与y轴交于正半轴，则m____ (3)若抛物线的对称轴为y轴，则m______ (4)若抛物线与x轴只有一个交点，则m_______.
人教版数学九年级上册22.2 二次函数和一元二次方程课件(共55张PPT)
当已知二次函数 y 值，求自变量 x值时，可以看作是解对应的一 元二次方程.相反地，由解一元二次方程，又可看作是二次函数值 为0时，求自变量x的值
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
新人教版九年级数学上册《二次函数与一元二次方程》(第2课时)课件
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……第2源自图3．(2014·白银)二次函数y＝x2＋bx＋c中，若b＋c＝0，则它的图象
一定过点( D )
A．(1，－1)
B．(－1，1)
C．(－1，－1)
D．(1，1)
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，若M＝a＋b－c，
N ＝ 4a － 2b ＋ c ， P ＝ 2a － b ， 则 M ， N ， P 中 ， 值 小 于 0 的 数 有
14．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，D两点，与y轴交于点
C，抛物线的顶点B在第一象限，若点A的坐标为(1，0)．试分别判断
a，b，c，b2－4ac，2a＋b，2a－b，a＋b＋c，a－b－c的符号．
解：a＜0，b＞0，c＞0，b2－4ac＞0；由对称 轴的位置可知：－2ba＜1，可得－b＞2a， ∴2a＋b＜0；2a－b＜0；a＋b＋c＝0，a－b－c＜0
16．如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)，
B(3，2)．
(1)求m的值和抛物线的解析式；
(2)求不等式x2＋bx＋c＞x＋m的解集；(直接写出答案)
(3)若M(a，y1)，N(a＋1，y2)两点都在抛物线y＝x2＋bx＋c上，试比 较y1与y2的大小．
解：(1)∵直线y＝x＋m经过点A(1，0)，∴0＝1
8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中
正确的是(
)D
A．ac＞0
B．当x＞1时，y随x的增大而减小
C．b－2a＝0
D．x＝3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根
9．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，其对称轴为x＝1.
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我们，还在路上……第2源自图3．(2014·白银)二次函数y＝x2＋bx＋c中，若b＋c＝0，则它的图象
一定过点( D )
A．(1，－1)
B．(－1，1)
C．(－1，－1)
D．(1，1)
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，若M＝a＋b－c，
N ＝ 4a － 2b ＋ c ， P ＝ 2a － b ， 则 M ， N ， P 中 ， 值 小 于 0 的 数 有
14．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，D两点，与y轴交于点
C，抛物线的顶点B在第一象限，若点A的坐标为(1，0)．试分别判断
a，b，c，b2－4ac，2a＋b，2a－b，a＋b＋c，a－b－c的符号．
解：a＜0，b＞0，c＞0，b2－4ac＞0；由对称 轴的位置可知：－2ba＜1，可得－b＞2a， ∴2a＋b＜0；2a－b＜0；a＋b＋c＝0，a－b－c＜0
16．如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)，
B(3，2)．
(1)求m的值和抛物线的解析式；
(2)求不等式x2＋bx＋c＞x＋m的解集；(直接写出答案)
(3)若M(a，y1)，N(a＋1，y2)两点都在抛物线y＝x2＋bx＋c上，试比 较y1与y2的大小．
解：(1)∵直线y＝x＋m经过点A(1，0)，∴0＝1
8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中
正确的是(
)D
A．ac＞0
B．当x＞1时，y随x的增大而减小
C．b－2a＝0
D．x＝3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根
9．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，其对称轴为x＝1.
人教版九年级数学上册课件：22.2二次函数与一元二次方程 (共12张PPT)
（2）若该抛物线的对称轴为直线x=5/2. ①求该抛物线的函数解析式；
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的 抛物线与x轴只有一个公共点.
能力提升
挑战中考
12.（2016·江苏省宿迁）若二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象
经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c=0的解为（ C ）
与y轴的交点坐标是_（__0_，__3_）____.
8.若二次函数y=mx2-2x+1的图像与x轴只有一个交点，则 m=____1_____.
9.画出抛物线y=x2-3x-4的图像，根据图像回答： （1）方程x2-3x-4=0的解是什么？ （2）不等式x2-3x-4>0的解是什么？ （3）不等式x2-3x-4<0的解是什么？
的对称轴是直线___X_=_-_1___.
类比精练
1.二次函数
的图象与x轴有两个交点，其中
一个交点坐标为（-1，0）则一元二次方程
的
解为__X__1_=_-1_，__X_2_=_3___.
课堂精讲
知识点2.运用一元二次方程根的判别式处理二次函数图
象与"轴的交点问题
例2．若二次函数
的图象与x轴有交点，则k
6.如果关于x的二次函数y=x2﹣2x+k与x轴只有1个交点， 则k= 1 ．
7.若抛物线
则
= 10 ．
经过点(－1，10)，
课前小测
8.二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，则函数值y<0时 x的取值范围是 - 1＜x元二次方程的关系
例1．方程
的两根为-3和1，那么抛物线
能力提升
10．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，则下列说法： ① a>0；②2a+b=0； ③a+b+c=0； ④当-1<x<3时，y>0. 其中正确的个数为（ B ）
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的 抛物线与x轴只有一个公共点.
能力提升
挑战中考
12.（2016·江苏省宿迁）若二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象
经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c=0的解为（ C ）
与y轴的交点坐标是_（__0_，__3_）____.
8.若二次函数y=mx2-2x+1的图像与x轴只有一个交点，则 m=____1_____.
9.画出抛物线y=x2-3x-4的图像，根据图像回答： （1）方程x2-3x-4=0的解是什么？ （2）不等式x2-3x-4>0的解是什么？ （3）不等式x2-3x-4<0的解是什么？
的对称轴是直线___X_=_-_1___.
类比精练
1.二次函数
的图象与x轴有两个交点，其中
一个交点坐标为（-1，0）则一元二次方程
的
解为__X__1_=_-1_，__X_2_=_3___.
课堂精讲
知识点2.运用一元二次方程根的判别式处理二次函数图
象与"轴的交点问题
例2．若二次函数
的图象与x轴有交点，则k
6.如果关于x的二次函数y=x2﹣2x+k与x轴只有1个交点， 则k= 1 ．
7.若抛物线
则
= 10 ．
经过点(－1，10)，
课前小测
8.二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，则函数值y<0时 x的取值范围是 - 1＜x元二次方程的关系
例1．方程
的两根为-3和1，那么抛物线
能力提升
10．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，则下列说法： ① a>0；②2a+b=0； ③a+b+c=0； ④当-1<x<3时，y>0. 其中正确的个数为（ B ）
人教版九年级上册数学课件22.2 二次函数与一元二次方程
观察思考
图象如下图所示：
归纳总结
(1) 抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点，它们
的横坐标是-2,1. 当 x取公共点的横坐标时，函
数的值是0. 由此得出方程x2+x-2=0的根是-2,1.
归纳总结
(2)抛物线y=x2-6x+9与x轴只有一个公共点， 它的横坐标是3.当 x=3时，函数的值是0.由此 得出方程x2-6x+9=0有两个相等的实数根3.
所以可以将问题中h的值代入函数解析 式，得到关于 t 的一元二次方程.如果方程 有合乎实际的解，则说明小球的飞行高度 可以达到问题中h的值；否则，说明小球的 飞行高度不能达到问题中h的值.
问题探究
解：（1）解方程
15=20t-5t2 ， t2-4t+3=0， t1=1,t2=3. 当小球飞行1 s和3 s时，它的高度为15 m.
2
归纳总结 （2）二次函数的图象与x轴的位置关系有 三种： （1）有两个交点 （2）有一个交点 （3）没有交点
b2 – 4ac > 0
（方程有两个不相等的实数根）
b2 – 4ac= 0
b2 – 4ac< 0 （方程没有实数根）
（方程有两个相等的实数根）
典型例题
例 利 用 函 数 图 象 求 方 程 x2-2x-2=0 的 实数根（精确到0.1）.
解：画 x2-2x-2=0的图象（如图所示，它与x轴
的公共点的横坐标大约是-0.7,2.7）.
所以方程 x2-2x-2=0 的实数根为
x 1 0 .7 , x 2 2 .7 .
探究
观察函数 y= x2-2x-2 的图象可以发现，当 自变量为2时的函数值小于0，当自变量为3时的 函数值大于0，所以抛物线 y= x2-2x-2 在2<x<3
人教版九年级数学上册第22章 二次函数2 二次函数与一元二次方程
以40 m/s的速度将球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行
路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h
（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系： =
− .考虑以下问题：
球的飞行高度能否达到15 m？如果能，需要多少飞行时间？
说一说为什么会有两个时间点，球的飞行高度是15m？
D. x₁=-1, x₂=
例5:如图，抛物线y=ax²+bx+c 经过点A(0,3),B(2,3),C(-1,0), 直线 y=mx+n
经过点 B,C.
(1)该抛物线的对称轴为直线 ___________.
x=1
x₁=-1,x2=3
(2)关于x的一元二次方程αx²+bx+c=0 的解为 ___________.
22.2 二次函数与一元二次方程
1.通过类比的方法理解一元二次方程 2 + + = ( ≠ 0)
根的情况与抛物线 = 2 + + 和直线 = 交点的情
况之间的关系，提高学生分析问题、解决问题的能力.
2.通过对“小球飞行”问题的探究，使学生理解二次函数与一
（3）观察图象求得方程的解（由于作图或观察存在误差，故由
图象求得的解一般是近似的）
教师讲评
知识点3．二次函数与不等式（难点）
1.函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不
等式，解不等式求得自变量x的取值范围。
2.利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取
值范围，可作图利用交点直观求解，也可以利用两个函数解析式
自主探究
2.画出函数ℎ = 20 − 52的图象，思考：
路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h
（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系： =
− .考虑以下问题：
球的飞行高度能否达到15 m？如果能，需要多少飞行时间？
说一说为什么会有两个时间点，球的飞行高度是15m？
D. x₁=-1, x₂=
例5:如图，抛物线y=ax²+bx+c 经过点A(0,3),B(2,3),C(-1,0), 直线 y=mx+n
经过点 B,C.
(1)该抛物线的对称轴为直线 ___________.
x=1
x₁=-1,x2=3
(2)关于x的一元二次方程αx²+bx+c=0 的解为 ___________.
22.2 二次函数与一元二次方程
1.通过类比的方法理解一元二次方程 2 + + = ( ≠ 0)
根的情况与抛物线 = 2 + + 和直线 = 交点的情
况之间的关系，提高学生分析问题、解决问题的能力.
2.通过对“小球飞行”问题的探究，使学生理解二次函数与一
（3）观察图象求得方程的解（由于作图或观察存在误差，故由
图象求得的解一般是近似的）
教师讲评
知识点3．二次函数与不等式（难点）
1.函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不
等式，解不等式求得自变量x的取值范围。
2.利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取
值范围，可作图利用交点直观求解，也可以利用两个函数解析式
自主探究
2.画出函数ℎ = 20 − 52的图象，思考：