人寿保险

nvK +1
,
K = 0,1,⋯, n −1 。 K ≥n
（二）递减寿险
1．递减定期寿险
∑n−1
(DA)1 = E((DZ )1 ) =
x:n
x:n
(n
−
k
)v
k
q + 1 k x
k =0
= nM x − (Rx+1 − Rx+n+1) Dx
其中， (DZ )1 = (n − K )vK+1, K = 0,1,⋯, n −1。
寿保险。但是死亡发生在保险期内才给付保险金，而在延付期内即使死亡也不给
付保险金。
1.延期终身寿险
∑ r Ax
=
E( r| Zx )
=
+∞ k =r
vk
q +1 k x
=
M x+r Dx
（3.1.22）
= vr r px .Ax+r
=
Ax
−
A1 x：r
0,
其中，
r|
Zx
=
vK
+1 ,
0≤K K ≥r
2 A1 = E((Z1 )2 ) =
x:n
x:n
v q 2(k +1) k x
k =0
（3.1.13）
var(Z1 ) = 2 A1 − ( A1 )2
x:n
x:n
x:n
（3.1.14）
（三）两全保险 所谓生死两全保险指的是被保险人在保险期内死亡，或者期满生存时均给付 保险金的人寿保险。实际上，它是由生存保险与死亡保险合并而成，故又称生死
例 3.1.1 已知 30 岁的人投保了保额为 100000 元的 20 年期两全保险，求其 趸缴纯保费，并计算它所包含的定期寿险与纯生存保险的趸缴纯保费？以 CL1 （2000-2003）2.5%为基础。
解：在主体字母头上加上波浪符号“ ∼ ”，只是意味着保险金额不为 1，其它 意义不变，余此类推，今后未作特别说明时，均指此含义。所求的趸缴纯保费为
k =0
∑ = 59 (k +1)vk+1 ⋅ 1 = 1 (Ia)
k =0
60 60 60
=
1
aɺɺ ⋅ 60
− 60v60
≈5.55。
60 0.05
7
其中， q k 40
=
l40+k
− l40+k +1 l40
=
1 60
。
(IA)1 = 1 (Ia) ≈1.85。
40:20 60
20
例 3.1.5 某 50 岁的人投保了一个终身寿险，保单规定：若在第 1 年死亡给
金
1
的需要，平均开支
A1 x:1
或
vqx
；二是保障活过第
1
年死于后续年度于所在年末
给付保险金 1 的需要，平均开支 1| Ax 或 vpx Ax+1 。
二、非等额寿险
5
为了简便起见，主要考虑保险金按等差数列变化，等比数列情形可通过修改 预定利率方式转化为等额寿险，需要运用后面的精算实验中的 Excel 程序完成。
第一节 死亡所在年末给付保险金的人寿保险
一、等额寿险
（一）终身寿险 设 Ax 表示 x 岁加入、死亡年末给付保险金 1 的终身寿险的趸缴纯保费，亦称
为人寿保险的精算现值，那么运用团体法（即依据生命表，假设活过 x 岁的 lx 人
都参加了这样的保险）可以得到在 x 岁时的保费收入现值为 lx.Ax ，保险金支出现
（3.1.17）
∑n−1
E(Z2 ) = x:n
v q 2(k +1) k x
+ v2nn px
=
2A x:n
k =0
（3.1.18）
=
A 2 1 x：n
+
A 2 1 x：n
（3.1.19）
∴ var(Z ) = 2 A − ( A )2
x:n
x:n
x:n
（3.1.20）
（四）延期人寿保险
延期人寿保险主要有：延期终身人寿保险、延期定期人寿保险和延期两全人
≤ r −1。
（3.1.23）
var( r| Zx )
=
A 2
r x
− (r Ax )2
2.延期定期寿险
∑ A1
r x:n
r +n−1
=
E
(rZ
1 x:n
)
=
v
k
q +1 k x
k =r
=
M x+r − M x+r+n Dx
=
vrr
px
⋅
A1 x + r：n
=
A1 x:r +n
−
A1 x：r
0, 0 ≤ K ≤ r −1
（一）递增寿险 1．递增终身寿险 令 (IA)x 表示 x 岁的人参加的，在第 1 年死亡时所在年末给付保险金 1，在第
2 年死亡时所在年末给付保险金 2，……，这样的终身寿险的趸交纯保费。
∑+∞
(IA)x = E((IZ )x ) =
(k
+
1)v
k
q + 1 k x
k =0
（3.1.32）
+∞
∑ ∑ = +∞ (k +1) Cx+k
合险。设 A 表示 x 岁加入，保险金为 1 的 n 年期两全保险的趸缴纯保费，且 Z
x:n
x:n
表示两全保险的保险金给付现值， Z 1 表示保额为 1 的 n 年期纯生存保险的保险 x:n
金给付现值。于是
Z
1
0, =
K = 0,1, 2,⋯, n −1
x:n vn , K ≥ n
Z
=
vK +1,
= R50 + 2R51 − 7R56 + 4R59 ≈2.17 D50
(k
+
1)v
k
q + 1 k x
=
Rx
−
Rx+n − Dx
nM x+n
其中， (IZ )1 = (K +1)vK+1, K = 0,1,⋯, n −1。
x:n 0,
K ≥n
3．递增两全保险
(IA) = (IA)1 + nA 1 = E((IZ ) )
x:n
x:n
x:n
x:n
= Rx − Rx+n − nM x+n+1 Dx
付保险金 1 万元，以后每推迟一年死亡保额增加 3 万元，直到 16 万元，然后以每
多活一年保额递减 4 万元，直到 4 万元时就保持不变。以 CL1（2000-2003）2.5% 为例，求趸缴纯保险费。假设保险金于死亡所在年末给付。
解：所求趸缴纯保费为
A = C50 + 4C51 + 7C52 +10C53 +13C54 +16C55 +12C56 + 8C57 + 4C58 + 4C59 +⋯ D50
Cx = v x+1dx
（3.1.2） （3.1.3）
M x = Cx + Cx+1 + Cx+2 +⋯
（3.1.4）
Rx = M x + M x+1 + M x+2 +⋯
（3.1.5）
Dx = vxlx
（3.1.6）
Nx = Dx + Dx+1 + Dx+2 +⋯
（3.1.7）
Sx = Nx + N x+1 + N x+2 +⋯
=
vK 0,
+1 ,
K K
= =
0,1,⋯, n − n, n +1,⋯
1
且
∑n−1
A1 x:n
=
E(Z1 ) x:n
=
vk
+1 k
qx
k =0
∑ = n−1 Cx+k = M x − M x+n
D k =0 x
Dx
（3.1.12）
特别地，称 cx
=
A1 x:1
=
Cx Dx
= vqx 为自然保费。
∑n−1
其中， (IZ ) = (K +1)vK+1, K = 0,1,⋯, n −1。
x:n nvn ,
K ≥n
4．递增水平终身寿险
（3.1.34） （3.1.35）
6
(I n
A)x
=
(IA)1 x:n
+ nnAx =
Rx
− Rx+n Dx
（3.1.36）
=
E((I n
Z
)x
)
其中， (In Z )x
= (K +1)vK +1,
(k +1)(M x+k − M x+k+1) = k=0
k =0
Dx
Dx
= M x + M x+1 +⋯ = Rx
Dx
Dx
（3.1.33）
其中， (IZ )x = (K +1)vK +1 (K = 0,1, 2,⋯) 。
2．递增定期寿险
(IA)1 = E((IZ )1 )
x:n
x:n
∑ =
n −1 k =0
2
var(Zx ) = E(Zx − E(Zx ))2
= E(Zx2 ) − (E(Zx ))2 = 2 Ax − ( Ax )2
（3.1.11）
（二）定期寿险
设 A1 表示 x 岁加入、死亡年末给付保险金 1 的 n 年定期寿险的趸缴纯保费， x:n
设 Z1 表示保险金给付的现值，则 x:n
Z1 x:n
x:n 0,
K ≥n
（3.1.37）
2．递减水平终身寿险
(D n
A)x
= (DA)1 x:n
+
nAx
=
E(Z )
=
nM x
− (Rx+1 Dx
− Rx+n )
其中， Z = (n − K )vK+1, K = 0,1,⋯, n −1。
V K ,
K = n, n +1,…
（3.1.38）
例 3.1.4
第三章 人寿保险
摘自：张运刚《寿险精算理论与实验》西南财经大学出版社，2010.1
按保险金给付及时程度来划分，可将人寿保险划分为：死亡所在年末给付保 险金的人寿保险、死亡所在1/ m 年（ m > 1）末给付保险金的人寿保险、死亡所在 时刻给付保险金的人寿保险。
本章将按此结构展开。 本章的主要内容是求人寿保险的趸缴纯保费或精算现值。
30:20
3wenku.baidu.com:20
D30
例 3.1.3 证明并解释： Ax = vqx + vpx Ax+1
（3.1.31）
证明：右边=
Cx Dx
+
Dx+1 Dx
⋅ M x+1 Dx+1
=
Mx Dx
=
Ax
=左边。
（3.1.31）可解释为： x 岁的人投保死亡年末给付保险金 1 的终身寿险所应 缴纳的趸缴纯保费 Ax 起两个方面的作用：一是保障第 1 年死亡时于年末给付保险
值为 vdx + v2dx+1 + v3dx+2 +⋯ ，依据收支平衡原则，可以得到
Ax
=
vd x
+
v2dx+1 + lx
v3dx+2
+⋯
= vqx + v2 1| qx + v3 2| qx +⋯
（3.1.1）
设 Zx 表示保险人给付的保险金现值，显然 Zx 是一随机变量。即
于是
Zx = vK +1 （ K = 0,12,⋯ ） P(Zx = v) = qx
（3.1.8）
通过对于常用的生命表、常用的预定利率作出替换函数表，从而简化计算。
参见第十一章的寿险精算实验可以大大简化计算。（3.1.1）可以变形为
∑ ∑ ∑ +∞
Ax = vk +1 k | qx
k =0
= +∞ vk +1d x+k
l k =0
x
=
+∞ k =0
v d x+k +1 x+k vxlx
（3.1.28）
=A x:r +n
−
A1 x：r
=
vr
r
px
⋅
A x + r :n
0, 0 ≤ K ≤ r −1
其中， rZ x:n
= vK +1, r ≤ K ≤ r + n −1 vr+n , K ≥ r + n
（3.1.29）
var( r
Z
x:n
)
=
(
A 2
r x:n
)
−
(r
A x:n
)2
（3.1.30）
1
P(Zx = v2 ) = 1|qx
P(Zx = v3) = 2|qx
…… P (Z x = v k ) = q k −1| x
显然
……
∑+∞
∴ E(Zx ) = vk +1 k| qx = vqx + v2 1| qx + v3 2| qx +⋯ + vk q k−1| x +⋯
k =0
这表明趸缴纯保费就是保险人给付保险金现值的数学期望。 为简化计算起见，需引入如下替换函数或转换函数：
∑ = +∞ Cx+k = M x
D k =0 x
Dx
下面计算随机变量的方差。
∑+∞
E(Zx2 )
=
v2qx
+
v
q 4
1 x
+⋯+
v q 2(k +1) k x
+⋯=
v2(k +1) kqx ≜ 2 Ax
k =0
（3.1.9） （3.1.10）
这里 2 Ax 表示 x 岁参加、在利息力翻倍条件下，死亡年末给付保险金 1 的终身 寿险的趸缴纯保费。关于利息力翻倍问题，详见附录 1。于是
已知 lx
= 100 −
x
，0
≤
x
≤ 100 ，i
=
0.05 ，计算
A40 、(IA)40
、(IA)1 40:20
。
∑59
解：∵ A40 =
v
k
+1 k
q40
k =0
∑ = 59 vk+1 ⋅ 1 = 1 a ≈0.32
k =0
60 60 60
∑59
(IA)40 =
(k
+
1)vk
q + 1 k 40
Aɶ = 100000A = 100000 M30 − M50 + D50 ≈61476.95（元）
30:20
30:20
D30
Aɶ1 = 100000A1 = 100000 M30 − M50 ≈2606.43（元）
30:20
30:20
D30
Aɶ 1 = 100000A 1 = 100000 D50 ≈58870.52（元）。
K
=
0,1,
2,⋯, n
−1
x:n vn , K ≥ n
Z = Z1 + Z 1
x:n
x:n
x:n
3
A1 x:n
=
E(Z 1 x:n
)
=
v
n n
px
=
Dx+n Dx
A = E(Z ) = A1 + A 1
x:n
x:n
x:n
x:n
（3.1.15） （3.1.16）
= M x − M x+n + Dx+n Dx
其中，
r
Z
1 x:n
= vK +1, r ≤ K ≤ r + n −1。 0, K ≥ r + n
var(rZ
1 x:n
)=
A 2 1
r x:n
−
(r
A1 x:n
)2
。
（3.1.24） （3.1.25） （3.1.26）
（3.1.27）
4
3.延期两全保险
A r x:n
= E(rZx:n )
=
M x+r − M x+r+n + Dx+r+n Dx