布拉格方程 ppt课件
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X射线的衍射原理ppt课件
另外，从上述三式还能看出，衍射线束 的方向与原子在晶胞中的位置和原子种 类无关，只有通过衍射线束强度的研究， 才能解决这类问题。
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23
3.1.3 布拉格方程的讨论
7）衍射的限制条件
由布拉格公式2dsinθ=nλ可知，sinθ=nλ/2d，因
| sin | ≤1 ，故n / 2d = | sin | ≤1 。
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6
1） X射线衍射的几何条件
X射线衍射花样有两方面信息：
衍射方向－－晶胞形状，尺寸
衍射强度－－原子种类，原子位置
衍射几何——衍射线在空间的分布规律， 是由晶胞的大小、形状决定的。
衍射强度——取决于原子的种类及原子 在晶胞中的位置。
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7
1） X射线衍射的几何条件
为了通过衍射现象来分析晶体内部结构的 各种问题，必须在衍射现象与晶体结构之 间建立起定性和定量的关系，这是x射线衍 射理论要解决的中心问题。
衍射线束的方向可以用布拉格定律来描述
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8
1） X射线衍射的几何条件
（a）一个晶面的反射；
（b）相邻晶面的反射
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9
光学反射定律与晶面反射
3.1.7 常见的衍射方程
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3
3.1.1 劳埃方程
一维点阵的情况：
a (cos - cos 0) = h
a 是点阵列重复周期， 0为入射线与点阵列所成的角度；
为衍射方向与点阵列所成的精角选版课度件pp，t h为任意整数
4
3.1.1 劳埃方程
对于三维情形，就可以得到晶体光栅的衍射条件： a (cos - cos 0) = h b (cos - cos 0) = k c (cos - cos 0) = l
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3.1.3 布拉格方程的讨论
7）衍射的限制条件
由布拉格公式2dsinθ=nλ可知，sinθ=nλ/2d，因
| sin | ≤1 ，故n / 2d = | sin | ≤1 。
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1） X射线衍射的几何条件
X射线衍射花样有两方面信息：
衍射方向－－晶胞形状，尺寸
衍射强度－－原子种类，原子位置
衍射几何——衍射线在空间的分布规律， 是由晶胞的大小、形状决定的。
衍射强度——取决于原子的种类及原子 在晶胞中的位置。
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7
1） X射线衍射的几何条件
为了通过衍射现象来分析晶体内部结构的 各种问题，必须在衍射现象与晶体结构之 间建立起定性和定量的关系，这是x射线衍 射理论要解决的中心问题。
衍射线束的方向可以用布拉格定律来描述
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8
1） X射线衍射的几何条件
（a）一个晶面的反射；
（b）相邻晶面的反射
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9
光学反射定律与晶面反射
3.1.7 常见的衍射方程
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3.1.1 劳埃方程
一维点阵的情况：
a (cos - cos 0) = h
a 是点阵列重复周期， 0为入射线与点阵列所成的角度；
为衍射方向与点阵列所成的精角选版课度件pp，t h为任意整数
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3.1.1 劳埃方程
对于三维情形，就可以得到晶体光栅的衍射条件： a (cos - cos 0) = h b (cos - cos 0) = k c (cos - cos 0) = l
第二章X射线运动学衍射理论PPT课件
衍射花样和晶体 结构的关系
◆选择反射
X射线在晶体中的衍射实质上是晶体中各 原子散射波之间的干涉结果。只是由于衍射线 的方向恰好相当于某原子面对入射线的反射， 所以借用镜面反射规律来描述衍射几何。
但是X射线的原子面反射和可见光的镜面 反射不同。一束可见光以任意角度投射到镜面
上都可以产生反射，而原子面对X射线的反射 并不是任意的，只有当、、d三者之间满足 布拉格方程时才能发生反射，所以把X射线这
第一篇 X射线衍射
第二章 X射线运动学衍射理论
◆布拉格方程 ◆倒易点阵 ◆X射线衍射强度
◆():
反映空间点阵中阵点周期性排列规律的最小
§2.1 布拉格方程
布拉格方程的导出 布拉格方程的讨论 布拉格方程的应用
§2.1.1布拉格方程的导出
■ X射线在单原子面上的镜面反射
■ 晶体中平行原子面对X射线的衍射
布拉格 2d Sin 方程的两种
用途：
1）结构分析：已知波长的特征X
射线，通过测量 角,计算晶面间
距d
2）X射线光谱学：已知晶面间距d
的晶体，通过测量 角,计算未知
X射线的波长
§2.2 倒易点阵
倒易点阵：在晶体点阵的基础上按一定对应
关系建立起来的空间几何图形，是晶体点阵 的另一种表达形式。
■ 定义式 ■ 倒易点阵参数：
gHKLH*a K*b L*c
倒易矢量表示法： gHKLH*a K*b L*c
a* b,c 平面 ，
a* bcbcsin
VV
b* a,c平面
c* a,b 平面
b* cacasin
VV
c* ababsin
VV
cos*cosscin oss in cos
◆选择反射
X射线在晶体中的衍射实质上是晶体中各 原子散射波之间的干涉结果。只是由于衍射线 的方向恰好相当于某原子面对入射线的反射， 所以借用镜面反射规律来描述衍射几何。
但是X射线的原子面反射和可见光的镜面 反射不同。一束可见光以任意角度投射到镜面
上都可以产生反射，而原子面对X射线的反射 并不是任意的，只有当、、d三者之间满足 布拉格方程时才能发生反射，所以把X射线这
第一篇 X射线衍射
第二章 X射线运动学衍射理论
◆布拉格方程 ◆倒易点阵 ◆X射线衍射强度
◆():
反映空间点阵中阵点周期性排列规律的最小
§2.1 布拉格方程
布拉格方程的导出 布拉格方程的讨论 布拉格方程的应用
§2.1.1布拉格方程的导出
■ X射线在单原子面上的镜面反射
■ 晶体中平行原子面对X射线的衍射
布拉格 2d Sin 方程的两种
用途：
1）结构分析：已知波长的特征X
射线，通过测量 角,计算晶面间
距d
2）X射线光谱学：已知晶面间距d
的晶体，通过测量 角,计算未知
X射线的波长
§2.2 倒易点阵
倒易点阵：在晶体点阵的基础上按一定对应
关系建立起来的空间几何图形，是晶体点阵 的另一种表达形式。
■ 定义式 ■ 倒易点阵参数：
gHKLH*a K*b L*c
倒易矢量表示法： gHKLH*a K*b L*c
a* b,c 平面 ，
a* bcbcsin
VV
b* a,c平面
c* a,b 平面
b* cacasin
VV
c* ababsin
VV
cos*cosscin oss in cos
布拉格方程教学
当X射线通过晶体时，会发生衍射现象，形成特定的衍射图案。这种现象揭示了晶体的内部结构信息，对于材料科学、物理学等领域具有重要意义。
布拉格父子的贡献
英国物理学家威廉·布拉格和其子威廉·亨利·布拉格通过对X射线衍射现象的研究，提出了著名的布拉格方程，为晶体学研究奠定了基础。
方程形式与参数解释
方程形式
布拉格方程表示为2dsinθ=nλ，其中d为晶面间距，θ为入射线、反射线与反射晶面之间的夹角，λ为波长，n为反射级数。
实验观测与理论计算结果对比
02
理论计算
根据布拉格方程和晶体结构理论，我们可以计算出晶面间距d和衍射角2θ等理论值。
03
结果对比
将实验观测结果与理论计算结果进行对比，可以验证布拉格方程的正确性和适用性，同时也可以评估实验数据的准确性和可靠性。通过对比实验观测和理论计算结果，我们可以更好地理解晶体结构和X射线衍射现象，并为后续的材料科学研究和应用提供有力支持。
实验观测
在实验中，我们可以通过X射线衍射仪观测到晶体的衍射图谱，从而得到晶面间距d和衍射角2θ等实验数据。
01
第三部分
波长λ与反射级数n影响因素分析
X射线波长λ选择依据及影响因素
影响因素
X射线波长λ受到多种因素的影响，包括X射线管的电压和电流、阳极材料的种类以及过滤片的使用等。这些因素的变化都会导致X射线波长的改变，从而影响布拉格方程的满足条件和衍射结果。
参数解释
d代表晶面间距，即相邻两个晶面之间的距离；θ代表入射线与反射晶面之间的夹角；λ代表X射线的波长；n代表反射级数，是一个整数。
适用范围及限制条件
适用范围
布拉格方程适用于X射线在晶体中的衍射现象，可以用来计算晶面间距、确定晶体结构等。
布拉格父子的贡献
英国物理学家威廉·布拉格和其子威廉·亨利·布拉格通过对X射线衍射现象的研究，提出了著名的布拉格方程，为晶体学研究奠定了基础。
方程形式与参数解释
方程形式
布拉格方程表示为2dsinθ=nλ，其中d为晶面间距，θ为入射线、反射线与反射晶面之间的夹角，λ为波长，n为反射级数。
实验观测与理论计算结果对比
02
理论计算
根据布拉格方程和晶体结构理论，我们可以计算出晶面间距d和衍射角2θ等理论值。
03
结果对比
将实验观测结果与理论计算结果进行对比，可以验证布拉格方程的正确性和适用性，同时也可以评估实验数据的准确性和可靠性。通过对比实验观测和理论计算结果，我们可以更好地理解晶体结构和X射线衍射现象，并为后续的材料科学研究和应用提供有力支持。
实验观测
在实验中，我们可以通过X射线衍射仪观测到晶体的衍射图谱，从而得到晶面间距d和衍射角2θ等实验数据。
01
第三部分
波长λ与反射级数n影响因素分析
X射线波长λ选择依据及影响因素
影响因素
X射线波长λ受到多种因素的影响，包括X射线管的电压和电流、阳极材料的种类以及过滤片的使用等。这些因素的变化都会导致X射线波长的改变，从而影响布拉格方程的满足条件和衍射结果。
参数解释
d代表晶面间距，即相邻两个晶面之间的距离；θ代表入射线与反射晶面之间的夹角；λ代表X射线的波长；n代表反射级数，是一个整数。
适用范围及限制条件
适用范围
布拉格方程适用于X射线在晶体中的衍射现象，可以用来计算晶面间距、确定晶体结构等。
固体化学X射线衍射布拉格方程
金属Fe的立方晶胞参数 的立方晶胞参数a=2.860 Å，求 例5: 金属 的立方晶胞参数 ， d110， d200， d211。 当 CuKα1 辐射 （ 辐射（ ， ， 。 λCuKα1 = 1.5406 Å）入射到该晶体时，计算 ）入射到该晶体时， 衍射面110, 200, 211对应的 对应的Bragg角。 衍射面 对应的 角
−1
干涉面 干涉面指数 = 1 1 0 干涉面指数= 2 2 0 干涉面指数 干涉面 干涉面指数 = 3 3 0 干涉面指数 干涉面指数= 4 4 0 干涉面 干涉面指数 = 5 5 0
2d(hkl)sinθn=nλ θ λ
2dHKL sin θ = λ
(110) n=5 (110) (110) n=3 (110) n=2 n=1 (110) n=4
2θ θ
550 n=1 110 220 330 440
2θ θ
（4）布拉格方程的应用 ） 布拉格方程 2dsinθ = n λ 表达了反射线 ( 或入射线）与晶面的夹角（ 或入射线）与晶面的夹角（ θ ）、晶面间 ）、入射线波长 距（d）、入射线波长（ λ）的相互关系。 ）、入射线波长（ ）的相互关系。
+ k2 + l2 1 h = d2 a2
2
立方晶体，任何平面 立方晶体， 间距公式: 组(hkl)的d间距公式 的 间距公式
已知 a=2.860 Å，则 d110 = 2.022 Å ， d200 = 1.430 Å d211 = 1.168 Å
已知λ 已知λ=1.5406Å, d110=2.023Å， ⇒ θ110 = 22.38° ， ° d200=1.430Å，⇒ θ200 = 32.58° ， ° d211=1.168Å，⇒ θ211 = 41.26° ， ° 2θ=44.77° θ ° d=2.023Å 110 hkl=110 2θ=82.53° θ ° d=1.168Å hkl=211 2θ=65.17° θ ° d=1.430Å 200 hkl=200
布拉格方程
究所主任布拉格助手的阿斯特伯 里（W.T.Astbury ）首先把X 射线用 于分析核酸结构，获得了第一 张X 射线衍射图，并根据衍射图中子 午线上出现的 周期性的强反射， 得出碱基处在垂直于纤维轴的平 面上，并具有0 .334 nm 间距的重要 论断。1948 年 年底，挪威晶体学 家，当时还是伦敦柏纳耳（Bernal ） 实验室的研究生的法贝格（Sven farberg ）建立了一 个DNA 结构的 单螺旋模型，其中相邻碱基的间 距 为0 .34 nm，每个碱基绕着纤维 轴旋进45 ，在一个 螺旋内共有8 个碱基
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一般情况下的 多光束晶面反 射模型
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一般情 况 下
型 如 图 2所 Δ = BD + BC ABsin( α + θ α + β = 180° 将式( 2) 中的 ( 1) 可得 Δ = BD + BC + θ)［cos α － ［cos α － ( c =d/sin( α + θ θcos θsin α) ］ +2sin θcos θs θ)]·［cos αsin ( 4) 当两束光的光
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What is L
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劳厄方程规定了衍射极大的条件,这就是晶体中 所有的原子对入射束的散射波都在衍射极大方 向作相长干涉.如图1所示,图中k。与k分别代表 入射波矢与散射波矢·对弹性散射,k=k0.如令s。 及s分别为沿k0及k方向的单位矢量,则k0=s0/λ,其中 λ为波长.图中原点O为一原子位置,Rl则为另一 原子A的位矢.由图可见,如s为衍射极大方向,则 BO+CO= Rl ·(-s0)+ Rl ·s=nλ即R·(s-s0)=nλ式即为劳厄 方程,其中n为整数. ,泛指遍及晶体内所有原子的 位置矢量,因此是可变的上式的物理意义是:当来 自所有原子的散射波彼此的程差在某一方向(s) 都是波长的整数倍时,即所有的散射波都发生相 长干涉时,才会在这一方向产生衍射极大.可见,劳 厄方程十分清楚地用数学语言描述了波动光学 的衍射现象。
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一般情况下的 多光束晶面反 射模型
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一般情 况 下
型 如 图 2所 Δ = BD + BC ABsin( α + θ α + β = 180° 将式( 2) 中的 ( 1) 可得 Δ = BD + BC + θ)［cos α － ［cos α － ( c =d/sin( α + θ θcos θsin α) ］ +2sin θcos θs θ)]·［cos αsin ( 4) 当两束光的光
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What is L
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劳厄方程规定了衍射极大的条件,这就是晶体中 所有的原子对入射束的散射波都在衍射极大方 向作相长干涉.如图1所示,图中k。与k分别代表 入射波矢与散射波矢·对弹性散射,k=k0.如令s。 及s分别为沿k0及k方向的单位矢量,则k0=s0/λ,其中 λ为波长.图中原点O为一原子位置,Rl则为另一 原子A的位矢.由图可见,如s为衍射极大方向,则 BO+CO= Rl ·(-s0)+ Rl ·s=nλ即R·(s-s0)=nλ式即为劳厄 方程,其中n为整数. ,泛指遍及晶体内所有原子的 位置矢量,因此是可变的上式的物理意义是:当来 自所有原子的散射波彼此的程差在某一方向(s) 都是波长的整数倍时,即所有的散射波都发生相 长干涉时,才会在这一方向产生衍射极大.可见,劳 厄方程十分清楚地用数学语言描述了波动光学 的衍射现象。
第4章 电子衍射PPT课件
2
f {1 exp[i(h k l)]}
当 h+k +l = 偶数时, F = 2f ， I 4 f 2
当 h+k+l = 奇数时, F = 0， I = 0
体心晶胞当 h+k +l = 偶数时，衍射强度不为零 当h+k+l = 奇数时消光。
(4) 面心晶胞
一个晶胞内有四个同种原子，分别位于000, 1 1 0, 1 0 1 ,0 1 1
第4章 电子衍射
透射电镜的最大特点是既可 以得到电子显微像又可以得到电 子衍射花样。晶体样品的微观组 织特征和微区晶体学性质可以在 同一台仪器中得到反映。
电子束 试样
物镜 物镜后焦面
微区晶体学性质 电子衍射花样
物镜像平面
微观组织
电子衍射实验得出：
多晶体
单晶体
非晶体 菊 池 线
问题的提出
这些点、环、线对携带着晶 体结构信息，对这些点、环、线 对等怎样进行分析，需要对电子 衍射基本知识有所了解。
底心晶胞h, k为全偶、全奇时衍射强度不为零。 h, k为奇偶混合时消光。
(3)体心晶胞
一个晶胞内有两个同种原子，分别位于 000 和 1 1 1
222
½½ ½
000
体心晶胞 F(hkl) 的计算
一个晶胞内有两个同种原子，分别位于 000 和 1 1 1
则
222
F (hkl) f exp[2i(o)] f exp[2i( h k l )]
可以用倒易矢量g来表示。
g
ha
*
kb *
lc
*
a*, b*, c*为倒空间的基矢量，hkl为倒易点 的坐标，即相应的衍射晶面指数。
f {1 exp[i(h k l)]}
当 h+k +l = 偶数时, F = 2f ， I 4 f 2
当 h+k+l = 奇数时, F = 0， I = 0
体心晶胞当 h+k +l = 偶数时，衍射强度不为零 当h+k+l = 奇数时消光。
(4) 面心晶胞
一个晶胞内有四个同种原子，分别位于000, 1 1 0, 1 0 1 ,0 1 1
第4章 电子衍射
透射电镜的最大特点是既可 以得到电子显微像又可以得到电 子衍射花样。晶体样品的微观组 织特征和微区晶体学性质可以在 同一台仪器中得到反映。
电子束 试样
物镜 物镜后焦面
微区晶体学性质 电子衍射花样
物镜像平面
微观组织
电子衍射实验得出：
多晶体
单晶体
非晶体 菊 池 线
问题的提出
这些点、环、线对携带着晶 体结构信息，对这些点、环、线 对等怎样进行分析，需要对电子 衍射基本知识有所了解。
底心晶胞h, k为全偶、全奇时衍射强度不为零。 h, k为奇偶混合时消光。
(3)体心晶胞
一个晶胞内有两个同种原子，分别位于 000 和 1 1 1
222
½½ ½
000
体心晶胞 F(hkl) 的计算
一个晶胞内有两个同种原子，分别位于 000 和 1 1 1
则
222
F (hkl) f exp[2i(o)] f exp[2i( h k l )]
可以用倒易矢量g来表示。
g
ha
*
kb *
lc
*
a*, b*, c*为倒空间的基矢量，hkl为倒易点 的坐标，即相应的衍射晶面指数。
布拉格方程
一、劳厄方程：波长为λ的一束X射线，以入射角α投射到晶体中原子间距为a的原子列上（图1）。
假设入射线和衍射线均为平面波，且晶胞中只有一个原子，原子的尺寸忽略不计，原子中各电子产生的相干散射由原子中心点发出，那么由图1可知，相邻两原子的散射线光程差为：若各原子的散射波互相干涉加强，形成衍射，则光程差必须等于入射X射线波长λ德整数倍：式中：H为整数（0，1，2…），称为衍射级数。
入射X射线的方向S0确定后，则决定各级衍射方向α/角可由下式求得：由于只要α/角满足上式就能产生衍射，因此，衍射线将分布在以原子列为轴，以α/角为半顶角的一系列圆锥面上，每一个H值对应于一个圆锥。
在三维空间中，设入射X射线单位矢量S0与三个晶轴a，b，c的交角分别为α，β，γ。
若产生衍射，则衍射方向的单位矢量S与三个晶轴的交角α/，β/，γ/必须满足：a（COSα/－COSα）= Hλb（COSβ/－COSβ）= Kλc （COSγ/－COSγ）= Lλ式中H，K，L均为整数，a，b，c分别为三个晶轴方向的晶体点阵常数。
上式由劳厄在1912年提出，称为劳厄方程，是确定衍射方向的基本方程。
由于S 与三晶轴的交角具有一定的相互约束，因此，α/，β/，γ/不是完全相互独立，也受到一定关系的约束。
图1 一维原子列的衍射二、布拉格方程：X射线在传播途中，与晶体中束缚较紧的电子相遇时，将发生经典散射。
晶体由大量原子组成，每个原子又有多个电子。
各电子所产生的经典散射线会相互干涉，使在某些方向获得加强，另一些方向则被削弱。
电子散射线干涉的总结果被称为衍射。
可以回顾一个波的干涉的概念：振动方向相同、波长相同的两列波叠加，将造成某些固定区域的加强或减弱。
如若叠加的波为一系列平行波，则形成固定的加强和减弱的必要条件是：这些波或具有相同的波程（周相），或者其波程差为波长的整数倍（相当于周相差为2π的整数倍）。
排列在一直线上无穷多的电子称为电子列。
早期的研究指出，当X射线照射到电子列时，散射线相互干涉的结果，只能在某些力向上获得加强。
第四章 晶体X射线衍射分析基础 PPT课件
△= N λ是点阵进行衍射的充分必要条件，为使这个条件 在任何m，n，p的情况都能满足，必有下面的式子成立:
a b
• •
(s (s
s0 s0
) )
h k
c • (s s0 ) l
式中h ,k,l称为衍射指数，为整数.
上述方程组称为劳埃方程，从这组方程中可知，在衍
射hkl中由向量Tmnp联系起来的两个原子x光衍射的光程差
在摄取劳埃相时，晶体不动，用的是“白 色”X光，此时波长是变量，衍射图是一些斑点。 在摄取转动相时，用单色x光，晶体绕某一晶轴转 动， α 0，β0，γ0中就有一个是变量。衍射图和劳 埃照相一样也成为斑点。
在摄取粉末相时，用单色x光，样品是多晶， 各个小晶粒在空间取向是随机的。就入射X光来说。 α 0，β0，γ0有两个成了变量，(注意α 0，β0，γ0之间 也只能有两个变量)，整个衍射线汇成一个锥面、 与底片交成圆弧线。
h，k，l可能有公因子n．把它提出来得：
式中h*，k* ，l*就可以是晶面指数，然后化成(两两相减)：
式中H=(s-s0)
上面三个式子说明了H与点阵平面组（ h*k* l* ）垂直。
H与点阵平面组（ h*k* l* ）垂直
布拉格方程的推导
看一下点阵平面的X光衍射效应。离原点第N个点阵平面 (h*k* l* )上任一点R(x,y,z)与原点的光程差为
3 d110 2 d111
利 用 上 面 的 关 系 ， 可 列出 下 式 ：
d100 (0.178)n1 2 d110 (0.126)n2 d100 (0.109)n1 3 d111 (0.126)n3
d110 (0.109)n2 3 d111 (0.178)n3 2 可 求 出n1 n2 2, n3 1,因 此NaCl晶 格 为 面 心 立 方 格子
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为了简化布拉格方程而引入的这个反
射面称为干涉面，干涉面的面指数称为 干涉指数。用HKL表示，它与晶面指数 的关系为H = n h， K = n k， L =n l
干涉指数与晶面指数的差别
干涉指数有公约数n，而晶面指数只能 是互质的整数。当干涉指数为互质整数 时，它就代表一族真实的晶面。所以， 可以说干涉指数是广义的晶面指数。
1、X射线衍射与可见光反射的区别
⑴ X射线衍射具有“选择反射”特性。即只有当λ、 θ、d三者之间满足布拉格方程时才能发生反射； 而可见光可以在任何入射角反射。
⑵ X射线衍射束是晶体中深层原子散射线的干涉结果； 可见光的反射只在表面进行。 ⑶ X射线衍射光束的强度远较入射光束微弱；约1%。 而可见光的镜面反射效率很高，对铝、铜、银可达 50-80%。
由于这些散射波之间的干涉作用，使得空间某些方 向上的波始终保持相互叠加，于是在这个方向上可 以观测到衍射线;而另一些方向上的波则始终是互相 是抵消的，于是就没有衍射线产生。
X射线在晶体中的衍射现象，实质上是大量的原子散 射波互相干涉的结果。
晶体所产生的衍射花样反映出晶体内部的原子分布 规律。一个衍射花样，可以认为包含两个方面的信 息：
3、干涉面和干涉指数
将布拉格方程2d h k l sinθ= nλ改写为 2（d h k l / n）sinθ=λ 令d HKL =d h k l/n，则： 2 d H K L sinθ= λ 这样就把反射级数n隐含在d HKL之中，布
拉格方程变为永远是一级反射的形式
这就是说，我们把（h k l）晶面的n级 反射看成为与（h k l）晶面平行的、面间 距为d HKL =d h k l / n的晶面的一级反射， 而该晶面不一定是晶体中的一个真实原 子面。
§3-2 布拉格公式的导出
一、几项假定
1、 晶体是理想完整的。即不考虑晶体中 存在的缺陷和畸变；
2、 忽略晶体中原子的热振动。即认为晶 体中的原子静止在空间点阵的结点上；
3、 原子中的电子皆集中在原子核中心； 4、 入射X射线束严格平行并有严格的单
一波长； 5、 晶体有无穷多晶面。
二、布拉格公式的导出
这样，我们又可以把布拉格定律说成为：当 满足衍射条件时，衍射矢量的方向就是反射
晶面的法线方向，衍射矢量的长度与反射晶 面族面间距的倒数成比例，而λ相当于比例 系数
如果我们把（3—20）式与倒易点阵联系起来，则 不难看出，衍射矢量实际上相当于倒易矢量。由 此可见，倒易点阵本身就具有衍射属性。将倒易 矢量引入（3—20）式，即得到：
一方面是衍射线在空间的分布规律，（称之为 衍射几何），衍射线的分布规律由晶胞的大小、 形状和位向决定
另一方面是衍射线束的强度,衍射线的强度则 取决于原子的种类和它们在晶胞中的位置。
X射线衍射理论所要解决的中心问题: 在衍射现象与 晶体结构之间建立起定性和定量的关系。
X射线照射到晶体上，和晶体发生相互作 用的过程是比较复杂的，我们将首先讨 论衍射束空间分布规律，即找出衍射线 束在哪些方位上能够出现的规律，而暂 时不考虑衍射线束的强度高低。强度在 下章简单介绍。
如图2-15所示，当一束X射线被晶面P反射时， 假定N为晶面P的法线方向，入射线方向用单 位矢量S0表示，衍射线方向用单位矢量S表示， S—S0称为衍射矢量
从图2-15可以看出，只要满足布拉格方程， 衍射矢量S—S0必定与反射面的法线N平行， 而它的绝对值为：
SS0
2sin
dHKL
（3－20）
§3-3衍射矢量方程和尼瓦尔德图解
X射线在晶体中的衍射，除布拉格方程和 劳厄方程外，还可以用衍射矢量方程和 厄瓦尔德图解来表达
在描述X射线的衍射几何时，主要是解决 两个问题：一是产生衍射的条件，即满 足布拉格方程；二是衍射方向，即根据 布拉格方程确定衍射角2θ
现在把这两个方面的条件用一个统一的矢量形 式来表达。为此，需要引入衍射矢量的概念
单一晶面反射
Single Crystal Plane Reflection
δ =AD-CB=abcosθ -abcosθ =0
晶体反射（布Leabharlann 格反射）Fig 2. Crystal Diffraction(Bragg Diffraction)
δ=EB+BF=2dsinθ = nλ
2dsinθ=nλ
这就是布拉格公式 其中 ： n=1、2、3 任意整数（反射级数） n=1称为一级衍射 对于特定波长为λ的单色X ray，不同的
2、产生衍射的极限条件 据 2dsinθ= nλ ∵ sinθ≦ 1 ∴ nλ/2d = sinθ ≦ 1 即 nλ≦ 2d n取最小值1时，则 ⑴ λ≦ 2d
即d一定时，能够产生衍射的波长必须小于d的二倍。 ⑵ d ≧λ/2
即波长一定时，能够反射的晶面族其d 值必须大于 λ/2。
就是说，能在晶体中产生衍射的波长是有限度的；在 晶体中能够产生衍射晶面族也是有限的。
§3-1 X射线在晶体中的衍射
主要是通过X射线在晶体中产生的衍射研究晶体结构 中的各类问题;
当一束X射线照射到晶体上时，首先被电子所散射， 每个电子都是一个新的辐射波源，向空间辐射出与 入射波同频率的球面波。
可以把晶体中每个原子都看作新的波源，它们各自 向空间辐射与入射波同频率的电磁波(球面波)。
晶面d，其对应的掠射角θ不 同 θ:掠射角； 2θ:衍射角
布拉格方程的应用
X-ray diffraction analysis
λθ
d
Crystal microstructure
analysis
X-ray fluorescence analysis
dθ λ Z
Component analysis
三、布拉格方程的讨论
X射线的本质是 。X射线的散射分为相 干散射和非相干散射，X射线衍射分析主要 是利用了 散射。
4.晶体结构是客观存在，点阵是一个数学抽 象，有严格的物理意义。而倒易点阵不是客 观实在，没有特定的物理意义，纯粹为数学 模型和工具。（ ）
第三章 布拉格方程与粉末照相
X－ray在晶体中的衍射 布拉格定律 粉末衍射成像原理
射面称为干涉面，干涉面的面指数称为 干涉指数。用HKL表示，它与晶面指数 的关系为H = n h， K = n k， L =n l
干涉指数与晶面指数的差别
干涉指数有公约数n，而晶面指数只能 是互质的整数。当干涉指数为互质整数 时，它就代表一族真实的晶面。所以， 可以说干涉指数是广义的晶面指数。
1、X射线衍射与可见光反射的区别
⑴ X射线衍射具有“选择反射”特性。即只有当λ、 θ、d三者之间满足布拉格方程时才能发生反射； 而可见光可以在任何入射角反射。
⑵ X射线衍射束是晶体中深层原子散射线的干涉结果； 可见光的反射只在表面进行。 ⑶ X射线衍射光束的强度远较入射光束微弱；约1%。 而可见光的镜面反射效率很高，对铝、铜、银可达 50-80%。
由于这些散射波之间的干涉作用，使得空间某些方 向上的波始终保持相互叠加，于是在这个方向上可 以观测到衍射线;而另一些方向上的波则始终是互相 是抵消的，于是就没有衍射线产生。
X射线在晶体中的衍射现象，实质上是大量的原子散 射波互相干涉的结果。
晶体所产生的衍射花样反映出晶体内部的原子分布 规律。一个衍射花样，可以认为包含两个方面的信 息：
3、干涉面和干涉指数
将布拉格方程2d h k l sinθ= nλ改写为 2（d h k l / n）sinθ=λ 令d HKL =d h k l/n，则： 2 d H K L sinθ= λ 这样就把反射级数n隐含在d HKL之中，布
拉格方程变为永远是一级反射的形式
这就是说，我们把（h k l）晶面的n级 反射看成为与（h k l）晶面平行的、面间 距为d HKL =d h k l / n的晶面的一级反射， 而该晶面不一定是晶体中的一个真实原 子面。
§3-2 布拉格公式的导出
一、几项假定
1、 晶体是理想完整的。即不考虑晶体中 存在的缺陷和畸变；
2、 忽略晶体中原子的热振动。即认为晶 体中的原子静止在空间点阵的结点上；
3、 原子中的电子皆集中在原子核中心； 4、 入射X射线束严格平行并有严格的单
一波长； 5、 晶体有无穷多晶面。
二、布拉格公式的导出
这样，我们又可以把布拉格定律说成为：当 满足衍射条件时，衍射矢量的方向就是反射
晶面的法线方向，衍射矢量的长度与反射晶 面族面间距的倒数成比例，而λ相当于比例 系数
如果我们把（3—20）式与倒易点阵联系起来，则 不难看出，衍射矢量实际上相当于倒易矢量。由 此可见，倒易点阵本身就具有衍射属性。将倒易 矢量引入（3—20）式，即得到：
一方面是衍射线在空间的分布规律，（称之为 衍射几何），衍射线的分布规律由晶胞的大小、 形状和位向决定
另一方面是衍射线束的强度,衍射线的强度则 取决于原子的种类和它们在晶胞中的位置。
X射线衍射理论所要解决的中心问题: 在衍射现象与 晶体结构之间建立起定性和定量的关系。
X射线照射到晶体上，和晶体发生相互作 用的过程是比较复杂的，我们将首先讨 论衍射束空间分布规律，即找出衍射线 束在哪些方位上能够出现的规律，而暂 时不考虑衍射线束的强度高低。强度在 下章简单介绍。
如图2-15所示，当一束X射线被晶面P反射时， 假定N为晶面P的法线方向，入射线方向用单 位矢量S0表示，衍射线方向用单位矢量S表示， S—S0称为衍射矢量
从图2-15可以看出，只要满足布拉格方程， 衍射矢量S—S0必定与反射面的法线N平行， 而它的绝对值为：
SS0
2sin
dHKL
（3－20）
§3-3衍射矢量方程和尼瓦尔德图解
X射线在晶体中的衍射，除布拉格方程和 劳厄方程外，还可以用衍射矢量方程和 厄瓦尔德图解来表达
在描述X射线的衍射几何时，主要是解决 两个问题：一是产生衍射的条件，即满 足布拉格方程；二是衍射方向，即根据 布拉格方程确定衍射角2θ
现在把这两个方面的条件用一个统一的矢量形 式来表达。为此，需要引入衍射矢量的概念
单一晶面反射
Single Crystal Plane Reflection
δ =AD-CB=abcosθ -abcosθ =0
晶体反射（布Leabharlann 格反射）Fig 2. Crystal Diffraction(Bragg Diffraction)
δ=EB+BF=2dsinθ = nλ
2dsinθ=nλ
这就是布拉格公式 其中 ： n=1、2、3 任意整数（反射级数） n=1称为一级衍射 对于特定波长为λ的单色X ray，不同的
2、产生衍射的极限条件 据 2dsinθ= nλ ∵ sinθ≦ 1 ∴ nλ/2d = sinθ ≦ 1 即 nλ≦ 2d n取最小值1时，则 ⑴ λ≦ 2d
即d一定时，能够产生衍射的波长必须小于d的二倍。 ⑵ d ≧λ/2
即波长一定时，能够反射的晶面族其d 值必须大于 λ/2。
就是说，能在晶体中产生衍射的波长是有限度的；在 晶体中能够产生衍射晶面族也是有限的。
§3-1 X射线在晶体中的衍射
主要是通过X射线在晶体中产生的衍射研究晶体结构 中的各类问题;
当一束X射线照射到晶体上时，首先被电子所散射， 每个电子都是一个新的辐射波源，向空间辐射出与 入射波同频率的球面波。
可以把晶体中每个原子都看作新的波源，它们各自 向空间辐射与入射波同频率的电磁波(球面波)。
晶面d，其对应的掠射角θ不 同 θ:掠射角； 2θ:衍射角
布拉格方程的应用
X-ray diffraction analysis
λθ
d
Crystal microstructure
analysis
X-ray fluorescence analysis
dθ λ Z
Component analysis
三、布拉格方程的讨论
X射线的本质是 。X射线的散射分为相 干散射和非相干散射，X射线衍射分析主要 是利用了 散射。
4.晶体结构是客观存在，点阵是一个数学抽 象，有严格的物理意义。而倒易点阵不是客 观实在，没有特定的物理意义，纯粹为数学 模型和工具。（ ）
第三章 布拉格方程与粉末照相
X－ray在晶体中的衍射 布拉格定律 粉末衍射成像原理