【23份】2016版高考数学大二轮总复习(全国通用 理科)配套课件：专题1-8 共1082张PPT
3 1 (2)设集合 M＝{x|m≤x≤m＋ }，N＝{x|n－ ≤x≤n}，且 M， 4 3 N 都 是 集 合 {x|0≤x≤1} 的 子 集 ， 如 果 把 b － a 叫 做 集 合 {x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合 M∩N 的“长度”的最小 值是(
1 A.3
)
2 B.3 1 C.12 5 D.12
D.(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S
1 2 3 4
解析 因为(x，y，z)和(z，w，x)都在S中， 不妨令x＝2，y＝3，z＝4，w＝1， 则(y，z，w)＝(3,4,1)∈S，(x，y，w)＝(2,3,1)∈S， 故 (y ， z ，w)∉ S， (x， y ，w)∉ S的说法均错误，可以排除选
项A、C、D，故选B.
答案 B
考情考向分析
1.集合是高考必考知识点，经常以不等式解集、函数的 定义域、值域为背景考查集合的运算，近几年有时也会 出现一些集合的新定义问题. 2.高考中考查命题的真假判断或命题的否定，考查充要 条件的判断.
热点分类突破 热点一 集合的关系及运算
1.集合的运算性质及重要结论
答案 C
思维升华
(1)集合的关系及运算问题，要先对集合进行化简，然 后可借助Venn图或数轴求解.
(2)对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探
究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行
求解，也可利用特殊值法进行验证.
跟踪演练1 A.0
(1)设集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x
1 2 3 4
4.设整数n≥4，集合X＝{1,2,3，„，n}，令集合S＝{(x，y， z)|x，y，z∈X，且三条件x<y<z，y<z<x，z<x<y恰有一个成立}. 若(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，则下列选项正确的是( A.(y，z，w)∈S，(x，y，w)∉S B.(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S C.(y，z，w)∉S，(x，y，w)∈S )
(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.
(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.
(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U. (4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.
2.集合运算中的常用方法
(1)若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；
(2)若已知的集合是点集，用数形结合法求解；
3 2 1 此时集合 M∩N 的“长度”的最小值为4－3＝12.
故选C. 答案 C
热点二 四种命题与充要条件 1.四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命 题同真同假. 2.若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若 p⇔q， 则p，q互为充要条件.
专题一
集合与常用逻辑用语、不等式
第 1讲 集合与常用逻辑用语
栏目索引
高考真题体验 热点分类突破 高考押题精练
高考真题体验
1 2 3 4
1.(2015· 陕西 ) 设集合 M ＝ {x|x2 ＝ x} ， N ＝ {x|lg x≤0} ，则
M∪N等于( A )
A.[0,1] C.[0,1) B.(0,1] D.(－∞，1]
(2) 对于非空集合 A ， B ，定义运算： AB ＝ {x|x∈A∪B ，
且x∉A∩B}，已知M＝{x|a<x<b}，N＝{x|c<x<d}，其中a、 b、c、d满足a＋b＝c＋d，ab<cd<0，则MN等于( A.(a，d)∪(b，c) C.(a，c]∪[d，b) 又ab<0，∴a<0<b， 同理可得c<0<d，由ab<cd<0，c<0，b>0， B.(c，a]∪[b，d) D.(c，a)∪(d，b) )
－y＝3}，则满足M⊆(A∩B)的集合M的个数是( C )
B.1
C.2
D.3
解析 由题中集合可知，集合A表示直线x＋y＝1上的点，
x＋y＝1， 集合 B 表示直线 x－y＝3 上的点，联立 x－y＝3，
可得A∩B＝{(2，－1)}，M为A∩B的子集，
可知M可能为{(2，－1)}或∅，
所以满足M⊆(A∩B)的集合M的个数是2.
解析 由已知M＝{x|a<x<b}，∴a<b，
a－c d－b a d ∴ > ，∴ > . c b c b
又∵a＋b＝c＋d，∴a－c＝d－b，
d－b d－b ∴ c > b ，
又∵c<0，b>0，∴d－b<0， 因此，a－c<0，∴a<c<0<d<b，∴M∩N＝N， ∴MN＝{x|a<x≤c或d≤x<b}＝(a，c]∪[d，b).故选C.
解析 由题意得M＝{0,1}，N＝(0,1]， 故M∪N＝[0,1]，故选A.
1 2 3 4
2.(2015· 天津 ) 设 x∈R ，则 “1 ＜ x ＜ 2” 是 “|x － 2| ＜ 1” 的
( A )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 由|x－2|＜1得1＜x＜3，所以1＜x＜2⇒1＜x＜3； 但1＜x＜3 1＜x＜2，故选A.
解析
m≥0， 由已知，可得 3 m＋4≤1，
1 即 0≤m≤4，
1 n－ ≥0， 3 n≤1，
1 即3≤n≤1，
取m的最小值0，n的最大值1，
3 2 可得 M＝[0， ]，N＝[ ，1]. 4 3
3 2 2 3 所以 M∩N＝[0， ]∩[ ，1]＝[ ， ]. 4 3 3 4
(3)若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解.
例 1
(1) 已知集合 A ＝ {x|f(x) ＝ lg(x2 － 2x)} ， B ＝ {x| － 5
<x< 5}，则( B )
A.A∩B＝∅ C.B⊆A
B.A∪B＝R D.A⊆B
解析 ∵A＝{x|x>2 或 x<0}， B＝{x|－ 5<x< 5}， A∪B＝R， 故选 B.
1 2 3 4
3.(2015· 浙江 ) 命题 “∀n∈N* ， f(n)∈N* 且 f(n)≤n” 的否定
形式是( D )
A.∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)＞n
B.∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)＞n
C.∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)＞n0
D.∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)＞n0 解析 由全称命题与特称命题之间的互化关系知选D.
2016版高考数学(江苏专用·理科)二轮复习课件 高考热点追踪(一)
个变量作为自变量，其余的变量作为参数处理，逐步减少参 数使问题获得解决．
二、分离参数——巧妙转化
有些问题，是需要将参变量分离出来，单独放在不等式的一 侧，将另一侧视作为新函数，则可以将问题转化为新函数的
最值问题．
当 x∈R 时，不等式 a＋ cos 2x<5－ 4sin x＋ 5a－ 4恒 成立，求实数 a 的取值范围．
2 2 2
2
2
h（－ 1） >0， 2 记 h(a)＝ a ＋ a＋m＋ 1，则 1 解得 h－2 <0， 3 － 1 ，－ m∈ . 4
[ 名师点评 ]
创新题型在高考中常出现，考查学生对新定义
的理解能力，只有明确新定义的实质，才能使问题得以解 决．
不等式恒成立问题的解题策略
恒成立问题在高考中经常出现，由于涉及的知识面广，制约
条件复杂，参变量的潜在约束比较隐晦，考生在解题时，不 易理清思路，抓不住关键，往往半途而废．下面谈谈解决此 类问题的常用方法．
一、反客为主——更换主元 有些数学问题构思新颖，同时有其实际背景，按固有的习惯 思维，把注意力集中在某些醒目的“主元”上，往往陷入困 境．如果打破思维定式，反“客”为“主”，把原来处于相
[解析] 设 g(m)＝ (x － 1)m－ 2x＋ 1，则有
2
2 g （－ 2 ） <0 ， 2 x ＋ 2x－ 3>0， 即 2 g（ 2） <0 2x － 2x－ 1<0.
7－ 1 3＋ 1 解得 <x< . 2 2
[名师点评]
当一个题中有多个变量时，要敢于把其中的一
[名师点评]
若对于x取值范围内的任何一个数都需要
f(x)>g(a)恒成立，则g(a)小于f(x)的最小值；若对于x取值范围
2016版高考数学大二轮总复习与增分策略(,理科)配套文档：专题一 集合与常用逻辑用语、不等式第1讲
第1讲集合与常用逻辑用语1．（2015·陕西)设集合M＝｛x|x2＝x｝,N＝｛x|lg x≤0｝，则M∪N 等于（)A．［0，1] B．(0，1］C．[0,1）D．(－∞，1］2．(2015·天津）设x∈R，则“1＜x＜2"是“｜x－2|＜1”的（) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．(2015·浙江）命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n）≤n”的否定形式是（)A．∀n∈N*,f(n）∉N＊且f（n）＞nB．∀n∈N*,f(n）∉N＊或f（n）＞nC．∃n0∈N*,f(n0)∉N＊且f（n0）＞n0D．∃n0∈N*，f（n0)∉N＊或f(n0）＞n04．设整数n≥4,集合X＝{1，2，3，…，n}，令集合S＝｛(x，y，z)｜x，y,z∈X，且三条件x<y〈z,y<z<x，z〈x<y恰有一个成立｝．若(x，y,z）和（z，w，x）都在S中，则下列选项正确的是（）A．(y,z，w）∈S,(x，y，w）∉SB．(y，z，w)∈S，(x，y，w）∈SC．(y，z，w)∉S，（x，y，w)∈SD．(y，z,w）∉S，(x,y，w）∉S1.集合是高考必考知识点,经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查集合的运算，近几年有时也会出现一些集合的新定义问题.2。
高考中考查命题的真假判断或命题的否定，考查充要条件的判断.热点一集合的关系及运算1．集合的运算性质及重要结论（1)A∪A＝A,A∪∅＝A,A∪B＝B∪A.(2）A∩A＝A,A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.（3)A∩(∁U A）＝∅，A∪(∁U A)＝U.(4）A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.2．集合运算中的常用方法(1）若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；(2)若已知的集合是点集，用数形结合法求解；(3）若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．例1 （1）（2015·成都七中测试)已知集合A＝｛x｜f（x）＝lg(x2－2x)｝，B＝｛x|－错误!〈x〈错误!}，则（)A．A∩B＝∅B．A∪B＝RC．B⊆A D．A⊆B（2）(2015·广雅中学一模）对于非空集合A，B，定义运算:A B ＝{x｜x∈A∪B，且x∉A∩B｝，已知M＝｛x|a〈x〈b}，N＝{x|c<x<d},其中a、b、c、d满足a＋b＝c＋d,ab<cd〈0,则M N等于（）A．（a，d)∪（b，c） B．(c，a]∪［b，d)C．(a，c］∪［d，b) D．（c，a）∪（d，b)思维升华(1）集合的关系及运算问题,要先对集合进行化简,然后可借助Venn图或数轴求解．（2）对集合的新定义问题,要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用特殊值法进行验证．跟踪演练1 (1)设集合A＝｛（x，y)|x＋y＝1}，B＝{(x，y)｜x－y＝3}，则满足M⊆（A∩B）的集合M的个数是( ）A．0 B．1 C．2 D．3（2)设集合M＝{x｜m≤x≤m＋错误!｝,N＝｛x|n－错误!≤x≤n}，且M，N都是集合｛x｜0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫做集合｛x｜a≤x≤b｝的“长度”,那么集合M∩N的“长度”的最小值是（）A.错误! B.错误! C.错误!D。
2016版高考数学大二轮总复习(全国通用 理科)配套课件：专题四 数列 推理与证明 第1讲
S6成等差数列，则q3等于( A )
1 1 A.－2 B.1 C.－2或 1 解析 若q＝1，则3a1＋6a1＝2×9a1， 1 D.－1 或2
得a1＝0，矛盾，故q≠1.
a11－q3 a11－q6 a11－q9 所以 ＋ ＝2 ， 1－q 1－q 1－q 1 3 解得 q ＝－2或 1(舍)，故选 A.
＝－6，则当Sn取最小值时，n＝________. 6
解析 设该数列的公差为d， 则a4＋a6＝2a1＋8d＝2×(－11)＋8d＝－6，解得d＝2，
nn－1 所以 Sn＝－11n＋ 2 ×2＝n2－12n＝(n－6)2－36，
所以当Sn取最小值时，n＝6.
(2)已知等比数列{an}公比为q，其前n项和为Sn，若S3，S9，
例2
(2014· 大纲全国 ) 数列 {an} 满足 a1 ＝ 1 ， a2 ＝ 2 ， an ＋ 2 ＝
2an＋1－an＋2.
(1)设bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等差数列； 证明 由an＋2＝2an＋1－an＋2得 an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2， 即bn＋1＝bn＋2. 又b1＝a2－a1＝1， 所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列.
＝10ln e5＝50ln e＝50.
1 2 3 4
4.(2013· 江西)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天
植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最
6 少天数n(n∈N*)等于________.
解析 每天植树棵数构成等比数列{an}，
a11－qn 其中 a1＝2，q＝2.则 Sn＝ ＝2(2n－1)≥100， 1－q
专题四
栏目索引
高考真题体验 热点分类突破 高考押题精练
2016版高考数学(新课标全国卷Ⅱ·理科)二轮复习配套课件专题七 选考部分第1讲
方法归纳 三角形相似的判定方法及应用 (1)常见方法： ①利用相似三角形判定定理； ②利用平行线分线段成比例定理； ③利用与圆有关的“四定理”、圆心角、圆周角等定理． (2)在与圆有关的问题中，或在特殊的几何图形中， 常利用“四定 理”及三角形相似等知识来证明线段相等或线段成比例等问题．
如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD， 且 AB＝2CD，E，F 分别是 AB，BC 的中点，EF 与 BD 相交于点 M.若 DB＝9， 求 BM 的值．
专题七
选考部分
第1讲 几何证明选讲
专题七
选考部分
2016考向导航——适用于全国卷Ⅱ 高考中主要考查平行线分线段成比例定理、相似三角形的判 定及性质、直角三角形的射影定理以及与圆有关的性质和判 定，考查逻辑推理能力．与圆有关的切线、割线以及三角形 的综合问题是高考的热点．高考中主要是应用定理解决有关
方法归纳 抓好“角度关系”与“长度关系”的转化 “角度”转化的依据主要有“等弧 (弦 )对等角”、“弦切角等于 内对角”、“相似三角形的对应角相等”、“平行线的同位角相 等、内错角相等、同旁内角互补”、“圆内接四边形对角互补” 等． “长度”转化的依据主要有“切线定理”、 “切割线定理”、 “割线定理”、 “相交弦定理”、 “平行线截线段成比例”、 “相 似三角形对应边成比例”等．
求角、求线段长、求线段长的比以及证明等类型的题目．
1．相似三角形的判定与性质
(1)判定定理
①两角对应相等的两个三角形相似； ②三边对应成比例的两个三角形相似；
③两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似．
(2)性质定理 ①相似三角形对应边上的高的比、中线的比和对应角平分线
的比都等于相似比．
②相似三角形周长的比等于相似比． ③相似三角形面积的比等于相似比的平方．
高2019届高2016级高考理科数学大二轮专题复习课件学案专题二 数列第1讲
第1讲 等差数列与等比数列
1
真题感悟 考点整合热点来自焦 分类突破归纳总结 思维升华
@《创新设计》
高考定位 1.等差、等比数列基本运算和性质的考查是高考热点,经常以选择题、填 空题的形式出现;2.数列的通项也是高考热点,常在解答题中的第(1)问出现,难度中档 以下.
2
真题感悟 考点整合
@《创新设计》
9
真题感悟 考点整合
热点聚焦 分类突破
归纳总结 思维升华
@《创新设计》
热点一 等差、等比数列的基本运算
【例1】 (1)(2018·潍坊三模)已知{an}为等比数列,数列{bn}满足b1＝2,b2＝5,且an(bn＋1－bn)
＝an＋1,则数列{bn}的前n项和为( )
A.3n＋1
B.3n－1
@《创新设计》
11
真题感悟 考点整合
热点聚焦 分类突破
归纳总结 思维升华
@《创新设计》
(2)(2018·全国Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1＝－7,S3＝－15. ①求{an}的通项公式; ②求Sn,并求Sn的最小值. 解 ①设{an}的公差为d,由题意得3a1＋3d＝－15. 由a1＝－7得d＝2. 所以{an}的通项公式为an＝2n－9. ②由①得Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16. 所以当n＝4时,Sn取得最小值,最小值为－16.
当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，所以 an＝2an－1，所以数列{an}是以－1
为首项，2 为公比的等比数列，所以 an＝－2n－1，所以 S6＝－1×（1－1－2 26）＝－63.
答案 －63
6
真题感悟 考点整合
热点聚焦 分类突破
2016届新课标高考理科数学第二轮知识点复习学案23
→＝(－4，－3)，1．(2015·课标Ⅰ，2，易)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量AC则向量BC →＝( )A ．(－7，－4)B ．(7，4)C ．(－1，4)D ．(1，4)【答案】 A AB→＝(3，1)，BC →＝AC →－AB →＝(－7，－4)，选A.2．(2015·江苏，6，易)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．【解析】 由m a ＋n b ＝(9，－8)得， m (2，1)＋n (1，－2)＝(9，－8)， 即(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎨⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝－3.【答案】 －31．(2014·广东，3，易)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(3，1)，则b －a ＝( ) A ．(－2，1) B ．(2，－1) C ．(2，0) D ．(4，3)【答案】 B b －a ＝(3，1)－(1，2)＝(2，－1)，选B.2．(2014·课标Ⅰ，6，易)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB→＋FC →＝( )A.AD→ B.12AD → C.BC→ D.12BC → 【答案】 A 如图，EB→＋FC →＝－12(BA →＋BC →)－12(CB →＋CA →) ＝－12(BA →＋CA →)＝12(AB →＋AC →)＝AD→.方法点拨：正确运用平面向量三角形法则是解题关键．3．(2012·广东，3，易)若向量AB→＝(1，2)，BC →＝(3，4)，则AC →＝( )A ．(4，6)B ．(－4，－6)C ．(－2，－2)D ．(2，2)【答案】 A ∵AC→＝AB →＋BC →＝(1，2)＋(3，4)＝(4，6)，故选A.4．(2013·辽宁，3，易)已知点A (1，3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 【答案】 A ∵A (1，3)，B (4，－1)，∴AB →＝(3，－4)，又∵|AB →|＝5，∴与AB →同方向的单位向量为AB →|AB→|＝⎝⎛⎭⎪⎫35，－45.故选A.5．(2012·浙江，7，中)设a ，b 是两个非零向量．( ) A ．若|a ＋b|＝|a|－|b|，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b|＝|a|－|b|C ．若|a ＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b|＝|a|－|b|【答案】 C 由|a ＋b|＝|a|－|b|两边平方，得a 2＋b 2＋2a·b ＝|a|2＋|b|2－2|a|·|b|，即a ·b ＝－|a|·|b|，故a 与b 方向相反且|a|≥|b|.又|a|≥|b|，则存在实数λ∈[－1，0)，使得b ＝λa.故A ，B 命题不正确，C 命题正确，而两向量共线，不一定有|a ＋b|＝|a|－|b|，即D 命题不正确，故选C.6．(2011·山东，12，中)设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下面说法正确的是( )A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上【答案】 D 由题意得AC→＝λAB →，AD →＝μAB →，且1λ＋1μ＝2，若C ，D 都在AB 的延长线上，则λ>1，μ>1，1λ＋1μ<2，这与1λ＋1μ＝2矛盾，故选D.7．(2014·陕西，18，12分，中)在直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )．(1)若m ＝n ＝23，求|OP→|；(2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值． 解：(1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1，2)， AC→＝(2，1)， ∴OP →＝23(1，2)＋23(2，1)＝(2，2)， ∴|OP→|＝22＋22＝2 2. (2)∵OP →＝m (1，2)＋n (2，1)＝(m ＋2n ，2m ＋n )， ∴⎩⎨⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减，得m －n ＝y －x .令y －x ＝t ，结合图形知(如图)，当直线y ＝x ＋t 过点B (2，3)时，t 取得最大值1.故m －n 的最大值为1.考向1 平面向量的线性运算及共线问题1．向量的线性运算2．向量共线的判定定理和性质定理(1)判定定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数λ使得b ＝λa ，则向量b 与a 共线．(2)性质定理：若向量b 与非零向量a 共线，则存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa.(3)A ，B ，C 是平面上三点，且A 与B 不重合，P 是平面内任意一点，若点C 在直线AB 上，则存在实数λ，使得PC →＝P A →＋λAB→(如图所示)．3．向量共线定理的应用 (1)证明点共线； (2)证明两直线平行；(3)已知向量共线求字母的值(或范围)．(1)(2014·福建，10)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A.OM→ B ．2OM → C ．3OM→ D ．4OM → (2)(2013·四川，12)如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB→＋AD →＝λAO →，则λ＝________．(3)(2014·江苏南京二模，10)如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m 的值为________．【思路导引】 解题(1)的关键是判断平行四边形中点M 的位置，点M 为两对角线的交点，即为两对角线的中点；题(2)应用加法的平行四边形法则；题(3)的思路是由P ，G ，Q 三点共线找出等量关系PQ →＝λPG →，再根据恒等关系列出方程组．【解析】 (1)依题意知，点M 是线段AC 的中点，也是线段BD 的中点，所以OA →＋OC →＝2OM →，OB →＋OD →＝2OM →，所以OA →＋OC →＋OB →＋OD →＝4OM →，故选D.(2)在▱ABCD 中，由平行四边形法则得AB→＋AD →＝AC →＝2AO →，∴λ＝2.(3)设OA →＝a ，OB →＝b ，由题意知OG →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(a ＋b )，PQ→＝OQ →－OP →＝n b －m a ，PG →＝OG →－OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ，由P ，G ，Q 三点共线得，存在实数λ，使得PQ→＝λPG →，即n b －m a ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋ 13λb ，从而⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ得1n ＋1m ＝3.【答案】 (1)D (2)2 (3)31.向量的线性运算的解题策略(1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．2．求解向量共线问题的注意事项(1)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．(3)若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.(4)直线的向量式参数方程：OP→＝(1－t )OA →＋tOB →(t ∈R )． (5)OA→＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1. (1)(2012·大纲全国，9)△ABC 中，AB 边的高为CD ，若CB→＝a ，CA →＝b ，a ·b ＝0，|a|＝1，|b|＝2，则AD→＝( )A.13a －13bB.23a －23bC.35a －35bD.45a －45b (2)(2012·四川，7)设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a|＝b |b|成立的充分条件是( )A ．|a|＝|b|且a ∥bB ．a ＝－bC ．a ∥bD ．a ＝2b(1)【答案】 D ∵a·b ＝0，∴∠ACB ＝90°， ∴AB ＝|a |2＋|b |2＝5，CD ＝255.∴BD ＝55，AD ＝455，∴AD ∶BD ＝4∶1. ∴AD→＝45AB →＝45(CB →－CA →) ＝45a －45b .(2)【答案】 D ∵a|a|表示与a 同向的单位向量，∴a 与b 必须方向相同才能满足a |a|＝b|b|.故选D.考向2 平面向量基本定理及其应用1．平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底．(2)平面向量基本定理的实质平面向量基本定理反映了利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．2．平面向量基本定理的应用(1)证明向量共面，如果有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，那么a ，e 1，e 2共面．(2)根据平面向量基本定理求字母的值(或范围)．(1)(2013·江苏，10)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．(2)(2015·安徽阜阳一模，14)在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ＝________．【思路导引】 解题(1)的思路是先在△ABC 中用AB→和AC →表示DE →，然后根据已知条件对应求出λ1，λ2；题(2)方法一利用已知转化为AB→，AD →的关系，再利用AB →，AD →不共线求解，方法二利用几何图形和三点共线求解．【解析】 (1)∵DE→＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝23AC →－16AB →，又DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，∴λ1＝－16，λ2＝23.∴λ1＋λ2＝12.(2)方法一：由AB →＝λAM →＋μAN →，得AB →＝λ·12(AD →＋AC →)＋μ·12(AC →＋AB →)，则⎝ ⎛⎭⎪⎫μ2－1AB →＋λ2AD →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋μ2AC →＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫μ2－1AB →＋λ2AD →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋μ2⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫14λ＋34μ－1AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋μ2AD →＝0. 又因为AB→，AD →不共线，所以由平面向量基本定理得 ⎩⎪⎨⎪⎧14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－45，μ＝85. 所以λ＋μ＝45.方法二：如图，连接MN 并延长交AB 的延长线于T ，由已知易得AB ＝45AT ， ∴45AT →＝AB →＝λAM→＋μAN →. ∵T ，M ，N 三点共线，∴λ＋μ＝45. 【答案】 (1)12 (2)45用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式．零向量和共线向量不能作基底，基向量通常选取确定整个几何图形的从同一结点出发的两边所对应的向量．(2014·山东济南质检，14)如图所示，在△ABC 中，点M 是AB 的中点，且AN→＝ 12NC →，BN 与CM 相交于点E ，设AB →＝a ，AC →＝b ，用基底a ，b 表示向量AE→＝________． 【解析】 易得AN→＝13AC →＝13b ，AM →＝12AB →＝12a ，由N ，E ，B 三点共线知，存在实数m ，满足AE→＝mAN →＋(1－m )AB →＝13m b ＋(1－m )a .由C ，E ，M 三点共线知存在实数n ，满足AE →＝nAM →＋(1－n )·AC→＝12n a ＋(1－n )b .所以13m b ＋(1－m )a ＝12n a ＋(1－n )b .由于a ，b 为基底，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝12n ，13m ＝1－n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝45.所以AE→＝25a ＋15b . 【答案】 25a ＋15b考向3 平面向量坐标运算的应用1．平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2)． (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)． (3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝(λx ，λy )． 2．向量平行的坐标表示(1)如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件为x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)三点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)共线的充要条件为(x 2－x 1)(y 3－y 1)－(x 3－x 1)(y 2－y 1)＝0.a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0.判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定．3．平面向量中的重要结论G 为△ABC 的重心⇔GA→＋GB →＋GC →＝0⇔G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33，其中A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)． (1)(2014·北京，3)已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，则2a －b＝( )A ．(5，7)B ．(5，9)C ．(3，7)D ．(3，9)(2)(2013·陕西，2)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m ，2)，若a ∥b ，则实数m 等于( )A ．－ 2 B. 2 C ．－2或 2 D ．0(3)(2013·北京，13)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________．【解析】 (1)根据平面向量坐标运算法则，得2a －b ＝(4，8)－(－1，1)＝(5，7)．(2)因为a ∥b ，所以m 2＝2，解得m ＝－2或m ＝ 2.故选C.(3)以向量a 和b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A (1，－1)，B (6，2)，C (5，－1)，∴a ＝AO →＝(－1，1)，b ＝OB→＝(6，2)，c ＝BC →＝(－1，－3)．∵c ＝λa ＋μb ，∴(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，即－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解得λ＝－2，μ＝－12，∴λμ＝4.【答案】 (1)A (2)C (3)4【点拨】 解题(1)的关键是掌握向量的坐标运算法则；解题(2)的方法是根据两向量共线的坐标表示的充要条件列出方程，进而求解；解题(3)的关键是建立平面直角坐标系，正确写出a ，b ，c 的坐标，利用a ，b ，c 之间的关系，列出方程求解．向量坐标运算问题的一般思路(1)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算．(2)巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用．(3)妙用待定系数法求系数：利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出线性系数．(2012·重庆，6)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b|＝( )A. 5B.10 C ．2 5 D ．10 【答案】 B 由⎩⎨⎧a ⊥c ，b ∥c ⇒⎩⎨⎧2x －4＝0，2y ＋4＝0⇒⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－2，∴a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，a ＋b ＝(3，－1)， ∴|a ＋b|＝10，故选B.1．(2015·北京石景山一模，8)AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，AB →＝(2，4)，AC→＝(1，3)，则AD →＝( ) A ．(2，4) B ．(3，7) C ．(1，1) D ．(－1，－1) 【答案】 D 如图，BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)，∴AD→＝BC →＝(－1，－1)，选D.2．(2015·山东滨州一模，3)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(x ，6)，且a ∥b ，则x 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】 C 因为a ∥b ，所以1×6－2x ＝0，解得x ＝3，选C.3．(2015·河北邯郸二模，6)如图所示，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )A ．0 B.BE→ C.AD → D.CF → 【答案】 D 由图知BA→＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →＋CB →＝BF →－BC →＝CF →.4．(2014·山西四校联考，8)在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且AN →＝12NC →，P 是BN 上的一点，若AP→＝mAB →＋29AC →，则实数m 的值为( ) A.19 B.13 C ．1 D ．3【答案】 B 如图，因为AN→＝12NC →，所以AN →＝13AC →，AP →＝mAB →＋29AC →＝mAB→＋23AN →，因为B ，P ，N 三点共线，所以m ＋23＝1，所以m ＝13，故选B.5．(2014·皖南八校第三次联考，7)已知正方形ABCD (字母顺序是A →B →C →D )的边长为1，点E 是AB 上的动点(可以与A 或B 重合)，如图所示，则DE →·CD →的最大值是( )A ．1 B.12 C ．0 D ．－1 【答案】 C 设AB →＝a ，AD →＝b ，则AE→＝λAB →＝λa (0≤λ≤1)， DE→＝AE →－AD →＝λa －b ， ∴DE→·CD →＝DE →·(－DC →) ＝(λa －b )·(－a ) ＝－λa 2＋a·b ＝－λ. 又0≤λ≤1，∴DE→·CD →的最大值为0.故选C. 6．(2015·山东淄博一模，7)定义域为[a ，b ]的函数y ＝f (x )的图象的两个端点为A ，B ，M (x ，y )是f (x )图象上任意一点，其中x ＝λa ＋(1－λ)b (λ∈R )，向量ON →＝λOA→＋(1－λ)OB →，若不等式|MN →|≤k 恒成立，则称函数f (x )在[a ，b ]上“k 阶线性近似”．若函数y ＝x ＋1x 在[1，2]上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值范围为( )A ．[0，＋∞)B ．[1，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32－2，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32＋2，＋∞ 【答案】 C 由题意知a ＝1，b ＝2，所以A (1，2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52.所以直线AB的方程为y ＝12(x ＋3)．因为x M ＝λa ＋(1－λ)b ＝λ＋2(1－λ)＝2－λ，ON→＝λOA →＋(1－λ)OB →＝λ(1，2)＋(1－λ)·⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－λ，52－λ2，所以x N ＝2－λ，M ，N 的横坐标相同，且点N 在直线AB 上．所以|MN →|＝|y M －y N| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x －12（x ＋3） ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋1x －32. 因为x 2＋1x ≥2x 2·1x ＝2，且x 2＋1x ≤32，所以|MN →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋1x －32＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ≤32－ 2.即|MN →|的最大值为32－2，所以k ≥32－2，选C. 7．(2015·湖南长沙一中月考，13)平面内给定三个向量a ＝(3，2)，b ＝(－1，2)，c ＝(4，1)，若a ＝m b ＋n c ，则n －m ＝________.【解析】 ∵a ＝m b ＋n c ，∴(3，2)＝(－m ，2m )＋(4n ，n )＝(－m ＋4n ，2m ＋n )，∴⎩⎨⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89，∴n －m ＝13. 【答案】 138．(2015·河南洛阳一模，13)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，1)，c ＝(3，2)．若向量c 与向量k a ＋b 共线，则实数k ＝________.【解析】 k a ＋b ＝k (1，3)＋(－2，1)＝(k －2，3k ＋1)，因为向量c 与向量k a ＋b 共线，所以2(k －2)－3(3k ＋1)＝0，解得k ＝－1.【答案】 －19．(2014·吉林长春一模，10)设O 在△ABC 的内部，且有OA →＋2OB →＋3OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积之比为________．【解析】 设AC ，BC 的中点分别为M ，N ，则已知条件可化为(OA →＋OC →)＋2(OB→＋OC →)＝0，即2OM →＋4ON →＝0，所以OM →＝－2ON →，说明M ，O ，N 三点共线，即O 为中位线MN 上的一个三等分点，S △AOC ＝23S △ANC ＝23·12S △ABC ＝13S △ABC ，所以S △ABCS △AOC＝3.【答案】 31．(2015·课标Ⅱ，4，易)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2【答案】 C ∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，∴(2a ＋b )·a ＝(1，0)·(1，－1)＝1×1＋0×(－1)＝1.2．(2015·重庆，7，易)已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( )A.π3B.π2C.2π3D.5π6【答案】 C ∵a ⊥(2a ＋b )，∴a ·(2a ＋b )＝0， ∴2|a |2＋a ·b ＝0， ∴a ·b ＝－2|a |2.又cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |，|b |＝4|a |.∴cos 〈a ，b 〉＝－2|a |2|a |·4|a |＝－12. 又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴〈a ，b 〉＝23π.3．(2015· 广东，9，中)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB→＝(1， －2)，AD →＝(2，1)，则AD →·AC →＝( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2【答案】 A ∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1)，∴AD →·AC →＝(2，1)·(3，－1)＝2×3＋1×(－1)＝5，选A.4．(2015·陕西，8，中)对任意平面向量a ，b ，下列关系式中不恒成立．．．．的是( ) A ．|a ·b |≤|a ||b | B ．|a －b |≤||a |－|b || C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2 D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2【答案】 B A 选项中，|a ·b |＝|a ||b ||cos θ|≤|a ||b |恒成立(|cos θ|≤1)； B 选项中，当a ，b 反向共线或不共线时不成立； C 选项中，(a ＋b )2＝|a ＋b |2恒成立； D 选项中，(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2恒成立．5．(2015·湖北，11，易)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________. 【解析】 ∵OA→⊥AB →，|OA →|＝3， ∴OA→·AB →＝0，∴OA →(OB →－OA →)＝0， ∴OA →·OB →＝|OA →|2＝9. 【答案】 96．(2015·浙江，13，中)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝12，若平面向量b 满足b·e 1＝b·e 2＝1，则|b|＝________．【解析】 ∵e 1，e 2是单位向量，且e 1·e 2＝12， ∴e 1·e 2＝|e 1||e 2|·cos 〈e 1，e 2〉＝12， ∴〈e 1，e 2〉＝π3. 又∵b·e 1＝b·e 2＝1，∴|b||e 1|cos 〈b ，e 1〉＝|b||e 2|cos 〈b ，e 2〉 ＝1，即|b|cos 〈b ，e 1〉＝|b|cos 〈b ，e 2〉＝1，∴cos 〈b ，e 1〉＝cos 〈b ，e 2〉，∴〈b ，e 1〉＋〈b ，e 2〉＝π3，或〈b ，e 1〉＋〈b ，e 2〉＝53π(舍)．∴〈b ，e 1〉＝〈b ，e 2〉＝π6，∴|b|＝1cos π6＝233. 【答案】2331．(2014·大纲全国，6，易)已知a ，b 为单位向量，其夹角为60°，则(2a －b )·b ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 【答案】 B (2a －b )·b ＝2a·b －|b|2 ＝2|a||b|cos 60°－|b|2＝0.2．(2013·湖北，7，中)已知点A (－1，1)，B (1，2)，C (－2，－1)，D (3，4)，则向量AB→在CD →方向上的投影为( ) A.322 B.3152 C ．－322 D ．－3152【答案】 A 由条件知AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，AB→·CD →＝10＋5＝15. |CD→|＝52＋52＝52，则AB →在CD →方向上的投影为 |AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝1552＝322，故选A.3．(2014·湖南，10，中)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)，动点D 满足||CD →＝1，则||OA →＋OB →＋OD →的取值范围是( ) A ．[4，6] B ．[19－1，19＋1] C ．[23，27] D ．[7－1，7＋1] 【答案】 D 设动点D (x ，y )， ∵|CD→|＝1，CD →＝(x －3，y )，∴(x －3)2＋y 2＝1，∴D 点的运动轨迹是以(3，0)为圆心，1为半径的圆． 又OA→＋OB →＋OD →＝(－1＋x ，y ＋3)， ∴|OA →＋OB →＋OD →|＝（x －1）2＋（y ＋3）2表示圆上的点到点(1，－3)的距离．又点(1，－3)到(3，0)的距离为d ＝4＋3＝7， ∴|OA→＋OB →＋OD →|的范围是[7－1，7＋1]． 4．(2014·重庆，12，易)已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b|＝10，则a·b ＝________.【解析】 |a|＝（－2）2＋（－6）2＝210， ∴a ·b ＝|a||b|·cos 60°＝210×10×12＝10. 【答案】 105．(2014·四川，14，中)平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.【解析】 c ＝(m ＋4，2m ＋2)，|a|＝5，|b|＝25， 又∵cos 〈c ，a 〉＝c ·a |c||a|，cos 〈c ，b 〉＝c ·a |c||b|， 由题意知c ·a |a|＝c ·b |b|，即5m ＋85＝8m ＋2025，解得m ＝2.【答案】 26．(2014·江西，12，中)已知单位向量e 1，e 2的夹角为α，且cos α＝13，若向量a ＝3e 1－2e 2，则|a|＝________.【解析】 ∵|a|2＝a 2＝(3e 1－2e 2)2＝9|e 1|2－12e 1·e 2＋4|e 2|2，又|e 1|＝|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角余弦值为13，∴上式＝9－12×13＋4＝9，∴|a|＝3. 【答案】 37．(2014·江苏，12，中)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．【解析】 由题意，得AP→＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP→＝BC →＋CP →＝BC →＋34CD →＝AD →－34AB →， ∴AP→·BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋14AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－34AB → ＝AD→2－12AD →·AB →－316AB →2， 即2＝25－12AD →·AB →－316×64， 解得AD →·AB →＝22. 【答案】 22方法点拨：借助AP →·BP →表示出AD →·AB →是解决本题的关键所在．考向1 平面向量的垂直与夹角1．平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，记OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a 与b 的夹角．(2)数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫作a 与b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定：0·a ＝0.(3)数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的模|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两个向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值确定．2．平面向量数量积的性质设a ，b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则(1)e·a ＝a·e ＝|a|cos θ. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0.(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a||b|；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b|. 特别地，a·a ＝|a|2或|a|＝a ·a . (4)cos θ＝a·b|a||b|. (5)|a·b|≤|a||b|.3．平面向量数量积的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ，b 的夹角为θ，则 (1)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)|a |＝x 21＋y 21.若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2. (3)cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. (4)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.x 1y 2－x 2y 1＝0与x 1x 2＋y 1y 2＝0不同，前者是两向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．(1)(2014·课标Ⅱ，4)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．5(2)(2014·山东，7)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )，若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝( )A ．2 3 B. 3 C ．0 D ．－ 3【解析】 (1)因为|a ＋b|＝10，所以|a ＋b|2＝10，即a 2＋2a ·b ＋b 2＝10，又因为|a －b|＝6，所以a 2－2a·b ＋b 2＝6，所以4a ·b ＝4，a ·b ＝1.(2)∵a ＝(1，3)，b ＝(3，m )，∴|a |＝2，|b |＝9＋m 2，a·b ＝3＋3m .又a ，b 的夹角为π6，∴a·b |a||b|＝cos π6，即1×3＋3m 2×9＋m 2＝32，即3＋3m ＝3×9＋m 2，解得m ＝ 3.【答案】 (1)A (2)B平面向量数量积的应用(1)根据平面向量数量积的性质：若a ，b 为非零向量，cos θ＝a·b|a||b|(夹角公式)，a ⊥b ⇔a ·b ＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直的问题．(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角．(1)(2013·江西，12)e1，e 2为单位向量，且e 1，e 2的夹角为π3，若a＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，则向量a 在b 方向上的射影为________．(2)(2013·山东，15)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP→＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________． (1)【解析】 设a 与b 的夹角为θ，则向量a 在b 方向上的射影为|a|·cos θ＝a ·b |b|，又a·b ＝(e 1＋3e 2)·2e 1＝2e 21＋6e 1·e 2＝2＋6×12＝5，|b|＝|2e 1|＝2，∴|a|·cos θ＝52.【答案】 52(2)【解析】 ∵AP→⊥BC →，∴AP →·BC →＝0，∴(λAB →＋AC →)·BC →＝0，即(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝λAB →·AC →－λAB →2＋AC →2－AC→·AB →＝0. ∵向量AB→与AC →的夹角为120°，|AB →|＝3，|AC →|＝2，∴(λ－1)|AB →||AC →|·cos 120°－9λ＋4＝0，解得λ＝712. 【答案】 712思路点拨：解题(1)的关键是弄清楚a 在b 上的投影为|a|cos θ(θ为a 与b 的夹角)；解题(2)的方法是根据AP→·BC →＝0列出等量关系求出λ.考向2 平面向量的模及应用1．求平面向量的模的公式(1)a 2＝a·a ＝|a|2或|a|＝a ·a ＝a 2； (2)|a±b|＝（a±b ）2＝a 2±2a ·b ＋b 2； (3)若a ＝(x ，y )，则|a|＝x 2＋y 2. 2．重要结论(1)||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |. (2)|a ＋b|2＋|a －b|2＝2(|a|2＋|b|2)．(1)(2013·湖南，8)已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的最大值为( )A.2－1B. 2C.2＋1D.2＋2(2)(2014·湖北，12)若向量OA →＝(1，－3)，|OA →|＝|OB →|，OA →·OB →＝0，则|AB →|＝________.【思路导引】 解题(1)的思路是建立平面直角坐标系，设出c ＝(x ，y )，由向量的模找出c 的终点的运动轨迹，数形结合求解；解题(2)的方法一是代数法用向量的数量积直接运算；方法二是几何法．【解析】 (1)建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意知a ⊥b ，且a 与b 是单位向量，∴可设OA→＝a ＝(1，0)，OB →＝b ＝(0，1)，OC →＝c ＝(x ，y )．∴c －a －b ＝(x －1，y －1)，∵|c －a －b |＝1，∴(x －1)2＋(y －1)2＝1，即点C (x ，y )的轨迹是以M (1，1)为圆心，1为半径的圆．而|c |＝x 2＋y 2，∴|c |的最大值为|OM |＋1，即|c |max ＝2＋1.(2)方法一：设OB→＝(x ，y )，由|OA →|＝|OB →|知，x 2＋y 2＝10，又OA →·OB →＝x－3y ＝0，解得x ＝3，y ＝1或x ＝－3，y ＝－1.当x ＝3，y ＝1时，|AB →|＝25；当x ＝－3，y ＝－1时，|AB→|＝25，则|AB →|＝2 5.方法二：由几何意义知，|AB →|就是以OA →，OB →为邻边的正方形的对角线长，所以|AB→|＝2 5. 【答案】 (1)C (2)2 51.求向量的模的方法(1)公式法：利用|a|＝a ·a 及(a±b )2＝|a|2±2a ·b ＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算．(2)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．2．求向量模的最值(范围)的方法(1)代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解． (2)几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．(2011·天津，14)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB→|的最小值为________． 【解析】 以D 为原点，分别以DA ，DC 所在直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x .∴D (0，0)，A (2，0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x )．P A →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )， ∴P A →＋3PB →＝(5，3a －4x )， |P A →＋3PB→|2＝25＋(3a －4x )2≥25， 当x ＝3a4时取等号． ∴|P A →＋3PB →|的最小值为5. 【答案】 5思路点拨：建立合适的平面直角坐标系，将|P A →＋3PB →|表示成某个变量的函数，然后求最值．1．(2015·山东省实验中学二模，6)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( ) A ．－3 B ．－2 C ．1 D ．－1【答案】 A 因为a ＋2b 与c 垂直，所以(a ＋2b )·c ＝0，即a ·c ＋2b ·c ＝0，所以3k ＋3＋23＝0，解得k ＝－3，选A.2．(2015·河南洛阳质检，6)已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与b 的夹角为( )A.π2B.π3 C.π4 D.π6【答案】 B a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝2，所以a ·b ＝3，所以cos a ，b＝a ·b|a||b|＝31×6＝12， 所以a ，b＝π3，选B.3．(2015·福建漳州五校期末，6)已知向量a ，b 满足|a|＝1，|b|＝2，且a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，则|a －b|等于( )A ．1 B. 3 C. 5 D ．3【答案】 C 由已知得|a|cos 〈a ，b 〉＝|b|cos 〈a ，b 〉．又|a|＝1，|b|＝2，所以cos 〈a ，b 〉＝0，即a ⊥b ，则|a －b|＝|a|2＋|b|2－2a·b ＝5.4．(2014·北京朝阳二模，4)在△ABC 中，|AB →|＝2，|AC →|＝3，AB →·AC →<0，且△ABC 的面积为32，则∠BAC 等于( )A ．60°或120°B ．120°C ．150°D ．30°或150°【答案】 C ∵AB→·AC →<0，∴∠BAC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. ∵|AB →|＝2，|AC →|＝3，S △ABC ＝32，∴12|AB →||AC →|sin ∠BAC ＝32，∴sin ∠BAC ＝12，∴∠BAC ＝150°， 故选C.5．(2014·河南开封二模，8)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP→＝2PM →，则AP →·(PB →＋PC →)等于( ) A.49 B.43 C ．－43 D ．－49【答案】 A 根据向量的加法PB →＋PC →＝2PM →，得AP →·(PB →＋PC →)＝2AP →·PM →＝2|AP→|·|PM →|·cos 0°＝2×23×13×1＝49. 6．(2015·广东惠州一模，6)若e 1，e 2是平面内夹角为60°的两个单位向量，则向量a ＝2e 1＋e 2，b ＝－3e 1＋2e 2的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°【答案】 D e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos 60°＝12，a·b ＝(2e 1＋e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝－6e 21＋2e 22＋e 1·e 2＝－72，|a|＝（2e 1＋e 2）2＝4e 21＋4e 1·e 2＋e 22＝4＋2＋1＝7，|b|＝（－3e 1＋2e 2）2＝9e 21－12e 1·e 2＋4e 22＝9－6＋4＝7，所以a ，b 的夹角的余弦值为cos a ，b＝a ·b|a||b|＝－727×7＝－12，所以〈a ，b 〉＝120°.选D.7．(2015·河北石家庄调研，5)若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，则|a ＋b －c |的最小值为( )A.2－1 B ．1 C.2＋1 D. 2【答案】 A ∵a ·b ＝0，且|a|＝|b|＝|c|， 所以|a ＋b |＝2，又∵(a ＋b )·c ＝|a ＋b ||c |cos 〈a ＋b ， c 〉＝2cos 〈a ＋b ，c 〉，∴|a ＋b －c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ＝3－2(a ＋b )·c ＝3－22cos 〈(a ＋b )，c 〉，所以当cos 〈(a ＋b )，c 〉＝1时，|a ＋b －c |2min ＝3－22＝(2－1)2，所以|a ＋b －c |的最小值为2－1.选A.8．(2015·湖南师大附中月考，12)如图所示，在等腰直角三角形AOB 中，OA ＝OB ＝1，AB→＝4AC →，则OC →·(OB →－OA →)＝________.【解析】 由已知得|AB →|＝2，|AC →|＝24，则OC →·(OB →－OA →)＝(OA →＋AC →)·AB→＝OA →·AB →＋AC →·AB →＝2cos 3π4＋24×2＝－12.【答案】 －12易错点拨：OA →与AB →的夹角常误以为π4，在解题时一定要分清是向量的夹角还是其补角．9．(2015·山东枣庄一模，13)已知|OA→|＝1，|OB →|＝2，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，∠AOC ＝45°，设OC →＝mOA →＋nOB →，(m ，n ∈R )，则m n ＝________.【解析】 因为OA→·OB →＝0，所以向量OA →⊥OB →，将OA →，OB →放在平面直角坐标系中，如图所示，因为|OA →|＝1，|OB →|＝2，所以A (1，0)，B (0，2)．因为∠AOC ＝45°，所以点C 在直线y ＝x 上，设C (x ，x )，则OC→＝(x ，x )．由OC→＝mOA →＋nOB →，得(x ，x )＝m (1，0)＋n (0，2)，即(x ，x )＝(m ，2n )，所以m ＝2n ，即mn ＝ 2.【答案】21．(2015·湖南，9，中)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2，0)，则|P A →＋PB→＋PC →|的最大值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【答案】 B 由AB ⊥BC ，且A ，B ，C 在圆上， 所以AC 为圆的直径．所以|P A →＋PB →＋PC →|＝|2PO →＋PB →|≤2|PO→|＋|PB →|，|PO →|＝2，所以当|PB →|最大时取最值，|PB →|max ＝3. 所以|P A →＋PB→＋PC →|≤4＋3＝7. 2．(2015·安徽，15，难)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论中正确的是____________．(写出所有正确结论的编号)①a 为单位向量； ②b 为单位向量； ③a ⊥b; ④b ∥BC →；⑤(4a ＋b )⊥BC→.【解析】 ∵BC→＝AC →－AB →＝(2a ＋b )－2a ＝b ，∴BC→∥b ，且|b|＝|BC →|＝2，故④正确，b 不是单位向量，故②错误． 又∵AB→＝2a ，∴|AB →|＝2|a|＝2， ∴|a|＝1，故a 是单位向量，则①正确． 又a·b ＝|a||b|cos 120°＝1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1≠0，故③不正确．∵(4a ＋b )·BC →＝(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋|b|2＝4×(－1)＋22＝0，即4a ＋b 与BC →垂直，故⑤正确． 综上所述，正确的是①④⑤. 【答案】 ①④⑤3．(2015·天津，13，易)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝23BC →，DF→＝16DC →，则AE→·AF →的值为________．【解析】 如图，依题意得DC ＝1， 则AE→·AF →＝(AB →＋BE →)·(AB →＋BC →＋CF →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋23BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋BC →－512AB → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋23BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫712AB →＋BC → ＝712|AB →|2＋23|BC →|2＋2518AB →·BC → ＝712×4＋23×1＋2518×2×1×cos 120° ＝2918.【答案】 29184．(2015·江苏，14，难)设向量a k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos k π6，sin k π6＋cos k π6(k ＝0，1，2，…，12)，则 ∑11k ＝0(a k ·a k ＋1)的值为________． 【解析】 a k ·a k ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫cos k π6，sin k π6＋cos k π6·⎝⎛⎭⎪⎫cos k ＋16π，sin k ＋16π＋cosk ＋16π ＝cos k π6cos k ＋16π＋⎝⎛⎭⎪⎫sin k π6＋cos k π6·⎝⎛⎭⎪⎫sin k ＋16π＋cos k ＋16π＝cos k π6cos k ＋16π＋sin k π6sin k ＋16π＋sin k π6cos k ＋16π＋cos k π6sin k ＋16π＋cos k π6cos k ＋16π＝cos π6＋sin 2k ＋16π＋cos k π6cos k ＋16π， ∑11k ＝0 (a k ·a k ＋1)＝12cos π6＋∑11k ＝0sin 2k ＋16π＋∑11k ＝0cos k π6cos k ＋16π＝63＋0＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12×32＋0＝9 3. 【答案】 9 31．(2012·陕西，7，易)设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1，2cos θ)垂直，则cos 2θ等于( )A.22B.12 C ．0 D ．－1【答案】 C ∵a ⊥b ，∴1×(－1)＋cos θ·2cos θ＝0，即2cos 2θ－1＝0，∴cos 2θ＝0，故选C.2．(2014·浙江，9，难)设θ为两个非零向量a ，b 的夹角，已知对任意实数t ，|b ＋t a |的最小值为1( )A ．若θ确定，则|a |唯一确定B ．若θ确定，则|b |唯一确定C ．若|a |确定，则θ唯一确定D ．若|b |确定，则θ唯一确定 【答案】 B |b ＋t a |＝（b ＋t a ）2 ＝b 2＋2t |a ||b |cos θ＋t 2a 2 ＝|b |2＋2t |a ||b |cos θ＋t 2|a |2，令y ＝t 2|a |2＋2t |a ||b |cos θ＋|b |2，则y 是关于t 的一元二次函数．又∵|a |>0，∴其图象开口向上，因此在对称轴t ＝－|b ||a |·cos θ处取得最小值，由已知y min ＝4|a |2|b |2－4|a |2|b |2cos 2θ4|a |2＝|b |2－|b |2cos 2θ＝|b |2(1－cos 2θ)＝1， ∴|b |2sin 2θ＝1， ∴|b |sin θ＝1，∴若θ确定，sin θ确定，从而|b |确定． 若|b |确定，因为0≤θ≤π，所以θ不确定．3．(2014·安徽，10，难)设a ，b 为非零向量，|b|＝2|a|，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4和y 1，y 2，y 3，y 4均由2个a 和2个b 排列而成，若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4所有可能取值中的最小值为4|a|2，则a 与b 的夹角为( )A.2π3B.π3C.π6 D ．0【答案】 B x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4的可能取值情况为|a|2＋|a|2＋|b|2＋|b|2＝10|a|2或2a·b ＋|a|2＋|b|2＝5|a|2＋2a·b ＝5|a|2＋4|a|2cos 〈a ，b 〉或4a·b ＝4|a||b|cos 〈a ，b 〉＝8|a|2cos 〈a ，b 〉，代入选项知当〈a ，b 〉＝π3时，8|a|2cos 〈a ，b 〉＝4|a|2，符合题意．4．(2013·重庆，14，易)在以OA 为边，OB 为对角线的矩形中，OA →＝(－3，1)，OB→＝(－2，k )，则实数k ＝________． 【解析】 根据数量积的几何意义知OA →·OB →＝OA →·(OA →＋AB →)＝|OA →|2＝9＋1＝10，∵OA→·OB →＝(－3)×(－2)＋1×k ＝6＋k ， ∴6＋k ＝10，解得k ＝4. 【答案】 45．(2012·北京，13，易)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE→·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________． 【解析】 以A 点为原点，AB 边所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则正方形各顶点坐标分别为A (0，0)，B (1，0)，C (1，1)，D (0，1)，E (a ，0)，0≤a ≤1.DE →·CB →＝(a ，－1)·(0，－1)＝a ×0＋(－1)×(－1)＝1.DE →·DC →＝(a ，－1)·(1，0)＝a ＋(－1)×0＝a ≤1，故DE →·DC →的最大值为1. 【答案】 1 16．(2012·上海，12，中)在矩形ABCD 中，边AB ，AD 的长分别为2，1.若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|，则AM→·AN →的取值范围是________．【解析】 以矩形的顶点A 为原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立坐标系，如图所示，则B (2，0)，D (0，1)，C (2，1)．设|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|＝a ，则0≤a ≤1，|CN →|＝2a ，|BM →|＝a ， ∴M (2，a )，N (2－2a ，1)． AM→＝(2，a )，AN →＝(2－2a ，1)． ∴AM→·AN →＝4－3a . 又0≤a ≤1，∴1≤4－3a ≤4， ∴AM→·AN →∈[1，4]． 【答案】 []1，47．(2013·天津，12，中)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．【解析】 方法一：如图，AC →＝AB →＋AD →，BE →＝－12AB →＋AD →.因为AC→·BE →＝1，所以(AB →＋AD →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AB →＋AD →＝1， 则AD→2＋12AB →·AD →－12AB →2＝1.① 因为|AD→|＝1，∠BAD ＝60°，所以AB→·AD →＝12|AB →|， 因此①式可化为1＋14|AB →|－12|AB →|2＝1. 解得|AB→|＝12或|AB →|＝0(舍去)， 所以AB 的长为12.方法二：以A 为原点，AB 为x 轴建立如图的直角坐标系，过D 作DM ⊥AB 于点M .由AD ＝1，∠BAD ＝60°， 可知AM ＝12，DM ＝32.设|AB |＝m (m ＞0)，则B (m ，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋12，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.因为E 是CD 的中点，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋12，32.所以BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12m ，32，AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋12，32.由AC→·BE →＝1，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12m ＋34＝1，即2m 2－m ＝0，所以m ＝12或m ＝0(舍去)． 故AB 的长为12. 【答案】 12思路点拨：方法一利用平面向量运算，将AC→，BE →用已知向量AB →表示，然后求解；方法二建立合适的坐标系用坐标法求解，准确写出点的坐标是关键．8．(2011·浙江，15，中)若平面向量α，β满足||α＝1，||β≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α和β的夹角θ的取值范围是________．【解析】 ∵以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，即2×12|α||β|sin θ＝12，|α|＝1，|β|≤1，∴sin θ≥12.又θ∈[0，π]， ∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π69．(2013·辽宁，17，12分，中)设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a·b ，求f (x )的最大值． 解：(1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ， |b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1. 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.(2)f (x )＝a·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，当2x －π6＝π2，即x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1.所以f (x )的最大值为32.考向1 平面向量在平面几何中的应用平面向量在几何中的应用(1)证明线段平行问题，常用向量平行(共线)的充要条件：a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件： a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(3)求夹角问题，常用公式： cos θ＝a ·b|a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. (4)求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模 |a|＝a ·a ＝x 2＋y 2或|AB |＝|AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2. (1)(2013·福建，10)在四边形ABCD 中，AC→＝(1，2)，BD →＝(－4，2)，则该四边形的面积为( )A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．10(2)(2014·天津，13)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为________．【解析】 (1)AC →·BD →＝(1，2)·(－4，2)＝0，故AC →⊥BD →.故四边形ABCD 的对角线互相垂直，面积S ＝12·|AC →|·|BD→|＝12×5×25＝5，故选C. (2)如图，由题意可得AB→·AD →＝|AB →|·|AD →|cos 120°＝2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2，在菱形ABCD 中，易知AB →＝DC →，AD →＝BC →，所以AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13AD →，AF→＝AD →＋DF →＝1λAB →＋AD →，AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫1λAB →＋AD →＝4λ＋43－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13λ＝1，解得λ＝2.【答案】 (1)C (2)2【点拨】 解题(1)的关键是利用向量证明AC ⊥BD ；解题(2)的关键根据条件把向量AF→，AE →用向量AB →，AD →表示出来，再用向量数量积公式运算．用向量解决平面几何问题的方法(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如平行、垂直和距离、夹角等问题；。
2016年全国课标卷 高考二轮复习-数学ppt
在临考前的半个月， 考生要处理好两个 问题： 1. 如何在短时间内进行合理训练， 达到“恰到好处、高效提分”？ 2. 如何掌握好应试技巧， 使得两小时的考试能正常或超水平发挥?
内容
高考数学模拟 卷（一） 高考数学模拟 卷（二） 高考数学模拟 卷（三）
时间
周六 周一 周二 周三 周四 周五
安排
解析几何综合题通常较难，在高 考试卷中位于第二压轴题的位置，属 于第二道坎。虽然如此，但是只要处 理得当，还是有信心做好的。 要注意四个字： 懂---弄懂题型，搞懂方法； 通---理顺思维，接通线路； 巧---求简意识，设而不求； 忍---不厌其烦，贵在坚持。
一、懂---弄懂题型，搞懂方法
1、与弦的中点和斜率相关问题：多用 “点差法”
横看成岭侧成峰， 远近高低各不同。 不识庐山真面目， 只缘身在此山中。
----北宋-苏轼
解析几何综合题通常较难，在高 考试卷中位于第二压轴题的位置，属 于第二道坎。虽然如此，但是只要处 理得当，还是有信心做好的。 要注意四个字： 懂---弄懂题型，搞懂方法； 通---理顺思维，接通线路； 巧---求简意识，设而不求； 忍---不厌其烦，贵在坚持。
高二暑假前，有准高三同学问： 我在高二暑假做什么数学题好呢？
利用暑假，在7月份集中半个月时 间，测验、分析过去7年的全国新课标 1的高考数学试题。要求：每两天一套 卷，第一天限定2小时做卷，第二天用 1小时改卷、分析。
每做完一套卷，分析时做两项工作： 1、试题三基层次
考查层次
双基
题型 选择题 填空题 解答题 选择题 填空题 解答题 选择题 填空题
128.86
语文 93（作文37.8）（历史新低） 理数 95.21 文数 85.39 英语 81（语法填空6.38基础写作6.79 读写任务11.94机读卡46.25听力9） 文综 169（政治52历史56地理61） 理综 163（物理63生物50化学59）
2016届高考数学二轮复习课件：高考大题专讲2
语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述
重
三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；
名
点
师
透 另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此 微
析
课
类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数
之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．
C 的对边，且 2cos Acos C(tan A·tan C－1)＝1.
重
(1)求 B 的大小；
名
点
师
透 析
(2)若 a＋c＝323，b＝ 3，求△ABC 的面积．
微 课
第20页
第一部分 专题二 高考大题专讲(二)
第二十页，编辑于星期五：二十点 四十七分。
与名师对话·系列丛书
大二轮专题辅导与增分攻略·二轮数学·理
第23页
第一部分 专题二 高考大题专讲(二)
第二十三页，编辑于星期五：二十点 四十七分。
与名师对话·系列丛书
大二轮专题辅导与增分攻略·二轮数学·理
(2015·陕西卷)△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，
c.向量 m＝(a， 3b)与 n＝(cos A，sin B)平行．
(1)求 A；
x∈R.
重 点
(1)求 f(x)的最小正周期；
名 师
透
微
析
(2)求 f(x)在闭区间－π4，π4上的最大值和最小值．
课
第11页
第一部分 专题二 高考大题专讲(二)
第十一页，编辑于星期五：二十点 四十七分。
与名师对话·系列丛书
大二轮专题辅导与增分攻略·二轮数学·理
2016版高考数学二轮复习配套课件：专题三 数列第1讲
专题三 数列
第1讲 等差数列、等比数列
第二页，编辑于星期五：二十三点 五十三分。
专题三 数列
2016考向导航——适用于全国卷Ⅱ 本讲考查的热点主要有三个方面：(1)对等差、等比数列基本 量的考查，常以客观题的形式出现，考查利用通项公式、前n 项和公式建立方程组求解，属于低档题；(2)对等差、等比数 列性质的考查，主要以客观题出现，具有“新、巧、活”的特 点，考查利用性质解决有关计算问题，属中低档题；(3)对等 差、等比数列的判断与证明，主要出现在解答题的第一问， 是为求数列的通项公式而准备的，因此是解决问题的关键环 节．
专题三 数列
(2)设 bn＝2a1an，则 bn＋1＝2a1an＋1，由于{2a1an}是递减数列，则 bn>bn＋ 1， 即 2a1an>2a1an＋ 1.因 为 y＝ 2x 是 单 调 增 函 数 ， 所 以 a1an>a1an＋1，所以 a1an－a1(an＋d)>0， 所以 a1(an－an－d)>0，即 a1(－d)>0，所以 a1d<0. 方法归纳 (1)解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之 间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解． (2)应牢固掌握等差、等比数列的性质，特别是等差数列中若“m ＋n＝p＋q，则 am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)”这一性质与 求和公式 Sn＝n（a1＋ 2 an）的综合应用．
栏目 导引
第十页，编辑于星期五：二十三点 五十三分。
专题三 数列
2．在本例(2)的条件下，求 a2＋a4＋a6＋…＋a2n(n∈N*)． 解：由已知得 a2，a4，a6，…，a2n，构成以 a2＝1 为首项，q2＝2 为公比的等比数列，所以其前 n 项和 Sn＝a2[1－1－（qq22）n]＝11－－22n＝2n－1.
2016届高考数学(理)二轮复习课件高考大题专讲1
重点透析 难点突破
题型一 导数与不等式问题 1． 利用导数解决不等式的恒成立问题时常采用分离参数法或 不等式转化法，通过求函数的最值加以解决． 2． 利用导数证明不等式关键是把不等式变形后构造恰当的函 数，然后用导数判断函数的单调性或求出最值，达到证明不等式 的目的．
(2015· 福建卷)已知函数 f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝kx(k∈R)． (1)证明：当 x>0 时，f(x)<x； (2)证明：当 k<1 时，存在 x0>0，使得对任意的 x∈(0，x0)， 恒有 f(x)>g(x)； (3)确定 k 的所有可能取值，使得存在 t>0，对任意的 x∈(0， t)，恒有|f(x)－g(x)|<x2.
[思路引导]
x
(1)转化为求 ax2＋x≤0 的解集；(2)转化为函数
2 h(x)＝e － －1 的零点存在问题，利用导数求解；(3)通过导数研 x 究函数 f(x)的单调性和极值，再求出 a 的范围．
[解]
(1)因为 ex>0，所以不等式 f(x)≤0 即为 ax2＋x≤0，
1 xx＋a ≤0，
[思路引导]
(1)欲证当 x>0 时， f(x)<x，只需构造函数 F(x)
＝f(x)－x，证明当 x>0 时，F(x)<0；(2)构造函数 G(x)＝f(x)－g(x)， 求 G′(x)，对 k 进行分类讨论，判断 G′(x)的符号，从而判断函 数 G(x)＝f(x)－g(x)的单调性，即可证得结果；(3)当 k>1 时，利用 (1)的结论，构造函数，利用导数判断该函数的单调性，从而可判 断满足题意的 t 是否存在；当 k<1 时，利用(2)的结论，再构造函 数，利用导数判断该函数的单调性，从而可判断满足题意的 t 是 否存在；当 k＝1 时，利用(1)的结论，构造函数，利用导数的知 识可判断是否存在满足题意的 t，从而确定 k 的取值．