初三数学正弦、余弦和正切知识精讲 湘教版
九年级数学(湘教版)上册课件：正弦和余弦
2.若是普通直角三角形，当一个锐角的度数固定时，这个 角的对边与斜边的比值是否也是固定值呢?
学生组内讨论探索 (学生画图并运用三角形类似知识加以证明) 规律：(1)直角三角形中，锐角大小确定后，这个角的对边与 斜边的比值随之确定； (2)直角三角形中一个锐角的度数越大，它的对边与斜边的比 值越大.
动手实践，寻找规律
• 由推理可得：角度不变，比值不变
• 由动态演示：角度改B变’，比值改变
B D D’
A
αβ C C’
类似地可以证明：在有一个锐角等于α的所有直角三 角形中，角α的对边与斜边的比值为一个常数．
定义
在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比叫做角α的正
弦，记作: sin
即:
sin
角的对边
cos＝sin 90- ，
sin＝cos90 ．
例
题
求 cos30 ，cos 60 ，cos 45 的值．
cos30 sin 90 30 sin 60 3 ,
2
cos 60 sin 90 60 sin 30 1 ,
2
cos 45 sin 90 45 sin 45 2 .
2
35° 68°
88° 9° 30°18′
76°18′ 9°38′ 81°53′
cos
0.3746 0.3746 0.0349 0.9877 0.8634
0.2368 0.9859 0.1409
65角的对边
斜边
的值，
与同桌和邻近桌的同学交流，计算出 的比值是否相等（精确到0.01）？
结论：在有一个锐角为65º的直角三角形中， 65º角的对边与 斜边的比值是一个常数，它约等于0.91．
湘教版九年级数学上册第4章4.1《正弦和余弦》精品PPT教学课件
α
α
万向思维精品图书
∵ ∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，
∴ ∠B=∠E. 从而 sin B sin E, 因此 AC DF .
AB DE
由此可得，在有一个锐角等于 α的所有直角三
角形中，角 α的邻边与斜边的比值是一个常数，与
直角三角形的大小无关．
万向思维精品图书 如图，在直角三角形中，我们把锐角的邻边与斜
（1）
（2）
万向思维精品图书
小明量出∠A的对边BC=3cm，斜边AB=3.3cm，
算出：
A的对边 斜边
3 3.3
10 . 11
小亮量出∠A′的对边B′C′=2cm， 斜边A′B′=2.2cm，
算出：
A'的对边 斜边
2 2.2
10 . 11
万向思维精品图书
由此猜测：在有一个锐角为65°的所有直角三角形 中，65°角的对边与斜边的比值是一个常数，它等于 10 .
11
这个猜测是真的吗？ 若把65°角换成任意一个锐
角 α ，则这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数
呢？
万向思维精品图书
新知探究
如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其
中∠A=∠D= α， ∠C=∠F=90°，则
BC AB
EF 成
DE
立吗？为什么？
α
α
万向思维精品图书
∵ ∠A=∠D = α， ∠C=∠F= 90°，
边的比叫作角 α的余弦，记作 cos ，即
cos 角 的邻边 斜边
α
万向思维精品图书
从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角 α，
cos= sin( -).
sin= cos( -).
湘教版数学九年级上册《4.1.1正弦和余弦》说课稿2
湘教版数学九年级上册《4.1.1正弦和余弦》说课稿2一. 教材分析湘教版数学九年级上册《4.1.1正弦和余弦》这一节，是学生在学习了三角函数的概念、角的弧度制等基础知识后，进一步深入研究三角函数的性质。
本节课主要介绍了正弦和余弦的概念、性质和应用。
通过本节课的学习，学生能够理解正弦和余弦的定义，掌握它们的性质，并能运用正弦和余弦解决一些实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对三角函数的概念和角的弧度制有所了解。
但是，对于正弦和余弦的定义和性质，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我将会注重引导学生从实际问题中抽象出正弦和余弦的概念，并通过讲解和示例，让学生掌握正弦和余弦的性质。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解正弦和余弦的定义，掌握它们的性质，并能运用正弦和余弦解决一些实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察和实验，学生能够从实际问题中抽象出正弦和余弦的概念，并运用归纳和演绎的方法，推导出正弦和余弦的性质。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂讨论，培养合作和交流的能力，提高对数学学科的兴趣和热情。
四. 说教学重难点1.重点：正弦和余弦的定义及其性质。
2.难点：正弦和余弦的性质的推导和应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动的教学方法，通过引导学生从实际问题中抽象出正弦和余弦的概念，并运用归纳和演绎的方法，推导出正弦和余弦的性质。
2.教学手段：利用多媒体课件和实物模型，帮助学生直观地理解正弦和余弦的概念和性质。
同时，通过数学软件和计算器，让学生能够实际操作，验证正弦和余弦的性质。
六. 说教学过程1.导入：通过展示一些实际问题，如音乐乐谱中的音符、建筑设计中的角度等，引导学生从实际问题中抽象出正弦和余弦的概念。
2.新课导入：介绍正弦和余弦的定义，并通过示例让学生理解它们的含义。
3.性质探究：引导学生通过观察和实验，发现正弦和余弦的性质，并运用归纳和演绎的方法，推导出正弦和余弦的性质。
湘教版九年级上4.1正弦和余弦(第一课时)课件(共14张PPT)
c
注意:(1).“ sin ”是一个完整的符号，不要误解为sin× ,
今后所学的其他的三角函数符号也是这样。
Ca B
sin (2).“
”的值与Rt△ABC的三边的大小无关，只与锐角的大小有关，
如果锐角的大小固定，则这个比值固定；不同的锐角对应不同的比值。
布置作业
1、完成全效74页的当堂测评和75页 A组部分的题目。
猜想得到了证实：在有一个锐角等于α 的所有直角三角形中，角α的对边与斜 边的比值为一个常数．
预备知识
∠C（直角）的对边 AB(c)
∠A的对边 BC(a)
B
∠A的邻边 AC(b) ∠B的对边 AC(b)
∠A的对边a
A ∠A的邻边b C B
∠B的邻边 BC(a)
∠B的邻边a
A ∠B的对边b C
定义
。
在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比叫做角α的正
弦，记作: sin
即:
sin
角的对边
斜边
BC AB
a c
A
c
Ca B
如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°,AB ＝c, AC ＝b, BC ＝a.
则
sinA ＝ BC a
AB c
sinB ＝ AC b AB c
正弦符号表示法：
sin A sin sin 1
理解概念
sin ABC sin 300
注意:(1).“ sin ”是一个完整的符号，不要误解为sin× ,
今后所学的其他的三角函数符号也是这样。
(2).“ sin ”的值与Rt△ABC的三边的大小无关，
只与锐角的大小有关，如果锐角的大小固定，则这个 比值固定；不同的锐角对应不同的比值。
湘教版九年级数学上册精品教学课件 第四章 锐角三角函数 第2节 正切
练习
4.求下列各式的值.
练习
=
a
c
sinA=
小结 回顾
在Rt△ABC中,∠ACB=90°.
及时总结经验，要养成积累方法和经验的良好习惯！
=
b
c
cosA=
=
a
b
tanA=
1.我们学习了锐角三角函数的三个定义，下面我们先来看一 下这三个概念.
回味 无穷
(1)sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角 (注意数形结合，构造直角三角形).
M
N
则BM=DM=
易得：DN=
sin 30°=
sin 45°=
sin 60°=
cos 30°=
cos 45°=
cos 60°=
特殊角的正弦、余弦函数值
复习回顾
思考
前面我们已经研究了直角三角形中的对边与斜边的关系，还剩下两条直角边的关系没有探究，类比前面的方法，请同学们思考，该如何解决这个问题呢？
在直角三角形中， 当一个锐角的大小确定时， 那么不管这个三角形的大小如何， 这个锐角的直角边与斜边的比值也就确定（是一个常数）. 那么这个锐角的对边与邻边的比值是否也是一个常数呢？
中考 试题
B
例3(2012四川）如图，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部(B处)6米的D处，仰望旗杆顶端A，测得仰角为60°，眼睛离地面的距离ED为1.5米．试帮助小华求出旗杆AB的高度． (结果精确到0.1米, ).
)
中考 试题
，可求出AC的长.进而可
中考 试题
B
例1（2011甘肃）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交 点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△ ，则 的值为( )
湘教版九年级上册数学教学课件 第4章锐角三角函数 正弦和余弦 第3课时余弦
记作 cosA .
cos A =
∠A的邻边
斜边
=
b c
课程讲授
1 余弦
A
α
C
B
sinB = cosA，
看出，对于任意锐角α，有 cos α = sin (90°－α)
课程讲授
1 余弦
练一练：如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=5
，BC=3，则cosB的值是（A ）
A. 3
5
B. 4
5
第4章 锐角三角函数
4.1 正弦和余弦
第3课时 余弦
新知导入 课程讲授
随堂练习 课堂小结
知识要点
1.余弦 2.运用计算器求余弦
新知导入
试一试：根据所学知识，按要求完成下列问题。 B''
B' B
A
C C' C''
根据正弦的定义sinA= BC = B'C'= B''C''
AB A'B' A''B''
29.9914…，表示角α约等于30°.
随堂练习
1.△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则cosα的值
是（ C ）
A. 3
4
B. 3
5
C. 4
5
D. 4
3
随堂练习
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°. (1)若AC=6，BC=8，则cosA=___5_3____； (2)若AC=5，cosA= 5 ，则AB=___1_3_____.
MN AM2 AN2 42 32 7
∴cos∠AMN= ∴cosB= 7 .
4.1 正弦和余弦 第1课时正弦课件湘教版数学九年级上册
课程讲授
1 正弦的定义及其简单应用
问题1：根据前面的问题，我们知道在直角三角形中，
如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小
如何，这个角的对边与斜边的比都等于 1 。那么含
45°角的直角三角形呢？
2
A
45°
C
B
课程讲授
1 正弦的定义及其简单应用
）B
A.sinA=
AC AB
B.sinA= BC
AB
C.sinA= AC
BC
D.sinA= BC
AC
课程讲授
1 正弦的定义及其简单应用
例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA=1 ，BC
3
= 3，求 sinB 及 Rt△ABC 的面积.
B
提示：已知 sinA 及∠A的对边 BC 的
课程讲授
1 正弦的定义及其简单应用
归纳：在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不 管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比也是一个 固定值．
B
a 对边
c 斜边
C
A
b
定义：在 Rt△ABC 中，∠C
＝90°，我们把锐角 A 的对 边与斜边的比叫做∠A的正弦， 记作 sin A .
sin A =
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=5，BC=3，
则sinA的值为（ A ）
A. 3
5
B. 4
5
C. 3
4
D. 4
3
随堂练习
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，则
sinA等于（ A ）
3
湘教版-数学-九年级上册 4.1正弦和余弦 精品课件
数，它等于
这个猜测是真的吗？ 若把65°角换成 任意 α
一个锐角 ，则这个角的对边与斜边的比 值是否
探
究
如图，△ABC和△DEF都是直角三
角形， α
BC EF AB DE
其中∠A=∠D= . ∠C=∠F=90°，则
成立吗？为什么？
α
α
∵ ∠A=∠Dα= ， ∠C=∠F= 90° ，
∴ Rt△A ∽Rt△DEF.
∴
BCBCAB .
EF DE
即BC DE AB EF .
∴
BC EF . AB DE
α
α
这说明，在有一个锐角等于 的所有直角三
α
角α 的对边与斜边的比值是一个常数，与直角三
大小无关.
结
论
如图，在直角三角形中，我α们把锐角 的对边与斜边α 的比叫作角 α的正弦，记作
sin ，即
sin
角的对边
（1）
（2）
小算明出量：出∠（A1的）对边BC=3cm，（斜2）边AB=3.3cm，
A的对边 斜边
3 3.3
10 11
.
小亮量出∠A′的对边B′C′=2cm， 斜边
A′B′=2.2cm，A算'的出对：边
斜边
2 2.2
10 11
.
由此猜测：在有一个锐角为65°的所有
三角形中，10 .65°角的对边与斜边的比值是一
斜边
α
根据 “在直角三角形中， 30°角所对的直
等于斜边的一半”， 容易得到
sin30
=
1 2
.
°
例1
如图所示，在直角三角形ABC中， ∠C=90°， （B1C）=3求，sAinBA=的5值.；
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初三数学正弦、余弦和正切知识精讲湘教版【同步教育信息】一. 本周教学内容：正弦、余弦和正切［教学目标］（一）知识与技能1. 了解一个锐角的正弦、余弦、正切的概念，能够正确地应用sinA、cosA、tanA表示直角三角形两边之比。
2. 熟记30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切值，会计算含有这三个特殊锐角的直角三角形的边长，会由一个特殊锐角的正弦值、余弦值、正切值说出这个角。
3. 了解一个锐角的正弦值与它余角的余弦值之间的关系。
4. 会用计算器计算锐角的正弦值和余弦值。
（二）过程与方法：经历探索锐角的正弦值、余弦值与正切值的过程，在探索中总结规律，体验学习的乐趣。
（三）情感态度与价值观体验数学活动充满着探索性和创造性，增强学习自信心。
［教学重点］1. 正弦、余弦、正切的定义。
2. 特殊角30°、45°、60°的正弦值、余弦值、正切值。
3. 互余角之间的正弦值、余弦值之间的关系。
［教学难点］1. 锐角的正弦值、余弦值、正切值的计算。
2. 综合运用正弦、余弦、正切的关系求直角三角形的边。
［主要内容］1. 正弦、余弦、正切的定义：（1）如图，在Rt△ABC中，锐角A的对边与斜边的比，叫做∠A的正弦。
记作，即∠的对边斜边sin sinA AA ac ==（2）在Rt△ABC中，锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦。
记作，即∠的邻边斜边cos cosA AA bc ==（3）在Rt △ABC 中，锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切。
记作，即∠的对边∠的邻边tan tan A A A A ab==当锐角A 确定后，这些比值都是固定值。
2. 特殊角30°、45°、60°的正弦值、余弦值、正切值。
αααα3045601222323222123313°°°sin cos tan 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°设BC ＝k ，则AB ＝2k 由勾股定理得AC k =3∴°sin30212===BC AB k k cos303232°===ACAB k k tan30333°===BCACk k用同样的方法可求45°、60°角的三角函数值。
3. 互为余角的正弦、余弦之间的关系： 由定义知：，sin cos A a c B a c==∴sinA ＝cosB即°sin cos()A A =-90 同理：°cos sin()A A =-90语言表达：任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
比如：°°sin cos 6030= cos sin 5238°°=4. 同角的三角函数之间的关系： sin cos 221A A += tan sin cos tan tan()A A A A A ==-，°1905. 0°～90°间正弦值、余弦值、正切值的变化规律： 0101<<<<sin cos A A ，在0°～90°间的角：正弦值随角度的增大（或减小）而增大（或减小）； 余弦值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）； 正弦值随角度的增大（或减小）而增大（或减小）。
6. 会用计算器求锐角的正弦值、余弦值、正切值。
【典型例题】例1. 已知△ABC 中，AC ＝7，BC ＝24，AB ＝25， 求sinA ，cosA ，tanA ，sinB ，cosB ，tanB分析：根据正弦、余弦、正切的定义知，应首先判断△ABC 是直角三角形。
解：∵AC ＝7，BC ＝24，AB ＝25 AC BC 2222724625+=+=AB 2225625==∴AC BC AB 222+=∴△ABC 为直角三角形，∠C ＝90°由三角函数定义得：sin A BC AB ==2425 cos A AC AB ==725 tan A BC AC ==247由互余角的关系得：sin cos B A ==725 cos sin B A ==2425tan tan B A ==1724例2. 已知△中，∠＝°，，求，Rt ABC C 90sin cos tan A A A =513分析：可用引进参数法，也可利用同角的正弦、余弦关系求解。
法一：如图解：∵sin A =513∴设，BC k AB k ==513由勾股定理得：AC ＝12k∴cos A AC AB k k ===12131213 tan A BC AC k k ===512512法二：解：∵，sin cos sin 221513A A A +== ∴cos sin ()()2222115131213A A =-=-= 又∠A 为锐角，cosA ＞0 ∴cos A =1213tan sin cos A A A ===5131213512 变式训练：已知在△中，∠＝°，，周长为，求斜Rt ABC C A cm 9051360sin = 边c 的长。
提示：可引进参数法。
例3. 计算：（）°°°°°130124545202022sin (sin cos )sin cos ++-- （）°°°°·°260451451603022sin sin tan tan cos +++-分析：略解：（）原式×°°112122222202022=++-+()(sin cos ) =+-12221 =-212（）原式×2322211133222=+++-()() =++-34242132=-=134233112例4. 已知锐角满足，求的值。
αααα-+-=23102cos sin分析：把条件式看作关于sin α的一元二次方程，利用解方程求出sin α，再确定α的值。
解：∵sin cos 221αα+=∴条件式子可化为：223302-+-=cos sin αα即23302sin sin αα+-=得(sin )(sin )2330αα-+=∵，∴≠0130<<+sin sin αα∴23sin α=sin α=32∵°，为锐角sin 6032=α ∴°α=60［练习］求适合条件的锐角：（），则121sin αα== （），则223cos αα==（）°，则323103sin()αα-==（），则433tan αα==答案：（1）30° （2）30° （3）70° （4）30°例5. 如图在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5，AC ＝6。
（1）求sinA ，sinB 的值。
（2）过点C 作CD ⊥AB 于D ，求cos ∠ACD 的值。
分析：（1）利用正弦定义来解决。
（）求∠，在△中求较麻烦，但利用互余角的关系将2cos ACD Rt ACD CDAC∠ACD 转化为∠B 则非常简便。
解：（1）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5，AC ＝6 ∵AB AC BC 222=+ ∴AB =+=656122∴sin A BC AB ===56156161 sin B AC AB ===66166161 （2）∵∠ACB ＝90°，∴∠A ＋∠B ＝90°又CD ⊥AB 于D ，∴∠ACD ＋∠A ＝90° ∴∠B ＝∠ACD∴∠cos cos ACD B BC AB ===56161例6. 如图在△中，∠＝°，，，求的长。
ABC A 30tan B BC AB ==1310分析：根据条件知：△ABC 不是直角三角形，应添加辅助线，构造直角三角形。
解：过C 点作CD ⊥AB 于D ，设CD ＝x 在Rt △ACD 中，∠A ＝30° ∵°tan30=CDAD∴AD xx ==333 在△中，Rt BCD B CD BD tan ==13∴BD ＝3x又BC CD BD 222=+∴()()103222=+x xx ＝1 ∴AD x ==33BD x ==33∴AB AD BD =+=+33【模拟试题】（答题时间：50分钟）一、填空题： 1. 求值：12602245×°×°sin cos =___________。
2. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝1，b ＝2，则cosA ＝___________。
3. tan10°·tan20°·tan30°·tan70°·tan80°＝___________。
4. △ABC 中，∠C ＝90°，若sin A =23，则tanB ＝___________。
5. (cos )|tan sin |451260302°°°---＝___________。
6.3801tan()°，则-=αα＝___________。
7. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，33a b =，则∠A ＝___________。
8. 已知等腰三角形ABC 的腰长为43，底角为30°，则底边上的高为___________，周长为___________。
二、选择题：9. 在△ABC 中，若|sin |(cos )A B -+-=223202，∠A 、∠B 都是锐角，则∠C 的度数是（ ）A. 75°B. 90°C. 105°D. 120°10. 当锐角A ＞45°时，sinA 的值（ ） A. 小于22 B. 大于22 C. 小于32 D. 大于3211. 已知09030°°，°<<=ααsin cos ，则α＝（ ）A. 30°B. 60°C. 45°D. 无法确定12. 下列结论中不正确的是（ ） A. sin 'cos '48374120°°<B. Rt ABC △中，∠C ＝90°，则sin cos 221A A +=C. Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则tan sin cos B B B ·=D. Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，则AB bB=sin 13. 如图CD 是平面镜，光线从A 点出发经CD 上点E 反射后照射到B 点，若入射角α（入射角等于反射角），AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，垂足为C 、D ，且AC ＝3，BD ＝6，CD ＝11，则tan α＝（ ）A.113B.311 C. 911D.11914. 如果∠A 为锐角，且cos A =14，则（ ）A. 030°°<<AB. 3045°°<<AC. 4560°°<<AD. 6090°°<<A15. 如图Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若AC ＝4，BC ＝3，则sin ∠ACD ＝（ ）A.43B.34C.45D.35三、解答题： 16. 计算： （1）(sin )|sin sin |1245260302---°°° （2）1260224530302301302sin cos sin cos tan tan °°°·°°°+++- 17. 如图Rt △ABC 中，∠C ＝90°，b ＝8，∠A 的平分线AD =1633。