第15章1(15.1~3)1
10
1 .共射放大电路—基本放大电路 +EC RC C1 T 输入 ui RB EB RL
放大元件iC=iB， 工作在放大区， 要保证集电结反 偏，发射结正偏。
C2
uo 输出
参考点
11
共射放大电路组成及作用
使发射结正偏， 并提供适当的静 态工作点IB和 RC UBE。
第十五章
+EC
C1
C2
T
基极电源与 基极电阻
52
15.3.4 失真分析：
第十五章
失真——输出波形较输入波形发生畸变，称为失真 为了得到尽量大的输出信号，要把Q设置在交 流负载线的中间部分。如果Q设置不合适，信号 进入截止区或饱和区，造成非线性失真。
53
合适的静态工作点
iC ib 可输出 的最大 不失真 信号
第十五章
uCE uo
54
Q点过低，信号进入截止区
第十五章
(IB,UBE) 和( IC,UCE )分别对应于输入输出特性曲线 上的一个点称为静态工作点。 UCE=EC–ICRC 直流负载线 E C IC IB 与IB所决定 RC 的那一条输 出特性曲线 Q Q 静态I IB IB 的交点就是 C Q点 UBE UBE 静态UCE EC UCE
25
例题：P86 15.2.4
第十五章
28
§15.3 放大电路的动态分析 估算法 静态分析
第十五章
图解法
放大 电路 分析
微变等效电路法
动态分析 图解法 计算机仿真
29
15.3.1放大器的交流通道
第十五章
对交流信号(输入信号ui)
RB C1 短路 1/C0
+EC C2 短路 RL uo 置零
RC
ui
30
第十五章
交流通道
ui
计算输出电阻的方法： 所有独立电源置零，保留受控源，加压求流法。
44
用加压求 流法求输 出电阻：
0
Ii
0
Ic
第十五章
Ib
Io
RB
Ib
rbe RC
Uo
所以：
ro
Uo Io
Rc
45
2、交流放大图解法分析
第十五章
ic uce ui RB RC RL uo
uce=-ic（RC//RL） = -ic RL 其中： RL RL // RC
46
第十五章
交流量ic和uce有如下关系： uce=-ic（RC//RL）
= -ic RL 或ic=（-1/ RL） uce 这就是说，交流信号的变化沿着斜率为：
1 R L
的直线。
这条直线通过Q点，称为交流负载线。
47
交流负载线的作法
EC RC
第十五章
iC
交流负载线
直流负载线 Q
IB
uCE EC
C2
17
基本放大电路的工作原理 静态工作点 由于电源 的存在 IB 0 RB C1 +EC I
B
第十五章
RC
IC C 2
T
IC 0
ui=0时 无信号输入时
RL IE=IB+IC
18
15.2 放大电路的静态分析 静态工作点
RB C1 I
B
第十五章
+EC
RC
IC C 2
T RL UCE ( IC,UCE )
iC
第十五章
信号波形
uCE uo 称为截止失真
55
Q点过高，信号进入饱和区
iC
第十五章
信号波形
uCE uo 称为饱和失真
56
作业 ：第七版没有此题 (P87
15.3.3)
57
P87 习题15. 3 . 3
放大电路如下图所示，试问（1）RB、RC、RL各为多少？
（2）不生产失真的最大输入电压Uim为多少？（3）
=（10-5）/2=2.5KΩ
由右图特性可知： 交流负载线的斜率为
-2/（8-5）=-2/3=-1/RL’
所以 RL’=3/2=1. 5KΩ
所以：RL=1/（1/RL’-1/RC）=3.7 5KΩ 2）有图（b）分析最大的 不失真的电压Uom 首先看是会先发生截止失真还是饱和失真？ Ui=Uom/Au 下面求此时的Ui Uom=8-5=3 V
RB
RC
RL
uo
31
15.3.3 动态分析 1、 三极管的微变等效电路 首先考察输入回路 iB iB uBE uBE
第十五章
当信号很小时，将输入 特性在小范围内近似线 性。
u BE u be rbe i B ib
对输入的小交流信 号而言，三极管BE 间等效于电阻rbe。
32
第十五章
一般来说， ri越大越好。 ri越大，ii就越小，ui
就越接近uS
4
(3)输出电阻ro
第十五章
放大电路对其负载而言，相当于信号源， 我们可以将它等效为戴维南等效电路，这个 戴维南等效电路的内阻就是输出电阻。
输出端 uS ~
Au
ro
输出端
uso ~
5
如何确定电路的输出电阻？
在电路的计算中求ro有两个方法： 1、所有的电源（包括信号源）置零，
RL RC uo
40
3、电压放大倍数的计算：
第十五章
U i I b rbe
U o I b R L
R A u L rbe
R L R C // R L
负载电阻越小，放大倍数越小。
41
4、输入电阻的计算：
第十五章
对于为它提供信号的信号源来说，电路是负载， 这个负载的大小可以用输入电阻来表示。 输入电阻的定义：
第 2讲
第十五章
第15章 基本放大电路 概论 § 15.1 放大电路的组成和工作原理 § 15.2-3 放大电路的分析方法
1
第十五章 § 15.1 概论 15.1.1 放大的概念 电子学中放大的目的是将微弱的变化信号放 大成较大的信号。这里所讲的主要是电压放大 电路。 电压放大电路可以用有输入口和输出口的 四端网络表示，如图。
ic
ube
rce
uce
rce很大，一般忽略。
38
放大电路的微变等效电路 1 .三极管的微变等效电路 b c b e c
第十五章
ic =ib 等效
rbe
e 2 .将交流通道中的三极管用微变等效电路代替
39
交 流 通 ui 道
RB
RC
RL
uo
微 变 等 效 电 路
ii
ui RB
ib rbe
ic
ib
+EC
RC T C2 + RL
大小为10F~50F
C1 +
作用：隔离输入 输出与电路直流 的联系，同时能 使交流信号顺利 输入输出。
ui
RB EB
uo
15
单电源供电 +EC RC C1 T
可以省去
第十五章
C2
RB EB
RL
16
单电源供电的基本放大电路 +EC RB C1 T RL
第十五章
RC
(IB,UBE)
UBE
19
第十五章
放大电路的直流通道 +EC
RB
C1
RC
C2 开路 RL
开路
20
第十五章
直流通道
+EC RB RC
21
一、用估算法分析放大器的静态工作点 （ IB、UBE、IC、UCE）
第十五章
（1）估算IB（ UBE 0.7V)
+EC RB RC
EC UBE IB RB
解：
UBE 0.7V
EC 12 IB 0.04m A 40A RB 300 IC IB 37.5 0.04 1.5mA
UCE UCC ICRC 12 1.5 4 6V
请注意电路中IB和IC的数量级
24
二、用图解法分析放大器的静态工作点
在下图中，PNP型锗管 （1）UCC和C1 ，C2 的极性如何考虑？在图上标出； （2）UCC=-12V，RC=3KΩ，β =75。如果要将IC=1.5mA， 问 : RB应该为多大？
第十五章
（3）在调整静态工作点时，如果不慎将RB调到零，对晶体管
有无影响？为什么？通常采取何措施来防止这种现象？
26
保留受控源。然后采用加压求流法。
第十五章
ro
i u
uso ~
ro=u/i
6
第十五章
2、开路电压除以短路电流法。
ro
uso ~
ro
uo 测量开路电压uo = uso
uso ~
io
测量短路电流io = uso / ro
输出电阻：uo / io = uso / （ uso / ro ）
= ro
7
15.1.3符号规定
对输入的小交流信 号而言，三极管BE 间等效于电阻rbe。
b ib
ib
ube
b
c
ube
e
rbe
e
33
第十五章
对于小功率三极管：
26(m V) rbe 200() (1 ) I E (m A)
rbe的量级从几百欧到几千欧。
34
考察输出回路 iC 近似平行
第十五章
i C I C i c (I B i b )
过Q点作一条直线,斜率为:
1 R L
48
国土空间规划学 第15章 国土空间规划环境影响评价
新编21世纪土地资源管理系列教材
国土空间规划学
国土空间规划学
第15章 国土空间规划环境影响评价
本章要点
国土空间规划环境影响评价程序 国土空间规划环境影响内容识别和评价指标 国土空间规划环境影响评价方法
目录
CONTENTS
15.1 国土空间规划环境影响评价概述
15.1.1 国土空间规划环境影响评价的相关概念
影响，明确规划目标和环境目标的关系，确定评价指标体系。 3. 预测和评价规划实施的生态环境影响。 4. 论证规划目标、用地规模、布局、时序的环境合理性，对国土空间利用分区和布局的生
态适宜性进行分析和评价，提出规划方案的优化调整建议和环境影响减缓措施。 5. 制定国土空间规划实施后的跟踪评价与动态管理计划。
市级
县（区）级 和乡镇级
市级规划环评是市级国土空间规划编制的组成部分，贯穿于编制规划的全过程。
其目的是协调国土空间利用与生态建设和环境保护的关系，对规划实施后可能
造成的环境影响进行预测和评价，提出预防或者减轻不良环境影响的对策措施，
促进经济、社会与环境的全面协调可持续发展。
86%
县级和乡镇级国土空间规划是在对县域国土资源状况、潜力和各产业用地需求充分 了解的基础上对国土空间利用、区域经济、社会环境等多方面发展所做的统筹安排 和综合部署，而进行环境影响评价旨在识别和分析因规划实施所造成的环境影响， 并据此提出相应的预防或减缓措施，为规划决策提供依据，以达到协调国土空间利 用与生态环境保护的相互关系，建设环境友好型区域国土空间利用模式的目的。
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2023/8/15
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15.1 国土空间规划环境影响评价概述
电工课件第15章 基本放大电路
第15章基本放大电路15.1共发射极放大电路的组成15.2放大电路的静态分析15.3放大电路的动态分析15.4静态工作点的稳定15.5放大电路的频率特性15.6射极输出器15.7差分放大电路第15章基本放大电路本章要求：1. 理解单管交流放大电路的放大作用和共发射极、共集电极放大电路的性能特点；2.掌握静态工作点的估算方法和放大电路的微变等效电路分析法；3. 了解放大电路输入、输出电阻和多级放大的概念，了解放大电路的频率特性；4. 了解差分放大电路的工作原理和性能特点。
总结：放大的目的是将微弱的变化信号放大成较大的信号。
放大的实质: 能量的控制和转换用小能量的信号通过三极管的电流控制作用，将放大电路中直流电源的能量转化成交流能量输出。
对放大电路的基本要求：1. 晶体管必须工作在放大区。
发射结正偏，集电结反偏。
2. 要有足够的放大倍数(电压、电流、功率)。
3. 尽可能小的波形失真。
1. 实现放大的条件(1) 晶体管必须工作在放大区。
发射结正偏，集电结反偏。
(2) 正确设置静态工作点，使晶体管工作于放大区。
(3) 输入回路将变化的电压转化成变化的基极电流。
(4) 输出回路将变化的集电极电流转化成变化的集电极电压，经电容耦合只输出交流信号。
2.直流通路和交流通路因电容对交、直流的作用不同。
在放大电路中如果电容的容量足够大，可以认为它对交流分量不起作用，即对交流短路。
而对直流可以看成开路。
这样，交直流所走的通路是不同的。
直流通路：无信号时电流（直流电流）的通路，用来计算静态工作点。
交流通路：有信号时交流分量（变化量）的通路，用来计算电压放大倍数、输入电阻、输出电阻等动态参数。
15.2放大电路的静态分析静态：放大电路无信号输入（u i = 0）时的工作状态。
分析方法：估算法、图解法。
分析对象：各极电压电流的直流分量。
所用电路：放大电路的直流通路。
设置Q 点的目的：(1)使放大电路的放大信号不失真；(2)使放大电路工作在较佳的工作状态，静态是动态的基础。
第15章第1节极值与最小二乘法
16
§15.1. 极值与最小二乘法
即边界上的值为零.
z( 1 , 1 ) 1 , 2 2 2 z ( 1 , 1 ) 1 , 2 2 2
所以最大值为 1 ，最小值为 1 . 2 2
无条件极值：对自变量除了限制在定义域内以外， 并无其他条件.
17
§15.1. 极值与最小二乘法
18
§15.1. 极值与最小二乘法
问题归结为 4 x sin 2 x sin cos 0 x S 24 x cos 2 x 2 cos x 2 sin 2 x 2 cos 2 0
存在M 0 x0 , y0 的一个邻域，使得在这个邻域内， f 的符号与Kf 的符号相同.
记 H AC B 2
对于二次型Kf Ax 2 2Bxy C y 2，
9
§15.1. 极值与最小二乘法
利用高等代数的知识，得到下面的结论。
（1）H 0, A 0, 取到极大值； （2）H 0, A 0, 取到极小值； （3）H 0, 无极值； （4）待定.
11
§15.1. 极值与最小二乘法
3 3 f ( x , y ) x y 3 xy 的极值。 例4 求函数
解
f x ( x, y ) 3 x 2 3 y,
f y ( x, y) 3 y 2 3 x.
2 x y, 2 y x.
2 3 x 3 y 0, 求解方程组： 2 3 y 3 x 0. 得驻点 (0, 0), (1, 1).
(0, 0) 不是极值点.
12
§15.1. 极值与最小二乘法
在 (1, 1) 处, A f xx (1,1) 6 0,
变形缝
后浇带处钢筋的配置可采用直接贯通式，也可采用搭接贯通式，或者先 断开、后期再焊接贯通的方式。对于后浇伸缩带和后浇温度带处的钢筋 可以采用直通加弯的方式，以消除因混凝土温度变化而引起的影响，如 图15-9(a)所示。
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15. 4施工后浇带
后浇沉降带处的钢筋一般采用搭接的方式，或先采用搭接的方式留出焊 接位置，待结构沉降基本稳定以后，再进行焊接，使沉降变形产生的影 响降到最小，如图15-9(b)所示。
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15. 4施工后浇带
(3)后浇温度带的浇筑。如果后浇温度带单独设置，浇筑混凝土的时间宜 选择在温度较低时，不要在热天补齐冷天留下来的后浇温度带。
后浇带混凝土浇筑后需要加强养护，养护时间一般不少于28天。后浇带 的防水可通过在后浇带部位混凝土中增加遇水膨胀止水条或外贴式止水 带来解决，如图15-10所示。后浇带如需要超前止水，后浇带部位的混 凝土应局部加厚，并增设外贴式或中埋式止水带，如图15-11所示。
后浇带的同一截面处应避免钢筋焊接接头过多，以满足结构受力要求。 另外，在后浇带处还应该设置附加钢筋。
后浇带应设置在受力和变形较小的部位，间距一般为30~60 m。后浇带 的宽度应考虑便于施工操作，并按结构构造要求而定，一般以700~1 000 mm为宜。
后浇带浇筑前应将表面清理干净，将钢筋加以整理和施焊，然后浇筑无 收缩水泥配制的混凝土或膨胀混凝土。
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15. 2沉降缝
15. 2. 1沉降缝的设置
为防止不均匀沉降对建筑物的影响所设置的缝称为沉降缝。沉降缝应设 在建筑物的下列部位:
(1)建筑物的高差、荷载差异较大处; (2)建筑物平面的转拆处; (3)地基土的压缩性较大或有显著不均匀处; (4)新、旧建筑物毗邻处，分期建设相连处; (5)结构形式不同处。 当采用以下措施时，高层部分与裙房之间可连接为整体而不设沉降缝:
第15章 电子控制防抱死制动系统(ABS)
15.2.1 防抱死制动系统(ABS)的控制原理
逻辑门限值控制方法以车轮角减速度和角加速度为 制动压力控制门限，以滑移率为辅助控制门限。因为单 纯用一种控制参数存在局限性。如果单以车轮的角减速 度、角加速度为门限值，汽车在不同的路况下行驶过程 中紧急制动，车轮达到设定的角速度门限值时，车轮的 实际滑移率差别很大，这会使得一些路面的制动控制达 不到好的效果；如果单以滑移率为门限值进行控制，由 于路况的不同，最佳滑移率的变化范围较大(8%～30%)， 仅以某一固定的滑移率作为门限值，就不能在各种路况 下都能获得最佳的制动效果。将两种门限参数结合在一 起，可使系统能辨识路况，提高系统的自适应控制能力。
15.1.2 防抱死制动系统的分类
按控制器所依据的控制的参数不同分 按功能和布臵的形式不同分 按系统控制方案不同分 按控制通道和传感器数不同分
15.1.2 防抱死制动系统的分类
1．按控制器所依据的控制的参数不同分
以车轮滑移率S为控制参数的ABS 以车轮角减速度为控制参数的ABS 以车轮角减速度和滑移率为控制参数的ABS
15.1.2 防抱死制动系统的分类
4．按控制通道和传感器数不同分 ABS系统中的控制通道是指能独立进行制动 压力调节的制动管路，按控制通道分有四种。
单通道式ABS 双通道式ABS 三通道式ABS 四通道式ABS
15.1.2 防抱死制动系统的分类
(1) 单通道式ABS
单通道ABS如图15-4所示。 通常是对两后轮采用轴控方式，车轮转速传感器有 一个或两个，采用一个轮速传感器的将传感器安装在后 桥主减速器处，采用两个轮速传感器的则在后轮上各装 一个，并采用低选控制。由于前轮未进行防抱死控制， 因而汽车制动时的转向操纵性没有提高。但单通道ABS结 构简单、成本低，因此在一些载货汽车上还有应用。
第15章 拉普拉斯变换
本章重
. 点 常用函数的拉普拉斯变换 . 拉普拉斯变换的基本性质 . 复频域中的电路定律 . 运算阻抗和运算导纳 . 拉普拉斯变换法分析电路的动态响应 . 网络函数
返回目录
15.1 拉普拉斯变换
一、拉氏变换（Laplace transformation）的定义
正变换
F (s) f (t )estdt 0
n
f (t ) kiesit i 1
ki也可用分解定理求
等式两边同乘（s-si）
(s si )
F(s)
F1
(
s()s
si
)
k1(
s
si )
k
i
(
s
si )
k
(
n
s
si
)
F2 (s) s s1
s si
s sn
ki
lim
s si
F1(s)( s F2 (s)
si )
0 0
应用洛比达法则求极限
2
2 s1
1 s2
f (t ) 2 (t ) 2et e2t (t 0)
2. F2 (s)有共轭复根
假设只有两个根 s1,2 j
F (s) k1 k2
s j s j
可据前面介绍的两种方法求出 k1 , k2。 k1 , k2也是一对共轭复数。
设 k1 k ej k2 k e j
j
不同的 f (t)，0的值不同，称 0为复平面s内的收敛横坐标。
收敛轴 收敛区
0 0
收敛坐标
电工中常见信号为指数阶函数，即
f (t ) MeCt
t [0, )
式 中M是 正 实 数 ，C为 有 限 实 数 。
沪科版八年级数学上册第15章：15.1 第2课时 平面直角坐标系中的轴对称
1
关于y轴对称的△A ′ B ′ C ′.
-4 -3 -2 -1-01
-2 -3
-4
A′
C′ B′
12345 x
21
8.已知点A（2a+b，-4），B（3，a-2b）关于x轴对称， 求点C（a，b）在第几象限？ 解：∵点A（2a+b，-4），B（3，a-2b）关于x轴 对称， ∴2a+b=3，a-2b=4， 解得a=2，b=-1． ∴点C（2，-1）在第四象限．
D．直线y=x对称
2.在平面直角坐标系中，将点A（-1，2）向右平
移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点
C的坐标是（ D ）
A．（-4，-2）
B．（2，2）
C．（-2，2）
D．（2，-2）
18
3.设点M（x，y）在第二象限，且|x|=2，|y|=3，则点
M关于y轴的对称点的坐标是（ A ）
(一找二描三连）
13
针对训练： 平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为 A（0,4），B（2,4），C（3，－1）. （1）试在平面直角坐标系中，标出A、B、C三点； （2）若△ABC与△A'B'C'关于x轴对称，画出 △A'B'C'，并写出A'、B'、C'的坐标.
14
解：如图所示：
y
A (0,4)
4
讲授新课
一 用坐标表示轴对称
互动探究
问题1：已知点A和一条直线MN，你能画出这
个点关于已知直线的对称点吗?
（1）过点A作AO⊥MN，
M
垂足为点O，
（2）延长AO至A′, 使OA′=AO.
A
15.1.1电阻及其影响因素教案2023-2024学年沪科版物理九年级全一册
15.1.1电阻及其影响因素教案20232024学年沪科版物理九年级全一册教学内容：一、教材章节：沪科版物理九年级全一册第15章第1节第1部分。
二、详细内容：1. 电阻的概念及其符号表示；2. 电阻的单位及常用的电阻单位；3. 影响电阻大小的因素：材料、长度、横截面积和温度；4. 电阻的计算公式及应用。
教学目标：1. 理解电阻的概念，掌握电阻的符号表示和单位；2. 掌握影响电阻大小的因素，并能运用公式进行计算；3. 培养学生的实验操作能力和观察能力，提高学生的科学思维能力。
教学难点与重点：难点：电阻的计算公式的理解和运用；重点：影响电阻大小的因素的实验观察和分析。
教具与学具准备：1. 电阻器、电压表、电流表等实验器材；2. PPT课件；3. 学生实验报告册。
教学过程：一、实践情景引入（5分钟）1. 让学生观察生活中常见的电阻器，如灯泡、电阻箱等，引导学生思考电阻的概念和作用；2. 通过实验，让学生观察电流通过电阻器时的现象，如灯泡的亮度变化，引导学生理解电阻的定义和符号表示。
二、知识讲解（10分钟）1. 讲解电阻的单位及常用的电阻单位，如欧姆、千欧、兆欧等；2. 讲解影响电阻大小的因素：材料、长度、横截面积和温度；3. 讲解电阻的计算公式：R = V/I，其中R表示电阻，V表示电压，I表示电流。
三、实验操作（10分钟）1. 学生分组进行实验，观察和记录电流通过不同电阻器时的现象；2. 学生根据实验数据，计算出不同电阻器的电阻值，并进行分析；3. 引导学生发现影响电阻大小的因素，如材料、长度、横截面积和温度。
四、例题讲解（10分钟）1. 出示例题，如计算给定电压下，通过某一电阻器的电流大小；2. 引导学生运用电阻的计算公式进行解答；五、随堂练习（10分钟）1. 出示随堂练习题，让学生独立完成；2. 学生互相交流解题思路和答案，教师进行点评和指导；3. 针对学生的错误，进行讲解和纠正。
六、板书设计（5分钟）1. 板书电阻的概念及其符号表示；2. 板书电阻的单位及常用的电阻单位；3. 板书影响电阻大小的因素：材料、长度、横截面积和温度；4. 板书电阻的计算公式：R = V/I。
华师大版八年级上册电子课本 第15章 平移与旋转(新版)-
第15章平移与旋转§15.1平移1. 图形的平移2. 平移的特征§15.2旋转1. 图形的旋转2. 旋转的特征3. 旋转对称图形§15.3中心对称§15.4图形的全等阅读材料古建筑中的旋转对称——从敦煌洞窟到欧洲教堂小结复习题课题学习图案设计第15章平移与旋转世界充满着运动，从天体、星球的运行，到原子、粒子的作用，其中最基本的是平移、旋转及对称等运动．平移、旋转及对称等合成了大千世界许许多多千姿百态的运动．§15.1 平移1. 图形的平移在日常生活中，我们经常可以看到如图15.1.1所示的一些现象：滑雪运动员在白茫茫的平坦雪地上滑翔，大楼电梯上上下下地迎送来客，火车在笔直的铁轨上飞驰而过，飞机起飞前在跑道上加速滑行，这些都给我们带来物体平行移动的形象．图15.1.1我们还可以注意到图15.1.2中一幅幅美丽的图案，它们都可以看成是某一基本的平面图形沿着一定的方向移动而产生的结果．图15.1.2这种图形的平行移动，简称为平移（translation）．它由移动的方向和距离所决定．图15.1.3当我们如图15.1.3所示的那样使用直尺与三角尺画平行线时，△ＡＢＣ沿着直尺PQ平移到△A′B′C′，就可以画出ＡＢ的平行线A′B′了．我们把点A与点A′叫做对应点，把线段ＡＢ与线段A′B′叫做对应线段，∠A与∠A′叫做对应角．此时：点B的对应点是点；点C的对应点是点；线段AC的对应线段是线段；线段ＢＣ的对应线段是线段；∠B的对应角是；∠C的对应角是．△ＡＢＣ平移的方向就是由点B到点B′的方向，平移的距离就是线段BB′的长度．试一试图15.1.4在图15.1.4中，△ＡＢＣ沿着由点A到点A′的方向，平移到△A′B′C′的位置．你知道线段 CA的中点M以及线段ＢＣ上的点N 平移到什么地方去了吗?请在图上标出它们的对应点M′和N′的位置．练习1. 举出现实生活中平移的一些实例．2. 如图所示的△ＡＢＣ和△DEF都是等边三角形，其中一个等边三角形经过平移后成为另一个等边三角形．指出点A、 B、 C的对应点，并指出线段ＡＢ、ＢＣ、 CA的对应线段，∠A、∠B、∠C的对应角．(第2题)3. 如图，小船经过平移到了新的位置，你发现缺少什么了吗?请补上．(第3题)2. 平移的特征如图15.1.5，在画平行线的时候，有时为了需要，将直尺与三角尺放在倾斜的位置上．但不管怎样，我们总可以推得A′B′∥ＡＢ， A′B′＝ＡＢ，∠B′＝∠B．同时也有A′C′∥， A′C′＝，∠C′＝．这就告诉我们，平移后的图形与原来的图形的对应线段平行并且相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化．图15.1.5注意在平移过程中，对应线段也可能在一条直线上(如图15.1.5中的B′C′与ＢＣ)．探索观察图15.1.6，△ＡＢＣ沿着PQ的方向平移到△A′B′C′的位置，除了对应线段平行并且相等以外，你还发现了什么现象?图15.1.6我们可以看到，△ＡＢＣ上的每一点都作了相同的平移：A→A′， B→B′， C→C′．不难发现AA′∥∥；AA′＝＝．即平移后对应点所连的线段平行并且相等．试一试将图15.1.6中的△A′B′C′沿RS方向平移到△A″B″C″的位置，其平移的距离为线段RS的长度．注意如图15.1.7所示，在平移过程中，对应点所连的线段也可能在一条直线上．图15.1.7例如图15.1.8(1)，△ＡＢＣ经过平移到△A′B′C′的位置．指出平移的方向，并量出平移的距离．图15.1.8解由于点A与点A′是一对对应点，因此，如图15.1.8(2)，连结AA′，平移的方向就是点A到点A′的方向，且平移的距离就是线段AA′的长度，约2.４厘米．试一试图15.1.9在如图15.1.9的方格纸中，画出将图中的△ＡＢＣ向右平移5格后的△A′B′C′，然后再画出将△A′B′C′向上平移2格后的△A″B″C″．△A″B″C″是否可以看成是△ＡＢＣ经过一次平移而得到的呢?如果是，那么平移的方向和距离分别是什么呢?做一做如图15.1.10，在纸上画△ＡＢＣ和两条平行的对称轴m、 n.画出△ＡＢＣ关于直线m对称的△A′B′C′，再画出△A′B′C′关于直线n对称的△A″B″C″．图15.1.10观察△ＡＢＣ和△A″B″C″，你能发现这两个三角形有什么关系吗?练习1. 如图，在长方形ＡＢCD中，对角线AC与BD相交于点O，画出△AOB平移后的三角形，其平移方向为射线AD的方向，平移的距离为线段AD的长．(第1题) （第2题)2. 先将方格纸中的图形向左平移5格，然后再向下平移3格．3. 将所给图形沿着PQ方向平移，平移的距离为线段PQ的长．画出平移后的新图形．(第3题)习题15.11. 在纸上任意画一个三角形，然后将此三角形沿着北偏东60°的方向平移2.8厘米，画出平移后的三角形．2. 平移方格纸中的图形(如图)，使点A平移到点A′处，画出平移后的图形．(第2题) (第3题)3. 如图，ＡＢ＝DC，画出线段ＡＢ平移后的线段DE，其平移方向为射线AD的方向，平移的距离为线段AD的长．平移后所得的线段DE 与线段DC相等吗?连结EC，∠DEC与∠DCE相等吗?试说明理由．4. 利用如图所示的图形，通过平移设计图案．(第4题)§15.2 旋转1. 图形的旋转在日常生活中，除了物体的平行移动外，我们还可以看到许多如图15.2.1所示的物体的旋转现象：时钟上的秒针在不停地转动，大风车的转动给人们带来快乐，飞速转动的电风扇叶片给人们带来一丝丝的凉意．图15.2.1图15.2.2中的两个图形都可以看成是由一个或几个基本的平面图形转动而产生的奇妙画面．图15.2.2这些图形有什么共同特征呢?图15.2.3如图15.2.3，单摆上小球的转动，由位置P转到位置P′，显然它是绕上面的悬挂点转动．像这样的运动，就叫做旋转(rotation)．这一悬挂点就叫做小球旋转的旋转中心(centre of rotation)．显然，旋转中心在旋转过程中保持不动，图形的旋转由旋转中心、旋转的角度和旋转的方向所决定．试一试用一张半透明的薄纸，覆盖在画有任意△AOB的纸上，在薄纸上画出与△AOB重合的一个三角形．然后用一枚图钉在点O处固定，将薄纸绕着图钉(即点O)逆时针转动45°，薄纸上的三角形就旋转到了新的位置，标上A′、O、B′，我们可以认为△AOB逆时针旋转45°后变成△A′OB′（如图15.2.4）．在这样的旋转过程中，你发现了什么?图15.2.4从图15.2.4中，可以看到点A旋转到点A′， OA旋转到OA′，∠AOB旋转到∠A′OB′，这些都是互相对应的点、线段与角．此时：点B的对应点是点；线段OB的对应线段是线段；线段ＡＢ的对应线段是线段；∠A的对应角是；∠B的对应角是；旋转中心是点；旋转的角度是．做一做图15.2.5如图15.2.5，如果旋转中心在△ＡＢＣ的外面点O处，逆时针转动60°，将整个△ＡＢＣ旋转到△A′B′C′的位置．那么这两个三角形的顶点、边与角是如何对应的呢?例1如图15.2.6，△ＡＢＣ是等边三角形，D是ＢＣ上一点，△ＡＢD经过逆时针旋转后到达△ACE的位置．(1) 旋转中心是哪一点?(2) 旋转了多少度?(3) 如果M是ＡＢ的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置?图15.2.6解(1) 旋转中心是点A．(2) 旋转了60°．(3) 点M转到了AC的中点位置上．例2如图15.2.7(1)，点M是线段ＡＢ上一点，将线段ＡＢ绕着点M 顺时针方向旋转90°，旋转后的线段与原线段的位置有何关系?如果逆时针方向旋转 90°呢?图15.2.7解顺时针方向旋转90°，如图15.2.7(2)所示，A′B′与ＡＢ互相垂直．逆时针方向旋转90°，如图15 2 7(3)所示，A″B″与ＡＢ互相垂直．练习1. 举出现实生活中旋转的一些实例．2. 如图，△ＡＢＣ按逆时针方向转动一个角后成为△ＡＢ′C′，图中哪一点是旋转中心?旋转了多少度?(第2题) (第3题)3. 如图，△ＡＢＣ与△ADE都是等腰直角三角形，∠C和∠AED都是直角，点E在ＡＢ上，如果△ＡＢＣ经逆时针旋转后能与△ADE重合，那么哪一点是旋转中心?旋转了多少度?2. 旋转的特征探索观察图15.2.4与图15.2.5，你能发现有哪些线段相等?有哪些角相等?我们可以看到，图15.2.4中，线段OA、 OB都是绕点O逆时针旋转45°角到对应线段OA′、 OB′，而且OA＝OA′， OB＝OB′，ＡＢ＝A′B′；∠AOB＝∠A′OB′，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′．在图15.2.5中，旋转中心是点O，点A、 B、 C都是绕点O逆时针旋转60°角到对应点A′、 B′、 C′，而且OA＝， OB＝， OC＝；ＡＢ＝，ＢＣ＝， CA＝；∠CAＢ＝，∠ＡＢＣ＝，∠ＢCA＝．这就是图形旋转的特征：图形中每一点都绕着旋转中心按同一旋转方向旋转了同样大小的角度，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化．练习1. 确定图形中的旋转中心，指出这一图形可以看成是由哪个基本图形旋转而生成的，旋转几次，每一次旋转多少度．(不计颜色)(第1题) (第2题) (第3题)2. 画出△ＡＢＣ绕点C逆时针旋转90°后的图形．3. 画出所给图形绕点O顺时针旋转90°后的图形．旋转几次后可以与原图形重合?3. 旋转对称图形在日常生活中，我们经常可以看到，一些图形绕着某一定点旋转一定的角度后能与自身重合．如图15 2 8所示，电扇的叶片旋转120°、螺旋桨旋转180°后，都能与自身重合．你能再举出一些这样的实例吗?图15.2.8试一试用一张半透明的薄纸，覆盖在如图15.2.9所示的图形上，在薄纸上画这个图形，使它与如图15.2.9所示的图形重合．然后用一枚图钉在圆心处穿过，将薄纸绕着图钉旋转，观察旋转多少度(小于周角)后，薄纸上的图形能与原图形再一次重合．图15.2.9 图15.2.10 图15.2.11 由上述操作可知，该图形绕圆心旋转60°后，能与自身重合，且绕圆心旋转120°或180°后，都能与自身重合．这种图形就称为旋转对称图形(a figure of rotation symmetry)．用类似上述的操作方法对如图15.2.10所示的图形进行探索，看看它是不是旋转对称图形?想一想旋转中心在何处?该图形需要旋转多少度后，能与自身重合?该图形是轴对称图形吗?图15.2.11所示的图形是轴对称图形．用类似上述的操作方法对图15.2.11所示的图形进行探索，它能通过旋转与自身重合吗?你能设计一个旋转30°后能与自身重合的图形吗?做一做如图15.2.12，在纸上画△ＡＢＣ和过点P的两条直线PQ、 PR．画出△ＡＢＣ关于PQ对称的三角形A′B′C′，再画出△A′B′C′关于PR对称的三角形A″B″C″．观察△ＡＢＣ和△A″B″C″，你能发现这两个三角形有什么关系吗?图15.2.12练习1. 举出日常生活中旋转对称图形的几个实例．2. 找找看，下面图形中有几匹马?它们的位置关系大致如何?(第2题)3. 如图所示的图形绕哪一点旋转多少度后能与自身重合?(第3题)4. 在纸上任意画一个△ＡＢＣ，再任意画一个点P，然后画出△ＡＢＣ绕点P逆时针方向旋转60°后的三角形．习题15.21. 如图所示的五角星绕哪一点旋转多少度后能与自身重合?(第1题) (第2题)2. 如图，△ACD、△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD＝∠EＡＢ＝90°，画出△ACE以点A为旋转中心、逆时针方向旋转90°后的三角形．3. 如图，四边形ＡＢCD是正方形，△ADE经顺时针旋转后与△ＡＢF 重合．(第3题)(1) 旋转中心是哪一点?(2) 旋转了多少度?(3) 如果连结EF，那么△AEF是怎样的三角形?4. △ＡＢＣ是等边三角形，点O是三条中线的交点，△ＡＢＣ以点O为旋转中心，旋转多少度后能与原来的图形重合?(第4题) (第5题)5. 仿照第７６页“试一试”的方法，分两种情况：考虑颜色和不考虑颜色，看看如图所示的图形绕圆心旋转多少度后能与自身重合?§15.3 中心对称在上一节，我们已经看到有不少图形绕某一中心点旋转一定角度后，可以与自身重合．如图15.3.1所示的三个图形都是这样的旋转对称图形．图15.3.1图15.3.1的中间一个图形绕着中心点旋转180°后能与自身重合，我们把这种图形叫做中心对称图形(a figure of central symmetry)，这个中心点叫做对称中心(centre of symmetry)．把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够和另一个图形重合，那么，我们就说这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点，叫做关于中心的对称点．如图15.3.2所示，△ＡＢＣ与△ADE是成中心对称的两个三角形，点A是对称中心，点B的对称点为点，点C的对称点为点，点A的对称点为点．点B绕着点A旋转180°到达点D处，因此，B、 A、 D三点在同一条直线上，并且ＡＢ＝AD.图15.3.2探索在图15.3.3中，△A′B′C′与△ＡＢＣ关于点O是成中心对称的，你能从图中找到哪些等量关系?图15.3.3我们可以发现，点A绕中心点O旋转180°后到点A′，于是A、O、 A′三点在一直线上，并且ＡＯ＝ＯＡ′，另外分别在一直线上的三点还有、；并且BO＝， CO＝．归纳在成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分．反过来，如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，并且都被该点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称．例如图15.3.4，已知△ＡＢＣ和点O，画出△DEF，使△DEF和△ＡＢＣ关于点O成中心对称．图15.3.4解(1) 连结AO并延长AO到D，使OD＝OA，于是得到点A关于点O的对称点D；(2) 同样画出点B和点C关于点O的对称点E和F；(3) 顺次连结DE、 EF、 FD．如图15.3.５，△DEF即为所求的三角形．图15.3.5练习1. 仔细观察所列的26个英文字母，将相应的字母填入下页表中适当的空格内．(第1题)2. 如图(1)所示，魔术师把4张扑克牌放在桌子上，然后蒙住眼睛，请一位观众上台，把某一张牌旋转180°．魔术师解除蒙具后，看到4张扑克牌如图(2)所示，他很快确定了哪一张牌被旋转过．你能吗?(第2题)读一读对弈策略两个人轮流在一张桌面(长方形或正方形或圆形)上摆放同样大小的硬币，规则是： 每人每次摆一个，硬币不能相互重叠，也不能有一部分在桌面边沿之外，摆好以后不准移动，这样经过多次摆放，直到谁最先摆不下硬币，谁就认输．按照这个规则，你用什么办法才能取胜?初看起来，只能碰运气，其实不然．只要你先摆，并且采取中心对称策略，你就一定能取胜．取胜的秘诀是：你先把一枚硬币放在桌面的对称中心上，以后根据对方所放硬币的位置，在它关于中心对称的位置上放下一枚硬币．这样，由于对称性，只要对方能放下一枚硬币，你就能在其对称的位置上放下一枚硬币．你不妨试一试．试一试如图15.3.６所示的两个图形成中心对称，你能找到对称中心吗?图15.3.６做一做如图15.3.７，在纸上画△ＡＢＣ、点P，以及与△ＡＢＣ关于点P成中心对称的三角形A″B″C″．过点P任意画一条直线，画出△ＡＢＣ关于此直线对称的△A′B′C′，如图15.3.８．图15.3.７图15.3.８观察△A′B′C′和△A″B″C″，你发现了什么?练习1. 如图，已知四边形ＡＢCD和点O，画四边形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′和四边形ＡＢCD关于点O成中心对称．(第1题)2. 如图，已知△ＡＢＣ和过点O的两条互相垂直的直线x、 y，画出△ＡＢＣ关于直线x对称的△A′B′C′，再画出△A′B′C′关于直线y对称的△A″B″C″，△A″B″C″与△ＡＢＣ是否关于点O成中心对称?(第2题)习题15.31. 关于某一点成中心对称的两个图形，对称点所连的线段通过，被平分，对应线段与对应角都．2. 如图所示的图形是不是轴对称图形?是不是中心对称图形?(第2题) (第3题)3. 如图，已知AD是△ＡＢＣ的中线，画出以点D为对称中心、与△ＡＢD成中心对称的三角形．4. 如图所示的图形是由两个半圆组成的图形，已知点B是AC的中点，画出此图形关于点B成中心对称的图形．(第4题)§15.4 图形的全等我们已经认识了图形的翻折、平移和旋转，这是图形的三种基本变换，图形经过这样的变换，位置发生了改变，但变换前后的图形对应线段相等，对应角相等，它们的形状和大小并没有改变．要想知道两个图形的形状和大小是否完全相同，可以通过翻折、平移和旋转等图形的变换，把两个图形叠合在一起，观察它们是否完全重合．能够完全重合的两个图形叫做全等图形(congruent figures)，图15.4.1中的图形(2)与(4)就是全等图形．图15.4.1一个图形经过翻折、平移和旋转等变换所得到的新图形一定与原图形全等；反过来，两个全等的图形经过上述变换后一定能够互相重合．思考观察图15.4.2中的两对多边形，其中的一个可以经过怎样的变换和另一个图形重合?图15.4.2上面的两对多边形都是全等图形，也称为全等多边形．两个全等的多边形，经过变换而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角．如图15.4.3中的两个五边形是全等的，记作五边形ＡＢCDE≌五边形A′B′C′D′E′(这里，符号“≌”表示全等，读作“全等于”)．点A与A′、点B与B′、点C与C′、点D与D′、点E与E′分别是对应顶点．图15.4.3依据上面的分析，我们知道：全等多边形的对应边、对应角分别相等．这就是全等多边形的特征．实际上这也是我们识别全等多边形的方法，即边、角分别对应相等的两个多边形全等．三角形是特殊的多边形，因此，全等三角形的对应边、对应角分别相等．同样，如果两个三角形的边、角分别对应相等，那么这两个三角形全等．如图15.4.4所示，△ＡＢＣ≌△DEF，且∠A＝∠D，∠B＝∠E．你能指出它们之间其他的对应顶点、对应角和对应边吗?图15.4.4练习在日常生活中，处处可以看到全等的图形．例如：同一张底片印出的同样尺寸的照片；我们使用的数学课本的封面；我们班的课桌面等等．试尽可能多地举出生活中全等图形的例子，和同学比一比，看谁举出的例子多．习题15.41. 图中所示的是两个全等的五边形，ＡＢ＝8， AE＝5， DE＝11， HI ＝12， IJ＝10，∠C＝90°，∠G＝115°，点B与点H、点D与点J分别是对应顶点，指出它们之间其他的对应顶点、对应边与对应角，并说出图中标的a、 b、 c、 d、 e、α、β各字母所表示的值．2. 在下列方格图中画出两个全等的四边形．阅读材料古建筑中的旋转对称——从敦煌洞窟到欧洲教堂敦煌的佛教洞窟与欧洲的基督教堂相距数千里，文化和宗教背景截然不同，然而，在相距几百年的时间里，两地先后出现了完全相同的一种图案：三只兔子相互追逐形成一环．大英博物馆《国际敦煌学项目》(IDP News)披露了这一新发现．敦煌407窟窟顶上的图案，隋朝．16世纪早期，德国帕德波恩大教堂的玻璃镶花图案．敦煌佛教洞窟中，至少有16个洞窟出现了这一图案：三只兔子位于莲花的中心，朝着不同方向奔跑，有的是顺时针(如305窟)，有的是逆时针(如407窟)．这些洞窟建于隋朝和晚唐时期．但是，敦煌学文献中从来没有对这一图案的相关研究记录．19世纪欧洲一本谜语书中的图案．而到了13世纪，欧洲的德国、法国和英国基督教堂的屋顶浮雕等处，都发现了相同或相似的图案．这三只兔子是如何从中国传到欧洲的，一时成为敦煌学界的一大研究热点．有专家指出，这一图案是通过中国的纺织品经由丝绸之路传到欧洲的，但目前还没有确切的证据证实这一观点．专家们正在加紧研究，以期解开“三只兔子之谜”．小结一、知识结构二、概括本章从日常生活中常见的一些图形的位置关系，得出图形的平移与旋转以及旋转对称、中心对称的概念．通过动手操作，探索图形在平移、旋转的过程中有关点、线段、角的变化．平移、旋转与轴对称都是图形之间的一些主要变换，在这些变换下，线段的长度与角的大小都没有改变，图形的形状与大小都没有发生变化，变换前后的两个图形是全等图形，这是最主要的特征，是将来进一步研究图形全等及其有关性质的基础．复习题A组1. 观察下列图形，将其中的轴对称图形、旋转对称图形和中心对称图形所对应的编号填入相应的圈内．(1) (2)(3) (4) (5) (6)CX〖〗轴对称图形〖〗旋转对称图形〖〗中心对称图形2. 如图，△ＡＢＣ经过平移后成为△A′B′C′，画出平移的方向、量出平移的距离．(第2题)3. 在纸上画一个边长为1厘米的正方形，然后分别画出将该正方形向北偏东30°方向平移2厘米，以及将该正方形向正东方向平移2厘米后的图形．4 如图，钟摆的摆动是旋转，图中的旋转中心是哪一点?试用量角器测量旋转的角度．(第4题)5. 如图，半圆O绕着点P顺时针旋转后成为半圆O′，试量出旋转角度的大小．(第5题)6. 如图，已知一个圆和点O，画一个圆，使它与已知圆关于点O成中心对称．(第6题)7. 如图，已知△ＡＢＣ≌△CDA，指出它们的对应顶点、对应边和对应角．(第7题)8. 如图，已知△ＡＢＣ≌△ADC，∠BAC＝60°，∠ACD＝23°，那么∠D＝度．(第8题)B组9. 画出三角形绕点O逆时针旋转90°后的三角形．(第9题)10. 如图，不用量角器，将方格纸中的四边形绕着点O逆时针方向旋转90°，画出旋转后的四边形．(第10题)11. 如图所示的两个图形是不是轴对称图形?如果是，请画出对称轴．这两个图形能不能经过旋转与自身重合?如果能，分别需要旋转多少度?(第11题)12. 点D是等边三角形ＡＢＣ内的一点，将△BDC绕点C顺时针旋转60°，试画出旋转后的三角形，并指出图中的全等图形以及它们的对应顶点、对应边和对应角．(第12题)C组13. 这是在万花筒里所能看到的一些镜像，观察一下，这都是些什么样的对称图形，你能不能再想像一两个同样对称和谐的图形?万花筒里的镜像（第１３题）1４. 用硬纸板剪出两个全等的△ＡＢＣ和△A′B′C′，按照下列两种情况将△ＡＢＣ和△A′B′C′放在桌面上．(1)(2)(第1４题)动手试一试，如何通过平移、旋转与轴对称等变换将△ＡＢＣ运动到△A′B′C′上，使两者互相重合．与你的伙伴们交流一下，看看谁的方法多．课题学习图案设计我们已经认识了图形的三种基本变换：轴对称、平移和旋转．利用图形的这三种基本变换，可以设计出各种各样的漂亮图案．现有如图所示的６种瓷砖:１. 请用其中的４块瓷砖（允许有相同的），设计出美丽的图案．例如：２. 利用你设计的图案，通过平移、或轴对称、或旋转，设计出更加美丽、更加大型的图案．例如：（１）通过平移得：（２）通过轴对称得：。
沪科版八年级数学上册第15章教学课件：15.1 第1课时 轴对称图形与轴对称(共35张PPT)
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它们有什么共同的特点？
讲授新课
一 轴对称和轴对称图形
轴对称 图形
a
m
对称轴
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够 互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对 称轴.
例4 在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和
△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请
在下面给出的图中画出4个这样的△DEF.
E
D
C(F)
CF
D C(F)
E
CF
A (D)
BA
B(E) A
B
A(D)
B(E)
方法归纳：作一个图形关于一条已知直线的对称图形，关键
是作出图形上一些点关于这条直线的对称点，然后再根据已
你能举出一些轴对称图形的例子吗？
全班总动员
ABCDEFGHIJKLM
N O P Q R S T U VW X Y Z 游戏规则: 每人轮流按顺序报一个字母.如果你认为 你所报的字母的形状是一个轴对称图形，你就迅速 站起来报出,并说出它有几条对称轴；如果你认为你 报的字母的形状不是轴对称图形，那么，你只需坐 在座位上报就可以了.其他同学认真听，如果报错了， 及时提醒.
ABCDE FG HI J KLMN OPQRST U VWXYZ
做一做:找出下列各图形中的对称轴，并说明哪一个 图形的对称轴最多.
想一想：
折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.
下面的每对图形有什么共同特点如？图点A、A ′就是一对对称点.