云南师大附中2021届高三适应性月考(二)理科数学试题 含答案
云南师大附中2021届高考适应性月考卷(二)理数-答案
3 - 05 3 2 36 2 1⎛ 1⎫ 云南师大附中 2021 届高考适应性月考卷（二） 理科数学参考答案一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 CBBADDBAADCC【解析】1． A = {x | x ≥ 0}，B = {x | x ≥ 3或x ≤ - 1} ，∴ A B = {x | x ≥ 3}，故选 C ． 2． z = 1 - 2i = - 1 - 3 i ， z =- 1 + 3i ，故选 B ．1 + i2 2 2 23．对于∀x ∈ R ，x 2 + ax + a ≥ 0 成立是真命题，∴ ∆ = a 2 - 4a ≤0 ，即0≤a ≤4 ，故选 B ． 4．由题意可知输出结果为 S = -1 + 2 - 3 + 4 - ⋅ ⋅ ⋅ + 8 = 4 ，故选 A ．5．∵ k l k l = -2 - m= -1，∴ m = -5 ，故选 D ．6． ⎛ ax + 1 ⎫6的展开式通项为Tr = C r (ax )6-r = C r a 6-r x 6-3r，令6 - 3r = 0 ，则有 r = 2 ， x 2 ⎪ r +1 6x 2 ⎪6 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭∴ C 2a 4 = 15 ，即 a 4 = 1 ，解得 a = ± 1，故选 D ．616 16 27．由题意可得函数 g (x ) 的解析式为 g (x ) = 2 cos ⎡ω ⎛ x - π ⎫ + π ⎤= 2 cos ω x ，函数 g (x ) 的一个⎢ 4ω ⎪ 4 ⎥⎣ ⎝⎭ ⎦ 单调递减区间是 ⎡0 π ⎤⎡ π ⎤ ⎡ π ⎤ ⎡ π ⎤⎢ ， ⎥ ，若函数 y = g (x ) 在区间 ⎢0， ⎥ 上为减函数，则 ⎢0， ⎥ ⊆ ⎢0， ⎥ ，⎣ ω ⎦ ⎣ 3 ⎦ ⎣ 3 ⎦ ⎣ ω ⎦只要 π ≥ π，∴ ω≤3 ，则ω 的最大值为3 ，故选 B ．ω 38．由三视图知：几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图 1，PA ⊥ 平面 ABCD ，PA = 2 ，AB = 2 ，AD = 4 ，BC = 2 ，经计算，PD = 2 ，PC = 2 ， DC = 2 ， ∴ PC ⊥ CD ， ∴ S = 1⨯ 2 ⨯ 2 = 2 ，S = 1 ⨯ 2 ⨯ 4 = 4 ，S = 1⨯ 2 ⨯ 2 = 2 △PAB ， 2 图 1 S = 1 ⨯ 2 2 ⨯ 2 = 2 ， △PAD 2 △PBC 2 △PCD2S = 1⨯ (2 + 4) ⨯ 2 = 6 ，∴ S = 12 + 2 + 2 ，故选 A ．ABCD 2表- 3 2 2 67 CA CB CO9．设△ABC 外接圆半径为 r ，三棱锥外接球半径为 R ，∵ AB = 2，AC = 3，∠BAC = 60︒ ，∴ BC 2 = AB 2 + AC 2 - 2AB AC cos 60︒ = 22 + 32 - 2 ⨯ 2 ⨯ 3⨯ 1= 7 ，∴ BC =，∴2r = 2BC =sin60︒7 = 2 21 ，∴ r = 21 ，由题意知， PA ⊥ 平面 ABC ，则将三棱锥补成三棱柱可得，3 3 2⎛ PA ⎫2 3 21 1010 40 R 2 = ⎪+ r 2 = 1 + = ，∴ S = 4πR 2= 4π ⨯ = π ，故选 A ． ⎝ 2 ⎭9 3 3 310 ．设 | PF 1 |= r 1，| PF 2 |= r 2 ，由椭圆的定义得： r 1 + r 2 = 2a ， ∵ △F 1PF 2 的三条边|PF 2|，| PF 1 |，| F 1F 2 | 成等差数列， ∴ 2r 1 = 2c + r 2 ，联立 r 1 + r 2 = 2a ， 2r 1 = 2c + r 2 ，解得 r = 2a + 2c ，r = 4a - 2c，由余弦定理得 ：(2c )2 = r 2 + r 2 - 2r rcos 60︒ ，将1 32 32a + 2c 4a - 2c 1 2 1 2⎛ 2a + 2c ⎫2r = ，r = 代入 (2c )2 = r 2 + r 2 - 2r r cos 60︒ 可得， 4c 2 = +1 3 231 2 1 2 3 ⎪ ⎝ ⎭⎛ 4a - 2c ⎫22a + 2c 4a - 2c 1 c ⎪- 2 ，整理得 ： 2c 2 + ac - a 2= 0 ，由 e = ，得 ⎝ 3 ⎭3 3 2 a2e 2 + e - 1 = 0 ，解得： e = 1或e = -1 （舍去），故选 D ．2 11 ．对于任意的 m ，n ∈ ⎡ 1 ，2⎤ ，都有 f (m ) ≥ g (n ) 成立， 等价于在 ⎡ 1 ，2⎤，函 数 ⎢⎣ 2 ⎥⎦⎢⎣ 2 ⎥⎦f (x ) ≥g (x ) ，g '(x ) = 3x 2- 4x =⎛ - 4 ⎫ ，g (x ) 在⎡ 1 4 ⎤ 上单调递减，在⎛ 4，2⎤ 上min max3x x 3 ⎪ ⎢ ， ⎥ ⎥ ⎝ ⎭ 单调递增，且 - 11 = g ⎛ 1 ⎫ < g (2) = -1 ， ∴ g (x ) ⎣ 2 3 ⎦= g (2) = -1 ⎝ 3 ⎦ ．在 ⎡ 1 ，2⎤上，82 ⎪ max⎢ 2 ⎥f (x ) = 2ax + x ln x ≥ -1 ⎝ ⎭ 恒成立， 等价于 2a ≥-x ln x - 1 = -ln x - 1x x ⎣ ⎦恒成立．设 h (x ) = -ln x - 1 ， h '(x ) =- 1 + 1 = 1 - x ， h (x ) 在⎡ 1 ， ⎤上单调递增，在 (1，2] 上单调递x x x 2 x 2 ⎢⎣ 21 减，所以 h (x )max = h (1) = -1，所以 a ≥ - 1 ，故选 C ．22 12．因为CA CB = (CO + OA ) (CO + OB ) = CO+ CO (OA + OB ) + OA OB ，由于圆O 的半径为 2 ， AB 是圆 O 的一条直径，所以 OA + OB = 0 ， OA OB = 2 ⨯ 2 ⨯ (-1) = -4 ，又∠POQ = 60︒ ，⎥ ⎦=2 2-4 =[(λ-1)OP +λOQ]2 -4 =(λ-1)2 OP+2(λ-1)λ OP OQ所以2⎡ ⎛ 1 ⎫2 3 ⎤ 1 +λ 2 OQ - 4 = 4(3λ 2 - 3λ + 1) - 4 = 4(3λ 2- 3λ) = 4 ⎢3 λ - ⎪ - ⎥ ，所以，当λ = 时，⎡ ⎛ 1 ⎫2 3 ⎤3⎣⎢ ⎝ 2 ⎭ ⎛ 3 ⎫ 4 ⎥⎦ 2 ⎢3 λ - 2 ⎪ - 4 ⎥ = - 4 ，故CA CB 的最小值为4 ⨯ - 4 ⎪ = -3 ，故选 C ．⎣⎢ ⎝ ⎭ ⎥⎦min⎝ ⎭ 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）题号13 14 15 16答案-148513⎡⎢ ln 2， 1 ⎫⎣6 3e ⎪ ⎭【解析】13．画出不等式组表示的可行域知， z = 2x + 3y 的最小值为 -14 ．14． a n +1 =3S n +1①， a n = 3S n -1 +1(n ≥2) ②，① - ②得： a n +1 = 4a n (n ≥2)，又a 1 =1，a 2 = 3a 1 +1 = 4，∴数列{a n } 是首项为 1，公比为4 的等比数列，∴ S 4 = 1 + 4 + 16 + 64 = 85 ．15．依题意知，平面区域 D 1 是一个边长为2 的正方形区域（包括边12 ⎛ 13 ⎫ 界），其面积为4 ，D = (1 - x )d x = x - x = 4，如图 2，2 ⎰-13 ⎪ 3⎝ ⎭ -14 点 M 恰好取自区域 D 的概率 P = 3 = 1 ．24 3图 216．由 g (x ) =| f (x ) | -3ax - 3a = 0 ，得| f (x ) |= 3ax + 3a = 3a (x + 1) ，设 y = 3a (x + 1) ，则直线过定点(-1，0) ，作出函数| f (x ) | 的图象（图象省略）．两函数图象有三个交点. 当3a ≤0 时，不满足条件；当3a > 0 时，当直线 y = 3a (x + 1) 经过点 (3，ln 4) 时，此时两函数图象有3 个交点，此时3a = ln 4 ，a = ln 2 ；当直线 y = 3a (x + 1) 与 y = ln(x + 1) 相切时，有两个交点，此时函数的4 6导数 f '(x ) = 1 ，设切点坐标为(m ，n ) ，则 n = ln(m + 1) ，切线的斜率为 f '(m ) = 1，x + 1 m + 1则切线方程为 y - ln(m + 1) =1 m + 1 (x - m ) ，即 y = 1 m + 1 x - mm + 1 + ln(m + 1) ，∵ 3a =1 m + 1且3a =- m + ln(m + 1) ，∴ 1 = - m + ln(m + 1) ，即 1 + m= ln(m + 1) = 1 ， 则m + 1 m + 1 m + 1 m + 1 m + 1m + 1 = e ，即 m = e - 1 ，则3a = 1 = 1 ，∴ a = 1，∴要使两个函数图象有3 个交点，则 ln 2 ≤a < 1 ．m + 1 e 3e6 3e 13 3 C 2 66 6 三、解答题（共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 12 分）解：（Ⅰ）因为(2b - c ) cos A - a cos C = 0 ，所以 2b cos A - c cos A - a cos C = 0 ，由正弦定理得 2sin B cos A - sin C cos A - sin A cos C = 0 ， 即2sin B cos A - sin( A + C ) = 0 ，又 A + C = π - B ，所以sin( A + C ) = sin B ， 所以sin B (2 cos A -1) = 0 ，在△ABC 中，sin B ≠ 0 ，所以2 cos A -1 = 0 ，所以 A = π．…………………………（6 分）3 （Ⅱ）由余弦定理得： a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A = b 2 + c 2 - bc ， ∴4 ≥ 2bc - bc = bc ，∴ S = 1 bc sin A = 3 bc ≤ 3 ⨯ 4 = ，2 4 4当且仅当b = c 时“ = ”成立，此时△ABC 为等边三角形，∴△ABC 的面积 S 的最大值为 ．…………………………………………………（12 分）18．（本小题满分 12 分）解：（Ⅰ） 2 ⨯ 2 列联表补充如下：喜欢数学课程不喜欢数学课程合计 男生40 30 70 女生 35 15 50 合计75 45 120……………………………………………………………………………………………（3 分）2 120 ⨯ (40 ⨯15 - 30 ⨯ 35)2由题意得 K =≈ 2.057 ，………………………………………（5 分） 70 ⨯ 50 ⨯ 75 ⨯ 45 ∵ 2.057 < 2.706 ，∴没有90% 的把握认为喜欢数学课程与否与性别有关．…………（6 分）（Ⅱ）用分层抽样的方法抽取时，抽取比例是 6 = 2，则抽取男生30 ⨯ 2 15 = 4 人，抽取女生15 ⨯ 2 15 45 15= 2 人，所以 X 的分布列服从参数 N = 6，M = 2，n = 2 的超几何分布，……………………（8 分）C i C 2-iX 的所有可能取值为0，1，2 ，其中 P ( X = i ) = 2 4(i = 0，1，2) ．6C 0C 2 6 C 1 C 1 8 C 2C 0 1 由公式可得 P ( X = 0) = 2 4 = ， P ( X = 1) = 2 4 = ， P ( X = 2) = 2 4= ，2 15 2 15 2 15…………………………………………………………………………………………（10 分）C C C3 所以 X 的分布列为：X 0 1 2 P6 158 151 15所以 X 的数学期望为 E ( X ) = 0 ⨯ 6 + 1⨯ 8 + 2 ⨯ 1 = 2．……………………………（12 分）15 15 15 3 19．（本小题满分 12 分）（Ⅰ）证明：由已知，得 AC = ∵ BC = AD = 2 ， AB = 4 ，又 BC 2 + AC 2 = AB 2 ，∴ BC ⊥ AC ． 又 PA ⊥ 底面 ABCD ， BC ⊂ 平面 ABCD ， 则 PA ⊥ BC ，∵ PA ⊂ 平面 PAC ， AC ⊂ 平面 PAC ，且 PA AC = A ， ∴ BC ⊥ 平面 PAC ．= 2 ， ∵ BC ⊂ 平面 PBC ，∴平面 PBC ⊥ 平面 PAC ．………………………………………（6 分） （Ⅱ）解：以 A 为坐标原点，过点 A 作垂直于 AB 的直线为 x 轴， AB ，AP 所在直线分别为 y 轴， z 轴建立空间直角坐标系 A - xyz ，如图 3 所示． 则 A (0，0，0)，B (0，4，0)，P (0，0，3) ，因为在平行四边形 ABCD 中， AD = 2，AB = 4，∠ABC = 60︒ ， 则∠DAx = 30︒ ，∴ D ( 3，- 1，0) ．又 PE= λ(0 < λ < 1) ，知 E (0，4λ，3(1 - λ)) ． PB设平面 ADE 的法向量为 m = (x 1，y 1，z 1) ，⎧ ⎧ 图 3则⎪m AD = 0，即⎪ 3x 1 - y 1 = 0， ⎨ ⎪⎩m AE = 0， ⎨⎪⎩4λ y 1 + 3(1 - λ)z 1 = 0，⎛ 4 3λ ⎫取 x 1 = 1 ，则 m = 1， 3， ⎪ ．……………………………………………………（8 分）⎝ 3(λ - 1) ⎭设平面 PAD 的法向量为 n = (x 2，y 2，z 2 ) ，⎧⎪n AP = 0， ⎨ ⎧⎪3z 2 = 0， 即⎨ ⎪⎩n A D = 0， ⎩⎪ 3x 2 - y 2 = 0， AB 2 + BC 2 - 2 A B ⨯ BC ⨯ cos ∠ABC 则3⎝ ⎭ + = 2 ⎛ ⎫取 y 2 = 1 ，则 n = 3 ，1，0 ⎪ ．…………………………………………………………（10 分）⎝ ⎭ 若平面 ADE 与平面 PAD 所成的二面角为60︒ ，1 则cos 〈m ，n 〉 = cos 60︒ =1⨯ 3+ 3 3 ⨯1 + 0 = 1 ， 2 16λ 2 1 + 3 + 3(λ - 1)21 + 1 23⎛ λ ⎫29 = 2 ，即 λ - 1 ⎪ = 4，解得λ = 3 （舍去）或λ = 3．5于是，存在λ = 3，使平面 ADE 与平面 PAD 所成的二面角为60︒ ．………………（12 分）5 20．（本小题满分 12 分）解：由题意知函数的定义域为{x | x > 0} ， f '(x ) =- a + 1 = x - a．x x（Ⅰ）①当 a ≤0 时， f '(x ) > 0 ，所以函数 f (x ) 的单调递增区间是(0，+ ∞) ，无极值； ②当 a > 0 时，由 f '(x ) > 0 ，解得 x > a ，所以函数 f (x ) 的单调递增区间是(a ，+ ∞) ， 由 f '(x ) < 0 ，解得 x < a ，所以函数 f (x ) 的单调递减区间是(0，a ) ．所以当 x = a 时，函数 f (x ) 有极小值 f (a ) = -a ln a + a + 1 ．…………………………（6 分） （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，①当 a ≤1 时，函数 f (x ) 在[1，e] 为增函数，∴函数 f (x ) 在[1，e] 上的最小值为 f (1) = a ln1 + 1 + 1 = 2 ，显然 2 ≠ 1 ，故不满足条件； ②当1 < a ≤e 时，函数 f (x ) 在[1，a ) 上为减函数，在[a ，e] 上为增函数，故函数 f (x ) 在[1，e] 上的最小值为 f (x ) 的极小值 f (a ) = -a ln a + a + 1=1，即a = e ，满足条件； ③当 a > e 时，函数 f (x ) 在[1，e] 为减函数，故函数 f (x ) 在[1，e] 上的最小值为 f (e) = a ln 1+ e + 1 = 1 ，即 a = e ，不满足条件．e 综上所述，存在实数 a = e ，使得函数f (x ) 在[1，e] 上的最小值为1 ．……………（12 分） 21．（本小题满分 12 分）解：（Ⅰ）设动点Q (x ，y )，A (x ，y ) ，则 N (x ，0) ，且 x 2 + y 2 = 8 ，①1又OQ = mOA + (1 - m )ON ，得 x 0 = x ，y 0 = my ，2代入①得动点Q 的轨迹方程为 x y 1 ．…………………………………………（4 分） 8 8m 24λ21 + 3(λ - 1)22 3 - 13 + = ⎨ 2 2y （Ⅱ）当 m = 时，动点Q 的轨迹曲线C 为 x y 1 ．2 8 4x 2 y 2直线l 的斜率存在，设为 k ，则直线l 的方程为 y = k (x + 4) ，代入得(1 + 2k 2 )x 2 + 16k 2 x + 32k 2 - 8 = 0 ， 由∆ = (16k 2 )2 - 4(1 + 2k 2 )(32k 2 - 8) > 0 ，+ = 1 ， 8 4解得- 2 < k < 2，②…………………………………………………………………（7 分）2 2设 E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2 ) ，线段 EF 的中点G (x '，y ') ，' = x + x = - 8k 2 ' = ' + = 4k则 x 1 2，y k (x2 1 + 2k 24) 1 + 2k 2 ．由题设知，正方形Γ 在 y 轴左边的两边所在的直线方程分别为 y = x + 2，y = -x - 2 ，注意到点G 不可能在 y 轴右侧，则点G 在正方形Γ 内（包括边界）的条件是⎧ 4k 8k 2⎧ y '≤x ' + 2， ≤ - + 2， ⎪1 + 2k 2 1 + 2k 2 ⎨ y '≥ -x ' - 2，即⎨ 4k 8k 2⎩ ⎪ ≥ ⎪⎩1 + 2k 2 1 + 2k 2- 2， 解得 - 3 - 1≤k ≤3 - 1，此时②也成立． 2 2⎡ 3 - 1⎤于是直线l 的斜率的取值范围为 ⎢- 2 ， 2 ⎥ ．………………………………（12 分）⎣ ⎦ 22．（本小题满分 10 分）【选修 4−4：坐标系与参数方程】⎧x = 1 + 1 t ，解：（Ⅰ）直线l 的参数方程为： ⎪2 (t 为参数) ， ⎪ y = 1 +3 t ，曲线C 的直角坐标方程为： ⎪⎩x2+ 232 2= 1 ．………………………………………………（5 分） ⎧x = 1 + 1 t ，⎪ 2 x 2 2（Ⅱ）把直线l 的参数方程⎨1 3 代入曲线C 的方程 + y 3 = 1 中， ⎪ y = + t ， ⎛ 1 ⎫2⎛ 1 ⎩⎪ 2 2⎫2得 1 + t ⎪ + 3 + t ⎪ = 3 ，即10t 2 + (6 + 4)t - 5 = 0 ， ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 2 ⎭3⎝ ⎦ ⎣ ⎭ 设点 A ，B 所对应的参数分别为t ，t ，则t t = - 1，1 2 1 22∴ | PA | | PB |=| t | | t |=| t t |= - 1 = 1．……………………………………………（10 分）1 2 1 22 223．（本小题满分 10 分）【选修 4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ）不等式 f (x )≤0 ，即| x - 2 | ≤| 2x + 1| ，即 x 2 - 4x + 4≤4x 2 + 4x + 1，3x 2 + 8x - 3≥ 0 ，解得 x 1x ≤ - 3 ， ≥ 或3所以不等式 f (x )≤0 的解集为⎧x x1x ≤ -⎫ ……………………………………（5 分）⎨ ≥ 或3 3⎬ .⎩⎭⎧x + 3，x < - 1 ，⎪ ⎪ （Ⅱ） f (x ) =| x - 2 | - | 2x + 1|= ⎪-3x + 1，- 1 ≤x ≤2， ⎨ ⎪⎪-x - 3，x > 2， ⎪⎩ 故 f (x ) 的最大值为 f ⎛ - 1 ⎫ = 5，2 ⎪ 2 ⎝ ⎭ 因为对于∀x ∈ R ，使 f (x ) - 2m 2≤4m 恒成立，所以 2m 2 + 4m ≥ 5，即4m 2 + 8m - 5≥ 0 ，2m 1 5⎛ 5 ⎤ ⎡ 1 ⎫解得 ≥ 2 或m ≤ - 2 ，∴ m ∈ -∞，- 2 ⎥ ⎢ 2，+ ∞⎪ ．……………………………（10 分） 2 2。
云南师范大学附属中学2021届高三高考适应性月考卷(二)文科数学试题附答案与详解
g= p gsinα 2
p2 2 sin α
，当 α
=
π 2
时，经检验 S△AOB
=
p2 2 sin α
亦成
立，故 D 错误，故选 D．
12．由 2 ln
2
=
ln
4
>
ln
e
=
1 ，故①正确；由
ln
2
>
2 e
⇔
ln2 2
>
ln e e
，考察函数
y
=
ln x x
，y′
=
1 − ln x2
x
，
所以当 x ∈ (0，e) 时， y′ > 0 ，即 y 在 (0，e) 上单调递增，当 x ∈ (e，+ ∞) 时， y′ < 0 ，即 y
1= gAC gBD 2
40 ，故选 B．
9．如图 2，该正四面体可以看成边长为 1 的正方体六个面对角线组成
的正四面体 ABCD，所以正四面体 ABCD 的外接球，即为边长为 1 的正
方体的外接球，所以外接球的半径为 = 3 ，则 S 2
4= π 23 2
3π ，故
选 C．
图2
10．由 f (x) = sin x cos2 x ，所以 f (−x) =sin(−x) cos2 (−x) =− sin x cos2 x =− f (x) ，所以 f (x) 是奇
5．由题意可知，九个儿子的年龄可以看成以老大的年龄 a1 为首项，公差为 −3 的等差数列，
所以
9a1
+
9×8 2
×
(−3)
=207
，解得
a1
=
35
2021届云南师大附中高三高考适应性月考数学(文)试题Word版含解析
排除D选项，故选：B.
【点睛】
本题考查函数图象的识别，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号等基本要素进行
逐一排除，考查推理能力，属于中等题.
8.如图，执行程序框图后，输出的结果是（）
因此，集合AQ8含有两个元素，故选：C.
本题考查集合的元素个数，考查曲线的交点个数问题，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
2.瑞士数学家欧拉在1748年得到复数的三角方程：*=cosx + isinx,根据三角方程，计算* +1的值
为（）
A. -1B.0C.1D. i
【答案】B
【解析】根据复数的三角方程将复数表示为复数的一般形式，然后利用复数的加法法则可得出结果.
【详解】
根据题意使用过移动支付、共享单车的人数用韦恩图表示如下图，
因此，该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值赤=0.7,故选：C.
【点睛】
本题考查韦恩图的应用，同时也考查了频率的计算，考查数据处理能力，属于中等题.
A> 0
4 .已知工、）,满足的约束条件r + 2.v-3Z0,则后寿的最小值为（）
学生共有80位，使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生共有60位，则该校使用共享单车的学生 人数与该校学生总数比值的估计值为（）
A. 0.5B, 0.6C. 0.7D, 0.8
【答案】C
【解析】作出韦恩图，根据题中的信息得出样本中使用共享单车和移动支付的学生人数，将人数除以100可 得出所求结果.
〃 =3 >8不成立，执行第三次循环,
云南师大附中2021届高考数学适应性月考试题（一）理（含解析）
云南师大附中2021届高考适应性月考卷（一）理科数学【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和大体技术为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的大体能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重骨干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、复数、向量、三视图、导数、简单的线性计划、直线与圆、圆锥曲线、立体几何、数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、命题、程序框图、排列组合、概率与随机变量散布列与期望、不等式选讲、几何证明选讲、参数方程极坐标等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的) 【题文】一、已知全集U 和集合A 如图1所示，那么()U C A B ⋂=A.{3}B.{5,6}C.{3,5,6}D.{0,4,5,6,7,8} 【知识点】集合及其运算A1 【答案解析】B 解析：由图易知()U A B ={5,6}.那么选B.【思路点拨】此题要紧考查的是利用韦恩图表示集合之间的关系，明白得集合的补集与交集的含义是解题的关键. 【题文】二、设复数12,z z 在复平面内对应的点关于原点对称，11z i=+，那么12z z =A.－2iB.2iC.－2D.2 【知识点】复数的概念与运算L4【答案解析】A 解析：11i z =+在复平面内的对应点为(1,1)，它关于原点对称的点为(1,1)--，故21i z =--，因此212(1i)2i.z z =-+=-那么选A.【思路点拨】通过复数的几何意义先得出2z ，再利用复数的代数运算法那么进行计算.【题文】3、已知向量,a b 知足6a b -=，1a b •=，那么a b +=D.10 【知识点】向量的数量积及其应用F3 【答案解析】C 解析：由已知得222222()226-=-=+-⋅=+-=a b a b a b a b a b ，即228+=a b ，因此2+=a b 222()210+=++⋅=a b a b a b ，即+=a b 那么选C.【思路点拨】碰到求向量的模时，一样利用向量的模的平方等于向量的平方转化求解.【题文】4、曲线11ax y e x =++在点(0,2)处的切线与直线y=x+3平行，那么a=A.1B.2C.3D.4 【知识点】导数的应用B12【答案解析】B 解析：21e (1)ax y a x '=-+，由题意得011x y a ='=-=，因此 2.a =那么选B.【思路点拨】明白得导数与其切线的关系是解题的关键.【题文】五、在△ABC 中，假设sinC=2sinAcosB,那么此三角形必然是 A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 【知识点】解三角形C8【答案解析】C 解析：由已知及正、余弦定理得，22222a c b c a ac +-=，因此22a b =，即a b =.那么选C. 【思路点拨】判定三角形形状，能够用正弦定理及余弦定理把角的关系转化为边的关系，也可利用三角形内角和的关系进行转化求解.【题文】六、函数()2sin cos f x x x x=在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是A.1B.C.32 D.1+【知识点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质C4【答案解析】C 解析：函21cos 21π()sin cos 2sin 2226x f x x x x x x -⎛⎫=+==+- ⎪⎝⎭, ππππ5π,,2,42636x x ⎡⎤⎡⎤∈-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∵∴, ()f x 的最大值是32.那么选C. 【思路点拨】一样研究三角函数的性质，通常先化成一个角的三角函数再进行解答.【题文】7、已知实数x,y 知足约束条件0024030220x y x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎪+-≤⎨⎪+-≤⎪⎪+-≥⎩，那么z=x+3y 的取值范围是A.[1,9]B.[2,9]C.[3,7]D.[3,9] 【知识点】简单的线性计划问题E5【答案解析】B 解析：依照线性约束条件作出可行域， 如图1所示阴影部份．作出直线l ：30x y +=，将直线l 向上平移至过点 (0,3)M 和(2,0)N 位置时，max 0339z =+⨯=， min 230 2.z =+⨯=那么选B.【思路点拨】此题先正确的作出不等式组表示的平面区域，再结合目标函数的几何意义进行解答.【题文】八、如图，网格纸上小方格的边长为1(表示1cm)，图中粗线和虚线是某零件的三视图，该零件是由一个底面半径为4cm ，高为3cm 的圆锥毛坯切割取得，那么毛坯表面积与切削得的零件表面积的比值为A.310B.510C.710D.910【知识点】三视图G2【答案解析】D 解析：圆锥毛坯的底面半径为4cm r =，高为3cm h =，那么母线长5cm l =，因此圆锥毛坯的表面积2ππ36πS rl r =+=原表，切削得的零件表面积2π2140πS S =+⨯⨯=零件表原表，因此所求比值为910．那么选D.【思路点拨】由三视图求几何体的表面积，关键是正确的分析原几何体的特点.【题文】九、假设任取x,y ∈[0,1]，那么点P(x,y)知足2y x >的概率为A.23B.13C.12D.34【知识点】定积分 几何概型K3 B13【答案解析】A 解析：该题属几何概型，由积分知识易患点(,)P x y 知足2y x >的面积为12310012(1)33x dx x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭⎰，因此所求的概率为23．那么选A.【思路点拨】当整体个数有无穷多时的概率问题为几何概型，假设事件与两个变量有关时，可归结为面积问题进行解答.【题文】10、已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左核心为F ，右极点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P ，假设2AP PB =，那么椭圆的离心率是A.3B.2C.13D.12【知识点】椭圆的几何性质H5【答案解析】D 解析：因为2AP PB =，那么12,2,2OA OF a c e ===∴∴．那么选D. 【思路点拨】求椭圆的离心率一样先结合条件寻求a,b,c 关系，再结合离心率的概念解答即可.【题文】1一、把边长为2的正三角形ABC 沿BC 边上的高AD 折成直二面角，设折叠后BC 中点为M ，那么AC 与DM 所成角的余弦值为A.23B.24 C.3 D.3【知识点】异面直线所成的角G11【答案解析】B 解析：成立如图2所示的空间直角坐标系D xyz -， 则(0,0,3),(1,0,0),(0,1,0),A B C那么AC 与DM 所成角的余弦值为24.因此选C. 此题也可用几何法：在△ABC 中过点M 作AC 的平行线，再解三角形即得．【思路点拨】求异面直线所成角时，可先考虑用概念法作出其平面角，再利用三角形解答，假设作其平面角不方便时，可采取向量法求解.【题文】1二、函数()()3f x x x x R =+∈当02πθ<<时，()()sin 10f a f a θ+->恒成立，那么实数a 的取值范围是A.(﹣∞，1]B.(﹣∞,1)C.(1, ＋∞)D.(1, ＋∞) 【知识点】奇函数 函数的单调性B3 B4【答案解析】A 解析：2()130f x x '=+>，故3()()f x x x x =+∈R 在R 上单调递增，且为奇函数，因此由(sin )(1)0f a f a θ+->得(sin )(1)f a f a θ>-，从而sin 1a a θ>-，即当π02θ<<时，1sin 1a θ<--恒成立，因此1a ≤．那么选A.【思路点拨】此题可先利用奇函数及函数的单调性进行转化，再把不等式恒成立问题转化为函数的最值问题进行解答.二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分)【题文】13、概念一种新运算“⊗”：S a b =⊗，其运算原理如图3的程序框图所示，那么3654⊗-⊗=_______. 【知识点】程序框图L1【答案解析】﹣3解析：由框图可知(1),,(1),.a b a b S b a a b ->⎧=⎨-⎩≤ 从而得36546(31)5(41)3⊗-⊗=---=-．【思路点拨】读懂程序框图，明白得所概念的新运算，即可解答. 【题文】14、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1234,2,a a a 成等差数列，假设11a =，那么4S =_____.【知识点】等比数列与等差数列D2 D3 【答案解析】15解析：1234,2,a a a ∵成等差数列,2213211144,44,440,a a a a a q a q q q +=+=-+=∴即∴42,15q S ==∴．【思路点拨】碰到等差数列与等比数列，假设无性质特点，那么用其公式转化为首项与公比关系进行解答.【题文】1五、关于sinx 的二项式()1sin nx +的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为52，当x ∈[0, π]时，x=___________.【知识点】二项式定理J3【答案解析】π6或5π6．解析：1CC 17n n nnn -+=+=，故6n =，因此第4项的系数最大，于是3365C sin 2x =，因此，31sin 8x =，即1sin 2x =，又[0,π]x ∈，因此π6x =或5π6．【思路点拨】一样碰到二项展开式某项或某项的系数问题，通常结合展开式的通项公式进行解答.【题文】1六、已知函数()3232a b f x x x cx d =+++(a ＜b)在R 上单调递增，那么a b c b a ++-的最小值为______.【知识点】导数的应用 大体不等式B12 E6【答案解析】3解析：由题意2()0f x ax bx c '=++≥在R 上恒成立，故0b a >>，24b c a ≥，于是a b c b a ++-≥2211441b b b a b a a a b b a a ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭=--，设b ta =(1)t >，那么问题等价于求函数244()4(1)t t g t t ++=-(1)t >的最小值，又()()244191()166634(1)414t t g t t t t ++⎡⎤==-++≥+=⎢⎥--⎣⎦，由此可得min ()(4)3g t g ==．【思路点拨】先由函数的单调性结合导数取得abc 的关系，再通过换元法转化为熟悉函数的最小值问题. 三、解答题(共70分，解许诺写出文字说明，证明进程或演算步骤) 【题文】17、(本小题总分值12分)一个口袋内有5个大小相同的球，其中有3个红球和2个白球.(1)假设有放回的从口袋中持续的取3次球(每次只取一个球)，求在3次摸球中恰好取到两次红球的概率； (2)假设不放回地从口袋中随机掏出3个球，求取到白球的个数ξ的散布列和数学期望E(ξ). 【知识点】概率 离散随机变量的散布列和数学期望K6 K7【答案解析】(1) 54125(2)6()5E ξ=解析：(1)设在3次有放回的摸球中恰好取到两次红球的概率为P ，由题设知， 21233354C 155125P ⎛⎫⎛⎫=-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭．(2)白球的个数ξ可取0，1，2，3211233232333555C C C C C 133(0),(1),(2)C 10C 5C 10P P P ξξξ=========．因此ξ的散布列如下表：ξ 0 1 2P110 35 3101336()012105105E ξ=⨯+⨯+⨯=．【思路点拨】求离散随机变量的散布列一样先确信随机变量的所有取值，再计算各个取值的概率，最后得散布列并计算期望.【题文】1八、(本小题总分值12分) 如图4，在斜三棱柱111ABC A B C -中，点O 、E 别离是111,A C AA 的中点，111AO A B C ⊥平面，已知∠BCA=90°，12AA AC BC ===.(1)证明：OE ∥平面11AB C ；(2)求直线11A C 与平面11AA B 所成角的正弦值.【知识点】直线与平面平行，线面所成的角G4 G11【答案解析】(1) 略(2)217解析：方式一：（1）证明：∵点O 、E 别离是11A C 、1AA 的中点，∴1OE AC ∥，又∵OE ⊄平面11AB C ，1AC ⊂平面11AB C ， ∴OE ∥平面11AB C ．（2）解：设点1C 到平面11AA B 的距离为d ，∵111111A ABC C AA B V V --=，即1111111323AC B C AO ⋅⋅⋅⋅=⋅11AA B S d ⋅△．又∵在11AA B △中，11122A B AB ==, ∴11AA B S △7=221d =11A C 与平面11AA B 所成角的正弦值为21．方式二：建立如图3所示的空间直角坐标系O xyz -，则(0,0,3)A ，113(0,1,0),0,,2A E ⎛-- ⎝⎭，1(0,1,0)C ，1(2,1,0)B，(0,2,C ．（1）证明：∵OE=10,,2⎛- ⎝⎭，1(0,1,AC =，∴112OE AC =-，∴1OE AC ∥，又∵OE ⊄平面11AB C ，1AC ⊂平面11AB C ，∴OE ∥平面11AB C ． （2）解：设11A C 与平面11AA B 所成角为θ，∵11(0,2,0)A C =，11(2,2,0)A B =，1(0,1,A A =.设平面11AA B 的一个法向量为(,,)n x y z =，111220,0,0,0,x y A B n y A A n ⎧+=⎧⋅=⎪⎪⎨⎨=⎪⋅=⎪⎩⎩则即 不妨令1x =，可得1,1,n ⎛=- ⎝⎭，∴11sin cos ,AC n θ=〈〉==，∴11A C 与平面11AA B 所成角的正弦值为．【思路点拨】证明直线与平面平行通常利用线面平行的判定定理，求线面所成角能够先作出其平面角，再利用三角形求解，假设直接作角不方便时可考虑用向量的方式求解.【题文】1九、设数列{}n a 知足10a =且*11.2n na n N a +=∈-.(1)求证数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； (2)设n nb S =为数列{}n b 的前n 项和，证明：n S ＜1.【知识点】等差数列 数列求和D2 D4【答案解析】(1)11n a n =-．(2)略 解析：（1）解：将112n na a +=-代入11111n na a +---可得111111n na a +-=--，即数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是公差为1的等差数列．又1111,,11nn a a ==--故因此11n a n =-．（2）证明：由（Ⅰ）得n b ===1111nnn k k k S b =====-<∑∑．【思路点拨】证明数列为等差数列通常利用等差数列的概念证明，碰到与数列的和有关的不等式可先考虑可否求和再证明.【题文】20、已知函数()()1ln f x ax x a R =--∈.(1)讨论函数f(x)在概念域内的极值点的个数； (2)假设函数f(x)在x=1处取得极值，对()()0,,2x f x bx ∀∈+∞≥-恒成立，求实数b 的取值范围.【知识点】导数的应用B12【答案解析】(1) 当0a ≤时，没有极值点；当0a >时，有一个极值点． (2)211e b -≤解析：（1）11()ax f x a x x -'=-=，当0a ≤时，()0f x '<在(0,)+∞上恒成立，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，∴()f x 在(0,)+∞上没有极值点；当0a >时，由()0f x '<得10x a <<，由()0f x '>得1x a >，∴()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a⎛+∞⎫⎪⎝⎭上单调递增，即()f x 在1x a =处有极小值． ∴当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上没有极值点；当0a >时，()f x 在(0,)+∞上有一个极值点． （2）∵函数()f x 在1x =处取得极值，∴1a =，∴1ln ()21x f x bx b x x -⇔+-≥≥，令1ln ()1xg x x x =+-，可得()g x 在2(0,e ]上递减，在2[e ,)+∞上递增， ∴2min 21()(e )1e g x g ==-，即211e b -≤．【思路点拨】一样碰到不等式恒成立求参数范围问题，通常分离参数转化为函数的最值问题进行解答. 【题文】2一、如图5，已知抛物线C:()220y px p =>和圆M ：()2241x y -+=，过抛物线C 上一点H ()00,x y ()01y ≥作两条直线与圆M 相切于A,B 两点，圆心M 到抛物线准线的距离为174. (1)求抛物线C 的方程；(2)假设直线AB 在y 轴上的截距为t ，求t 的最小值. 【知识点】抛物线 直线与圆锥曲线H8 H7【答案解析】(1)2y x = (2) min 11t =- 解析：（1）∵点M 到抛物线准线的距离为42p +=174，∴12p =，即抛物线C 的方程为2y x =． （2）方式一：设1122(,),(,)A x y B x y ，∵114MA y k x =-，∴114HA x k y -=，可得，直线HA 的方程为111(4)4150x x y y x --+-=，同理，直线HB 的方程为222(4)4150x x y y x --+-=，∴210101(4)4150x y y y x --+-=，220202(4)4150x y y y x --+-=，∴直线AB 的方程为22000(4)4150y x y y y --+-=，令0x =，可得000154(1)t y y y =-≥，∵t 关于0y 的函数在[1,)+∞上单调递增，∴min 11t =-．方式二：设点2(,)(1)H m m m ≥，242716HM m m =-+，242715HA m m =-+． 以H 为圆心，HA 为半径的圆方程为22242()()715x m y m m m -+-=-+，① ⊙M 方程为22(4)1x y -+=．② ①-②整理得直线AB 的方程为：2242(24)(4)(2)714x m m y m m m m -----=-+．当0x =时，直线AB 在y 轴上的截距154t m m =-(1)m ≥，∵t 关于m 的函数在[1,)+∞上单调递增， ∴min 11t =-．【思路点拨】求抛物线的方程关键是利用圆心到其准线的距离求p ，求两切点所在直线方程，可利用两圆的公共弦所在直线方程的方式进行解答.请考生在第2二、23、24三题中任选一题作答，若是多做，那么按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【题文】2二、(本小题10分)[选修4-1：几何证明选讲]如图6，直线AB 通过圆O 上一点C ，且OA=OB,CA=CB,圆O 交直线OB 于E,D.(1)求证：直线AB 是圆O 的切线；(2)假设1tan 2CED ∠=，圆O 的半径为3，求OA 的长.【知识点】几何证明选讲N1【答案解析】(1)略； (2)5解析：（1）证明：如图4，连接OC ，∵,,OA OB CA CB ==∴OC AB ⊥，∴AB 是⊙O 的切线.（2）解：∵ED 是直径，∴90ECD ∠=︒，在Rt△ECD 中，∵1tan 2CED ∠=, ∴12CD EC =.∵AB 是⊙O 的切线， ∴BCD E ∠=∠，又∵CBD EBC ∠=∠，∴ △BCD∽△BEC, ∴BD BC =CD EC =12，设,BD x =则2BC x =，又2BC BD BE =⋅，∴2(2)(6)x x x =⋅+， 解得：120,2x x ==, ∵0BD x =>, ∴2BD =，∴235OA OB BD OD ==+=+=.【思路点拨】证明直线是圆的切线，只需证明圆心到直线的距离等于圆的半径，假设直线与圆有公共点，那么公共点为切点；第二问利用三角形相似解答即可.【题文】23、(本小题10分)[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为32x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρθ=.(1)求圆C 的圆心到直线l 的距离；(2)设圆C 与直线l 交于点A,B ，假设点P的坐标为(，求PA PB +.【知识点】坐标系与参数方程N3【答案解析】解析：（1）由ρθ=，可得220x y +-=，即圆C的方程为22(5x y +=．由3,,2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）可得直线l的方程为30x y +-=． 因此，圆C 的圆心到直线l=．（2）将l 的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得2235⎛⎫⎫+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即240t -+=．由于24420∆=-⨯=>．故可设12t t 、是上述方程的两个实根，因此12124t t t t ⎧+=⎪⎨⋅=⎪⎩．又直线l过点(3P ， 故由上式及t的几何意义得1212||||||||PA PB t t t t +=+=+=．【思路点拨】一样由参数方程或极坐标方程研究曲线之间的位置关系不方便时，可转化为直角坐标方程进行解答；第二问可利用直线参数的几何意义进行解答.【题文】24、(本小题10分)[选修4-5：不等式选讲]已知一次函数f(x)=ax －2.(1)解关于x 的不等式()4f x <； (2)假设不等式()3f x ≤对任意的x ∈[0,1]恒成立，求实数a 的范围.【知识点】不等式选讲N4【答案解析】(1) 当0a >时，不等式的解集为26x x a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；当0a <时，不等式的解集为62x x a a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭. (2) 15a -≤≤且a ≠0．解析：（1）()4f x <⇔24ax -<⇔424ax -<-<⇔26ax -<<，当0a >时，不等式的解集为26x x a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；当0a <时，不等式的解集为62x x a a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭.（2）()3f x ≤⇔23ax -≤⇔323ax --≤≤⇔15ax -≤≤⇔5,1,ax ax ⎧⎨-⎩≤≥∵[0,1]x ∈，∴当x =0时，不等式组恒成立；当x ≠0时，不等式组转化为5,1,a x a x ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩≤≥ 又∵515,1x x --≥≤，因此15a -≤≤且a ≠0．【思路点拨】解绝对值不等式的关键是去绝对值，可利用性质、分段讨论等方式，关于不等式恒成立求参数范围问题，通常分离参数转化为函数的最值问题进行解答.。
云南省师范大学附属中学高三高考适应性月考卷(三)数学(理)试题(扫描版)
云南师大附中2021届高考适应性月考卷〔三〕理科数学参考答案第一卷〔选择题，共60分〕【解析】1．分别取1212x y ==，，，，计算可得{101}Q =-，，，应选B. 2．123i 32(6)i 12i 55z b b b z -+-==+-，当605b-=时，12z z 是实数，6b ∴=，应选A. 3．A 中否命题应为“假设21x ≠，那么1x ≠〞；B 中否认应为“210x x x ∀∈+-，≥R 〞；C 中原命题为真命题，故其逆否命题为真命题；易知D 正确，应选D ．4．(10)(12)(12)(34)b a c +=+=+=，，，，，λλλλ，又()b a c +⊥λ，()0b a c ∴+⋅=λ，即(12)+⋅，λλ(34)3380=++=，λλ，解得311=-λ，应选C. 5．由题意可知输出结果为1234105S =-+-+-⋅⋅⋅+=，应选C. 6．3πsin cos cos 226y x x x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，故其对称轴为π2π6x k k -=∈，Z ，ππ212k x ∴=+， k ∈Z ，当0k =时，π12x =，应选A. 7．对于①，其正确；由正态分布的概念的对称性可得(10)(01)P P -<<=<<=ξξ11(1)22P m ->=-ξ，故②正确；随机变量2K 的观测值k 越大，判断“X 与Y 有关系〞的把握越大，故③错误，所以正确的有①②两个，应选C.8．该几何体下方是一个长方体，上方是一个圆柱被切掉一局部，体积为442π3V =⨯⨯+⨯1π2324π2+⨯⨯=+，应选D. 9． 123221213112132a a a ==-=-=-=--+，，，452121*********a a =-==-=+-，， 推理得{}n a 是周期为4的数列，所以3201512a a ==-，应选B ．10．1122()2cos ()()2()2f x x g x x x f x g x -''''==+，，≤，≥，故函数()2sin f x x =([0π])x ∈，上点P 的坐标必为(00)，，函数()13x g x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭上点Q 的坐标必为813⎛⎫⎪⎝⎭，，故直线PQ的斜率为83，应选C ．11．由题意可知22222m c m n a ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，，那么22n b =，椭圆的方程可化为22221x y c b +=．由0AP PQ ⋅=知AP 与渐近线垂直．不妨设P 在第一象限，那么直线AP 的方程为()ay x c b=--，与渐近线by x a =联立可解得P 的坐标为2a ab c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．又点P 在椭圆上，代入椭圆方程可得42421a a c c +=，即42111e e +=，整理得4210e e --=，所以2e ，应选D ． 12．1121212212()(()()),()()()()()()(()())22f x f x f x f x f x f x f xg x f x f x f x -⎧+=+=⎨<⎩≥1113e ((,0][3,)),e ((0,3)),x x x x -+⎧∈-∞+∞⎪=⎨⎪∈⎩又当[]x a b ∈，时，1212()()0g x g x x x ->-恒成立，故()g x 在[]x a b ∈，时是增函数，结合图象可知()g x 在[0)x ∈+∞，时是增函数，又[15]a b ∈-，，，故b a -的最大值在05a b ==，时取得，应选D ．第二卷〔非选择题，共90分〕二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分〕【解析】13．由4652a a a ⋅=，得2552a a =，即52a=，所以54b=，19959()9362b b S b +===. 14．ππsin d (cos )cos πcos02a x x x ==-=-+=⎰，二项式6⎛⎝展开式的通项公式为663166C (1)2C rr rr r r r r T x ---+⎛=⋅=- ⎝．令30r -=，得3r =，此时展开式中常数项为363346(1)2C 160T -=-⨯=-． 15．函数(1)y f x =+的图象关于点(10)-，成中心对称，∴函数()y f x =的图象关于点(00)，成中心对称，即()y f x =为奇函数．不等式22(2)(2)0f x x f y y -+-≤，可化为222(2)(2)(2)f x x f y y f y y ---=-≤，又定义在R 上的函数()y f x =是减函数，2222x x y y ∴--≥，由14x ≤≤得22(22)014x y x y x ⎧---⎨⎩≥，≤≤，故()(2)014x y x y x -+-⎧⎨⎩≥，≤≤，即02014x y x y x -⎧⎪+-⎨⎪⎩≥，≥，≤≤或02014x y x y x -⎧⎪+-⎨⎪⎩≤，≤，≤≤，作出可行域，又(12)()M N x y ，，，，故2OM ON x y ⋅=+，利用线性规划知识可求得OM ON ⋅的取值范围为[012]，. 16．如图1，设P ABCD -的外接球的球心为G ，A B C D ，，，在球面上，∴球心在正方体1111ABCD A B C D -上下底面中心连线1O O 上，点P 也在球上，GP GA R ∴==，棱长为1，22OA ∴=，设11O P x O G y ==，，那么1OG y =-，在1Rt GO P △中，有222R x y =+①，在Rt GOA △中，三、解答题〔共70分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤〕 17.〔本小题总分值12分〕【注：此题题干第一行中“且sin 2m n C ⋅=-〞改为“且sin 2m n C ⋅=〞，改后答案如下：】解：〔Ⅰ〕sin()2cos sin sin cos cos sin sin()m n A B A B A B A B A B ⋅=-+=+=+， …………………………………………………………………………………〔2分〕在ABC △中，π0πA B C C +=-<<，，所以sin()sin A B C +=，……………………〔4分〕又sin 2m n C ⋅=，所以sin sin 22sin cos C C C C ==，所以1cos 2C =，即π3C =． ……………………………………………………………………………………〔6分〕〔Ⅱ〕sin sin 2sin A B C +=，由正弦定理得2c a b =+，………………………………〔7分〕1sin 2ABC S ab C =△，得4ab =，……………………………………………〔9分〕由余弦定理得22222222cos ()3412c a b ab C a b ab a b ab c =+-=+-=+-=-，得2c =．………………………………………………………………………………〔12分〕 18.〔本小题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕芯片甲为合格品的概率为4032841005++=，芯片乙为合格品的概率为4029631004++=，…………………………………………〔3分〕随机变量X 的所有可能取值为90453015-,，，. 433(90)545P X ==⨯=；133(45)5420P X ==⨯=； 411(30)545P X ==⨯=；111(15)5420P X =-=⨯=， 所以随机变量X 的分布列为………………………………………………………………………………………〔7分〕那么X 的数学期望3311()904530(15)66520520E X =⨯+⨯+⨯+-⨯=．…………………〔8分〕〔Ⅱ〕设生产的5件芯片乙中合格品有n 件，那么次品有5n -件. 依题意，得5010(5)140n n --≥， 解得196n ≥，所以4n =或5n =．……………………………………………………〔10分〕设“生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元〞为事件A ，那么454531381()C 444128P A ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．……………………………………………………〔12分〕19.〔本小题总分值12分〕〔Ⅰ〕证明：如图2，取AB 的中点H ，连接PH HC ，． PAB △是正三角形，且H 为AB 的中点，2AB =，PH AB ∴⊥，且3PH =…………………………………………………〔2分〕 底面ABCD 是矩形，22AB BC ==，123HC ∴=+. 又6PC =222PC PH CH ∴=+，PH HC ∴⊥．………………………………………………………〔4分〕AB HC H =，PH ∴⊥平面ABCD .PH ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面ABCD ．………………………………………〔6分〕〔Ⅱ〕解：如图2所示，以H 为原点建立空间直角坐标系H xyz -，那么(100)(100)A B -，，，，，，(003)P ，，，(120)D ，，．……………………………〔7分〕设(01)AE AP =<<λλ，那么(203)BE BA AE =+=-，，λλ，(220)BD =，，， 设()n x y z =，，为平面EBD 的法向量， 由0,()(220)=0,0,()(203)=0,n BD x y z n BE x y z ⎧⎧⋅=⎪⎪∴⎨⎨⋅=-⎪⎪⎩⎩，，，，，，，，λλ 220,(2)30,x x z ⎧=⎪∴⎨-=⎪⎩λλ令2z =-λ，得(362)n =--，，λλλ.易知(003)HP =，，为平面ABD 的一个法向量.………………………………………〔9分〕二面角E BD A --的大小为45︒，22332cos45cos 210443n HP n HP n HP-⋅∴︒=〈〉===⋅-+⨯，λλλ. ………………………〔10分〕又由01<<λ，得12=λ，1AE EP ∴=∶．……………………………………………〔12分〕由221(4),44,y x x y m ⎧=+⎪⎨⎪-=⎩得2381640x x m ---=， 那么816433A B A B mx x x x ++==-，.(*) ……………………………………………………〔3分〕因为2PA PB PC ⋅=，P A B C ，，，共线且P 在线段AB 上， 所以2()()()P A B P P C x x x x x x --=-， 整理得：4()320A B A B x x x x +++=， 将(*)代入上式可解得：28m =.所以双曲线G 的方程为221287x y -=．……………………………………………………〔6分〕〔Ⅱ〕由题意可设椭圆S 的方程为：2221(7)28x y a a +=>，弦的两个端点分别为11()M x y ，，22()N x y ，，MN 的中点为00()Q x y ，，由22112222221,281,28x y a x y a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得121212122()()()()028x x x x y y y y a -+-++=，……………………………〔8分〕 因为1212012012422y y x x x y y y x x -=-+=+=-，，，所以0024028x ya-=，…………………〔9分〕所以S 中垂直于l 的平行弦的中点的轨迹为直线24028x y a -=截在椭圆S 内的局部. 又这个轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的局部，所以211122a =，所以256a =， 椭圆S 的方程为2212856x y +=．…………………………………………………………〔12分〕21.〔本小题总分值12分〕 〔Ⅰ〕解：()[(1)]()f x g x a g x '''=+--λλλλ，………………………………………〔1分〕令()0f x '>，得[(1)]()g x a g x ''+->λλ，(1)x a x ∴+->λλ，即(1)()0x a --<λ，解得x a <， ………………………………………………………〔3分〕故当x a <时，()0f x '>；当x a >时，()0f x '<，……………………………………〔4分〕∴当x a =时，()f x 取极大值，但()f x 没有极小值.()f x 的极大值为()[(1)]()()()(1)e a f a g a a g a g a g a =+--=-=-⋅λλλλλ．………〔6分〕〔Ⅱ〕证明：e 1e 11x x x x x----=，又当0x >时，令()e 1x t x x =--，那么()e 10x t x '=->，故()(0)0t x t >=，因此原不等式化为e 1x x a x --<，即e (1)10x a x -+-<，…………〔8分〕令()e (1)1x h x a x =-+-，那么()e (1)x h x a '=-+， 由()0h x '=，得e 1x a =+，解得ln(1)x a =+，当0ln(1)x a <<+时，()0h x '<；当ln(1)x a >+时，()0h x '>，故当ln(1)x a =+时，()h x 取得最小值[ln(1)](1)ln(1)h a a a a +=-++，……………〔10分〕令()ln(1)01as a a a a=-+>+，， 那么2211()0(1)1(1)as a a a a '=-=-<+++.故()(0)0s a s <=，即[ln(1)](1)ln(1)0h a a a a +=-++<.因此，存在正数ln(1)x a =+，使原不等式成立. ……………………………………〔12分〕22.〔本小题总分值10分〕【选修4−1：几何证明选讲】 〔Ⅰ〕证明：PA 为圆O 的切线，PAB ACP ∴∠=∠， 又P ∠为公共角，PAB PCA ∴△∽△，AB PAAC PC∴=， 所以，AB PC AC PA ⋅=⋅. ………………………………………………………………〔4分〕〔Ⅱ〕解：PA 为圆O 的切线，BC 是过点O 的割线， 2PA PB PC ∴=⋅，4540PC BC ∴==，，又222901600CAB AC AB BC ∠=︒∴+==，， 又由〔Ⅰ〕知13AB PA AC PC ==，AC AB ∴==，连接EC ，CAE EAB ∠=∠，ACE ADB △∽△，AB ADAE AC∴=，480.AD AE AB AC ∴⋅=⋅==……………………………………………〔10分〕变形得2213sin =+ρθ．由OA OB ⊥可设12π()2A B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，，ρθρθ，所以2211OAOB+222212π13sin 1113sin 244⎛⎫++ ⎪+⎝⎭=+=+θθρρ 2223sin 3cos 544++==θθ〔定值〕． ……………………………………………………〔7分〕1222222122229(13sin )(13cos )139sin cos 4sin 24AOB S ===+++++△ρρθθθθθ，易知当sin 20=θ时，max ()1AOB S =△.……………………………………………………〔10分〕24.〔本小题总分值10分〕【选修4−5：不等式选讲】解：〔Ⅰ〕因为4(4)()4x x a x x a a -+----=-≥， 因为4a <，所以当且仅当4a x ≤≤时等号成立，故431a a -=∴=，．……………………………………………………………………〔5分〕〔Ⅱ〕当1a =时，假设1()()g x f x m=+的定义域为R ，那么()0f x m +≠恒成立，即()0f x m +=在R 上无解，又()441(4)(1)3f x x x a x x x x =-+-=-+----=≥，当且仅当14x ≤≤时取等号，3m ∴>-．………………………………………………………………………………〔10分〕。
云南师大附中2021届高考适应性月考卷(二)理科综合参考答案
理科综合参考答案·第1页（共15页）云南师大附中2021届高考适应性月考卷（二）理科综合参考答案一、选择题：本题共13小题，每小题6分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 DBABDBBDBACCD二、选择题：本题共8小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，第14～18题只有一项符合题目要求；第19～21题有多项符合题目要求，全部选对的给6分，选对但不全的给3分，有选错的给0分。
题号 14 15 16 17 18 19 20 21 答案 ACBCAACBDAD【解析】1．病毒侵染宿主细胞后遗传信息的传递也遵循中心法则，如逆转录、DNA 复制、转录和翻译，D 错误。
2．性激素的化学本质是固醇，进入细胞的方式属于自由扩散，不需要载体蛋白的协助，A 错误。
氧气浓度为零时，细胞通过无氧呼吸为主动运输提供能量，C 错误。
吞噬细胞吞噬病原体的过程属于胞吞，D 错误。
3．探究酵母菌细胞呼吸方式不能根据是否产生CO 2判断，因为酵母菌有氧呼吸和无氧呼吸均产生二氧化碳，B 错误。
无氧呼吸时，葡萄糖中的大部分能量储存在酒精或乳酸中，C 错误。
在产生乳酸的无氧呼吸过程中，既无O 2的消耗，也无CO 2产生，若细胞吸收O 2的分子数与释放CO 2的相等，则该细胞可能同时进行有氧呼吸和无氧呼吸，D 错误。
4．Ⅱ中甲细胞无同源染色体，处于Ⅰ中gh 段，A 错误。
图Ⅰ中gh 段表示减数第二次分裂，在减数第二次分裂的前期和中期，细胞内存在姐妹染色单体，C 错误。
由题意及图Ⅱ可知该动物个体为雄性，甲细胞的名称只能是次级精母细胞，D 错误。
5．根据题干和示意图分析，GLUT4是细胞膜上转运葡萄糖的载体，GLUT4合成障碍，葡萄糖便无法进入细胞内，胰岛素只能调控细胞膜上GLUT4的数量，而不能调控细胞膜上GLUT4的合成，D 错误。
6．捕食者所吃掉的大多是被捕食者中年老、病弱或年幼的个体，客观上起到促进种群发展的作用，B 错误。
云南师范大学附属中学2021届高三高考适应性月考卷(二)数学(理科)试题
B．
C．过点 ， 分别作抛物线 的切线，则两切线互相垂直
D．记原点为 ，则
12．下列四个命题：① ，② ，③ ，④ ，其中真命题为（）
A．①②③B．①③C．①②④D．③④
二、填空题
13．若x，y满足约束条件 ，则 的最大值为______
14．二项式 展开式的二项式系数之和为64，则二项式展开式中的常数项为______
又因为 ，所以 ，
故选：D.
【点睛】
本题考查集合的交集运算，其中涉及到分式不等式的解法，难度较易.解分式不等式时，先将其转化为整式不等式（注意分母不为零），然后再去求解集.
2．C
【分析】
根据条件由 可得 ，即 且 ，可得答案.
【详解】
根据条件由
则 ，所以 且
所以
故选:C.
【点睛】
本题考查复数的相等，考查新定义，属于基础题.
云南师范大学附属中学2021届高三高考适应性月考卷（二）数学（理科）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ，集合 ，则 （）
A． B． C． D．
2．瑞士数学家欧拉在1748年得到复数的三角方程： （i为虚数单位），根据此公式可知，若 ，则 的一个可能值为（）
A．38B．35C．32D．29
6．为了更好地配合我市“文明城市”的创建工作，我校开展了“文明行为进班级”的评比活动，现对甲､乙两个年级进行评比，从甲､乙两个年级中随机选出10个班级进行评比打分，每个班级成绩满分为100分，评分后得到如图所示的茎叶图，通过茎叶图比较甲､乙两个年级成绩的平均数及方差大小（）
云南师大附中2021届高考适应性月考卷(二)理数-答案
理科数学参考答案·第1页（共10页）云南师大附中2021届高考适应性月考卷（二）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案D C A C B A A B C B D B 【解析】1．由题意知，[35)A =，，(46)B =，，所以(45)A B = ，，故选D ． 2．由题意知，iπe 1cos πisin π10+=++=，故选C ．3．原式cos 45cos15sin 45sin15cos(4515)cos302=︒︒+︒︒=︒-︒=︒=，故选A ． 4．由题意知，双曲线的右焦点为0)F ，双曲线的渐近线方程为2y x =±，即2y - 0=，所以点0)F 到渐近线的距离d ==，故选C ．5．由题意可知，九个儿子的年龄可以看成以老大的年龄1a 为首项，公差为3-的等差数列，所以1989(3)2072a ⨯+⨯-=，解得135a =，故选B ． 6．由茎叶图可知，甲年级的平均分主要集中在70多分，而且比较集中，而乙主要集中在80分以上，但是比较分散，故选A ．7．如图1，()()()CA CB CO OA CO OB CO OA =++=+2222()()()||||3CO OA CO OA CO OA -=-=-=，故选A ．8．圆的标准方程为22(3)(4)25x y -+-=，即圆是以(34)M ，为圆心，5为半径的圆，且由22(03)(44)925-+-=<，即点(04)P ，在圆内，则最短的弦是以(04)P ，为中点的弦，所以22592AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以8AC =，过(04)P ，最长的弦BD 为直径，所以10BD =，且AC BD ⊥，故而1402ABCD S AC BD == ，故选B ．图1理科数学参考答案·第2页（共10页）9．如图2，该正四面体可以看成边长为1的正方体六个面对角线组成的正四面体ABCD ，所以正四面体ABCD 的外接球，即为边长为1的，则24π3πS ==⎝⎭，故选C ．10．由2()sin cos f x x x =，所以22()sin()cos ()sin cos ()f x x x x x f x -=--=-=-，所以()f x 是奇函数；22(2π)sin(2π)cos (2π)sin cos ()f x x x x x f x +=++==，所以()f x 又是周期函数；22(π)sin(π)cos (π)sin cos ()f x x x x x f x -=--==，所以()f x 关于直线π2x =对称；22(2π)sin(2π)cos (2π)sin cos ()f x x x x x f x -=--=-=-，所以()f x 关于点(π0)，对称，即选项A ，C ，D 正确；又222222()(sin cos )sin (1sin )(1sin )f x x x x x x ==--32222sin (1sin )(1sin )12422327x x x --⎛⎫== ⎪⎝⎭ ≤，当且仅当sin x =，max ()f x =，故B 选项错误，故选B ．11．由题意知，令直线2px my =+，11()A x y ，，22()B x y ，，与抛物线C ：22y px =联立方程，消去x 得2220y pmy p --=，由韦达定理知：122y y pm +=，212y y p =-，如图3所示，过A ，B 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为A '，B '，记AB 的中点为I ，过I作抛物线准线的垂线，垂足为I '，由||||AB AA '=||2||BB II ''+=，所以以AB 为直径的圆与抛物线C 的准线相切，故A 正确；由12x x =212224p p p my my ⎛⎫⎛⎫++=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以12122121212121111||||()222224x x p x x p p p p p p p AF BF x x x x x x x x +++++=+===⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭12122212122()()2424x x p x x p p p p p p x x p x x ++++==+++++，故B 正确；由图，抛物线在第一象限的解析图2图3理科数学参考答案·第3页（共10页）式为y =，所以y '=，所以过点B抛物线的切线的斜率为1k =同理过点A抛物线的切线的斜率为2k =1212p k k =-=- ，所以两切线垂直，故C 正确；由1πtan 2m αα⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭，所以12||||||AB AF BF x x p =+=++= 22122212()2222(1)21tan sin p m y y p pm p p m p αα⎛⎫++=+=+=+= ⎪⎝⎭； 如图，作OE 垂直AB 于E ，则22112sin 22sin 22sin AOBp p p S AB OE ααα=== △ ，当π2α=时，经检验AOB S =△22sin p α亦成立，故D 错误，故选D ． 12．由2ln 2ln 4ln e 1=>=，故①正确；由2ln2ln e ln 2e 2e>⇔>，考察函数ln x y x =，21ln xy x -'=，所以当(0e)x ∈，时，0y '>，即y 在(0e)，上单调递增，当(e )x ∈+∞，时，0y '<，即y在(e )+∞，上单调递减，所以e x =时，y 取到最大值1e ，所以ln2ln e 2e <，故②错误；令0.2log 0.4a =，2log 0.4b =，所以0.40.40.411log 0.2log 2log 0.41a b+=+==，所以a b ab +=，即0.220.22log 0.4log 0.4log 0.4log 0.4+= ，故③正确；由4372401219713=>=，所以133log 74>，由41328561=<32979131=，所以313log 134<，故④错误，故选B ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．约束条件所表示的线性区域，如图4所示，由00y y x x -=-，即区域中的点与原点O 的斜率，所以OA 的斜率即为yx的最大值，又有点A 的坐标为(32)，，则y x的最大值为23．图4理科数学参考答案·第4页（共10页）14．由3n n x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的二项式系数为2n ，即264n =，所以6n =，则二项式为62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故展开式中的常数项为33362C 160x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．15．如图5甲，将等边ACD '△沿CD '向后旋转到与面A BCD ''共面，得到等边1A CD '△，则AP BP +的最小值即为图乙中线段1A B 的长，取A B '的中点I ，由题意知：等边ACD '△的边长为，A BCD ''是以1BC =，A B '=的矩形，所以1A B == 16．由题意知，2221cos ()2AB AC bc A b c a ==+- ，同理，2221()2BA BC a c b =+- ，2221()2CA CB a b c =+- ，故由已知，2222222222()3()b c a a c b a b c +-++-=+-，即22223a b c +=，由22222221(2)3cos 22a b a b a b c C ab ab+-++-==363a b b a =+=≥，所以sin 3C =，当且仅当::a b c =时取等号，所以sin C 的最大值是3． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（1）补充22⨯的列联表如下：更擅长理科 其他 合计男生 22 33 55 女生 9 36 45 合计3169100图5理科数学参考答案·第5页（共10页）所以22100(2236933)100334.628 3.841554531693123K ⨯⨯-⨯⨯==≈>⨯⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为文理科偏向与性别有关．…………………………………………………（6分）（2）由题意可知，选取的5人中，有2人更擅长理科，3人不更擅长理科， 所以X 的可能取值为0，1，2，故022325C C 3(0)C 10P X ===，112325C C 3(1)C 5P X ===，202325C C 1(0)C 10P X ===， 所以X 的分布列为所以3314()012105105E X =⨯+⨯+⨯=． ……………………………（12分）18．（本小题满分12分）（1）证明：由等腰梯形22AB CD AD===，则60ABC ∠=︒， 又2AB BC =，所以AC BC ⊥①， 又PC BC ==，PB = 则222CB CP PB +=， 所以BC CP ⊥②， 又AC CP C = ③，由①②③知，BC ⊥平面APC ，所以平面APC ⊥平面ABC ．…………………………………………………………（6分）（2）解：如图6，取AB 的中点E ，连接DE ，CE ，AC ， 则AECD 为菱形，且60DAE ∠=︒， 则AC DE ⊥，记垂足为O ， 由（1）知，平面APC ⊥平面ABC ， 又PO AC ⊥，所以PO ⊥平面ABC ，同理，EO ⊥平面APC ，所以OA ，OE ，OP 两两垂直，图6理科数学参考答案·第6页（共10页）如图7，建立分别以OA ，OE ，OP 为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系， 则6AC =，DO =，所以(300)A ，，，(30)B -，，(300)C -，，，(00P ，，所以(3BP =- ，，(60)BA =-，，(00)BC =-，，设平面ABP 的法向量为1111()n x y z =，，， 所以1100BA n BP n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，即111116030x x ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，，令1y =，得111x z =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以平面ABP的一个法向量为1(1n =； 设平面CBP 的法向量为2222()n x y z =，，，所以2200BC n BP n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，即2222030x ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，，令2z =2210x y =-⎧⎨=⎩，， 所以平面CBP的一个法向量为2(10n =-，； 令二面角A PB C --为θ，有题意知θ为钝角，所以1212||cos 7||||n n n n θ=-==-， 所以二面角A PB C --的余弦值为7-． ………………………………（12分）19．（本小题满分12分） （1）解：由11a =，23a =， 所以123121(22)5a a a a a +=++=+，234231(32)7a a a a a +=++=+．图7理科数学参考答案·第7页（共10页）猜想：21n a n =-，证明：当2n =时，由11a =，23a =，故成立； 假设(2)n k k =≥时成立，即21k a k =-， 所以1111(2)212(1)1k k k k k a a a k k k a a -+-+=++=+=+-+，即当1n k =+时成立， 综上所述，21n a n =-． …………………………………………………（6分）（2）证明：由（1）知，2241(1)n a n =+，所以22222212444111(1)(1)(1)12n a a a n +++=++++++ (222111)121311n <++++---…11111324(1)(1)n n =++++⨯⨯-+… 111111111111232435211n n n n ⎛⎫=+-+-+-++-+- ⎪--+⎝⎭…11117112214n n ⎛⎫=++--< ⎪+⎝⎭，证毕．…………………………………（12分）20．（本小题满分12分） 解：（1）由题意知：1(2)2y k x x =≠-+，2(2)2yk x x =≠-， 由1234k k =- ，即3(2)224y y x x x =-≠±+- ， 整理得点()P x y ，的轨迹C 的方程为221(2)43x y x +=≠±．…………………………………………………………（4分）（2）假设在x 轴上存在点0(0)Q x ，，使得QA QB为定值．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠， 联立方程22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，，消去y 得2222(34)84120k x k x k +-+-=，理科数学参考答案·第8页（共10页）令11()A x y ，，22()B x y ，，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+ ，由101()QA x x y =- ，，202()QB x x y =-，，所以2102012102012()()()()(1)(1)QA QB x x x x y y x x x x k x x =--+=--+--2222120120(1)()()k x x x k x x k x =+-++++22002(58)1234x k x k-+-=++， 将0x 看成常数，要使得上式为定值，需满足05816x +=，即0118x =， 此时13564QA QB =- ；当直线l 的斜率不存在时，可得312A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，312B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，1108Q ⎛⎫⎪⎝⎭，所以3382QA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，，3382QB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，，13564QA QB =- ，综上所述，存在1108Q ⎛⎫⎪⎝⎭，，使得QA QB 为定值．…………………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（1）有题意知，()e e(ln )x h x x x x =-+，(0)x ∈+∞，， 所以，1e ()(1)e e 1(1)e x x h x x x x x ⎛⎫⎛⎫'=+-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，当(01)x ∈，，()0h x '<，即()h x 在(01)，上单调递减， 当(1)x ∈+∞，，()0h x '>，即()h x 在(1)+∞，上单调递增， 故()(1)0h x h =≥，所以()h x 的最小值为0．…………………………………………………………（4分）（2）原不等式等价于e (ln )(2)1x x x x b x -+-+≥， 即e ln 1x x x x bx +--≥，在(0)x ∈+∞，上恒成立理科数学参考答案·第9页（共10页）等价于e ln 1x x x x b x +--≥，在(0)x ∈+∞，上恒成立．令e ln 1()x x x x t x x +--=，(0)x ∈+∞，，所以22e ln ()x x xt x x +'=，令2()e ln x x x x ϕ=+，则()x ϕ为(0)+∞，上的增函数， 又当0x →时，()x ϕ→-∞，(1)e 0ϕ=>，所以()x ϕ在(01)，存在唯一的零点0x ，即0200e ln 0x x x +=，由0200e ln 0x x x +=⇔001ln 0000ln 1e ln e x x x x x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，又有e x y x =在(0)+∞，上单调递增， 所以0001lnln x x x ==-，001e x x =， 所以0000min00e ln 1[()]()2x x x x t x t x x +--===，所以2b ≤． …………………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】 解：（1）由222x y ρ=+，所以曲线C 的直角坐标方程为224x y +=，由2x t y =--⎧⎪⎨=⎪⎩，(t 为参数)，消去t 得直线l0y +-=．…………………………………………………………（5分）（2）由题意知，关于点(2P -，的直线l的参数方程为22t x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，(t 为参数)，代入曲线C 的直角坐标方程得211270t t ++=，理科数学参考答案·第10页（共10页）又121108130∆=-=>，所以方程有两个不同的解1t ，2t ， 又12110t t +=-<，12270t t => ， 所以1200t t <<，， 有1t ，2t 的几何意义可知，1212121211111111||||||||27t t PA PB t t t t t t ⎛⎫++=+=-+=-= ⎪⎝⎭．…………………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】 （1）解：由绝对值三角不等式可知：()|1|2|3|1||3||13|2f x x x x x x x =-+--+--+-=≥|≥，当且仅当3x =时，两个不等式同时取等号， 所以()f x 的最小值2M =．……………………………………………………………（5分）（2）证明：由（1）知，2a b +=，则(1)(1)4a b +++=， 所以22(11)(11)11(1)2(1)21111a b a b a b a b +-+-+=+-+++-+++++211(11)11144a b a b ⎛⎫+++++ ⎪++⎝⎭⎝⎭==≥， 当且仅当1a b ==，不等式取等号，所以22111a b a b +++≥．…………………………………………………………（10分）。
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秘密★启用前云南师大附中2021届高三适应性月考（二）理科理科数学试卷注意事项:1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题喜上作答无效。
3.考试结束后，请将本试喜和答题卡一并交回。
满分150分，考试用时120分钟.一.选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合A={}305x xx −<−，集合B={}46x x <<,则A B = A. (3, 6) B. [3, 6) C. [4, 5) D. (4, 5)2.瑞士数学家欧拉在1748年得到复数的三角方程: cos sin i e i θθθ=+ (i 为虚数单位)，根据此公式可知，若i e θ+1=0，则θ的一个可能值为 A.0 B.2π C.π D. 32π3. cos45cos15sin 45sin15︒︒︒︒+的值为A.B. C. 12 D. 12−4.已知双曲线的方程为22143x y −=,双曲线右焦点F 到双曲线渐近线的距离为A. 1B.C. D. 25.我国古代数学名著《增删算法统宗》中有如下问题:“一个公公九个儿， 若问生年总不知，知长排来争三岁，其年二百七岁期借问长儿多少岁，各儿岁数要详推”大致意思是:一个公公九个儿子，若问他们的生年是不知道的，但从老大的开始排列，后面儿子比前面儿子小3岁，九个儿子共207岁，间老大是多少岁?A. 38B.35.C. 32D.296. 为了更好地配合我市“文明城市”的创建工作，我校开展了”文明行为进班级”的评比活动，现对甲。
乙两个年级进行评比，从甲。
乙两个年级中随机选出10个班级进行评比打分，每个班级成绩满分为100分，评分后得到如图1所示的茎叶图，通过基叶图比较甲、乙两个年级成绩的平均数及方差大小.A. x x <甲乙，22s s <甲乙B. x x >甲乙，22s s <甲乙C. x x <甲乙，22s s >甲乙D. x x >甲乙，22s s >甲乙7.若AB 是以O 为圆心，半径为1的圆的直径，C 为圆外一点，且OC=2. 则CA CB ⋅= A.3 B. -3 C.0 D.不确定，随着直径AB 的变化而变化8.已知圆M 的方程为22680x y x y +−−=，,过点P(0, 4)的直线l 与圆M 相交的所有弦中，弦长最短的弦为AC,弦长最长的弦为BD,则四边形ABCD 的面积为 A.30 B.40 C.60 D.809.正四面体ABCD 的俯视图为边长为1的正方形，则正四面体ABCD 的外接球的表面积为 A.32π B. 32π C. 3π D. 12π10.已知2()sin cos f x x x =,下列结论中错误的是A. ()f x 即是奇函数也是周期函数B. ()f x 的最大值为33C. ()f x 的图象关于直线2x π=对称 D. ()f x 的图象关于点(,0)π中心对称11.已知抛物线C: 22(0)y px p =>，F 为C 的焦点，过焦点F 且倾斜角为α的直线l 与C交于11,)Ax y （、22(,)B x y 两点，则下面陈述不正确的为 A. 2121234x x y y p +=− B. 22sin pAB α= C.112AF BF p+= D.记原点为O,则sin AOB pS α∆=12.下列四个命题:①1ln 22>②2ln 2e>③0.40.40.40.40.220.22log log log log +=⋅④7131331log log <,其中真命题为A. ①②③B. ①③C. ①②④D. ③④ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 若x ，y 满足约束条件101024x y x y x y −−≥⎧⎪+−≥⎨⎪−≤⎩,则y x 的最大值为_________14. 二项式()3nn x x−展开式的二项式系数为64，则二项式展开式中的常熟项为_______________15.边长为1的正方体ABCD-A'B'C'D',点P 为面对角线CD'上一点，则AP+BP 的最小值为.____________。
16. ∆ABC 中，22AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅,则sin C 的最大值为_______。
三、解答题(共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分12分)为了调查高中生文理科偏向情况是否与性别有关，设计了“更擅长理科，理科文科无差异，更擅长文科三个选项的调查问卷"，并从我校随机选择了55名男生，45 名女生进行问卷调查.问卷调查的统计情况为:男生选择更擅长理科的人数占25，选择文科理科无显著差异的人数占15，选择更擅长文科的人数占25:女生选择更擅长理科的人数占15，选择文科理科无显著差异的人数占35，选择更擅长文科的人数占15。
根据调查结果制作了如下2×2列联表.(1)请将2×2的列联表补充完整，并判断能否有95%的把握认为文理科偏向与性别有关; (2) 从55名男生中，根据问卷答题结果为标准，采取分层抽样的方法随机抽取5人，再从这5人中随机选取2人，若所选的2人中更擅长理科的人数为X ，求随机变量X 的分布列及期望。
18. (本小题满分12分)如图2，在等腰梯形ABCD 中，AB//CD, AB=2CD=2AD=43,将∆ADC 沿着AC 翻折，使得点D 到点P ,且26PB =. (1) 求证:平面APC ⊥平面ABC;(2)求二面角A —PB —C 的余弦值.19. (本小题满分12分)设数列{}n a 满足121,3a a ==，当1111(2)n n n n n a a a n a a −+−+=+++.(1) 计算34,a a ，猜想{}n a 的通项公式，并加以证明 (2)求证:222124447+1+1+12n a a a +++<（）（）（）20. ( 本小题满分12分)已知点M(-2, 0)，N(2, 0)，点P 满足:直线PM 的斜率为k 1，直线PN 的斜率为k 2，且1234k k ⋅=− (1)求点P(x, y)的轨迹C 的方程;(2)过点F(1, 0)的直线l 交曲线C 于A, B 两点,问在x 轴上是否存在点Q,使得QA QB ⋅为定值?若存在，求出点Q 的坐标;若不存在，请说明理由.21. (本小题满分12分)已知()=e ,()ln xf x xg x x x =+(1)若()()()h x f x eg x =−，求()h x 的最大值;(2)若()()(2)1f x g x b x −≥−+恒成立，求b 的取值范围请考生在第22、23 两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题。
如果多做，则按所做的第一题计分.22. (本小题满分10分) [选修4-4: 坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，曲线C 的极坐标方程为=2ρ，直线l的参数方程为23x ty t=−−⎧⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数).(1)求曲线C 和直线l 的直角坐标方程;(2)设点P (−,直线l 与曲线C 有不同的两个交点分别为A, B ，求11PA PB+ 的值.23. (本小题满分10分) [选修4-5: 不等式选讲] 已知函数()123f x x x =−+−. . (1) 求函数()f x 的最小值M;(2)若a >0, b >0, 且a +b =M, 证明:22111a b a b +≥++云南师大附中2021届高考适应性月考卷（二）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112答案 D C A C B A A B C B DB 【解析】1．由题意知，[35)A=，，(46)B=，，所以(45)A B=，，故选D．2．由题意知，iπe1cosπisinπ10+=++=，故选C．3．原式cos45cos15sin45sin15cos(4515)cos30=°°+°°=°−°=°=A．4．由题意知，双曲线的右焦点为0)F，双曲线的渐近线方程为y x=，即2y−0=，所以点0)F到渐近线的距离d=C．5．由题意可知，九个儿子的年龄可以看成以老大的年龄1a为首项，公差为3−的等差数列，所以1989(3)2072a×+×−=，解得135a=，故选B．6．由茎叶图可知，甲年级的平均分主要集中在70多分，而且比较集中，而乙主要集中在80分以上，但是比较分散，故选A．7．如图1，()()()CA CB CO OA CO OB CO OA=++=+2222()()()||||3CO OA CO OA CO OA−=−=−=，故选A．8．圆的标准方程为22(3)(4)25x y−+−=，即圆是以(34)M，为圆心，5为半径的圆，且由22(03)(44)925−+−=<，即点(04)P，在圆内，则最短的弦是以(04)P，为中点的弦，所以22592AC=+，所以8AC=，过(04)P，最长的弦BD为直径，所以10BD=，且AC BD⊥，故而1402ABCDS AC BD==，故选B．图19．如图2，该正四面体可以看成边长为1的正方体六个面对角线组成的正四面体ABCD ，所以正四面体ABCD 的外接球，即为边长为1的，则24π3πS ，故选C ．10．由2()sin cos f x x x =，所以22()sin()cos ()sin cos ()f x x x x x f x −=−−=−=−，所以()f x 是奇函数；22(2π)sin(2π)cos (2π)sin cos ()f x x x x x f x +=++==，所以()f x 又是周期函数；22(π)sin(π)cos (π)sin cos ()f x x x x x f x −=−−==，所以()f x 关于直线π2x =对称；22(2π)sin(2π)cos (2π)sin cos ()f x x x x x f x −=−−=−=−，所以()f x 关于点(π0)，对称，即选项A ，C ，D 正确；又222222()(sin cos )sin (1sin )(1sin )f x x x x x x ==−− 32222sin (1sin )(1sin )12422327x x x −− =≤，当且仅当sin x =，max ()f x =B 选项错误，故选B ． 11．由题意知，令直线2px my =+，11()A x y ，，22()B x y ，，与抛物线C ：22y px =联立方程，消去x 得2220y pmy p −−=，由韦达定理知：122y y pm +=，212y y p =−，如图3所示，过A ，B 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为A ′，B ′，记AB 的中点为I ，过I作抛物线准线的垂线，垂足为I ′，由||||AB AA ′=||2||BB II ′′+=，所以以AB 为直径的圆与抛物线C 的准线相切，故A 正确；由12x x =212224p p p my my ++= ，所以12122121212121111||||()222224x x p x x p p p p p p p AF BF x x x x x x x x ++++++ +++++++ 12122212122()()2424x x px x p p p p p p x x p x x ++++==+++++，故B 正确；由图，抛物线在第一象限的解析图2图3式为y =，所以y ′=，所以过点B抛物线的切线的斜率为1k =同理过点A抛物线的切线的斜率为2k =1212p k k =−=− ，所以两切线垂直，故C 正确；由1πtan 2m αα=≠，所以12||||||AB AF BF x x p =+=++= 22122212()2222(1)21tan sin p m y y p pm p p m p αα++=+=+=+= ； 如图，作OE 垂直AB 于E ，则22112sin22sin 22sin AOB p p p S AB OE ααα=== △ ，当π2α=时，经检验AOB S =△ 22sin p α亦成立，故D 错误，故选D ． 12．由2ln 2ln 4ln e 1=>=，故①正确；由2ln2ln e ln 2e 2e >⇔>，考察函数ln x y x =，21ln xy x −′=，所以当(0e)x ∈，时，0y ′>，即y 在(0e)，上单调递增，当(e )x ∈+∞，时，0y ′<，即y 在(e )+∞，上单调递减，所以e x =时，y 取到最大值1e ，所以ln2ln e2e <，故②错误；令0.2log 0.4a =，2log 0.4b =，所以0.40.40.411log 0.2log 2log 0.41a b+=+==，所以a b ab +=，即0.220.22log 0.4log 0.4log 0.4log 0.4+= ，故③正确；由4372401219713=>=，所以133log 74>，由41328561=<32979131=，所以313log 134<，故④错误，故选B ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．约束条件所表示的线性区域，如图4所示，由0y y x x −=−，即区域中的点与原点O 的斜率，所以OA 的斜率即为yx的最大值，又有点A 的坐标为(32)，，则y x 的最大值为23． 图414．由3n n x x −展开式的二项式系数为2n ，即264n =，所以6n =，则二项式为62x x− ，故展开式中的常数项为33362C 160x x−=−．15．如图5甲，将等边ACD ′△沿CD ′向后旋转到与面A BCD ′′共面，得到等边1A CD ′△，则AP BP +的最小值即为图乙中线段1A B 的长，取A B ′的中点I ，由题意知：等边ACD ′△的边长为，A BCD ′′是以1BC =，A B ′=的矩形，所以1A B ===16．由题意知，2221cos ()2AB AC bc A b c a ==+− ，同理，2221()2BA BC a c b =+− ，2221()2CA CB a b c =+− ，故由已知，2222222222()3()b c a a c b a b c +−++−=+−，即22223a b c +=，由22222221(2)3cos 22a b a b a b c C ab ab+−++−==36a b b a =+≥所以sin C =当且仅当::a b c =时取等号，所以sin C 的最大． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（1）补充22×的列联表如下：更擅长理科其他 合计 男生 22 33 55 女生 9 36 45 合计3169100图5所以22100(2236933)100334.628 3.841554531693123K ××−××==≈>××××，所以有95%的把握认为文理科偏向与性别有关．…………………………………………………（6分）（2）由题意可知，选取的5人中，有2人更擅长理科，3人不更擅长理科， 所以X 的可能取值为0，1，2，故022325C C 3(0)C 10P X ===，112325C C 3(1)C 5P X ===，202325C C 1(0)C 10P X ===， 所以X 的分布列为所以3314()012105105E X =×+×+×=． ……………………………（12分）18．（本小题满分12分）（1）证明：由等腰梯形22AB CD AD ===，则60ABC ∠=°， 又2AB BC =，所以AC BC ⊥①， 又PC BC ==PB = 则222CB CP PB +=， 所以BC CP ⊥②， 又AC CP C = ③，由①②③知，BC ⊥平面APC ，所以平面APC ⊥平面ABC ．…………………………………………………………（6分）（2）解：如图6，取AB 的中点E ，连接DE ，CE ，AC ， 则AECD 为菱形，且60DAE ∠=°， 则AC DE ⊥，记垂足为O ， 由（1）知，平面APC ⊥平面ABC ， 又PO AC ⊥，所以PO ⊥平面ABC ，同理，EO ⊥平面APC ，所以OA ，OE ，OP 两两垂直，图6如图7，建立分别以OA ，OE ，OP 为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系， 则6AC =，DO =，所以(300)A ，，，(30)B −，，(300)C −，，，(00P ，，所以(3BP =− ，，(60)BA =− ，，(00)BC =− ，，设平面ABP 的法向量为1111()n x y z =，，， 所以1100BA n BP n = =，，即111116030x x −= −+=，，令1y =111x z = = ，所以平面ABP的一个法向量为1(1n =； 设平面CBP 的法向量为2222()n x y z =，，， 所以2200BC n BP n = =，，即2222030x −= −+=，，令2z =2210x y =− = ，，所以平面CBP的一个法向量为2(10n −，；令二面角A PB C −−为θ，有题意知θ为钝角，所以1212||cos ||||n n n n θ=− ，所以二面角A PB C −−的余弦值为 ………………………………（12分）19．（本小题满分12分） （1）解：由11a =，23a =， 所以123121(22)5a a a a a +=++=+，234231(32)7a a a a a +=++=+． 图7猜想：21na n =−， 证明：当2n =时，由11a =，23a =，故成立； 假设(2)n k k =≥时成立，即21k a k =−， 所以1111(2)212(1)1k k k k k a a a k k k a a −+−+=++=+=+−+，即当1n k =+时成立， 综上所述，21n a n =−． …………………………………………………（6分）（2）证明：由（1）知，2241(1)n a n =+， 所以22222212444111(1)(1)(1)12n a a a n +++=++++++ (222111)121311n <++++−−−…11111324(1)(1)n n =++++××−+… 111111111111232435211n n n n =+−+−+−++−+− −−+ …11117112214n n =++−−< + ，证毕．…………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）由题意知：1(2)2y k x x =≠−+，2(2)2yk x x =≠−，由1234k k =− ，即3(2)224y y x x x =−≠±+− ， 整理得点()P x y ，的轨迹C 的方程为221(2)43x y x +=≠±．…………………………………………………………（4分）（2）假设在x 轴上存在点0(0)Q x ，，使得QA QB为定值．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =−≠， 联立方程22143(1)x y y k x += =−，，消去y 得2222(34)84120k x k x k +−+−=，令11()A x y ，，22()B x y ，，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k −=+ ， 由101()QA x x y =−，，202()QB x x y =− ，，所以2102012102012()()()()(1)(1)QA QB x x x x y y x x x x k x x =−−+=−−+−−2222120120(1)()()k x x x k x x k x =+−++++ 22002(58)1234x k x k−+−=++， 将0x 看成常数，要使得上式为定值，需满足05816x +=，即0118x =， 此时13564QA QB =−； 当直线l 的斜率不存在时，可得312A ，，312B −，，1108Q，，所以3382QA =− ，，3382QB =−− ，，13564QA QB =− ， 综上所述，存在1108Q，，使得QA QB 为定值．…………………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（1）有题意知，()e e(ln )x h x x x x =−+，(0)x ∈+∞，， 所以，1e ()(1)e e 1(1)e x x h x x x x x′=+−+=+−，所以，当(01)x ∈，，()0h x ′<，即()h x 在(01)，上单调递减， 当(1)x ∈+∞，，()0h x ′>，即()h x 在(1)+∞，上单调递增， 故()(1)0h x h =≥，所以()h x 的最小值为0．…………………………………………………………（4分）（2）原不等式等价于e (ln )(2)1x x x x b x −+−+≥， 即e ln 1x x x x bx +−−≥，在(0)x ∈+∞，上恒成立等价于e ln 1x x x x b x +−−≥，在(0)x ∈+∞，上恒成立．令e ln 1()x x x x t x x +−−=，(0)x ∈+∞，， 所以22e ln ()x x xt x x +′=， 令2()e ln x x x x ϕ=+，则()x ϕ为(0)+∞，上的增函数， 又当0x →时，()x ϕ→−∞，(1)e 0ϕ=>，所以()x ϕ在(01)，存在唯一的零点0x ，即0200e ln 0x x x +=，由0200e ln 0x x x +=⇔001ln 0000ln 1e ln e x x x x x x =−=，又有e x y x =在(0)+∞，上单调递增， 所以0001lnln x x x ==−，001e x x =，所以0000min00e ln 1[()]()2x x x x t x t x x +−−===， 所以2b ≤． …………………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）由222x y ρ=+，所以曲线C 的直角坐标方程为224x y +=，由2x t y =−− =，(t 为参数)， 消去t 得直线l0y +=．…………………………………………………………（5分）（2）由题意知，关于点(2P −，的直线l的参数方程为22t x y=−−=，，(t 为参数)， 代入曲线C 的直角坐标方程得211270t t ++=，又121108130∆=−=>，所以方程有两个不同的解1t ，2t ， 又12110t t +=−<，12270t t => ， 所以1200t t <<，， 有1t ，2t 的几何意义可知，1212121211111111||||||||27t t PA PB t t t t t t ++=+=−+=−=．…………………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】 （1）解：由绝对值三角不等式可知：()|1|2|3|1||3||13|2f x x x x x x x =−+−−+−−+−=≥|≥， 当且仅当3x =时，两个不等式同时取等号， 所以()f x 的最小值2M =．……………………………………………………………（5分）（2）证明：由（1）知，2a b +=，则(1)(1)4a b +++=， 所以22(11)(11)11(1)2(1)21111a b a b a b a b +−+−+=+−+++−+++++ 11(11)1114a b a b ++++ ++ =， 当且仅当1a b ==，不等式取等号，所以22111a b a b +++≥．…………………………………………………………（10分）。