2017高考模拟文数专题汇编之双曲线含解析
2017高考模拟文数专题汇编之双曲线含解析一、选择题(本大题共20小题，共100.0分)1.若双曲线C：-y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C上一点，满足=0的点P依次记为P1、P2、P3、P4，则四边形P1P2P3P4的面积为（）A. B.2 C. D.22.已知以O为中心的双曲线C的一个焦点为F，P为C上一点，M为PF的中点，若△OMF 为等腰直角三角形，则C的离心率等于（）A. B. C. D.3.已知双曲线过点（2，3），其中一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（）A. B. C. D.4.在双曲线的两条渐近线上各取一点P，Q，若以PQ为直径的圆总过原点，则C的离心率为（）A.3B.C.D.5.已知双曲线上有不共线三点A，B，C，且AB，BC，AC的中点分别为D，E，F，若满足OD，OE，OF的斜率之和为-1，则=（）A.2B.C.-2D.36.设A1，A2分别为双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的上下顶点，若双曲线上存在点M使得两直线斜率k•k，则双曲线C的离心率的取值范围为（）A.（0，）B.（1，）C.（，+∞）D.（1，）7.已知直线l：4x+3y-20=0经过双曲线的一个焦点，且与其一条渐近线平行，则双曲线C的实轴长为（）A.3B.4C.6D.88.已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，A为右顶点，P为双曲线左支上一点，若存在最小值为12a，则双曲线一三象限的渐近线倾斜角的余弦值的最小值是（）A. B. C. D.9.已知双曲线Γ：-=1（a＞0，b＞0）的焦距为2c，直线l：y=kx-kc．若k=，则Γ的离心率的取值范围为（）A.（1，2）B.（1，4）C.（2，4）D.（4，16）10.双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）A.y=±3xB.C.y=±2xD.11.设双曲线右焦点为F，过F作与x轴垂直的直线l与两条渐近线相交于A、B两点，P是直线l与双曲线的一个交点．设O为坐标原点．若有实数m、n，使得，且，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.12.在平面直角坐标系x O y中，已知双曲线C1：2x2-y2=1，过C1的左顶点引C1的一条渐进线的平行线，则该直线与另一条渐进线及x轴围成的三角形的面积（）A. B. C. D.13.已知F是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的右焦点，A，B分别为其左、右顶点．O为坐标原点，D为其上一点，DF⊥x轴．过点A的直线l与线段DF交于点E，与y轴交于点M，直线BE与y轴交于点N，若3|OM|=2|ON|，则双曲线的离心率为（）A.3B.4C.5D.614.已知双曲线，过点P（3，6）的直线l与C相交于A，B两点，且AB的中点为N（12，15），则双曲线C的离心率为（）A.2B.C.D.15.已知双曲线E：-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，|F1F2|=6，P是E右支上一点，PF1与y轴交于点A，△PAF2的内切圆在边AF2上的切点为Q，若|AQ|=，则E的离心率是（）A.2B.C.D.16.已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，且右焦点到一条渐近线的距离为，双曲线的方程为（）A. B. C. D.17.已知双曲线C：=1的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某一条渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ=且，则双曲线C的离心率为（）A.2B.C.D.318.设F是抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点，点A是抛物线与双曲线C2：-=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的一个公共点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.219.已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，若双曲线右支上存在两点B，C使得△ABC为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A.（1，2）B.（2，+∞）C.（1，）D.（，+∞）20.设F1，F2分别为-=1（a＞0，b＞0）双曲线a≥1的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得（|PF1|-|PF2|）2=b2-3ab，则该双曲线的离心率为（）A. B. C.4 D.二、填空题(本大题共20小题，共100.0分)21.过双曲线-=1（a＞b＞0）的左焦点F1作斜率为1的直线，分别与渐近线相交于A，B两点，若=，则双曲线的离心率为 ______ ．22.过双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左焦点F作某一渐近线的垂线，分别与两渐近线相交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为 ______ ．23.双曲线C：与抛物线y2=2px（p＞0）相交于A，B两点，直线AB恰好经过它们的公共焦点F，则双曲线的离心率为 ______ ．24.设P是双曲线-=1上一动点，过点P向圆x2+y2=2作两条切线（P在圆外），这两条切线的斜率分别为k1、k2，则k1k2= ______ ．25.已知抛物线y2=4x的准线与双曲线=1（a＞0，b＞0）交于A、B两点，点F 为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是 ______ ．26.双曲线M：-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线x=a与双曲线M渐近线交于点P，若sin∠PF1F2=，则该双曲线的离心率为 ______ ．27.已知双曲线与点M（5，3），F为右焦点，若双曲线上有一点P，则的最小值为 ______ ．28.过双曲线-=1（a＞0，b＞0）的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B 两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|≥|CD|，则双曲线离心率的取值范围为 ______ ．29.已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左顶点为A，点B（0，b），若线30.已知双曲线=1（a＞0）的一条渐近线方程为y=2x，则该双曲线的焦距为______ ．31.抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是 ______ ．32.已知曲线M：-=1（a＞0，b＞0）的右焦点是曲线N：y2=8x的焦点F，两曲线交点为P、Q，若=，则曲线M的实轴长为 ______ ．33.在平面直角坐标系xoy中，双曲线的焦距为6，则所有满足条件的实数m构成的集合是 ______ ．34.若双曲线x2+ky2=1的离心率是2，则实数k的值是 ______ ．35.过双曲线的右焦点且垂于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|≥|，则双曲线离心率的取值范围为______ ．36.方程表示双曲线，则m的取值范围是 ______ ．37.若双曲线+=1的离心率为2，则m的值是 ______ ．38.设m是常数，若点F（5，0）是双曲线+=1的一个焦点，则m= ______ ．39.双曲线的顶点到其渐近线的距离等于 ______ ．40.已知F1、F2为双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2作双曲线渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|2-|PF2|2=c2．则双曲线离心率的值为 ______ ．三、解答题(本大题共20小题，共240.0分)41.已知双曲线，过P（2，0）且倾斜角为30°的直线l与双曲线相交于A，B两点（1）写出直线l的参数方程．（2）求|PA|+|PB|的值．42.已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线的一个焦点，抛物线与双曲线交点为，求抛物线方程和双曲线方程．43.（1）若抛物线的焦点是椭圆左顶点，求此抛物线的标准方程；（2）若某双曲线与椭圆共焦点，且以为渐近线，求此双曲线的标准方程．44.求证双曲线上任意一点P处的切线与与两坐标轴围成的三角形面积为定值．45.双曲线的右焦点为F（c，0）．（1）若双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2，求双曲线的方程；（2）经过原点且倾斜角为30°的直线l与双曲线右支交于点A，且△OAF是以AF为底边的等腰三角形，求双曲线的离心率e的值．46.经过双曲线-=1（a＞0，b＞0）的右焦点，倾斜角为60°的直线与双曲线有且只有一个交点，则此双曲线的离心率为 ______ ．47.求适合下列条件的标准方程：（1）焦点在x轴上，与椭圆具有相同的离心率且过点（2，-）的椭圆的标准方程；（2）焦点在y轴上，焦距是16，离心率的双曲线标准方程．48.已知F1，F2分别是双曲线的左右焦点，点P是双曲线上任一点，且||PF1|-|PF2||=2，顶点在原点且以双曲线的右顶点为焦点的抛物线为L．（Ⅰ）求双曲线C的渐近线方程和抛物线L的标准方程；（Ⅱ）过抛物线L的准线与x轴的交点作直线，交抛物线于M、N两点，问直线的斜率等于多少时，以线段MN为直径的圆经过抛物线L的焦点？49.已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点（4，-）．点M（3，m）在双曲线上．（1）求双曲线方程；（2）求△F1MF2的面积．50.为捍卫钓鱼岛及其附属岛屿的领土主权，中国派出舰船“唐山号”、“石家庄号”和“邯郸号”在钓鱼岛领海巡航．某日，正巡逻在A处的“唐山号”突然发现来自P处的疑似敌舰的某信号，发现信号时“石家庄号”和“邯郸号”正分别位于如图所示的B、C两处，其中A在B的正东方向相距6海里处，C在B的北偏西30°方向相距4海里处．由于B、C比A距P更远，因此，4秒后B、C才同时发现这一信号（该信号的传播速度为每秒1海里），试确定疑似敌舰相对于A点“唐山号”的位置．51.已知双曲线，其右顶点为P．（1）求以P为圆心，且与双曲线C的两条渐近线都相切的圆的标准方程；（2）设直线l过点P，其法向量为=（1，-1），若在双曲线C上恰有三个点P1，P2，P3到直线l的距离均为d，求d的值．52.已知与双曲线-=1共焦点的双曲线过点P（-，-），求该双曲线的标准方程．53.已知双曲线C与x2-2y2=2有公共渐近线，且过点M（2，-2），求C的方程，并写出其离心率与渐近线方程．54.已知双曲线的焦点是（±，0），渐近线方程为y=±x，求双曲线的两条准线间的距离．55.在平面直角坐标系x O y中，双曲线E：-y2=1（a＞0）的左右焦点分别为F1、F2，离心率为，且经过右焦点F2的直线l与双曲线的右支交于A、B两点．（1）求双曲线E的方程；（2）求△ABF1的面积的取值范围．56.已知双曲线方程为16x2-9y2=144．（1）求该双曲线的实轴长、虚轴长、离心率；（2）若抛物线C的顶点是该双曲线的中心，而焦点是其左顶点，求抛物线C的方程．57.焦点在x轴上的双曲线，它的两条渐近线的夹角为，焦距为12，求此双曲线的方程及离心率．58.某圆锥曲线C是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点A59.设p：方程表示双曲线；q：方程x2-2mx+1=0有实数根，求使“p且q”为真命题的实数m的取值范围．60.已知双曲线的焦距为4，离心率为．（1）求双曲线C的标准方程；（2）直线l：y=kx+m（k≠0，m≠0）与双曲线C交于不同的两点C，D，如果C，D能都在以点A（0，-1）为圆心的同一个圆上，求实数m的取值范围．【答案】1.C2.B3.C4.D5.C6.B7.C8.A9.C 10.A 11.A 12.C 13.C 14.B 15.C 16.B 17.B 18.A 19.C 20.D21.22.2或23.1+24.425.解：抛物线焦点F（1，0），由题意0＜a＜1，且∠AFB=90°并被x轴平分，所以点（-1，2）在双曲线上，得，即，即，所以，∵0＜a＜1，∴e2＞5，故．故答案为：．26.27.28.[，+∞）29.230.1031.33.{}34.-35.36.（-2，2）37.-3638.-1639.40.241.解：（1）过P（2，0）且倾斜角为30°的直线l的参数方程为：．（2）∵双曲线的渐近线为y=x，其倾斜角为600∴倾斜角为30°的直线l与双曲线相交于A，B两点，A、B在异支．把直线l的参数方程为：．代入得：，⇒，，=（-32-4×．|PA|+|PB|=|t1-t2|=3．42.解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p=2c．设抛物线方程为y2=4cx，∵抛物线过点，6=4c•．∴c=1，故抛物线方程为y2=4x．又双曲线过，∴=1．又a2+b2=c2=1，∴a2=或a2=9（舍）．∴b2=，故双曲线方程为：4x2-=1．43.解：（1）椭圆左顶点为（-8，0），设抛物线的方程为y2=-2px（p＞0），解得p=16，则抛物线的标准方程为y2=-32x；（2）椭圆的焦点为（-4，0），（4，0），可设双曲线的方程为-=1，（a，b＞0），则a2+b2=48，由渐近线方程y=±x，可得=，解得a=2，b=6，则双曲线的方程为-=1．44.解：证明：设曲线上任意一点为P（x0，），∵y′=-，∴在点P处切线的斜率k=-，∴在P点处的切线方程为y-=-（x-x0）．令x=0，得y=+=，则B（0，）令y=0，得x=x0+x02×=2x0，C（2x0，0），∴S△=|x|•|y|=2．故三角形面积为定值2．过P处的切线与与两坐标轴围成的三角形面积为定值2．45.解：（1）由题可知a=b，所以c=a=b=2，则a=b=，则双曲线的方程为+=1，（2）由题|OA|=c，又OA的倾斜角为30°，所以A（c，c），代入双曲线方程有-=1，结合c2=a2+b2，可得3c4-8a2c2+4a4=0，解得e2=2或e2=（舍去）解得e=47.解：（1）设所求椭圆方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得离心率为e==，且+=1，c2=a2-b2，解得a=2，b=，即有椭圆的标准方程为+=1；（2）设双曲线的方程为-=1（a＞0，b＞0），由题意可得2c=16，即c=8，e==，可得a=6，b===2．则双曲线的标准方程为-=1．48.解：（Ⅰ）由双曲线的定义可知，2a=2，即a=1．∴双曲线的标准方程为．∴双曲线的渐近线方程y=±3x．双曲线的右顶点坐标为A（1，0），即抛物线L的焦点坐标为A（1，0），∴抛物线L的标准方程为y2=4x，（Ⅱ）抛物线y2=4x的准线与对称轴的交点为（-1，0）．设直线MN的斜率为k，则其方程为y=k（x+1）．由，得k2x2+2（k2-2）x+k2=0．∵直线MN与抛物线交于M、N两点，∴△=4（k2-2）2-4k4＞0，解得-1＜k＜1．设M（x1，y1），N（x2，y2），抛物线焦点为F（1，0），∵以线段MN为直径的圆经过抛物线焦点，∴MF⊥NF．∴，即y1y2+x1x2-（x1+x2）+1=0．又，x1x2=1，且y1，y2同号，∴．解得，∴．即直线的斜率等于时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点．49.解：（1）由离心率e==，解得a=b，设方程为x2-y2=λ，又双曲线过点，∴16-10=λ解得λ=6，∴双曲线方程为：，…（6分）（2）由点（3，m）在双曲线上，得=1，解得，又，所以△F1MF2的面积为．…（12分）50.解：取A、B所在直线为x轴，线段AB的中点O为原点，建立直角坐标系．则A、B、C的坐标为：A（3，0 ）、B （-3，0 ）、C （-5，2），（长度单位为海里）．由已知|PB|-|PA|=4，所以点P在以A、B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支上，其方程为-=1，（x≥2）①又B、C同时测得同一信号，即有|PB|=|PC|所以点P又在线段BC的中垂线上x-y+7=0，由方程组解得，即P（8，5），由于k AP=，可知P在A的北偏东30°方向，相距10海里处51.解：（1）由题意，P（2，0），双曲线的渐近线方程为y=±x，P到渐近线的距离d==，∴圆的标准方程为（x-2）2+y2=；（2）由题意，直线l的斜率为1，设与直线l平行的直线方程为y=x+m，代入双曲线方程整理可得x2+8mx+4m2+12=0，△=64m2-4（4m2+12）=0，可得m=±1，与直线l：y=x+2的距离分别为或，即d=或52.解：双曲线-=1的焦点坐标为为（±5，0），故所求双曲线的焦点也在x轴上，设所求双曲线的标准方程为，∵双曲线过点P（-，-），∴，解得：a2=1，b2=24，∴双曲线的标准方程为：53.解：由题意，设所求双曲线方程为x2-2y2=λ，代入点M（2，-2），可得λ=-4，则所求双曲线的方程为=1．a=，b=2，c=，=，渐近线方程y=±x．54.解：设双曲线的标准方程为，则：；解得，且；∴双曲线准线方程为；∴双曲线的两条准线间的距离为．55.解：（1）∵双曲线E：-y2=1（a＞0）的离心率为，∴=，∴a=，∴双曲线E的方程为-y2=1；（2）设直线方程为x=my+2（m≠0），代入-y2=1，整理可得（m2-3）y2+4my+1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=，∴|y1-y2|=∴=×|y1-y2|=设m2-3=t，则t＞-3且t≠0，∴=≥．56.解：（1）双曲线方程为16x2-9y2=144，即为-=1，可得a=3，b=4，c==5，则双曲线的实轴长为2a=6、虚轴长2b=8、离心率e==；（2）抛物线C的顶点是该双曲线的中心（0，0），而焦点是其左顶点（-3，0），设抛物线C的方程为y2=-2px（p＞0），由-=-3，解得p=6．则抛物线C的方程为y2=-12x．57.解：设焦点在x轴上的双曲线方程为（a，b＞0）则渐近线方程为y=x，2c=12，即c=6，即有a2+b2=36．①它的两条渐近线的夹角为，则有tan=||，即有2ab=（a2-b2）．②由①②解得，a=3，b=3或a=3，b=3，则双曲线的方程为=1及离心率e==，或=1，e=2．58.解：设圆锥曲线方程为mx2+ny2=1，将A（，B（1，-3）代入圆锥曲线方程，整理得：，解得：，圆锥曲线方程为：，∴曲线C为焦点在y轴上的双曲线，∴a=2，b=2，c=4，∴双曲线的离心率e==，∴离心率为．59.解：“p且q”为真命题，即p和q都为真命题，当命题p为真命题时，方程，表示双曲线，∴（1-2m）（m+2）＜0，解得m＜-2，或m＞，∴实数m的取值范围是{m|m＜-2或m＞}；当命题q为真命题时，方程x2-2mx+1=0有实数根，∴△=4m2-4（2-m）≥0，解得：m≤-2，或m≥1；∴实数m的取值范围是{m|m≤-2或m≥1}，综上可知：实数m的取值范围{m|m＜-2或m≥1}．60.解：（1）设双曲线C的焦距为2c，由题意得2c=4，，所以c=2，，b==1，所以双曲线C的标准方程为．（2）联立，得（3k2-1）x2+6kmx+3（m2+1）=0，首先应有，即（※），设点C（x1，y1），D（x2，y2），线段CD的线段为M（x0，y0），由韦达定理得，所以，，所以点，可得直线AM的斜率为，由题意应有直线l与直线AM垂直，所以k AM•k=-1，即，化简得3k2=4m+1，因为3k2＞0，所以4m+1＞0，解得．将3k2=4m+1代入（※）式得，解得m＜0或m＞4．故m的取值范围是．【解析】1. 解：双曲线C：-y2=1的a=2，b=1，c==，焦点坐标为（-，0），（，0），满足=0的点P，设P（x，y），则（--x，-y）•（-x，-y）=x2-5+y2=0，即有圆x2+y2=5，联立双曲线的方程双曲线C：-y2=1，可得交点分别为P1（，），P2（-，），P3（-，-），P4（，-），它们构成一个矩形，长为，宽为，面积为×=．故选：C．求出双曲线的焦点坐标，运用向量数量积的坐标表示，可得P的轨迹方程，联立双曲线的方程，求出交点，可得它们构成矩形，求出长和宽，即可得到所求面积．本题考查双曲线的方程和性质，主要是焦点坐标和方程的运用，考查解方程的能力，以及四边形面积的计算，属于基础题．2. 解：根据题意，如图：设双曲线的另一个焦点为G，设PG=2c，O为FG的中点，M为PF的中点，则OM为三角形PFG的中位线，故△OMF∽△GPF，故△GPF也是等腰直角三角形，分析有|PG|=|GF|=2c，则|PF|=2c，则2a=||PF|-|PG||=（2-2）c，该双曲线的离心率e===+1；故选：B．根据题意，作出双曲线的图形，设双曲线的另一个焦点为G，且PG=2c，分析可得△GPF也是等腰直角三角形，进而分析可得|PG|=|GF|=2c，|PF|=2c，由双曲线的定义可得2a=||PF|-|PG||=（2-2）c，由双曲线的离心率公式计算可得答案．本题考查双曲线的几何性质，关键是依据题意找到a，c之间的等量关系．3. 解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为，则可以设其方程为：-x2=λ，（λ≠0），又由双曲线过点（2，3），则有-22=λ，解可得λ=-1，则其方程为：-x2=-1．即x2-=1，故选：C．根据题意，由双曲线的渐近线方程可以设其方程为：-x2=λ，将点（2，3）代入方程中，计算可得λ的值，即可得双曲线的方程，将其方程变形为标准方程即可得答案．本题考查双曲线的几何性质，关键是由渐近线方程设出双曲线的方程．4. 解：双曲线的两条渐近线上各取一点P，Q，若以PQ为直径的圆总过原点，可知两条渐近线互相垂直，可得a=b，则c=，所以双曲线的离心率为：．故选：D．利用已知条件推出渐近线的夹角关系，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．5. 解：设A（（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），则x1+x2=2x0，y1+y2=2y0．由，得，∴，∴．同理可得．∴=2（k OD+k OE+k OF）=-2=-2．故选：C．设A（（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），则x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，由，得，即可得，．同理可得．即可．本题考查了双曲线的方程、性质，考查了中点弦问题的设而不求思想，属于中档题．6. 解：设M（x，y），A1（0，a），A2（0，-a），则=，=，∴•=，（*）．又M（x，y）在双曲线-=1（a＞0，b＞0）上，∴y2=a2（+1），代入（*）式得，=＞2，∴＜，∴=e2-1＜，解得：1＜e＜．故选：B．由题意可知：求得MA1和MA2斜率，•=，代入双曲线，求得b和a的关系，由离心率公式，即可求得双曲线C的离心率的取值范围．本题考查双曲线的性质，考查斜率公式及双曲线的离心率公式，考查计算能力，属于中档题．7. 解：∵双曲线的焦点在x轴上，直线l：4x+3y-20=0与x轴交点为（5，0）．∴a2+b2=c2=25，…①∵直线l：4x+3y-20=0与双曲线的一条渐近线平行，∴…②由①②得a2=9，b2=16，即a=3，∴双曲线C的实轴长为2a=6，故选：C．由已知得a2+b2=c2=25，，解得a=3，即双曲线C的实轴长为2a=6，本题考查了双曲线的方程、性质，属于中档题．8. 解：设|PF1|-|OA|=m，则==+6a≥12a，当且仅当m=3a，取等号，∴|PF1|=4a，∴4a≥c-a，∴5a≥c，∴25a2≥a2+b2，∴≤2，设双曲线一三象限的渐近线倾斜角为α，则0＜tanα≤2，∴cosα≥，∴双曲线一三象限的渐近线倾斜角的余弦值的最小值是，故选：A．设|PF1|-|OA|=m，则==+6a≥12a，当且仅当m=3a，取等号，|PF1|=4a，可得5a≥c，≤2，设双曲线一三象限的渐近线倾斜角为α，则0＜tanα≤2，cosα≥，即可得出结论．本题考查双曲线的方程与性质，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．9. 解：由题意可知：直线l：y=k（x-c）过焦点F（c，0）．双曲线的渐近线方程y=x，可得双曲线的渐近线斜率＜＜，∵e==，由3＜＜15，4＜1+＜16，∴2＜e＜4，∴双曲线离心率的取值范围为（2，4）．故选C．由题意可知双曲线的渐近线斜率＜＜，根据e==，即可求得Γ的离心率的取值范围．本题考查双曲线的离心率的范围，考查学生分析解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题．10. 解：根据题意，双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则有e==，即e2===1+=10，解可得=9，即=3，又由双曲线=1的焦点在x轴上，其渐近线方程为：y=±x，则该双曲线的渐近线方程为y=±3x，故选：A．根据题意，由双曲线的离心率公式可得e==，变形可得e2===1+=10，解可得的值，进而由双曲线的方程可得其渐近线方程为y=±x，将的值代入即可得答案．本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的离心率与渐近线斜率的关系．11. 解：由题意可知双曲线右焦点为F（c，0），渐近线方程y=±x，则A（c，），B（c，-），=（（m+n）c，（m-n））代入=（（m+n）c，（m-n）），得P（（m+n）c，（m-n）），代入双曲线方程得-=1，由e=，整理得：4e2mn=1，由，∴e=；故选A．求出A、C坐标，然后求出P的坐标，代入双曲线方程，利用，即可求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的基本性质，考查双曲线的渐近线方程，离心率的求法，考查计算能力，属于中档题．12. 解：双曲线C1：2x2-y2=1，即-y2=1左顶点A（-，0），渐近线方程y=±x，过点A与渐近线y=平行的直线方程为y=（x+），即y=x+1，解方程组，得x=-，y=∴该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积：S=|OA|•|y|=××=，故选：C双曲线C1：左顶点A（-，0），过点A与渐近线y=x平行的直线方程为y=x+1，由此能求出该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积．本题考查三角形面积的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用，属于基础题．13. 解：如图，设A（-a，0），M（0，2m），B（a，0），N（0，-3m）．则直线AM：，直线BN：．∵直线AM，BN的交点D（c，y），∴，则，∴双曲线的离心率为5．故答案为：C．设A（-a，0），M（0，2m），B（a，0），N（0，-3m），则直线AM：，直线BN：．由直线AM，BN的交点D（c，y），得，则，即可本题考查了双曲线的离心率，考查了转化思想，属于中档题．14. 解法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），由AB的中点为N（12，15），则x1+x2=24，y1+y2=30，由，两式相减得：=，则==，由直线AB的斜率k==1，∴=1，则=，双曲线的离心率e===，∴双曲线C的离心率为，故选B．方法二：设A（12+m，15+n），B（12-m，15-n），则，两式相减得：=，由直线l的斜率k==，直线AB的斜率k==1，∴=1，则=，双曲线的离心率e===，∴双曲线C的离心率为，故选B．方法一：由中点坐标公式，将A和B点代入双曲线的方程，两式相减即可求得直线的斜率，由直线AB的斜率k==1，即可求得=，根据双曲线的离心率公式，即可求得双曲线C的离心率．方法二：设A（12+m，15+n），B（12-m，15-n），代入双曲线方程，由直线l的斜率k==，直线AB的斜率k==1，根据双曲线的离心率公式，即可求得双曲线C的离心率．本题考查双曲线的离心率公式，考查中点坐标公式，考查点差法的应用，考查直线的斜率，考查计算能力，属于中档题．15. 解：设△PAF2的内切圆在边PF2上的切点为M，在AP上的切点为N，则|PM|=|PN|，|AQ|=|AN|=，|QF2|=|MF2|，由双曲线的对称性可得|AF1|=|AF2|=|AQ|+|QF2|=+|QF2|，由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=|PA|+|AF1|-|PM|-|MF2|=+|QF2|+|AN|+|NP|-|PM|-|MF2|=2=2a，解得a=，又|F1F2|=6，即有c=3，离心率e==．故选：C．由双曲线的定义和内切圆的切线性质：圆外一点向圆引切线，则切线长相等，结合离心率公式即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，考查内切圆的切线性质，注意运用双曲线的定义是解题的关键，属于中档题．16. 解：根据题意，双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则e==2，即c=2a，又由右焦点到一条渐近线的距离为，则有b=，又由c2=a2+b2，即4a2=a2+3，则有a2=1，则双曲线的方程为：x2-=1；故选：B．根据题意，由双曲线的离心率公式可得e==2，即c=2a，又由双曲线的性质可得b=，结合c2=a2+b2，计算可得a2的值，将a2、b2的值代入双曲线方程即可得答案．本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线中焦点到渐近线的距离为b．17. 解：因为∠PAQ=60°且，所以△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则PQ=2R，OP=R，渐近线方程为y=x，A（a，0），取PQ的中点M，则AM=，由勾股定理可得（2R）2-R2=（）2，所以（ab）2=3R2（a2+b2）①，在△OQA中，=，所以R2=a2②①②结合c2=a2+b2，解得c2=b2=（c2-a2），即为3c2=7a2，可得e===．故选：B．确定△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则OP=R，利用勾股定理，结合余弦定理和离心率公式，计算即可得出结论．本题考查双曲线的性质：离心率，考查余弦定理、勾股定理，考查学生的计算能力，属于中档题．18. 解：由题意得F（，0），准线为x=-，设双曲线的一条渐近线为y=x，则点A （，），由抛物线的定义得|PF|等于点A到准线的距离，即=+，∴=1，e==，故选A．求出抛物线的焦点坐标和准线方程，利用抛物线的定义得到=+，利用离心率的定义求得双曲线的离心率．本题考查抛物线的定义和双曲线、抛物线的标准方程，以及双曲线、抛物线的简单性质的应用，利用抛物线的定义得到=+，是解题的关键．19. 解：如图，由△ABC为等腰直角三角形，所以∠BA x=45°，设其中一条渐近线与x轴的夹角为θ，则θ＜45°，即tanθ＜1，又上述渐近线的方程为y=x，则＜1，又e=，∴1＜e＜，双曲线的离心率e的取值范围（1，），故选C．设其中一条渐近线与x轴的夹角为θ，由已知条件得tanθ＜1，渐近线的方程为y=x，从而＜1由此能求出该双曲线的离心率e的取值范围．本题考查双曲线的离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用，属于中档题．20. 解：根据题意，双曲线上存在一点P使得（|PF1|-|PF2|）2=b2-3ab，又由||PF1|-|PF2||=2a，则有（2a）2=b2-3ab，变形可得4a2+3ab-b2=0，所以，所以，故选D．根据题意，结合双曲线的定义分析可得（2a）2=b2-3ab，进而变形可得，由双曲线离心率公式计算可得答案．本题考查双曲线的性质，涉及双曲线的定义，关键是掌握双曲线的定义．21. 解：设F1（-c，0），则过F1作斜率为1的直线为：y=x+c，而渐近线的方程是：y=±x，由得：A（-，），由得，B（-，-），若=，可得A为F1B的中点，可得-c-=-2•，化为b=3a，c==a，∴e==．故答案为．设出过焦点的直线方程，与双曲线的渐近线方程联立把A，B表示出来，再由条件可得A为F1B的中点，运用中点坐标公式，可得a，b，c的关系，然后求双曲线的离心率．本题考查双曲线的性质和应用，主要是离心率的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意中点坐标公式的合理运用．22. 解法一：当b＞a＞0时，由，可知A为BF的中点，由条件可得，则R t△OAB中，∠AOB=，渐近线OB的斜率k==tan=，即离心率e===2．同理当a＞b＞0时，可得e=；解法二：设过左焦点F作的垂线方程为联立，解得，，联立，解得，y B=，又，∴y B=2y A∴b2=3a2，所以离心率e===2．同理当a＞b＞0时，可得e=．故答案为：2或．方法一、运用两渐近线的对称性和条件，可得A为BF的中点，由垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，可得R t△OAB中，∠AOB=，求得渐近线的斜率，运用离心率公式即可得到；方法二、设过左焦点F作的垂线方程为，联立渐近线方程，求得交点A，B的纵坐标，由条件可得A为BF的中点，进而得到a，b的关系，可得离心率．本题考查双曲线的性质和应用，主要是离心率的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量共线的合理运用．23. 解：由F为公共焦点可知c=，即p=2c，∵抛物线与双曲线都关于x轴对称，∴A，B两点关于x轴对称，∴直线AB的方程为x=c，代入双曲线方程得y=±，即A（c，），B（c，-）．∵A，B在抛物线上，∴=4c2，又b2=c2-a2，∴c2-a2=2ac，即e2-2e-1=0，解得e=1+或e=1-（舍）．故答案为：1+．用a，b，c表示出A，B两点坐标，代入抛物线方程得出a，b，c的关系，从而可得离心率．本题考查了双曲线与抛物线的性质，属于中档题．24. 解：设P（x0，y0），则圆x2+y2=2的过点P的切线方程为：y-y0=k（x-x0），∴圆心（0，0）到切线的距离d==，∴k2x02-2kx0y0+y02=2k2+2，即（x02-2）k2-2x0y0k+y02-2=0，∴k1k2=，∵P（x0，y0）在双曲线-=1上，∴，即y02=4x02-6，∴k1k2===4．故答案为4．设P（x0，y0），切线方程为y-y0=k（x-x0），根据切线的性质列方程，利用根与系数的关系得出k1k2与x0，y0的关系，由P在双曲线上再得出x0，y0的关系，化简即可得出结论．本题考查了双曲线的性质，直线与圆的位置关系，属于中档题．25.求出抛物线的焦点坐标，利用三角形是直角三角形求出顶点坐标，代入双曲线方程，利用双曲线的几何量之间的关系，求出离心率的表达式，然后求解即可．本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，基本知识的考查．26. 解：设双曲线右顶点为A，M在第一象限内，双曲线M的渐近线方程为y=，∴P（a，b），又F1（-c，0），A（a，0），∴PA=b，F1A=a+c，∵sin∠PF1F2=，∴tan∠PF1F2==，∴，∴b=（a+c），又b2=c2-a2，∴（a+c）2=c2-a2，即9a2-7c2+2ac=0，∵e=，∴9-7e2+2e=0，解得e=-1（舍）或e=．故答案为．根据渐近线方程求出P点坐标，根据sin∠PF1F2=列方程得出a，b，c之间的关系即可求出离心率．本题考查了双曲线的性质，离心率计算，属于中档题．27. 解：双曲线，焦点在x轴上，a=3，b=3，c==6，由双曲线离心率e==2，右准线为x==，作MN⊥l于N，交双曲线右支于P，连结FP，则。
三年高考2015_2017高考数学试题分项版解析专题18双曲线理20171102337
专题 18 双曲线1.【2017课标 II ，理 9】若双曲线 C :xy22（ a 0 ， b 0）的一条渐近线被圆221a b22x 2y 4所截得的弦长为 2，则 C 的离心率为（）A ． 2B ．3C ．2D ．2 3 3【答案】A 【解析】即：422 c ac2，整理可得： c 24a 2 ,3e双曲线的离心率c2。
故选A 。
24 2a【考点】双曲线的离心率；直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取 值范围)，常见有两种方法： ①求出 a ，c ，代入公式e c ； a②只需要根据一个条件得到关于 a ，b ，c 的齐次式，结合 b 2＝c 2－a 2转化为 a ，c 的齐次式， 然后等式(不等式)两边分别除以 a 或 a 2转化为关于 e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可 得 e (e 的取值范围)。
2.【2017课标3，理5】已知双曲线C：x y22221(a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为a b15xy有公共焦点，则 C 的方程为 22yx ,且与椭圆12123A ．xyB ．2218 10xyC ．2214 5 xyD ．2215 4x y22143【答案】B 【解析】试题分析：双曲线 C ： xy22(a ＞0,b ＞0)的渐近线方程为 y b x 221，ab a椭圆中： a 212,b 2 3,c 2a 2b 29,c 3，椭圆，即双曲线的焦点为3, 0，b5a2据此可得双曲线中的方程组： c 2 a 2 b 2 c 3，解得： a 24,b 25 ， 则双曲线C 的方程为xy21 . 45故选 B .3.【2017天津，理 5】已知双曲线xy2 2 221( 0, 0)a b 的左焦点为 F ，离心率为2 .若 a b经过 F 和 P (0, 4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为 （A ）x y （B ）22144 xy（C ） 2218 8 xy（D ）2214 8x y22184【答案】 B4xy22【解析】由题意得，选 B.a b ,1 c 4,ab 2 21c8 82【考点】双曲线的标准方程【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于a,b,c的方程，解方程组求出a,b，另外求双曲线方程要注意巧设双曲线（1）双曲线过两点可设为mx2ny21(mn 0)，（2）与x y22221共渐近线的双a b曲线可设为x y2222(0)，（3）等轴双曲线可设为x2y2(0)等，均为待定系a b数法求标准方程.4.【2016高考新课标1卷】已知方程x y22221表示双曲线,且该双曲线两焦点间m n3m n的距离为4,则n的取值范围是( )（A ）1,3（B ）1,3（C ）0,3（D ）0,3【答案】A 【解析】试题分析：x y22表示双曲线,则221m2n3m2nm n3m nc2m2n 3m2n 4m2,其中是半焦距∴m2n 3m2,由双曲线性质知：∴焦距2c 22m 4,解得m 1,∴1n 3,故选A．考点：双曲线的性质5.【2016高考新课标2理数】已知F1,F2是双曲线Ex y22:1的左，右焦点，点M在Ea b22上，MF与轴垂直，sin11,则E的离心率为（）MF F213（A）2（B）32（C）3（D）2【答案】A【解析】3试题分析：因为MF 垂直于 x 轴，所以 1bb22MF 1, MF 2 2a，因为sinaa1MF F ，2 13即b2MFa 1MFb222aa1 3，化简得b a ，故双曲线离心率 e 1 b2.选A.a考点：双曲线的性质.离心率.【名师点睛】区分双曲线中 a ，b ，c 的关系与椭圆中 a ，b ，c 的关系，在椭圆中 a 2＝b 2＋c 2， 而在双曲线中 c 2＝a 2＋b 2.双曲线的离心率 e ∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率 e ∈(0，1)．6.【2015高考新课标 2，理 11】已知 A ，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，∆ABM 为等 腰三角形，且顶角为 120°，则 E 的离心率为（） A ． 5B ．C ． 3D ． 2【答案】D【考点定位】双曲线的标准方程和简单几何性质．【名师点睛】本题考查双曲线的标准方程和简单几何性质、解直角三角形知识，正确表示点 M 的坐标，利用“点在双曲线上”列方程是解题关键，属于中档题． 7.【2015高考四川，理 5】过双曲线y2x 21的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双曲线3的两条渐近线于A，B两点，则AB（）4(A)4 3 3(B)2 3(C)6（D ） 4 3【答案】D 【解析】双曲线的右焦点为 F (2,0)，过 F 与 x 轴垂直的直线为 x 2 ，渐近线方程为y2x 20，将3x 2 代入y2x 20得： y 2 12, y 2 3, | AB | 4 3 .选dreamsummit.38.【2016高考天津理数】已知双曲线xy22=1（b >0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长4b2为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A 、B 、C 、D 四点，四边形的 ABCD 的面积为 2b ，则双曲线的方程为（）（A ）x （B ）223y =144x4（C ）22y=14 3xy22=1（D ）4b2xy 224 12=1【答案】D 【解析】试 题 分 析 ： 根 据 对 称 性 ， 不 妨 设 A 在 第 一 象 限 ， A (x , y ) ， ∴4xx y422b42b by x y4，242b216b b∴xy b2 12b4222，故双曲线的方程为x y ，故选D.221412考点：双曲线渐近线【名师点睛】求双曲线的标准方程关注点：(1)确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a，b的值，常用待定系数法．5(2)利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论． ①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为 Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0)． ②若已知渐近线方程为 mx ＋ny ＝0，则双曲线方程可设为 m 2x 2－n 2y 2＝λ(λ≠0)． 9.【2015高考新课标 1，理 5】已知 M （x 0 , y 0 ）是双曲线 C ：x 22y 2 1上的一点， FF1,2是 C 上的两个焦点，若MF 1 MF 2 0 ，则y 的取值范围是( )（A ）（-3 3 ，33 ） （B ）（- 3 6， 36）（C ）（ 22 ， 2 22 2 ， 2 2 33）（D ）（2 3 ， 2 3 3 3 ）【答案】A【 解 析 】 由 题 知FF ，1(3, 0), 2 ( 3, 0)x 20 2 y， 所 以0 1 2MFMF=12( 3 x ,y )( 3 x ,y ) =x 2y 2y 2，解得3 3 0 1 03 3 y，故选33A.10.【2015高考重庆，理 10】设双曲线 xy22 221（a >0,b >0）的右焦点为 1，过 F 作AF 的a b垂线与双曲线交于 B ,C 两点，过 B ,C 分别作 AC ，AB 的垂线交于点 D .若 D 到直线 BC 的距离小 于 a a 2 b 2 ，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 （ ） A 、 (1,0)(0,1)B 、(,1) (1,)C、(2,0)(0,2)D、(,2)(2,)【答案】A【解析】由题意b b22A(a,0),B(c,),C(c,)，由双曲线的对称性知D在轴上，设D(x,0)，a a6由BD AC得b b22a a1，解得c x a cc xb4a2(ca)，所以b4c x a a ba c22a2(c a)，所以b4a2222c a bb 0b1221，因a a此渐近线的斜率取值范围是(1,0)(0,1)，选A.【考点定位】双曲线的性质.【名师点晴】求双曲线的渐近线的斜率取舍范围的基本思想是建立关于a,b,c的不等式，根据已知条件和双曲线中a,b,c的关系，要据题中提供的条件列出所求双曲线中关于a,b的不等关系，解不等式可得所求范围．解题中要注意椭圆与双曲线中a,b,c关系的不同．11.【2015高考安徽，理4】下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y2x的是（）（A）y2x21（B）4x24y21（C）y24x21（D）x2y214【答案】C12.【2015高考湖北，理8】将离心率为的双曲线C的实半轴长和虚半轴长b(a b)同时增加1m(m 0)个单位长度，得到离心率为e的双曲线C，则（）22A．对任意的a,b，e e B．当a b时，e e；当a b时，e e121212C．对任意的a,b，e e D．当a b时，e e；当a b时，e e121212【答案】D7ea b b 22abb【解析】依题意，211 ( )aa(a m )(b m )b m22e21() ，2，a ma m因为b abm ab bm ab am m (b a )，由于 m0， a 0 ，b0，a ma (a m )a (a m )bb m b b m b b m 所以当 ab 时， 0 1， 01， ( )2()2 ，所以，ee ；aa m a a maa m12bb b mb mbb m 当 ab 时， 1， 1，所以 ( )2()2 ，所以，而ee .a a ma a m aa m12所以当 a b 时， ee ；当 a b 时， ee .1212【考点定位】双曲线的性质，离心率.【名师点睛】分类讨论思想是一种重要的数学思想方法．分类讨论的时应做到：分类不重不漏； 标准要统一，层次要分明；能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论． 13.【2015高考福建，理 3】若双曲线xy22E :1 的左、右焦点分别为9 16F F ，点 P 在双 1, 2曲线 E 上，且 PF，则13P F 等于（ ）2A ．11B ．9C ．5D ．3【答案】B14.【2017课标1，理】已知双曲线C：x2y2221（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，a bb为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为________.【答案】23 3【解析】试题分析：8如图所示，作 AP MN ，因为圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M 、N 两点，则 MN 为双曲线的渐近线byx上的点，且 A (a ,0) ， AM ANb a而 APMN ，所以 PAN 30 ， 点 A (a ,0) 到直线b y x 的距离aAP| b |1b a22在 Rt PAN 中， cos PAN PANA代入计算得 a 2 3b 2 ，即 a 3b由 c 2 a 2 b 2 得 c 2b 所以e c 2b2 3.a3b3【考点】双曲线的简单性质.xy2215.【2017山东，理 14】在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线221 a 0,b0 的右支与 ab焦点为 F 的抛物线 x 22pxp0交于 A ,B 两点，若 AFBF4 OF ，则该双曲线的渐近线方程为.【答案】2yx2p p p【解析】试题分析：|AF||BF|=y y4y y p，A B A B222922x y1因为a b2220a y pb y a b22222x2py2，所以2pb2y y p a2bA B2a渐近线方程为2yx.2【考点】1.双曲线的几何性质.2.抛物线的定义及其几何性质.【名师点睛】1.在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为Ax2By21的形式，当A 0，B 0，A B 时为椭圆，当AB0时为双曲线.2.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．16.【2017北京，理9】若双曲线y2x21的离心率为3，则实数m=_________.m【答案】2x217.【2015高考北京，理10】已知双曲线2210的一条渐近线为3x y 0，则ay aa．【答案】331 x2【解析】双曲线的渐近线方程为y a2yx，210a a101 3 3x y0 y3x ， a0,则3, aa3【考点定位】本题考点为双曲线的几何性质，正确利用双曲线的标准方程，求出渐近线方程， 利用已给渐近线方程求参数.【名师点睛】本题考查双曲线的几何性质，重点考查双曲线的渐近线方程，本题属于基础题， 正确利用双曲线的标准方程，求出渐近线方程，求渐近线方程的简单方法就是把标准方程中的 “1”改“0”，利用已知渐近线方程，求出参数a 的值. 18.【2016高考山东理数】已知双曲线 E ： xy22221（a ＞0，b ＞0），若矩形 ABCD 的四个顶a b点在 E 上，AB ，CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB |=3|BC |，则 E 的离心率是_______. 【答案】2 【解析】b 2试题分析：假设点 A 在第一象限，点 B 在第二象限，则 A(c, )ab2，B(c,) ，所以a| AB|（舍去），2b ，| BC | 2c ，由 2 AB3 BC ， c 2a 2b 2 得离心率 e 2 或 e12a2所以 E 的离心率为 2. 考点：双曲线的几何性质【名师点睛】本题主要考查双曲线的几何性质.本题解答，利用特殊化思想，通过对特殊情况 的讨论，转化得到一般结论，降低了解题的难度.本题能较好的考查考生转化与化归思想、一 般与特殊思想及基本运算能力等.19.【2015江苏高考，12】在平面直角坐标系 xOy 中， P 为双曲线 x 2 y 2 1右支上的一个动点。
2017年高考数学(文)一轮复习讲练测 专题9.6 双曲线 (讲) 含解析
一、【课前小测摸底细】1.【课本典型习题,P55第3题】已知方程22=121x y m m -++表示双曲线，求m 的取值范围．【答案】{2m m <-，或}1m >-．【解析】由双曲线的定义得，2)(1)0m m ++>(，则2m <-或1m >-，所以m 的取值范围为{2m m <-，或}1m >-． 2.【2016高考山东理数】已知双曲线E ：22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0），若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3｜BC ｜,则E 的离心率是_______. 【答案】23.【河北省定州中学2017届高三上学期周练（四）】已知)2,1(A ,)2,1(-B ,动点P 满足BP AP ⊥，若双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的渐近线与动点P 的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是 。
【答案】()1,24。
【基础经典试题】已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的左焦点为F 1，左、右顶点分别为A 1、A 2，P 为双曲线上任意一点,则分别以线段PF 1，A 1A 2为直径的两个圆的位置关系为( ） A ．相交 B ．相切C ．相离D ．以上情况都有可能【答案】B5。
若实数k 满足09k <<,则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的 。
【答案】焦距相等 【解析】09k <<，则90k ->，250k ->，双曲线221259x y k-=-的实半轴长为59k -()2259234k k+-=-，离心率为345k -，双曲线221259x y k -=-的实半轴长为25k -,虚半轴长为9，焦距为()2259234k k-+=-，离心率为3425k k--，因此，两双曲线的焦距相等。
专题05解析几何2017年高考数学(文)试题分项版解析(附解析)
专题05 解析几何-2017年高考数学（文）试题分项版解析1.【2017课表1，文5】已知F 是双曲线C ：1322=-y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为 A ．13B ．1 2C ．2 3D ．3 2【答案】D 【解析】【考点】双曲线【名师点睛】本题考查圆锥曲线中双曲线的简单运算，属容易题．由双曲线方程得)0,2(F ，结合PF 与x 轴垂直，可得3||=PF ，最后由点A 的坐标是(1，3)，计算△APF 的面积．2.【2017课标II ，文5】若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是A. )+∞B.C.D. (1,2) 【答案】C【解析】由题意222222111c a e a a a +===+，因为1a >，所以21112a <+<，则1e <<故选C.【考点】双曲线离心率【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.3.【2017浙江，2】椭圆22194x y +=的离心率是A B C ．23D ．59【答案】B 【解析】试题分析：e ==，选B ． 【考点】 椭圆的简单几何性质【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于c b a ,,的方程或不等式，再根据c b a ,,的关系消掉b 得到c a ,的关系式，建立关于c b a ,,的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．4.【2017课标II ，文12】过抛物线2:4C y x =的焦点F ，C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥,则M 到直线NF 的距离为B. C. D. 【答案】C【考点】直线与抛物线位置关系【名师点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法.5.【2017课标1，文12】设A 、B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是A ．(0,1][9,)+∞B ．[9,)+∞C ．(0,1][4,)+∞D ．[4,)+∞【答案】A 【解析】试题分析：当03m <<，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠= ，则tan 60ab≥= ≥01m <≤；当3m >，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠= ，则tan60ab ≥= ≥，得9m ≥，故m 的取值范围为(0,1][9,)⋃+∞，选A ． 【考点】椭圆【名师点睛】本题设置的是一道以椭圆的知识为背景的求参数范围的问题．解答问题的关键是利用条件确定b a ,的关系，求解时充分借助题设条件 120=∠AMB 转化为360tan =≥ ba，这是简化本题求解过程的一个重要措施，同时本题需要对方程中的焦点位置进行逐一讨论．6.【2017课标3，文11】已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）A B C D ．13【答案】A【考点】椭圆离心率【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.7.【2017天津，文5】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（A ）221412x y -=（B ）221124x y -=（C ）2213x y -=（D ）2213y x -=【答案】D 【解析】试题分析：由题意结合双曲线的渐近线方程可得：22202tan 60c c a b ba⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪==⎩，解得：221,3a b ==，双曲线方程为：2213y x -=，本题选择D 选项. 学#科网 【考点】双曲线方程【名师点睛】本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质，属于基础题．解题时要注意错误！未找到引用源。
高考数学试题分项版解析专题18双曲线理
专题18 双曲线1.【2017课标II ，理9】若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则的离心率为（）A ．2B ．C ． D．3 【答案】A【解析】即：()22243c a c -=，整理可得：224c a =,双曲线的离心率2e ===。
故选A 。
【考点】双曲线的离心率；直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)。
2.【2017课标3，理5】已知双曲线C ：22221x y a b-= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为2y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为 A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=【答案】B【解析】试题分析：双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的渐近线方程为b y x a=±， 椭圆中：2222212,3,9,c 3a b c a b ==∴=-==，椭圆，即双曲线的焦点为()3,0±，据此可得双曲线中的方程组：22223b a c a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，解得：224,5a b ==， 则双曲线的方程为2145x y 2-= . 故选B.3.【2017天津，理5】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为，离心率为.若经过和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（A ）22144x y -=（B ）22188x y -=（C ）22148x y -=（D ）22184x y -=【答案】【解析】由题意得224,14,188x y a b c a b c ==-⇒===⇒-=-，选B. 【考点】双曲线的标准方程【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于,,a b c 的方程，解方程组求出,a b ，另外求双曲线方程要注意巧设双曲线（1）双曲线过两点可设为221(0)mx ny mn -=>，（2）与22221x y a b -=共渐近线的双曲。
2017年高考数学(文)黄金易错点：专题15-椭圆、双曲线、抛物线(含答案)
1．已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( ) A ．(－1,3) B ．(－1，3) C ．(0,3) D ．(0，3)答案 A2．已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的半实轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( ) A.x 24－3y 24＝1 B.x 24－4y 23＝1 C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 答案 D解析 由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝b 2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝44＋b2，y ＝2b4＋b 2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－44＋b2，y ＝－2b4＋b 2，即第一象限的交点为⎝⎛⎭⎪⎫44＋b 2，2b 4＋b 2.由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD 为矩形，其相邻两边长为84＋b 2，4b4＋b 2，故8×4b 4＋b 2＝2b ，得b 2＝12.故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.故选D.3．已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( ) A.2B.32C.3D ．2答案 A4．已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，若M 为椭圆上一点，且△MF 1F 2的内切圆的周长等于3π，则满足条件的点M 有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．4个答案 C解析 由椭圆方程x 225＋y 216＝1可得a 2＝25，b 2＝16，∴a ＝5，b ＝4，c ＝3.由椭圆的定义可得|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10，且|F 1F 2|＝2c ＝6，∴△MF 1F 2的周长|MF 1|＋|MF 2|＋|F 1F 2|＝10＋6＝16. 设△MF 1F 2的内切圆的半径为r ， 由题意可得2πr ＝3π，解得r ＝32.设M (x 0，y 0)， 则12MF F S＝12(|MF 1|＋|MF 2|＋|F 1F 2|)·r ＝12|F 1F 2|·|y 0|，即12×16×32＝12×6·|y 0|， 解得|y 0|＝4.∴y 0＝±4. ∴M (0,4)或(0，－4)．即满足条件的点M 有2个．故选C.5．已知圆x 2＋y 2＝a 216上点E 处的一条切线l 过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F ，且与双曲线的右支交于点P ，若OE →＝12(OF →＋OP →)，则双曲线的离心率是______________．答案264解析 如图所示，设双曲线的右焦点为H ，连接PH ，因为直线l 与圆相切，所以PF ⊥OE . 又OE ∥PH ，所以PF ⊥PH .在Rt △PFH 中，|FH |2＝|PH |2＋|PF |2， 即(2c )2＝(a 2)2＋(5a2)2，整理得c a ＝264，即e ＝264.6．经过椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点的直线l 交抛物线y 2＝4x 于A 、B 两点，点A 关于y 轴的对称点为C ，则OB →·OC →＝________. 答案 －5由题意知C (－x 1，y 1)，∴OB →·OC →＝(x 2，y 2)·(－x 1，y 1)＝－x 1x 2＋y 1y 2＝－1－4＝－5. 7．若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________． 答案 9解析 抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)．准线为x ＝－1，由M 到焦点的距离为10，可知M 到准线x ＝－1的距离也为10，故M 的横坐标满足x M ＋1＝10，解得x M ＝9，所以点M 到y 轴的距离为9.8．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且点(1，32)在该椭圆上．(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的左焦点F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AOB 的面积为627，求圆心在原点O 且与直线l 相切的圆的方程． 解 (1)由题意可得e ＝c a ＝12，又a 2＝b 2＋c 2， 所以b 2＝34a 2.因为椭圆C 经过点(1，32)，所以1a 2＋9434a 2＝1，解得a ＝2，所以b 2＝3， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知F 1(－1,0)，设直线l 的方程为x ＝ty －1， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty －1，x 24＋y 23＝1消去x ，得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0， 显然Δ>0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t 2，9．已知椭圆C 的长轴左，右顶点分别为A ，B ，离心率e ＝22，右焦点为F ，且AF →·BF →＝－1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若P 是椭圆C 上的一动点，点P 关于坐标原点的对称点为Q ，点P 在x 轴上的射影点为M ，连接QM 并延长交椭圆于点N ，求证：∠QPN ＝90°. (1)解 依题意，设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则A (－a,0)，B (a,0)，F (c,0)，由e ＝c a ＝22，得a ＝2c .①由AF →·BF →＝－1，得(c ＋a,0)·(c －a,0)＝c 2－a 2＝－1.② 联立①②，解得a ＝2，c ＝1， 所以b 2＝1，故椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 设P (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 由题意知x i ≠0，y i ≠0(i ＝1,2)， 且x 1≠x 2，易错起源1、圆锥曲线的定义与标准方程例1、(1)△ABC 的两个顶点为A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 周长为18，则C 点轨迹方程为( ) A.x 216＋y 29＝1(y ≠0) B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.y 216＋x 29＝1(y ≠0) D.x 225＋y 29＝1(y ≠0) (2)在平面直角坐标系中，已知△ABC 的顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin Csin B＝________.答案 (1)D (2)54解析 (1)∵△ABC 的两顶点A (－4,0)，B (4,0)，周长为18，∴|AB |＝8，|BC |＋|AC |＝10.∵10>8，∴点C 到两个定点的距离之和等于定值，满足椭圆的定义，∴点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，∴2a ＝10,2c ＝8，∴b ＝3.∴椭圆的标准方程是x 225＋y 29＝1(y ≠0)．故选D.(2)由椭圆方程知其焦点坐标为(－4,0)和(4,0)，恰分别为△ABC 的顶点A 和C 的坐标，由椭圆定义知|BA |＋|BC |＝2a ＝10，在△ABC 中，由正弦定理可知，sin A ＋sin C sin B ＝|BC |＋|BA ||AC |＝108＝54. 【变式探究】(1)已知双曲线的一个焦点与抛物线x 2＝24y 的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的标准方程为( ) A.x 29－y 227＝1 B.y 29－x 227＝1 C.y 212－x 224＝1 D.y 224－x 212＝1 (2)抛物线y 2＝4x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和为8，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________． 答案 (1)B (2)3【名师点睛】(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定． 【锦囊妙计，战胜自我】 1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)；(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M . 2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值． 易错起源2、圆锥曲线的几何性质例2 (1)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________． (2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B 、C ，且|BC |＝|CF 2|，则双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±3x B ．y ＝±22x C ．y ＝±(3＋1)xD ．y ＝±(3－1)x答案 (1)3－1 (2)C易得直线BC 的斜率为a b ，cos ∠CF 1F 2＝bc ，又由双曲线的定义及|BC |＝|CF 2|可得 |CF 1|－|CF 2|＝|BF 1|＝2a ， |BF 2|－|BF 1|＝2a ⇒|BF 2|＝4a ，故cos ∠CF 1F 2＝b c ＝4a 2＋4c 2－16a 22×2a ×2c⇒b 2－2ab －2a 2＝0⇒(b a )2－2(b a )－2＝0⇒ba ＝1＋3，故双曲线的渐近线方程为y ＝±(3＋1)x .【变式探究】(1)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆C 的离心率为( )A.36 B.13 C.12 D.33(2)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D ，若D 到直线BC 的距离小于a ＋a 2＋b 2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－2，0)∪(0，2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 答案(1)D(2)A由x 2a 2－y2b 2＝1可知A (a,0)，F (c,0)． 易得B ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，C ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a . ∵k AB ＝b 2ac －a ＝b 2a c －a ，∴k CD ＝aa －cb 2. ∵k AC ＝b 2a a －c ＝b 2a a －c ，∴k BD ＝－aa －cb 2. ∴l BD ：y －b 2a＝－a a －cb 2(x －c )，【名师点睛】(1)明确圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键．(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围． 【锦囊妙计，战胜自我】1．椭圆、双曲线中，a ，b ，c 之间的关系 (1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝ca ＝1－b a 2；(2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝ca＝1＋b a2.2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．易错起源3、直线与圆锥曲线例3、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到直线l ：x ＝－a 2c的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若|PC |＝2|AB |，求直线AB 的方程． 解 (1)由题意，得c a ＝22且c ＋a 2c ＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1， 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时，|AB |＝2，又|CP |＝3，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线AB 的方程代入椭圆方程， 得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0， 则x 1,2＝2k 2±21＋k 21＋2k 2，C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝1＋k2x 2－x 12＝221＋k 21＋2k 2.若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与直线l 平行，不合题意．【变式探究】(1)设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为( ) A ．－12，12]B ．－2,2]C ．－1,1]D ．－4,4](2)设椭圆C ：x 24＋y 23＝1与函数y ＝tan x4的图象相交于A 1，A 2两点，若点P 在椭圆C 上，且直线P A 2的斜率的取值范围是－2，－1]，那么直线P A 1斜率的取值范围是________． 答案 (1)C (2)38，34]解析 (1)由题意知抛物线的准线为x ＝－2，∴Q (－2,0)，显然，直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2，y 2＝8x ，得k 2x 2＋4(k 2－2)x ＋4k 2＝0，当k ＝0时，x ＝0，此时交点为(0,0)，当k ≠0时，Δ≥0， 即4(k 2－2)]2－16k 4≥0，解得－1≤k <0或0<k ≤1， 综上，k 的取值范围为－1,1]，故选C.【名师点睛】解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解． 【锦囊妙计，战胜自我】判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x ，y 的方程组，消去y (或x )得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标． (2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．1．点F 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点，若椭圆上存在点A 使△AOF 为正三角形，那么椭圆的离心率为( ) A.22 B.32C.2－12D.3－1答案 D解析 如图所示，设F 为椭圆的右焦点，点A 在第一象限，由已知得直线OA 的斜率为k ＝tan60°＝3，2．已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m ＞0)与双曲线C 2：x2n 2－y 2＝1(n ＞0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )A ．m ＞n 且e 1e 2＞1B ．m ＞n 且e 1e 2＜1C ．m ＜n 且e 1e 2＞1D ．m ＜n 且e 1e 2＜1 答案 A解析 由题意可得：m 2－1＝n 2＋1，即m 2＝n 2＋2，又∵m ＞0，n ＞0，故m ＞n . 又∵e 21·e 22＝m 2－1m 2·n 2＋1n 2＝n 2＋1n 2＋2·n 2＋1n2 ＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n 2＝1＋1n 4＋2n 2＞1，∴e 1·e 2＞1. 3．已知双曲线C ：x 23－y 2＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，且点P 的横坐标为2，则△PF 1Q 的周长为( ) A.1633B ．5 3 C.1433D ．4 3答案 A4．设抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 为抛物线E 上一点，|MF |的最小值为3，若点P 为抛物线E 上任意一点，A (4,1)，则|P A |＋|PF |的最小值为( ) A ．4＋32B ．7C ．4＋2 3D ．10答案 B解析 由题意，|MF |的最小值为3，∴p2＝3，∴p ＝6，∴抛物线E ：y 2＝12x ，抛物线y 2＝12x 的焦点F 的坐标是(3,0)； 设点P 在准线上的射影为D ， 则根据抛物线的定义可知|PF |＝|PD |，∴要求|P A |＋|PF |取得最小值，即求|P A |＋|PD |取得最小值，当D ，P ，A 三点共线时|P A |＋|PD |最小，为4－(－3)＝7，故选B.5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝8x 有一个共同的焦点F ，两曲线的一个交点为P ，若|PF |＝5，则点F 到双曲线的渐近线的距离为( ) A. 3 B ．2 C. 6 D ．3答案 A解析 ∵抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，∴双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 的坐标为(2,0)，∴c 2＝a 2＋b 2＝4.①∵P 是两曲线的一个交点，且|PF |＝5， ∴x p ＋2＝5，∴x p ＝3，∴y 2p ＝24. ∵P (x p ，y p )在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上，6．已知点A (2,4)在抛物线y 2＝2px (p >0)上，且抛物线的准线过双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，若双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为____________． 答案 x 2－y 23＝1解析 ∵点A (2,4)在抛物线y 2＝2px (p >0)上， ∴16＝4p ，解得p ＝4. ∴抛物线的准线方程为x ＝－2.又抛物线的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，∴c ＝2，又e ＝ca ＝2，∴a ＝1，则b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3， ∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1.7．一动圆与已知圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，则动圆圆心的轨迹方程为__________． 答案 x 225＋y 216＝1解析 两定圆的圆心和半径分别是O 1(－3,0)，r 1＝1； O 2(3,0)，r 2＝9.设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ，则由题设条件， 可得|MO 1|＝R ＋1，|O 2M |＝9－R . ∴|MO 1|＋|MO 2|＝10>|O 1O 2|＝6.由椭圆的定义知点M 在以O 1，O 2为焦点的椭圆上，且2a ＝10,2c ＝6，∴b 2＝16. ∴动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.8．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为________． 答案 539．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线y22－x 2＝1的焦点重合，过点P (4,0)且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点． (1)求椭圆C 的方程； (2)求OA →·OB →的取值范围．解 (1)由双曲线y 22－x 2＝1得其焦点为(0，±3)，∴b ＝ 3.又由e ＝c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，得a 2＝4，c ＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －4，x 24＋y 23＝1，消去y ，得(4k 2＋3)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0， 由Δ＝(－32k 2)2－4(4k 2＋3)(64k 2－12)>0， 得k 2<14.10.如图所示，抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，动点T (－1，m )，过F 作TF 的垂线交抛物线于P ，Q 两点，弦PQ 的中点为N .(1)证明：线段NT 平行于x 轴(或在x 轴上)； (2)若m ＞0且|NF |＝|TF |，求m 的值及点N 的坐标．(1)证明 易知抛物线的焦点F (1,0)，准线x ＝－1，动点T (－1，m )在准线上，则kTF ＝－m2.当m ＝0时，T 为抛物线准线与x 轴的交点，这时PQ 为抛物线的通径，点N 与焦点F 重合，显然线段NT 在x 轴上．当m ≠0时，由条件知kPQ ＝2m ，所以直线PQ 的方程为y ＝2m (x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝2m x －1，得x 2－(2。
2017高考试题分类汇编之解析几何和圆锥曲线文科(word解析版)
2017年高考试题分类汇编之解析几何（文）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.（2017课表I 文）已知F 是双曲线:C 1322=-y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是)3,1(，则APF ∆的面积为（ ） .A 13.B 1 2.C 2 3.D 3 2【解答】解：由双曲线C ：x 2﹣=1的右焦点F （2，0），PF 与x 轴垂直，设（2，y ），y ＞0，则y=3， 则P （2，3），∴AP ⊥PF ，则丨AP 丨=1，丨PF 丨=3， ∴△APF 的面积S=×丨AP 丨×丨PF 丨=， 同理当y ＜0时，则△APF 的面积S=， 故选D ．【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，考查数形结合思想，属于基础题．2.（2017课标II 文）若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是（ ）.A 2,)+∞ .B 2,2) .C 2) .D (1,2)【分析】利用双曲线方程，求出a ，c 然后求解双曲线的离心率的范围即可．【解答】解：a ＞1，则双曲线﹣y 2=1的离心率为：==∈（1，）．故选：C ．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．3.（2017浙江）椭圆22194x y +=的离心率是（ ）.A 133.B 53.C 23.D 59【分析】直接利用椭圆的简单性质求解即可． 【解答】解：椭圆+=1，可得a=3，b=2，则c==，所以椭圆的离心率为：=．故选：B ．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．4.（2017课标II 文）过抛物线2:4C y x =的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥,则M 到直线NF 的距离为（ ）.A 5 .B 22 .C 23 .D 33【分析】利用已知条件求出M 的坐标，求出N 的坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：抛物线C ：y 2=4x 的焦点F （1，0），且斜率为的直线：y=（x ﹣1），过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F ，且斜率为的直线交C 于点M （M 在x 轴上方），l 可知：，解得M （3，2）．可得N （﹣1，2），NF 的方程为：y=﹣（x ﹣1），即，则M 到直线NF 的距离为：=2．故选：C ．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查计算能力．5.（2017课标I 文）设B A ,是椭圆:C 2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足0120=∠AMB ，则m 的取值范围是（ ）.A (0,1][9,)+∞.B (0,3][9,)+∞ .C (0,1][4,)+∞.D (0,3][4,)+∞【分析】分类讨论，由要使椭圆C 上存在点M 满足∠AMB=120°，∠AMB ≥120°，∠AMO ≥60°，当假设椭圆的焦点在x 轴上，tan ∠AMO=≥tan60°，当即可求得椭圆的焦点在y 轴上时，m ＞3，tan ∠AMO=≥tan60°=，即可求得m 的取值范围．【解答】解：假设椭圆的焦点在x 轴上，则0＜m ＜3时，假设M 位于短轴的端点时，∠AMB 取最大值，要使椭圆C 上存在点M 满足∠AMB=120°， ∠AMB ≥120°，∠AMO ≥60°，tan ∠AMO=≥tan60°=，解得：0＜m ≤1；当椭圆的焦点在y 轴上时，m ＞3，假设M 位于短轴的端点时，∠AMB 取最大值，要使椭圆C 上存在点M 满足∠AMB=120°， ∠AMB ≥120°，∠AMO ≥60°，tan ∠AMO=≥tan60°=，解得：m ≥9，∴m 的取值范围是（0，1]∪[9，+∞） 故选A ．【点评】本题考查椭圆的标准方程，特殊角的三角函数值，考查分类讨论思想及数形结合思想的应用，考查计算能力，属于中档题．6.（2017课标III 文）已知椭圆:C 22221x y a b+=)0(>>b a ，的左、右顶点分别为21,A A ，且以线段21A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）.A 6 .B 3 .C 2.D 13【分析】以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx ﹣ay +2ab=0相切，可得原点到直线的距离=a ，化简即可得出．【解答】解：以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx ﹣ay +2ab=0相切， ∴原点到直线的距离=a ，化为：a 2=3b 2．∴椭圆C 的离心率e===．故选：A ．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.（2017天津文）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF ∆是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（ ）.A 221412x y -= .B 221124x y -= .C 2213x y -= .D 2213y x -=【分析】利用三角形是正三角形，推出a ，b 关系，通过c=2，求解a ，b ，然后等到双曲线的方程．【解答】解：双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形（O 为原点）， 可得c=2，，即，，解得a=1，b=，双曲线的焦点坐标在x 轴，所得双曲线方程为：．故选：D ．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．二、填空题（将正确的答案填在题中横线上）8. （2017天津文）设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若120FAC ∠=︒，则圆的方程为______________________．【分析】根据题意可得F （﹣1，0），∠FAO=30°，OA==1，由此求得OA 的值，可得圆心C 的坐标以及圆的半径，从而求得圆C 方程．【解答】解：设抛物线y 2=4x 的焦点为F （1，0），准线l ：x=﹣1，∵点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切与点A ， ∵∠FAC=120°，∴∠FAO=30°，∴OA===1，∴OA=，∴A （0，），如图所示： ∴C （﹣1，），圆的半径为CA=1，故要求的圆的标准方程为，故答案为：（x +1）2+=1．【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，抛物线的简单几何性质，属于中档题．9. （2017北京文）若双曲线221y x m-=的离心率为3，则实数=m ___________________．【分析】利用双曲线的离心率，列出方程求和求解m 即可． 【解答】解：双曲线x 2﹣=1（m ＞0）的离心率为，可得：，解得m=2． 故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力．10. （2017山东文）在平面直角坐标系xOy 中,双曲线22221(00)x y a b a b-=>>， 的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于B A ,两点,若OF BF AF 4=+，则该双曲线的渐近线方程为【分析】把x 2=2py （p ＞0）代入双曲线=1（a ＞0，b ＞0），可得：a 2y 2﹣2pb 2y +a 2b 2=0，利用根与系数的关系、抛物线的定义及其性质即可得出． 【解答】解：把x 2=2py （p ＞0）代入双曲线=1（a ＞0，b ＞0），可得：a 2y 2﹣2pb 2y +a 2b 2=0，∴y A +y B =，∵|AF |+|BF |=4|OF |，∴y A +y B +2×=4×， ∴=p ， ∴=．∴该双曲线的渐近线方程为：y=±x ．故答案为：y=±x ．【点评】本题考查了抛物线与双曲线的标准方程定义及其性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．.11.（2017课标III 文）双曲线22219x y a -=)0(>a 的一条渐近线方程为35y x =，则=a . 【分析】利用双曲线方程，求出渐近线方程，求解a 即可． 【解答】解：双曲线（a ＞0）的一条渐近线方程为y=x ，可得，解得a=5．故答案为：5．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．12.（2017江苏） 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ,Q其焦点是12,F F ,则四边形12F PF Q 的面积是 .【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到P ，Q 坐标，求出焦点坐标，然后求解四边形的面积． 【解答】解：双曲线﹣y 2=1的右准线：x=，双曲线渐近线方程为：y=±x ，所以P （，），Q （，﹣），F 1（﹣2，0）．F 2（2，0）．则四边形F 1PF 2Q 的面积是：=2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．13.（2017江苏）在平面直角坐标系xOy 中,(12,0),(0,6),A B -点P 在圆2250O x y +=：上,若20,PA PB ⋅≤ 则点P 的横坐标的取值范围是 .【分析】根据题意，设P （x 0，y 0），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x 0+y 0+5≤0，分析可得其表示表示直线2x +y +5≤0以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案．【解答】解：根据题意，设P （x 0，y 0），则有x 02+y 02=50，=（﹣12﹣x 0，﹣y 0）•（﹣x 0，6﹣y 0）=（12+x 0）x 0﹣y 0（6﹣y 0）=12x 0+6y +x 02+y 02≤20，化为：12x 0﹣6y 0+30≤0，即2x 0﹣y 0+5≤0，表示直线2x ﹣y +5=0以及直线上方的区域， 联立，解可得x 0=﹣5或x 0=1，结合图形分析可得：点P 的横坐标x 0的取值范围是[﹣5，1]，故答案为：[﹣5，1]．【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系，关键是利用数量积化简变形得到关于x 0、y 0的关系式．三、解答题（应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）14.（2017课标I 文）设B A ,为曲线4:2x y C =上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且BM AM ⊥，求直线AB 的方程．【分析】（1）设A （x 1，），B （x 2，），运用直线的斜率公式，结合条件，即可得到所求； （2）设M （m ，），求出y=的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，可得m ，即有M 的坐标，再由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得x 1，x 2的关系式，再由直线AB ：y=x +t 与y=联立，运用韦达定理，即可得到t 的方程，解得t 的值，即可得到所求直线方程． 【解答】解：（1）设A （x 1，），B （x 2，）为曲线C ：y=上两点，则直线AB 的斜率为k==（x 1+x 2）=×4=1；（2）设直线AB 的方程为y=x +t ，代入曲线C ：y=，可得x 2﹣4x ﹣4t=0，即有x 1+x 2=4，x 1x 2=﹣4t ， 再由y=的导数为y ′=x ，设M （m ，），可得M 处切线的斜率为m ，由C 在M 处的切线与直线AB 平行，可得m=1， 解得m=2，即M （2，1）， 由AM ⊥BM 可得，k AM •k BM =﹣1，即为•=﹣1，化为x 1x 2+2（x 1+x 2）+20=0， 即为﹣4t +8+20=0，解得t=7．则直线AB 的方程为y=x +7．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理，考查直线的斜率公式的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．15.（2017课标II 文）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆:C 2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NM NP 2=.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1=⋅PQ OP .证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .【分析】（1）设M （x 0，y 0），由题意可得N （x 0，0），设P （x ，y ），运用向量的坐标运算，结合M 满足椭圆方程，化简整理可得P 的轨迹方程； （2）设Q （﹣3，m ），P （cos α，sin α），（0≤α＜2π），运用向量的数量积的坐标表示，可得m ，即有Q 的坐标，求得椭圆的左焦点坐标，求得OQ ，PF 的斜率，由两直线垂直的条件：向量数量积为0，即可得证．【解答】解：（1）设M （x 0，y 0），由题意可得N （x 0，0）， 设P （x ，y ），由点P 满足=．可得（x ﹣x 0，y ）=（0，y 0）， 可得x ﹣x 0=0，y=y 0，即有x 0=x ，y 0=，代入椭圆方程+y 2=1，可得+=1，即有点P 的轨迹方程为圆x 2+y 2=2； （2）证明：设Q （﹣3，m ），P （cos α，sin α），（0≤α＜2π）， •=1，可得（cos α，sin α）•（﹣3﹣cos α，m ﹣sin α）=1，即为﹣3cos α﹣2cos 2α+msin α﹣2sin 2α=1，当α=0时，上式不成立，则0＜α＜2π，解得m=，即有Q （﹣3，），椭圆+y 2=1的左焦点F （﹣1，0）， 由•=（﹣1﹣cos α，﹣sin α）•（﹣3，）=3+3cos α﹣3（1+cos α）=0．可得过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用坐标转移法和向量的加减运算，考查圆的参数方程的运用和直线的斜率公式，以及向量的数量积的坐标表示和两直线垂直的条件：向量数量积为0，考查化简整理的运算能力，属于中档题．16.（2017课标III 文）在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于B A ,两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现BC AC ⊥的情况？说明理由；（2）证明过C B A ,,三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.【分析】（1）设曲线y=x 2+mx ﹣2与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0），运用韦达定理，再假设AC ⊥BC ，运用直线的斜率之积为﹣1，即可判断是否存在这样的情况；（2）设过A 、B 、C 三点的圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F=0（D 2+E 2﹣4F ＞0），由题意可得D=m ，F=﹣2，代入（0，1），可得E=1，再令x=0，即可得到圆在y 轴的交点，进而得到弦长为定值．【解答】解：（1）曲线y=x 2+mx ﹣2与x 轴交于A 、B 两点， 可设A （x 1，0），B （x 2，0）， 由韦达定理可得x 1x 2=﹣2， 若AC ⊥BC ，则k AC •k BC =﹣1， 即有•=﹣1，即为x 1x 2=﹣1这与x 1x 2=﹣2矛盾， 故不出现AC ⊥BC 的情况；（2）证明：设过A 、B 、C 三点的圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F=0（D 2+E 2﹣4F ＞0），由题意可得y=0时，x 2+Dx +F=0与x 2+mx ﹣2=0等价， 可得D=m ，F=﹣2，圆的方程即为x 2+y 2+mx +Ey ﹣2=0，由圆过C （0，1），可得0+1+0+E ﹣2=0，可得E=1， 则圆的方程即为x 2+y 2+mx +y ﹣2=0，另解：设过A 、B 、C 三点的圆在y 轴上的交点为H （0，d ）， 则由相交弦定理可得|OA |•|OB |=|OC |•|OH |， 即有2=|OH |，再令x=0，可得y 2+y ﹣2=0， 解得y=1或﹣2．即有圆与y 轴的交点为（0，1），（0，﹣2）， 则过A 、B 、C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值3．【点评】本题考查直线与圆的方程的求法，注意运用韦达定理和直线的斜率公式，以及待定系数法，考查方程思想和化简整理的运算能力，属于中档题．17.（2017山东文）在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆:C 22221x y a b+=)0(>>b a 的离心率为22,椭圆C 截直线1=y 所得线段的长度为22.(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)动直线)0(:≠+=m m kx y l 交椭圆C 于B A ,两点,交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点,圆N 的半径为NO . 设D 为AB 的中点，DF DE ,与圆N 分别相切于点F E ,，求EDF ∠的最小值.【分析】（Ⅰ）首先根据题中信息可得椭圆C 过点（，1），然后结合离心率可得椭圆方程；（Ⅱ）可将题目所求角度的最小值转化为求角度正弦的最小值，结合题目信息可求得D 、N 坐标及⊙N 半径，进而将DN 长度表示出来，可求∠EDF 最小值． 【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C 的离心率为，∴=，a2=2b2，∵椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2，∴椭圆C过点（，1），∴+=1，∴b2=2，a2=4，∴椭圆C的方程为+=1．（Ⅱ）设A，B的横坐标为x1，x2，则A（x1，kx1+m），B（x2，kx2+m），D（，+m），联立可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0，∴x1+x2=﹣，∴D（﹣，），∵M（0，m），则N（0，﹣m），∴⊙N的半径为|m|，|DN|==，设∠EDF=α，∴sin====，令y=，则y′=，当k=0时，sin取得最小值，最小值为．∴∠EDF的最小值是60°．【点评】本题考查圆锥曲线的最值问题，重要的是能将角度的最小值进行转化求解．18.（2017天津文）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为,()0F c -，右顶点为A ，点E 的坐标为(0,)c ，EFA △的面积为.22b（1）求椭圆的离心率；（2）设点Q 在线段AE 上，3||2FQ c =，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM QN ∥，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c .（i ）求直线FP 的斜率； （ii ）求椭圆的方程.【分析】（Ⅰ）设椭圆的离心率为e ．通过．转化求解椭圆的离心率．（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP 的方程为x=my ﹣c （m ＞0），则直线FP 的斜率为．通过a=2c ，可得直线AE 的方程为，求解点Q 的坐标为．利用|FQ |=，求出m ，然后求解直线FP 的斜率．（ii ）求出椭圆方程的表达式你，求出直线FP 的方程为3x ﹣4y +3c=0，与椭圆方程联立通过，结合直线PM 和QN 都垂直于直线FP ．结合四边形PQNM 的面积为3c ，求解c ，然后求椭圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的离心率为e ．由已知，可得．又由b 2=a 2﹣c 2，可得2c 2+ac ﹣a 2=0，即2e 2+e ﹣1=0．又因为0＜e ＜1，解得．所以，椭圆的离心率为；（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP 的方程为x=my ﹣c （m ＞0），则直线FP 的斜率为． 由（Ⅰ）知a=2c ，可得直线AE 的方程为，即x +2y ﹣2c=0，与直线FP 的方程联立，可解得，即点Q 的坐标为．由已知|FQ |=，有，整理得3m 2﹣4m=0，所以，即直线FP 的斜率为． （ii ）解：由a=2c ，可得，故椭圆方程可以表示为．由（i ）得直线FP 的方程为3x ﹣4y +3c=0，与椭圆方程联立消去y ，整理得7x 2+6cx ﹣13c 2=0，解得（舍去），或x=c ．因此可得点，进而可得，所以．由已知，线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离，故直线PM 和QN 都垂直于直线FP ． 因为QN ⊥FP ，所以，所以¡÷FQN 的面积为，同理¡÷FPM 的面积等于，由四边形PQNM 的面积为3c ，得，整理得c 2=2c ，又由c ＞0，得c=2．所以，椭圆的方程为．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．19.（2017北京文）已知椭圆C 的两个顶点分别为)0,2(),0,2(B A -，焦点在x 轴上，离心率为3． （1）求椭圆C 的方程；（2）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点N M ,，过D 作AM 的垂线交BN 于点E ，求证：BDE ∆与BDN ∆的面积之比为5:4．【分析】（Ⅰ）由题意设椭圆方程，由a=2，根据椭圆的离心率公式，即可求得c ，则b 2=a 2﹣c 2=1，即可求得椭圆的方程；（Ⅱ）由题意分别求得DE 和BN 的斜率及方程，联立即可求得E 点坐标，根据三角形的相似关系，即可求得=，因此可得△BDE 与△BDN 的面积之比为4：5．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的焦点在x 轴上，设椭圆方程：（a ＞b ＞0），则a=2，e==，则c=，b2=a2﹣c2=1，∴椭圆C的方程；（Ⅱ）证明：设D（x0，0），（﹣2＜x0＜2），M（x0，y0），N（x0，﹣y0），y0＞0，由M，N在椭圆上，则，则x02=4﹣4y02，则直线AM的斜率k AM==，直线DE的斜率k DE=﹣，直线DE的方程：y=﹣（x﹣x0），直线BN的斜率k BN=，直线BN的方程y=（x﹣2），，解得：，过E做EH⊥x轴，△BHE∽△BDN，则丨EH丨=，则=，∴：△BDE与△BDN的面积之比为4：5．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率公式，相似三角形的应用，考查数形结合思想，属于中档题．20.（2017江苏） 如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,离心率为12,两准线之间的距离为.8点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ,过点2F 作直线2PF 的垂线2l .（1）求椭圆E 的标准方程； （2）若直线E 的交点Q 在椭圆E 上,求点P 的坐标.【分析】（1）由椭圆的离心率公式求得a=2c ，由椭圆的准线方程x=±，则2×=8，即可求得a 和c 的值，则b 2=a 2﹣c 2=3，即可求得椭圆方程；（2）设P 点坐标，分别求得直线PF 2的斜率及直线PF 1的斜率，则即可求得l 2及l 1的斜率及方程，联立求得Q 点坐标，由Q 在椭圆方程，求得y 02=x 02﹣1，联立即可求得P 点坐标； 方法二：设P （m ，n ），当m ≠1时，=，=，求得直线l 1及l 1的方程，联立求得Q 点坐标，根据对称性可得=±n 2，联立椭圆方程，即可求得P 点坐标．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e==，则a=2c ，①椭圆的准线方程x=±，由2×=8，②由①②解得：a=2，c=1，则b2=a2﹣c2=3，∴椭圆的标准方程：；（2）方法一：设P（x 0，y0），则直线PF2的斜率=，则直线l2的斜率k2=﹣，直线l2的方程y=﹣（x﹣1），直线PF 1的斜率=，则直线l2的斜率k1=﹣，直线l1的方程y=﹣（x+1），联立，解得：，则Q（﹣x0，），由P，Q在椭圆上，P，Q的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则y0=，∴y02=x02﹣1，则，解得：，则，又P在第一象限，所以P的坐标为：P（，）．方法二：设P（m，n），由P在第一象限，则m＞0，n＞0，当m=1时，不存在，解得：Q与F 1重合，不满足题意，当m≠1时，=，=，由l 1⊥PF1，l2⊥PF2，则=﹣，=﹣，直线l 1的方程y=﹣（x +1），①直线l 2的方程y=﹣（x ﹣1），②联立解得：x=﹣m ，则Q （﹣m ，）， 由Q 在椭圆方程，由对称性可得：=±n 2，即m 2﹣n 2=1，或m 2+n 2=1， 由P （m ，n ），在椭圆方程，，解得：，或，无解，又P 在第一象限，所以P 的坐标为： P （，）．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题．21.（2017浙江）如图，已知抛物线2x y =，点A 11()24-，，39()24B ，，抛物线上的点)2321)(,(<<-x y x P ．过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．（1）求直线AP 斜率的取值范围； （2）求||||PQ PA ⋅的最大值．【分析】（Ⅰ）通过点P在抛物线上可设P（x，x2），利用斜率公式结合﹣＜x＜可得结论；（Ⅱ）通过（I）知P（x，x2）、﹣＜x＜，设直线AP的斜率为k，联立直线AP、BQ方程可知Q点坐标，进而可用k表示出、，计算可知|PA|•|PQ|=（1+k）3（1﹣k），通过令f（x）=（1+x）3（1﹣x），﹣1＜x＜1，求导结合单调性可得结论．【解答】解：（Ⅰ）由题可知P（x，x2），﹣＜x＜，所以k AP==x﹣∈（﹣1，1），故直线AP斜率的取值范围是：（﹣1，1）；（Ⅱ）由（I）知P（x，x2），﹣＜x＜，所以=（﹣﹣x，﹣x2），设直线AP的斜率为k，则AP：y=kx+k+，BQ：y=﹣x++，联立直线AP、BQ方程可知Q（，），故=（，），又因为=（﹣1﹣k，﹣k2﹣k），故﹣|PA|•|PQ|=•=+=（1+k）3（k﹣1），所以|PA|•|PQ|=（1+k）3（1﹣k），令f（x）=（1+x）3（1﹣x），﹣1＜x＜1，则f′（x）=（1+x）2（2﹣4x）=﹣2（1+x）2（2x﹣1），由于当﹣1＜x ＜时f′（x）＞0，当＜x＜1时f′（x）＜0，故f（x）max=f （）=，即|PA|•|PQ|的最大值为．【点评】本题考查圆锥曲线的最值问题，考查运算求解能力，考查函数思想，注意解题方法的积累，属于中档题．- 21 - / 21。
专题10-3 双曲线-奇招制胜2017年高考数学文热点+题型
双曲线【基础知识整合】 1．双曲线定义平面内到两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于F 1F 2的正数)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 集合P ＝{M ||MF 1－MF 2|＝2a }，F 1F 2＝2c ，其中a 、c 为常数且a >0，c >0. (1)当2a <F 1F 2时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当2a ＝F 1F 2时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当2a >F 1F 2时，P 点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质巧设双曲线方程(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)．(2)过已知两个点的双曲线方程可设为x 2m ＋y 2n＝1 (mn <0)．类型一 双曲线的定义及标准方程【典例1】【2016高考天津文数】已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦距为52，且双曲线的一条渐近线与直线02=+y x 垂直，则双曲线的方程为（ ）（A ）1422=-y x（B ）1422=-y x （C ）15320322=-y x （D ）12035322=-y x【答案】A考点：双曲线渐近线【思路点拨】求双曲线的标准方程关注点：(1)确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a ， b 的值，常用待定系数法． (2)利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论．①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0)．②若已知渐近线方程为mx ＋ny ＝0，则双曲线方程可设为m 2x 2－n 2y 2＝λ(λ≠0)．【典例2】【2014高考广东卷.文.8】若实数满足05k <<,则曲线221165x y k -=-与曲线221165x y k -=-的( ) A .实半轴长相等 B .虚半轴长相等 C .离心率相等 D .焦距相等 【答案】D 【解析】05k <<,则50k ->,160k ->,双曲线221165x y k-=-的实半轴长为,焦距为=,双曲线221165x y k -=-焦距为=,因此,两双曲线的焦距相等,故选D .【考点定位】本题考查双曲线的方程与基本几何性质,属于中等题.【思路点拨】本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质，属于中等题．解题时要注意、、的关系222c a b =+，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是双曲线的简单几何性质，即双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，焦距为2c ，其中222c a b =+，离心率c e a=． 【典例3】【2016高考北京文数】已知双曲线22221x y a b -= （0a >，0b >）的一条渐近线为20x y +=，一个焦点为，则a =_______；b =_____________.【答案】1,2a b ==.考点：双曲线的基本概念【思路点拨】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线： (1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为122=+By Ax 的形式，当0>A ，0>B ，B A ≠时为椭圆，当0<AB 时为双曲线. 【变式训练】1. 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为____________．【解析】 双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，因为一条渐近线与直线y ＝2x ＋10平行，所以ba＝2.又因为双曲线的一个焦点在直线y ＝2x ＋10上， 所以－2c ＋10＝0.所以c ＝5.由⎩⎨⎧b a ＝2，c ＝a 2＋b 2＝5得⎩⎨⎧a 2＝5，b 2＝20.故双曲线方程为x 25－y 220＝1.2.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线平行于直线,102:+=x y l 双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为（ ）A.120522=-y x B.152022=-y x C.1100325322=-y x D.1253100322=-y x 【答案】A考点：双曲线的渐近线【思路点拨】本题考查抛物线与双曲线的几何性质，重点考查待定系数法求双曲线的方程，本题属于基础题， 正确利用双曲线线的渐进线与直线平行，斜率相等，列出,a b 的一个关系式，直线与轴交点为双曲线的一个焦点，求出，借助222a b c +=，联立方程组，求出,a ，即可.待定系数法求双曲线的标准方程时，注意利用题目的已知条件，布列关于,,a b c 的方程，还要借助22a b +2c =，正确解出,a b 的值.3.双曲线2214x y -=的离心率等于____________.【解析】试题分析：2c e a ===. 【考点定位】双曲线及其离心率.【思路点拨】已知双曲线方程可以直接得出,a c 的值，继而求出离心率.【解题技巧与方法总结】1．应用双曲线的定义需注意的问题：在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．2．求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a 、b 、c 的关系易错易混．类型二、 双曲线的几何性质【典例4】【2014全国1，文4】已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则=a A. 2 B. 26 C. 25D. 1 【答案】D考点：双曲线的性质【思路点拨】本题主要考查了双曲线的几何性质，在解题锅中一定要明确焦点所在的坐标轴，确定好实轴、和虚轴的长，以及222c a b =+的应用.【典例5】 【2015高考重庆，文9】设双曲线22221(a 0,b 0)x y a b-=>>的右焦点是F ，左、右顶点分别是12A ,A ,过F 做12A A 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若12A B A C ⊥,则双曲线的渐近线的斜率为（ ）(A) 12±(B) 2± (C) 1± (D) 【答案】C【解析】由已知得右焦点(,0)F c (其中)0,222>+=c b a c ，)0,(),0,(21a A a A -，),(),,(22ab c C a b c B -，从而),(),,(2221a b a c C A a b a c B A -=-+=，又因为12A B A C ⊥，所以021=∙A A ，即0)()()()(22=⋅-++⋅-ab a b ac a c ，化简得到1122±=⇒=a bab ，即双曲线的渐近线的斜率为1±，故选C.【考点定位】双曲线的几何性质与向量数量积.【思路点拨】本题考查双曲线的简单几何性质，利用向量垂直的条件来转化两直线垂直的条件而得到与的关系式来求解.本题属于中档题，注意运算的准确性.【典例6】【2015新课标2文15】已知双曲线过点(,且渐近线方程为12y x =±,则该双曲线的标准方程为 ．【答案】2214x y -=【考点定位】本题主要考查双曲线几何性质及计算能力.【思路点拨】本题是求双曲线的标准方程,若设标准形式,需先判断焦点是在x 轴上,还是在y 轴上,而此题解法通过设共渐近线的双曲线的方程,就不需要判断双曲线焦点是在x 轴上,还是在y 轴上.一般的结论是：以()0,0by x a b a =±>>为渐近线的双曲线的方程可设为()22220x y m m a b -=≠.【变式训练】1.【2014高考重庆文第8题】设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得 2212(||||)3,PF PF b ab -=-则该双曲线的离心率为( )A.2B.15C.4D.17 【答案】D考点：双曲的定义，标准方程及其简单几何性质.【思路点拨】本题考查双曲线定义，性质及其应用，属于中档题，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件．2. 已知12,F F 是双曲线2222:1x y E a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与轴垂直，211sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为（ ）（A（B ）32（C（D ）2【答案】A 【解析】试题分析：因为1MF 垂直于x 轴，所以2212,2b b MF MF a a a==+，因为211sin 3MF F ∠=，即2122132b MF ab MF a a==+，化简得b a =，故双曲线离心率e ==选A.考点：双曲线的性质.离心率.【思路点拨】区分双曲线中a，b，c的关系与椭圆中a，b，c的关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.双曲线的离心率e∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e∈(0，1)．3.【2016高考山东文数】已知双曲线E：22xa–22yb=1（a>0，b>0）．矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______．【答案】考点：双曲线的几何性质【思路点拨】本题主要考查双曲线的几何性质.本题解答，利用特殊化思想，通过对特殊情况的讨论，转化得到一般结论，降低了解题的难度.本题能较好的考查考生转化与化归思想、一般与特殊思想及基本运算能力等.【解题技巧与方法总结】在研究双曲线的性质时，实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多．由于e＝ca是一个比值，故只需根据条件得到关于a、b、c的一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后变形求e，并且需注意e>1.同时注意双曲线方程中x，y的范围问题．类型三、直线与双曲线的位置关系【典例7】【2014年.浙江卷.文17】设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线分别交于A 、B ，若)0,(m P 满足||||PB PA =，则双曲线的离心率是 . 【答案】25考点：双曲线的性质、渐近线与离心率，中等题.【思路点拨】直线与双曲线的位置关系的判断与应用和直线与椭圆的位置关系的判断方法类似，但是联立直线方程与双曲线方程消元后，注意二次项系数是否为0的判断．对于中点弦问题常用“点差法”． 解决有关渐近线与离心率关系问题的方法：(1)已知渐近线方程y ＝mx ，若焦点位置不明确要分|m |＝b a 或|m |＝ab讨论．(2)注意数形结合思想在处理渐近线夹角、离心率范围求法中的应用【典例8】【 2014湖南文20】如图5，O 为坐标原点，双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和椭圆222222222:1(0)x y C a b a b +=>>均过点(3P ，且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形. (1)求12,C C 的方程；(2)是否存在直线，使得与1C 交于,A B 两点，与2C 只有一个公共点，且||||OA OB AB +=？证明你的结论.【答案】(1) 22221,1332y y x x -=+= (2)不存在 【解析】试题分析:(1)利用正方形面积为2,即可得到对角线的长为2,则可得1C 的两个顶点和2C 的两个焦点的坐标,求的12,c a 的值,再结合点P 在双曲线上,代入双曲线结合,,a b c 之间的关系即可求的1b 的值,得到双曲线的方程,椭圆的焦点坐标已知,点P 在椭圆上,利用椭圆的定义2a 即为P 到两焦点的距离之和,求出距离即可得到2a 的值,利用,,a b c 之间的关系即可求出2b 的值,得到椭圆的标准方程.(2)分以下两种情况讨论,当直线的斜率不存在时,直线与2C 只有一个公共点,即直线经过2C 的顶点,得到直线的方程,代入双曲线求的,A B 点的坐标验证是否符合等式||||OA OB AB +=,当直线的斜率存在时,直线的方程为y kx m =+,联立直线与双曲线消元得到二次方程,再利用根与系数之间的关系得到关于,A B 两点横纵坐标之和的表达式,利用,k m 出OA OB ,再立直线与椭圆的方程0∆=即可得到,k m 直线的关系,可得到内积OA OB 不可能等于0,进而得到222222OA OB OA OB OA OB OA OB ++≠+-,即OA OB AB +≠,即不存在这样的直线.(2)不存在符合题设条件的直线.①若直线垂直于轴,即直线的斜率不存在,因为与2C 只有一个公共点,所以直线的方程为:l x =或x =当x =,易知,,A B 所以22,23OA OB AB +==此时OA OBAB +≠. 当x =,同理可得OA OB AB +≠.②当直线不垂直于轴时,即直线的斜率存在且设直线的方程为y kx m =+,联立直线与双曲线方程2213y kx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩可得()2223230k x kmx m ----=,当与1C 相交于,A B 两点时,设()()1122,,,A x y B x y ,则12,x x 满足方程()2223230k x kmx m ----=,由根与系数的关系可得212122223,33km m x x x x k k ++==--,于是()22221212122333k m y y k x x km x x m k -=+++=-,联立直线与椭圆22132y kx m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得 ()222234260k x kmx m +++-=,因为直线与椭圆只有一个交点,所以()()222201682330k m k m ∆=⇒-+-=,化简可得2223k m =-,因此 2222121222233330333m k m k OA OB x x y y k k k +---=+=+=≠---, 于是222222OA OB OA OB OA OB OA OB ++≠+-,即22OA OB OA OB +≠-,所以OA OB AB +≠,综上不存在符合题目条件的直线.【考点定位】椭圆 双曲线 向量 向量内积【思路点拨】本题主要考查椭圆的定义、性质、标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题；解决直线与圆锥曲线问题的通法:(1)设方程及点的坐标；(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程；(3)应用韦达定理及判别式；(4)结合已知、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解；(5)直线与圆锥曲线相交的弦长公式：||AB =或1212|||.AB x x y y=-==-【典例9】【2016高考上海文科】双曲线2221(0)yx bb-=>的左、右焦点分别为F1、F2，直线l 过F2且与双曲线交于A、B两点.（1）若l的倾斜角为2π，1F AB△是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b=l的斜率存在，且|AB|=4，求l的斜率.【答案】（1）y=．（2）5±.试题解析：（1）设(),x yA AA．由题意，()2F,0c，c，()22241y b c bA=-=，因为1F∆AB是等边三角形，所以2c y A=，即()24413b b+=，解得22b=．故双曲线的渐近线方程为y=．（2）由已知，()2F2,0．设()11,x yA，()22,x yB，直线:l()2y k x=-．由()22132yxy k x⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，得()222234430k x k x k--++=．因为与双曲线交于两点，所以230k-≠，且()23610k∆=+>．由212243kx xk+=-，2122433kx xk+=-，得()()()2212223613kx xk+-=-，故()21226143kxk+AB==-==-，解得235k =，故的斜率为． 考点：1.双曲线的几何性质；2.直线与双曲线的位置关系；3.弦长公式.【思路点拨】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，利用,,,a b c e 的关系，确定双曲线（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与双曲线（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系及弦长公式，得到方程.本题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出..本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.【变式训练】1.已知双曲线Ｃ：()0,012222>>=-b a by a x 的离心率为3，若曲线0)(=-kx y y 与双曲线Ｃ有且仅有2个交点，则实数k 的取值范围 . 【答案】2-≤k 或2≥k2. 已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1. (1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若l 与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．【解析】 (1)双曲线C 与直线l 有两个不同的交点，则方程组⎩⎨⎧ x 2－y 2＝1，y ＝kx －1有两个不同的实数根，整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.∴⎩⎨⎧ 1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋－k 2， 解得－2<k <2且k ≠±1.双曲线C 与直线l 有两个不同的交点时，k 的取值范围是(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2)设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 与y 轴交于点D (0，－1)，由(1)知，C 与l 联立的方程为(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－2k 1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2.当A ，B 在双曲线的一支上且|x 1|>|x 2|时，S △OAB ＝S △OAD －S △OBD ＝12(|x 1|－|x 2|)＝12|x 1－x 2|； 当A ，B 在双曲线的两支上且x 1>x 2时， S △OAB ＝S △ODA ＋S △OBD＝12(|x 1|＋|x 2|)＝12|x 1－x 2|. ∴S △OAB ＝12|x 1－x 2|＝2， ∴(x 1－x 2)2＝(22)2，即(－2k 1－k 2)2＋81－k 2＝8，解得k ＝0或k ＝±62. 又∵－2<k <2，且k ≠±1，∴当k ＝0或k ＝±62时，△AOB 的面积为 2. 【思维升华】(1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x 或y 的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验．【易错警示】忽视“判别式”致误已知双曲线x 2－y 22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A 、B 两点，且点P 是线段AB 的中点？【易错分析】 由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑判别式，致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑判别式，导致解题错误．【解析】设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0， y 0)，若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意．设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，即y ＝kx ＋1－k .由⎩⎨⎧ y ＝kx ＋1－k ，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2－2k (1－k )x －(1－k )2－2＝0 (2－k 2≠0)．①∴x 0＝x 1＋x 22＝k －k2－k 2.由题意，得k －k2－k 2＝1，解得k ＝2.当k ＝2时，方程①成为2x 2－4x ＋3＝0.Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．∴不能作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P (1,1)是线段AB 的中点．【温馨提醒】(1)本题是以双曲线为背景，探究是否存在符合条件的直线，题目难度不大，思路也很清晰，但结论却不一定正确．错误原因是忽视对直线与双曲线是否相交的判断，从而导致错误，因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的．(2)本题属探索性问题．若存在，可用点差法求出AB 的斜率，进而求方程；也可以设斜率k ，利用待定系数法求方程．(3)求得的方程是否符合要求，一定要注意检验.。
高考数学专题复习：双曲线(含解析)
高考数学专题复习：双曲线(含解析)本文存在大量的格式错误和段落问题，需要进行修正和删减。
修正后的文章如下：研究目标：1.理解双曲线的定义、几何图形、标准方程以及简单几何性质。
2.理解数形结合的思想。
3.了解双曲线的实际背景及其简单应用。
一、单选题1.设 $F_1,F_2$ 分别是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，点 $P$ 在双曲线 $C$ 的右支上，且 $F_1P=F_2P=c$，则 $\frac{c^2}{a^2-b^2}$ 的值为：A。
$1$B。
$\frac{1}{2}$C。
$\frac{1}{3}$D。
$\frac{1}{4}$答案】B解析】根据双曲线的性质求出 $c$ 的值，结合向量垂直和向量和的几何意义进行转化求解即可。
点睛】本题主要考查双曲线性质的意义，根据向量垂直和向量和的几何意义是解决本题的关键。
2.设 $F_1(-1,0),F_2(1,0)$ 是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，$A(0,b)$ 为左顶点，点$P$ 为双曲线右支上一点，且 $AP=\frac{a}{2}$，则$\frac{b^2}{a^2}$ 的值为：A。
$1$B。
$\frac{1}{2}$C。
$\frac{1}{3}$D。
$\frac{1}{4}$答案】D解析】先求出双曲线的方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，再求出点 $P$ 的坐标，最后求$\frac{b^2}{a^2}$。
点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和向量的数量积运算，考查双曲线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力。
双曲线的通径为 $2a$。
3.已知直线$l$ 的倾斜角为$\theta$，且$l: y=x\tan\theta$，直线 $l$ 与双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左、右两支分别交于 $A,B$ 两点，$OA\perp$轴，$OB\perp$轴（其中 $O$、$F_1,F_2$ 分别为双曲线的坐标原点、左、右焦点），则该双曲线的离心率为：A。
三年高考2015_2017高考数学试题分项版解析专题15双曲线文20171101134
专题15 双曲线1.【2017课表1，文5】已知F 是双曲线C ：1322=-y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为A ．B ．1 2C ．2 3D ．3 2【答案】D【考点】双曲线【名师点睛】本题考查圆锥曲线中双曲线的简单运算，属容易题．由双曲线方程得)0,2(F ，结合PF 与x 轴垂直，可得3||=PF ，最后由点A 的坐标是(1，3)，计算△APF 的面积．2.【2017课标II ，文5】若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是A. )+∞B.C. (1D. (1,2) 【答案】C【解析】由题意222222111c a e a a a+===+，因为1a >，所以21112a <+<，则1e <<故选C.【考点】双曲线离心率【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.3.【2017天津，文5】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（A ）221412x y -=（B ）221124x y -=（C ）2213x y -=（D ）2213y x -=【答案】D 【解析】试题分析：由题意结合双曲线的渐近线方程可得：22202tan 60c c a b ba ⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪==⎩，解得：221,3a b ==，双曲线方程为：2213y x -=，本题选择D 选项. 【考点】双曲线方程【名师点睛】本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质，属于基础题．解题时要注意、、的关系222c a b =+，否则很容易出现错误．解本题首先画图，掌握题中所给的几何关系，再结合双曲线的一些几何性质，得到,,a b c 的关系，联立方程，求得,,a b c 的值。
专题18双曲线—三年高考(2015-2017)数学(理)真题分项版解析(解析版)
专题18双曲菠2 2_ 一, _ _ _____________ _ x y1.【2017课标II ,理9】若双曲线C：F—J = 1 （ a》0 , b>0）的一条渐近线被圆a2 b22 2（x—2 ）十y =4所截碍的弦长为2,则C的离心率为（）2 3 D.3【答案】A【解析】1 r试段分析：由几何关系可得，戒曲与二唳>膈>0）的海近线加况±@=0,圆心（Z 01到渐近距离为:d = ,不妨考查点（Z0）到直线以+寸=0的距离：d =巧：“* =立=右, M牝£2 24 c -a即：------- 2= 3，整理可得：。
之=4^ ,c—…c2双曲线的离心率e ='—2 = *4 = 2。
故选Ao【考点】双曲线的离心率；直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出a, c,代入公式e = C ;a②只需要根据一个条件得到关于a, b, c的齐次式，结合b2 = c2— a2转化为a, c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或a2转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）。
2X 2. 【2017课标3，理5】已知双曲线C:今a2%=1 （a >0,b > 0）的一条渐近线方程为b5y ：— x,22■4=1 (a> 0,b>0)的渐近线方程为y b 椭圆中：a 2=12,b 2=3」c 2=a 2—b 2=9,c=3，椭圆，即双曲线的焦点为 （±3,0）,与=姬 a 一 2据此可得双曲线中的方程组： <c 2=a 2—b 2，解得：a 2=4,b 2 = 5,c = 3■ L、2则双曲线C 的方程为4—匕=1 . 4 5故选B.【考点】双曲线与椭圆共焦点问题§待定系数法求双曲线的方程’【名师点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法.具体过程是先定形，再定量，即先碾定双曲线 标准方程的形式？然后再根据e 知勺&及为腿线之间的关系，求出“3的值,如果已知双曲携的渐近线的值即可2 2 3. 【2017天津，理5】已知双曲线 4—%=1侄》0上》0）的左焦点为F ，离心率为<2 . a b若经过F 和P （0,4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为 2/ A 、 x (A)—— 2 y . =1 (B) 2 x 2 2 V 人 x =1 C —— 2 =1 (D) 2 x 2-y =1 4 4 8 8 4 8 8 4 【答案】B 且与椭圆 2 2 X V 12 3 =1有公共焦点，贝U C 的方程为 2 x A. 8 10 2 y =1 2 x B. 2 y =1 4 5 C . 2 2 x -y =1 5 4 D. 2 2 x 一 v =1 4 3 【解析】试题分析：双曲线 C: 方程，求戏曲线的标准方程,可利用有公共渐近线的双曲线方程为 匚■二二礼A 再由条件求出A o' b ，4 -—【解析】 由题怠碍a=b, — = —1n c = 4,a = b = 2j2n -c【考点】双曲线的标准方程【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型,就是依据题目的条件列出关于 a,b,c 的方程，解方程组求出2 2巧设双曲线(1)双曲线过两点可设为 mx 2 - ny 2 = 1(mn a 0), (2)与二一匕=1共渐近 a b2 2线的双曲线可设为 二—% =舄(舄孝0),(3)等轴双曲线可设为 x 2—y 2 = ?J 九。