3.2函数关系的建立 教案 学案
3.2函数关系的建立(学案)
一、要点与难点解决实际问题是，应仔细阅读，准确把握题中变量之间的内在联系，从而正确建立函数关系式。
定义域的确定应考虑变量的实际意义。
函数关系的建立一般分以下步骤：（1）确定自变量和因变量（2）列出两个变量满足的等式（3）等式变形得出函数解析式（4）有实际意义确定定义域二、例题1、一个矩形的周长为20，设矩形面积为y，矩形的长为x，写出y关于x的函数关系式。
y=的函数关系式。
2、等腰三角形的周长为1，底边长为x，腰长为y，写出函数()x f3、动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的长方形熊猫室。
如果可供建造的围墙的材料长是30米，将熊猫居室面积y表示成关于宽x的函数，并求出熊猫居室的最大面积。
——分段函数一、要点与难点：对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数.它是一个函数,而不是几个函数:分段函数的定义域是各段函数定义域的并集。
值域也是各段函数值域的并集。
其中定义域所分成的有限个区间称为分段区间，且各段定义域交集为空集，分段区间的公共端点称为分界点。
注意分界点的归属。
如：二、例题1、某商店卖西瓜，一个西瓜的重量若在4kg以下，则销售价格为0.6元/kg；若在4kg 或4kg 以上，则超出部分的销售价格为0.8元/kg，求一个西瓜的销售收入y元与重量x kg 的函数关系表示为。
2、根据图中的函数图象，写出y关于x的函数解析式。
探究1：调研上海市出租车价格计算方法,设车价y元，里程数x公里，试写出y关于x的函数关系式。
探究2：在2018年10月1日起，对纳税人实际取得的工资、薪金所得，按5000元/月的基本减除费用进行扣除，并适用新税率表。
设该月税前收入超出（5000+x）元，应缴税为y元，试写出y 关于x的函数关系式。
高中数学函数关系教案
高中数学函数关系教案
课题：函数关系
教学目标：
1. 理解函数的概念及表示方法；
2. 掌握函数的性质和特点；
3. 能够运用函数的相关知识解决实际问题。
教学内容：
1. 函数的概念和表示方法；
2. 函数的性质和特点；
3. 函数的应用。
教学重点：
1. 函数的概念和表示方法；
2. 函数的性质和特点。
教学难点：
1. 函数的应用。
教学准备：
1. 教师准备相关教学资料和习题；
2. 学生准备纸和笔。
教学过程：
一、课堂导入（5分钟）
教师引导学生回顾前几节课学过的内容，引出函数的相关知识。
二、讲解函数概念和表示方法（15分钟）
1. 函数的定义；
2. 函数的符号表示；
3. 函数的图象表示。
三、探讨函数性质和特点（20分钟）
1. 函数的定义域和值域；
2. 函数的奇偶性；
3. 函数的单调性。
四、练习题（15分钟）
教师出一些例题，让学生进行练习。
五、课堂讨论（10分钟）
学生互相讨论解题思路和方法。
六、作业布置（5分钟）
布置相关作业，巩固课堂所学知识。
教学总结：
通过本节课的学习，学生对函数的概念和性质有了更深入的理解，能够熟练运用函数的相关知识解决实际问题。
评价反馈：
对学生进行课堂表现评价，并鼓励他们在家多做练习。
延伸拓展：
学生在课后可以进一步拓展函数的应用，深入理解函数在数学中的重要性。
3.2函数关系的建立(教案)
课题： 3.2函数关系的建立丰华高级中学高一（2）班张落飞一、学习目标1、掌握函数关系建立的一般步骤；2、会对一些实际问题建立变量之间的关系，并确定函数的定义域；3、会用函数的观点去观察分析问题，激发学生主动探索问题的兴趣。
二、重点：建立变量之间的关系难点：建立准确的函数关系，并求定义域三、教学过程（一）自学内容（1）如图，一个边长为a、b(b<a)的长方形被平行于边的两条直线所分割，其中长方形的左上角是一个边长为x的正方形，试用解析式将图中阴影部分的面积s表示成x的函数.（2）如图，有一圆柱形的无盖杯子，它的内表面积是1002cm，试用解析式将杯子的容积V(3cm)表示成底面内半径x(cm)的函数.（二）课堂展示与研讨1、自学反馈与展示a、学生将自己的答案写在黑板上；（通过做题的过程，了解建立函数关系式的步骤）b、通过解题让学生发现在建立函数关系式过程中的注意事项【设计意图】此部分为学生预习部分，通过学生自主解决题目的过程中，初步了解如何建立简单的函数关系，找出隐藏在实际条件中的函数定义域，并发现在建立函数关系式中的注意事项。
2、课堂研讨：例1、小明、小强和小红的爸爸每月的工资分别为1500元、2500元和3500元，问他们每月应交纳多少个人所得税？ 个人所得税法规定：1、每人每月的工资薪水中，1600元为免税收入，其余部分为应纳税收入。
2、税率按应纳税收入额规定如下表： 【设计意图】通过具体实例，让学生对函数需要“分段”有初步的概念。
例2、正方形ABCD 边长为2，动点P 从点A 出发，沿正方形边界经过B 、C 、D 回到A ，设P 经过的路程为x ，点P 到点A 的距离PA 为y ，试建立y 关于x 的函数关系式.归纳：建立函数关系式的步骤：（1）确定变量（自变量、因变量），必要时引进中间量（2）找出两个变量之间的等量关系（3）列函数关系式()x f y =（4）求函数的定义域 练习1、例2中求三角形ADP 的面积S 关于x 的函数关系式.练习2、如图，在直角坐标系的第一象限内,△OAB 是边长为2的等边三角形,设直线L:z=t (0≤t ≤2)截这个三角形。
初中几何中的函数关系教案
初中几何中的函数关系教案1. 让学生理解函数关系的基本概念，掌握函数关系式的表达方法。
2. 通过实际问题，培养学生运用函数关系解决几何问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
二、教学内容1. 函数关系的基本概念：函数关系、函数关系式、自变量、因变量。
2. 函数关系的表达方法：解析式、表格法、图象法。
3. 函数关系在几何中的应用：求解几何问题、判断几何图形的性质。
三、教学过程1. 导入：通过一个实际问题引导学生思考几何中的函数关系。
例如：在等腰梯形中，已知周长为24cm，上底为4cm，腰长为x，下底为y，求x与y 的函数关系。
2. 探究：让学生分组讨论，引导学生发现x与y之间的关系。
学生通过讨论、分析，得出x与y的函数关系式为：y = 20 - 2x。
3. 讲解：讲解函数关系的基本概念，引导学生掌握函数关系式的表达方法。
讲解函数关系的表达方法，包括解析式、表格法、图象法，让学生了解不同表达方法的特点和应用。
4. 练习：让学生运用函数关系解决实际问题，巩固所学知识。
例如：已知一个长方形的周长为24cm，长为x，宽为y，求x与y的函数关系。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调函数关系在几何中的应用。
6. 作业：布置一道运用函数关系解决几何问题的作业，巩固所学知识。
四、教学评价1. 学生能理解函数关系的基本概念，掌握函数关系式的表达方法。
2. 学生能运用函数关系解决实际问题，判断几何图形的性质。
3. 学生能积极参与讨论，展示自己的思考过程。
4. 学生能按时完成作业，巩固所学知识。
五、教学资源1. 教学PPT：包含函数关系的基本概念、表达方法及应用实例。
2. 实际问题：提供一些涉及函数关系的实际问题，供学生练习。
3. 作业：布置具有代表性的作业，帮助学生巩固所学知识。
4. 团队协作工具：如白板、投影仪等，便于学生展示和讨论。
六、教学建议1. 注重学生对函数关系基本概念的理解，引导学生掌握函数关系式的表达方法。
初中数学教案函数与关系
初中数学教案函数与关系教案：函数与关系一、教学目标1. 掌握函数与关系的基本概念。
2. 理解函数的特性和性质。
3. 能够应用函数进行实际问题的求解。
二、教学重点1. 函数与关系的概念。
2. 函数的特性和性质。
三、教学内容1. 函数与关系的概念函数是一种特殊的关系，它将一个自变量的取值，对应唯一确定的因变量的取值。
函数可以用符号表示为y=f(x)，其中x是自变量，y 是因变量，f是函数的表达式。
2. 函数的特性和性质2.1 定义域和值域定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
2.2 奇偶性如果对于定义域内的任意x，函数满足f(-x) = f(x)，则函数是偶函数；如果满足f(-x) = -f(x)，则函数是奇函数；如果既不是偶函数也不是奇函数，则函数是非奇非偶函数。
2.3 单调性如果对于定义域内的任意两个不同的x、y，当x<y时有f(x)≤f(y)，则函数是递增函数；如果当x<y时有f(x)≥f(y)，则函数是递减函数。
2.4 零点与极值函数的零点是因变量为零时的自变量值。
函数的极大值和极小值是函数在定义域内具有最大值和最小值的点。
2.5 对称轴当函数关于y轴对称时，y轴称为函数的对称轴；当函数关于原点对称时，原点称为函数的对称中心。
四、教学步骤1. 导入新知识教师通过提问和引入实际问题，引发学生对函数与关系的思考，激发学习兴趣。
2. 理解函数与关系2.1 教师通过示例分析，引导学生理解函数与关系的概念，并与实际问题相联系。
2.2 学生通过小组合作讨论，归纳总结函数与关系的定义和特性。
3. 探究函数的特性和性质3.1 教师以多个实例展示函数的特性和性质，如定义域、值域、奇偶性、单调性、零点与极值以及对称轴等。
3.2 学生进行足够的练习，通过解决实际问题，掌握函数的特性和性质。
4. 进一步应用函数进行问题求解4.1 教师提供一些实际问题，引导学生运用所学函数的知识进行求解。
4.2 学生进行个人或小组练习，解决给定的实际问题。
《文本》函数关系的建立《函数关系的建立》(上教版高一上册).doc
课 题：3. 2-函数关系的建立(2课时)教学目标：1. 会对一些简单的实际问题建立两个变量Z 间的函数关系式，并确定函数的定义域。
2. 通过函数关系式的建立，提高实际问题转化为数学问题的能力。
3 •培养数学应用意识和理论联系实际的观点。
教学重点：建立实际问题中两个变量之间的函数关系式教学难点：实际问题转化为数学问题第1课时：［重点：建立函数关系式；难点：实际问题转化为数学问题］头脑体操：1、 若函数 f(x)=3x 2-2x,则 f ［f(2)］= _________________ o2、 函数y = V4— X 2 •』2x +3 H ——的定义域是 ______________ o 1x1-1X + 2,当 X G (一00,— 1］日寸，3、 已知f(x) =« x',当x w (-1,2)时, 那么当 X = -------------- 时，f(x) = 3。
2x,当x G ［2,+co)时， 教学过程:复习：函数的定义。
强调y=f(x), xeDo［例1］如图，一个边长为a, b(a>b)的长方形被平行于边的两条直线所分割，其中长方形的 左上角是一个边长为x 的正方形，试用解析式将图屮阴彫部分的面积S 表示成x 的 函数。
分析：右下阴影部分的长为a —x,宽为b —x, 面积为(a —x)(b —x)；左上阴影部分面积为x? 得 S=x 2+(a —x)(b —x)=2x 2—(a+b)x +ab 解析式容易求，定义域容易忘！x 取值范围：0<xWb则 S = 2x 2-(a+b)x + ab, OVxWb反思：求函数解析式不能忘记函数定义域。
［例2］等腰三角形周长为20o (1)若底边长为x,腰长为y,将y 表示成x 的函数；(2)若 腰长为x,底边长为y,将y 表示成x 的函数。
-4、 有下列四组函数中，表示同一函数的有 __________ 组。
课题函数关系的建立(1)
课题：函数关系的建立（1）教学目标：能够在解决简单的实际问题时建立两个变量间的函数关系式，并学会如何确定函数的定义域；初步掌握建立数学模型的方法和步骤；通过函数关系建立的过程，提高分析问题、解决问题的能力，培养化归、分类讨论、建模等数学思想运用的意识；在师生互动、生生互动的合作与交流活动过程中，提高数学学习兴趣，树立解决实际问题的自信心，培养合作精神和创新意识。
教学重点：函数关系的建立教学难点：实际问题转化为数学问题；确定函数的定义域。
教学方法：独立自主式、启发探究式、合作交流式；教学过程：引入：数学是一门工具学科，可以用来解决实际生活中的许多问题，在解决实际问题时，我们首先要把实际问题转化成为数学问题，这个过程叫做建模。
实际生活中的许多问题都是变量之间的关系问题，因此我们常常需要建立变量之间的函数关系。
下面我们解决几个实际生活中的问题，看看如何建立函数关系：问题１：如图，有一个边长为a米、b米(a<b)的长方形草坪，被平行于为x米的正方形，求鲜花的种植面积S。
师生共同分析，得到S关于x的函数。
引出课题《函数关系的建立（1）》回顾建立S关于x函数的过程，总结建立函数关系的一般步骤：1、审题明确变量；2、找变量关系列式；3、化简整理得函数解析式；4、确定定义域。
问题２：有一个圆柱形的无盖杯子，它的内表面积是100cm2，试用解析式将杯子的容积V(cm3)表示成底面内半径x(cm)的函数。
x 外，还要注意高也应大于０.点评：本例中求定义域中除了注意0因此，在确定函数定义域时，除了自变量本身的范围外，还因注意相关变量的取值范围；问题３：如图，正方形ABCD，AB=1,已知正方形上有一点M沿着正方形从A出发，经过B,C,D，最后回到A点，设此时M走过的路程为x，M点到AC的距离为y，求此时y 与x的函数关系式y＝f(x),并画出函数图像。
点评：Ｍ在的边不同，所得的函数解析式不同，因此这样的函数在不同区间就用不同的解析式，即分段函数表示。
山西省忻州市2016-2017学年高中数学 第三章 函数的应用 3.2.2 函数模型的应用实例(2)
§3.2.2函数模型的应用实例【教学目标】1.知识与技能能够建立恰当函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题. 能用函数描述现实世界中的变量关系,体会函数模型在解决实际问题中的作用.2.过程与方法通过课本例5学会建立二次函数模型解决利润最大问题的方法，让学生进一步体会选择自变量对解题的重要性；通过例6理解解决实际问题的过程方法.3.情感、态度、价值观进一步感受建立函数模型的过程和方法.对给定的函数模型进行简单的评价和分析. 让学生感受到函数是解决实际问题的最有力的工具.从而增强学生应用意识.【预习任务】阅读p104-106完成下列任务1.围绕例5解决问题①选择设销售价在进价基础上增加x元，日均销售利润为y元的函数关系式，并指出定义域②选择设销售价为x元，日均销售利润为y元的函数关系式，并指出定义域③选择不同的变量对解题过程有何影响？2.围绕例6解决问题①用自己的语言描述散点图的意义；②为什么选择指数型函数y=a b x解决问题？③用待定系数法求函数模型选择怎样的两组数合适？选择数据后怎样求出a,b的值【自主检测】1.一种放射性元素，最初的质量为500g，按每年10%衰减，则t年后，求这种放射性元素质量ω的表达式_____________2．某公司生产某种产品的固定成本为150万元，而每件产品的可变成本为2500元，每件产品的售价为3500元．(1)分别求出总成本y1(单位：万元)；单位成本y2(单位：万元)；销售总收入y3(单位：万元)；总利润y4(单位：万元)与总产量x(单位：件)的函数关系式；(2)画出y4的图象，并对这个公司的盈亏状况作出简单分析．【组内互检】解答数学应用题的解题步骤及注意事项。
2。
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第三章：函数的基本性质
第二节：函数关系的建立
【知识讲解】
A.掌握建立函数关系的步骤
1、分析题意.找出自变量和因变量。
2、列出相关的等量关系.
3、等式变形得出因变量关于自变量的函 数解析式.
4、根据问题的实际意义给出函数的定义域.
B.在实际问题建立一系列函数关系。
包括分段函数的建立。
建立函数关系常用方法：（1）代入法；（2）构造法；（3）待定系数法；（4）换元法；（5）函数方程法． 例题分析
例1.要建造一个高为3米，容积为48立方米的无盖的长方体储水池，已知池底的造价为每平方米1500元，池壁的造价为每平方米1000元。
试将该储水池的总造价y 表示成池底一边长x 的函数。
例2.某服装厂生产一种服装，每件成本为40元，出厂价为60元，该厂鼓励销售商订购，决定当一次定量超过100件时，每多定一件，订购的全部服装的出厂价就降低0.02元。
根据市场调查，销售商一次订购不会超过600件。
（1）设一次定量为x 件，服装实际出厂价为p 元，写出)(x f p 的表达式；
（2）当销售商一次订购多少件时，该服装厂获得的利润最大？最大利润是多少？
例3.如下图，在边长为4的正方形ABCD 上有一点P ，沿着折线BCDA 由B 点（起点）向A 点（终点）移动，设P 点移动的路程为x ，△ABP 的面积为y =f （x ）.
（1）求△ABP 的面积与P 移动的路程间的函数关系式；
（2）作出函数的图象，并根据图象求y 的最大值.
【课堂练习】
1、正三角形的边长为x ，周长为C ，面积为S ，那么周长C 关于边长x 的函数关系是 ，面积S 关于边长x 的函数关系是 。
2、有一块边长为10厘米的正方形铁皮，在它的四个角上各截取一块边长为x cm 的小正方形铁皮，剩余部分围成一个无盖的长方形盒子，将盒子的体积记作y 3
cm ，那么y 关于x 的函数关系是 。
3、某产品的总成本y （万元）与产量x （台）之间的函数关系是3000201.02++-=x x y ，若每台售价为25万元，则生产者不亏本时（即销售收入不小于总成本）的最低产量为 台。
4、某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为2
115.006.5x x L -=和x L 22=，其中x 为销售量（单位：辆）。
若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为 。
5、某商场出售一种商品，每天卖出1000件，每件获利4元。
根据经验，若每件少卖1角钱，则每天可多卖出100件，为获得最好的经济效益，每件获利应定为 。
6、A 、B 两地相距50千米，甲驾车于9点从A 出发，9点50分到B 地，停留1小时后以同一速度返回原地。
乙在9点30分骑自行车以15km/h 的速度由B 向A 行驶。
（设他们都作匀速运动）
（1）设甲在t 时刻距离A 为S 千米，写出S 关于t 的函数关系式；
（2）设乙在t 时刻距离A 为S 千米，写出S 关于t 的函数关系式。
7、如图，有一个圆柱形的无盖杯子，它的内表面积是1002cm ，试用解析式将杯子的容积V (3cm )表示成底面内半径x (cm )的函数．
8、某牧场要建造占地100平方米的矩形围墙，现有一排长20米的旧墙可供利用，为了节约投资，矩形围墙的一边直接用旧墙修，另外三边尽量用拆去的旧墙改建，不足部分用购置的新砖新建。
已知整修一米旧墙需24元，拆去一米旧墙改建成一米新墙需100元，建一米新墙需200元，设旧墙所保留的部分用x表示，整个投资用y来表示，将y表示为x的函数.
9、10辆货车从A站匀速驶往相距2000千米的B站，其时速都是v千米/时，为安全起见，要求每两辆货
kv千米（k为常数，货车长度忽略不计），将第一辆货车由A站出发到最后一辆货车到达B 车的间隔等于2
站所需时间t表示成v的函数．
课后作业：
1、已知等腰三角形的周长为12厘米，是将该三角形的一条腰长y（厘米）表示成底边长x（厘米）的函数。
2、已知上海到北京火车行驶路程为1318千米，高速火车以每小时300千米的速度，由上海开往北京。
试用解析式将行进中的火车到北京的路程s（千米）表示成行驶时间t（时）的函数。
3、某中学的高一学生进行野外生存训练，从甲地步行到乙地。
已知甲乙两地相距32千米，在前3小时内学生们每小时走4千米，随后以每小时5千米的速度一直走到乙地。
设他们离开甲地的距离为s（千米），所用的时间为t（时），试用解析式将s（千米）表示成t（时）的函数。
4、把截面直径为40厘米的半圆形木料，锯成矩形木料，设矩形的一边长是x 厘米，将矩形的面积S 表示成边长x 的函数.
5、建造一个容积为38000m ，深为m 6的长方体的游泳池（无盖），池璧造价为a 元2/m ,池底造价为2a
元2
/m ,把总造价y 元表示成底的一边长x （m ）的函数.
6、火车从甲城到乙城，先以每小时36千米的速度行驶20分钟出城，然后以每小时120千米的行驶80分钟，最后用10分钟走完进入乙城的10千米.求这段时间内火车离开甲城的距离y(千米)与时间t (分钟)的函数关系.
7、上海地铁新的计费标准如下：0至6千米（含6千米）3元，6至16千米（含16千米）4元，16千米以上每6千米递增1元，但总票价不超过8元。
（1）试作出票价y （元）关于路程s （千米）的函数y=f(s)图像；
（2）某人买了5元的车票，问他途经的路程不能超过多少千米？
8、某商品在某月的30天内每件销售价格P （元）与时间t （天）的函数关系式是
⎩⎨⎧≤≤+-<<+==)3025(100
)250(20)(t t t t t f P ，*N t ∈，该商品的日销售量Q （件）与时间t （天）的函数关系是),300(40)(*N t t t t g Q ∈≤<+-==，求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天。
9、某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：21
400x x (0x 400)R(x)280000(x 400)
⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩，其中x 是仪器月产量。
（1）将月利润表示为月产量的函数()f x ；
（2）当月产量为何值时，公司获利最大？最大利润为多少元？（总收益=总成本+利润）
10、如图所示，有一块半径为R 的半圆形钢板，计划剪裁成等腰 梯形ABCD 的形状，它的下底AB 是⊙O 的直径，上底CD 的端点在圆周上，写出这个梯形周长y 和腰长x 间的函数式，并求出它的定义域.。