3建筑力学平面力学
合集下载
建筑力学-第三章(全)
建筑力学
3.5 平面一般力系平衡条件和平衡方程
众所周知，当主矢 FR 0 时，为力平衡；当主矩 MO 0 时，为力偶平衡。
故平面任意力系平衡的充要条件为： 力系的主矢 FR和 主矩 都M O等于零。
上述平衡条件可表示为
FR ( Fx )2 ( Fy )2 0
Mo Mo (Fi ) 0
YA
XA
A
Q1=12kN
300 S
Q2=7kN 三力矩方程：再去掉Σ X=0方程 B
mC 0, X A60tg300 30Q1 60Q2 0
D
（二）力系的平衡
示例：斜梁。求支座反力
300
2kN/m B
2kN/m B
300
RB
A
300
A
2m
YA XA
C
X 0, X A RB sin 300 0
30cm
30cm Q1=12kN
Q2=7kN
X 0, X A S cos 300 0
X A 22.5kN
A
600
B
Y 0,YA Q1 Q2 S sin 300 0
YA 6kN
二力矩方程：去掉Σ Y=0方程
C
mB 0, 60YA 30Q1 0
FBl cos M 0
从而有：
FB
M l cos
20 kN 5 c os30
4.62kN
故：
FA FB 4.26kN
建筑力学
[例] 求图中荷载对A、B两点之矩.
解：
(a)
(b)
图(a)： MA = - 8×2 = -16 kN ·m MB = 8×2 = 16 kN ·m
建筑力学-第4章 平面力系的简化与平衡方程.
平面固定端约束
=
=
≠
=
3、 平面任意力系的简化结果分析
=
FR 0 M O 0
合力
合力作用线过简化中心
FR 0 M O 0
合力
合力作用线距简化中心M O
FR
其中
MO d FR
M o FRd
M o ( FR ) M O M O ( Fi )
FR FR FR
q 20 kN
求： 固定端A处约束力.
, l 1m; F 400kN, m
解： 取T型刚架，画受力图. 1 其中 F1 q 3l 30kN 2 Fx 0 FAx F1 F sin 600 0 解得 FAx 316.4kN
F Ay P F cos 60 0 Fy 0 解得 FAy 300kN
A
M
解得
0
12 FBy 10 P 6 P 1 4P 2 2 P 5F 0
FBy 77.5kN
iy
F
解得
0 FAy FBy 2 P P 1P 2 0
FAy 72.5kN
取吊车梁,画受力图.
M
解得
D
0
8FE' 4P 1 2P 2 0
Fx 0
Fy 0
FAx FB 0
FAy P 1P 2 0
M
解得
A
0
FB 5 1.5 P 1 3.5 P 2 0
FAy 50kN
FB 31kN
FAx 31kN
例4-4 已知： P, q, a, M pa; 求： 支座A、B处的约束力. 解：取AB梁，画受力图.
建筑力学 第三章
[例] 已知：如图。求梁上分布荷载的合力。 解：荷载分布在一狭长 范围内，如沿构件的轴线分 布，则称为分布荷载。该问 题是一集度按线性变化的
线分布荷载求合力问题。
⒈求合力的大小
而在此微段上的荷载为：
x q 在坐标 x 处取长为 dx 的微段，其集度为： x q l
x dQ qx dx q dx l
x 1 因此，合力Q 的大小为： dQ q dx ql Q l 0 l 2
l
⒉ 求合力作用线的位置
由合力矩定理：M A (Q ) M A (dQ ) 则有：
x Q xc dQ x q dx l 0 l 1 1 2 即： ql xc ql 2 3 2 解得： xc l 3
雨搭 固定端（插入端）约束的构造
车刀
约束反力
①认为Fi这群力在同一
平面内;
② 将Fi向A点简化得一 力和一力偶; ③RA方向不定可用正交 分力YA, XA表示; ④ YA, XA, MA为固定端 约束反力; ⑤ YA, XA限制物体平动,
MA为限制转动。
§3-3-2
平面一般力系的简化结果 合力矩定理
第三章
平面力系的合成与平衡 引 言
力系分为：平面力系、空间力系 ①平面汇交力系 ②平面平行力系(平面力偶系是其中的特殊情况 ) ③平面一般力系(平面任意力系)
平面力系
平面汇交力系： 各力的作用线都在同一平面内且 汇交于一点的力系。
研究方法：图解法，数解法。
例：起重机的挂钩。
§3-1-1 平面汇交力系合成与平衡的图解法 P29
l
2
§3-4
由于
R
平面一般力系的平衡方程
一、平衡的必要与充分条件 =0 作用于简化中心的合力RO=0，则汇交力系平衡； 则力偶矩MO=0 ，因此附加力偶系也平衡。
建筑力学第三章 平面力系的平衡方程
刚体等效于只有一个力偶的作用，（因为力偶可以在刚 体平面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。）
③ FR≠' 0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时， 简化结果就是合力（这个力系的合力）, FR FR'。（此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
重庆大学出版社
建筑力学
④ FR' ≠0,MO ≠0,为最任意的情况。此种情况还可以继续
重庆大学出版社
建筑力学
[例] 已知：Q=7.5kN, P=1.2kN , l=2.5m , a=2m , =30o , 求：
BC杆拉力和铰A处的支座反力？
解：（1）选AB梁为研究对象。
C
（2）画受力图
FAy
FBC
A
FAx
l/2 P
B Q
a
Байду номын сангаас
l
A
l/2 P
B Q
a
l
重庆大学出版社
建筑力学
（3）列平衡方程，求未知量。
静不定问题在材料力学,结构力学,弹性力学中 用变形协调条件来求解。
重庆大学出版社
建筑力学
物系平衡问题的特点： ①物体系统平衡，物系中每个单体也是平衡的。 ②每个单体可列3个（平面任意力系）平衡方程，整个系统
可列3n个方程（设物系中有n个物体）。
解物系问题的一般方法：
机构问题： 个体 个体
个体
“各个击破”
力系中各力对于同一点之矩的代数和。
重庆大学出版社
建筑力学
3.2平面力系的平衡方程及应用
FR=0， MO =0，力系平衡
FR =0 为力平衡
MO =0 为力偶也平衡 平面力系平衡的充要条件为：
③ FR≠' 0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时， 简化结果就是合力（这个力系的合力）, FR FR'。（此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
重庆大学出版社
建筑力学
④ FR' ≠0,MO ≠0,为最任意的情况。此种情况还可以继续
重庆大学出版社
建筑力学
[例] 已知：Q=7.5kN, P=1.2kN , l=2.5m , a=2m , =30o , 求：
BC杆拉力和铰A处的支座反力？
解：（1）选AB梁为研究对象。
C
（2）画受力图
FAy
FBC
A
FAx
l/2 P
B Q
a
Байду номын сангаас
l
A
l/2 P
B Q
a
l
重庆大学出版社
建筑力学
（3）列平衡方程，求未知量。
静不定问题在材料力学,结构力学,弹性力学中 用变形协调条件来求解。
重庆大学出版社
建筑力学
物系平衡问题的特点： ①物体系统平衡，物系中每个单体也是平衡的。 ②每个单体可列3个（平面任意力系）平衡方程，整个系统
可列3n个方程（设物系中有n个物体）。
解物系问题的一般方法：
机构问题： 个体 个体
个体
“各个击破”
力系中各力对于同一点之矩的代数和。
重庆大学出版社
建筑力学
3.2平面力系的平衡方程及应用
FR=0， MO =0，力系平衡
FR =0 为力平衡
MO =0 为力偶也平衡 平面力系平衡的充要条件为：
建筑力学3力系简化的基础知识
倾覆力矩（Mq）：使结构或构件产生倾覆的力矩。 抗倾覆力矩（Mk）：抵抗结构或构件倾覆的力矩。 K=抗倾覆安全系数
MK K Mq
规范规定：钢筋砼构件的抗倾覆安全系数 K≥1.5
如图示，一钢筋混凝土梁BC置于砖墙上，挑出1.5m， 顶端C作用一集中力P=1kN，梁自重q=1.2kN/m，取 抗倾覆安全系数κ=1.5，试求BA段的长度a。
§3-2 力对点的之矩 ：
F G
力可以使刚体移动，也可以使刚体转动。力对刚体的转 动效应取决于什么呢？ 力矩—力和力臂的乘积 力F对O点的矩 ：mO（F）=Fd，单位：N· m（牛顿· 米）； 其中，d为O点到力F作用线的（垂直）距离。
F
矩心O 力臂d
力矩的性质： B •力通过矩心，其矩为零； •力沿作用线移动，不改变其 矩； •等值、反向、共线的两力对 F 同一点矩之和为零； •相对于矩心作逆时针转动的 力矩为正；反之为负。 A •力矩的数学定义： m O（F）=h × F m O（F）=±2⊿OAB面积
60° 45° 30°
R=(-0.549)2+(-3.379)2=3.423kN =arc cos[(-0.549)/3.423]=260.8 ° (R指向第三象限） x F2
F3
三、平面汇交力系的平衡条件及应用 •平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系的合 力为零，即力系的矢量和为零。合力在任意两个不平行 方向上投影同时为零，或各力矢量分别在该二方向上的 投影的代数和同时为零。
•例3－4 P25
合力矩定理：平面汇交力系的合力对力系平面内任一 点的矩，等于力系中各力对同一点之矩的代数和。
例：按图中给定的条件，计算力F对A点的矩。
9建筑力学三3-4
(a ) (b)
(d )
(c )
FN 1 FN 2 0
FN 1 FN 2 FN 3 0
FN 1 FN 2 FN 3 FN 4
FN 1 FN 2
17
结点9符合情况(a), 所以：
FN 97 0, FN 98 0
结点5符合情况(b), 所以：
FN 54 0
FN 23 80kN FN 67 80kN
2
二、刚架内力计算过程
1、求支座反力
二、刚架内力计算过程
2、画内力图
3、内力校核
§3-4 三铰拱
三铰拱
带拉杆拱
两铰拱
无铰拱
拱式结构的基本静力特征是：在竖向荷载作用下，拱的支座将产生 水平推力。所以，拱式结构也常称为推力结构。
5
三铰拱的内力计算
Fx 0, FxA FxB FH
Fy 0 80kN 40kN 2 Fyc 0
Fyc 0
得：
FNc 0
22
各类梁式桁架的比较
简支梁
M0图
抛物线形桁架
23
各类梁式桁架的比较
简支梁
M0图
三角形桁架
24
小结
§3-1
杆件内力计算 §3-2 静定梁 §3-3 静定平面刚架 §3-4 三铰拱 §3-5 静定平面桁架 §3-6 静定结构的内力分析和受力特点
16
结点的几种特殊情况： ⑴ 两杆结点上无外力作用时，则两杆均为零杆。 ⑵ 两杆在一直线上的三杆结点上无外力作用时，则侧杆为 零杆，而在同一直线上的两杆的轴力必相等，并且其轴 力的性质（指受拉或受压）相同。 ⑶ 直线交叉形四杆结点上无外力作用时，则在同一直线上 的两杆的轴力相等，且性质相同。 ⑷ 侧杆倾角相等的K形结点上无外力作用时，则SD两侧杆的 轴力相等，但性质相反。
建筑力学平面一般力系的平衡方程及其应用
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
满足平衡方程时，物体既不能移动，也不能 转动，物体就处于平衡状态。当物体在平面一般 力系的作用下平衡时，可用三个独立的平衡方程 求解三个未知量。 二、平衡方程的其它形式
1.二力矩形式的平衡方程 ∑FX= 0 ∑MA (F ) = 0 ∑MB (F ) = 0 式中x轴不可与A、B两点的连线垂直。
FAx
FNCD = 30kN (↗)
∑MD (F ) = 0
FNCD
- FAy×0.6 + 14 ×0.3 = 0
14kN 8kN
300
300 100
A 30° D B
FAy
C
FAy = 7kN (↑)
∑MC (F ) = 0
- FAx×0.6/ 3- 14 ×0.3
- 8 ×0.6 = 0 FAx = - 25.98kN (←)
5 + FAy= 0
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
3kN·m 6kN
3m
6
A
B
5
5
3m
可取∑MB (F ) = 0这一未用过的方程进行校核： 3 + 5×3 - 6×3 = 0
说明计算无误。
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
例4-4 梁AB一端是固定端支座，另一端无
约束，这样的梁称为悬臂梁。它承受荷载作用如
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
在使用三力矩式计算出结果后，可用另外两 个投影方程之一进行校核。可知计算无误。
例4-6 外伸梁受荷载如图所示。已知均布荷载 集度q=20kN/m,力偶的力偶矩M=38kN·m，集中 力FP=10kN。试求支座A、B的反力。
10kN 20kN/m 38kN·m
静力学的基本概念—平面力对点之矩(建筑力学)
平面力对点之矩
1 力对点之矩 平移效应
力对物体的运动效应分为 转动效应
力对物体的移动效应是由力矢量来度量的
而力对物体的转动效应不仅与力矢有关，还与力矢到转动中心的距离有关
转动中心O——矩心 矩心到力作用线的垂直距离d——力臂 力F的大小与力臂d的乘积称为力F对O点的矩，简称为力矩
记作MO(F)
MO F Fd
分力Fx、Fy对O点的矩分别为： M O (Fx ) Fxdx F cos d cos Fd cos2
MO(Fy ) Fydy F sin d sin Fd sin2 MO(Fx ) MO(Fy ) Fd cos2 Fd sin2 Fd MO(F)
合力F对O点力矩等于两分力Fx、Fy对O点的矩的代数和
求力矩的方法 1）当力臂容易判断时，用力矩的定义式计算 2）当力臂不易直接求出时，用合力矩定理计算
合力 矩 定 理
利用合力矩定理求力矩 求图示力F对O点矩 如果直接用力矩的定义式 MO (F) Fd 来计算，
力臂d的确定很麻烦 将力F分解为正交方向的两个分力F1、F2 由合力矩定理则很容易将其计算出来：
合力 矩 定 理
2 合力矩定理 若平面力系（F1、F2、… ，Fn）可以合成为一个合力FR，
则：
FR F1 F2 Fn Fi
MO(FR)=MO(F1)+MO(F2)+…+MO(Fn) 或
n
MO (FR )= MO (Fi ) i 1
即： 平面力系的合力对平面内任一点的矩，等于力系中各分力对同一点之矩的代数和。
平面力对点之矩
在平面问题中，力矩是一个代数量 用正负号表示力矩的转向 规定：使物体绕矩心作逆时针转动的力矩为正，反之为负。
1 力对点之矩 平移效应
力对物体的运动效应分为 转动效应
力对物体的移动效应是由力矢量来度量的
而力对物体的转动效应不仅与力矢有关，还与力矢到转动中心的距离有关
转动中心O——矩心 矩心到力作用线的垂直距离d——力臂 力F的大小与力臂d的乘积称为力F对O点的矩，简称为力矩
记作MO(F)
MO F Fd
分力Fx、Fy对O点的矩分别为： M O (Fx ) Fxdx F cos d cos Fd cos2
MO(Fy ) Fydy F sin d sin Fd sin2 MO(Fx ) MO(Fy ) Fd cos2 Fd sin2 Fd MO(F)
合力F对O点力矩等于两分力Fx、Fy对O点的矩的代数和
求力矩的方法 1）当力臂容易判断时，用力矩的定义式计算 2）当力臂不易直接求出时，用合力矩定理计算
合力 矩 定 理
利用合力矩定理求力矩 求图示力F对O点矩 如果直接用力矩的定义式 MO (F) Fd 来计算，
力臂d的确定很麻烦 将力F分解为正交方向的两个分力F1、F2 由合力矩定理则很容易将其计算出来：
合力 矩 定 理
2 合力矩定理 若平面力系（F1、F2、… ，Fn）可以合成为一个合力FR，
则：
FR F1 F2 Fn Fi
MO(FR)=MO(F1)+MO(F2)+…+MO(Fn) 或
n
MO (FR )= MO (Fi ) i 1
即： 平面力系的合力对平面内任一点的矩，等于力系中各分力对同一点之矩的代数和。
平面力对点之矩
在平面问题中，力矩是一个代数量 用正负号表示力矩的转向 规定：使物体绕矩心作逆时针转动的力矩为正，反之为负。
建筑力学(第二版)第3章 平面力系
■ （２） Ｆ′R≠０，Ｍ0 ＝０，此时附加力偶互相平衡，原力系简化的最后结果是一个力，该力即为原力系的合力，它的作 用线通过选定的简化中心0。
§ 3 - 1-2 简化结果的分析
■ （３） Ｆ′R≠０，Ｍ0≠０，原力系可以进一步简化为一个合力，如图３ －２ａ 所示。为此，只要将力偶Ｍ0 用一对等 值、反向、不共线的平行力Ｆ″R和ＦR 表示，且使ＦR ＝ － Ｆ″R ＝ Ｆ′R0 ＝ Ｆ′R，则力偶臂 如图３ －２ｂ 所示。若使力Ｆ″R作用于Ｏ 点，则力Ｆ′RＯ和Ｆ″R构成一对平衡力，可以去掉这一对平衡力，只剩下作用 于Ｏ′点的力ＦR。显然，力ＦR 就是原力系的合力，如图３ －２ｃ 所示。因此，在这种情况下，原力系简化的最后结果是 一个合力ＦR，其大小和方向与主矢Ｆ′R相同，合力的作用线离简化中心Ｏ 的垂直距离为
§ 3 - 2-2 平面特殊力系的平衡方程
■ 3. 平面平行力系的平衡方程
力系中各力的作用线均相互平行的平面力系称为平面平行力系。设物体受平面平行力系Ｆ１，Ｆ２，…，Ｆｎ 的作用（图 ３ －１３）。如选取ｘ 轴（或ｙ 轴）与各力垂直，则不论力系是否平衡，每一个力在ｘ 轴（或ｙ 轴） 上的投影恒等于 零，即∑Ｆｘ ＝ ０ （或∑Ｆｙ ＝０）。于是，平面平行力系的独立平衡方程的数目只有两个，即
■ 斜梁ＡＢＣ 为一楼梯的计算简图，如图３ －１４ａ 所示。其上承受的荷载为作用于斜梁ＡＢ 中点的集中力Ｆ ＝６００ Ｎ，作用于Ｃ 处的集中力偶Ｍ ＝１． ２ ｋＮ·ｍ 及沿梁ＡＢ 长度方向的均布荷载ｑ ＝１ ｋＮ／ ｍ，ｌ ＝１ ｍ， 试求梁Ａ，Ｂ 处的约束反力。
§ 例题
■ 例 3-12
■ 塔式起重机如图３ －１５ 所示。机架重Ｗ１ ＝７００ ｋＮ，其作用线通 过塔架的中心。最大起重量Ｗ２ ＝２００ ｋＮ，最大悬臂长为１２ ｍ， 轨道ＡＢ 的间距为４ ｍ。平衡荷重Ｗ３ 到机身中心线距离为６ ｍ。试问 ：
§ 3 - 1-2 简化结果的分析
■ （３） Ｆ′R≠０，Ｍ0≠０，原力系可以进一步简化为一个合力，如图３ －２ａ 所示。为此，只要将力偶Ｍ0 用一对等 值、反向、不共线的平行力Ｆ″R和ＦR 表示，且使ＦR ＝ － Ｆ″R ＝ Ｆ′R0 ＝ Ｆ′R，则力偶臂 如图３ －２ｂ 所示。若使力Ｆ″R作用于Ｏ 点，则力Ｆ′RＯ和Ｆ″R构成一对平衡力，可以去掉这一对平衡力，只剩下作用 于Ｏ′点的力ＦR。显然，力ＦR 就是原力系的合力，如图３ －２ｃ 所示。因此，在这种情况下，原力系简化的最后结果是 一个合力ＦR，其大小和方向与主矢Ｆ′R相同，合力的作用线离简化中心Ｏ 的垂直距离为
§ 3 - 2-2 平面特殊力系的平衡方程
■ 3. 平面平行力系的平衡方程
力系中各力的作用线均相互平行的平面力系称为平面平行力系。设物体受平面平行力系Ｆ１，Ｆ２，…，Ｆｎ 的作用（图 ３ －１３）。如选取ｘ 轴（或ｙ 轴）与各力垂直，则不论力系是否平衡，每一个力在ｘ 轴（或ｙ 轴） 上的投影恒等于 零，即∑Ｆｘ ＝ ０ （或∑Ｆｙ ＝０）。于是，平面平行力系的独立平衡方程的数目只有两个，即
■ 斜梁ＡＢＣ 为一楼梯的计算简图，如图３ －１４ａ 所示。其上承受的荷载为作用于斜梁ＡＢ 中点的集中力Ｆ ＝６００ Ｎ，作用于Ｃ 处的集中力偶Ｍ ＝１． ２ ｋＮ·ｍ 及沿梁ＡＢ 长度方向的均布荷载ｑ ＝１ ｋＮ／ ｍ，ｌ ＝１ ｍ， 试求梁Ａ，Ｂ 处的约束反力。
§ 例题
■ 例 3-12
■ 塔式起重机如图３ －１５ 所示。机架重Ｗ１ ＝７００ ｋＮ，其作用线通 过塔架的中心。最大起重量Ｗ２ ＝２００ ｋＮ，最大悬臂长为１２ ｍ， 轨道ＡＢ 的间距为４ ｍ。平衡荷重Ｗ３ 到机身中心线距离为６ ｍ。试问 ：
建筑力学
力学根据不同的分类方法，具有不同的分类，例如：根据发现时间，可以包括经典力学、量子力学； 根据学科分类，可以包括一般力学与力学基础、固体力学、流体力学、工程力学；根据研究的介质是否 连续，可以包括连续介质力学、非连续介质力学；在土木工程中可以包括，理论力学、材料力学、结构 力学；等。
力学的各个分类之间既有相同又有差别，建筑力学直接来源于土木工程三大力学：理论力学、材料 力学、结构力学，节选了三大力学中的部分内容。其中：
作用在构件上的外力如果作用面面积远远小于构件尺寸，可以简化为集中力。 作用在构件上的外力如果作用面面积相对较大而不能简化为集中力时，应简化为分布力。
力的三要素是力对物体的作用效果。取决于：力的大小、方向与作用点。
2.2 静力学的定律和原理
公理一 (二力平衡公理)要使刚体在两个力作用下维持平衡状态，必须也只须这两个力大小相 等、方向相反、沿同一直线作用。
Mechanics is an area of science concerned with the behavior of physical bodies when subjected to forces or displacements, and the subsequent effects of the bodies on their environment.-Wikipedia
刚体——在运动中和受力作用后，形状和大小不变，而且内部各点的相对位置不变的物体。绝 对刚体实际上是不存在的，只是一种理想模型，因为任何物体在受力作用后，都或多或少地变形， 如果变形的程度相对于物体本身几何尺寸来说极为微小，在研究物体运动时变形就可以忽略不计。 把许多固体视为刚体，所得到的结果在工程上一般已有足够的准确度。但要研究应力和应变，则须 考虑变形。由于变形一般总是微小的，所以可先将物体当作刚体，用理论力学的方法求得加给它的 各未知力，然后再用变形体力学，包括材料力学、弹性力学、塑性力学等的理论和方法进行研究。
力学的各个分类之间既有相同又有差别，建筑力学直接来源于土木工程三大力学：理论力学、材料 力学、结构力学，节选了三大力学中的部分内容。其中：
作用在构件上的外力如果作用面面积远远小于构件尺寸，可以简化为集中力。 作用在构件上的外力如果作用面面积相对较大而不能简化为集中力时，应简化为分布力。
力的三要素是力对物体的作用效果。取决于：力的大小、方向与作用点。
2.2 静力学的定律和原理
公理一 (二力平衡公理)要使刚体在两个力作用下维持平衡状态，必须也只须这两个力大小相 等、方向相反、沿同一直线作用。
Mechanics is an area of science concerned with the behavior of physical bodies when subjected to forces or displacements, and the subsequent effects of the bodies on their environment.-Wikipedia
刚体——在运动中和受力作用后，形状和大小不变，而且内部各点的相对位置不变的物体。绝 对刚体实际上是不存在的，只是一种理想模型，因为任何物体在受力作用后，都或多或少地变形， 如果变形的程度相对于物体本身几何尺寸来说极为微小，在研究物体运动时变形就可以忽略不计。 把许多固体视为刚体，所得到的结果在工程上一般已有足够的准确度。但要研究应力和应变，则须 考虑变形。由于变形一般总是微小的，所以可先将物体当作刚体，用理论力学的方法求得加给它的 各未知力，然后再用变形体力学，包括材料力学、弹性力学、塑性力学等的理论和方法进行研究。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
F1 F2
A2 A1
F1
R
O
A3
=
F3
F2
l1
l2
O
l3
F3
=
LO
O
共点力系F1、 F2、 F3的合成结果为一作用点在
点O 的力R。这个力矢R 称为原平面任意力系的主矢。
R = F1 + F2 + F3 = F1 + F2 + F3
附加力偶系的合成结果是作用在同平面内的力 偶，这力偶的矩用LO 代表，称为原平面任意力系对 简化中心 O 的主矩。
所得负号表示 F A 的实际方向与假设方向相反。
由ΣFY= 0 得： F
A
sinα + F
1 5
B
= 0 = 0
44.72× 得 ：
+ F
B
FB = 20KN（↑）
支座反力的实际方向，通常在答案后用 加括号的箭头表示。
通过以上各例的分析讨论，现将解析法求 解平面汇交力系平衡问题时的步骤归纳如下： 1. 选取研究对象。 2. 画出研究对象的受力图。当约束反力的指向 未定时，可先假设其指向。 3. 选取适当的坐标系。最好使坐标轴与某一个 未知力垂直，以便简化计算。 4. 建立平衡方程并求解未知力。尽量作到一 个方程解一个未知量，避免解联立方程。列方 程时注意各力的投影的正负号。求出的未知力 为负时，表示该力的实际指向与假设相反。
上式可推广到任意多个汇交力的情况，即
FRX=F1X+F2X+F3X+…+FnX=∑FX
合力在任一坐标轴上的投影等于各分力在同 一坐标轴上投影的代数和。这就是合力投影定理 3. 用解析法求平面汇交力系的合力 当平面汇交力系已知时，我们可以先求出力 系中各力在 x 轴、 y 轴上的投影；再根据合力投影 定理求得合力在 x轴、 y轴上的投影 FRX、 FRY；最后 根据几何关系，求出合力FR的大小和方向。
结论：
平面任意力系向面内任一点的简化结果，是
一个作用在简化中心的主矢；和一个对简化中心 的主矩。
主矢、主矩的求法：
1、主矢可接力多边形规则作图求得，或用解析 法计算。 2 2
R= Rx + Ry =
2 2
( F ) + ( F )
x y
方向余弦：
( F ) cos(R, x ) =
x
( F ) cos(R, y ) =
【例1】 一固定环上套有三根绳索，各绳的拉力 分别为F T1=100N，F T2=150N，F T3=200N，各力的方 向如图所示。试用几何法求固定环受到的合力。
FT1 FT1 FT2 FT2
30° 45°
FT3
FT3
FR
按比例尺和量角器量得： FR=270N，
α=7°
2 平面汇交力系平衡的几何条件
=112.35 kN 合力的大小:
FR = F 2 + F 2 = ( 129 . 2 2 + 112 . 35 2 )kN = 171 . 22 kN RX RY
−F4sin45°
=200×0.5+300×0.866−100×0.707−250×0.707
合力的方向:
tan = F RY
FRX
N T
= 8.66 kN = 17.32 kN
【例6】 平面刚架在C点受水平力F作用，如图所 示。设F=40kN，不计刚架自重。求支座A、B的反 力。
y
F
4m
F
1
2
A
8m
B
FA
α
FBx FA cosα+ F = 0
FA ×
2 5
由ΣFX= 0 得：
+40= 0
得：
F A = − 44.72kN（↙）
F6X=－100kN
2. 合力投影定理 合力投影定理建立了合力的投影与分力的投 影之间的关系。 D
F3 FR FR A O F1 F3
F2
a
B F1
b d
C F2 c
F1X=ab
显然 所以
F2X=bc
F3X=−cd FRX=ad
FRX = F1X + F2X + F3X
ad = ab + bc − cd
§3.2
力的平移
力的平移定理：可以把作用在刚体上点A的力平 行移到任一点B，但必须同时附加一个力偶。这 个力偶的矩等于原来的力对新作用点B的矩。
[证] 力 F
力系 F, F, F
力 F + 力偶（F， F）
§3.3
平面一般力系的合成
一、力系向给定点O 的简化
应用力线平移定理，可将刚体上平面任意力系 中各个力的作用线全部平行移到作用面内某一给定 点O 。从而这力系被分解为平面共点力系和平面力 偶系。这种变换的方法称为力系向给定点O 的简化 。点O 称为简化中心。
在平面力系中，又可分为平面汇交力系、平 面平行力系、平面一般力系三种。各力作用线汇 交于一点的力系，称为平面汇交力系；各力作用 线相互平行的力系，称为平面平行力系；各力作 用线任意分布的力系，称为平面一般力系。
本节的主要内容是研究平面汇交力系的合成 和平衡问题。将分别介绍图解法和数解法。
§3.1 平面汇交力系的合成与平衡
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该 力系的合力等于零。 用公式可表示为
FR=ΣF = 0
在平衡情况下，力多边形中最后一个力的终 点与第一个力的起点重合（即力多边形的封闭边 的长度为零），此时的力多边形为自行封闭的力 多边形。所以，平面汇交力系平衡的几何条件为： 力多边形自行闭合。
3 图解法基本步骤 ⑴ 选取研究对象。根据题意选取与已知力 和未知力有关的物体作为研究对象，并画出简 图。 ⑵ 受力分析，画出受力图。在研究对象 上画出全部已知力和未知力（包括约束反力）。 注意运用二力杆的性质和三力平衡汇交定理来 确定约束反力的作用线。当约束反力的指向未 定时，可先假设。
F F A C
45°
C
B
A
2m 2m
B
FA
2
FA
F
FB
1
按比例尺量得： FA= 7.9kN FB= 3.5kN
FB
45°
二
平面汇交力系合成与平衡的解析法
解析法以力在坐标轴上的投影的计算为基础。
1. 力在坐标轴上的投影
y
FX=±Fcosα FY=±Fsinα
b’ Fy a’ O
B A a
F
x
Fx b
O
45º
F3
F4
FRX= Σ FX =F1cos30−F2cos60 −F3cos45 +F4cos45 ° ° ° ° =200×0.866−300×0.5−100×0.707+250×0.707 =129.2 kN FRY=Σ Fy =F sin30 +F sin60 −F sin45 1 2 3 ° ° °
y
R
R
2、主矩Lo可由下式计算：
L0 = mo (F1 ) + mo (F2 ) + + mo (Fn ) = mo (F )
二、平面一般力系简化结果的讨论
1、R=0，而LO≠0，原力系合成为力偶。这时力系主 矩LO 不随简化中心位置而变。 2、LO=0，而R≠0，原力系合成为一个力。作用于点O 的力R就是原力系的合力。 3、R≠0，LO≠0，原力系简化成一个力偶和一个作用 于点O 的力。这时力系也可合成为一个力。 说明如下：
⑶ 作力多边形。选择适当的比例尺，作出 封闭的力多边形。注意，作图时先画已知力，后 画未知力，按力多边形法则和封闭特点，确定未 知力的实际指向。 ⑷ 量出未知量。根据比例尺量出未知量。 对于特殊角还可利用三角关系计算得出。
【例2】
梁AB在C点受力F作用，如图所示，设
F=10kN，梁自重不计。求支座A、B的反力。
F2的投影 2X=－F2cos60°=－(100×0.5)kN=－50kN F2Y=F2sin60°=(100×0.866)kN=86.6kN
F3的投影 F3X=－F3cos30°=－(100×0.866)kN
=－86.6kN F3Y=－F3sin30°=－(100x×0.5)kN=－50kN
F4的投影 F4X=F4cos60°=(100×0.5)kN=50kN F4Y=－F4sin60°=－(100×0.866)kN=－86.6kN F5的投影 F5X=0 F6的投影 F5Y=－100kN F6Y=0
而力的分力为矢量，有大小、方向，其作用 效果与作用点或作用线有关。二者不可混淆。
【例3】
试分别求出图中各力在x轴和y轴上的
投影。已知F1=F2=F3=F4=F5=F6=100kN。
y F1
45° 30°
F3
F4
30°
F5
F6 x
F2
60°
O
F1的投影 F1X=F1cos45°=(100×0.707)kN=70.7kN F1Y=F1sin45°=(100×0.707)kN=70.7kN
2 2 = FRX + FRY = FR
(SFX )2 + (SFY )2
=0
上式中（ΣFX）2 与（ΣFY）2 恒为正数。
若使FR = 0，必须同时满足
ΣFX=0 Σ FY=0
所以，平面汇交力系平衡的必要和充分的解 析条件是：力系中所有各力在两个坐标轴上投影 的代数和分别等于零。
上式称为平面汇交力系的平衡方程。这是两
3 平面力系的合成与平衡
静力学是研究力系的合成和平衡问题。力系 有各种不同的类型，它们的合成（简化）结果和 平衡条件也不同。按力系中各力作用线的分布情 况进行分类，可分为空间力系和平面力系两大类。 凡各力的作用线都在同一平面内的力系称为平面 力系；凡各力的作用线不在同一平面内的力系， 称为空间力系。
A2 A1
F1
R
O
A3
=
F3
F2
l1
l2
O
l3
F3
=
LO
O
共点力系F1、 F2、 F3的合成结果为一作用点在
点O 的力R。这个力矢R 称为原平面任意力系的主矢。
R = F1 + F2 + F3 = F1 + F2 + F3
附加力偶系的合成结果是作用在同平面内的力 偶，这力偶的矩用LO 代表，称为原平面任意力系对 简化中心 O 的主矩。
所得负号表示 F A 的实际方向与假设方向相反。
由ΣFY= 0 得： F
A
sinα + F
1 5
B
= 0 = 0
44.72× 得 ：
+ F
B
FB = 20KN（↑）
支座反力的实际方向，通常在答案后用 加括号的箭头表示。
通过以上各例的分析讨论，现将解析法求 解平面汇交力系平衡问题时的步骤归纳如下： 1. 选取研究对象。 2. 画出研究对象的受力图。当约束反力的指向 未定时，可先假设其指向。 3. 选取适当的坐标系。最好使坐标轴与某一个 未知力垂直，以便简化计算。 4. 建立平衡方程并求解未知力。尽量作到一 个方程解一个未知量，避免解联立方程。列方 程时注意各力的投影的正负号。求出的未知力 为负时，表示该力的实际指向与假设相反。
上式可推广到任意多个汇交力的情况，即
FRX=F1X+F2X+F3X+…+FnX=∑FX
合力在任一坐标轴上的投影等于各分力在同 一坐标轴上投影的代数和。这就是合力投影定理 3. 用解析法求平面汇交力系的合力 当平面汇交力系已知时，我们可以先求出力 系中各力在 x 轴、 y 轴上的投影；再根据合力投影 定理求得合力在 x轴、 y轴上的投影 FRX、 FRY；最后 根据几何关系，求出合力FR的大小和方向。
结论：
平面任意力系向面内任一点的简化结果，是
一个作用在简化中心的主矢；和一个对简化中心 的主矩。
主矢、主矩的求法：
1、主矢可接力多边形规则作图求得，或用解析 法计算。 2 2
R= Rx + Ry =
2 2
( F ) + ( F )
x y
方向余弦：
( F ) cos(R, x ) =
x
( F ) cos(R, y ) =
【例1】 一固定环上套有三根绳索，各绳的拉力 分别为F T1=100N，F T2=150N，F T3=200N，各力的方 向如图所示。试用几何法求固定环受到的合力。
FT1 FT1 FT2 FT2
30° 45°
FT3
FT3
FR
按比例尺和量角器量得： FR=270N，
α=7°
2 平面汇交力系平衡的几何条件
=112.35 kN 合力的大小:
FR = F 2 + F 2 = ( 129 . 2 2 + 112 . 35 2 )kN = 171 . 22 kN RX RY
−F4sin45°
=200×0.5+300×0.866−100×0.707−250×0.707
合力的方向:
tan = F RY
FRX
N T
= 8.66 kN = 17.32 kN
【例6】 平面刚架在C点受水平力F作用，如图所 示。设F=40kN，不计刚架自重。求支座A、B的反 力。
y
F
4m
F
1
2
A
8m
B
FA
α
FBx FA cosα+ F = 0
FA ×
2 5
由ΣFX= 0 得：
+40= 0
得：
F A = − 44.72kN（↙）
F6X=－100kN
2. 合力投影定理 合力投影定理建立了合力的投影与分力的投 影之间的关系。 D
F3 FR FR A O F1 F3
F2
a
B F1
b d
C F2 c
F1X=ab
显然 所以
F2X=bc
F3X=−cd FRX=ad
FRX = F1X + F2X + F3X
ad = ab + bc − cd
§3.2
力的平移
力的平移定理：可以把作用在刚体上点A的力平 行移到任一点B，但必须同时附加一个力偶。这 个力偶的矩等于原来的力对新作用点B的矩。
[证] 力 F
力系 F, F, F
力 F + 力偶（F， F）
§3.3
平面一般力系的合成
一、力系向给定点O 的简化
应用力线平移定理，可将刚体上平面任意力系 中各个力的作用线全部平行移到作用面内某一给定 点O 。从而这力系被分解为平面共点力系和平面力 偶系。这种变换的方法称为力系向给定点O 的简化 。点O 称为简化中心。
在平面力系中，又可分为平面汇交力系、平 面平行力系、平面一般力系三种。各力作用线汇 交于一点的力系，称为平面汇交力系；各力作用 线相互平行的力系，称为平面平行力系；各力作 用线任意分布的力系，称为平面一般力系。
本节的主要内容是研究平面汇交力系的合成 和平衡问题。将分别介绍图解法和数解法。
§3.1 平面汇交力系的合成与平衡
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该 力系的合力等于零。 用公式可表示为
FR=ΣF = 0
在平衡情况下，力多边形中最后一个力的终 点与第一个力的起点重合（即力多边形的封闭边 的长度为零），此时的力多边形为自行封闭的力 多边形。所以，平面汇交力系平衡的几何条件为： 力多边形自行闭合。
3 图解法基本步骤 ⑴ 选取研究对象。根据题意选取与已知力 和未知力有关的物体作为研究对象，并画出简 图。 ⑵ 受力分析，画出受力图。在研究对象 上画出全部已知力和未知力（包括约束反力）。 注意运用二力杆的性质和三力平衡汇交定理来 确定约束反力的作用线。当约束反力的指向未 定时，可先假设。
F F A C
45°
C
B
A
2m 2m
B
FA
2
FA
F
FB
1
按比例尺量得： FA= 7.9kN FB= 3.5kN
FB
45°
二
平面汇交力系合成与平衡的解析法
解析法以力在坐标轴上的投影的计算为基础。
1. 力在坐标轴上的投影
y
FX=±Fcosα FY=±Fsinα
b’ Fy a’ O
B A a
F
x
Fx b
O
45º
F3
F4
FRX= Σ FX =F1cos30−F2cos60 −F3cos45 +F4cos45 ° ° ° ° =200×0.866−300×0.5−100×0.707+250×0.707 =129.2 kN FRY=Σ Fy =F sin30 +F sin60 −F sin45 1 2 3 ° ° °
y
R
R
2、主矩Lo可由下式计算：
L0 = mo (F1 ) + mo (F2 ) + + mo (Fn ) = mo (F )
二、平面一般力系简化结果的讨论
1、R=0，而LO≠0，原力系合成为力偶。这时力系主 矩LO 不随简化中心位置而变。 2、LO=0，而R≠0，原力系合成为一个力。作用于点O 的力R就是原力系的合力。 3、R≠0，LO≠0，原力系简化成一个力偶和一个作用 于点O 的力。这时力系也可合成为一个力。 说明如下：
⑶ 作力多边形。选择适当的比例尺，作出 封闭的力多边形。注意，作图时先画已知力，后 画未知力，按力多边形法则和封闭特点，确定未 知力的实际指向。 ⑷ 量出未知量。根据比例尺量出未知量。 对于特殊角还可利用三角关系计算得出。
【例2】
梁AB在C点受力F作用，如图所示，设
F=10kN，梁自重不计。求支座A、B的反力。
F2的投影 2X=－F2cos60°=－(100×0.5)kN=－50kN F2Y=F2sin60°=(100×0.866)kN=86.6kN
F3的投影 F3X=－F3cos30°=－(100×0.866)kN
=－86.6kN F3Y=－F3sin30°=－(100x×0.5)kN=－50kN
F4的投影 F4X=F4cos60°=(100×0.5)kN=50kN F4Y=－F4sin60°=－(100×0.866)kN=－86.6kN F5的投影 F5X=0 F6的投影 F5Y=－100kN F6Y=0
而力的分力为矢量，有大小、方向，其作用 效果与作用点或作用线有关。二者不可混淆。
【例3】
试分别求出图中各力在x轴和y轴上的
投影。已知F1=F2=F3=F4=F5=F6=100kN。
y F1
45° 30°
F3
F4
30°
F5
F6 x
F2
60°
O
F1的投影 F1X=F1cos45°=(100×0.707)kN=70.7kN F1Y=F1sin45°=(100×0.707)kN=70.7kN
2 2 = FRX + FRY = FR
(SFX )2 + (SFY )2
=0
上式中（ΣFX）2 与（ΣFY）2 恒为正数。
若使FR = 0，必须同时满足
ΣFX=0 Σ FY=0
所以，平面汇交力系平衡的必要和充分的解 析条件是：力系中所有各力在两个坐标轴上投影 的代数和分别等于零。
上式称为平面汇交力系的平衡方程。这是两
3 平面力系的合成与平衡
静力学是研究力系的合成和平衡问题。力系 有各种不同的类型，它们的合成（简化）结果和 平衡条件也不同。按力系中各力作用线的分布情 况进行分类，可分为空间力系和平面力系两大类。 凡各力的作用线都在同一平面内的力系称为平面 力系；凡各力的作用线不在同一平面内的力系， 称为空间力系。