高中数学必修2模块综合检测(C)
高中数学人教A版必修二 模块综合测评 Word版含答案
模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．过点A(3，－4)，B(－2，m)的直线l的斜率为－2，则m的值为() A．6 B．1C．2 D．4【解析】由题意知k AB＝m＋4－2－3＝－2，∴m＝6.【答案】 A2．在x轴、y轴上的截距分别是－2、3的直线方程是() A．2x－3y－6＝0 B．3x－2y－6＝0C．3x－2y＋6＝0 D．2x－3y＋6＝0【解析】由直线的截距式得，所求直线的方程为x－2＋y3＝1，即3x－2y＋6＝0.【答案】 C3．已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于()A．2 2 B.22 3C.423 D.433【解析】设正方体的棱长为a，球的半径为R，则43πR3＝323π，∴R＝2.又∵3a＝2R＝4，∴a＝43 3.【答案】 D4．关于空间直角坐标系Oxyz中的一点P(1,2,3)有下列说法：①点P 到坐标原点的距离为13； ②OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，32；③与点P 关于x 轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)； ④与点P 关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2，－3)； ⑤与点P 关于坐标平面xOy 对称的点的坐标为(1,2，－3)． 其中正确的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5【解析】 点P 到坐标原点的距离为12＋22＋32＝14，故①错；②正确；与点P 关于x 轴对称的点的坐标为(1，－2，－3)，故③错；与点P 关于坐标原点对称的点的坐标为(－1，－2，－3)，故④错；⑤正确，故选A.【答案】 A5．如图1，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱BB 1、B 1C 1的中点，若∠CMN ＝90°，则异面直线AD 1和DM 所成角为( )图1A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【解析】 因为MN ⊥DC ，MN ⊥MC ， 所以MN ⊥平面DCM . 所以MN ⊥DM .因为MN ∥AD 1，所以AD 1⊥DM . 【答案】 D6．(2015·福建高考)某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的表面积等于( )图2A．8＋2 2 B．11＋2 2C．14＋2 2 D．15【解析】由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示．直角梯形斜腰长为12＋12＝2，所以底面周长为4＋2，侧面积为2×(4＋2)＝8＋22，两底面的面积和为2×12×1×(1＋2)＝3，所以该几何体的表面积为8＋22＋3＝11＋2 2.【答案】 B7．已知圆x2＋y2＋2x＋2y＋k＝0和定点P(1，－1)，若过点P的圆的切线有两条，则k的取值范围是()A．(－2，＋∞) B．(－∞，2)C．(－2,2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)【解析】因为方程x2＋y2＋2x＋2y＋k＝0表示一个圆，所以4＋4－4k＞0，所以k＜2.由题意知点P(1，－1)在圆外，所以12＋(－1)2＋2×1＋2×(－1)＋k＞0，解得k＞－2，所以－2＜k＜2.【答案】 C8．在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°【解析】如图，取BC的中点E，连接DE、AE、AD.依题设知AE⊥平面BB1C1C.故∠ADE为AD与平面BB1C1C所成的角．设各棱长为2，则AE＝32×2＝3，DE＝1.∵tan∠ADE＝AEDE＝31＝3，∴∠ADE＝60°，故选C.【答案】 C9．(2015·开封高一检测)若m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列说法中正确的是()①若直线m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线；②若直线m、n都垂直于平面α，则m、n一定是平行直线；③已知平面α、β互相垂直，且直线m、n也互相垂直，若m⊥α，则n⊥β；④若直线m、n在平面α内的射影互相垂直，则m⊥n.A．②B．②③C．①③D．②④【解析】对于①，m与n可能平行，可能相交，也可能异面；对于②，由线面垂直的性质定理可知，m与n一定平行，故②正确；对于③，还有可能n∥β；对于④，把m，n放入正方体中，如图，取A1B为m，B1C为n，平面ABCD为平面α，则m与n在α内的射影分别为AB与BC，且AB⊥BC.而m与n所成的角为60°，故④错．因此选A.【答案】 A10．(2015·全国卷Ⅱ)已知三点A(1,0)，B(0，3)，C(2，3)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A.53 B.213C.253 D.43【解析】在坐标系中画出△ABC(如图)，利用两点间的距离公式可得|AB|＝|AC|＝|BC|＝2(也可以借助图形直接观察得出)，所以△ABC为等边三角形．设BC的中点为D，点E为外心，同时也是重心．所以|AE|＝23|AD|＝233，从而|OE|＝|OA|2＋|AE|2＝1＋43＝213，故选B.【答案】 B11．(2016·重庆高一检测)已知P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一点，P A 是圆C：x2＋y2－2y＝0的一条切线，A是切点，若P A长度的最小值为2，则k的值是()【导学号：09960153】A．3 B.21 2C．2 2 D．2【解析】圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心是(0,1)，半径是r＝1，∵P A 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的一条切线，A 是切点，P A 长度的最小值为2，∴圆心到直线kx ＋y ＋4＝0的最小距离为5，由点到直线的距离公式可得|1＋4|k 2＋1＝5，∵k ＞0，∴k ＝2，故选D. 【答案】 D12．(2016·德州高一检测)将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD ＝a ，则三棱锥D -ABC 的体积为( )A.212a 3 B.a 312 C.24a 3D.a 36【解析】 取AC 的中点O ，如图，则BO ＝DO ＝22a ，又BD ＝a ，所以BO ⊥DO ，又DO ⊥AC ， 所以DO ⊥平面ACB ， V D -ABC＝13S △ABC ·DO ＝13×12×a 2×22a ＝212a 3. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知两条平行直线的方程分别是2x ＋3y ＋1＝0，mx ＋6y －5＝0，则实数m ＝________.【解析】 由于两直线平行，所以2m ＝36≠1－5，∴m ＝4.【答案】 414．一个横放的圆柱形水桶，桶内的水漫过底面周长的四分之一，那么当桶直立时，水的高度与桶的高度的比为________．【解析】 设圆柱形水桶的底面半径为R ，高为h ，桶直立时，水的高度为x . 横放时水桶底面在水内的面积为⎝ ⎛⎭⎪⎫14πR 2－12R 2，水的体积为V 水＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14πR 2－12R 2h .直立时水的体积不变，则有V 水＝πR 2x ， ∴x ∶h ＝(π－2)∶4π. 【答案】 (π－2)∶4π15．已知一个等腰三角形的顶点A (3,20)，一底角顶点B (3,5)，另一顶点C 的轨迹方程是________．【解析】 设点C 的坐标为(x ，y )， 则由|AB |＝|AC |得 (x －3)2＋(y －20)2 ＝(3－3)2＋(20－5)2，化简得(x －3)2＋(y －20)2＝225.因此顶点C 的轨迹方程为(x －3)2＋(y －20)2＝225(x ≠3)． 【答案】 (x －3)2＋(y －20)2＝225(x ≠3)16．(2015·湖南高考)若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝__________.【解析】 如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则|OD |＝532＋(－4)2＝1.∵∠AOB＝120°，OA＝OB，∴∠OBD＝30°，∴|OB|＝2|OD|＝2，即r＝2.【答案】 2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2且l1与l2的距离为5，求l1，l2的方程．【解】若直线l1，l2的斜率都不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，此时l1，l2之间距离为5，符合题意；若l1，l2的斜率均存在，设直线的斜率为k，由斜截式方程得直线l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，由点斜式可得直线l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0，在直线l1上取点A(0,1)，则点A到直线l2的距离d＝|1＋5k|1＋k2＝5，∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝125.∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0.综上知，满足条件的直线方程为l1：x＝0，l2：x＝5或l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0.18．(本小题满分12分)已知圆C1：x2＋y2－4x＋2y＝0与圆C2：x2＋y2－2y－4＝0.(1)求证：两圆相交；(2)求两圆公共弦所在直线的方程．【导学号：09960154】【解】(1)证明：圆C1：x2＋y2－4x＋2y＝0与圆C2：x2＋y2－2y－4＝0化为标准方程分别为圆C1：(x－2)2＋(y＋1)2＝5与圆C2：x2＋(y－1)2＝5，则圆心坐标分别为C1(2，－1)与C2(0,1)，半径都为5，故圆心距为(2－0)2＋(－1－1)2＝22，又0<22<25，故两圆相交．(2)将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在直线的方程，即(x2＋y2－4x ＋2y)－(x2＋y2－2y－4)＝0，得x－y－1＝0.19．(本小题满分12分)如图3，在三棱锥A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M 为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形．图3(1)求证：DM∥平面APC；(2)求证：平面ABC⊥平面APC.【证明】(1)∵M为AB的中点，D为PB的中点，∴MD∥AP.又∵DM⊄平面APC，AP⊂平面APC，∴DM∥平面APC.(2)∵△PMB为正三角形，D为PB中点，∴MD⊥PB.又∵MD∥AP，∴AP⊥PB.又∵AP⊥PC，PC∩PB＝P，∴AP⊥平面PBC.∵BC⊂平面PBC，∴AP⊥BC.又∵AC⊥BC，且AC∩AP＝A，∴BC⊥平面APC.又∵BC ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面APC .20．(本小题满分12分)已知△ABC 的顶点A (0,1)，AB 边上的中线CD 所在的直线方程为2x －2y －1＝0，AC 边上的高BH 所在直线的方程为y ＝0.(1)求△ABC 的顶点B 、C 的坐标；(2)若圆M 经过A 、B 且与直线x －y ＋3＝0相切于点P (－3,0)，求圆M 的方程． 【解】 (1)AC 边上的高BH 所在直线的方程为y ＝0，所以AC 边所在直线的方程为x ＝0，又CD 边所在直线的方程为2x －2y －1＝0， 所以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，设B (b,0)，则AB 的中点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，12，代入方程2x －2y －1＝0， 解得b ＝2， 所以B (2,0)．(2)由A (0,1)，B (2,0)可得，圆M 的弦AB 的中垂线方程为4x －2y －3＝0，① 由与x －y ＋3＝0相切，切点为(－3,0)可得，圆心所在直线方程为y ＋x ＋3＝0，②①②联立可得，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－52，半径|MA |＝14＋494＝502，所以所求圆方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋522＝252.21．(本小题满分12分)如图4，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点．图4(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥E-ABC的体积．【解】(1)证明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC，所以AB⊥平面B1BCC1，又AB⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)证明：取AB的中点G，连接EG，FG.因为E，F分别是A1C1，BC的中点，所以FG∥AC，且FG＝12AC.因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，所以FG∥EC1，且FG＝EC1，所以四边形FGEC1为平行四边形．所以C1F∥EG. 又因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，所以C 1F ∥平面ABE .(3)因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ，所以AB ＝AC 2－BC 2＝ 3.所以三棱锥E -ABC 的体积V ＝13S △ABC ·AA 1＝13×12×3×1×2＝33.22．(本小题满分12分)已知圆M 过两点A (1，－1)，B (－1，1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上．(1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PC 、PD 是圆M 的两条切线，C 、D 为切点，求四边形PCMD 面积的最小值.【导学号：09960155】【解】 (1)法一 线段AB 的中点为(0,0)，其垂直平分线方程为x －y ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y －2＝0.所以圆M 的圆心坐标为(1,1)，半径r ＝(1－1)2＋(－1－1)2＝2. 故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.法二 设圆M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，(r ＞0)，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧ (1－a )2＋(－1－b )2＝r 2，(－1－a )2＋(1－b )2＝r 2，a ＋b －2＝0.解得a ＝b ＝1，r ＝2. 故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.(2)由题知，四边形PCMD 的面积为S ＝S △PMC ＋S △PMD ＝12|CM |·|PC |＋12|DM |·|PD |.又|CM |＝|DM |＝2，|PC |＝|PD |，所以S ＝2|PC |，而|PC |＝|PM |2－|CM |2 ＝|PM |2－4，即S ＝2|PM |2－4. 因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值即可，即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM |的值最小，所以 |PM |min ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，所以四边形PCMD 面积的最小值为S ＝2|PM |2－4＝232－4＝2 5.。
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模块综合检测 (C)(时间： 120 分钟满分： 150 分 )一、选择题 (本大题共 12 小题，每题5 分，共 60 分 )1．如下图，桌面上放着一个圆锥和一个长方体，其俯视图是 ( )2．如下图，一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为 1，那么这个几何体的体积为 ( )111A ． 1B ．2C ． 3D ． 6221，则 m 等于 ()3．直线 (2m ＋ m －3)x ＋ (m － m)y ＝ 4m － 1 在 x 轴上的截距为 A ． 1 B ． 21 1C ．－ 2D ．2 或－24．直线 4x － 3y － 2＝0 与圆 x 2＋ y 2－2ax ＋ 4y ＋ a 2－12＝ 0 总有两个不一样的交点，则a 的取值范围是 ( )A ．－ 3< a<7B ．－ 6<a<4C ．－ 7<a<3D ．－ 21<a<195．若 P 为平面 α外一点，则以下说法正确的选项是()A ．过 P 只好作一条直线与平面α订交B ．过 P 可能作无数条直线与平面 α垂直C ．过 P 只好作一条直线与平面 α平行D ．过 P 可作无数条直线与平面 α平行6．连结平面外一点 P 和平面 α内不共线的三点 A ， B ， C ， A 1，B 1， C 1 分别在 PA ，PB ，PC 的延伸线上， A 1B 1， B 1C 1，A 1C 1 与平面 α分别交于 D ，E ， F ，则 D ， E ，F 三点 ()A ．成钝角三角形B ．成锐角三角形C ．成直角三角形D ．共线2 2上与直线 l ：4x ＋ 3y － 12＝ 0 的距离最小的点的坐标是()7．在圆 x ＋ y ＝ 48 6 8 6A ． 5，5B ． 5，－5C ． －8， 6 D ． －8，－ 6 5 5 5 58．矩形 ABCD 的对角线 AC ，BD 成 60°角，把矩形所在的平面以 AC 为折痕，折成一个直二面角 D － AC － B ，连结 BD ，则 BD 与平面 ABC 所成角的正切值为 ( )7 21 3 7A ．10B ．7C．2D．29．若⊙ C 1： x 2＋ y 2－ 2mx ＋ m 2＝ 4 和⊙ C 2：x 2＋ y 2＋ 2x －4my ＝ 8－ 4m 2 订交，则 m 的取值范围是 ()A ． －12，－ 2B ．(0,2)5 5C ． －12，－ 2 ∪ (0,2)D ． － 12， 255510．已知点 P 是直线 3x ＋ 4y ＋ 8＝ 0 上的动点， PA 是圆 C ：x 2 ＋y 2－2x － 2y ＋ 1＝ 0 的切线，A 为切点，则 |PA|的最小值为 ( )A ． 1B ． 2C ． 2D ．2 211．二面角 α－ l － β的平面角为 120 °，在面 α内， AB ⊥ l 于 B ，AB ＝ 2，在平面 β内，CD⊥ l 于 D ， CD ＝ 3， BD ＝ 1， M 为棱 l 上的一个动点，则 AM ＋ CM 的最小值为 ()A ．2 5B ．2 2C ．2 6D ． 26 12．假如圆 x 2＋ ( y －1) 2＝1 上随意一点 P(x ， y)都能使 x ＋ y ＋ c ≥0建立，那么实数 c 的取值范围是 ( )A ． c ≥－ 2－ 1B ． c ≤－ 2－ 1C ． c ≥ 2－1D ． c ≤ 2－1二、填空题 (本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20分)13．如下图，半径为 R 的半圆内的暗影部分以直径 AB 所在直线为轴，旋转一周获得 一几何体，∠ BAC ＝ 30°，则此几何体的体积为 ________．14． P(0，－ 1)在直线 ax ＋y － b ＝ 0 上的射影为 Q(1,0)，则 ax － y ＋b ＝ 0 对于 x ＋ y － 1＝0对称的直线方程为 ________．15．由动点 P 向圆 x 2＋ y 2＝ 1 引两条切线 PA 、 PB ，切点分别为 A ， B ，∠ APB ＝ 60°，则动点的轨迹方程为 ________．16．如下图的是正方体的表面睁开图，复原成正方体后， 此中完整同样的是 ________．三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分 )17． (10 分 )已知点 P(－ 4,2)和直线 l ： 3x － y －7＝ 0．求：(1) 过点 P 与直线 l 平行的直线方程；(2)过点 P 与直线 l 垂直的直线方程．18． (12 分 ) 如下图，在棱锥 A－ BPC 中， AP ⊥PC ，AC⊥ BC，M 为 AB 的中点， D 为 PB 的中点，且△ PMB 为正三角形．求证： (1)DM ∥平面 APC；(2)平面 ABC⊥平面 APC．19． (12 分 )已知一个几何体的三视图如下图，试求它的表面积和体积．(单位： cm) 20． (12 分 )已知圆过 P(4，－ 2)， Q(－ 1,3)两点，且在 y 轴上截得的线段长为 4 3，求圆的方程．21． (12 分 )从点 A(－ 4,1)出发的一束光芒 l ，经过直线 l 1：x － y ＋3＝ 0 反射，反射光芒恰巧经过点 B(1,6)，求入射光芒 l 所在的直线方程．2 22． (12 分 )已知以点C t ， t(t ∈ R ， t ≠ 0)为圆心的圆与x 轴交于点 O 、 A ，与y 轴交于点O 、 B ，此中 O 为原点．(1) 求证：△ OAB 的面积为定值；(2) 设直线 y ＝－ 2x ＋ 4 与圆 C 交于点 M 、 N ，若 OM ＝ON ，求圆 C 的方程．模块综合检测 (C) 答案1． D 2． D3． D [令 y ＝ 0，则2x 轴上的截距为4m － 1＝1，(2m ＋ m － 3)x ＝ 4m － 1，因此直线在2m 2＋ m － 3因此 m ＝ 2 或 m ＝－ 1． ]24． B [ 将圆的方程化为 (x － a)2＋ (y ＋ 2)2＝ 16．|4a ＋4|圆心 (a ，－ 2)到直线的距离 d ＝．∵直线与圆有两个不一样交点，∴d<4，即 |4a ＋ 4|，5 <4得－ 6<a<4，应选 B ． ]5． D[ 由于 D ， E ，F 都在平面 A 1B 1 C 1 与平面 α的交线上． ] 6． D 7． A [ 经过圆心 O 且与直线 l 垂直的直线的方程是 3x －4y ＝ 0．3x － 4y ＝ 0，解方程组 2＋ y 2＝ 4x8， x ＝－ 8，x ＝55得6 或6y ＝5y ＝－ 58 6 2 2 86画出图形，能够判断点5，5 是圆 x ＋ y ＝ 4 上到直线 l 距离最小的点，点 －5，－ 5 是圆 x 2＋ y 2＝ 4 上到直线 l 距离最大的点． ]8． B[ 圆 C 1 和 C 2 的圆心坐标及半径分别为 C 1(m,0) ， r 1＝ 2， C 2(－ 1,2m)， r 2＝ 3．9． C由两圆订交的条件得3－ 2<|C 1C 2|<3 ＋ 2，即 1<5m 2＋ 2m ＋ 1<25 ，解得－12<m<－ 2或5 50<m<2． ][圆 C ：(x －1)2＋ (y －1) 2＝1 的半径为 1，要使 |PA|最小，只要 |PC|最小， |PC |min10． D |3＋4＋ 8| ＝ 2 42 ＝ 3．3 ＋故 |PA|min ＝ 32－ 12＝ 2 2． ]11． D [将图 (1) 中二面角 α－ l － β展成平面，如图 (2)所示．连结 AC 交 l 于 M 则 AM ＋ CM 最小值为 AC ＝BD 2＋ AB ＋ CD 2＝ 26．]12． C [ 对随意点 P(x ， y)能使 x ＋ y ＋c ≥0 建立， 等价于 c ≥[－(x ＋y)] max ． 设 b ＝－ (x ＋ y)，则 y ＝－ x － b ．∴圆心 (0,1)到直线 y ＝－ x －b 的距离 d ＝|1＋ b|2 ≤1，解得，－ 2－ 1≤b ≤ 2－ 1．∴ c ≥ 2－ 1．]5 313． 6πR4πR 3，内部两个圆锥的体积之和为 分析 半圆旋转一周形成一个球体，其体积为V 球＝31 21 32π 3，V 锥＝ 3πCD ·AB ＝3π·2 R ·2R ＝ 2R4 3 π 35 3∴所求几何体的体积为 3πR － 2R＝ 6πR ．14． x － y ＋1＝ 0分析 ∵ k PQ ·(－ a)＝－ 1，∴ a ＝ 1， Q(1,0)代入 x ＋ y － b ＝ 0 得 b ＝ 1，将其代入ax － y ＋ b ＝0，得 x － y ＋1＝ 0，此直线与 x ＋y － 1＝ 0 垂直， ∴其对于 x ＋ y － 1＝ 0 的对称的直线是其自己．2215． x ＋ y ＝ 4分析 在 Rt △ AOP 中，∵∠ APB ＝60°，∴∠ APO ＝ 30°，x 2＋y 2＝ 4．∴ |PO|＝ 2|OA|＝ 2，动点的轨迹是以原点为圆心， 2 为半径的圆，方程为 16． (2)(3)(4)分析 由正方体的平面睁开图可得： (2)(3)(4) 是同样的．17． 解 (1)设所求直线的方程是 3x － y ＋ m ＝ 0(m ≠－ 7)，∵点 P(－ 4,2)在直线上，∴ 3×(－ 4)－ 2＋m ＝ 0，∴ m ＝14，即所求直线方程是 3x － y ＋ 14＝ 0．(2) 设所求直线的方程是 x ＋ 3y ＋ n ＝ 0，∵点 P(－ 4,2)在直线上， ∴－ 4＋ 3×2＋ n ＝ 0，∴ n ＝－ 2，即所求直线方程是 x ＋ 3y － 2＝0． 18． 证明 (1)∵ M 为 AB 的中点， D 为 PB 中点， ∴ DM ∥ AP ．又∵ DM ?平面 APC ，AP? 平面 APC ，∴ DM ∥平面 APC ．(2) ∵△ PMB 为正三角形， D 为 PB 中点，∴ DM ⊥ PB ． 又∵ DM ∥ AP ，∴ AP ⊥ PB ．又∵ AP ⊥ PC ， PC ∩PB ＝P ，∴ AP ⊥平面 PBC ． ∵ BC? 平面 PBC ，∴ AP ⊥BC ．又∵ AC ⊥ BC ，且 AC ∩AP ＝ A ， ∴ BC ⊥平面 APC ．又∵ BC? 平面 ABC ，∴平面 ABC ⊥平面 APC ．19． 解由三视图可知，该几何体的直观图能够当作是一个圆台和圆柱的组合体，则圆台的高为 h ′＝ 1 cm ，上底半径为 r ＝ 1 21 252 cm ，下底半径为 R ＝ 1 cm ，母线 l 为1＋ 1－2＝ 21(cm)，圆柱的底面半径为 R ＝ 1 cm ，高 h 为 2 cm ，∴该几何体的体积为 V ＝V 圆台 ＋V 圆柱＝ 1 底 面 ·h ＝ 1 π× 1 2 2π×1 221＝13( S 上 ＋ S 下 ＋ S 上 ·S 下 )h ′＋ S 3 2 ＋ π×1 ＋2×π ×1 ＋ π×1 ×123 32 π (cm)．该几何体的表面积为S 表面 ＝ πr 221 2＋π×1 2＋π× 1＋ 1× 5＋＋ πR ＋ π(R ＋ r ) ·l ＋ 2πRh ＝ π× 2 2 21＝9＋3 522π×1×4π (cm) ．2∴该几何体的体积为133，表面积为 9＋ 352．12π cm 2 24 π cm20． 解 方法一 设圆的方程为x ＋ y ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0① 将 P ， Q 坐标代入①得4D － 2E ＋F ＝－ 20 ②D －3E －F ＝ 10③令 x ＝ 0，由①得 y 2＋ Ey ＋ F ＝ 0 ④据题设知 |y 1－ y 2|＝ 4 3，此中 y 1， y 2 是④的两根．因此 (y 1 －y 2)2＝ (y 1＋ y 2) 2－ 4y 1 y 2＝ E 2 －4F ＝ 48 ⑤解由②③⑤构成的方程组得D ＝－ 2，E ＝0，F ＝－ 12 或 D ＝－ 10， E ＝－ 8， F ＝ 4． 故所求圆的方程为x 2＋ y 2－ 2x － 12＝ 0 或 x 2＋ y 2－ 10x － 8y ＋ 4＝ 0．方法二 易求 PQ 的中垂线方程为 x － y － 1＝0 ①由于所求圆的圆心 C 在直线①上，故可设其坐标为 (a ， a －1)．又圆 C 的半径 r ＝ |CP |＝ a － 2＋a ＋ 2② 由已知圆 C 截 y 轴所得的线段长为 4 3，而点 C 到 y 轴的距离为 |a|，∴ r 2＝a2＋ 4 3 2，将②式代入得a 2－ 6a ＋ 5＝ 0．2因此有 a 1＝ 1， r 1 ＝ 13或 a 2＝ 5， r 2＝37，即( x － 1)2＋ y 2＝ 13 或 (x － 5)2＋ (y － 4)2＝37．21． 解 设 B(1,6)对于直线 l 1 ：x － y ＋ 3＝ 0 的对称点为 B ′(x ， y0) ，0 y 0－ 6 x 0－ 1·1＝－ 1，则x 0＋ 1 y 0＋ 62 －＋3＝0，2x 0＝ 3，解得y 0＝4.∴ B ′(3,4)．依题意知 B ′在入射光芒上．又 A(－ 4,1)也在入射光芒上，∴所求方程为 3x － 7y ＋ 19＝ 0．22． (1)证明∵圆 C 过原点 O ，2 24∴ r ＝t ＋ t 2．22 2 24设圆 C 的方程是 (x － t)＋ y － t ＝ t ＋ t 2，令 x ＝ 0，得 y 1 ＝0， y 2＝ 4；令 y ＝ 0，得 x 1＝0， x 2＝ 2t ． t11 4×|2t|＝ 4，∴ S △OAB ＝OA ×OB ＝ ×t 2 2即△ OAB 的面积为定值．(2) 解 ∵ OM ＝ON ， CM ＝CN ，∴ OC 垂直均分线段 MN ．∵ k MN ＝－ 2，∴ k OC ＝1． 21∴直线 OC 的方程是 y ＝ x ．2 1∴ t ＝ 2t ．解得 t ＝ 2 或 t ＝－ 2．当 t ＝2 时，圆心 C 的坐标为 (2,1)， OC ＝ 5，此时 C 到直线 y ＝－ 2x ＋ 4 的距离 d ＝ 1< 5， 5圆 C 与直线 y ＝－ 2x ＋ 4 订交于两点．当 t ＝－ 2 时，圆心 C 的坐标为 (－2，－ 1)， OC ＝5，此时 C 到直线 y ＝－ 2x ＋ 4 的距离 d ＝9> 5，5圆 C 与直线 y ＝－ 2x ＋ 4 不订交， ∴ t ＝－ 2 不切合题意，舍去．∴圆 C 的方程为 (x － 2) 2＋ (y － 1)2＝ 5．。
人教版高中数学选择性必修第二册 全册模块综合检测2(含解析)
人教版高中数学选择性必修第二册全册模块综合检测2(原卷版)(时间：120分钟，分值：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知函数f(x)＝e2x＋1，则f′(0)＝()A．0B．eC．2e D．e22．在等差数列{a n}中，a1＋a4＋a7＝36，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9的值为() A．27B．30C．33D．363．已知a>0，b>0，a，b的等比中项为2，则a＋1b＋b＋1a的最小值为()A．3B．4 C．5D．424．函数y＝x－12x＋1在(1,0)处的切线与直线l：y＝ax垂直，则a＝() A．－3B．3C．13D．－135．已知等差数列{a n}的前n项和S n满足：S37－S23＝a，则S60＝()A．4a B．307aC．5a D．407a6．函数f(x)＝(x2＋2x)e2x的图象大致是()7．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，则芒种日影长为()A．一尺五寸B．二尺五寸C．三尺五寸D．四尺五寸8．已知函数f(x)＝x3－x和点P(1，－1)，则过点P与该函数图象相切的直线条数为() A．1B．2C．3D．4二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝2a n－2，若存在两项a m，a n，使得a m a n＝64，则() A．数列{a n}为等差数列B．数列{a n}为等比数列C．a21＋a22＋…＋a2n＝4n－13D．m＋n为定值10．若函数e x f(x)(e＝2.7182…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数为()A．f(x)＝2－x B．f(x)＝3－xC．f(x)＝x3D．f(x)＝x2＋211．设等比数列{a n}的公比为q，其前n项和为S n，前n项积为T n，并且满足条件a1>1，a6a7>1，a6－1<0，则下列结论正确的是()a7－1A．0<q<1B．a6a8>1C．S n的最大值为S7D．T n的最大值为T612．设f′(x)为函数f(x)的导函数，已知x2f′(x)＋xf(x)＝ln x，f(1)＝12，则下列结论正确的是()A．xf(x)在(1，＋∞)单调递增B．xf(x)在(0,1)单调递减C．xf(x)在(0，＋∞)上有极大值12D．xf(x)在(0，＋∞)上有极小值12三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知等差数列{a n}中，a4＝8，a8＝4，则其通项公式a n＝________.a1a9，则a n＝________，数列14.已知正项等比数列{a n}满足a1＝1，a2a6a7＝116{log2a n}的前n项和为________．15.函数f(x)＝12x2－ln x的单调递减区间是________．16.已知函数f(x)＝ln x＋mx，若函数f(x)的极小值不小于0，则实数m的取值范围为________．四、解答题(本题共6小题，共70分)17.(10分)等比数列{a n}中，已知a1＝2，a4＝16.(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)若a3，a5分别是等差数列{b n}的第4项和第16项，求数列{b n}的通项公式及前n项和S n.18.(12分)已知函数f(x)＝12x2－3ln x.(1)求f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)试判断f(x)在区间(1，e)上有没有零点．若有，判断零点的个数．19.(12分)设数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，且a3＝2，S9＝54.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)证明：1a1＋3＋1a2＋3＋1a3＋3＋…＋1a100＋3>13.20.(12分)设函数f(x)＝e x－ax－1(a∈R)．(1)若a＝2，求函数f(x)在区间[0,2]上的最大值和最小值；(2)当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围．21.(12分)等差数列{a n}中，S3＝21，S6＝24，(1)求数列{a n}的前n项和公式S n；(2)求数列{|a n|}的前n项和T n.22.(12分)已知a，b∈R，设函数f(x)＝e x－ax－b x2＋1.(1)若b＝0，求f(x)的单调区间；(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)的最小值为0，求a＋5b的最大值．注：e＝2.71828…为自然对数的底数．人教版高中数学选择性必修第二册全册模块综合检测2(解析版)(时间：120分钟，分值：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知函数f (x )＝e 2x ＋1，则f ′(0)＝()A ．0B ．e C ．2e D ．e 2C解析：∵f (x )＝e 2x ＋1，∴f ′(x )＝2e 2x ＋1，∴f ′(0)＝2e.故选C ．2．在等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝36，a 2＋a 5＋a 8＝33，则a 3＋a 6＋a 9的值为()A ．27B ．30C ．33D ．36B解析：因为a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝36，所以a 4＝12.因为a 2＋a 5＋a 8＝33，所以a 5＝11.所以d＝a 5－a 4＝－1，所以a 3＋a 6＋a 9＝3a 6＝3(a 5＋d )＝30.故选B ．3．已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项为2，则a ＋1b ＋b ＋1a 的最小值为()A ．3B ．4C ．5D ．42C解析：∵a ＋1b ＋b ＋1a ＝(a ＋b )＋a ＋b ab＝(a ＋b ＝54(a ＋b )≥54·2ab ＝5，等号成立当且仅当a ＝b ＝2，原式的最小值为5.4．函数y ＝x －12x ＋1在(1,0)处的切线与直线l ：y ＝ax 垂直，则a ＝()A ．－3B ．3C ．13D ．－13A解析：∵y ′＝3(2x ＋1)2，∴y ′|x ＝1＝13，∴函数在(1,0)处的切线的斜率是13，所以，与此切线垂直的直线的斜率是－3，∴a ＝－3.故选A ．5．已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 37－S 23＝a ，则S 60＝()A ．4aB ．307a C ．5aD ．407aB 解析：因为S 37－S 23＝a 24＋a 25＋…＋a 37＝a 24＋a 372×14＝7(a 24＋a 37)＝a .所以S 60＝a 1＋a 602×60＝30(a 24＋a 37)＝307a .故选B ．6．函数f (x )＝(x 2＋2x )e 2x 的图象大致是()A 解析：由于f ′(x )＝2(x 2＋3x ＋1)·e 2x ，而y ＝x 2＋3x ＋1的判别式Δ＝9－4＝5>0，所以y＝x 2＋3x ＋1开口向上且有两个根x 1，x 2.不妨设x 1<x 2，所以f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上递增，在(x 1，x 2)上递减．所以C ，D 选项不正确．当x <－2时，f (x )>0，所以B 选项不正确．由此得出A 选项正确．故选A ．7．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，则芒种日影长为()A ．一尺五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸B解析：由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{a n }，S n 是其前n 项和，则S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝85.5，所以a 5＝9.5，由题知a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝31.5，所以a 4＝10.5，所以公差d ＝a 5－a 4＝－1.所以a 12＝a 5＋7d ＝2.5尺．故选B ．8．已知函数f (x )＝x 3－x 和点P (1，－1)，则过点P 与该函数图象相切的直线条数为()A ．1B ．2C ．3D ．4B解析：因为f (1)＝13－1＝0，所以点P (1，－1)没有在函数的图象上．设切点坐标为(x 0，y 0)，则y 0＝x 30－x 0，则f ′(x )＝3x 2－1.由导数的几何意义可知，过切点的斜率为k ＝3x 20－1，过P (1，－1)和切点的斜率表示为k ＝y 0＋1x 0－1，－x0，3x20－1，化简可得x20(2x0－3)＝0，所以x0＝0或x0＝32.所以切点有两个，因而有两条切线方程．故选B．二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝2a n－2，若存在两项a m，a n，使得a m a n＝64，则() A．数列{a n}为等差数列B．数列{a n}为等比数列C．a21＋a22＋…＋a2n＝4n－13D．m＋n为定值BD解析：由题意，当n＝1时，S1＝2a1－2，解得a1＝2，当n≥2时，S n－1＝2a n－1－2，所以S n－S n－1＝a n＝2a n－2－(2a n－1－2)＝2a n－2a n－1，所以a na n－1＝2，数列{a n}是以a1＝2为首项，q＝2为公比的等比数列，a n＝2n，故选项A错误，选项B正确；数列{a2n}是以a21＝4为首项，q1＝4为公比的等比数列，所以a21＋a22＋…＋a2n＝a21(1－q n1)1－q1＝4×(1－4n)1－4＝4n＋1－43，故选项C 错误；a m a n＝2m2n＝2m＋n＝64＝26，所以m＋n＝6为定值，故选项D正确．故选BD．10．若函数e x f(x)(e＝2.7182…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数为()A．f(x)＝2－x B．f(x)＝3－xC．f(x)＝x3D．f(x)＝x2＋2AD解析：对于选项A，f(x)＝2－x，则g(x)＝e x f(x)＝e x·2－x为实数集上的增函数；对于选项B，f(x)＝3－x，则g(x)＝e x f(x)＝e x·3－x为实数集上的减函数；对于选项C，f(x)＝x3，则g(x)＝e x f(x)＝e x·x3，g′(x)＝e x·x3＋3e x·x2＝e x(x3＋3x2)＝e x·x2(x＋3)，当x＜－3时，g′(x)＜0，∴g(x)＝e x f(x)在定义域R上先减后增；对于选项D，f(x)＝x2＋2，则g(x)＝e x f(x)＝e x(x2＋2)，g′(x)＝e x(x2＋2)＋2x e x＝e x(x2＋2x＋2)＞0在实数集R上恒成立，∴g(x)＝e x f(x)在定义域R上是增函数．故选AD．11．设等比数列{a n}的公比为q，其前n项和为S n，前n项积为T n，并且满足条件a1>1，a6a7>1，a6－1a7－1<0，则下列结论正确的是()A．0<q<1B．a6a8>1C．S n的最大值为S7D．T n的最大值为T6AD 解析：易知q >0，若q >1，则a 6>1，a 7>1，与a 6－1a 7－1>0矛盾，故0<q <1.所以0<a 7<1.所以a 6a 8＝a 27<1.因为a 7>0，a 8>0，所以S n 的最大值一定不为S 7.因为0<a 7<1，a 6>1，所以T n 的最大值为T 6，故选AD ．12．设f ′(x )为函数f (x )的导函数，已知x 2f ′(x )＋xf (x )＝ln x ，f (1)＝12，则下列结论正确的是()A ．xf (x )在(1，＋∞)单调递增B ．xf (x )在(0,1)单调递减C ．xf (x )在(0，＋∞)上有极大值12D ．xf (x )在(0，＋∞)上有极小值12ABD解析：由x 2f ′(x )＋xf (x )＝ln x 得x ＞0，则xf ′(x )＋f (x )＝ln x x ，由[xf (x )]′＝ln xx .设g (x )＝xf (x )，即g ′(x )＝ln xx>0得x ＞1.由g ′(x )＜0得0＜x ＜1，即xf (x )在(1，＋∞)单调递增，在(0,1)单调递减，即当x ＝1时，函数g (x )＝xf (x )取得极小值g (1)＝f (1)＝12.故选ABD ．三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知等差数列{a n }中，a 4＝8，a 8＝4，则其通项公式a n ＝________.12－n 解析：∵等差数列{a n }中，a 4＝8，a 8＝4，4＝a 1＋3d ＝8，8＝a 1＋7d ＝4，解得a 1＝11，d ＝－1，∴a n ＝11＋(n －1)×(－1)＝12－n .14.已知正项等比数列{a n }满足a 1＝1，a 2a 6a 7＝116a 1a 9，则a n ＝________，数列{log 2a n }的前n 项和为________．2－n ＋1－n (n －1)2解析：由a 1＝1，a 2a 6a 7＝1161a 9得a 5＝a 1q 4＝116，q ＝12，a n －1＝2－n＋1.而log 2a n ＝－n ＋1，所以{log 2a n }的前n 项和为－n (n －1)2.15.函数f (x )＝12x 2－ln x 的单调递减区间是________．(0,1]解析：f (x )＝12x 2－ln x ，则f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x ＝(x ＋1)(x －1)x≤0，故0<x ≤1.16.已知函数f (x )＝ln x ＋mx，若函数f (x )的极小值不小于0，则实数m 的取值范围为________．1e，＋∞解析：由f (x )＝ln x ＋m x 得f ′(x )＝1x －m x 2＝x －mx2，定义域为(0，＋∞)．当m ≤0时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增，函数无极值；当m >0时，令f ′(x )＝0⇒x ＝m ，当x ∈(0，m )时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减；当x ∈(m ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增．所以当x ＝m 时，函数y ＝f (x )取极小值，且为f (m )＝ln m ＋1.依题意有ln m ＋1≥0⇒m ≥1e ，因此，实数m 的取值范围是1e ，＋∞四、解答题(本题共6小题，共70分)17.(10分)等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若a 3，a 5分别是等差数列{b n }的第4项和第16项，求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .解：(1)设{a n }的公比为q ，由已知得16＝2q 3，解得q ＝2，所以a n ＝2n .(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 4＝8，b 16＝32.设{b n }的公差为d b 1＋3d ＝8，b 1＋15d ＝32，b 1＝2，d ＝2.从而b n ＝2＋2(n －1)＝2n .所以数列{b n }的前n 项和S n ＝(2＋2n )n2＝n 2＋n .18.(12分)已知函数f (x )＝12x 2－3ln x .(1)求f (x )在(1，f (1))处的切线方程；(2)试判断f (x )在区间(1，e)上有没有零点．若有，判断零点的个数．解：(1)由已知得f ′(x )＝x －3x ，有f ′(1)＝－2，f (1)＝12，∴在(1，f (1))处的切线方程为y －12＝－2(x －1)，化简得4x ＋2y －5＝0.(2)由(1)知f ′(x )＝(x －3)(x ＋3)x ，因为x >0，令f ′(x )＝0，得x ＝ 3.所以当x ∈(0，3)时，有f ′(x )<0，则(0，3)是函数f (x )的单调递减区间；当x ∈(3，＋∞)时，有f ′(x )>0，则(3，＋∞)是函数f (x )的单调递增区间；当x ∈(1，e)时，函数f (x )在(1，3)上单调递减，在(3，e)上单调递增．又因为f (1)＝12，f (e)＝12e 2－3>0，f (3)＝32(1－ln 3)<0，所以f (x )在区间(1，e)上有两个零点.19.(12分)设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，且a 3＝2，S 9＝54.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：1a 1＋3＋1a 2＋3＋1a 3＋3＋…＋1a 100＋3>13.(1)解：设数列{a n }的公差为d ，∵S 9＝9a 5＝54，∴a 5＝6，∴d ＝a 5－a 35－3＝2，∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝2n －4.(2)证明：∵1a n ＋3＝12n －1>22n －1＋2n ＋1＝2n ＋1－2n －1，∴1a 1＋3＋1a 2＋3＋1a 3＋3＋…＋1a 100＋3>(3－1)＋(5－3)＋…＋(201－199)＝201－1>14－1＝13，∴1a 1＋3＋1a 2＋3＋1a 3＋3＋…＋1a 100＋3>13.20.(12分)设函数f (x )＝e x －ax －1(a ∈R )．(1)若a ＝2，求函数f (x )在区间[0,2]上的最大值和最小值；(2)当x ≥0时，f (x )≥0，求a 的取值范围．解：(1)f (x )＝e x －2x －1，取f ′(x )＝e x －2＝0，即x ＝ln 2，函数在[0，ln 2]上单调递减，在(ln 2,2]上单调递增，且f (0)＝0，f (2)＝e 2－5，f (ln 2)＝1－2ln 2，故函数的最大值为f (2)＝e 2－5，最小值为f (ln 2)＝1－2ln 2.(2)f (x )＝e x －ax －1，f ′(x )＝e x －a ，f (0)＝0.当a ≤0时，f ′(x )＝e x －a >0，函数单调递增，故f (x )≥f (0)＝0，成立；当a >0时，f ′(x )＝e x －a ＝0，即x ＝ln a ，故函数在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，故f (ln a )<f (0)＝0，不成立．综上所述，a 的取值范围为(－∞，0].21.(12分)等差数列{a n }中，S 3＝21，S 6＝24，(1)求数列{a n }的前n 项和公式S n ；(2)求数列{|a n |}的前n 项和T n .解：(1)设{a n }首项为a 1，公差为d ，由S 3＝21，S 6＝24，a 1＋3×22d ＝21，a 1＋6×52d ＝24，1＝9，＝－2.∴S n ＝n ×9＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋10n .(2)由(1)知，a n ＝9＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋11，由a n ≥0得－2n ＋11≥0，即n ≤112.当n ≤5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－n 2＋10n ；当n ≥6时，T n ＝|a 1|＋…＋|a 5|＋|a 6|＋…＋|a n |＝(a 1＋a 2＋…＋a 5)－(a 6＋…＋a n )＝S 5－(S n －S 5)＝n 2－10n ＋50.综上，T nn 2＋10n (n ≤5)，2－10n ＋50(n ≥6).22.(12分)已知a ，b ∈R ，设函数f (x )＝e x －ax －b x 2＋1.(1)若b ＝0，求f (x )的单调区间；(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )的最小值为0，求a ＋5b 的最大值．注：e ＝2.71828…为自然对数的底数．解：(1)f (x )＝e x －ax ，f ′(x )＝e x －a ，当a ≤0时，f ′(x )＝e x －a ≥0恒成立，函数单调递增；当a >0时，f ′(x )＝e x －a ＝0，x ＝ln a ，当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0，函数单调递减；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数单调递增．综上所述，a ≤0时，f (x )在R 上单调递增；a >0时，f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．(2)f (x )＝e x－ax －bx 2＋1≥0在x ∈[0，＋∞)上恒成立，＝e －12a －52b ≥0，故a ＋5b ≤2e ，现在证明存在a ，b ，a ＋5b ＝2e ，使f (x )的最小值为0.取a ＝3e 4，b ＝5e 4(此时可使f 0)，f ′(x )＝e x －a －bx x 2＋1，f ″(x )＝e x －b (x 2＋1)x 2＋1，b ＝5e 4<1，故当x ∈[0，＋∞)时，(x 2＋1)x 2＋1≥1，e x ≥1，故f ″(x )≥0，f ′(x )在[0，＋∞)上单调递增，f 0，故f (x )在0f (x )min ＝0.综上所述，a ＋5b 的最大值为2 e.。
高中数学 模块测试C 新人教A版必修2
数学人教A 版必修2模块测试卷(C)（全卷满分100分，考试时间100分钟）参考公式S 柱体侧＝ch （c 表示柱体的底面周长，h 表示柱体的高） S 锥体侧＝12cl （c 表示锥体的底面周长，l 表示锥体的斜高） S 台体侧＝12（c 1＋c 2）l （c 1、c 2表示台体的上、下底面周长，l 表示台体的斜高） S 球面＝24R π（R 表示球半径） V 球＝343R π（R 表示球半径） V 柱体＝Sh （S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高） V 锥体＝13Sh （S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高） V 台体＝131212()S S S S ++⋅h （S 1、S 2表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高） 一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．若直线的倾斜角为1200，则直线的斜率为：A ．3B ．－3C ．33 D ．33- 2．下列命题中，错误的是：A ．平行于同一条直线的两个平面平行.B ．平行于同一个平面的两个平面平行.C ．一个平面与两个平行平面相交，交线平行.D ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交. 3．若图中直线123,,l l l 的斜率分别为k1,k2,k3,则 A.k2<k1<k3 B.k3<k2<k1 C.k2<k3<k1 D.k1<k3<k24．如图所示，用符号语言可表达为 A ．α∩β＝m ，n ⊂α，m ∩n ＝A B ．α∩β＝m ，n ∈α，m ∩n ＝AC ．α∩β＝m ，n ⊂α，A ⊂m ，A ⊂ nD ．α∩β＝m ，n ∈α，A ∈m ，A ∈ n 5．给出下列四个命题：① 若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行.② 若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行.βαAnm③ 若两条直线都与第三条直线平行，则这条直线互相平行.④ 若两条直线都与同一平面平行，则这条直线互相平行. 其中正确的命题的个数是： A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，与BD 1所成的角为900的表面的对角线有A ．4条B ．5条C ．6条D ．8条 7．下列直线中，斜率为43-，且不经过第一象限的是 A ．3x ＋4y ＋7=0 B ．4x ＋3y ＋7=0 C ．4x ＋3y-42=0 D ．3x ＋4y-42=08．已知两直线1:(3)453l a x y a ++=-与2:2(5)8l x a y ++=平行，则a 等于 A ． 17--或 B ．17或 C ．7- D ．1-9．下列命题中正确的是（其中a 、b 、c 为不相重合的直线，α为平面）①若b ∥a ，c ∥a ，则b ∥c②若b ⊥a ，c ⊥a ，则b ∥c ③若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ④若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b A ．①、②、③、④ B ．①，④C ．①D ．④ A10．已知三棱锥A BCD -的棱长都相等，,E F 分别是棱,AB CD 的中点，则EF BC 与所成的角是：A ．030B ．45oC ．60oD ．90o11．过点(1,2),且在两坐标轴上的截距相等的直线有 A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条12．设γβα,,为两两不重合的平面，n m l ,,为两两不重合的直线，给出下列四个命题： ①若γα⊥，γβ⊥，则//αβ；②若α⊂m ，α⊂n ，//m β，//n β，则//αβ；③若//αβ，α⊂l ，则//l β； ④若l =βαI，m =γβI ，n =αγI ，//l γ，则//m n 。
数学必修2综合测试题及答案(C)-
数学必修2综合测试题及答案（C ）说明：本试卷满分100分。
另有附加题10分，附加题得分不计入总分。
一、选择题（12×3分＝36分）(请将答案填在下面的答题框内) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案1、下列命题为真命题的是（ ）A. 平行于同一平面的两条直线平行；B.与某一平面成等角的两条直线平行；C. 垂直于同一平面的两条直线平行；D.垂直于同一直线的两条直线平行。
2、下列命题中错误的是：（ ）A. 如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β；B. 如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面β；C. 如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面β；D. 如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l,那么l ⊥γ.3、右图的正方体ABCD-A ’B ’C ’D ’中,异面直线AA ’与BC 所成的角是（ ） A. 300 B.450 C. 600 D. 900 4、右图的正方体ABCD- A ’B ’C ’D ’中， 二面角D ’-AB-D 的大小是（ ）A. 300B.450C. 600D. 9005、直线5x-2y-10=0在x 轴上的截距为a,在y 轴上的截距为b,则（ ） A.a=2,b=5; B.a=2,b=-5; C.a=-2,b=5; D.a=-2,b= -5.6、直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是（ ） A (3,-1) B (-1,3) C (-3,-1) D (3,1)7、过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是（ ） A 4x+3y-13=0 B 4x-3y-19=0 C 3x-4y-16=0 D 3x+4y-8=08、正方体的全面积为a,它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是：（ ） A.3aπ; B.2aπ; C.a π2; D.a π3.9、已知一个铜质的五棱柱的底面积为16cm 2,高为4cm ，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块（不计损耗），那么铸成的铜块的棱长是（ ） A. 2cm; B.cm 34; C.4cm; D.8cm 。
高一数学人教版A版必修二模块综合检测(C) Word版含解析
模块综合检测()(时间：分钟满分：分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分)．如图所示，桌面上放着一个圆锥和一个长方体，其俯视图是()．如图所示，一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为，那么这个几何体的体积为()．．．．．直线(＋－)＋(－)＝－在轴上的截距为，则等于()．．．－．或－．直线－－＝与圆＋－＋＋－＝总有两个不同的交点，则的取值范围是()．－<<．－<<．－<<．－<<．若为平面α外一点，则下列说法正确的是()．过只能作一条直线与平面α相交．过可能作无数条直线与平面α垂直．过只能作一条直线与平面α平行．过可作无数条直线与平面α平行．连接平面外一点和平面α内不共线的三点，，，，，分别在，，的延长线上，，，与平面α分别交于，，，则，，三点()．成钝角三角形．成锐角三角形．成直角三角形．共线．在圆＋＝上与直线：＋－＝的距离最小的点的坐标是()．．．．．矩形的对角线，成°角，把矩形所在的平面以为折痕，折成一个直二面角－－，连接，则与平面所成角的正切值为()．．．．．若⊙：＋－＋＝和⊙：＋＋－＝－相交，则的取值范围是()．．()．∪() ．．已知点是直线＋＋＝上的动点，是圆：＋－－＋＝的切线，为切点，则的最小值为()．．．．．二面角α－－β的平面角为°，在面α内，⊥于，＝，在平面β内，⊥于，＝，＝，为棱上的一个动点，则＋的最小值为()．．．．．如果圆＋(－)＝上任意一点(，)都能使＋＋≥成立，那么实数的取值范围是()．≥－－．≤－－．≥－．≤－二、填空题(本大题共小题，每小题分，共分)．如图所示，半径为的半圆内的阴影部分以直径所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，∠＝°，则此几何体的体积为．．(，－)在直线＋－＝上的射影为()，则－＋＝关于＋－＝对称的直线方程为．．由动点向圆＋＝引两条切线、，切点分别为，，∠＝°，则动点的轨迹方程为．。
最新苏教版高中数学必修二模块综合检测(C)及答案解析.docx
（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修二模块综合检测（C）(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．如图所示，一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为________．2．直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1在x轴上的截距为1，则m＝________．3．直线4x－3y－2＝0与圆x2＋y2－2ax＋4y＋a2－12＝0总有两个不同的交点，则a 的取值范围是____________．4．若P为平面α外一点，则下列说法正确的是______(填序号)．①过P只能作一条直线与平面α相交；②过P可能作无数条直线与平面α垂直；③过P只能作一条直线与平面α平行；④过P可作无数条直线与平面α平行．5．在圆x2＋y2＝4上与直线l：4x＋3y－12＝0的距离最小的点的坐标是______________．6．矩形ABCD的对角线AC，BD成60°角，把矩形所在的平面以AC为折痕，折成一个直二面角D－AC－B，连结BD，则BD与平面ABC所成角的正切值为________．7．若⊙C1：x2＋y2－2mx＋m2＝4和⊙C2：x2＋y2＋2x－4my＝8－4m2相交，则m的取值范围是______________．8．已知点P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的切线，A为切点，则PA的最小值为________．9．二面角α－l－β的平面角为120°，在面α内，AB⊥l于B，AB＝2，在平面β内，CD⊥l 于D，CD＝3，BD＝1，M为棱l上的一个动点，则AM＋CM的最小值为__________．10．如果圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点P(x，y)都能使x＋y＋c≥0成立，那么实数c的取值范围是__________．11．如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，∠BAC＝30°，则此几何体的体积为________．12．P(0，－1)在直线ax＋y－b＝0上的射影为Q(1,0)，则ax－y＋b＝0关于x＋y－1＝0对称的直线方程为________．13．由动点P向圆x2＋y2＝1引两条切线PA、PB，切点分别为A，B，∠APB＝60°，则动点的轨迹方程为________．14．如图所示的是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中完全一样的是________．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知点P(－4,2)和直线l：3x－y－7＝0．求：(1)过点P与直线l平行的直线方程；(2)过点P与直线l垂直的直线方程．16．(14分) 如图所示，在棱锥A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．求证：(1)DM∥平面APC；(2)平面ABC⊥平面APC．17．(14分)已知一个几何体的三视图如图所示，试求它的表面积和体积．(单位：cm)18．(16分)已知圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为43，求圆的方程．19．(16分)从点A(－4,1)出发的一束光线l，经过直线l1：x－y＋3＝0反射，反射光线恰好通过点B(1，6)，求入射光线l所在的直线方程．20．(16分)已知以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M 、N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程．模块综合检测(C) 答案1．162．2或－12解析 令y ＝0，则(2m 2＋m －3)x ＝4m －1，所以直线在x 轴上的截距为4m －12m 2＋m －3＝1，所以m ＝2或m ＝－12．3．－6<a<4解析 将圆的方程化为(x －a)2＋(y ＋2)2＝16． 圆心(a ，－2)到直线的距离d ＝|4a ＋4|5．∵直线与圆有两个不同交点， ∴d<4，即|4a ＋4|5<4，得－6<a<4． 4．④5．⎝ ⎛⎭⎪⎫85，65解析 经过圆心O 且与直线l 垂直的直线的方程是3x －4y ＝0．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝0，x 2＋y 2＝4得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝85，y ＝65或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－85，y ＝－65画出图形，可以判断点⎝ ⎛⎭⎪⎫85，65是圆x 2＋y 2＝4上到直线l 距离最小的点，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－85，－65是圆x 2＋y 2＝4上到直线l 距离最大的点．6．2177．⎝ ⎛⎭⎪⎫－125，－25∪(0,2)解析 圆C 1和C 2的圆心坐标及半径分别为 C 1(m,0)，r 1＝2，C 2(－1,2m)，r 2＝3． 由两圆相交的条件得3－2<C 1C 2<3＋2，即1<5m 2＋2m ＋1<25，解得－125<m<－25或0<m<2．8．22解析 圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的半径为1，要使PA 最小，只需PC 最小， (PC)min ＝|3＋4＋8|32＋42＝3．故(PA)min ＝32－12＝22．9．26解析 将图(1)中二面角α－l －β展成平面，如图(2)所示．连结AC 交l 于M 则AM ＋CM 最小值为AC ＝BD 2＋(AB ＋CD )2＝26．10．c ≥2－1解析 对任意点P(x ，y)能使x ＋y ＋c ≥0成立，等价于c ≥[－(x ＋y)]max ． 设b ＝－(x ＋y)，则y ＝－x －b ．∴圆心(0,1)到直线y ＝－x －b 的距离d ＝|1＋b|2≤1，解得，－2－1≤b ≤2－1．∴c ≥2－1．11．56πR 3解析 半圆旋转一周形成一个球体，其体积为V 球＝43πR 3，内部两个圆锥的体积之和为V 锥＝13πCD 2·AB ＝13π·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32R 2·2R ＝π2R 3， ∴所求几何体的体积为43πR 3－π2R 3＝56πR 3． 12．x －y ＋1＝0解析 ∵k PQ ·(－a)＝－1，∴a ＝1，Q(1,0)代入x ＋y －b ＝0得b ＝1，将其代入ax －y ＋b ＝0，得x －y ＋1＝0，此直线与x ＋y －1＝0垂直，∴其关于x ＋y －1＝0的对称的直线是其本身． 13．x 2＋y 2＝4解析 在Rt △AOP 中，∵∠APB ＝60°， ∴∠APO ＝30°，∴PO ＝2OA ＝2，动点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，方程为x 2＋y 2＝4． 14．(2)(3)(4)解析 由正方体的平面展开图可得：(2)(3)(4)是相同的． 15．解 (1)设所求直线的方程是 3x －y ＋m ＝0(m ≠－7)， ∵点P(－4,2)在直线上， ∴3×(－4)－2＋m ＝0，∴m ＝14，即所求直线方程是3x －y ＋14＝0． (2)设所求直线的方程是x ＋3y ＋n ＝0， ∵点P(－4,2)在直线上， ∴－4＋3×2＋n ＝0，∴n ＝－2，即所求直线方程是x ＋3y －2＝0． 16．证明 (1)∵M 为AB 的中点，D 为PB 中点， ∴DM ∥AP ．又∵DM ⊄平面APC ，AP ⊂平面APC ， ∴DM ∥平面APC ．(2)∵△PMB 为正三角形，D 为PB 中点， ∴DM ⊥PB ．又∵DM ∥AP ，∴AP ⊥PB ．又∵AP ⊥PC ，PC ∩PB ＝P ，∴AP ⊥平面PBC ． ∵BC ⊂平面PBC ， ∴AP ⊥BC ．又∵AC ⊥BC ，且AC ∩AP ＝A ， ∴BC ⊥平面APC ．又∵BC ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面APC ．17．解 由三视图可知，该几何体的直观图可以看成是一个圆台和圆柱的组合体，则圆台的高为h ′＝1 cm ，上底半径为r ＝12 cm ，下底半径为R ＝1 cm ，母线l 为12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＝52(cm )，圆柱的底面半径为R ＝1 cm ，高h 为12cm ，∴该几何体的体积为V ＝V 圆台＋V 圆柱 ＝13(S 上＋S 下＋S 上·S 下)h ′＋S 底面·h＝13⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋π×12＋π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×π×1＋π×12×12＝1312π(cm 3)．该几何体的表面积为S 表面＝πr 2＋πR 2＋π(R ＋r)·l ＋2πRh ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋π×12＋π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12×52＋2π×1×12＝9＋354π(cm 2)．∴该几何体的体积为1312πcm 3，表面积为9＋354πcm 2．18．解 方法一 设圆的方程为 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 ① 将P ，Q 坐标代入①得⎩⎪⎨⎪⎧4D －2E ＋F ＝－20 ②D －3E －F ＝10 ③令x ＝0，由①得y 2＋Ey ＋F ＝0 ④ 据题设知|y 1－y 2|＝43，其中y 1，y 2是④的两根．所以(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝E 2－4F ＝48⑤解由②③⑤组成的方程组得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12或D ＝－10，E ＝－8，F ＝4． 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0． 方法二 易求PQ 的中垂线方程为x －y －1＝0 ① 因为所求圆的圆心C 在直线①上， 故可设其坐标为(a ，a －1)． 又圆C 的半径r ＝CP ＝(a －4)2＋(a ＋1)2 ②由已知圆C 截y 轴所得的线段长为43，而点C 到y 轴的距离为|a|，∴r 2＝a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4322，将②式代入得a 2－6a ＋5＝0． 所以有a 1＝1，r 1＝13或a 2＝5，r 2＝37，即(x －1)2＋y 2＝13或(x －5)2＋(y －4)2＝37．19．解 设B(1,6)关于直线l 1：x －y ＋3＝0的对称点为B ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－6x 0－1·1＝－1，x 0＋12－y 0＋62＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝4.∴B ′(3,4)．依题意知B ′在入射光线上． 又A(－4,1)也在入射光线上， ∴所求方程为3x －7y ＋19＝0．20．(1)证明 ∵圆C 过原点O ，∴r 2＝t 2＋4t 2．设圆C 的方程是(x －t)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2，令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t ；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ．∴S △OAB ＝12OA ×OB ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ×|2t|＝4，即△OAB 的面积为定值． (2)解 ∵OM ＝ON ，CM ＝CN ， ∴OC 垂直平分线段MN ． ∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12．∴直线OC 的方程是y ＝12x ．∴2t ＝12t ．解得t ＝2或t ＝－2． 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5， 此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15<5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点． 当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)， OC ＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95>5， 圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， ∴t ＝－2不符合题意，舍去． ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5．。
2021-2022学年新教材高中数学 模块综合测评(含解析)北师大版必修第二册
模块综合测评(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量a ＝(cos 75°，sin 75°)，b ＝(cos 15°，sin 15°)，则|a －b |的值为( )A ．12B ．1C ．2D ．3B [如图，将向量a ，b 的起点都移到原点，即a ＝OA →，b ＝OB →，则|a －b |＝|BA →|且∠xOA ＝75°，∠xOB ＝15°，于是∠AOB ＝60°，又因为|a |＝|b |＝1，则△AOB 为正三角形，从而|BA →|＝|a －b |＝1.]2．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－3x ＋3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－3x 的最小正周期为( )A ．2π3B ．π3C ．8D ．4A [y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－3x ＋3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－3x＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－3x ，所以T ＝2π|－3|＝2π3.]3．已知cos (α＋β)＝13，cos (α－β)＝15，则tan αtan β等于( )A ．14B ．－14C ．16D ．－16B[因为cos (α＋β)＝13，cos (α－β)＝15，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos αcos β－sin αsin β＝13，cos αcos β＋sin αsin β＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧cos αcos β＝415，sin αsin β＝－115，所以tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝－14.]4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝π2，a ＝6，sin 2B ＝2sin A sin C ，则△ABC 的面积S ＝( )A ．32B ．3C ． 6D ．6B [由sin 2B ＝2sin A sinC 及正弦定理，得b 2＝2ac ，① 又B ＝π2，所以a 2＋c 2＝b 2.②联立①②解得a ＝c ＝6，所以S ＝12×6×6＝3.]5．已知|p |＝22，|q |＝3，p ，q 的夹角为π4，如图，若AB →＝5p ＋2q ，AC →＝p －3q ，D 为BC 的中点，则|AD →|为( )A ．152B ．152C ．7D ．18A [∵AD →＝12(AC →＋AB →)＝12(6p －q )，∴|AD →|＝|AD →|2＝12（6p －q ）2＝1236p 2－12p ·q ＋q 2 ＝1236×（22）2－12×22×3×cos π4＋32＝152.]6．若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A ．l 与l 1，l 2都不相交B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交D [法一：由于l 与直线l 1，l 2分别共面，故直线l 与l 1，l 2要么都不相交，要么至少与l 1，l 2中的一条相交．若l ∥l 1，l ∥l 2，则l 1∥l 2，这与l 1，l 2是异面直线矛盾．故l 至少与l 1，l 2中的一条相交．法二：如图1，l 1与l 2是异面直线，l 1与l 平行，l 2与l 相交，故A ，B 不正确；如图2，l 1与l 2是异面直线，l 1，l 2都与l 相交，故C 不正确．]图1 图27．如图，在圆O 中，若弦AB ＝3，弦AC ＝5，则AO →·BC →的值是( )A ．－8B ．－1C ．1D ．8D [取BC 的中点D ，连接AD ，OD (图略)，则有OD ⊥BC .∵AD →＝12(AB →＋AC →)，AO →＝AD →＋DO →，BC →＝AC →－AB →，∴AO →·BC →＝(AD →＋DO →)·BC →＝AD →·BC →＋DO →·BC →＝AD →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(AC →2－AB →2)＝12(52－32)＝8，故选D.]8．函数y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4[cos (x ＋π4)－sin (x ＋π4)]在一个周期内的图象是( )A BC DB [y ＝(22cos x －22sin x ＋22sin x ＋22cos x )·(22cos x －22sin x －22sinx －22cos x )＝2cos x ·(－2sin x )＝－2sin x cos x ＝－sin 2x ，故选B.]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．9．已知复数z ＝i1－2i ，则以下说法正确的是( )A ．复数z 的虚部为i5B ．z 的共轭复数z －＝25－i5C ．|z |＝55D ．在复平面内与z 对应的点在第二象限CD [∵z ＝i 1－2i ＝i （1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝－25＋15i ，∴复数z 的虚部为15，z 的共轭复数z －＝－25－i 5，|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－252＋⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝55，复平面内与z 对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，15，在第二象限．故选CD.]10．已知A ，B ，C 表示不同的点，l 表示直线，α，β表示不同的平面，则下列推理正确的是( )A ．A ∈l ，A ∈α，B ∈l ，B ∈α⇒l ⊂αB ．A ∈α，A ∈β，B ∈α，B ∈β⇒α∩β＝ABC ．l ⊄α，A ∈l ⇒A ∉αD ．A ∈α，A ∈l ，l ⊄α⇒l ∩α＝AABD [对于选项A ：由基本事实2知，l ⊂α，故选项A 正确；对于选项B ：因为α，β表示不同的平面，由基本事实3知，平面α，β相交，且α∩β＝AB ，故选项B 正确；对于选项C ：l ⊄α分两种情况：l 与α相交或l ∥α.当l 与α相交时，若交点为A ，则A ∈α，故选项C 错误；对于选项D ：由基本事实2逆推可得结论成立，故选项D 成立；故选ABD.] 11．已知函数f ()x ＝2cos 22x －2，下列命题中的真命题有( ) A ．∃β∈R ，f ()x ＋β为奇函数B ．∃α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4，f ()x ＝f ()x ＋2α对x ∈R 恒成立C ．∀x 1，x 2∈R ，若||f ()x 1－f ()x 2＝2，则||x 1－x 2的最小值为π4D ．∀x 1，x 2∈R ，若f ()x 1＝f ()x 2＝0，则x 1－x 2＝k π()k ∈Z BC [由题意f ()x ＝2cos 22x －2＝cos4x －1； ∵f ()x ＝cos 4x －1的图象如图所示；函数f ()x ＋β的图象是f ()x 的图象向左或向右平移||β个单位， 它不会是奇函数的，故A 错误；若 f ()x ＝f ()x ＋2α，∴cos 4x －1＝cos ()4x ＋8α－1，∴8α＝2k π，∴α＝k π4，k ∈Z ；又∃α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4，∴取α＝π4或π2时，f ()x ＝f ()x ＋2α对x ∈R 恒成立，故B 正确；||f ()x 1－f ()x 2＝||cos 4x 1－cos 4x 2＝2时，||x 1－x 2的最小值为T2＝2π2×4＝π4，故C 正确；当f ()x 1＝f ()x 2＝0时， x 1－x 2＝kT ＝k ·2π4＝k π2()k ∈Z ，故D 错误；故选BC.]12．如图，在四棱锥P ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，F 是AB 的中点，E 是PB 上的一点，则下列说法正确的是( )A ．若PB ＝2PE ，则EF ∥平面PACB ．若PB ＝2PE ，则四棱锥P ABCD 的体积是三棱锥E ACB 体积的6倍C ．三棱锥P ADC 中有且只有三个面是直角三角形D ．平面BCP ⊥平面ACEAD [对于选项A ，因为PB ＝2PE ，所以E 是PB 的中点， 因为F 是AB 的中点，所以EF ∥PA ，因为PA ⊂平面PAC ，EF ⊄平面PAC ，所以EF ∥平面PAC ，故A 正确； 对于选项B ，因为PB ＝2PE ，所以V P ABCD ＝2V E ABCD ， 因为AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，所以梯形ABCD 的面积为12()CD ＋AB ·AD ＝12×()1＋2×1＝32，S △ABC ＝12AB ·AD ＝12×2×1＝1，所以V E ABCD ＝32V E ABC ，所以V P ABCD ＝3V E ABC ，故B 错误；对于选项C ，因为PC ⊥底面ABCD ，所以PC ⊥AC ，PC ⊥CD ，所以△PAC ，△PCD 为直角三角形，又AB ∥CD ，AB ⊥AD ，所以AD ⊥CD ，则△ACD 为直角三角形， 所以PA 2＝PC 2＋AC 2＝PC 2＋AD 2＋CD 2，PD 2＝CD 2＋PC 2，则PA2＝PD2＋AD2，所以△PAD是直角三角形，故三棱锥PADC的四个面都是直角三角形，故C错误；对于选项D，因为PC⊥底面ABCD，所以PC⊥AC，在Rt△ACD中，AC＝AD2＋CD2＝2，在直角梯形ABCD中，BC＝AD2＋()AB－CD2＝2，所以AC2＋BC2＝AB2，则AC⊥BC，因为BC∩PC＝C，所以AC⊥平面BCP，因为AC⊂平面ACE，所以平面BCP⊥平面ACE，故D正确，故选AD.]三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．已知复数z满足(1＋2i)z＝－3＋4i，则|z|＝________．5 [∵(1＋2i)z＝－3＋4i，∴|1＋2i|·|z|＝|－3＋4i|，则|z|＝（－3）2＋4212＋22＝ 5.]14．设向量a＝(3，3)，b＝(1，－1).若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________．±3 [因为a＋λb＝(3＋λ，3－λ)，a－λb＝(3－λ，3＋λ)，又(a＋λb)⊥(a －λb)，所以(a＋λb)·(a－λb)＝(3＋λ)·(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.]15．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于________．60°[如图，取A 1B1的中点M，连接GM，HM.由题意易知EF∥GM，且△GMH为正三角形．∴异面直线EF与GH所成的角即为GM与GH的夹角∠HGM.而在正三角形GMH中∠HGM＝60°.]16．关于函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，有下列说法：①y ＝f (x )的最大值为2；②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数；③y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π24，13π24上是减少的； ④将函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π24个单位长度后，将与已知函数的图象重合．其中正确说法的序号是________．①②③ [f (x )＝cos (2x －π3)＋cos (2x ＋π6)＝cos (2x －π3)＋cos [π2＋(2x －π3)] ＝cos (2x －π3)－sin (2x －π3)＝2cos (2x －π3＋π4)＝2cos (2x －π12)，所以①②③正确，④错误．]四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)设向量e 1，e 2的夹角为60°且|e 1|＝|e 2|＝1，如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2).(1)证明：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k 的值，使k 的取值满足向量2e 1＋e 2与向量e 1＋k e 2垂直． [解] (1)证明：因为AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝5e 1＋5e 2，所以BD →＝5AB →，即AB →，BD →共线，又AB →，BD →有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线． (2)因为(2e 1＋e 2)⊥(e 1＋k e 2)，所以(2e 1＋e 2)·(e 1＋k e 2)＝0，2e 21＋2k e 1·e 2＋e 1·e 2＋k e 22＝0，即2＋k ＋12＋k ＝0，解得k ＝－54.18．(本小题满分12分)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin (α－β)＝－35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos β的值．[解] (1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12.又π2<α<π，所以cos α＝－32.(2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2.又sin (α－β)＝－35，所以cos (α－β)＝45.cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β) ＝－32×45＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－43＋310.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝4tan x sin (π2－x )cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．[解] (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z .f (x )＝4tan x cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－3＝4sin x cos (x －π3)－3＝4sin x ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12cos x ＋32sin x －3＝2sin x cos x ＋23sin 2x －3＝sin2x ＋3(1－cos 2x )－3＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的递增区间是[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z ).由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π(k ∈Z ).设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝{x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z }，易知A ∩B ＝[－π12，π4].所以当x ∈[－π4，π4]时，f (x )在区间[－π12，π4]上是递增的，在区间[－π4，－π12]上是递减的．20．(本小题满分12分)如图，在三棱锥S ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB .过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：(1)平面EFG ∥平面ABC ； (2)BC ⊥SA .[证明] (1)因为AS ＝AB ，AF ⊥SB ，垂足为F ，所以F 是SB 的中点． 又因为E 是SA 的中点，所以EF ∥AB .因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC . 同理EG ∥平面ABC .又EF ∩EG ＝E ，所以平面EFG ∥平面ABC .(2)因为平面SAB ⊥平面SBC ，且交线为SB ，又AF ⊂平面SAB ，AF ⊥SB ，所以AF ⊥平面SBC .因为BC ⊂平面SBC ，所以AF ⊥BC .又因为AB ⊥BC ，AF ∩AB ＝A ，AF ⊂平面SAB ，AB ⊂平面SAB ，所以BC ⊥平面SAB . 因为SA ⊂平面SAB ，所以BC ⊥SA .21．(本小题满分12分)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5.(1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC .[解] (1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin A ＝ABsin ∠ADB ，由题设知，5sin 45°＝2sin ∠ADB ，所以sin ∠ADB ＝25.由题设知，∠ADB <90°，所以cos ∠ADB ＝1－225＝235.(2)由题设及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝25.在△BCD 中，由余弦定理得BC 2＝BD 2＋DC 2－2BD ·DC ·cos ∠BDC ＝25＋8－2×5×22×25＝25，所以BC ＝5.22．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AC ＝BC ，AB ＝2A 1A ＝4，以AB ，BC 为邻边作平行四边形ABCD ，连接A 1D ，DC 1.(1)求证：DC 1∥平面A 1ABB 1； (2)若二面角A 1－DC －A 为45°； ①求证：平面A 1C 1D ⊥平面A 1AD ；②求直线AB 1与平面A 1AD 所成角的正切值．[解] (1)证明：连接AB 1，∵AD ∥BC ∥B 1C 1且AD ＝BC ＝B 1C 1， ∴四边形ADC 1B 1为平行四边形，∴AB 1∥DC 1，又∵AB 1⊂平面A 1ABB 1，DC 1⊄平面A 1ABB 1，∴DC 1∥平面A 1ABB 1. (2)①证明：取DC 的中点M ，连接A 1M ，AM .易知Rt △A 1AD ≌Rt △A 1AC ，∴A 1D ＝A 1C ，∴A 1M ⊥DC ，又AM ⊥DC ，∴∠A 1MA 为二面角A 1DC A 的平面角，∴∠A 1MA ＝45°. ∴在Rt △A 1AM 中，AA 1＝AM ＝2，∴AD ＝AC ＝22， ∴AC 2＋AD 2＝DC 2，∴AC ⊥AD ，又∵AC ⊥AA 1，AD ∩AA 1＝A ， ∴AC ⊥平面A 1AD ，又∵AC ∥A 1C 1，∴A 1C 1⊥平面A 1AD . ∵A 1C 1⊂平面A 1C 1D ，∴平面A 1C 1D ⊥平面A 1AD . ②∵AB 1∥C 1D ，∴C 1D 与平面A 1AD 所成角与AB 1与平面A 1AD 所成角相等． 由①知C 1A 1⊥平面A 1AD ，∴A 1D 为C 1D 在平面A 1AD 内的射影， 故∠A 1DC 1为直线DC 1与平面A 1AD 所成角，在Rt △A 1DC 1中，tan ∠A 1DC 1＝A 1C 1A 1D ＝63，∴直线AB 1与平面A 1AD 所成角的正切值为63.。
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高中数学必修2模块综合检测（C ）(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．如图所示，桌面上放着一个圆锥和一个长方体，其左视图是( )2．如图所示，一个空间几何体的主视图、左视图、左视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为( )A ．1B ．12C ．13D ．163．直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则m 等于( )A ．1B ．2C ．－12D ．2或－124．直线4x －3y －2＝0与圆x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2－12＝0总有两个不同的交点，则a 的取值范围是( )A ．－3<a <7B ．－6<a <4C ．－7<a <3D ．－21<a <195．若P 为平面α外一点，则下列说法正确的是( ) A ．过P 只能作一条直线与平面α相交 B ．过P 可能作无数条直线与平面α垂直 C ．过P 只能作一条直线与平面α平行D ．过P 可作无数条直线与平面α平行6．连接平面外一点P 和平面α内不共线的三点A ，B ，C ，A 1，B 1，C 1分别在P A ，PB ，PC 的延长线上，A 1B 1，B 1C 1，A 1C 1与平面α分别交于D ，E ，F ，则D ，E ，F 三点( )A ．成钝角三角形B ．成锐角三角形C ．成直角三角形D ．共线7．在圆x 2＋y 2＝4上与直线l ：4x ＋3y －12＝0的距离最小的点的坐标是( )A ．⎝⎛⎭⎫85，65B ．⎝⎛⎭⎫85，－65C ．⎝⎛⎭⎫－85，65D ．⎝⎛⎭⎫－85，－65 8．过平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB 1D 1平行的直线共有( )A ．4条B ．6条C ．8条D ．12条9．若⊙C 1：x 2＋y 2－2mx ＋m 2＝4和⊙C 2：x 2＋y 2＋2x －4my ＝8－4m 2相交，则m 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－125，－25 B ．(0,2) C ．⎝⎛⎭⎫－125，－25∪(0,2) D ．⎝⎛⎭⎫－125，2 10．已知点P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A 是圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的切线，A 为切点，则|P A |的最小值为( )A ．1B ． 2C ．2D ．2 211．设x ＋2y ＝1，x ≥0，y ≥0，则x 2＋y 2的最小值和最大值分别为( )A ．15，1B ．0,1C ．0，15D ．15，212．如果圆x 2＋(y －1)2＝1上任意一点P (x ，y )都能使x ＋y ＋c ≥0成立，那么实数c 的取值范围是( )A ．c ≥－2－1B ．c ≤－2－1C ．c ≥2－1D ．c ≤2－1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．如图所示，半径为R 的半圆内的阴影部分以直径AB 所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，∠BAC ＝30°，则此几何体的体积为________．14．P (0，－1)在直线ax ＋y －b ＝0上的射影为Q (1,0)，则ax －y ＋b ＝0关于x ＋y －1＝0对称的直线方程为________．15．由动点P向圆x2＋y2＝1引两条切线P A、PB，切点分别为A，B，∠APB＝60°，则动点的轨迹方程为____________．16．如图所示的是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中完全一样的是________．(填序号)三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)求圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)的圆的方程．18．(12分) 如图所示，在棱锥A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．求证：(1)DM∥平面APC；(2)平面ABC⊥平面APC．19．(12分)已知一个几何体的三视图如图所示，试求它的表面积和体积．(单位：cm)20．(12分)已知圆过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程．21．(12分)已知△ABC 的顶点A 为(3，－1)，AB 边上的中线所在直线方程为6x ＋10y －59＝0，角B 的平分线所在直线方程为x －4y ＋10＝0，求BC 边所在直线的方程．22．(12分)已知以点C ⎝⎛⎭⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M 、N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程．模块综合检测(C ) 答案1．D 2．D3．D [令y ＝0，则(2m 2＋m －3)x ＝4m －1，所以直线在x 轴上的截距为4m －12m 2＋m －3＝1，所以m ＝2或m ＝－12．]4．B [将圆的方程化为(x －a)2＋(y ＋2)2＝16．圆心(a ，－2)到直线的距离d ＝|4a ＋4|5．∵直线与圆有两个不同交点，∴d<4，即|4a ＋4|5<4，得－6<a<4，故选B ．]5．D6．D [因为D ，E ，F 都在平面A 1B 1C 1与平面α的交线上．] 7．A [经过圆心O 且与直线l 垂直的直线的方程是3x －4y ＝0．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝0，x 2＋y 2＝4，得⎩⎨⎧x ＝85，y ＝65或⎩⎨⎧x ＝－85，y ＝－65.画出图形，可以判断点⎝⎛⎭⎫85，65是圆x 2＋y 2＝4上到直线l 距离最小的点，点⎝⎛⎭⎫－85，－65是圆x 2＋y 2＝4上到直线l 距离最大的点．]8．D[如图所示，与BD 平行的有4条，与BB 1平行的有4条，四边形GHFE 的对角线与面BB 1D 1D 平行，同等位置有4条，总共12条，故选D ．]9．C [圆C 1和C 2的圆心坐标及半径分别为C 1(m,0)，r 1＝2，C 2(－1,2m)，r 2＝3． 由两圆相交的条件得3－2<|C 1C 2|<3＋2，即1<5m 2＋2m ＋1<25，解得－125<m<－25或0<m<2．]10．D [圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的半径为1，要使|PA|最小，只需|PC|最小，|PC|min ＝|3＋4＋8|32＋42＝3．故|PA|min ＝32－12＝22．] 11．A [x 2＋y 2为线段AB 上的点与原点的距离的平方，由数形结合知，O 到线段AB 的距离的平方为最小值，即d 2＝15，|OB|2＝1为最大值．]12．C [对任意点P(x ，y)能使x ＋y ＋c ≥0成立， 等价于c ≥[－(x ＋y)]max ．设b ＝－(x ＋y)，则y ＝－x －b ．∴圆心(0,1)到直线y ＝－x －b 的距离d ＝|1＋b|2≤1，解得，－2－1≤b ≤2－1． ∴c ≥2－1．]13．56πR 3解析 半圆旋转一周形成一个球体，其体积为V 球＝43πR 3，内部两个圆锥的体积之和为V 锥＝13πCD 2·AB ＝13π·⎝⎛⎭⎫32R 2·2R ＝π2R 3， ∴所求几何体的体积为43πR 3－π2R 3＝56πR 3．14．x －y ＋1＝0 解析 ∵k PQ ·(－a)＝－1，∴a ＝1，Q(1,0)代入x ＋y －b ＝0得b ＝1，将其代入ax －y ＋b ＝0，得x －y ＋1＝0，此直线与x ＋y －1＝0垂直，∴其关于x ＋y －1＝0的对称的直线是其本身． 15．x 2＋y 2＝4解析 在Rt △AOP 中，∵∠APB ＝60°， ∴∠APO ＝30°，∴|PO|＝2|OA|＝2，动点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，方程为x 2＋y 2＝4．16．(2)(3)(4)解析 由正方体的平面展开图可得：(2)(3)(4)是相同的．17．解 由于过P(3，－2)垂直于切线的直线必定过圆心，故该直线的方程为 x －y －5＝0． 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －5＝0，y ＝－4x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－4， 故圆心为(1，－4)，r ＝(1－3)2＋(－4＋2)2＝22， ∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8．18．证明 (1)∵M 为AB 的中点，D 为PB 中点，∴DM ∥AP ．又∵DM ⊆平面APC ，AP平面APC ，∴DM ∥平面APC ．(2)∵△PMB 为正三角形，D 为PB 中点， ∴DM ⊥PB ．又∵DM ∥AP ，∴AP ⊥PB ．又∵AP ⊥PC ，PC ∩PB ＝P ，∴AP ⊥平面PBC ． ∵BC 平面PBC ，∴AP ⊥BC ． 又∵AC ⊥BC ，且AC ∩AP ＝A ， ∴BC ⊥平面APC ．又∵BC 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面APC ．19．解 由三视图可知，该几何体的直观图可以看成是一个圆台和圆柱的组合体，则圆台的高为h ′＝1 cm ，上底半径为r ＝12cm ，下底半径为R ＝1 cm ，母线l 为12＋⎝⎛⎭⎫1－122＝52(cm )，圆柱的底面半径为R ＝1 cm ，高h 为12cm ， ∴该几何体的体积为V ＝V 圆台＋V 圆柱 ＝13(S 上＋S 下＋S 上·S 下)h ′＋S 底面·h ＝13⎣⎡⎦⎤π×⎝⎛⎭⎫122＋π×12＋π×⎝⎛⎭⎫122×π×1＋π×12×12＝1312π(cm 3)． 该几何体的表面积为S 表面＝πr 2＋πR 2＋π(R ＋r)·l ＋2πRh ＝π×⎝⎛⎭⎫122＋π×12＋π×⎝⎛⎭⎫1＋12×52＋2π×1×12＝9＋354π(cm 2)． ∴该几何体的体积为1312πcm 3，表面积为9＋354πcm 2．20．解 方法一 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 ① 将P ，Q 坐标代入①得 ⎩⎪⎨⎪⎧4D －2E ＋F ＝－20 ②D －3E －F ＝10 ③ 令x ＝0，由①得y 2＋Ey ＋F ＝0 ④ 据题设知|y 1－y 2|＝43，其中y 1，y 2是④的两根． 所以(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝E 2－4F ＝48 ⑤ 解由②③⑤组成的方程组得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12或D ＝－10，E ＝－8，F ＝4． 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0．方法二 易求PQ 的中垂线方程为x －y －1＝0 ① 因为所求圆的圆心C 在直线①上， 故可设其坐标为(a ，a －1)．又圆C 的半径r ＝|CP|＝(a －4)2＋(a ＋1)2 ②由已知圆C 截y 轴所得的线段长为43，而点C 到y 轴的距离为|a|，∴r 2＝a 2＋⎝⎛⎭⎫4322，将②式代入得a 2－6a ＋5＝0．所以有a 1＝1，r 1＝13或a 2＝5，r 2＝37，即 (x －1)2＋y 2＝13或(x －5)2＋(y －4)2＝37． 21．解 设B(4y 1－10，y 1)，由AB 中点在6x ＋10y －59＝0上，可得：6·4y 1－72＋10·y 1－12－59＝0，y 1＝5，所以B(10,5)．设A 点关于x －4y ＋10＝0的对称点为A ′(x ′，y ′)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧x ′＋32－4·y ′－12＋10＝0y ′＋1x ′－3·14＝－1⇒A ′(1,7)，∵点A ′(1,7)，B(10,5)在直线BC 上，∴y －57－5＝x －101－10， 故BC ：2x ＋9y －65＝0．22．(1)证明 ∵圆C 过原点O ，∴r 2＝t 2＋4t2．设圆C 的方程是(x －t)2＋⎝⎛⎭⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2， 令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ．∴S △OAB ＝12OA ×OB ＝12×⎪⎪⎪⎪4t ×|2t|＝4，即△OAB 的面积为定值．(2)解 ∵OM ＝ON ，CM ＝CN ， ∴OC 垂直平分线段MN ．∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12．∴直线OC 的方程是y ＝12x ．∴2t ＝12t ．解得t ＝2或t ＝－2． 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15<5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，OC ＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95>5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， ∴t ＝－2不符合题意，舍去．∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5．。