求概率的常用方法
求概率的五种方法
求概率的五种方法作者：陈浩来源：《初中生·考试》2011年第08期概率问题与日常生活的联系极为密切，它是中考命题的热点.概率问题的背景材料各种各样，需要根据题目的特点，选择方法，方可简捷求解. 中考概率题一般不难，只要你掌握以下五种方法，就可迎刃而解.一、用频率估计概率例1（2009年大连卷）某地区林业局要考查一种树苗移植的成活率，对该地区这种树苗移植成活情况进行调查统计，并绘制了如图1所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题：（1）这种树苗成活的频率稳定在，成活的概率估计值为.（2）该地区已经移植这种树苗5万棵. ①估计树苗成活万棵；②若该地区计划成活18万棵，则还需移植这种树苗约万棵.解：（1）由统计图表可知，这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值为0.9，分别填入0.9、0.9.（2）移植这种树苗5万棵，估计成活5×0.9=4.5（万棵），如果计划成活18万棵，那么还需移植这种树苗约18÷0.9-5=15（万棵），故分别填入4.5、15.温馨小提示：用频率估计概率是中考的常见题.这类题较简单，不能失分.二、用概率公式求概率例2（2010年哈尔滨卷）一个袋子里装有8个球，其中6个红球，2个绿球，它们除颜色外均相同.从这个袋子中任意摸出一个红球的概率是（）.A. ■B. ■C. ■D. ■解：根据概率的公式得，从这个袋子中任意摸出一个红球的概率是■=■，选D.温馨小提示：事件比较简单，只用一步就能算出所求事件与全体事件的个数（也称一步概率），可直接用概率公式计算.一般地，如果一个实验有n个等可能的结果，而事件A包含其中k个结果，则事件A的概率是：P（A）=■.三、方程法例3（2010年芜湖卷）端午节前，小亮的爸爸去超市购买了大小、质量都相同的火腿粽子和豆沙粽子若干，放入不透明的盒中，此时随机取出火腿粽子的概率为■；小亮的妈妈发现小亮喜欢吃的火腿粽子偏少，她又去买了同样的5只火腿粽子和1只豆沙粽子放入同一盒中，这时随机取出火腿粽子的概率为■. 问第一次小亮的爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子各有多少只？解：设小亮的爸爸买的火腿粽子x只，豆沙粽子y只，根据题意可得■=■，■=■.整理得y=2x，y=x+4.解得x=4，y=8.答：小亮的爸爸买的火腿粽子4只，豆沙粽子8只.温馨小提示：方程法是解概率问题的常用方法.引入未知数，容易找到等量关系，便于求解.这种方法适合于量与量的关系不明显的概率问题.四、树形图法或列表法例4（2010年烟台卷）小刚很擅长球类运动.课外活动时，足球队、篮球队都力邀他到自己的阵营. 小刚左右为难，最后决定通过掷硬币来确定.游戏规则如下：连续抛掷硬币三次，如果三次正面朝上或三次反面朝上，则由小刚任意挑选球队；如果两次正面朝上一次正面朝下，则小刚加入足球阵营；如果两次反面朝上一次反面朝下，则小刚加入篮球阵营.（1）用画树形图的方法表示三次抛掷硬币的所有结果.（2）小刚任意挑选球队的概率有多大？（3）这个游戏规则对两个球队是否公平？为什么？解：（1）根据题意画树形图.（2）由树形图可知，共有8种等可能的结果：正正正，正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，反反反.其中三次正面朝上或三次反面向上共2种. P（小刚任意挑选球队）=■=■；（3）这个游戏规则对两个球队公平.两次正面朝上一次正面向下有3种，正正反，正反正，反正正，两次反面向上一次反面向下有3种，正反反，反正反，反反正，∴ P（小刚去足球队）=P（小刚去篮球队）=■.温馨小提示：画树形图或列表法是求概率的常用方法，适用于用两步或三步完成的事件，用这种方法能避免重复或遗漏情况.游戏规则对两个球队是否公平，要看它们的概率是否相等.五、面积法例5（2010年甘肃卷）如图2，在一个正方形围栏中均匀散布着许多米粒，正方形内画有一个圆.一只小鸡在围栏内啄食，则“小鸡正在圆圈内”啄食的概率为.解：小鸡正在圆圈内啄食的概率=圆的面积÷正方形的面积. 答案是■.温馨小提示：用所求事件所代表的面积与全体面积之比来表示概率，这种计算概率的方法是中考重点. 解这类题的关键是计算相关图形的面积.“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”。
用列举法求概率
用列举法求概率在概率论中，列举法是一种常用的求解事件概率的方法。
该方法的核心思想是通过列举事件的可能出现情况并计算这些情况的频率，来推断事件出现的概率。
下面将通过一个例子详细说明如何使用列举法来计算概率。
例子假设一家公司有5个员工，其中3个是男性，2个是女性。
现在从这5个员工中随机选择1个人，求该人是男性的概率。
首先，我们列举可能的情况，即从5个人中选择1个人，共有5种可能：1.选择第1个员工，是男性2.选择第2个员工，是男性3.选择第3个员工，是男性4.选择第4个员工，是女性5.选择第5个员工，是女性接下来，我们计算每种情况的概率。
1.选择第1个员工，是男性的概率为3/52.选择第2个员工，是男性的概率为3/53.选择第3个员工，是男性的概率为3/54.选择第4个员工，是女性的概率为2/55.选择第5个员工，是女性的概率为2/5最后，根据概率的定义，该人是男性的概率为选择男性的情况数除以所有情况数，即3/5，约为0.6。
通过以上例子，我们可以看出，列举法是一种非常简单有效的求解事件概率的方法。
对于一些简单的问题，我们可以通过列举可能的情况并计算概率来快速得出答案。
当然，在实际应用中，我们也需要注意一些问题，比如是否考虑了所有可能的情况、每种情况的概率是否正确等。
只有在全面准确考虑了所有问题，我们才能得出可靠的概率结果。
最后，需要注意的是，在更加复杂的情况下，列举法可能不能很好地处理问题，此时我们可以尝试其他方法，比如概率公式法、贝叶斯法等。
掌握各种求解概率的方法，可以让我们更加准确、高效地解决问题。
高中数学求概率的方法总结
高中数学求概率的方法总结高中数学中的概率理论是一个非常重要的知识点，它是统计学的基础，也是日常生活中常用的一种数学工具。
在学习概率的过程中，我们需要掌握一些基本概念和方法，以便能够正确地计算概率。
一、基本概念1. 随机事件：指具有不确定性的事件，例如掷骰子、抽卡等。
2. 样本空间：指所有可能结果的集合，通常用 S 表示。
3. 事件：指样本空间的一个子集，通常用 A 表示。
4. 等可能事件：指每个事件发生的概率相等的事件，例如抛硬币、掷骰子等。
5. 互斥事件：指两个事件不能同时发生的事件，例如抛硬币正反面、掷骰子点数等。
二、计算概率的方法1. 古典概型：指等可能事件的概率计算方法，通常用公式P(A)=m/n 表示，其中m 表示事件A 中的有利结果数，n 表示样本空间 S 的元素个数。
2. 几何概型：指通过几何图形来计算概率的方法，例如计算圆内随机点的概率等。
3. 统计概型：指通过实验和统计来计算概率的方法，通常需要进行大量的实验来验证概率的准确性。
4. 条件概率：指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
通常用公式P(B|A)=P(A∩B)/P(A) 来表示，其中 A 和 B 是两个事件。
5. 独立事件：指两个事件相互独立，即一个事件的发生不影响另一个事件的发生。
通常用公式P(A∩B)=P(A)×P(B) 来表示。
三、应用举例1. 抛硬币的概率：假设硬币是均匀的，事件 A 表示正面朝上，事件B 表示反面朝上，样本空间 S={A,B}。
则有 P(A)=P(B)=1/2。
2. 抽卡的概率：假设卡片是等概率的，事件 A 表示抽到某个卡片，事件 B 表示抽到另一个卡片，样本空间S={A,B}。
则有P(A)=P(B)=1/2。
3. 掷骰子的概率：假设骰子是均匀的，事件 A 表示掷出的点数为偶数，事件B 表示掷出的点数为质数，样本空间S={1,2,3,4,5,6}。
则有 P(A)=1/2，P(B)=1/2。
概率算法汇总
概率算法概率算法的一个基本特征是对所求解问题的同一实例用同一概率算法求解两次可能得到完全不同的效果。
这两次求解问题所需的时间甚至所得到的结果可能会有相当大的差别。
一般情况下，可将概率算法大致分为四类:数值概率算法，蒙特卡罗算法，拉斯维加斯算法和舍伍德算法。
一、数值概率算法常用于数值问题的求解。
这类算法所得到的往往是近似解。
而且近似解的精度随计算时间的增加不断提高。
在许多情况下，要计算出问题的精确解是不可能或没有必要的，因此用数值概率算法可得到相当满意的解。
1、用随机投点法计算π值设有一半径为r 的圆及其外切四边形。
向该正方形随机地投掷n 个点。
设落入圆内的点数为k 。
由于所投入的点在正方形上均匀分布，因而所投入的点落入圆内的概率为4422ππ=r r 。
所以当n 足够大n k 4≈π（n k≈4π）2、计算定积分设f(x)是[0，1]上的连续函数，且0≤f(x) ≤ 1。
需要计算的积分为⎰=1)(dx x f I , 积分I 等于图中的面积G在图所示单位正方形内均匀地作投点试验，则随机点落在曲线下面的概率为⎰⎰⎰==≤10)(01)()}({x f r dx x f dydx x f y P 假设向单位正方形内随机地投入 n 个点(xi,yi)。
如果有m 个点落入G 内，则随机点落入G 内的概率nm ≈I 3、解非线性方程组求解下面的非线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===0),,,(0),,,(0),,,(21212211n n n n x x x f x x x f x x x f 其中，x 1, x 2, …, x n 是实变量，fi 是未知量x1,x2,…,xn 的非线性实函数。
要求确定上述方程组在指定求根范围内的一组解x 1*, x 2*, …, x n * 。
在指定求根区域D 内，选定一个随机点x0作为随机搜索的出发点。
在算法的搜索过程中，假设第j 步随机搜索得到的随机搜索点为xj 。
在第j+1步，计算出下一步的随机搜索增量∆xj 。
求概率的三种方法
求概率的三种方法概率是描述事件发生可能性的一种数学工具。
在概率论中，常常使用三种方法来计算概率，分别是经典概率、频率概率和主观概率。
一、经典概率：经典概率也称作古典概率，是一种理论概率方法。
它利用事件的样本空间来计算概率。
经典概率的计算基于等可能性原则，即指出所有可能的结果都是等概率发生的。
例如，掷一枚均匀的骰子，每个面出现的概率都是1/6、经典概率适用于那些早已知道每个可能结果的情况，且每个可能结果发生的概率都是相等的。
它适用于结果稳定、重复性强的情况。
经典概率的计算公式为：概率=有利结果数/总结果数。
二、频率概率：频率概率也称作统计概率，是一种基于实证数据的概率方法。
它是通过观察实际事件发生的次数，来估计事件发生的概率。
频率概率假设在重复试验中，事件发生的频率会稳定在一个固定的概率上。
例如，掷一枚均匀的骰子，频率概率就是通过进行多次掷骰子实验得到的结果的比例来估算每个面出现的概率。
频率概率适用于对一些事件概率的升降趋势进行推断的情况。
频率概率的计算公式为：概率=实际发生次数/总试验次数。
三、主观概率：主观概率是一种基于个人主观判断的概率方法。
它是通过个人的经验、观察和判断来估计事件发生的概率。
主观概率强调个人主观的“信任度”，即个人对事件发生的概率有一种主观的信任感。
例如，个人根据亲身经历和对事件的理解，判断一些事件发生的概率为50%。
主观概率适用于在缺乏统计数据或试验条件的情况下，根据个人判断进行概率计算的情况。
主观概率没有明确的计算公式，通常是基于主观判断进行定量或定性估计。
需要注意的是，主观概率通常具有一定的主观性和个体差异性，因此，它的可靠性和普适性相对较低。
这三种方法在不同的场景和问题中适用。
经典概率适用于已知情况和结果稳定的问题；频率概率适用于重复试验和观察大量样本的问题；主观概率适用于缺乏实证数据或个人判断是依据的问题。
实际问题中，我们常常结合多种方法来计算概率，以提高概率估计的准确性和可靠性。
列举法求概率
列举法求概率引言概率是数学中一个重要的概念，用于描述事件发生的可能性。
在实际问题中，我们经常需要求解某个事件发生的概率。
列举法是一种常用的方法，通过列举所有可能的情况，再计算满足条件的情况的个数，从而求解概率。
本文将深入探讨列举法求概率的原理和应用。
列举法的基本原理列举法是一种基于穷举的方法，通过列举所有可能的情况，再计算满足条件的情况的个数，从而求解概率。
其基本原理可以归纳为以下几个步骤：1.确定问题的范围：首先需要明确问题的背景和范围，确定要求解的事件或问题是什么。
2.列举所有可能的情况：根据问题的范围，列举出所有可能发生的情况。
这一步需要考虑到问题的具体条件和限制，确保列举的情况是全面且不重复的。
3.计算满足条件的情况的个数：根据问题的具体条件，筛选出满足条件的情况，并计算其个数。
这一步需要灵活运用数学知识和计算方法，确保计算的准确性。
4.求解概率：根据列举出的情况和满足条件的情况的个数，计算事件发生的概率。
概率的计算公式为：概率 = 满足条件的情况的个数 / 所有可能的情况的个数。
列举法的应用举例列举法在实际问题中有着广泛的应用，下面将通过几个具体的例子来说明其应用方法和步骤。
例1：投掷硬币的概率问题：投掷一枚硬币，求出现正面的概率。
解决方法： 1. 确定问题的范围：投掷一枚硬币，出现正面或反面两种情况。
2.列举所有可能的情况：正面、反面。
3.计算满足条件的情况的个数：只有一种情况满足条件，即出现正面。
4.求解概率：概率 = 满足条件的情况的个数 / 所有可能的情况的个数 = 1 /2 = 0.5。
例2：从一副扑克牌中抽取红心牌的概率问题：从一副标准扑克牌中随机抽取一张牌，求抽到红心牌的概率。
解决方法： 1. 确定问题的范围：从一副标准扑克牌中抽取一张牌，共有52张牌，包括红心、黑桃、方块和梅花四种花色。
2.列举所有可能的情况：52张牌中的每一张牌都是可能的情况。
3.计算满足条件的情况的个数：红心牌共有13张，所以满足条件的情况有13种。
初中概率题型及解题方法
初中概率题型及解题方法一、概率的基本概念概率是指一个事件发生的可能性大小，通常用数字表示。
在初中数学中，我们经常会遇到各种概率题型，如求事件发生的概率、求事件不发生的概率、求至少发生一次的概率等等。
在解题之前，我们先来了解一下概率的基本概念。
1.试验：进行一项观察或测量时所进行的操作。
2.样本空间：试验所有可能结果组成的集合。
3.事件：样本空间中的一个子集。
4.随机事件：样本空间中某些元素组成的子集称为随机事件。
5.必然事件：包含样本空间所有元素的随机事件称为必然事件。
6.不可能事件：不包含任何样本空间元素的随机事件称为不可能事件。
7.元素个数：指某个随机事件所包含元素数量。
二、求单个随机事件发生的概率1.公式法设某个随机事件A包含n个元素，而样本空间S包含N个元素，则单个随机事件A发生的概率P(A)为：P(A)=n/N例如，在一副扑克牌中抽出一张牌是黑桃A（共有52张牌），则该单个随机事件发生的概率为1/52。
2.图形法在一个矩形中，将随机事件A所包含的元素用小正方形表示，将样本空间S所包含的元素用大正方形表示，则单个随机事件A发生的概率P(A)等于小正方形面积与大正方形面积之比。
例如，在一副扑克牌中抽出一张牌是黑桃A时，可以用一个4×13的矩形表示，其中黑桃A所在的小正方形面积为1，整个矩形面积为52，则该单个随机事件发生的概率为1/52。
三、求多个随机事件发生的概率1.加法原理若随机事件A和B互不相交（即没有共同元素），则它们联合发生的概率为：P(A∪B)=P(A)+P(B)例如，在一副扑克牌中抽出一张牌是黑桃或红桃时，可以将这两个随机事件分别用矩形表示，黑桃和红桃没有共同元素，则它们联合发生的概率为：P(黑桃∪红桃)=P(黑桃)+P(红桃)=1/4+1/4=1/22.减法原理若随机事件A包含随机事件B，则A发生的概率减去B发生的概率，即为A且B不发生的概率：P(A-B)=P(A)-P(B)例如，在一副扑克牌中抽出一张牌是黑桃时，抽出黑桃Q的概率为1/52，而抽出黑桃Q且不是黑桃A的概率为1/51，则抽出黑桃Q且不是黑桃A的概率为：P(黑桃Q-黑桃A)=P(黑桃Q)-P(黑桃A)=1/52-1/51=1/26523.乘法原理若随机事件A和B相互独立，则它们联合发生的概率为：P(A∩B)=P(A)×P(B)例如，在一副扑克牌中连续抽出两张牌都是红色时，第一次抽到红色牌的概率为1/2，第二次再次抽到红色牌的概率也为1/2，则连续抽出两张牌都是红色的概率为：P(第一次红色∩第二次红色)=P(第一次红色)×P(第二次红色)=1/2×1/2=1/4四、常见题型及解题方法1.求事件发生的概率例如，一副扑克牌中抽出一张牌是红桃的概率是多少？解法：样本空间为52，红桃有13张，则事件发生的概率为：P(红桃)=13/52=1/42.求事件不发生的概率例如，一副扑克牌中抽出一张牌不是黑桃的概率是多少？解法：样本空间为52，黑桃有13张，则事件不发生的概率为：P(非黑桃)=1-P(黑桃)=39/52=3/43.求至少发生一次的概率例如，从1、2、3、4、5五个数中任意取两个数，求至少有一个数是奇数的概率。
计算概率的几个常用方法
Ｂ．一 ７
６ ０
Ｃ
．
Ｄ． 一 ７
２ ５
１ ６
解析 将Ｙ 去 ＋ｘ １ ＝ ｂ＋ 的两边对 求导得
， ＋ｂ，所 以 ｋ＝ｙ ＝ ＝ａ＋ｂ， 口 ＋ｂ的可 能值
３ ．数形结合 。 例 ３（ ０ ７年高考全 国卷 １ 在某 次测量 中， ２０ Ｉ） 测 量结果 服 从正 态分布 Ｎ（， ） ＜０ ，若 在 １ ）
图 ｌ
＋ ＋Ｃ ＋ ＋ ： ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ４ ＝ ｌ ３ ６ ３ １ １ 条，
而抛物线 的总条数 为 ：１ ６， 所以所 求概 率为 Ｐ＝ １ ＝ ４
Ｐ０＜ ＜２ ＝０ ） ． ４，所 以 在 （ ２ ０，）内的概率为 ：
Ｐ（ ＜ ＜２ ＝Ｐ｛ ＜ ＜１＋Ｐ｛＜ ＜２ ：０８ Ｏ ） ｏ ｝ １ ｝ ．．
＝
＝
试验 的每个结果 与坐标系 中的点一 一对 应 ，使得 全
如下表 ：
１ ２ ４ ６ ８ ３ ５ ７ ９ ３ ５ ７ ９ １ １ ５ ７ ９ ｌ １ １ ３ ７ ９ ｌ １ ｌ ３ １ ５
（， 内取值 的概 率为 ０ ４ ０１ ） ．，
则 在 （ ， ） ０ ２ 内取值 的概 率 为—
台需要 工人 照管” ，
＝
．
“ 一 小时 内第 台车床需要 人照管” 在
（ｉ ， ， ） ＝１ ２ ３ 。
由于在一小 时 内三 台车床 中至少有一 台需要 工
人照 管的分类 情况较多 ，而其对 立事件 ：一 小时 内 三 台 车床 都不 需 要 工人 照 管 的分 类情 况简 单 （ 一 种） ，因而用 对立事件的关系式 Ｐ Ａ ＝ｌ （ ） ： （ ） —Ｐ Ａ 得
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求概率的常用方法
概率是中考的必考内容.下面以2015年中考题为例，归纳求概率的常用方法，供大家学习时参考.
一、用公式 P（A）=求概率
例1：（2015年浙江省台州市）有四张质地、大小、反面完全相同的不透明纸片，正面分别写着数字1、2、3、4，现把它们的正面朝下，随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的数字是奇数的概率是 .
解析：四张分别标有数字1、2、3、4的纸片中，其中奇数卡片有两张，所以从四张纸片中任意抽出一张，抽出的数字是奇数的概率为=，故填.
温馨小提示：如果一个事件有n种可能，而且这些事件发生的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A发生的概率P（A）=.用公式求概率是最常用的一种方法.
二、用“P（A）=”求几何型概率
例2：（2015年内蒙古自治区呼和浩特市）如图1，四边形 ABCD是菱形，E、F、G、H分别是各边的中点，随机向菱形ABCD内掷一粒米，则米粒落到阴影区域内的概率是
图1
解析：如图1，因为四边形ABCD是菱形，E、F、G、H分别是各边中点，所以四边形HGFE的面积是菱形ABCD面积的，可轻松得到米粒落到阴影区域的概率是，故答案为.
温馨小提示：求几何型概率问题，需要熟悉图形的有关性质，运用整体思想、化归思想等求面积. 这类题型成为近年中考常见题型.一般用几何图形的面积比求概率.
三、用频率估计概率
例3：（2015年江苏省扬州市）色盲是伴X染色体隐性先天遗传病，患者中男性远多于女性，从男性体检信息库中随机抽取体检表，统计结果如下表：
根据上表，估计在男性中，男性患色盲的概率为
（结果精确到0.01）.
解析：观察表格，可以发现色盲患者的频率在0.07左右波动，故填0.07 .
温馨小提示：大量重复试验下，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就是该事件概率的估计值.
四、用列表法求概率
例4：（2015年贵州省贵阳市）在“阳光体育”活动时间，小英、小丽、小敏、小洁四位同学进行一次羽毛球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛.
（1）若已确定小英打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中小丽同学的概率;
（2）用画树状图或列表的方法，求恰好选中小敏、小洁两位同学进行比赛的概率.
解析：（1）从三位同学中选中小丽同学只有1种情况，所有可能的情况共有3种.
∴恰好选中小丽同学的概率是.
（2）列表：
从表中可以看出，小敏同小洁比赛的情况有2种，而所有可能的情况有12种，选中小敏、小洁比赛的概率是=.
温馨小提示：列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果，即求出n，从中选出符合事件A的数目m，求出概率.列举法求概率的关键在于列举出所有可能的结果.当有两个元素时，可以用列表法列举，也可用树形图列举.
五、画树形图求概率
例5：（2015年江苏省常州市）甲、乙、丙三位学生进入了“校园朗诵比赛”冠军、亚军和季军的决赛，他们将通过抽签来决定比赛的出场顺序.
（1）求甲第一个出场的概率;
（2）求甲比乙先出场的概率.
解析：（1）甲、乙、丙三位学生都有可能第一个出场，共有3种可能，所以甲第一个出场的概率为.
（2）树形图如下：
共有6种情况，其中甲比乙先出场的有3种，
∴P（甲比乙先出场）==.
温馨小提示：树形图法适用于事件涉及两个或更多的元素，能不重不漏地列出所有可能的结果. 当事件在三步或者三步以上时，用树形图求解比较方便.。