《圆》第一节 垂直于弦的直径导学案1
九年级数学 《垂直于弦的直径》教案 人教新课标版
《垂直于弦的直径》第1课时教案新人教版初中九年级数学上册.2《垂直于弦的直径》教学过程和弧？引导学生归纳圆的性质（垂径定理）：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；3．辨一辨：在图中是否有AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD（1）（2）（3）如图,由垂径定理我们知道：已知直径CD使CD⊥AB于E，得到直径平分AB，并且平分弧ACB及平分弧AB。
观察图形，并思考：（1）已知CD是直径，且平分弦AB，能否得到CD⊥AB，且平分弧ACB及平分弧AB？学生讨论，并归纳得到：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）直线CD垂直于弦AB，且平分弦AB，能否得到CD经过圆心，且平分弧ACB及平分弧AB？引导学生归纳垂直定理。
3．学生独立判断，个别回答。
教师通过课件引导学生思考不断变换已知条件，从而可以得出相应的结论。
并归纳得出垂径定理的推论。
O EDCBA让学生体会到运用时要注意：直径和直径垂直于弦这两个条件缺一不可。
变换命题的条件，探索能够得到的结论，加深对垂直定理的认识。
并由垂直定理可以推出其他几个结论。
（3）如图AB弧，你能平分弧AB吗？5．组织反思对比【活动4】1．讲解例1一条排水管的截面如图所示。
已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16。
求截面圆心O到水面的距离。
想一想：排水管中水最深多少？2．变式一：已知排水管的半径OB=10，圆心O到水面的距离OC=6，求排水管的水面宽AB是多少？变式二：已知排水管的水面宽AB=16，圆心O到水面的距离OC=6，求排水管的半径？变式三：已知排水管的水面宽AB=16，水深CD=4，求排水管的半径？3．反思：若圆心到弦的距离为d，半径为R，弦长为a,弓形的高为h.这四者之间具有怎样的关系式？4．解决引入的问题（赵州桥的半径问题）5．巩固练习：1.如图,在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心到AB的距离为3cm,则⊙O的半径为2.弓形的弦长为24cm，弓形的高为1．师生共同完成例题的求解。
垂直于弦的直径教案
《垂直于弦的直径》教案1赣县江口中学康海芯1．教学设计说明：本节课努力实现学生的主体地位，使数学教学成为一种过程教学，教师要注意角色的转变，成为学生学习的组织者、参与者、合作者，教师的责任是为学生创造一种宽松和谐、适合发展的学习环境，创设一种有利于思考、讨论、探索的学习氛围，根据学生的实际水平，选择恰当的教学起点和教学方法．整堂课以思维为主线，充分利用直观教具与学具及计算机辅助教学，让学生充分参与数学学习，融基础性、灵活性、实践性、开放性于一体，通过“实验——观察——猜想——证明——应用”，使学生在获得知识的同时提高兴趣，增强信心，提高能力．2．教学分析（1）教材分析本节是《圆》这一章的重要内容，也是本章的基础．它揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系，是圆的轴对称性的具体化；也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据；同时也为进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据；由垂径定理的得出，使学生的认识从感性到理性，从具体到抽象，有助于培养学生思维的严谨性．同时，通过本节课的教学，对学生渗透类比、转化、数形结合、方程、建模等数学思想和方法，培养学生实验、观察、猜想、抽象、概括、推理等逻辑思维能力和识图能力．所以它在教材中处于非常重要的位置．（2）学情分析处于这一阶段的学生，对于圆的弦、弧等已经了解，但对于它们之间的关系还不太明白，还需要在课堂上进一步引导，达到教学目标．3．教学目标：知识技能：使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题．过程方法：渗透类比、转化、数形结合、方程等数学思想和方法，培养学生实验、观察、猜想、抽象、概括、推理等逻辑思维能力和识图能力．情感、态度与价值观：渗透数学来源于实践和事物之间相互统一、相互转化的辩证唯物主义观点，让学生体会几何图形所蕴涵的对称美．4．教学重点和难点：重点:垂径定理及其应用．难点:对垂径定理题设与结论的区分及定理的证明．5．课时设计两课时．6．教学方法引导发现法和直观演示法．让学生在课堂上多活动、多观察、多合作、多交流，主动参与到整个教学活动中来，组织学生参与“实验---观察---猜想---证明”的活动，最后得出定理．7．教学过程第一环节情境引入刘师傅遇到了一件麻烦事，因为我校一处圆形下水道破裂，他准备要换新管道，但只知道污水水面宽为60cm ，水面至管道顶部距离为10cm ，你能帮助刘师傅计算一下他应该准备内径多大的管道吗？以我们目前所学知识你是否可以解决这个问题？如果不能，问题出现在哪里？要想解决这个问题，你认为应该有怎样的关系？【设计意图】让学生从实际出发，充分发现问题的存在，再带着问题去思考它们之间的关系，有助于定理的得出．第二环节 定理探究巧手剪一剪将圆沿着圆心O 对折，然后沿着圆的一半轮廓线剪下．展开后是一个完整的圆吗？这说明了什么？圆是轴对称图形它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？巧手折一折1．将刚才折出的直径记为CD ．2．你能折一条与直径CD 垂直的弦吗？3．将弦记为AB ，将垂足记为M ，则有AB ⊥CD 于M ．4．你能发现图中有哪些等量关系？请你说说它们相等的理由．结论证明已知：CD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的一条弦，且CD ⊥AB 于M ，求证：AM =BM ， AC BC=， AD BD =．归纳整理垂径定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧．依据垂径定理可以得到下列结论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．【设计意图】这样设计培养了学生的观察能力和归纳、概括的思维能力，并使学生领略到圆的对称美，同时发展了学生的符号感，分化了难点．增加学生的兴趣，使学生通过探索发现、思维碰撞，获得对数学最深切的感受，体会成功的乐趣，发展思维能力，富有成就感．第三环节 例题精讲【例1】在⊙O 中，若CD ⊥AB 于M ，AB 为直径，则下列结论不正确的是（ ）A ． AC AD =B ． BCBD = C ．AM =OM D ．CM =DM 分析：画出图形，利用垂径定理来判断结论．解：C【例2】已知⊙O 的直径AB =10，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，OM =3，则CD = ． 分析：画出图形，构造直角三角形，利用勾股定理求解．解：8【例3】在⊙O 中，CD ⊥AB 于M ，AB 为直径，若CD =10，AM =1，则⊙O 的半径是 ． 分析：画出图形，构造直角三角形，利用勾股定理求解．解：13【例4】已知：如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点．你认为AC 和BD 有什么关系？为什么？分析：依据垂径定理模型和等式性质来证明．证明：过O 作OE ⊥AB ，垂足为E ，则AE ＝BE ，CE ＝DE ．∴ AE －CE ＝BE －DE即 AC ＝BD ．【设计意图】如此设计可调动学生积极性，使其更深入地掌握定理的内涵，提高学生归纳、概括的能力．第四环节 巩固练习1．如图，AB 是⊙O 的直径，AB ⊥CD 于点E ，若CD ＝6，则DE ＝（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，若 ，则CE =DE ．（只需填一个条件）3．如图，CD 是⊙O 的直径，AB 是弦，CD ⊥AB ，垂足为M ，则可得出AM =BM ，弧AC =弧BC ，请你按所绘图形再写出另两个结论．4．已知如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，若圆心O 到AB 的距离为3 cm ，则 ⊙O 的半径为 cm ．5．已知⊙O 的直径是50 cm ，⊙O 的两条平行弦AB =40 cm ，CD =48cm ，求弦AB 与CD 之间的距离．参考答案：1．A 2．CD ⊥AB3．答案不唯一，如弧AD =弧BD , △ABC 是等腰三角形4．55．如图所示，包括两种情况：（1）弦AB 和CD 在⊙O 两旁，d =15-7=8cm ，15+7=22cm ；（2）弦AB 和CD 在⊙O 同旁，d =15-7=8cm ．【设计意图】检查学生对基础知识的掌握情况．对垂径定理的理解应用．第五环节 反思升华引导学生从以下几个方面进行小结：（1）你学到了哪些知识？（2）垂径定理有哪些作用？【设计意图】通过归纳总结，使学生优化定理，内化知识．第六环节 课后作业1．如图，O 中，弦AB 的长为6cm ，圆心O 到AB 的距离为4cm ，则O 的半径长为（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm2．如图，在⊙O 中， 40AB AC A °=?，，则B Ð=________度．3．如图，⊙O 的半径OA =10㎝，弦AB =16㎝，P 为AB 上一动点，则点P 到圆心O 的最短距离为________㎝．4．如图，已知⊙O 的半径为5，弦8AB =，P 是弦AB 上任意一点，则OP 的取值范围是 ．5．如图，BD 是⊙O 的弦，PO ⊥BD 于M 点，PB 、PB 分别交⊙O 于A ，C 点．根据以上条件，写出三个正确结论：① ；② ；③ ．6．如图，在⊙O 中，弦5AB AC ==cm ，8BC =cm ，求⊙O 的半径．参考答案：1．C 2．70 3．64．3≤OP ≤55．答案不唯一，如：PA PC PB PD BPM MPD B D ==∠=∠∠=∠，，，，△PBM ≌△PDM 等．6．连接AO 交BC 于D 点，连接OB ．则BD =4，可以求得AD =3．设OB =r ，得r 2=42＋（r －3）2，解得r =256．板书设计本教案已用于实际教学，反思整节课，我有以下感受：1．注重解决问题策略的多样化．教学中，我努力引导学生通过动手，多手段、多角度地探索，分析问题、解决问题，发展创新意识．2．本节教学虽然达到了预期的效果，但也存在着不足：例如：在学生汇报学习结果时，没有借助其他的教学手段来辅助教学，致使班内理解能力较差的学生没有透彻的理解．从而学困生没有掌握此解题方法，也让他们在解决问题时缺乏了自信心．。
垂直于弦的直径教案
垂直于弦的直径教案
一、教学目标：
1. 学生能够理解并掌握垂直于弦的直径的定义和性质。
2. 学生能够熟练运用垂直于弦的直径定理解决相关问题。
3. 培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
二、教学内容：
1. 垂直于弦的直径的定义：在圆中，过圆心且与弦垂直的线段称为该弦的直径。
2. 垂直于弦的直径的性质：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧。
3. 垂直于弦的直径定理的应用：通过实例讲解如何运用垂直于弦的直径定理解决问题。
三、教学策略：
1. 导入新课：通过提问或展示相关图片，引导学生回顾圆的基本概念，为学习垂直于弦的直径做好铺垫。
2. 讲解新知：通过讲解和示范，让学生理解垂直于弦的直径的定义和性质，并通过实物模型或动画演示，帮助学生形象地理解垂直于弦的直径的概念。
3. 实践操作：设计一些实际问题，让学生运用垂直于弦的直径定理进行求解，提高学生的实际操作能力和问题解决能力。
4. 课堂小结：总结本节课的主要内容，让学生复述垂直于弦的直径的定义和性质，以及如何运用垂直于弦的直径定理解决问题。
四、教学资源：
1. 教材：《中学数学》
2. 实物模型：圆规、直尺、圆规等
3. 动画演示：利用电脑软件或PPT制作垂直于弦的直径的动画演示。
4. 练习题：设计一些关于垂直于弦的直径的问题，让学生进行实践操作。
五、教学评价：
1. 过程评价：观察学生在实践操作中的表现，了解学生对垂直于弦的直径的理解程度和应用能力。
2. 结果评价：通过课堂小结和课后作业，检查学生对垂直于弦的直径的定义、性质和定理的理解和应用情况。
垂直于弦的直径_导学案.docx
垂直于弦的直径导学案一、知识点回顾：1.圆上各点到圆心的距离都等于__________ ,到圆心的距离等于半径的点都在.2.女口右图_________ 是弓玄， __________ 是劣弧，________ 是优弧。
3.确定一个圆的两个条件是___________ 和__________ o4.圆心到弦的距离叫做_______________5.弦AB所对的弧分为两段______________ 和______________ 。
二、新知学习：1、动手实验，集体研究；活动（一）：用纸剪一个圆，并沿着圆的任意一条直径对折问题1：你发现了什么？问题2：由此你得到什么结论？结论为：活动（二）：再把圆折一次，使前后两条折痕垂直，请画出可能情况的图形。
其中一种情形如右图：问题1：图中AE=BE吗，为什么？问题2：图中有哪些弧相等？问题3：由此你得到什么结论?1、答2、答3、答所得结论的题设为： ____________________________________________________________________ 所得结论的结论为： ____________________________________________________________________ 结合上面图形，可转化为已知、求证。
已知：求证：证明:垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并平分弦所对的两条弧. 几何语言：•••下列图形是否具备垂径定理的条件？应用垂径定理的几个基本图特别注意：_______________________________________________________________________ 三、学以致用：1.在直径是20cm的OO中，AB的长度是16cm,那么弦AB的弦心距OD长为______________ .2.弓形的弦长（弓的跨度为AB）为6cm,弓形的高（弓高为CD）为lcm,则这弓形祈在的圆的半径为________ •例题解析：例1.在OO中，弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm,求OO的半径.大显身手：你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题吗?[问题：它的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m,拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？趁热打铁:1、如图，在直径为100毫米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示。
《24.1.2垂直于弦的直径》学历案-初中数学人教版12九年级上册
《垂直于弦的直径》学历案（第一课时）一、学习主题本课学习主题为“垂直于弦的直径”，是初中数学中关于圆的基础知识之一。
通过本课的学习，学生将掌握垂直于弦的直径的定理及其应用，为后续学习圆的性质、计算以及解决实际问题打下基础。
二、学习目标1. 理解垂直于弦的直径的定理，并能够运用该定理解决简单的几何问题。
2. 掌握通过作图、计算等方式，验证垂直于弦的直径定理的正确性。
3. 培养学生的空间想象能力和几何直观能力，提高学生的数学思维能力。
三、评价任务1. 评价学生对垂直于弦的直径定理的理解程度，通过课堂提问和互动进行观察和记录。
2. 评价学生运用定理解决问题的能力，通过布置相关练习题，观察学生的完成情况和正确率。
3. 评价学生的作图和计算能力，通过学生的作图和计算过程及结果进行评价。
四、学习过程1. 导入新课：通过回顾之前学习的圆的相关知识，引出本课的学习主题——垂直于弦的直径。
2. 新课讲解：（1）讲解垂直于弦的直径的定理，包括定理的内容和定理的应用。
（2）通过作图、计算等方式，验证定理的正确性。
（3）举例说明定理在解决实际问题中的应用。
3. 学生活动：学生分组进行作图、计算等实践活动，加深对定理的理解和掌握。
4. 课堂小结：总结本课学习的重点和难点，强调垂直于弦的直径定理的重要性和应用价值。
五、检测与作业1. 检测：通过布置相关的练习题，检测学生对垂直于弦的直径定理的理解和运用能力。
2. 作业：布置适量的练习题和作业，包括作图、计算和应用等方面，要求学生认真完成并加以复习。
六、学后反思1. 本课的教学重点和难点是否把握得当？是否需要根据学生的实际情况进行调整？2. 学生在学习过程中是否存在困惑或疑问？如何帮助学生解决这些问题？3. 本课的教学方法和手段是否有效？是否需要采用更多的互动式教学或实践式教学方式？4. 学生在作图、计算和应用等方面是否存在不足？如何加强这方面的训练和提高？通过本课的反思，教师可以更好地了解学生的学习情况和自己的教学效果，从而调整教学策略，提高教学质量。
圆导学案之垂径定理
28.1.2 垂直于弦的直径（1）班级: 姓名：时间：学习目标：1．理解圆的轴对称性；２.了解拱高、弦心距等概念；３．使学生掌握垂径定理，并能应用它解决有关弦的计算和证明问题。
一、自主先学⒈叙述：请同学叙述圆的几何定义？⒉连结圆上任意两点的线段叫圆的________，圆上两点间的部分叫做_____________，在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做______________。
3.课本P80页有关“赵州桥”问题。
二、展示时刻1）、动手实践，发现新知⒈同学们能不能找到下面这个圆的圆心？动手试一试.⒉问题：①在找圆心的过程中，把圆纸片折叠时，两个半圆_______②刚才的实验说明圆是____________，对称轴是经过圆心的每一条_________。
2)、创设情境，探索垂径定理⒈在找圆心的过程中，折叠的两条相交直径可以是哪样一些位置关系呢？⒊要求学生在圆纸片上画出图形，并沿CD折叠,实验后提出猜想。
⒋猜想结论是否正确，要加以理论证明引导学生写出已知、求证。
然后让学生阅读课本P81证明，并回答下列问题：⒌垂径定理：推论：平分弦（）的直径垂直于弦，并且表达式：6．辨析题：下列各图，能否得到AE=BE的结论？为什么？【问题探究】D D例1．圆的半径为5cm，圆心到弦AB的距离为4cm，则AB=______cm．【练习】如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB=______cm．例2．已知：如图，有一圆弧形拱桥，拱的跨度AB=16cm，拱高CD=4cm，那么拱形的半径是cm.【练习】１．一条排水管的截面如图所示，水面宽AB=16，水深CD=4，求水管截面所在圆的直径。
例3：已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE=1，AE=5，∠AEC=30°，求CD的长．【练习】１．如图，在RtΔABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E，求AB、AD的长．三、学生展示1．如图1，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，•错误的是（）．A．CE=DE B．BC BDC．∠BAC=∠BAD D．AC>AD(图1) (图2) (图3) （图4）2．如图2，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（）A．4 B．6 C．7 D．83．如图3，已知⊙O的半径为5mm，弦AB=8mm，则圆心O到AB的距离是（）BA ．1mmB ．2mmmC ．3mmD ．4mm 4．P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为________；• 最长弦长为_______． 5．如图4，OE ⊥AB 、OF ⊥CD ，如果OE=OF ，那么_______（只需写一个正确的结论） 四、当堂训练定理的应用（2013•黄冈）如图，M 是CD 的中点，EM ⊥CD ，若CD=4，EM=8，求所在圆的半径.28.1.2垂直于弦的直径（2）班级: 姓名： 时间：学习目标：熟练掌握垂径定理及其推论，并能应用它解决有关弦的计算和证明问题。
《垂直于弦的直径》教案
《垂直于弦的直径》教案第一章：导入教学目标：1. 引导学生观察和思考圆中的垂直关系。
2. 激发学生对垂直于弦的直径的兴趣和好奇心。
教学内容：1. 引导学生回顾圆的基本概念和性质。
2. 引导学生观察和思考圆中垂直于弦的直径的特点。
教学活动：1. 引导学生观察和描述圆中的垂直关系。
2. 引导学生思考垂直于弦的直径的性质和特点。
教学评估：1. 观察学生对垂直于弦的直径的兴趣和参与程度。
2. 评估学生对垂直于弦的直径性质的理解和应用能力。
第二章：理论讲解教学目标：1. 帮助学生理解垂直于弦的直径的性质。
2. 引导学生通过几何推理证明垂直于弦的直径的性质。
教学内容：1. 介绍垂直于弦的直径的性质。
2. 引导学生通过几何推理证明垂直于弦的直径的性质。
教学活动：1. 引导学生观察和分析垂直于弦的直径的性质。
2. 引导学生运用几何推理证明垂直于弦的直径的性质。
教学评估：1. 观察学生对垂直于弦的直径性质的理解程度。
2. 评估学生运用几何推理证明垂直于弦的直径性质的能力。
第三章：实例解析教学目标：1. 帮助学生通过实例分析和理解垂直于弦的直径的性质。
2. 培养学生运用垂直于弦的直径性质解决实际问题的能力。
教学内容：1. 提供实例，引导学生分析和理解垂直于弦的直径的性质。
2. 引导学生运用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。
教学活动：1. 引导学生分析和理解实例中垂直于弦的直径的性质。
2. 引导学生运用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。
教学评估：1. 观察学生对实例中垂直于弦的直径性质的理解程度。
2. 评估学生运用垂直于弦的直径性质解决实际问题的能力。
第四章：练习与巩固教学目标：1. 帮助学生巩固对垂直于弦的直径的理解和应用能力。
2. 培养学生通过练习题解决问题的能力。
教学内容：1. 提供练习题，引导学生巩固对垂直于弦的直径的理解和应用能力。
教学活动：1. 引导学生独立完成练习题。
2. 引导学生与同伴交流讨论，共同解决问题。
导学案 垂径定理
B ACD O M ）课前导学学习目标在明确圆的有关概念的基础上，学习垂径定理，并能初步应用垂径定理解决实际问题。
学习要求自己制作学具：准备一个圆形纸片，通过操作理解垂径定理，不理解的用“？”标记。
学习重点垂径定理及其运用。
学习难点探索垂径定理及利用垂径定理解决一些简单的实际问题。
学法指导 阅读法 探究法 讨论法 练习法学习用具 圆规、三角尺、圆形纸片知识回顾与准备复习：1、说出圆、弦、直径、弧（优弧、劣弧）、等圆、等弧的定义。
2、“弦是直径”这句话正确吗？为什么？。
指导自学自主学习（自学教材P 81----P 82）1.仔细阅读，完成81页探究。
2.结合81页探究，试完成讲学稿检测预习与助学.3．试归纳垂径定理。
4、试完成当堂检测。
检测预习与课堂助学一、动动手：阅读课本81页探究。
通过折叠，我发现： ．我是利用 方法解决圆的对称轴问题的．因此，我可以得到：圆是 图形，其对称轴是 ．二、探究进一步，还可得到：推论------平分弦（不是直径）的直径 弦，并且 弦所对的两条弧．试一试：.填空：如上图，CD 是⊙O 的直径，AB ⊥CD ，则AM= ，AC = .AD=思考：1、在上图中，已知⊙O 的半径与弦AB 的长度，且AB ⊥CD ，如何求出OM 的长度？2、根据垂径定理，利用尺规作图如何作出一个圆的圆心？如何作一条弧所在圆的圆心？三、实际应用：赵州桥主桥拱是圆弧形，他的跨度（弧所对的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？助学：已知弦、拱高，所以做弦AB 的垂直平分线OC, D 为垂足，OC 与弧AB 相交于点C ，再任作一条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点，即为圆心O思路导航：根据垂径定理，D 是AB 的 ，C 是 的中点，CD 就是拱高。
半径都相等，设OA=x 则OD= ，利用Rt △AOD 的三边关系求出半径。
写出解题过程：方法小结：当堂检测（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是 （2）写出你发现的图中相等的线段、弧和角？ 相等的线段： 相等的弧： 相等的角： （3）结论 思路导航：∵直径CD 弦AB ，∴CD 平分 及 ． 这样，就得到下面的定理： 垂径定理---------垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对的两条弧．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《圆》第一节垂直于弦的直径导学案1
主编人：占利华主审人：
班级：学号：姓名：
学习目标：
【知识与技能】
1理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其他结论
2学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题
3了解拱高、弦心距等概念
【过程与方法】
经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及其他结论的过程，锻炼思维品质，学习证明的方法
【情感、态度与价值观】
在学生通过观察、操作、变换、探究出图形的性质后，还要求对发现的性质进行证明，培养学生的
新意识，良好的运用数学
【重点】
垂径定理及其推论
【难点】
垂径定理及其推论
学习过程:
一、自主学习
（一）复习巩固
判断：
1、直径是弦，弦是直径。
（）
2、半圆是弧，弧是半圆。
（）
3、周长相等的两个圆是等圆。
（）
4、长度相等的两条弧是等弧。
（）
5、同一条弦所对的两条弧是等弧。
（）
6、在同圆中，优弧一定比劣弧长。
（）
7、请在图上画出弦CD，直径AB.并说明___________________________叫做弦；
_________________________________ 叫做直径.
8、在图上画出弧、半圆、优弧与劣弧并填出概念及表示方法.弧：___ _ 半圆：_________________________ 优弧：________________ _ 表示方法：__
劣弧：______________________________ _,表示方法：______
9、同心圆: __________________ _ _等圆: __________________________ _.
10、同圆或等圆的半径_______.等弧: _______________________
（二）自主探究
请同学按下面要求完成下题：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
相等的线段：
相等的弧：
表达式： 下面我们用逻辑思维给它证明一下：
已知：直径CD 、弦AB 且CD ⊥AB 垂足为M 求证：AM=BM ，弧AC=BC ，弧AD=BD.
分析：要证AM=BM ，只要证AM 、BM 构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA 、•OB 或AC 、BC 即可．
证明：如图，连结OA 、OB ，则OA=OB 在Rt △OAM 和Rt △OBM 中
∴Rt △OAM ≌Rt △OBM( ) ∴AM=
∴点 和点 关于CD 对称 ∵⊙O 关于CD 对称 ∴当圆沿着直线CD 对折时，点A 与点B 重合，弧AC 与BC 重合，AD 与CD 重合．
∴ ， ，
表达式：
（三）、归纳总结：
1．圆是 图形，任何一条 所在直线都是它的对称轴．
2．垂径定理
推论 ． （四）自我尝试：
1、辨析题：下列各图，能否得到AE=BE 的结论？为什么？
D A D
D
A
2、赵州桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m ，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m ，你能求出赵州桥的主桥拱的半径吗？
注：在半径r,弦a ，弦心距d,拱高h 四个量中，任意知道其中的 个量中，
利用 定理，就可以求出其余的量。
3、如图，两圆都以点O 为圆心，求证AC=BD
二、教师点拔
1、圆是轴对称图形，经过圆心的 都是它的对称轴。
由此可得出垂径定理：垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对的两条弧。
平分弦（不是直径）的直径 于弦，并且 弦所对的两条弧。
如果具备垂径定理五个条件中的任何两个，那么也就具备其他三个及其推论，可以概括如下，对于一个圆和一条直线来说，如果一条直线具备① 经过圆心，② 垂直于弦， ③平分弦（不是直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，五个条件中的任何两个，那么也就具备了其他三个。
在圆的有关计算和证明中，常作圆心到 的垂线段，这样不仅为利用垂径定理创造条件，而且为构造直角三角形利用勾股定理，沟通已知与未知量之间的关系创造条件。
2、本节学习的数学方法是数形结合和转化思想。
三、课堂检测
1、如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，求⊙O 的半径。
D
2、如图，在⊙O 中，AB ，AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB 于D ，OE ⊥AC 于E ，求证四边形ADOE 是正方形。
四、课外训练
1．P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为________；•最长弦长为_______．
2．如图5，OE 、OF 分别为⊙O 的弦AB 、CD 的弦心距，如果OE=OF ，那么_______（只需写一个正确的结论）
(5) （6）
3．如图6，⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，则弦CD 长 4.如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中CD ，点O 是CD 弧所在圆的圆心，•其中CD=300m ，E 为CD 弧上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF=45m ，求这段弯路的半径．
5.AB 和CD 分别是⊙O 上的两条弦，圆心O 到它们的距离分别是OM 和ON ，如果AB ＞CD ，OM
和ON 的大小有什么关系？为什么？
A B。