大地测量学基础公式
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大地测量学基础-10-2
a 1 1 f SctgA -SctgB aa 1 1 af SctgA -SctgB
2
ff
( SctgA) 2
( SctgB) 2
1
0
1
3
0
S(ctgActgB)
0
S 2 (ctgA) 2 (ctgB) 2
控 制 测 量 学
华 北 科 技 学 院
1 1 2 2 2 2 S (ctgA) (ctgB) S (ctgA ctgB) 2 PS 3 2 2 S (ctgA) 2 (ctgB) 2 ctgActgB 3
i
b v
wb 0
rv w
i i 1 n r
0
第二组条件式
控 制 测 量 学
华 北 科 技 学 院
v
1
n
i i
w 0
v
1
n
i i
w 0
推算元素F是观测元素平差值的函数，其一般形 式：
F (l1 v1 , l 2 v2 ,, l n vn )
(2-35)
式中：n—边数，L—导线全长，S—平均边长，— 测边中误差，λ —测边系统误差，—测角中误 差，—AB边长的中误差，—起始方位角的中误差。 华 由公式得出结论：P43 北 科 技 学 院
控 制 测 量 学
华 北 科 技 学 院
2 附合导线平差后的各边方位角中误差 任意一条附合导线应满足三个条件,即坐标方 位角条件、纵横坐标条件。采用两组平差，坐标方 位角条件为第一组，将方位角闭合差分配至各转折 角上，即完成第一组平差，然后改化第二组纵横坐 标条件，有：
2
2
Af Bf P P 1 AA BB P P 1
2
ff
( SctgA) 2
( SctgB) 2
1
0
1
3
0
S(ctgActgB)
0
S 2 (ctgA) 2 (ctgB) 2
控 制 测 量 学
华 北 科 技 学 院
1 1 2 2 2 2 S (ctgA) (ctgB) S (ctgA ctgB) 2 PS 3 2 2 S (ctgA) 2 (ctgB) 2 ctgActgB 3
i
b v
wb 0
rv w
i i 1 n r
0
第二组条件式
控 制 测 量 学
华 北 科 技 学 院
v
1
n
i i
w 0
v
1
n
i i
w 0
推算元素F是观测元素平差值的函数，其一般形 式：
F (l1 v1 , l 2 v2 ,, l n vn )
(2-35)
式中：n—边数，L—导线全长，S—平均边长，— 测边中误差，λ —测边系统误差，—测角中误 差，—AB边长的中误差，—起始方位角的中误差。 华 由公式得出结论：P43 北 科 技 学 院
控 制 测 量 学
华 北 科 技 学 院
2 附合导线平差后的各边方位角中误差 任意一条附合导线应满足三个条件,即坐标方 位角条件、纵横坐标条件。采用两组平差，坐标方 位角条件为第一组，将方位角闭合差分配至各转折 角上，即完成第一组平差，然后改化第二组纵横坐 标条件，有：
2
2
Af Bf P P 1 AA BB P P 1
(完整word版)大地测量学基础
大地测量学基础一、大地测量的基本概念1、大地测量学的定义它是一门量测和描绘地球表面的科学。
它也包括确定地球重力场和海底地形。
也就是研究和测定地球形状、大小和地球重力场，以及测定地面点几何位置的学科。
测绘学的一个分支。
主要任务是测量和描绘地球并监测其变化,为人类活动提供关于地球的空间信息。
是一门地球信息学科。
是一切测绘科学技术的基础.测绘学的一个分支。
研究和测定地球形状、大小和地球重力场,以及测定地面点几何位置的学科.大地测量学中测定地球的大小，是指测定地球椭球的大小；研究地球形状，是指研究大地水准面的形状;测定地面点的几何位置，是指测定以地球椭球面为参考的地面点的位置。
将地面点沿法线方向投影于地球椭球面上，用投影点在椭球面上的大地纬度和大地经度表示该点的水平位置，用地面点至投影点的法线距离表示该点的大地高程。
这点的几何位置也可以用一个以地球质心为原点的空间直角坐标系中的三维坐标来表示。
大地测量工作为大规模测制地形图提供地面的水平位置控制网和高程控制网,为用重力勘探地下矿藏提供重力控制点，同时也为发射人造地球卫星、导弹和各种航天器提供地面站的精确坐标和地球重力场资料. 内容和分支学科解决大地测量学所提出的任务，传统上有两种方法:几何法和物理法。
随着20世纪50年代末人造地球卫星的出现，又产生了卫星法。
所以现代大地测量学包括几何大地测量学、物理大地测量学和卫星大地测量学3个主要部分。
几何法是用一个同地球外形最为接近的几何体（即旋转椭球，称为参考椭球）代表地球形状，用天文大地测量方法测定这个椭球的形状和大小，并以它的表面为基础推算地面点的几何位置。
物理法是从物理学观点出发研究地球形状的理论。
用一个同全球平均海水面位能相等的重力等位面（大地水准面)代表地球的实际形状,用地面重力测量数据研究大地水准面相对于地球椭球面的起伏。
卫星法是利用卫星在地球引力场中的轨道运动，从尽可能均匀分布在整个地球表面上的十几个至几十个跟踪站,观测至卫星瞬间位置的方向、距离或距离差。
大地测量学基础公式
十八、地面观测方向归算至椭球面的三差改正
1、垂线偏差改正
2、标高差改正
3、截面差改正
十九、地面观测距离归算至椭球面的三项改正
1、斜改平
2、平改弦
3、弦化弧
二十、精密水准测量观测高差的四项改正
1、水准标尺每米长度误差的改正 (mm)
2、正常水准面不平行的改正(mm)
3、水准路线闭合差改正(mm)
4、重力异常改正(mGal)
3°带： (四舍五入),L0=3N
⑷ 提供国家统一坐标系
X = x ,
十五、三个重要定理
1、计算正常重力的克莱劳定理：
2、大地线的克莱劳定理：rsinA=C
在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈半径与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积等于常数。rsinA=C，式中常数C也叫大地线常数。
3、球小三角形面计算的勒让德尔定理：
1、经典定义
精确测定地面点的位置（测定和描绘地球表面的科学），研究地球形状、大小和地球外部重力场的一门科学。
2、现代定义
精确测定地面点的空间位置，研究如何确定地球形状、大小和地球外部重力场的精细结构及重力场随时间的变化，探索地球动力学的一门科学。
一、大地测量学的作用：
1、大地测量学是一切测绘科学技术的基础，在国民经济建设和社会发展中发挥着决定性的基础保证作用
2、大地测量学在防灾，减灾，救灾及环境监 测、评价与保护中发挥着独具风貌的特殊作用
3、大地测量是发展空间技术和国防建设的重要保障
4、大地测量在当代地球科学研究中的地位显得越来越重要
二、大地测量学的发展阶段
1、地球圆球阶段
2、地球椭球阶段
3、大地水准面阶段
4、现代大地测量新时期
三、椭球参数：
1、垂线偏差改正
2、标高差改正
3、截面差改正
十九、地面观测距离归算至椭球面的三项改正
1、斜改平
2、平改弦
3、弦化弧
二十、精密水准测量观测高差的四项改正
1、水准标尺每米长度误差的改正 (mm)
2、正常水准面不平行的改正(mm)
3、水准路线闭合差改正(mm)
4、重力异常改正(mGal)
3°带： (四舍五入),L0=3N
⑷ 提供国家统一坐标系
X = x ,
十五、三个重要定理
1、计算正常重力的克莱劳定理：
2、大地线的克莱劳定理：rsinA=C
在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈半径与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积等于常数。rsinA=C，式中常数C也叫大地线常数。
3、球小三角形面计算的勒让德尔定理：
1、经典定义
精确测定地面点的位置（测定和描绘地球表面的科学），研究地球形状、大小和地球外部重力场的一门科学。
2、现代定义
精确测定地面点的空间位置，研究如何确定地球形状、大小和地球外部重力场的精细结构及重力场随时间的变化，探索地球动力学的一门科学。
一、大地测量学的作用：
1、大地测量学是一切测绘科学技术的基础，在国民经济建设和社会发展中发挥着决定性的基础保证作用
2、大地测量学在防灾，减灾，救灾及环境监 测、评价与保护中发挥着独具风貌的特殊作用
3、大地测量是发展空间技术和国防建设的重要保障
4、大地测量在当代地球科学研究中的地位显得越来越重要
二、大地测量学的发展阶段
1、地球圆球阶段
2、地球椭球阶段
3、大地水准面阶段
4、现代大地测量新时期
三、椭球参数：
大地测量学基础
3．定义一个空间直角坐标系必须明确： ①原点位置；②坐标轴方向；③长度单位。
2020年10月28日星期三12时57分11秒
（一）天球坐标系
1.天球的基本概念： 天球、天极、天球赤道、天球子午圈、 时圈、黄道、黄赤交角、春分点、黄极、 岁差与章动 2.天球坐标系的建立 1）天球空间直角坐标系 2）天球球面坐标系
第二章 大地测量基础知识
§2-1 大地测量的基准面和基准线 一、水准面与大地水准面
1、水准面 我们把重力位相等的面称为重力等位面，也就 是我们通常所说的水准面。水准面有无数个。 1）水准面具有复杂的形状。 2）水准面相互既不能相交也不能相切。
2020年10月28日星期三12时57分11秒
3）每个水准面都对应着唯一的位能W=C=常 数，在这个面上移动单位质量不做功，亦即所做 的功等于0，即dW=-gsds，可见水准面是均衡面。
2020年10月28日星期三12时57分11秒
天球基本概念（1）
天球：我们 把以地球M 为中心，以 无穷远的距 离为半径所 形成的球称 作天球。
天极：地球自
转的中心轴线 简称地轴，将 其延伸就是天 轴，天轴与天 球的交点称为 天极，Pn在北 称作北天极， PS，在南称作
南天极。
天球赤道：
通过地球质心 M与地轴垂直 的平面称为天 球赤道面，天 球赤道面与天 球相交的大圆 就称为天球赤 道。
N2d min
2020年10月28日星期三12时57分11秒
4、但对于天文大地测量及大地点坐标的推算， 对于国家测图及区域绘图来说，往往采用其大小 及定位定向最接近于本国或本地区的地球椭球。 这种最接近，表现在两个面最接近即同点的法线 和垂线最接近。所有地面测量都依法线投影在这 个椭球面上，我们把这样的椭球叫参考椭球。
2020年10月28日星期三12时57分11秒
（一）天球坐标系
1.天球的基本概念： 天球、天极、天球赤道、天球子午圈、 时圈、黄道、黄赤交角、春分点、黄极、 岁差与章动 2.天球坐标系的建立 1）天球空间直角坐标系 2）天球球面坐标系
第二章 大地测量基础知识
§2-1 大地测量的基准面和基准线 一、水准面与大地水准面
1、水准面 我们把重力位相等的面称为重力等位面，也就 是我们通常所说的水准面。水准面有无数个。 1）水准面具有复杂的形状。 2）水准面相互既不能相交也不能相切。
2020年10月28日星期三12时57分11秒
3）每个水准面都对应着唯一的位能W=C=常 数，在这个面上移动单位质量不做功，亦即所做 的功等于0，即dW=-gsds，可见水准面是均衡面。
2020年10月28日星期三12时57分11秒
天球基本概念（1）
天球：我们 把以地球M 为中心，以 无穷远的距 离为半径所 形成的球称 作天球。
天极：地球自
转的中心轴线 简称地轴，将 其延伸就是天 轴，天轴与天 球的交点称为 天极，Pn在北 称作北天极， PS，在南称作
南天极。
天球赤道：
通过地球质心 M与地轴垂直 的平面称为天 球赤道面，天 球赤道面与天 球相交的大圆 就称为天球赤 道。
N2d min
2020年10月28日星期三12时57分11秒
4、但对于天文大地测量及大地点坐标的推算， 对于国家测图及区域绘图来说，往往采用其大小 及定位定向最接近于本国或本地区的地球椭球。 这种最接近，表现在两个面最接近即同点的法线 和垂线最接近。所有地面测量都依法线投影在这 个椭球面上，我们把这样的椭球叫参考椭球。
大地测量学基础
法线Pn在赤道两侧的长度
（二）子午平面坐标系同大地坐标系及归化坐标系
2、子午平面直角坐标系同归化纬度坐标系的关系
x a cos u y bsin u
（三） 空间直角坐标同子午面直角坐标系的关系
X x cosL Y x sin L Zy
（四）空间直角坐标系同大地坐标系的关系
如果P点在椭球面上
3.3 高程系统概论
3.3.４ 国家高程基准
二、水准原点
我国的水准原点网建于青岛附 近，其网点设置在花岗石基岩上。 水准原点网由主点——原点、参 考点和附点共6个点组成。
1985国家高程基准系统水准原 点的高程为72．260m。
1956年黄海高程系统水准原点 的高程为72．289m。
二、水准原点
二、 参考椭球定位与定向的实现方法
建立地球参心坐标系，需进行如下几个方面的 工作：
①选择或求定椭球的几何参数(长半径a和扁率) ②确定椭球中心的位置(椭球定位) ②确定椭球短轴的指向(椭球定向) ④建立大地原点
二、 参考椭球定位与定向的实现方法
1.椭球参数： 一般可选择IUGG推荐的国际椭球参数
代入 Z
Y X
（四）空间直角坐标系同大地坐标系关系
如果P点不在椭球面上，设大地高为H，P点在椭球面上投影为P0
（四）空间直角坐标系同大地坐标系的关系
大地经度 大地纬度 大地高
（五）坐标系换算 1、欧勒角与旋转矩阵
欧勒角：直角坐标系进行相互变 换的旋转角。对于两个二维直角 坐标系旋转，有转换关系：
3.3 高程系统概论
3.3.1 一般说明
如图设由O－A－B路线用水准测量方法得到B点的高程
由O－N－B线路得到B点高程
理论闭合差:由于水准面不平行， 和
（二）子午平面坐标系同大地坐标系及归化坐标系
2、子午平面直角坐标系同归化纬度坐标系的关系
x a cos u y bsin u
（三） 空间直角坐标同子午面直角坐标系的关系
X x cosL Y x sin L Zy
（四）空间直角坐标系同大地坐标系的关系
如果P点在椭球面上
3.3 高程系统概论
3.3.４ 国家高程基准
二、水准原点
我国的水准原点网建于青岛附 近，其网点设置在花岗石基岩上。 水准原点网由主点——原点、参 考点和附点共6个点组成。
1985国家高程基准系统水准原 点的高程为72．260m。
1956年黄海高程系统水准原点 的高程为72．289m。
二、水准原点
二、 参考椭球定位与定向的实现方法
建立地球参心坐标系，需进行如下几个方面的 工作：
①选择或求定椭球的几何参数(长半径a和扁率) ②确定椭球中心的位置(椭球定位) ②确定椭球短轴的指向(椭球定向) ④建立大地原点
二、 参考椭球定位与定向的实现方法
1.椭球参数： 一般可选择IUGG推荐的国际椭球参数
代入 Z
Y X
（四）空间直角坐标系同大地坐标系关系
如果P点不在椭球面上，设大地高为H，P点在椭球面上投影为P0
（四）空间直角坐标系同大地坐标系的关系
大地经度 大地纬度 大地高
（五）坐标系换算 1、欧勒角与旋转矩阵
欧勒角：直角坐标系进行相互变 换的旋转角。对于两个二维直角 坐标系旋转，有转换关系：
3.3 高程系统概论
3.3.1 一般说明
如图设由O－A－B路线用水准测量方法得到B点的高程
由O－N－B线路得到B点高程
理论闭合差:由于水准面不平行， 和
《大地测量》PPT课件
关键：
确定球面元素与椭球面元素的关系，即它们间的投影关系。
14
2、贝塞尔大地投影
(2) 贝塞尔大地投影的条件： ①球面上点的球面纬度等于椭球面上相应点的归化纬度。 ②椭球面上两点间的大地线投影到辅助球面上为大圆弧。 ③大地方位角投影后保持不变。
15
2、贝塞尔大地投影
证明 2 A2 在球面三角形 P1P2N 中，正弦定理得：
ds M dB
d du
ds N cos B dl
d
cosu d
M
a(1 e2 ) W3
V3
a 1 e2
dB du
W3 V2 1 e2
1 e2
N a W
cosB W cosu
ds
a V
d
dl
1 V
d
19
3、贝塞尔微分方程
ds
a V
d
dl
1 V
d
cosu 1 cos B 1 cos B
sin
B
1 V
sin
B
tan u 1 e2 tan B dB V 2 1 e2
du
W tan B V
13
2、贝塞尔大地投影
（1） 基本原理（Basic Principles） 建立以椭球中心为中心，以任意长（或单位长）为半径的辅助
球，按以下三个步骤计算。 第一， 按一定条件将椭球面元素投影到辅助球面上。 第二， 在球面上解算大地问题。 第三， 将求得的球面元素按投影关系换算到相应的椭球元素。2 180 A1
s sin A tgB ds 0N
dL
sin A N
sec
B
ds
dB
cos A M
ds
确定球面元素与椭球面元素的关系，即它们间的投影关系。
14
2、贝塞尔大地投影
(2) 贝塞尔大地投影的条件： ①球面上点的球面纬度等于椭球面上相应点的归化纬度。 ②椭球面上两点间的大地线投影到辅助球面上为大圆弧。 ③大地方位角投影后保持不变。
15
2、贝塞尔大地投影
证明 2 A2 在球面三角形 P1P2N 中，正弦定理得：
ds M dB
d du
ds N cos B dl
d
cosu d
M
a(1 e2 ) W3
V3
a 1 e2
dB du
W3 V2 1 e2
1 e2
N a W
cosB W cosu
ds
a V
d
dl
1 V
d
19
3、贝塞尔微分方程
ds
a V
d
dl
1 V
d
cosu 1 cos B 1 cos B
sin
B
1 V
sin
B
tan u 1 e2 tan B dB V 2 1 e2
du
W tan B V
13
2、贝塞尔大地投影
（1） 基本原理（Basic Principles） 建立以椭球中心为中心，以任意长（或单位长）为半径的辅助
球，按以下三个步骤计算。 第一， 按一定条件将椭球面元素投影到辅助球面上。 第二， 在球面上解算大地问题。 第三， 将求得的球面元素按投影关系换算到相应的椭球元素。2 180 A1
s sin A tgB ds 0N
dL
sin A N
sec
B
ds
dB
cos A M
ds
测量学坐标计算公式表
测量学坐标计算公式表在测量学中，坐标计算是一项基础而重要的任务。
通过测量物体的位置和形状，我们可以获得其准确的坐标信息，从而帮助我们进行进一步的分析和应用。
本文将介绍一些常用的测量学坐标计算公式，以帮助读者更好地理解和应用这些公式。
1. 二维坐标计算公式1.1. 距离公式测量学中最基础的公式之一是计算两点之间的距离。
对于平面坐标系中的两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们之间的距离d可以通过以下公式计算：d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)1.2. 中点公式中点公式用于计算两个点的中点坐标。
对于平面坐标系中的两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们的中点坐标M(x, y)可以通过以下公式计算：x = (x1 + x2) / 2y = (y1 + y2) / 21.3. 角度公式计算两条线段之间的夹角也是测量学中常见的任务。
对于平面坐标系中的两条线段AB和AC，它们之间的夹角θ可以通过以下公式计算：θ = arccos((AB · AC) / (|AB| * |AC|))其中，AB · AC表示向量的点乘，|AB|和|AC|表示向量的模。
2. 三维坐标计算公式在三维空间中，坐标计算稍微复杂一些。
下面介绍一些常见的三维坐标计算公式。
2.1. 距离公式与二维情况类似，计算三维空间中两点之间的距离也是一项基本的测量任务。
对于坐标系中的两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，它们之间的距离d可以通过以下公式计算：d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)2.2. 中点公式与二维情况类似，计算三维空间中两个点的中点也是常见的测量任务。
对于坐标系中的两个点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，它们的中点坐标M(x, y, z)可以通过以下公式计算：x = (x1 + x2) / 2y = (y1 + y2) / 2z = (z1 + z2) / 22.3. 体积公式测量物体的体积是一项常见的任务。
大地测量学基础ppt课件
处处与重力方向相切的曲线称为力线。力线与所有水准 面都正交，彼此不平行是空间曲线。
3
二、大地水准面
与平均海水面相重合，不受潮汐、风浪及大气压变化影响， 并延伸到大陆下面处处与铅垂线相垂直的水准面称为大地水 准面，由它包围的形体称为大地体，可近似地把它看成是地 球的形状。
我国曾规定采用青岛验潮站求得的1956年黄海平均海水面 作为我国统一高程基准面，1988年改用“1985国家高程基准” 作为高程起算的统一基准。
Z轴：与地球平均自转轴相 重合，亦即指向某一时刻的平 均北极点。
X轴：指向平均自转轴与平 均格林尼治天文台所决定的子 午面与赤道面的交点。
16
五、天文坐标系
1）天文坐标系是以铅垂线为依 据建立起来的。
2）一点的坐标用天文经度 及
天文纬度 表示。
3）所谓天文纬度是P点的铅垂线 与地球赤道面形成的锐角，
A、B两点平均高度(可用近似值代替)
(g
m o
)m
H AB
是ＡＢ路线上的正常重力
42
3.3 高程系统概论
3.3.４ 国家高程基准 一、高程基准面
1956年黄海高程系统：1957年确定青岛验潮站为我国 基本验潮站，该站1950年至1956年7年间的潮汐资料推求 的平均海水面作为我国的高程基准面。
正常重力并不顾及地球内部质量和密度分布的不规 则，而仅仅与纬度有关，其计算公式为：r＝r0－ 0.3086H
(r0:平均椭球面上的重力值）
6
四、 正常椭球和水准椭球 总地球椭球和参考椭球
正常椭球的定位和定向：
其中心和地球质心重合 其短轴与地轴重合 起始子午面与起始天文子午面重合
39
3
二、大地水准面
与平均海水面相重合，不受潮汐、风浪及大气压变化影响， 并延伸到大陆下面处处与铅垂线相垂直的水准面称为大地水 准面，由它包围的形体称为大地体，可近似地把它看成是地 球的形状。
我国曾规定采用青岛验潮站求得的1956年黄海平均海水面 作为我国统一高程基准面，1988年改用“1985国家高程基准” 作为高程起算的统一基准。
Z轴：与地球平均自转轴相 重合，亦即指向某一时刻的平 均北极点。
X轴：指向平均自转轴与平 均格林尼治天文台所决定的子 午面与赤道面的交点。
16
五、天文坐标系
1）天文坐标系是以铅垂线为依 据建立起来的。
2）一点的坐标用天文经度 及
天文纬度 表示。
3）所谓天文纬度是P点的铅垂线 与地球赤道面形成的锐角，
A、B两点平均高度(可用近似值代替)
(g
m o
)m
H AB
是ＡＢ路线上的正常重力
42
3.3 高程系统概论
3.3.４ 国家高程基准 一、高程基准面
1956年黄海高程系统：1957年确定青岛验潮站为我国 基本验潮站，该站1950年至1956年7年间的潮汐资料推求 的平均海水面作为我国的高程基准面。
正常重力并不顾及地球内部质量和密度分布的不规 则，而仅仅与纬度有关，其计算公式为：r＝r0－ 0.3086H
(r0:平均椭球面上的重力值）
6
四、 正常椭球和水准椭球 总地球椭球和参考椭球
正常椭球的定位和定向：
其中心和地球质心重合 其短轴与地轴重合 起始子午面与起始天文子午面重合
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Mm + mω 2 ρ 2 r
γ 0 = γ e (1 + β sin 2 B − β1 sin 2 2 B)
大地高与正常重力的关系： γ = γ 0 − 0.3086H 六、力位 1、重力位 w（引力位 V、离心力位 Q）
W =V +Q =
∫
M
dm ω 2 2 + (x + y2 ) r 2
2、正常重力位
∂l M ∂B = ∂y r ∂x 反算条件： ∂B r ∂l =− ∂y M ∂x
八、大地线：椭球面上两点间的最短程曲线叫大地线。 大地线： 九、五种曲率半径 子午圈曲率半径
M =− N= a W
a (1 − e2 ) W3
卯酉圈曲率半径
任意法截弧的曲率半径
RA =
N MN = 2 2 1 + η cos A N cos A + M sin 2 A
α=
e=
a −b a
椭球的第一偏心率
a2 − b2 a a 2 − b2 b
椭球的第二偏心率
e' =
极曲率半径
a2 c= b d= b2 a
赤道子午曲率半径
辅助量
t = tan B,η 2 = e '2 cos 2 B
W = 1 − e 2 sin 2 B V = 1 + e'2 cos 2 B
b a d W e 1 = = = = '= = 1 − α = 1 − e2 '2 a c b V e 1+ e
2
平均曲率半径 平行圈曲率半径
R = MN
r = N cos B
R=
b c N a = 2 = = 2 1 − e2 2 W V V W
N >R>M
N 90 = R90 = M 90 = c （c=a2/b）
十、地球自转的三个变化 1、地轴方向相对于空间的变化（岁差和章动） 2．地轴相对于地球本体内部结构的相对位置变化（极移） 3. 地球自转速度变化（日长变化）
二十四、 二十四、计算与改正 1、两种弧长计算 子午弧长计算
X = ∫ MdB
0
B
平行圈弧长计算
S = N cos B
l" = bl" ρ" 1
二十五、建立大地坐标系 二十五、建立大地坐标系 的四个内容 ① ② ③ ④ 确定椭球的几何参数(长半径 a 和扁率α ) 确定椭球中心的位置(椭球定位) 确定椭球短轴的指向(椭球定向) 建立大地原点
1 gdh gm ∫ 1 gdh rm ∫
2、正常高高程系统及正常高： H 常 =
3、力高高程系统及力高： H 力 = 4、大地高： H 大 = H 正高 + N 5、正高与正常高的的关系
B H正 =
1 gdh r45 ∫
H 大 = H 正常 +ζ
1 B gm
∫
OAB
gdh
B H常 =
1
B γm
∫ gdh
x = N cos B
y = N (1 − e2 ) sin B
y = ρ sin u
2 子午平面坐标系同归化坐标系的关系
x = ρ cos u
3 大地坐标系同空直坐标系的关系 x= NcosBcosL y= NcosBsinL 4 大地坐标系同天文坐标系的关系 B=φ-ξ L=λ-ηsecφ A=α-(λ-L)sinφ
相互关系
2)基本大地数据(IAG－75 椭球） 地球椭球长半径 a =6 378 140 m 地球地心引力常数
GM =3.986 005×1014 m3s-2 J2 =1.082 63× 10-3
地球外部重力场二阶带球谐系数
地球自转角速度 ω=7.292 115 × 10-5 rad/s 四、椭球 正常椭球面 是大地水准面的规则形状（一般指旋转椭球面）。因此引入正常椭球后，地球重力 位被分成正常重力位和扰动位两部分，实际重力也被分成正常重力和重力异常两部分。 总的地球椭球： 一个和整个大地体最为密合的。 总地球椭球中心和地球质心重合， 总的地球椭球的短轴 与地球地轴相重合， 起始大地子午面和起始天文子午面重合， 总地球椭球和大地体最为密合。 参考椭球： 其大小及定位定向最接近于本国或本地区的地球椭球。这种最接近，表现在两个面最 接近及同点的法线和垂线最接近。 作用： 1）代表地球的数学曲面； 2）大地测量内业计算的基准面； 3）研究大地水准面形状的基准面； 4）地图投影的参考面。 五、六种时间系统 恒星时：以春分点为基本参考点，由春分点周日视运动确定的时间，称为恒星时。 世界时：以格林尼治子夜起算的平太阳时称为世界时。 历书时：自 1960 年起开始以地球公转运动为基准的历书时来量度时间，用历书时系统代替 世界时。 原子时(AT)： 原子时是一种以原子谐振信号周期为标准，并对它进行连续计数的时标。 协调世界时：为了保证时间与季节的协调一致，便于日常使用，建立了以原子时秒长为计量 单位、在时刻上与平太阳时之差小于 0.9 秒的时间系统，称为世界协调时(UTC)。 GPST：GPS 的时间系统采用基于美国海军观测实验室(USNO)维持的原子时，它与 UTC 的关 系 GPST=UTC+n 六、重力和正常重力 1、重力 g（引力 F、离心力 P） g = v + p = f 2、正午面直角坐标系 （L，x , y) 大地坐标系 (B , L , H) 空间直角坐标系 (x , y , z) 高斯平面直角坐标系 (x , y) 另还有大地极坐标系（S，A）、站心坐标系(x , y , z)等坐标系。 二十七、 二十七、六种坐标转换 1 子午平面坐标系同大地坐标系的关系
2、大地线的克莱劳定理：rsinA=C
在旋转椭球面上， 大地线各点的平行圈半径与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积等于 常数。rsinA=C，式中常数 C 也叫大地线常数。 3、球小三角形面计算的勒让德尔定理： 如果平面三角形和球面三角形的对应边相等， 则平面角等于对应球面角减去三分之一的求买 内角超，就可把球面三角形化为平面三角形来计算。 十六、 十六、电磁波测距的三种误差 1、固定误差：加常数误差 2、比例误差：真空光速值误差，频率误差，大气折射误差； 3、其他误差： 测相误差，对中误差，归心误差等， 周期误差（既不是固定误差，也不是比例误差）。 十七、 十七、水准测量的三种误差来源 1、仪器误差： i 角误差，交叉误差，水准标尺长度误差，基辅差（尺子常数），单水准标尺的 零点误差；一副水准标尺的零点差； 2、外界因素引起的误差： 温度变化对 I 叫的影响，仪器和水准标尺的垂直位移，大气垂直折光，地球磁场的影 响； 3、观测误差： 精密水准测量的观测误差， 主要有水准器气泡居中的误差， 照准水准标尺上分划的误差和读 数误差 十八、 十八、地面观测方向归算至椭球面的三差改正 1、垂线偏差改正 2、标高差改正 3、截面差改正 十九、 十九、地面观测距离归算至椭球面的三项改正 1、斜改平 2、平改弦 3、弦化弧 二十、 二十、精密水准测量观测高差的四项改正 1、水准标尺每米长度误差的改正 (mm) 2、正常水准面不平行的改正(mm)
q U = a[1 − ( µ + ) cos 2 θ ] 2
七、二个微分方程 二个微分方程 1、大地线微分方程：
dB =
cos A dS M
dL =
sin A dS N cos B
dA =
sin A tan BdS N
2、柯西-黎曼条件
∂y r ∂x = ∂l M ∂B 正算条件： ∂x r ∂y =− ∂l M ∂B
x=a0+∑a2nl2n y=∑a2n-1l2n-1
n=1,2,3…
b 正形条件，得到递推函数
mk = (−1) k −1
1 N cos B d M k −1 ⋅ k M dB
k=1,2,3…
c.正长条件。M0=X ,
d M k −1 dB
=M
d.将系数代入基本函数式,得高斯投影正算公式 ⑵ 结论公式 ⑶ 计算带号和中央子午线 6°带:
十一、 十一、高斯投影的三个条件 （1)投影具有正形性质，即正形投影条件
(2)中央子午线投影后为直线,且为投影点的对 称轴，即对称条件； (3)中央子午线投影后长度不变，即正长条件。 十二、 十二、高斯投影正反算公式的几何解释 1、同纬度的各点中底点的 x 最小 2、同 x 的各点中底点的纬度最高 十三、高斯投影坐标正算公式的三个特点 十三、高斯投影坐标正算公式的三个特点 (1) 当 l 等于常数时，随着 B 的增加 x 值增大，y 值减小；又因，所以无论 B 值为正或负， y 值不变。 (2)当 B 等于常数时，随着 l 的增加，x 值和 y 值都增大。所以在椭球面上对称于赤道的纬 圈，投影后仍成为对称的曲线，同时与子午线的投影曲线互相垂直凹向两极。 (3)距中央子午线愈远的子午线，投影后弯曲愈厉害，长度变形也愈大。 十四、 十四、大地坐标系与高斯平面坐标系的关系 ⑴ 推导思想 a 对称性—基本公式
∑δ
f
= f ∑h
m
ε = −0.0000015395 × sin 2φ × ∆φ ' H m
vi = −
3、水准路线闭合差改正(mm) 4、重力异常改正(mGal)
w = H n − H 0 + ∑ h' + ∑ ε
∑s
si
w
二十一、 二十一、地面观测方向化至高斯平面的五项改正 1、归心改正 2、地面观测方向化至椭球面的三差改正 3、椭球面方向化至高斯平面的方向改化 二十二、 二十二、地面观测距离化至高斯平面的十项改正 1、观测距离化算到标石中心（6 项) 气象改正；仪器加常数；乘常数改正；波道曲率改正；归心改正；周期误差改正 2、标石中心化至椭球面 (3 项) 3、椭球面化至高斯平面（1 项） 距离改化 二十三、 二十三、四种高程系统 1、正高高程系统及正高： H 正 =