空间点线面位置关系及平行判定及性质
点线面之间的位置关系的知识点总结
高中空间点线面之间位置关系知识点总结第二章直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.11平面含义：平面是无限延展的2平面的画法及表示(1)平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成45°，且横边画成邻边的2倍长(如图)(2)平面通常用希腊字母a、B、Y等表示，如平面a、平面B等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC平面ABCD等。
3 三个公理：(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为公理1作用：判断直线是否在平面内(2)公理2 :过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：AB、C三点不共线=> 有且只有一个平面a, 使A€a、B€a、C€a。
公理2作用：确定一个平面的依据。
(3)公理3 :如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P€aQB => aPp =L，且P€ L公理3作用：判定两个平面是否相交的依据2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系1空间的两条直线有如下三种关系：f相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点; 共面直线 Yl平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c是三条直线强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4注意点：①a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与0的选择无关，为简便，点0 —般取在两直线中的一条上;②两条异面直线所成的角(0，);③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a丄b;a//b2公理4：平行=>a //c④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角2.1.3 —2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：(1)直线在平面内一一有无数个公共点(2 )直线与平面相交一一有且只有一个公共点(3)直线在平面平行一一没有公共点指岀：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a a来表示―a a a Qa =A a Ila2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
立体几何——点线面的位置关系
点线面的位置关系（１）四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈ ⇒ ∈且。
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
三个推论：① 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面② 经过两条相交直线,有且只有一个平面 ③ 经过两条平行直线,有且只有一个平面 它给出了确定一个平面的依据。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线(两个平面的交线)。
符号语言:,,P P l P l αβαβ∈∈⇒=∈且。
公理4:（平行线的传递性)平行与同一直线的两条直线互相平行。
符号语言：//,////a l b l a b ⇒且。
(2)空间中直线与直线之间的位置关系1.概念 异面直线及夹角:把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
已知两条异面直线,a b ,经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把a '与b '所成的角(或直角)叫异面直线,a b 所成的夹角。
（易知：夹角范围090θ<≤︒）公理4：(平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。
符号语言://,////a l b l a b ⇒且。
定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补。
(注意:会画两个角互补的图形)2.位置关系：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点;共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点;异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点（3）空间中直线与平面之间的位置关系直线与平面的位置关系有三种://l l A l ααα⊂⎧⎪=⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线在平面内（）有无数个公共点直线与平面相交（）有且只有一个公共点直线在平面外直线与平面平行（）没有公共点（４）空间中平面与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系有两种：//l αβαβ⎧⎨=⎩两个平面平行（）没有公共点两个平面相交（）有一条公共直线考点1:点，线，面之间的位置关系例１.(20１4辽宁,4,5分)已知m,n 表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是( )Ａ.若m ∥α，n ∥α,则m ∥nB.若m ⊥α,n ⊂α，则m ⊥n C.若m ⊥α，m ⊥n ，则ｎ∥αD.若m ∥α,m ⊥n ，则n ⊥α [答案] 1.B[解析] １.A 选项m 、ｎ也可以相交或异面,C 选项也可以n ⊂α,D 选项也可以n ∥α或n 与α斜交．根据线面垂直的性质可知选B.例2.(20１４山东青岛高三第一次模拟考试, ５) 设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面,则下列命题正确的是（ )Ａ.若则 B.若则C ．若则 D.若则[答案] 2. D[解析] 2.A 选项不正确,因为是可能的;ﻫＢ选项不正确，因为,时,,都是可能的；C选项不正确，因为,时，可能有；D选项正确,可由面面垂直的判定定理证明其是正确的.ﻫ故选D例3. (２０１4广西桂林中学高三２月月考,4) 设、是两条不同的直线,、是两个不同的平面.下列命题中正确的是（ )(A) (B)（C) （D)[答案] 3. D[解析] 3．若，则平面与垂直或相交或平行，故（A) 错误；若,则直线与相交或平行或异面，故（B) 错误;若，则直线与平面垂直或相交或平行，故(C) 错误; 若,则直线，故（D）正确. 选D．例４.(2014周宁、政和一中第四次联考,7）设表示不同的直线，表示不同的平面,给出下列四个命题：①若∥，且则；②若∥,且∥. 则∥;③若,则∥∥;④若且∥，则∥.其中正确命题的个数是 （ )A ．1 Ｂ．2 C.3 D ．4 [答案] 4． B[解析] 4. ①正确；②直线或，错误;③错误，因为正方体有公共端点的三条棱两两垂直；④正确. 故真正确的是①④，共2个.2. 空间几何平行关系转化关系:直线、平面平行的判定及其性质归纳总结1. 证明线线平行的方法：定理 定理内容 符号表示分析解决问题的常用方法 直线与平面平行的判定平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒且在已知平面内“找出”一条直线与已知直线平行就可以判定直线与平面平行。
空间点、直线、平面之间的位置关系-高一数学同步精讲课件(人教A版2019必修第二册)
应用新知
题型三：异面直线的判定(逻辑推理)
例5.如图， ∩ = ， ∉ ， ⊂ ， ∉ .直线与具有怎样的位置关系？
为什么？
解：直线与是异面直线.理由如下.
若直线与直线不是异面直线，则它们相交或平行.
设它们确定的平面为，则 ∈ ， ⊂ .
思考：分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？
b
a
a
a
b
b
总结新知
空间中直线与直线的位置关系
共面直线
相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：在同一平面内，没有公共点；
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.
平行直线
//
相交直线
∩=
异面直线
与异面
探究新知
A.平行
B.相交
C.异面
解：因为∥,所以与没有公共点,
又 ⊂ , ⊂ ,所以与没有公共点,
则与的关系为平行或异面.
选D
D.平行或异面
)
应用新知
题型二：空间位置关系的判断(直观想象)
关于点、直线、平面位置关系的判断
(1)根据位置关系的分类,利用直观想象判断;
(2)借助熟悉的几何体,如长方体进行判断;
活动. ①一个平面把空间分为几部分？
②二个平面把空间分为几部分？
③三个平面把空间分为几部分？
02
典 型 例 题 分 析
应用新知
题型一：用符号语言描述位置关系(数学抽象)
例1.如图，用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系.
解：在(1)中， ∩ = ， ∩ = ， ∩ = .
空间点线面位置关系及平行判定及性质资料
第7课 空间点线面位置关系及平行判定及性质江南中个辅，林俊杰 【教学目标】一、知识目标1、了解空间中线、面的位置关系2、了解异面直线的定义，掌握判断异面直线的方法3、掌握平面的基本性质4、掌握线线平行，线面平行，面面平行的证明二、能力目标培养学生观察，发现的能力和空间想象能力，提高学生的逻辑证明能力，让学生了解空间与平面互相转换的数学思想，培养学生归纳总结能力和抽象概括能力，进而形成科学的思维方法。
三、情感目标通过类比，归纳，总结的训练，增强学生探寻事务规律的强烈愿望；通过体验逻辑证明的应用过程，激发学生的学习兴趣，树立学好数学的信心【教学重点】线线平行、线面平面、面面平行的判定定理和性质定理【教学难点】线线平行、线面平面、面面平行的判定定理和性质定理及其应用【考点分析】从近几年高考的形式来看，高考对本部分内容考查以理解和掌握为主，一般为中等难度题，考查形式主要为：①“共点，共线，共面问题”；②“证明异面直线垂直”；③“直线与平面的判定和性质应用”；④“平面与平面的判定和性质应用”【知识点梳理】1．平面的基本性质公理1如果一条直线上的两个点都在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内 ,,A B l A B α∈⎫⎬∈⎭l α⇒⊂2．平面的基本性质公理2（确定平面的依据）经过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面3．平面的基本性质公理2的推论（1）经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面（2）经过两条相交直线，有且只有一个平面（3）经过两条平行直线，有且只有一个平面4．平面的基本性质公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是一条直线A A αβ∈⎫⎬∈⎭⇒l A lαβ=∈5．异面直线的定义与判定（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线，既不相交也不平行（2）判定：过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线6．直线与直线平行（1）平行四边形ABCD （矩形，菱形，正方形）对边平行且相等，//AB CD ，//BC AD（2）三角形的中位线,E F 分别是,AB AC 的中点中位线平行且等于底边的一半，//EF BC（3）线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行//l α，l β⊂，//m l m αβ=⇒（4）面面平行的性质定理如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行//αβ，a αγ=，//b a b βγ=⇒（5）线面垂直的性质定理如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行a α⊥，//b a b α⊥⇒7．直线与平面平行（1）线面平行的判定定理如果不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 a α⊄，b α⊂，////a b a α⇒（2）面面平行的性质定理如果两个平面互相平行，那么一个平面内的任一直线都平行于另一个平面//αβ，//a a αβ⊂⇒8．平面与平面平行（1）面面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线，分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行 a α⊂，b α⊂，a b A =，//a β，////b βαβ⇒（2）垂直于同一直线的两个平面互相平行a α⊥，//a βαβ⊥⇒【典型例题】题型一：点线面的关系用符号表示、判断异面直线例1．2009广东高考（文）改给定下列四个命题①,,//,////a b a b ααββαβ⊂⊂⇒②,a a αβαβ⊥⊂⇒⊥③,//l m l n m n ⊥⊥⇒④,,,l a a l a αβαβαβ⊥=⊂⊥⇒⊥其中，为真命题的是A. ①和②B. ②和③C. ③和④D. ②和④答案：D解析：了解题目中点线面关系的符号表示，理解其中文意思，根据相关定理判断正确的命题 ①在平面α内有两条直线,a b ，直线,a b 分别平行平面β，则平面α平行平面β 该命题错误，根据“面面平行的判定定理”，这两直线,a b 应为相交直线②直线a 为平面α的垂线，平面β经过直线a ，则平面α垂直平面β该命题正确，由“面面垂直的判定定理”可得③直线l 垂直直线m ，直线l 垂直直线n ，则直线m 平行直线n该命题错误，在空间中，平行同一直线的两直线不一定平面，可垂直可成一定的夹角④平面α垂直平面β，且有交线l ，在平面内有直线a ，直线a 垂直交线l ，则平面α垂直平面β该命题正确，由“面面垂直的性质定理”可得点评：对于空间中点线面的关系以及各判定定理和性质定理，要掌握中文与数学符号之间的转化，并掌握好各个定理的含义给出下列关于互不相同的直线,,l m n 和平面,,αβγ的三个命题：①若,l m 为异面直线，,l m αβ⊂⊂，则//αβ；②若//,,l m αβαβ⊂⊂，则//l m ；③若,,,//l m n l αββγγαγ===，则//m n其中真命题的个数为A ．3B ．2C ．1D ．0答案：C解析：由异面直线的定义得，两直线可分属两个平面，但是这两个平面不一定平行，命题错误 由面面平行的性质定理得线面平行，不一定得到线线平行，命题错误由线面平行的性质定理得线线平行，再由线线平行的递推性可得，命题正确点评：通过数学符号，了解线面之间的位置关系，应用相关定理判断命题题型二：以中位线为突破口的平行证明问题例2．2011北京高考（文）如图，在四面体PABC 中，,PC AB PA BC ⊥⊥，点,,,D E F G 分别是棱,AP AC ，,BC PB 的中点，求证：//DE 平面BCP答案：证明： 在ACP ∆中，,D E 分别是,AP AC 的中点所以，//DE PC （中位线定理）因为，DE ⊄平面PCB ，PC ⊂平面PCB所以，//DE 平面PCB点评：在图形中寻找三角形的中位线，即两腰的中点的连线，通过中位线定理证明线线平行，根据线面平行的判定定理证明线面平行（注意判定定理的证明规范）变式1．2011北京高考（文）改如图，在四面体PABC 中，,PC AB PA BC ⊥⊥，点,,,D E F G 分别是棱,AP AC ，,BC PB 的中点，求证：四边形EEFG 为平行四边形证明： 在ACP ∆中，,D E 分别是,AP AC 的中点所以，//DE PC 且12DE PC =（中位线定理）同理，在BCP ∆中，,F G 分别是,BC PB 的中点所以，//FG PC 且12FG PC =（中位线定理） 所以，//,FG ED FG ED =所以，四边形EEFG 为平行四边形点评：与例1相比，改变了证明的问题，但是关键的技巧都是：运用中位线，特别是中位线定理中数值大小的结论的应用，从而通过“对边平行且相等”证明四边形为平行四边形变式2．2011四川高考（文）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，BAC 90∠=，11AB AC AA ===，延长11AC 至点P ，使111C P AC =，连接AP 交棱1CC 于D ．求证：1//PB 平面1BDA ；答案：证明： 连接11,BA AB ，交于点E ，连接ED在矩形11AA BB 中，E 为1AB 中点由题知，1C 为1A P 中点，11//AA C D所以，在1AA P ∆中，D 为AP 的中点所以，在1AB P ∆中，,E D 分别是1AB ，AP 的中点所以，1//ED B P （中位线定理）因为，DE ⊂平面1BDA ，1B P ⊄平面1BDA所以，1//B P 平面1BDA点评：运用中位线定理，关键在于两腰的中点的寻找或证明，找好了中点即可运用中位线定理证明线线平行，从而证明线面平行题型三：以平行四边形为突破口的平行证明问题例3．2010北京高考（文）如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，//EF AC ，AB ，1CE EF ==，求证：//AF 平面BDE答案：证明： 设AC 于BD 交于点G在正方形ABCD 中，AB =，可得2AC =因为，//EF AG ，且112EF AG AC ===所以，四边形AGEF 为平行四边形 所以，//AF EG （平行四边形的性质）因为，EG ⊂平面1BDA ，AF ⊄平面1BDA所以，//AF 平面BDE点评：运用对边平行且相等证明四边形为平行四边形，再运用平行四边形的性质，证明另一对边平行，从而证明线面平行变式1．在三棱柱111C B A ABC -中，直线1AA 与底面ABC 所成的角是直角，直线AB 与11B C 所成的角为45，90BAC ∠=，且1AB AA =，,,D E F 分别为11,,B A CC BC 的中点．求证：//DE 平面ABC ；答案：证明： 取AB 中点G ，连接,DG CG在1ABB ∆中，,D G 分别是1,AB AB 的中点所以，111//,2DG BB DG BB =（中位线定理）在三棱柱中，E 为1CC 中点，即111122EC CC BB == 所以，//,EC DG EC DG =所以，四边形ECGD 为平行四边形所以，//CG DE （平行四边形的性质）因为，CG ⊂平面ABC ，DE ⊄平面ABC所以，//DE 平面ABC 点评：运用中位线定理，证明111//,2DG BB DG BB =，再运用平行的递推原理，证明//,EC DG EC DG =从而证明四边形ECGD 为平行四边形，根据平行四边形的性质得线线平行，最终证得线面平行题型四：三种平行之间的相互关系与转化例4．如图所示，圆柱的高为2，PA 是圆柱的母线，ABCD 为矩形，2,4AB BC ==，,,E F G分别是线段,,PA PD CD 的中点，求证：//PB 面EFG ；答案：证明： 在PAD ∆中，,E F 分别是,PA PD 的中点所以，//EF AD （中位线定理）在矩形ABCD 中，//AD BC 所以，//EF BC因为，BC ⊂平面PBC ，EF ⊄平面PBC所以，//EF 平面PBC同理，在PCD ∆中，有//EG PC （中位线定理）因为，PC ⊂平面PBC ，FG ⊄平面PBC所以，//FG 平面PBC因为，EF ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG ，EF FG F =所以，平面//EFG 平面PBC因为，PB ⊂平面PBC所以，//PB 平面EFG （面面平行的性质定理）点评：运用中位线定理，证得两直线分别平行两平面，根据面面平行的判定定理证得平面//EFG 平面PBC ，再运用面面平行的性质定理证得线面平行，综合运用线线，线面，面面三者平行关系解题变式1．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，,E P 分别是11,BC A D 的中点，,M N 分别是1,AE D C 的中点，2AB a =，1AD AA a ==，求证: //MN 面11ADD A答案：证明： 取PE 中点F ，连接,NF MF由题可得，11//,PD EC PD EC =，即四边形1PD EC 为平行四边形 因为，,N F 分别为1,CD PE 中点，可得1//NF PD因为，1PD ⊂平面11ADD A ，NF ⊄平面11ADD A所以，//NF 平面11ADD A在PAE ∆中，,M F 分别为,AE PE 的中点 所以，//MF PA因为，PA ⊂平面11ADD A ，MF ⊄平面11ADD A所以，//MF 平面11ADD A因为，NF ⊂平面NMF ，MF ⊂平面NMF ，NF MF F =所以，平面//NMF 平面11ADD A因为，MN ⊂平面NMF 所以，//MN 平面11ADD A （面面平行的性质定理）点评：设取中点，从而找到两条相交的直线分别平行同一平面，证得面面平行，再运用面面平行的性质定理得到线面平行题型五：探究性问题例5．如图所示，直棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是直角梯形，90BAD ∠=，2AB =，1AD CD ==，在线段AB 上是否存在点P （异于,A B 两点），使得//CP 平面1111A B C D ？证明你的结论答案：证明： 由题可知，在直棱柱1111ABCD A BC D -中，平面//ABCD 平面1111A B C D因为，点P 在线段AB 上所以，CP ⊂平面ABCD 所以，//CP 平面1111A B C D （面面平行的性质定理）点评：直线AB 在平面ABCD 内，则直线AB 上的所有点都在平面ABCD 内，所以CP ⊂平面ABCD ，再由面面平行的性质定理可证得变式1．如图，直三棱柱11ABB DCC -中，190ABB ∠=，14,2,1AB BC CC ===，DC 上有一动点P ，1CC 上有一动点Q ，讨论：无论,P Q 在何处，都有//PQ 平面1ABB ，并证明你的结论答案：证明： 点P 在DC 上，点Q 在1CC 上，则PQ ⊂平面1DCC由题可知，在直三棱柱11ABB DCC -中，平面1//ABB 平面1DCC所以，//PQ 平面1ABB点评：由公理1，说明PQ ⊂平面1DCC ，再由面面平行的性质定理得，无论,P Q 在何处，总有//PQ 平面1ABB【方法与技巧总结】1．熟记立体几何证明中的多个公理，推理，判定定理以及性质定理2．熟练掌握空间中点线面的位置关系的符号表示，并能够适当灵活转化为中文以便理解，在此建立空间的想象能力和空间感，进一步把符号转化为立体图象加以记忆3．熟记平行证明中常用的判定定理和性质定理，特别重视三角形中位线定理和平行四边形性质定理的应用4．应用三角形中位线定理和平行四边形性质定理，证明线线平行，从而得出线面平行或面面平行，重视线线平行证明的重要性5．掌握线性平行，线面平行，面面平行三者之间的相互转化【巩固练习】1．设,b c 表示两条直线，,αβ表示两个平面，则下列命题是真命题的是A ．若,//b c αα⊂，则//c bB ．若,//b c b α⊂，则//c αC ．若//,c ααβ⊥，则c β⊥D ．若//,c c αβ⊥，则αβ⊥2．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是A ．若,αγβγ⊥⊥，则αβ//B ．若,m n αα⊥⊥，则m n //C ．若,m n αα////，则m n //D ．若,m m αβ////，则αβ//3．关于直线,l m 及平面,αβ，下列命题中正确的是A ．若//,l m ααβ=，则//l m ； B ．若//,//l m αα，则//l m ； C ．若,//l l αβ⊥，则αβ⊥； D ．若//,l m l α⊥，则m α⊥．4．已知,a b 是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合的平面,下列命题中正确的是A. //,//a b b α，则//a αB. ,,//,//a b a b αββ⊂，则//αβC. ,//a b αα⊥，则a b ⊥D. 当a α⊂，且b α⊄时，若//b α，则//a b5．已知三条不重合的直线,,m n l ，两个不重合的平面,αβ，有下列命题中正确的个数是 ①//,m n n α⊂ ⇒ //m α； ②,,//,//m n m n ααββ⊂⊂ ⇒ //αβ；③,,//l m l m αβ⊥⊥ ⇒ //αβ； ④,,,m n n m αβαββ⊥=⊂⊥ ⇒n α⊥A. 1B. 2C. 3D. 46．在三棱锥P ABC -中，PAC ∆和PBC ∆2AB =，,O D 分别是,AB PB 的中点。
空间点线面的位置关系及直线、平面的判定与性质
空间点、直线、平面之间的位置关系知识梳理： 1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．(公理1的作用是判断直线是否在某个平面内；)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．(即可以确定一个平面) (公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法；)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．(公理3的作用是如何寻找两相交平面的交线以及证明“线共点”的理论依据；) 2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a ，b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎤0，π2. 3．直线与平面平行的判定定理和性质定理∵∴∵＝∴2．如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和这个平面的任意一条直线都平行吗？4．平面与平面平行的判定定理和性质定理∵＝ 提示：不一定．可能平行，也可能相交．4．如果两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？ 5．平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行． 6．定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 突破点 一1.点共线问题,一般转化为证明这些点的某两个平面点公共点,再根据公理3（如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．）证明这些点都在这两个平面的交线上.2.线共点问题 ，证明空间三线共点问题，先证明两条直线交于一点，再证明第三条直线也经过这点，把问题转化为证明点再直线上。
3.证明点线共面的常用方法：①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内。
②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其他元素确定平面β，最后证明平面α、β重合。
点线面平行关系总结
点线面平行关系总结点线面的定义- 点：是指空间中没有长度、宽度和高度的几何对象。
- 线：是由点形成的集合体，具有长度但没有宽度和高度。
- 面：是由线形成的集合体，具有长度和宽度但没有高度。
平行关系的定义- 平行：是指两个或多个线或面在同一平面上没有交点的关系。
两个平行线之间的距离始终保持相等。
点线平行关系- 点与线的关系：一个点可以与一条直线平行。
当一条直线上有多个点与另一条直线平行时，这些点与另一条直线也是平行的。
线线平行关系- 线与线的关系：两条直线如果在同一个平面上且没有交点，那么这两条直线是平行的。
- 线与曲线的关系：直线和曲线之间一般不会存在平行关系。
面面平行关系- 面与面的关系：如果两个平面没有交点且在同一个平面上，那么这两个平面是平行的。
平行关系的性质- 平行性质1：平行线截取同一平行线段的比例相等。
- 平行性质2：平行线与一条横截直线所截取的对应角相等。
- 平行性质3：平行线所夹带的平行线也相互平行。
应用举例- 平面几何学中，平行关系有广泛的应用。
例如在研究多边形、三角形等图形时，需要考虑边之间的平行关系。
- 在建筑设计中，平行线的概念可以帮助建筑师确定平行墙面的布局和设计。
- 在地理学中，平行线用于描述纬度线和经度线在地球表面上的关系。
总结- 点线面的形成依次是由点到线，再由线到面。
- 点线面之间存在平行关系，即两个或多个点、线、面在同一平面上没有交点的关系。
- 平行关系具有一些性质，例如截取同一平行线段的比例相等、对应角相等等。
- 平行关系在几何学、建筑设计和地理学等领域具有实际应用。
点直线平面之间的位置关系知识点总结
点、直线、平面之间的位置关系知识点总结立体几何知识点总结1.直线在平面内的判定1利用公理1：一直线上不重合的两点在平面内;则这条直线在平面内.2若两个平面互相垂直;则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内;即若α⊥β;A∈α;AB⊥β;则ABα.3过一点和一条已知直线垂直的所有直线;都在过此点而垂直于已知直线的平面内;即若A∈a;a⊥b;A∈α;b⊥α;则aα.4过平面外一点和该平面平行的直线;都在过此点而与该平面平行的平面内;即若Pα;P∈β;β∥α;P∈a;a∥α;则aβ.5如果一条直线与一个平面平行;那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内;即若a∥α;A∈α;A∈b;b∥a;则bα.2.存在性和唯一性定理1过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条；2过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条；3过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个；4与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条；5过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；6过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个；7过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个；8过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个.3.射影及有关性质1点在平面上的射影自一点向平面引垂线;垂足叫做这点在这个平面上的射影;点的射影还是点.2直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线;过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影.和射影面垂直的直线的射影是一个点；不与射影面垂直的直线的射影是一条直线.3图形在平面上的射影一个平面图形上所有的点在一个平面上的射影的集合叫做这个平面图形在该平面上的射影.当图形所在平面与射影面垂直时;射影是一条线段；当图形所在平面不与射影面垂直时;射影仍是一个图形.4射影的有关性质从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：i射影相等的两条斜线段相等;射影较长的斜线段也较长；ii相等的斜线段的射影相等;较长的斜线段的射影也较长；iii垂线段比任何一条斜线段都短.4.空间中的各种角等角定理及其推论定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行;并且方向相同;则这两个角相等.推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行;则这两组直线所成的锐角或直角相等.异面直线所成的角1定义：a、b是两条异面直线;经过空间任意一点O;分别引直线a′∥a;b′∥b;则a′和b′所成的锐角或直角叫做异面直线a和b所成的角.2取值范围：0°＜θ≤90°.3求解方法①根据定义;通过平移;找到异面直线所成的角θ；②解含有θ的三角形;求出角θ的大小.5.直线和平面所成的角1定义和平面所成的角有三种：i垂线面所成的角的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角;叫做这条直线和这个平面所成的角.ii垂线与平面所成的角直线垂直于平面;则它们所成的角是直角.iii一条直线和平面平行;或在平面内;则它们所成的角是0°的角.2取值范围0°≤θ≤90°3求解方法①作出斜线在平面上的射影;找到斜线与平面所成的角θ.②解含θ的三角形;求出其大小.③最小角定理斜线和平面所成的角;是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角;亦可说;斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角.6.二面角及二面角的平面角1半平面直线把平面分成两个部分;每一部分都叫做半平面.2二面角条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱;这两个平面叫做二面角的面;即二面角由半平面一棱一半平面组成.若两个平面相交;则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.二面角的大小用它的平面角来度量;通常认为二面角的平面角θ的取值范围是0°＜θ≤180°3二面角的平面角①以二面角棱上任意一点为端点;分别在两个面内作垂直于棱的射线;这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.如图;∠PCD是二面角α-AB-β的平面角.平面角∠PCD的大小与顶点C在棱AB上的位置无关.②二面角的平面角具有下列性质：i二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面;即AB⊥平面PCD.ii从二面角的平面角的一边上任意一点异于角的顶点作另一面的垂线;垂足必在平面角的另一边或其反向延长线上.iii二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直;即平面PCD⊥α;平面PCD⊥β.③找或作二面角的平面角的主要方法.i定义法ii垂面法iii三垂线法Ⅳ根据特殊图形的性质4求二面角大小的常见方法①先找或作出二面角的平面角θ;再通过解三角形求得θ的值.②利用面积射影定理S′=S·cosα其中S为二面角一个面内平面图形的面积;S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积;α为二面角的大小.③利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小.7.空间的各种距离点到平面的距离1定义面外一点引一个平面的垂线;这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.2求点面距离常用的方法：1直接利用定义求①找到或作出表示距离的线段；②抓住线段所求距离所在三角形解之.2利用两平面互相垂直的性质.即如果已知点在已知平面的垂面上;则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离.3体积法其步骤是：①在平面内选取适当三点;和已知点构成三棱锥；②求出此三棱锥的体积V和所取三点构成三角形的面积S；③由V=S·h;求出h即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离.难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算.4转化法将点到平面的距离转化为平行直线与平面的距离来求.8.直线和平面的距离1定义一条直线和一个平面平行;这条直线上任意一点到平面的距离;叫做这条直线和平面的距离.2求线面距离常用的方法①直接利用定义求证或连或作某线段为距离;然后通过解三角形计算之.②将线面距离转化为点面距离;然后运用解三角形或体积法求解之.③作辅助垂直平面;把求线面距离转化为求点线距离.9.平行平面的距离1定义个平行平面同时垂直的直线;叫做这两个平行平面的公垂线.公垂线夹在两个平行平面间的部分;叫做这两个平行平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度叫做这两个平行平面的距离.2求平行平面距离常用的方法①直接利用定义求证或连或作某线段为距离;然后通过解三角形计算之.②把面面平行距离转化为线面平行距离;再转化为线线平行距离;最后转化为点线面距离;通过解三角形或体积法求解之.10.异面直线的距离1定义条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度;叫做两条异面直线的距离.任何两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段.2求两条异面直线的距离常用的方法①定义法题目所给的条件;找出或作出两条异面直线的公垂线段;再根据有关定理、性质求出公垂线段的长.此法一般多用于两异面直线互相垂直的情形.②转化法为以下两种形式：线面距离面面距离③等体积法④最值法⑤射影法⑥公式法。
空间点线面之间的位置关系
空间点线面之间的位置关系一、平面1.平面的概念：平面是一个不加定义，只需理解的原始概念．立体几何里所说的的平面是从现实生活中常见的平面抽象出来的．常见的桌面、平静的水面等都给我们以平面的局部形象．平面是理想的、绝对的平且无大小，无厚度，不可度量． 2.平面的表示方法：(1)一个平面： 当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角 画成45，横边画成邻边的2倍长，如右图． (2)两个相交平面：画两个相交平面时，通常要化出它们的交线，当一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如下图）3. 运用集合观点准确使用图形语言、符号语言和文字语言空间图形的基本元素是点、直线、平面从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此还可借用集合中的符号语言来表示点、线、面的基本位置关系如下表所示：b A =a α⊂α=∅ αBAβαABαβαβBAAβαBAα=l β= 二、平面的基本性质1. 公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内推理模式：A AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭． 如图示： 或者：∵,A B αα∈∈，∴AB α⊂ 公理1的作用：①判定直线是否在平面内；②判定点是否在平面内； ③检验面是否是平面．2. 公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合或者：∵,,A B C 不共线，∴存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈. 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．(1)以上是确定平面的四个不同的条件，是判断两个平面重合的依据，是证明点线共面的依据，也是作截面、辅助面的依据．(2)“有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形的存在，“只有一个”是说图形唯一．因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证． 2. 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点,有且只有一条过该点的公共直线推理模式：A A l A ααββ∈⎫⇒∈=⎬∈⎭如图示：或者：∵,A A αβ∈∈，∴,l A l αβ=∈公理3的作用：(1)判断两个平面是否相交及交线位置； (2)判断点是否在线上 1、证明空间三点共线问题通常证明这些点都在两个平面的交线上，即先确定出某两点在两个平面的交线上，再证明第三点既在第一个平面内，又在第二个平面内。
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空间点线面位置关系及平行判定及性质
【知识点梳理】
１．平面的基本性质公理1
如果一条直线上的两个点都在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内
,,A B l A B α∈⎫
⎬∈⎭
l α⇒⊂
2．平面的基本性质公理2（确定平面的依据） 经过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面
3.平面的基本性质公理2的推论
(1)经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面 (2）经过两条相交直线，有且只有一个平面 （3）经过两条平行直线,有且只有一个平面
4．平面的基本性质公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是一条直线
A A αβ∈⎫⎬∈⎭⇒
l
A l
αβ=∈
５．异面直线的定义与判定
(1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线，既不相交也不平行
（2）判定:过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线
６．直线与直线平行
(１）平行四边形ABCD （矩形,菱形,正方形）
对边平行且相等,//AB CD ,//BC AD (2）三角形的中位线
,E F 分别是,AB AC 的中点
中位线平行且等于底边的一半，//EF BC (3）线面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行 //l α，l β⊂,//m l m α
β=⇒
（４)面面平行的性质定理
如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行 //αβ，a α
γ=，//b a b βγ=⇒
（５)线面垂直的性质定理
如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行
a α⊥，//
b a b α⊥⇒
7．直线与平面平行
(１）线面平行的判定定理
如果不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 a α⊄，b α⊂，////a b a α⇒ (2）面面平行的性质定理
如果两个平面互相平行,那么一个平面内的任一直线都平行于另一个平面 //αβ，//a a αβ⊂⇒
８.平面与平面平行
（1)面面平行的判定定理
如果一个平面内有两条相交直线，分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行
a α⊂，
b α⊂,a
b A =,//a β,////b βαβ⇒
（2）垂直于同一直线的两个平面互相平行 a α⊥,//a βαβ⊥⇒
【典型例题】
题型一：点线面的关系用符号表示、判断异面直线 例1.给定下列四个命题
①,,//,////a b a b ααββαβ⊂⊂⇒ ②,a a αβαβ⊥⊂⇒⊥ ③,//l m l n m n ⊥⊥⇒ ④,,,l a a l a αβα
βαβ⊥=⊂⊥⇒⊥
其中，为真命题的是
A. ①和②
B. ②和③ﻩﻩ
C. ③和④ﻩﻩ
D. ②和④
变式1．
给出下列关于互不相同的直线,,l m n 和平面,,αβγ的三个命题： ①若,l m 为异面直线,,l m αβ⊂⊂,则//αβ; ②若//,,l m αβαβ⊂⊂，则//l m ; ③若,,,//l m n l α
ββγγαγ===,则//m n
其中真命题的个数为
A ．3 Ｂ.2 C.１ D.0
题型二：以中位线为突破口的平行证明问题
例２.如图，在四面体PABC 中，,PC AB PA BC ⊥⊥，点,,,D E F G 分别是棱
,AP AC ，,BC PB 的中点，求证://DE 平面BCP
变式1．如图,在四面体PABC 中，,PC AB PA BC ⊥⊥，点,,,D E F G 分别是棱
,AP AC ,,BC PB 的中点,求证：四边形EEFG 为平行
四边形
变式2.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中,BAC 90∠=，11AB AC AA ===，延长11A C 至点P ,使111C P A C =，连接AP 交棱1CC 于D .求证:1//PB 平面1BDA ；
题型三：以平行四边形为突破口的平行证明问题
例 3.如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直,//EF AC ，
2AB =1CE EF ==，求证：//AF 平面BDE
变式 1.在三棱柱111C B A ABC -中,直线1AA 与底面ABC 所成的角是直角，直线AB 与
11B C 所成的角为45，90BAC ∠=，且1AB AA =,,,D E F 分别为11,,B A CC BC 的中
点．求证://DE 平面ABC ；
题型四:三种平行之间的相互关系与转化
例4．如图所示，圆柱的高为2，PA 是圆柱的母线,ABCD 为矩形,2,4AB BC ==，
,,E F G 分别是线段,,PA PD CD 的中点,求证：//PB 面EFG ;
变式1.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中，,E P 分别是11,BC A D 的中点,,M N 分别是
1,AE D C 的中点,2AB a =，1AD AA a ==，求证: //MN 面11ADD A
题型五:探究性问题
例5.如图所示,直棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是直角梯形,90BAD ∠=，2AB =,1AD CD ==,在线段AB 上是否存在点P （异于,A B 两点）
，使得//CP 平面1111A B C D ?证明你的结论
变式1．
如图，直三棱柱11ABB DCC -中,190ABB ∠=,14,2,1AB BC CC ===,DC 上有一动点P ,1CC 上有一动点Q ,讨论：无论,P Q 在何处,都有//PQ 平面1ABB ，并证明你的结论
【方法与技巧总结】
１．熟记立体几何证明中的多个公理，推理,判定定理以及性质定理
２.熟练掌握空间中点线面的位置关系的符号表示,并能够适当灵活转化为中文以便理解,在此建立空间的想象能力和空间感,进一步把符号转化为立体图象加以记忆
３.熟记平行证明中常用的判定定理和性质定理,特别重视三角形中位线定理和平行四边形性质定理的应用
4．应用三角形中位线定理和平行四边形性质定理，证明线线平行，从而得出线面平行或面面平行，重视线线平行证明的重要性
5.掌握线性平行，线面平行,面面平行三者之间的相互转化
【巩固练习】
1．下面命题中正确的是（)．
①若一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；
②若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行,则这两个平面平行；
③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行;
④若一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行,则这两个平面平行．A．①③ B.②④ C.②③④Ｄ.③④
2.平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β,则直线a,ｂ的位置关系是( ）.
Ａ．平行 B.相交C．异面 D.平行或异面
3.在空间中,下列命题正确的是( )．
Ａ.若a∥α,b∥ａ,则b∥α B.若a∥α,b∥α，a⊂β,b⊂β，则β∥α
C．若α∥β，b∥α,则b∥βD．若α∥β,a⊂α，则a∥β
４.已知ｍ、n为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）.
Ａ.m∥n，m⊥α⇒ｎ⊥αB．α∥β，ｍ⊂α，ｎ⊂β⇒m∥n
Ｃ．ｍ⊥α,m⊥ｎ⇒n∥αＤ．ｍ⊂α,n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β
5．在正方体ABCDＡ1B１C１D1中,E是DD1的中点，则BD１与平面AＣE的位置关系为＿_______.
解答题：
１、如图，在四棱锥P AＢCＤ中,底面ABCＤ为平行四边形，O为AC的中点，M 为PD的中点．求证:PB∥平面ACM．
2、如图,若ＰA⊥平面ＡBＣＤ，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点,求证:AＦ∥平面PCＥ．
3、如图，在正方体ＡＢＣDＡ1B1C1D1中，M、Ｎ、P分别为所在边的中点.
求证:平面MNP∥平面A1C1B；
4、如图,在三棱柱ABＣＡ１B1Ｃ1中，Ｅ，F，G,Ｈ分别是AB，AC,A1Ｂ1，A1Ｃ１
的中点,求证：（1）B,C，H,G四点共面;(２)平面EF A1∥平面BCHG.
５、如图所示，在三棱柱ABCA1B１C１中,A1A⊥平面ABC,若D是棱ＣC1的中点,问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AＢ1Ｃ1？若存在,请确定点Ｅ的位置；若不存在,请说明理由．
６、如图，在四棱锥ＰABCD中，底面是平行四边形,P A⊥平面ABＣD,点M、N 分别为BC、P A的中点.在线段ＰD上是否存在一点Ｅ,使NM∥平面ACE？若存在,请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．。