二轮复习参数方程化为普通方程
2020年高考数学(文)二轮专项复习专题13 坐标系与参数方程含答案
专题13 坐标系与参数方程【知识要点】1．极坐标系的概念，极坐标系中点的表示．在平面内取一个定点O ，O 点出发的一条射线Ox ，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系．O 称为极点，Ox 称为极轴．设M 是平面内任意一点，极点O 与点M 的距离｜OM |叫做点M 的极径，记作ρ ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记作θ ，有序数对(ρ ，θ )叫做点M 的极坐标．一般情况下，约定ρ ≥0．2．极坐标系与直角坐标系的互化．直角坐标化极坐标：x ＝ρ cos θ ，y ＝ρ sin θ ； 极坐标化直角坐标：， 3．参数方程的概念设在平面上取定一个直角坐标系xOy ，把坐标x ，y 表示为第三个变量t 的函数……①，如果对于t 的每一个值(a ≤t ≤b )，①式所确定的点M (x ，y )都在一条曲线上；而这条曲线上任意一点M (x ，y )，都可由t 的某个值通过①式得到，则称①式为该曲线的参数方程，其中t 称为参数．4．参数方程与普通方程的互化把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消元法；加减消参法；平方和(差)消参法；乘法消参法等．把曲线C 的普通方程F (x ，y )＝0化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．要注意方程中的参数的变化范围． 5．直线、圆、椭圆的参数方程．(1)经过一定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α 的直线l 的参数方程为(t 为参数)；(2)直线参数方程的一般形式为(t 为参数)；222y x +=ρ).0(tan =/=x xyθ⎩⎨⎧==)()(t g y t f x b t a ≤≤⎩⎨⎧+=+=ααsin ,cos 00t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00,(3)圆的参数方程为(θ 为参数)；(4)椭圆的参数方程为(θ 为参数)．【复习要求】1．理解坐标系的作用．2．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．3．了解参数方程．4．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程，并会简单的应用． 【例题分析】例1 (1)判断点是否在曲线上． (2)点P 的直角坐标为，则点P 的极坐标为______．(限定0＜θ ≤2π)(3)点P 的极坐标为，则点P 的直角坐标为______．解：(1)因为，所以点是在曲线上． (2)根据ρ 2＝x 2＋y 2，， 得ρ ＝2，，又点P 在第四象限，，所以，所以点P 的极坐标为 (3)根据x ＝ρ cos θ ，y ＝ρ sin θ ，得， 所以点P 的直角坐标为 例2 (1)圆ρ ＝2(cos θ ＋sin θ )的半径为______．⎩⎨⎧+=+=θθsin ,cos 00r y y r x x )0(12222>>=+b a b y a x ⎩⎨⎧==θθsin ,cos b y a x )35π,23(-2cos θρ=)3,1(-)4π,3(-2365πcos2cos-==θ)35π,23(-2cos θρ=)0(tan =/=x xy θ3tan -=θ2π23π≤<θ35π=θ).3π5,2(223,223-==y x ).223,223(-(2)直线与圆ρ ＝2sin θ 交与A ，B 两点，则|AB |＝______． 解：(1)由ρ ＝2(cos θ ＋sin θ )，得ρ 2＝2ρ (cos θ ＋sin θ )， 所以，x 2＋y 2＝2x ＋2y ，即(x －1)2＋(y －1)2＝2， 所以圆ρ ＝2(cos θ ＋sin θ )的半径为． (2)将直线与圆ρ ＝2sin θ 化为直角坐标方程，得 由得，即， 由ρ ＝2sin θ ，变形为ρ 2＝2ρ sin θ ，得x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1， 因为圆的半径为1，圆心到直线的距离为， 所以评述：(1)应熟练运用直角坐标与极坐标互化的方法解决有关极坐标的问题；(2)由直角坐标化极坐标时要注意点位于哪一个象限才能确定θ 的大小，如例1(2)，否则，极坐标不唯一； (3)例2也可以用极坐标有关知识直接解决．这需要知道一些直线与圆的极坐标方程的知识．如： ①过极点，倾斜角为α 的直线：θ ＝α (ρ ∈R )或写成θ ＝α 及θ ＝α ＋π． ②过A (a ，α)垂直于极轴的直线：ρ cos θ ＝a cos α ． ③以极点O 为圆心，a 为半径的圆(a ＞0)：ρ ＝a ．④若O (0，0)，A (2a ，0)，以OA 为直径的圆：ρ ＝2a cos θ ． ⑤若O (0，0)，A (2a ，)，以OA 为直径的圆：ρ ＝2a sin θ ． 对于例2(2)，可以利用结论①⑤，作出直线与圆，通过解三角形的方法求|AB ｜，当然也可以用极坐标方程直接解ρ ，根据ρ 的几何意义求｜AB ｜．例3 圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ ＝4cos θ ，ρ ＝－4sin θ ． (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过圆O 1和圆O 2交点的直线的直角坐标方程．)(3πR ∈=ρθ2)(3πR ∈=ρθ3π=θxy=3πtan x y 3=21311=+=d .3)21(12||2=-=AB 2π解：(1)由ρ ＝4cos θ 得ρ 2＝4ρ cos θ ，根据x ＝ρ cos θ ，y ＝ρ sin θ ，所以x 2＋y 2＝4x ． 即x 2＋y 2－4x ＝0为圆O 1的直角坐标方程，同理x 2＋y 2＋4y ＝0为圆O 2的直角坐标方程．(2)由解得 即圆O 1和圆O 2交于点(0，0)和(2，－2)．过交点的直线的直角坐标方程为y ＝－x ．例4(1)曲线的参数方程是(t 为参数，t ≠0)，它的普通方程是________． (2)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为 (参数t ∈R )，圆C 的参数方程为(参数θ ∈[0，2π])，则圆C 的圆心坐标为______，圆心到直线l 的距离为______． 解：(1)由得，带入y ＝1－t 2，得 注意到，所以已知参数的普通方程为 (2)直线l 的普通方程为x ＋y －6＝0，圆C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4， 所以圆心坐标为(0，2)，圆心到直线l 的距离评述：(1)应熟练运用将参数方程化为普通方程的方法解决有关参数方程的问题；(2)在将参数方程化为普通方程的过程中应注意消参带来的范围变化问题．如例4(1)，若参数方程为(t 为参数，t ＞0)，则其普通方程为 例5 求椭圆的内接矩形的最大面积．解：设内接矩形在第一象限内的顶点为P (a cos θ ，b sin θ )，P 点在两轴上的投影分别为A 、B ，则有S 内接矩形＝4S 矩形OAPB ＝4·a cos θ ·b sin θ ＝2ab sin2θ ． 因为，所以2θ ∈(0，π)，S 内接矩形的最大值为2ab ． ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+,04,042222y y x x y x ⎩⎨⎧==;0,011y x ⎩⎨⎧-==.2,222y x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=21,11t y t x ⎩⎨⎧-=+=t y t x 3,3⎩⎨⎧+==2sin 2,cos 2θθy x t x 11-=x t -=11,)1()2()11(122--=--=x x x x y 111=/-=t x ⋅--=2)1()2(x x x y .222|620|=-+=d ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=21,11t y t x ).1()1()2(2<--=x x x x y 12222=+by a x )2π,0(∈θ评述：圆锥曲线参数方程主要应用于利用参数方程设圆锥曲线上的点，从而讨论最值等有关问题．椭圆的参数方程为 (θ 为参数)．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为.例6 圆M 的参数方程为x 2＋y 2－4Rx cos α －4Ry sin α ＋3R 2＝0(R ＞0)． (1)求该圆的圆心坐标以及圆M 的半径；(2)当R 固定，α 变化时，求圆心M 的轨迹，并证明此时不论α 取什么值，所有的圆M 都外切于一个定圆． 解：(1)依题意得圆M 的方程为(x －2R cos α )2＋(y －2R sin α )2＝R 2， 故圆心的坐标为M (2R cos α ，2R sin α )，半径为R ．(2)当α 变化时，圆心M 的轨迹方程为 (α 为参数)，两式平方相加得x 2＋y 2＝4R 2，所以圆心M 的轨迹是圆心在原点，半径为2R 的圆．由于所以所有的圆M 都和定圆x 2＋y 2＝R 2外切，和定圆x 2＋y 2＝9R 2内切．例7 过P (5，－3)，倾斜角为α ，且的直线交圆x 2＋y 2＝25于P 1、P 2两点．(1)求|PP 1|·|PP 2｜的值；(2)求弦P 1P 2的中点M 的坐标．解：(1)由已知得所以已知直线的参数方程为…………………①(t 为参数)代入圆的方程化简，得…………………② ②的两个解t 1、t 2就是P 1、P 2对应的参数，由参数的几何意义及韦达定理知)0,0(12222>>=+b a b y a x ⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x ⎩⎨⎧==pty ptx 222⎩⎨⎧==,sin 2,cos 2ααR y R x ,32)sin 2()cos 2(22R R R R R -==+αα,2)sin 2()cos 2(22R R R R R +==+αα53cos -=α53cos -=α,54sin =α⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=,543,535t y t x .095542=+-t t｜PP 1|·｜PP 2|＝|t 1|·|t 2|＝9．(2)设M (x ，y )为P 1P 2的中点，则点M 对应的参数，代入参数方程， 得 所以 评述：根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论： ①直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t 1，t 2，则弦长l ＝|t 1－t 2｜； ②定点M 0是弦M 1M 2的中点t 1＋t 2＝0；③设弦M 1M 2的中点为M ，则点M 对应的参数值，(由此可求得|M 2M |及中点坐标)． 习题13一、选择题 1．极坐标的直角坐标为 (A)(1，)(B)(－，－1)(C)(－1，－)(D)(－1，)2．椭圆(θ 为参数)的焦距等于( )(A) (B)2 (C) (D)3．已知某条曲线的参数方程为(0≤t ≤5)，则该曲线是( )(A)线段 (B)圆弧 (C)双曲线的一支 (D)射线4．若是极坐标系中的一点，则四点中与P 重合的点有( )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个527221=+=t t t ,2533,2544==y x M PP PP ,9||||21=⋅).2533,2544(⇒221t t t M +=)34π(2,3333⎩⎨⎧==θθsin 5,cos 2y x 212129292⎪⎩⎪⎨⎧-=+=1,2322t y t x )3π,2(--P 、、、)3π5,2()3π8,2()3π2,2(-M R Q )3π5π2,2(-k N )(Z ∈k5．在极坐标系中，若等边△ABC 的两个顶点是，那么顶点C 的坐标可能是( ) (A) (B) (C)(D)(3，π)二、选择题6．过极点，倾斜角是的直线的极坐标方程为____________． 7．点M 的直角坐标(3，－3)化为极坐标是____________． 8．直线(t 为参数)过定点____________．9．曲线(t 为参数)与y 轴的交点坐标是____________．10．参数方程(θ 为参数)表示的曲线的普通方程是____________．三、解答题11．求过点，并且和极轴垂直的直线的极坐标方程．12．在椭圆上求一点，使点M 到直线的距离最小，并求出最小距离．13．设圆C 是以C (4，0)为圆心，半径等于4的圆．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)从极点O 作圆C 的弦ON ，求ON 的中点M 的轨迹方程．)4π5,2()4π,2(B A 、)4π3,4()43π,32()π,32(6π⎩⎨⎧+-=+=t y at x 41,3⎩⎨⎧=+-=t y t x ,12⎩⎨⎧+==θθθcos sin ,2sin y x )4π,3(14922=+y x 021032=-+y x14．已知点M (2，1)和双曲线，求以M 为中点的双曲线右支的弦AB 所在直线l 的方程．专题13 坐标系与参数方程参考答案习题13一、选择题1．C 2．B 3．A 4．C 5．B 二、填空题 6．； 7．； 8．(3，－1)； 9．(0，1)，(0，－1)； 三、解答题 11． 12．解：由题设知椭圆参数方程为(θ 为参数)．设M 的坐标(3cos θ ，2sin θ )由点到直线距离 即d 的最小值为，此时．所以M 的坐标为13．解：(1)设P (ρ ，θ )为圆C 上任意一点，圆C 交极轴于另一点A ．由已知|OA |＝8，在Rt △ABC 中，|OP |＝|OA ｜cos θ ，即ρ ＝8cos θ ，这就是圆C 的方程．1222=-y x )(6πR ∈=ρθ)47π,23(⋅=223cos θρ⎩⎨⎧==θθsin 2,cos 3y x ,13|210)4πsin(26|13|210sin 6cos 6|-+=-+=θθθd 261344π=θ).2,223((2)连结CM ，因为M 是ON 的中点，所以CM ⊥ON ，故M 在以OC 为直径的圆上． 由r ＝|OC |＝4，得动点M 的轨迹方程是ρ ＝4cos θ ．14．解：设AB 的方程为(t 为参数)，代入双曲线方程，得(2cos 2α －sin 2α )t 2＋(8cos α －2sin α )t ＋5＝0，由于M 为AB 的中点，则t 1＋t 2＝0，则tan α ＝4，从而AB 的方程为：4x －y －7＝0．⎩⎨⎧+=+=ααsin 1,cos 2t y t x。
参数方程化为普通方程教学课件
解：（1）(x-1)2+(y+3)2=4； （2）(x-1)2+(y+3)2=4,(y≥-3).
2、曲线y=x2的一种参数方程是（ ）.
2 x s i n t x t x t x t A 、 、 、 D 、 4 B 2 C 2 y s i n t yt yt yt
将参数方程变形为
x cos a y sin b
将方程两边平方后相加，得
2 2 x y 2 1 (x a , y b ) 2 a b
2 2 cos 1 根据三角恒等式 sin 可以消除参数 ，得到
2 2 x y 2 2 cos sin 2 2 a b
分析: 在y=x2中，x∈R, y≥0， 在A、B、C中，x,y的范围都
发生了变化，因而与 y=x2不等价； 而在Ｄ中，
x,y范围与y=x2中x,y的范围相同，
x t 且以 2 y t
代入y=x2后满足该方程，从而D是曲线y=x2的一种参数方程.
注意：
在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值 范围保持一致。否则，互化就是不等价的.
这是中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆方程
例5 参数方程
1 （A）双曲线的一支，这支过点（1， ）： 2 1
x | cos sin |, 2 2 (0 2 ) 表示 y 1(1sin ) 2
（ ）
（B）抛物线的一部分，这部分过（ 1， ）；
1 2 （C）双曲线的一支，这支过点（–1， 代数法消去参数（直接代入消元；加减消元）； 利用三角恒等式消去参数 2.注意：根据参数条件，明确x，y的取值范围； 消除参数后，普通方程要与原参数方程的取值 范围要保持一致；
高三数学参数方程与普通方程的相互转化课件
类型3：参数方程与普通方程的相互转化☯知识清单☯一、曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x y 、都是某个变数t 的函数x f t yg t，并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M x,y 都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x y 、的变数t 叫做参变数，简称参数。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
二、参数方程与普通方程的互化通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x y 、中的一个与参数t 的关系，例如x f t ，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y g t ，那么x f t yg t，就是曲线的参数方程。
在参数方程与普通方程的互化中，必须使x y 、的取值范围保持一致。
三、常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹 普通方程参数方程直线 00y y tanx x00x x t cos yy t sin(t 为参数) 圆 222x ay brx a r cos y b r sin (为参数) 椭圆 222210x y a b a b x a cos y b sin (为参数)双曲线 2222100x y a ,b a b x a sec y btan(为参数)抛物线22ypx22x pt (t 为参数)【特别提醒】直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且几何意义为：t 是直线上任一点M x,y 到000M x ,y 的距离。
【知识必备】1.将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f t 和g t 的值域，即x 和y 的取值范围。
2.参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式221cos sin ，2211tan cos 。
☯典型例题☯例题1：普通方程转参数方程（圆）1. 已知圆O 的圆心坐标为(2,1)，半径3r =，求圆O 的参数方程。
参数方程化成普通方程
参数方程化成普通方程参数方程可以表示为一组含有参数的方程组，而普通方程是不含有参数的方程。
将参数方程转化为普通方程的方法有以下几种：1.消参法消参法是将参数方程中的参数用非参数变量表示出来，从而得到普通方程。
具体步骤如下：（1）根据参数方程的定义，将参数用非参数表示，假设参数为t，则可以将参数表示为x=f(t)和y=g(t)；（2）将上述表达式代入参数方程中的方程组中，得到非参数变量的方程组，即F(x,y)=0；（3）通过解F(x,y)=0，得到x和y之间的关系，从而得到普通方程。
2.去参数化法去参数化法是通过消去参数，将参数方程对应的曲线变为非参数方程的方法。
具体步骤如下：（1）将参数方程中的参数表示为t=x/y或y/x；（2）将上述表达式代入参数方程中的方程组，得到去参数化的方程组；（3）通过解去参数化的方程组，得到x和y之间的关系，从而得到普通方程。
3.参数消去法参数消去法是通过消去参数，得到仅含有非参数变量的方程。
具体步骤如下：（1）将参数方程中的参数表示为非参数变量t的函数，即t=f(x,y)；（2）将t代入参数方程的方程组中，得到含有非参数变量x和y的方程组；（3）通过解上述方程组，得到x和y之间的关系，从而得到普通方程。
4.直接法直接法是对特定的参数方程直接求导或代入一些特定的数值来消去参数，从而得到普通方程。
（1）将参数方程中的参数表示为非参数变量t的函数，即t=f(x,y)；（2）对 t 求导，得到 dt/dx 和 dt/dy；（3）代入 dt/dx 和 dt/dy，消去参数 t，从而得到 x 和 y 之间的关系，从而得到普通方程。
以上是将参数方程化为普通方程的几种方法，具体的选用方法取决于具体的参数方程形式和求解的要求。
不同的方法在不同的场合下有着不同的适用性，需要根据具体情况进行选择。
参数方程化成普通方程
直接判断此参数方程所表示的曲线类型 并不容易，但若将参数方程化为熟悉的普 通方程，则比较简单了。
参数方程化成 普通方程
例1、把下列参数方程化为普通方程， 并说明它们各表示什么曲线？
解：(1)应用加减消元法，得2x 3y 7,因此，所求 的普通方程是 2x+3y+7=0
解：(2)因为x t 1 1 所以普通方程是y 2x （ 3 x 1) 这是以（1，1）为端点的一条射线（包括端点）
链接高考
广东卷 在直角坐标系中圆
C的参数方程
x 2 cos
y 2 2 sin
为参数 ，则圆C的普通方程为x_2 _____y___ 22 4
宁夏
海南卷已知曲线C1
x y
cos s in
为参数
曲线C2
x
同时平方得
x2 1 2y
又 x sin cos
x 2
2 sin
4
普通方程为x2 1 2 y x 2
练习 把下列参数方程化为普通方程
解：1 x2 y2 1 x 5且0 y 4
25 16
二. 利用三角恒等式消去参数
解：利用sin2 cos2 1得到
x2 y2 25
若 0，2 ，则普通方程是什么？
思 若 0， ，则普通方程是什么？
考 若 0， ，则普通方程是什么？
2
解：将x xs2in1c2ossin两 边cos
苏辙、曾巩合称“唐宋八大家”。后人又将其与韩愈、柳宗元和苏轼合称“千古文章四大家”。
关于“醉翁”与“六一居士”：初谪滁山，自号醉翁。既老而衰且病，将退休于颍水之上，则又更号六一居士。客有问曰：“六一何谓也？”居士曰：“吾家藏书一万卷，集录三代以来金石遗文一千卷，有琴一张，有棋一局，而常置酒一壶。”客曰：“是为五一尔，奈何？”居士曰：“以吾一翁，老于
高考数学 参数方程化成普通方程
x＝1＋12t，
x＝（11－＋kk22）r，
(1) y＝5＋
23t；(2)y＝12＋krk2.
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解
(1)由
x＝1＋12t
得
t＝2x－2
代入
y＝5＋
3 2t
中得
y＝5
＋ 23(2x－2)，即： 3x－y＋5－ 3＝0 就是它的普通方程. (2)xy＝ ＝（ 12＋k11r－ k＋2 kk22）r，⇒yx22＝＝（ （（1141－ ＋k＋2kkrk222） ）2）22，r22，得 x2＋y2＝ （1－2（k2＋1＋k4k）2）r22＋4k2r2＝（1（＋12＋k2＋k2）k4）2 r2＝r2.
线的类型.
x＝acos (1)y＝bsin
θ， θ (θ
为参数，a，b
为常数，且
a＞b＞0)；
(2)x＝coas φ，(φ 为参数，a，b 为正常数)； y＝btan φ
x＝2pt2， (3)y＝2pt (t
为参数，p
为正常数).
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解 (1)由 cos2θ＋sin2θ＝1 得ax22＋by22＝1 这是一个长轴长为 2a， 短轴长为 2b，中心在原点的椭圆. (2)由已知co1s φ＝ax，tan φ＝by，由于co1s φ2－tan2φ＝1， ∴有ax22－by22＝1 这是一条双曲线. (3)由已知 t＝2yp代入 x＝2pt2 中得4yp22·2p＝x， 即 y2＝2px，这是一条抛物线.
为参数).
解 (1)由 y2＝(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝1＋2x 得
y2＝2x＋1，∵－12≤12sin 2θ≤12，
参数方程普通方程的互化
由参数方程
x y
cos sin
3,
(
为参数)直接判断点M的轨迹的
曲线类型并不容易，但如果将参数方程转化为熟悉的普通
方程，则比较简单。
由参数方程得：
cos sin
x y
3,sin2
cos2
(x
3)2
y2
1
所以点M的轨迹是圆心在（3，0），半径为1的圆。
知识点分析
1.参数方程和普通方程的互化：
参数方程和普通方程的互化：
（2）普通方程化为参数方程需要引入参数
如：①直线L 的普通方程是2x - y+2= 0，可以化为参数方程
x
y
t, 2t
（t为参数）
2.
②在普通方程xy=1中，令x = tan,可以化为参数方程
x tan ,
y
cot .
（为参数）
示例分析
例3 求椭圆 x2 y2 1的参数方程。 94
x y
t2 t4
B 、
x y
sin sin
t
t
C、x t y t
D、
x y
t t
2
分析: 在y=x2中，x∈R, y≥0， 在A、B、C中，x,y的范围都
发生了变化，因而与 y=x2不等价； 而在Ｄ中，
x,y范围与y=x2中x,y的范围相同，
x t
且以
y
t2
代入y=x2后满足该方程，从而D是曲线y=x2的一种参数方程.
注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的
取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的.
示例分析
示例1、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们 各表示什么曲线？
第2章 §3 参数方程化成普通方程
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普通方程化为参数方程时，①选取参数后，要特别注意参数的取值范围， 它将决定参数方程是否与普通方程等价.②参数的选取不同，得到的参数方程是 不同的.如本例(2)，若令 x＝tan θ(θ 为参数)，则参数方程为xy＝ ＝ttaann2θθ，＋tan θ－1 (θ 为参数).
即(y－1)2＝－14x(y≥1).
方程表示的曲线是顶点为(0,1)，对称轴平行于 x 轴，开口向左的抛物线的一
部分.
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(2)由已知可得
ax＝11－ ＋tt22，
①
by＝1＋2tt2， ②
①2＋②2 得ax22＋by22＝1(a＞b＞0，x≠－a)，这就是所求的普通方程，方程表 示的曲线是焦点在 x 轴上的椭圆(去掉左顶点).
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【解析】 (1)把 t＝x 代入②得 y＝2x 即普通方程为 y＝2x. (2)由 sin2 θ＋cos2 θ＝1 得 x2＋y2＝1. (3)由②得 t＝y－1，代入①得 x＝2(y－1)2.
【答案】 (1)y＝2x (2)x2＋y2＝1 (3)x＝2(y－1)2
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(t 为参数)
x＝tan t， D.y＝1－tan2t
(t 为参数)
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【解析】 A 化为普通方程为 x2＋y－1＝0，x∈[－1,1]，y∈[0,1]. B 化为普通方程为 x2＋y－1＝0，x∈[－1,1]，y∈[0,1]. C 化为普通方程为 x2＋y－1＝0，x∈[0，＋∞)，y∈(－∞，1]. D 化为普通方程为 x2＋y－1＝0，x∈R，y∈(－t 为参数)；
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1.代数法：利用解方程的技 巧求出参
数t,然后代入消去参数.
2.三角法：利用三角恒等式消去参
数.
化参数方程为普通方程为F(x,y)=0,
在消参过程中注意变量x、y取值范围的
一致性，必须根据参数的取值范围，确定
f(t)和g(t)值域得x、y的取值范围
当堂检测 有效练习
课本练习
作业布置
教材分析
本专题主要内容是参数方 程与摆线，摆线可以利用 向量方法通过参数方程表示出。 因此本专题可以看成是 “解析几何初步”“平面向量”“三角函数”等内容的综 合应用和进一步深化。 本专题首先介绍了曲线的一般表 示方法，阐述了坐标系的类型和曲线方程的表现形式。 这些内容是“解析几何初步”等内容的补充和完善，也 是摆线内容的必备基础。通过对本专题的学习，学生将 掌握参数方程的基本概念，了解曲线的表现形式，体会 从实际问题中抽象出 数学问题的过程， 培养探究数学问 题的兴趣和能力。 通过对天体轨道方程的学习和对摆线 应用的了解，学生将体会到数学在实际中的应用价值， 提高应用意识和实践能力。通过对摆线的探索，学生将 树立辨证统一的观点，提高数学抽象能力，发展创新精 神。
F(x, y)0：在消参过程中注意变量x、y取值范围的一致性， 必须根据参数的取值 范围，确定f(t)和g(t)值域得x、y的取 值范围。
四、典例精讲
复习 旧知，
为新 知做 铺垫。
培养 学生 阅读 的习 惯，根
据自 己的 理解 回答 问题。
根据 学生 自学，
引导 学生 掌握 两种 消参 方法。
例1
例题 讲解，
1.在解 方程组中通常用的消元方 法有哪些？
2.如何将 参数方程 化为普通方 程？
3.消参常见的有哪些方法？
4.消参过程中要注意的问题？ 三、新课讲解
1、参数方程化为普通方程的过程就 是消参过程常见方法有两种： (1)代数法： 代入法和加减法 (2)三角法： 利用三角恒等式消去参数
化参数方程为普通方程为
板书设计
一、方法
参数方程化为普通方程
二、例题
教学反思
学生在做练习时反映出的思维比较的缓慢及无法 进行有效的思考的问题。 从课堂的效果来 看学生对运算 的熟练程度还不够，一定程度上存在很大的惰性，不愿 动笔的问题存在， 有待于在以后的教学中督促学生加强 动笔的频率，减少惰性。
备注
无
教学重难点
教学重点 参数方程化为普通方程的消参方法。
教学难点 参数方程与普通方程 的等价性(即x、y的范 围)。
教法 与
学法
讲练结合法
练习巩固法
教学资源
教学活动设计
师生活动
设计 意图
批 注
一、复习引入：
1、直线的参数方程；
2、圆 的参数方程； 二、自主学习
自学教材第40页——42页，思考 下列问题：
将参数方程
1
x1
x1t（t为参数，t0）化
让学 生加
y1t2
深所
为普通方程。
学知 识。
x 3t1
例2、将参数方程x 3t31(t为参数)化
y t3
为普通方程。
x13t例3、将参数方程xy2143tt(t为参数)化
为普通方程。
例4、将参数方程xy54csoins(为参数)
化为普通方
五、课时小结:参数方程化为普通范围的一致性必须根据参数的取值范围确定的取值范围当堂检测有效练课本练习作业布置板书设计一方法参数方程化为普通方程二例题教学反思学生在做练习时反映出的思维比较的缓慢及无法进行有效的思考的问题
教学设计
课题
授课人
课时安排
1课 复习 型
授课时 间
课标依据
参数方程对于解决实际问题具有重要意义。 本专题 将介绍参数方程的基本概念， 给出参数方程的一个重要 实例——摆线。摆线是一类十分重要的曲线，可以分为 平摆线、圆摆线、渐开线三大类。我们常见的大部分曲 线都可以看成是摆线的特例，如星形线、心脏线、阿基 米德螺线、玫瑰线等等。摆线也是很有用的一类曲线,如最速降线就是平摆线； 工厂中常用的齿轮通常是渐开 线或圆摆线；公共汽车的两折门利用了星形线的原理。 再如像收割机、 翻土机等许多农业机械和工厂中的车床 等,大都采用的是摆线原理。 而且，摆线在天文中也有重 要应用，行星相对地球的轨迹、月亮相对太阳的轨迹都 可以看作是摆线。
学情分析
学生整体上上课较认真，但上课发言不够积极， 大 部分的学生的理解能力和接受能力不尽人意， 学习成绩 也不稳定。
三维目标
知识与能力 了解参数方程与普通方程互化的必要性.掌握参数 方程化为普通方程几种基本方法；
过程与方法
选取适当的方法化参数方程为普通方程；
情感态度与价值观 通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意 识。