内蒙古赤峰市2020届高三(5月份)高考数学(理科)模拟试题(wd无答案)
2020届内蒙古赤峰市高三(5月份)高考数学(理)模拟试题(解析版)
【解析】依据二项展开式系数可知，得到第 行第 个数应为 ，即可求得 的值.
【详解】
依据二项展开式系数可知，第 行第 个数应为 ，
故第100行第3个数为
故选： .
【点睛】
本题考查二项展开式的应用，其中解答中得出第 行第 个数应为 是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
10．设等差数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，将 ， ， ， 中去掉一项后，剩下的三项按原来的顺序恰为等比数列 的前三项，则数列 的前10项的和 （）
3．陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台，景区内有一处景点建筑，是按古典著作《连山易》中记载的金、木、水、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相生关系的概率为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】从五种不同属性的物质中任取两种，基本事件总数 ，取出的两种物质恰好是相生关系包含的基本事件个数 ，由此能求出取出的两种物质恰好是相生关系的概率.
【详解】
联立 ，解得 或 （舍负），
， ， ，
抛物线的准线方程为 ，将其代入 ，
得 ， ，
由圆与抛物线的对称性可知，四边形 为等腰梯形，
.
故选：B.
【点睛】
本题考查圆与抛物线的位置关系，考查抛物线与圆的性质及简单计算，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题.
8．设双曲线 ， ， 是双曲线 上关于坐标原点对称的两点， 为双曲线 上的一动点，若 ，则双曲线 的离心率为（）
2020届内蒙古赤峰市高三（5月份）高考数学（理）模拟试题
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． ， C． ， D． ，
【答案】C
内蒙古赤峰市宁城县2020届高三统一模拟(二模)考试数学(理科)试题及答案
注意事项：宁城县高三年级统一考试(2020. 5.10) 数学试题（理科）第Ⅰ卷（选择题共60 分）1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分 150 分，考试时间 120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共 60 分）一、选择题（每小题5 分，共12 小题，满分60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集U=R，集合A={-1,0,1,2,3}，B={x|x 2}，则A (C U B)=(A){-1,0,1}(B){-1, 0,1, 2} (C){x | x < 2} (D){x | -1 x < 2}2.若复数z =i ⋅ (a -i) 满足z ≥ 2 ，则实数a 的取值范围是(A) [ 3,+∞)(B) [-1,1] (C) (-∞, 3] [ 3,+∞)(D) (-∞, -1] [1, +∞)3.下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,1)内是增函数的是(A) (B) (C) (D)4.2020 年初，湖北出现由新型冠状病毒引发的肺炎．为防止病毒蔓延，各级政府相继启动重大突发公共卫生事件一级响应，全国人民团结一心抗击疫情.下图表示1 月21 日至3 月7日我国新型冠状病毒肺炎单日新增治愈和新增确诊病例数，则下列中表述错．误．的是(A)2 月下旬新增确诊人数呈波动下降趋势(B)随着全国医疗救治力度逐渐加大，2 月下旬单日治愈人数超过确诊人数(C)2 月10 日至2 月14 日新增确诊人数波动最大(D)我国新型冠状病毒肺炎累计确诊人数在2 月12 日左右达到峰值高三理科数学第 1 页（共 6 页）高三理科数学 第 2 页 （共 6 页）5. 已知非零向量a , b , c 满足a + b + c = ０，向量a , b 的夹角为120 ，且| b |= 2 | a | ，则向量a 与c 的夹角为(A) 60︒ (B) 90︒ (C ）120︒ (D ）150︒ 6. 已知△OAB ，O 为坐标原点，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2），则△OAB 的面积是(A) x x - y y(B) x y -x y (C) 1 x x - y y (D) 1 x y - x y 1 2 1 2 1 2 2 12 1 2 1 2 2 1 2 2 17. 嫦娥四号月球探测器于 2018 年 12 月 8 日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12 日下午 4 点 43 分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道所示，其近月点与月球表面距离为100 公里，远月点与月球表面距离为400 公里.已知月球的直径为3476 公里，则该椭圆形轨道的离心率约为(A) 1（B) 3 （C) 1 （D ) 125 40 8 48. 将函数的图象向右平移 个单位后得到函数的图象，若对于任意都有，则 （）（A ）（B ）（C ）（D ）9.某人用随机模拟的方法估计无理数e 的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点 A (1,0)作 x 轴的垂线与曲线 y = e x相交于点 B ，过 B 作 y 轴的垂线与 y 轴相交于点 C （如图）， 然后向矩形OABC 内投入 M 粒豆子，并统计出这些豆子在曲线 y = e x 上方的有 N 粒( N ＜M ) ，则无理数e 的估计值是 （A ） MN (B) MM - N(C ）M - NN(D ）N M - N10.在棱长为 1 的正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，E ，F 分别为线段 CD 和 A 1B 1 上的动点，且满足CE = A 1F ，则四边形 D 1FBE 所围成的图形（如图阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和(A ) 最小值32(B )有最大值 52(C ) 为定值 3（D ）为定值 211.双曲线左、右焦点为F1，F2，直线与C 的右支相交于P，若，则双曲线C 渐近线方程为(A)(B) （C) （D)12.若函数与的零点分别为α,β，若α-β< 1 ，则实数的取值范围为（A）（B）（C）（D）宁城县高三年级统一考试(2020.5.10)数学试题（理科）第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13 题～第21 题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22 题～第23 题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题（每小题 5 分，共 4 小题，满分 20 分）x — y+1 ≤ 0y+113.若实数x，y 满足 x> 0y ≤ 2，则的取值范围是．x14.某天小赵、小张、小李、小刘四人一起到电影院看电影，他们到达电影院之后发现，当天正在放映A，B，C，D，E 五部影片，于是他们商量一起看其中的一部影片：小赵说：只要不是 B 就行;小张说：B，C，D，E 都行;小李说：我喜欢D，但是只要不是C 就行;小刘说：除了E 之外，其他的都可以．据此判断，他们四人可以共同看的影片为．15.设△ABC 的内角A,B,C 所对应的边分别为a,b,c,且b = 6, c = 4, A = 2B ，则a = ．16.直三棱柱ABC -A B C 中，∠ABC = 90︒, AA = 2 ，设其外接球的球心为O ，已知1 1 1 1三棱锥O -ABC 的体积为1，则球O 表面积的最小值为．高三理科数学第 3 页（共 6 页）三、解答题（共 6 小题，满分 70 分）17.（本题满分 12 分）已知等差数列的前项和为，且，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若从数列中依次取出第1 项，笫2 项，第4 项，第8 项，…，第项，按原来的顺序组成一个新的数列，求数列的前项和.18.（本题满分 12 分）某厂包装白糖的生产线，正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布N (500, 52 )（单位：g ）.（Ⅰ）求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485g 的概率约为多少？（Ⅱ）该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量均小于485g ，检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由.附：X ~N(μ,σ2)，则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6826，P(μ- 2σ≤X≤μ+ 2σ) ≈0.9544 ，P(μ- 3σ≤X≤μ+ 3σ) ≈ 0.9974 .高三理科数学第 4 页（共 6 页）高三理科数学 第 5 页 （共 6 页）2k 19.（本题满分 12 分）如图三棱柱中，，，.（1） 证明：； （2） 若，且，求二面角的余弦值.20．（本题满分 12 分）已知抛物线G : y 2 = 2 px ( p > 0) 过点M (1, -2) ， A , B 是抛物线G 上异于点M 的不同两点，且以线段 AB 为直径的圆恒过点M .（I ） 当点 A 与坐标原点O 重合时，求直线MB 的方程； （I I ）求证：直线 AB 恒过定点，并求出这个定点的坐标.21. （本题满分 12 分）己知函数 f (x ) = lnx - kx 2( k ∈ R ).（1） 讨论函数 f (x ) 的单调性；（2） 若函数 f (x ) 有两个零点x 1 ， x 2 ，求k 的取值范围，并证明 x 1 + x 2 > 2 .高三理科数学 第 6 页 （共 6 页）15 四、选做题请考生在 22,23 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 做答时用 2B 铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑. 22．（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 x࿀y 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C ᠂:x 2 ၠ y 2 — x ࿀ 0，C 2:x 2 ၠ y 2 — 2y ࿀ 0.（1） 以过原点的直线的倾斜角8为参数，写出曲线C ᠂的参数方程； （2） 直线过原点，且与曲线C ᠂，C 2分别交于 A ，B 两点（A ，B 不是原点）.求|AB|的最大值.23.（本小题满分 10 分)选修 4－5：不等式选讲已知 f (x ) = 2 | x +1| + | 2x -1| .(I)若 f (x ) > f (1) ,求实数 x 的取值范围；(II) f (x ) ≥ 1 + 1 (m>0, n>0 )对任意的 x ∈ R 都成立，求证： m + n ≥ 4. m n 3数学试题（理科）参考答案一、选择题: ACDDBDBC ADCB二、填空题: 13、[3,+∞) ； 14、D ； 15、 2 ；16、16π. 三、解答题:5. 解：（Ⅰ）设等差数列的公差为 ，则 ， ----------- 2 分高三理科数学参考答案 第 7 页 （共 6 页）解得 ， .∴ .----------------------4 分（Ⅱ）由题意知 ， ------------ 6 分∴-------------------------------------8 分.-----------------12 分6. 解：（Ⅰ）设正常情况下，该生产线上包装出来的白糖质量为Xg ，由题意可知X N (500, 52 ) 。
内蒙古赤峰市宁城县2020届5月份高三(二模)考试理科数学试题(含答案)
注意事项：宁城县高三年级统一考试(2020. 5.10) 数学试题（理科）第Ⅰ卷（选择题共60 分）1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分 150 分，考试时间 120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共 60 分）一、选择题（每小题5 分，共12 小题，满分60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集U=R，集合A={-1,0,1,2,3}，B={x|x 2}，则A (C U B)=(A){-1,0,1}(B){-1, 0,1, 2} (C){x | x < 2} (D){x | -1 x < 2}2.若复数z =i ⋅ (a -i) 满足z ≥ 2 ，则实数a 的取值范围是(A) [ 3,+∞)(B) [-1,1] (C) (-∞, 3] [ 3,+∞)(D) (-∞, -1] [1, +∞)3.下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,1)内是增函数的是(A) (B) (C) (D)4.2020 年初，湖北出现由新型冠状病毒引发的肺炎．为防止病毒蔓延，各级政府相继启动重大突发公共卫生事件一级响应，全国人民团结一心抗击疫情.下图表示1 月21 日至3 月7日我国新型冠状病毒肺炎单日新增治愈和新增确诊病例数，则下列中表述错．误．的是(A)2 月下旬新增确诊人数呈波动下降趋势(B)随着全国医疗救治力度逐渐加大，2 月下旬单日治愈人数超过确诊人数(C)2 月10 日至2 月14 日新增确诊人数波动最大(D)我国新型冠状病毒肺炎累计确诊人数在2 月12 日左右达到峰值5. 已知非零向量a , b , c 满足a + b + c = ０，向量a , b 的夹角为120 ，且| b |= 2 | a | ，则向量a 与c 的夹角为(A) 60︒ (B) 90︒ (C ）120︒ (D ）150︒ 6. 已知△OAB ，O 为坐标原点，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2），则△OAB 的面积是(A) x x - y y(B) x y -x y (C) 1 x x - y y (D) 1 x y - x y 1 2 1 2 1 2 2 12 1 2 1 2 2 1 2 2 17. 嫦娥四号月球探测器于 2018 年 12 月 8 日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12 日下午 4 点 43 分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道所示，其近月点与月球表面距离为100 公里，远月点与月球表面距离为400 公里.已知月球的直径为3476 公里，则该椭圆形轨道的离心率约为(A) 1（B) 3 （C) 1 （D ) 125 40 8 48. 将函数的图象向右平移 个单位后得到函数的图象，若对于任意都有，则 （）（A ）（B ）（C ）（D ）9.某人用随机模拟的方法估计无理数e 的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点 A (1,0)作 x 轴的垂线与曲线 y = e x相交于点 B ，过 B 作 y 轴的垂线与 y 轴相交于点 C （如图）， 然后向矩形OABC 内投入 M 粒豆子，并统计出这些豆子在曲线 y = e x 上方的有 N 粒( N ＜M ) ，则无理数e 的估计值是 （A ） MN (B) MM - N(C ）M - NN(D ）N M - N10.在棱长为 1 的正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，E ，F 分别为线段 CD 和 A 1B 1 上的动点，且满足CE = A 1F ，则四边形 D 1FBE 所围成的图形（如图阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和(A ) 最小值32(B )有最大值 52(C ) 为定值 3（D ）为定值 211.双曲线左、右焦点为F1，F2，直线与C 的右支相交于P，若，则双曲线C 渐近线方程为(A)(B) （C) （D)12.若函数与的零点分别为α,β，若α-β< 1 ，则实数的取值范围为（A）（B）（C）（D）宁城县高三年级统一考试(2020.5.10)数学试题（理科）第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13 题～第21 题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22 题～第23 题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题（每小题 5 分，共 4 小题，满分 20 分）x — y+1 ≤ 0y+113.若实数x，y 满足 x> 0y ≤ 2，则的取值范围是．x14.某天小赵、小张、小李、小刘四人一起到电影院看电影，他们到达电影院之后发现，当天正在放映A，B，C，D，E 五部影片，于是他们商量一起看其中的一部影片：小赵说：只要不是 B 就行;小张说：B，C，D，E 都行;小李说：我喜欢D，但是只要不是C 就行;小刘说：除了E 之外，其他的都可以．据此判断，他们四人可以共同看的影片为．15.设△ABC 的内角A,B,C 所对应的边分别为a,b,c,且b = 6, c = 4, A = 2B ，则a = ．16.直三棱柱ABC -A B C 中，∠ABC = 90︒, AA = 2 ，设其外接球的球心为O ，已知1 1 1 1三棱锥O -ABC 的体积为1，则球O 表面积的最小值为．三、解答题（共 6 小题，满分 70 分）17.（本题满分 12 分）已知等差数列的前项和为，且，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若从数列中依次取出第1 项，笫2 项，第4 项，第8 项，…，第项，按原来的顺序组成一个新的数列，求数列的前项和.18.（本题满分 12 分）某厂包装白糖的生产线，正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布N (500, 52 )（单位：g ）.（Ⅰ）求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485g 的概率约为多少？（Ⅱ）该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量均小于485g ，检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由.附：X ~N(μ,σ2)，则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6826，P(μ- 2σ≤X≤μ+ 2σ) ≈0.9544 ，P(μ- 3σ≤X≤μ+ 3σ) ≈ 0.9974 .2k 19.（本题满分 12 分）如图三棱柱中，，，.（1） 证明：； （2） 若，且，求二面角的余弦值.20．（本题满分 12 分）已知抛物线G : y 2 = 2 px ( p > 0) 过点M (1, -2) ， A , B 是抛物线G 上异于点M 的不同两点，且以线段 AB 为直径的圆恒过点M .（I ） 当点 A 与坐标原点O 重合时，求直线MB 的方程； （I I ）求证：直线 AB 恒过定点，并求出这个定点的坐标.21. （本题满分 12 分）己知函数 f (x ) = lnx - kx 2( k ∈ R ).（1） 讨论函数 f (x ) 的单调性；（2） 若函数 f (x ) 有两个零点x 1 ， x 2 ，求k 的取值范围，并证明 x 1 + x 2 > 2 .四、选做题请考生在 22,23 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 做答时用 2B 铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑.22．（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x࿀y 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C᠂:x2 ၠ y2 — x ࿀ 0，C2:x2 ၠ y2 — 2y ࿀ 0.（1）以过原点的直线的倾斜角8为参数，写出曲线C᠂的参数方程；（2）直线过原点，且与曲线C᠂，C2分别交于A，B 两点（A，B 不是原点）. 求|AB|的最大值.23.（本小题满分 10 分)选修 4－5：不等式选讲已知f (x) = 2 | x +1| + | 2x -1| .(I)若 f (x) > f (1) ,求实数x 的取值范围；(II) f (x) ≥ 1+1(m>0, n>0 )对任意的x ∈R 都成立，求证：m +n ≥4. m n 315 数学试题（理科）参考答案一、选择题: ACDDBDBC ADCB二、填空题: 13、[3,+∞) ； 14、D ； 15、 2 ；16、16π. 三、解答题:5. 解：（Ⅰ）设等差数列的公差为 ，则 ， ----------- 2 分解得 ， .∴ .----------------------4 分（Ⅱ）由题意知 ， ------------ 6 分∴-------------------------------------8 分.-----------------12 分6. 解：（Ⅰ）设正常情况下，该生产线上包装出来的白糖质量为Xg ，由题意可知X N (500, 52 ) 。
专题35 空间中线线角、线面角,二面角的求法-
专题35 空间中线线角、线面角、二面角的求法【高考地位】立体几何是高考数学命题的一个重点，空间中线线角、线面角的考查更是重中之重. 其求解的策略主要有两种方法：其一是一般方法，即按照“作——证——解”的顺序进行；其一是空间向量法，即建立直角坐标系进行求解. 在高考中常常以解答题出现，其试题难度属中高档题.类型一 空间中线线角的求法方法一 平移法例1正四面体ABCD 中， E F ，分别为棱AD BC ，的中点，则异面直线EF 与CD 所成的角为 A.6π B. 4π C. 3π D. 2π 【变式演练1】【2021届全国著名重点中学新高考冲刺】如图，正方体1111ABCD A B C D -，的棱长为6，点F 是棱1AA 的中点，AC 与BD 的交点为O ，点M 在棱BC 上，且2BM MC =，动点T （不同于点M ）在四边形ABCD 内部及其边界上运动，且TM OF ⊥，则直线1B F 与TM 所成角的余弦值为（ ）A B C D ．79【变式演练2】【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期9月月考模拟测试】当动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的棱DC 上运动时，异面直线1D P 与1BC 所成角的取值范围（ ）A ．,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【变式演练3】【甘肃省白银市靖远县2020届高三高考数学（文科）第四次联考】在四面体ABCD 中，2BD AC ==，AB BC CD DA ====E ，F 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线EF 与AC 所成的角为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2【变式演练4】【2020年浙江省名校高考押题预测卷】如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，4AB BC ==，90ABC ∠=︒，侧棱SB 与平面ABC 所成的角为45︒，M 为AC 的中点，N 是侧棱SC上一动点，当BMN △的面积最小时，异面直线SB 与MN 所成角的余弦值为（ ）A ．16B ．3C D ．6方法二 空间向量法例2、【重庆市第三十七中学校2020-2021学年高三上学期10月月考】在长方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为棱1AA ，11C D ，1DD 的中点，12AB AA AD ==，则异面直线EF 与BG 所成角的大小为（ ） A ．30B ．60︒C ．90︒D ．120︒例3、【四川省泸县第四中学2020-2021学年高三上学期第一次月考】在长方体1111ABCD A B C D -中，2BC =，14AB BB ==，E ，F 分别是11A D ，CD 的中点，则异面直线1A F 与1B E 所成角的余弦值为（ ）A ．34B ．34-C D ．6【变式演练5】【2021届全国著名重点中学新高考冲刺】《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形ABCD 为矩形，//EF AB ，若3AB EF =，ADE 和BCF △都是正三角形，且2AD EF =，则异面直线AE 与CF 所成角的大小为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【变式演练6】【云南省云天化中学、下关一中2021届高三复习备考联合质量检测卷】如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为线段AB 的中点，点F 在线段AD 上移动，异面直线1B C 与EF 所成角最小时，其余弦值为（ ）A ．0B ．12C D ．1116类型二 空间中线面角的求法方法一 垂线法第一步 首先根据题意找出直线上的点到平面的射影点；第二步 然后连接其射影点与直线和平面的交点即可得出线面角； 第三步 得出结论.例3如图，四边形ABCD是矩形，1,AB AD ==E 是AD 的中点，BE 与AC 交于点F ，GF ⊥平面ABCD .（Ⅰ）求证：AF ⊥面BEG ；（Ⅰ）若AF FG =，求直线EG 与平面ABG 所成角的正弦值.【变式演练7】已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等,1A 在底面ABC 内的射影为ABC 的中心,则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为（ ）A ．13 B． C．3 D ．23【变式演练8】【北京市朝阳区2020届高三年级下学期二模】如图，在五面体ABCDEF 中，面ABCD 是正方形，AD DE ⊥，4=AD ，2DE EF ==，且π3EDC ∠=．（1）求证：AD ⊥平面CDEF ；（2）求直线BD 与平面ADE 所成角的正弦值；GFEDCBA（3）设M 是CF 的中点，棱AB 上是否存在点G ，使得//MG 平面ADE ？若存在，求线段AG 的长；若不存在，说明理由．方法二 空间向量法第一步 首先建立适当的直角坐标系并写出相应点的空间直角坐标； 第二步 然后求出所求异面直线的空间直角坐标以及平面的法向量坐标；第三步 再利用a bsin a bθ→→→→⋅=即可得出结论.例4 【内蒙古赤峰市2020届高三（5月份）高考数学（理科）模拟】在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，//BC AD ，222AD BC CD ===，O 是AD 的中点，PO ⊥平面ABCD ，过AB 的平面交棱PC 于点E （异于点C ，P 两点），交PO 于F .（1）求证：//EF 平面ABCD ；（2）若F 是PO 中点，且平面EFD 与平面ABCD 求PC 与底面ABCD 所成角的正切值.【变式演练9】【2020年浙江省名校高考仿真训练】已知三棱台111ABC A B C -的下底面ABC 是边长为2的正三角形，上地面111A B C △是边长为1的正三角形.1A 在下底面的射影为ABC 的重心，且11A B A C ⊥.（1）证明：1A B ⊥平面11ACC A ；（2）求直线1CB 与平面11ACC A 所成角的正弦值.类型三 空间二面角的求解例4【江西省部分省级示范性重点中学教科研协作体2021届高三统一联合考试】三棱锥S ABC -中，2SA BC ==，SC AB ==，SB AC ==记BC 中点为M ，SA 中点为N（1）求异面直线AM 与CN 的距离； （2）求二面角A SM C --的余弦值.【变式演练10】【2021年届国著名重点中学新高考冲刺】如图，四边形MABC 中，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，MAC △是边长为2的正三角形，以AC 为折痕，将MAC △向上折叠到DAC △的位置，使D 点在平面ABC 内的射影在AB 上，再将MAC △向下折叠到EAC 的位置，使平面EAC ⊥平面ABC ，形成几何体DABCE .（1）点F 在BC 上，若//DF 平面EAC ，求点F 的位置； （2）求二面角D BC E --的余弦值. 【高考再现】1．【2020年高考山东卷4】日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O ），地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40︒，则晷针与点A 处的水平面所成角为 （ ）A ．20︒B ．40︒C ．50︒D ．90︒2. 【2017课标II ，理10】已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ）A B C D 3．【2020年高考全国Ⅰ卷理数16】如图，在三棱锥P ABC -的平面展开图中，1,3,,,30AC AB AD AB AC AB AD CAE ===⊥⊥∠=︒，则cos FCB ∠=_____________．4.【2020年高考全国Ⅱ卷理数20】如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，,M N 分别为11,BC B C 的中点，P 为AM 上一点．过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：1AA //MN ，且平面1A AMN ⊥平面11EB C F ；（2）设O 为Ⅰ111C B A 的中心，若F C EB AO 11平面∥，且AB AO =，求直线E B 1与平面AMN A 1所成角的正弦值．5.【2020年高考江苏卷24】在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD BD =2，O 为BD 的中点，AO Ⅰ平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；（2）若点F在BC上，满足BF=14BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．6．【2020年高考浙江卷19】如图，三棱台DEF—ABC中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC =2BC．（I）证明：EF⊥DB；（II）求DF与面DBC所成角的正弦值．7．【2020年高考山东卷20】如图，四棱锥P ABCD-的底面为正方形，PD⊥底面ABCD，设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知1PD AD==，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．【反馈练习】1．【江西省乐平市第一中学2021届高三上学期联考理科】已知正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是线段BC ，1BB 的中点，则异面直线DE 与1D F 所成角的余弦值为（ ）A B C ．35 D ．452．【湖南省永州市宁远、道县、东安、江华、蓝山、新田2020届高三下学期六月联考】某四棱锥的三视图如图所示，点E 在棱BC 上，且2BE EC =，则异面直线PB 与DE 所成的角的余弦值为（ ）A ．BCD ．153．【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟】如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是平面11A BC 内一个动点，且满足12DP PB +=1B P 与直线1AD 所成角的余弦值的取值范围为（ ）A ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12⎡⎢⎣⎦D ．1,22⎡⎢⎣⎦4．【广西玉林市2021届高三11月教学质量监测理科】如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱AD ，CC 1的中点，则异面直线A 1E 与BF 所成角的大小为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 5．【山东省泰安市2020届高三第四轮模拟复习质量】如图，在三棱锥A —BCD 中，AB =AC =BD =CD =3，AD =BC =2，点M ，N 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是（ ）A ．58B ．8C ．78D ．86．【福建省厦门市2020届高三毕业班（6月）第二次质量检查（文科）】如图，圆柱1OO 中，12OO =，1OA =，1OA O B ⊥，则AB 与下底面所成角的正切值为( )A ．2BC ．2D ．127．【内蒙古赤峰市2020届高三（5月份）高考数学（理科）】若正方体1AC 的棱长为1，点P 是面11AA D D 的中心，点Q 是面1111D C B A 的对角线11B D 上一点，且//PQ 面11AA B B ，则异面直线PQ 与1CC 所成角的正弦值为__.8．【吉林省示范高中（四平一中、梅河口五中、白城一中等）2020届高三第五次模拟联考】如图，已知直三棱柱ADF BCE -，AD DF ⊥，2AD DF CD ===，M 为AB 上一点，四棱锥F AMCD -的体积与该直三棱柱的体积之比为512，则异面直线AF 与CM 所成角的余弦值为________.9．【湖北省华中师大附中2020届高三下学期高考预测联考文科】如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上一点，PA ⊥平面ABC ，E 、F 分别是PC 、PB 边上的中点，点M 是线段AB 上任意一点，若2AP AC BC ===.（1）求异面直线AE 与BC 所成的角：（2）若三棱锥M AEF -的体积等于19，求AM BM10．【广东省湛江市2021届高三上学期高中毕业班调研测试】如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为2的等边三角形，侧面11BCC B 为菱形，且平面11BCC B ⊥平面ABC ，160CBB ∠=︒，D 为棱1AA 的中点．（1）证明：1BC ⊥平面1DCB ；（2）求二面角11B DC C --的余弦值．11．【河南省焦作市2020—2021学年高三年级第一次模拟考试数学（理）】如图，四边形ABCD 为菱形，120ABC ∠=︒，四边形BDFE 为矩形，平面BDFE ⊥平面ABCD ，点P 在AD 上，EP BC ⊥.（1）证明：AD ⊥平面BEP ；（2）若EP 与平面ABCD 所成角为60°，求二面角C PE B --的余弦值.12．【广西南宁三中2020届高三数学（理科）考试】如图1，在直角ABC 中，90ABC ∠=︒，AC =AB =D ，E 分别为AC ，BD 的中点，连结AE 并延长交BC 于点F ，将ABD △沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，如图2所示.（1）求证：AE CD ⊥；（2）求平面AEF 与平面ADC 所成锐二面角的余弦值.13．【广西柳州市2020届高三第二次模拟考试理科】已知三棱锥P ABC -的展开图如图二，其中四边形ABCD ABE △和BCF △均为正三角形，在三棱锥P ABC -中：（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）若M 是PA 的中点，求二面角P BC M --的余弦值．14．【浙江省“山水联盟”2020届高三下学期高考模拟】四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，侧面PBC 为正三角形，平面PBC ⊥平面ABCD ，3ABC π∠=，点M 为AD 中点.；（1）求证：CM PB（2）若点N是线段PA上的中点，求直线MN与平面PCM所成角的正弦值.。
2020届内蒙古赤峰市高三下学期模拟考试理科数学试题
10．已知椭圆 ，直线 与直线 相交于点 ，且 点在椭圆内恒成立，则椭圆 的离心率取值范围为（）
A． B． C． D．
11．如图，在三棱柱 中，底面为正三角形，侧棱垂直底面， .若 分别是棱 上的点，且 ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（）
A． B． C． D．
12．已知定义在 上的可导函数 满足 ，若 是奇函数，则不等式 的解集是（）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知非零向量 ， 满足 ，且 ，则 与 的夹角为____________.
14．在 中，内角 所对的边分别是 ，若 ， ，则 __________.
15．验证码就是将一串随机产生的数字或符号，生成一幅图片，图片里加上一些干扰象素（防止 ），由用户肉眼识别其中的验证码信息，输入表单提交网站验证，验证成功后才能使用某项功能.很多网站利用验证码技术来防止恶意登录，以提升网络安全.在抗疫期间，某居民小区电子出入证的登录验证码由0，1，2，…，9中的五个数字随机组成.将中间数字最大，然后向两边对称递减的验证码称为“钟型验证码”（例如：如14532，12543），已知某人收到了一个“钟型验证码”，则该验证码的中间数字是7的概率为__________.
A．10B．8C．5D．3
8．关于函数 有下述四个结论：（）
① 是偶函数；② 在区间 上是单调递增函数；
③ 在 上的最大值为2；④ 在区间 上有4个零点.
其中所有正确结论的编号是（）
A．①②④B．①③C．①④D．②④
9．已知等边△ABC内接于圆 ：x2+y2=1，且P是圆τ上一点，则 的最大值是（ ）
（2）若函数 在区间 上不单调，证明： .
22．在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
内蒙古赤峰市2020届高三5.20模拟考试试题理科数学试题及答案
绝密★启用前赤峰市高三5·20模拟考试试题理科数学2020.5本试卷共23题，共150分，共8页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码粘贴在条形码区域内.2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚.3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须黑色字迹的签字笔描黑.5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}|0A x x =<，{}11B x Z x =∈-<≤，则R C A B （）=A．()1,-+∞B．(]1,0-C．{}0,1D．{}1,1-2．已知复数()1a iz a R i+=∈-，则复数z 在复平面内对应的点不可能在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台，景区内有一处景点建筑，是按古典著作《连山易》中记载的金、木、水、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相生关系的概率为A．12B．23C．25D．154．若()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(1)1f =，(4)()f x f x +=，则(1)(8)f f -+=A．2-B．0C．1-D．15．被称为计算机第一定律的摩尔(Moore)定律表明，集成电路芯片上所集成的电路的数目，每隔18个月就翻一番并且性能也将提升一倍。
这说明电子产品更新换代之迅速。
由于计算机与掌上智能设备的升级，以及电动汽车及物联网行业的兴起等新机遇，使得电子连接器行业增长呈现加速状态.对于汽车领域的连接器市场规模，中国产业信息发布了2010～2018年之间统计折线图，根据图中信息，得到了下列结论：①2010～2018年市场规模量逐年增加；②增长额度最大的一年为2015～2016年；③2018年比2010年增长了约67%；④与2010～2013年每年的市场规模相比，2015～2018年每年的市场规模数据方差更小，变化更加平稳，其中正确命题的序号为A.①④B.②③C.②③④D.③④6．已知R b a ∈,,则“b a 2121log log <”的一个必要不充分条件是A．ba ⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛3141B．ba 11>C．0)ln(>-b a D．13<-b a7．已知圆22:12M x y +=与抛物线2:4N y x =交于,A B 两点（A 在B 的上方），与抛物线N 的准线交于,C D 两点（C 在D 的上方），则四边形ABDC 的面积为A．6+311B．62+311C．2+211D．6+7118．设双曲线1:2222=-by a x C （0,0>>b a ），,M N 是双曲线C 上关于坐标原点对称的两点，P 为双曲线C 上的一动点，若=4PM PN k k ⋅，则双曲线C 的离心率为A．235D．59．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。
2020届内蒙古赤峰二中高三最后一模数学(理)试题word版含答案
2020届内蒙古赤峰二中高三最后一模数学（理）试题本试卷共23题，共150分，共4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码 区域内。
2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字 体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试卷上答案无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集，集合，集合，则 A ． B ． C ． D ． 2.已知复数在复平面上对应的点为，则 A. B. C. D.是纯虚数3．已知向量，且∥，若均为正数，则的最小值是A ．24B ．8C ．D ．4.设的三个内角所对的边分别为，如果 ，且外接圆的半径为A ． 1 B．4 5.展开式中项的系数为 A ．30 B ．40 C. 60 D ．1206.已知定义在上的偶函数在上单调递增，则函数的解析式不可能是A ．B ． C. D ．7．已知向量的取值范围是{}6,5,4,3,2,1=U {}3,5,1=A {}Z x x x x B ∈≤--=,0)4)(2(|()U C A B =U {}1,6{}6{}63，{}1,3z (21)Z -，12=-+z i ||5=z z 2i =--2-z (3,2)a =-r )1,(-=y x a r b r ,x y yx23+3835ABC ∆AB C 、、a b c 、、()()3a b c b c a bc +++-=a =ABC ∆5(2)x y z ++22x y z [1,25]a a --()f x [0,25]a -()f x 2()f x x a =+||()x f x a =-()af x x =()log (||2)a f x x =+,5==+A ．B ．C ．D ．8．已知椭圆的左右焦点分别为，以O 为圆心，为直径的圆与椭圆在第一象限相交于点，且直线的斜率为，则椭圆的离心率为 A ． B ． C ． D ． 9已知，，则的值为 A ． B ． C ． D ． 10．一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是 一个等边三角形，则这个几何体的体积为 A ．B ．C ．D ．11.已知双曲线的两个焦点为、，是此双曲线上的一点，且满足，，则该双曲线的焦点到它的一条渐近线的距离为A ．3B ．C ．D ．112.如图，已知直线与曲线相切于两点，函数，则函数 A.有极小值，没有极大值 B.有极大值，没有极小值 C.至少有两个极小值和一个极大值 D.至少有一个极小值和两个极大值第Ⅰ卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知满足不等式组,则的最小值是 ．14．甲、乙、丙三个同学在看三位运动员进行“乒乓球冠军争夺赛”赛前，对于谁会得冠军进行预测，甲说：不是，是；乙说：不是，是；丙说：不是，是.比赛结果表明，他们的话有]5,0[]25,5[]7,25[]10,5[22221(0)x y a b a b+=>>12F F 、12F F P OP 313-213-222325tan 1tan =+αα)2,4(ππα∈)42sin(πα-1027-102102-1027()1100F -，()2100F ，M 120MF MF =⋅u u u u r u u u u r122MF MF ⋅=u u u u r u u u u r 1312y kx =()y f x =()g x kx m =+()F x =()g x ()f x -,x y 2211≥-⎧⎪≥⎨⎪≤⎩y x x y 4z y x =-c b a ,,.b c b a c b一人全对，有一人对一半错一半，有一人全错，则冠军是 . 15．已知三棱锥的外接球的球心为，平面 ，则球心到平面的距离为 .16如右图是3世纪我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们 称它为“赵爽弦图”，，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成 的图形, 在大正方形内随机取一点, 这一点落在小正方形内的概率为,若直角三角形的两条直角边的长分别为,则 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知数列中，，其前n 项的和为，且满足.（1）求证：数列是等差数列；（2）证明：当时，.18（本小题满分12分）当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进.高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施.重庆2018年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试满分为50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分.某学校在初三上期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到右边频率分布直方图，且规定计分规则如下表:（Ⅰ）现从样本的100名学生中,任意选取2人,求两人得分之和不大于35分的概率；（Ⅱ）若该校初三年级所有学生的跳绳个数服从正态分布，用样本数据的平均值和方差估计ABC P -O ⊥PA ABC ，AB AC ⊥，2AB AC ==，1PA =O PBC 31)(,b a b a >=a b{}n a 11a =n S 2221n n n S a S =-2()n ≥1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭2n ≥1231113 (232)n S S S S n ++++<X ),(2σμN 每分钟 跳绳个数 [155,165) [165,175) [175,185) [185,+) 得分 17181920∞总体的期望和方差,已知样本方差(各组数据用中点值代替).根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，现利用所得正态分布模型:（ⅰ）预估全年级恰好有名学生时，正式测试每分钟跳个以上的人数；（结果 四舍五入到整数）（ⅱ）若在全年级所有学生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳195个以上的人数为，求随机变量的分布列和期望.附：若随机变量服从正态分布，则，19．（本小题满分12分）如图，已知与分别是边长为1与 2的正三角形，，四边形为直角梯 形，且，，点为的 重心，为中点，平面，为 线段上靠近点的三等分点． （1）求证：平面； （2）若二面角的余弦值为，试求异面直线与所成角的余弦值．20.（本小题满分12分）如图，是圆：内一个定点， 是圆上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于点．（1）当点在圆上运动时，点的轨迹是什么曲线？并求出其轨迹方程；（2）过点作直线与曲线交于、两点，点关于原点的对称点为，求的面积的最大值．1692≈S 2000182ξξX ),(2σμN 6826.0)(=+<<-σμσμX P )22(σμσμ+<<-X P .9974.0)33(9544.0=+<<-=σμσμX P ，DEF △ABC △AC DF ∥BCDE DE BC ∥BC CD ⊥G ABC △N AB AG ⊥BCDE M AF F GM ∥DFN M BC D --47MN CD ()10N ,M ()22116x y ++=P NP MP Q P Q E ()01G ,l E A B A O D ABD △S21．（本小题满分12分） 已知函数 （Ⅰ）若曲线与直线相切，求的值. （Ⅱ）若设求证：有两个不同的零点，且 .（为自然对数的底数）请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），圆与圆外切于原点，且两圆圆心的距离，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆和圆的极坐标方程；（2）过点的直线、与圆异于点的交点分别为点和点，与圆异于点的交点分别为点和点，且.求四边形面积的最大值．23．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知函数.（Ⅰ）求不等式的解集 （Ⅱ）若证明()ln ().au x x a R x=-∈)(x u 0=y a ,21e a e <<+,ln |)(|)(xxx u x f -=()f x 12,x x 21x x e -<e xOy 1C 1cos sin x ty t=-+⎧⎨=⎩t 2C 1C O 12||3C C =x 1C 2C O 1l 2l 2C O A D 1C O C B 12l l ⊥ABCD )()(R x x x f ∈=4)1()1(≤++-x f x f ;M ,,M b a ∈.4)()(2:+≤+ab f b a f2020届内蒙古赤峰二中高三最后一模数学（理）试题参考答案一、选择题：13．-5 14．C 15. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.解：（1）当时，，，从而构成以1为首项，2为公差的等差数列.（2）由（1）可知，， 当时，从而.18．（12分）解：（Ⅰ）两人得分之和不大于35分，即两人得分均为17分，或两人中1人17分，1人18分，……………… 3分 （Ⅱ）（个）………… 5分 又所以正式测试时， （ⅰ）（人） ……………… 7分 （ⅱ）由正态分布模型，全年级所有学生中任取1人，每分钟跳绳个数195以上的概率为0.5，即662n ≥21221nn n n S S S S --=-112n n n n S S S S ---=1112n n S S --=1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭111(1)221n n n S S =+-⨯=-121n S n ∴=-∴2n ≥11111111()(21)(22)2(1)21n S n n n n n n n n n=<=⋅=-----123111*********...1(1)2322231222n S S S S n n n n ++++<+-+-++-<-<-L ;16502921001121626=+=C C C C P 18508.02101.020030.019034.018012.017006.0160=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X ,13,1692≈≈s S 182,13,195=-∴==σμσμ,8413.026826.011)182(=--=>∴ξP 16836.168220008413.0≈=⨯∴,125.0)5.01()0(),5.0,3(~303=-⋅==∴C P B ξξ的分布列为…12分19.（1）解：在中，连延长交于，因为点为的重心所以，且为中点，又， 所以，所以；··········2分 又为中点，所以，又， 所以，所以，，，四点共面，··········4分 又平面，平面， 所以平面．··········5分（2）由题意，平面，所以，平面平面，且交线为， 因为，所以平面，又四边形为直角梯形，，，所以，所以平面 因为，，所以平面平面， 又与分别是边长为1与2的正三角形，故以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 设，则，，，，，，··········7分 因为，所以，，， 设平面的法向量，则，取，··········8分平面的法向量，··········9分;125.05.0)3(,375.0)5.01(5.0)2(,375.0)5.01(5.0)1(333223213=⋅===-⋅⋅===-⋅⋅==C P C P C P ξξξ∴ξ.5.15.03)(=⨯=X E ABC △AG BC O G ABC △23AG AO =O BC 23AM AF =u u u u r u u u r 23AG AM AO AF ==GM OF ∥N AB NO AC ∥AC DF ∥NO DF ∥O D F N OF ⊂DFN GM ⊄DFN GM ∥DFN AG ⊥BCDE AO BC ⊥ABC ⊥BCDE BC BC CD ⊥CD ⊥ABC BCDE 2BC =1DE =OE CD ∥OE ⊥ABC AC DF ∥DE BC ∥//ABC DEF DEF △ABC △O OC x OE y OA z CD m =()1,0,0C ()1,,0Dm (A 1,,22F m ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭()1,0,0B-1,0,22N ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭23AM AF =u u u u r u u ur 12,33m M ⎛ ⎝⎭()2,0,0BC =u u ur 42,33m BM ⎛= ⎝⎭u u u u r MBC (),,a b c =n 0BC BM ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=u u u ru u u u r nn ()m =-n BCD ()0,0,1=υ所以二面角的余弦值， ，··········10分 又， ；直线与．··········12分 20.解（1）由题意得， 根据椭圆的定义得点的轨迹是以、为焦点的椭圆，·········2分，，，轨迹方程为．·········4分 （2）由题意知（为点到直线的距离），设的方程为，联立方程得， 消去得，设，，则，，·········6分 则，·········8分 又·········9分，·········10分 ，由，得，，，易证在递增，， M BC D --cos θ⋅⋅==n n υυ273m =+21m =523,,63m MN ⎛=-- ⎝⎭u u u u r ()0,,0CD m =u u u r cos ,MN CD <>=u u u u r u u u rNM CD NM CD⋅=⋅u u u u r u u u ru u u ur u u u r 227774m =+MN CD 2742QM QN QM QP MP MN +=+==>=Q E M N 2a ∴=3c =1b ∴=∴22143x y +=1222ABD ABO S S AB d d AB ==⨯⨯⋅=△△d O l l 1y kx =+221 143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()2234880kxkx ++-=()11A x y ,()22B x y ,122834k x x k -+=+122834x x k -=+()22221212261211434k k AB k x x x x k++=++-=+21d k=+22461234ABDk S d AB k+∴==+△212k t +=20k ≥1t ≥246461212ABD t S t t t∴==++△1t ≥12y t t =+()1+∞,123t t∴+≥，面积的最大值．·········12分 21（12分）解：（Ⅰ）设切点 又切点在函数上，即……………… 4分（Ⅱ）证明:不妨设，，所以在上单调递减，又， 所以必存在，使得，即. ……………… 6分 ①当时， 所以在区间上单调递减， 注意到， 所以函数在区间上存在零点，且. ……………… 9分 ②当时, 所以在区间上单调递增， 又， 且， 所以在区间上必存在零点，且. 综上，有两个不同的零点、，且.22．解：（Ⅰ）由圆的参数方程（为参数），得，-----------1分 所以，ABD S ≤△ABD ∴△S 3)0,(0x P ,)('2x x a x u -+=Θ.,00200x a x x a k -=∴=-+=∴)(x u ,0)(0=∴x u ,1ln 0ln 000-=⇒=-x x x a.1,10ea e x -=∴=∴12x x <Θ21()0a u x x x'=--<()u x (0,)+∞()10,(2)ln 202a au e u e e e e=->=-<0(,2)x e e ∈0()0u x =,ln 00x x a=⎪⎩⎪⎨⎧>--≤<--=∴00,ln ln 0,ln ln )(x x x xx a x x x x x x x ax f 00x x <≤222211ln ln (1)1(1)()0a x x x a x x a f x x x x x x ---+---+'=---=≤<()f x 0(0,]x 1()10a f e e e =-->0000000ln ln ()ln 0x x af x x x x x =--=-<()f x 0(0,]x 1x 10e x x <<0x x >22211ln ln (1)()0a x x x a f x x x x x-++-'=+-=>()f x 0(,)x +∞0ln ln ln )(0000000<-=--=x x x x x a x x f ln 21ln 241411(2)ln 2ln 21ln 20222252522a e f e e e e e e e e e=-->--->->->g ()f x 0(,2)x e 2x 022x x e <<()f x 1x 2x 21212x x x x e e e -=-<-=1C 1cos sin x ty t=-+⎧⎨=⎩t 22(1)1x y ++=1(1,0)C -11r =又因为圆与圆外切于原点，且两圆圆心的距离， 可得，，则圆的方程为---------3分所以由得圆的极坐标方程为， 圆的极坐标方程为--------------5分（Ⅱ）由已知设，则由 可得，， 由（Ⅰ）得， 所以------8分 所以当时，即时，有最大值9-----------------10分23.（10分） 解：（Ⅰ） 由 ……………… 5分（Ⅱ）法一：要证，只需证，即证， 只需证，即证 由（Ⅰ）上式显然成立，故原命题得证. 法二：，要证只需证，即证由（Ⅰ）上式显然成立，故原命题得证. ……………… 10分2C 1C O 12||3C C =1(2,0)C 22r =2C 22(2)4x y -+=cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩1C 2cos ρθ=-2C 4cos ρθ=1A(,)ρθ12l l ⊥2B(,)2πρθ+3C(,)ρθπ+43D(,)2ρθπ+12344cos 2cos()2sin 22cos()2cos 34cos()4sin 2ρθπρθθρθπθρθπθ=⎧⎪⎪=-+=⎪⎨=-+=⎪⎪=+=⎪⎩132411()()18sin cos 9sin 222ABCD S AC BD ρρρρθθθ=⋅=++==四边形sin 21θ=4πθ=ABCD S 四边形⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<-=++-1,211,21,211x x x x x x x ];2,2[411-=⇒≤++-M x x 42+≤+ab b a ()()2244+≤+ab b a ()168484222++≤++ab ab b ab a ab ab 88≤Θ()1644222+≤+ab b a ()()04422≥--b a ,2,2≤≤b a ：b a b a +≥+Θ∴42+≤+ab b a 422+≤+ab b a ()()022≥--b a ,2,2≤≤b a ：。
2020届内蒙古赤峰市高三下学期模拟考试数学(理)试题(解析版)
2020届内蒙古赤峰市高三下学期模拟考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2|230,{|1sin ,0}A x x x B y y x x =+-<==->，则AB =（ ）A ．[)3,1-B ．[)0,1C ．[]1,2D ．()3,2-【答案】B【解析】解一元二次不等式求得集合A ，求三角函数值域求得集合B ，由此求得A B .【详解】由()()223310x x x x +-=+-<解得31x -<<.当0x >时，函数[]1sin 0,2y x =-∈，所以[)0,1A B ⋂=.故选：B 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查含有sin x 的函数的值域的求法，考查集合交集概念和运算，属于基础题.2．已知复数z 满足0z z -=，且9z z ⋅=，则z =（ ） A ．3 B ．3iC ．3±D ．3i ±【答案】C【解析】设z a bi =+,则z a bi =-,利用0z z -=和9z z ⋅=求得a ,b 即可. 【详解】设z a bi =+,则z a bi =-,因为0z z -=,则()()20a bi a bi bi +--==,所以0b =, 又9z z ⋅=,即29a =,所以3a =±, 所以3z =±, 故选:C 【点睛】本题考查复数的乘法法则的应用,考查共轭复数的应用.3．某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的用水量(单位：m 3)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15 m 3的住户的户数为( )A ．10B ．50C ．60D ．140【答案】C【解析】从频率分布直方图可知，用水量超过15m³的住户的频率为(0.050.01)50.3+⨯=，即分层抽样的50户中有0.3×50=15户住户的用水量超过15立方米所以小区内用水量超过15立方米的住户户数为152006050⨯=，故选C 4．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a <”是“20210S <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据等比数列的前n 项和公式，判断出正确选项. 【详解】由于数列{}n a 是等比数列，所以20212021111q S a q -=⋅-，由于2021101q q ->-，所以 1202100a S <⇔<，故“10a <”是“20210S <”的充分必要条件.故选：C 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查等比数列前n 项和公式，属于基础题.5．若双曲线C ：221x y m-=的一条渐近线方程为320x y +=，则m =（ ）A ．49B ．94C ．23D ．32【答案】A【解析】根据双曲线的渐近线列方程，解方程求得m 的值. 【详解】由题意知双曲线的渐近线方程为()0y x m m =>，320x y +=可化为32y x =-，32=，解得49m =. 故选：A 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，属于基础题.6．已知115232,5,log 2a b c ===，则a b c ，，的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<【答案】B【解析】由11522,511a b =>=>，而3log 21c =<，即可得到,a c b c >>.在比较10a 和10b ，即可,a b 大小关系，进而求得a bc ，，的大小关系. 【详解】11522,511a b =>=>，3log 21c =< ∴,a c b c >>又1052=32a =，1025,=25b =∴1010a b >，即a b >综上所述，c b a << 故选：B. 【点睛】本题主要考查了比较数的大小，解题关键是不等式的基本性质和对数函数单调性，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.7．若,x y 满足约束条件02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．3【答案】D【解析】画出可行域,将2z x y =+化为122zy x =-+,通过平移12y x =-即可判断出最优解,代入到目标函数,即可求出最值. 【详解】解:由约束条件02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩作出可行域如图,化目标函数2z x y +＝为直线方程的斜截式,122zy x =-+.由图可知 当直线122zy x =-+过()3,0A 时,直线在y 轴上的截距最大,z 有最大值为3. 故选:D. 【点睛】本题考查了线性规划问题.一般第一步画出可行域,然后将目标函数转化为y ax bz =+ 的形式,在可行域内通过平移y ax =找到最优解,将最优解带回到目标函数即可求出最值.注意画可行域时,边界线的虚实问题.8．关于函数()sin |||cos |f x x x =+有下述四个结论：（ ）①()f x 是偶函数； ②()f x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上是单调递增函数；③()f x 在R 上的最大值为2； ④()f x 在区间[]2,2ππ-上有4个零点. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②④ B ．①③C ．①④D ．②④【答案】C【解析】根据函数()f x 的奇偶性、单调性、最值和零点对四个结论逐一分析，由此得出正确结论的编号. 【详解】()f x 的定义域为R .由于()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，故①正确.由于3132sin cos ,sin cos 66624442f f ππππππ⎛⎫⎛⎫-=+=-=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，64f f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上不是单调递增函数，所以②错误.当0x ≥时，()sin cos sin cos 4f x x x x x x π⎛⎫=+=±=±≤ ⎪⎝⎭，且存在4x π=，使sin cos 444f πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭. 所以当0x ≥时，()f x ≤由于()f x 为偶函数，所以x ∈R 时()f x ≤， 所以()f x，所以③错误.依题意，(0)sin 0cos01f =+=，当02x π<≤时，()3sin cos ,0,2223sin cos ,22x x x x f x x x x πππππ⎧+<≤≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩或，所以令sin cos 0x x +=，解得74x π=，令sin cos 0x x -=，解得54=x π.所以在区间(]0,2π，()f x 有两个零点.由于()f x 为偶函数，所以()f x 在区间[)2,0π-有两个零点.故()f x 在区间[]2,2ππ-上有4个零点.所以④正确. 综上所述，正确的结论序号为①④. 故选：C 【点睛】本小题主要考查三角函数的奇偶性、单调性、最值和零点，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.9．已知等边△ABC 内接于圆τ：x 2+ y 2=1，且P 是圆τ上一点，则()PA PB PC ⋅+的最大值是（ ） A． B ．1CD ．2【答案】D【解析】如图所示建立直角坐标系，设()cos ,sin P θθ，则(1)cos PA PB PC θ⋅+=-，计算得到答案. 【详解】如图所示建立直角坐标系，则1,0A，12⎛- ⎝⎭B，1,2C ⎛- ⎝⎭，设()cos ,sin P θθ，则(1cos ,sin )(12cos ,2si (n ))PA PB PC θθθθ=--⋅--⋅+-222(1cos )(12cos )2sin 2cos cos 12sin 1cos 2θθθθθθθ=---+=--+=-≤.当θπ=-，即()1,0P -时等号成立. 故选：D .【点睛】本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.10．已知椭圆2222:19x y C a a+=+，直线1:30l mx y m ++=与直线2:30l x my --=相交于点P ，且P 点在椭圆内恒成立，则椭圆C 的离心率取值范围为（ ）A ．20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】先求得椭圆焦点坐标，判断出直线12,l l 过椭圆的焦点.然后判断出12l l ⊥，判断出P 点的轨迹方程，根据P 恒在椭圆内列不等式，化简后求得离心率e 的取值范围. 【详解】设()()12,0,,0F c F c -是椭圆的焦点，所以22299,3c a a c =+-==.直线1l 过点()13,0F -，直线2l 过点()23,0F ，由于()110m m ⨯+⨯-=，所以12l l ⊥，所以P 点的轨迹是以12,F F 为直径的圆229x y +=.由于P 点在椭圆内恒成立，所以椭圆的短轴大于3，即2239a >=，所以2918a +>，所以双曲线的离心率22910,92e a ⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭，所以20,2e ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭∈.故选：A 【点睛】本小题主要考查直线与直线的位置关系，考查动点轨迹的判断，考查椭圆离心率的取值范围的求法，属于中档题.11．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，148AB AA ==，.若E F ，分别是棱1BB CC ，上的点，且1BE B E =，1114C F CC =，则异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值为（ ）A ．210B ．2613C ．1313D ．1310【答案】B【解析】建立空间直角坐标系，利用向量法计算出异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值. 【详解】依题意三棱柱底面是正三角形且侧棱垂直于底面.设AB 的中点为O ，建立空间直角坐标系如下图所示.所以()()()()10,2,8,0,2,4,0,2,0,23,0,6A E A F ---，所以()()10,4,4,23,2,6A E AF =-=-.所以异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值为11824261342213A E AF A E AF⋅-==⨯⋅故选：B【点睛】本小题主要考查异面直线所成的角的求法，属于中档题. 12．已知定义在R 上的可导函数()f x 满足()()()'10x f x x fx -⋅+⋅>，若3(2)y f x e =+-是奇函数，则不等式1()20x x f x e +⋅-<的解集是（ ）A ．(),2-∞B ．(),1-∞C ．()2,+∞D ．()1,+∞【答案】A【解析】构造函数()()xx f x g x e⋅=，根据已知条件判断出()g x 的单调性.根据()32y f x e =+-是奇函数，求得()2f 的值，由此化简不等式1()20x x f x e +⋅-<求得不等式的解集. 【详解】构造函数()()x x f x g x e ⋅=，依题意可知()()()()''10xx f x x f x g x e-⋅+⋅=>，所以()g x 在R 上递增.由于()32y f x e =+-是奇函数，所以当0x =时，()320y f e =-=，所以()32f e =，所以()32222e g e e⨯==.由1()20x x f x e +⋅-<得()()()22xx f x g x e g e ⋅=<=，所以2x <，故不等式的解集为(),2-∞.故选：A 【点睛】本小题主要考查构造函数法解不等式，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题13．已知非零向量a ，b 满足2b a =，且()b a a -⊥，则a 与b 的夹角为____________. 【答案】3π（或写成60︒） 【解析】设a 与b 的夹角为θ，通过()b a a -⊥，可得()=0b a a -⋅，化简整理可求出cos θ，从而得到答案.【详解】设a 与b 的夹角为θ()b a a -⊥可得()=0b a a -⋅，∴()2=0a b a⋅-故2cos =0a b a θ⋅⋅-，将2b a =代入可得 得到1cos 2θ=， 于是a 与b 的夹角为3π. 故答案为：3π. 【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，向量垂直转化为数量积为0是解决本题的关键，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力.14．在ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，若412cos ,cos 513B C ==，1b =，则a =__________.【答案】5639【解析】先求得sin ,sin B C 的值，由此求得sin A 的值，再利用正弦定理求得a 的值. 【详解】由于412cos ,cos 513B C ==，所以35sin ,sin 513B C ====，所以()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+312455651351365=⨯+⨯=.由正弦定理得56sin 56653sin sin sin 395a b b A a A B B ⋅=⇒===.故答案为：5639【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查两角和的正弦公式，考查三角形的内角和定理，属于中档题.15．验证码就是将一串随机产生的数字或符号，生成一幅图片，图片里加上一些干扰象素（防止OCR ），由用户肉眼识别其中的验证码信息，输入表单提交网站验证，验证成功后才能使用某项功能.很多网站利用验证码技术来防止恶意登录，以提升网络安全.在抗疫期间，某居民小区电子出入证的登录验证码由0，1，2，…，9中的五个数字随机组成.将中间数字最大，然后向两边对称递减的验证码称为“钟型验证码”（例如：如14532，12543），已知某人收到了一个“钟型验证码”，则该验证码的中间数字是7的概率为__________. 【答案】536【解析】首先判断出中间号码的所有可能取值，由此求得基本事件的总数以及中间数字是7的事件数，根据古典概型概率计算公式计算出所求概率. 【详解】根据“钟型验证码” 中间数字最大，然后向两边对称递减，所以中间的数字可能是4,5,6,7,8,9.当中间是4时，其它4个数字可以是0,1,2,3，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有22426C C ⨯=种.当中间是5时，其它4个数字可以是0,1,2,3,4，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有225310330C C ⨯=⨯=种.当中间是6时，其它4个数字可以是0,1,2,3,4,5，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有226415690C C ⨯=⨯=种.当中间是7时，其它4个数字可以是0,1,2,3,4,5,6，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有22752110210C C ⨯=⨯=种.当中间是8时，其它4个数字可以是0,1,2,3,4,5,6,7，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有22862815420C C ⨯=⨯=种.当中间是9时，其它4个数字可以是0,1,2,3,4,5,6,7,8，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有22973621756C C ⨯=⨯=种.所以该验证码的中间数字是7的概率为210210563090210420756151236==+++++. 故答案为：536【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，考查分类加法计数原理、分类乘法计数原理的应用，考查运算求解能力，属于中档题.三、双空题16．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，且有21BD CD AB BD CD ⊥===，，，则此鳖臑的外接球O （A B C D 、、、均在球O 表面上）的直径为__________；过BD 的平面截球O 所得截面面积的最小值为__________. 【答案】3 π【解析】判断出鳖臑A BCD -外接球的直径为AC ，由此求得外接球的直径.根据球的截面的几何性质，求得过BD 的平面截球O 所得截面面积的最小值. 【详解】根据已知条件画出鳖臑A BCD -，并补形成长方体如下图所示.所以出鳖臑A BCD -外接球的直径为AC ，且3AC ==.过BD 的平面截球O 所得截面面积的最小值的是以BD 为直径的圆，面积为22BD ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：(1). 3 (2). π【点睛】本小题主要考查几何体外接球有关计算，考查球的截面的性质，考查中国古代数学文化，考查空间想象能力，属于基础题.四、解答题17．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，45AB AD ADC AD ⊥∠=︒，，∥22BC AD AB ==，，ADP △为等边三角形，平面PAD ⊥底面ABCD ，E 为AD 的中点.（1）求证：平面PBC ⊥平面PCE ； （2）点F 在线段CD 上，且32CF FD =，求平面PAD 与平面PBF 所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（24183【解析】（1）根据等边三角形的性质证得PE AD ⊥，根据面面垂直的性质定理，证得PE ⊥底面ABCD ，由此证得PE BC ⊥，结合CE BC ⊥证得BC ⊥平面PCE ，由此证得：平面PBC ⊥平面PCE .（2）建立空间直角坐标系，利用平面PBF 和平面PAD 的法向量，计算出平面PAD 与平面PBF 所成的锐二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：∵PAD △为等边三角形，E 为AD 的中点，∴PE AD ⊥ ∵平面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD底面ABCD AD =，∴PE ⊥底面ABCD BC ⊂，平面ABCD ，∴PE BC ⊥ 又由题意可知ABCE 为正方形，CE BC ⊥ 又PEEC E =，∴BC ⊥平面PCEBC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PCE（2）如图建立空间直角坐标系，则()()()()0,0,00,1,01,1,01,0,0E A B C --，，，，()0,1,0D ，(0,0,3)P ，由已知35CF CD =，得23,,055F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，23(1,1,3),,,355PB PF ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭设平面PBF 的法向量为(),,n x y z =，则30233055n PB x y z n PF x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩令3z =，则249,55x y ==， ∴249,,355n ⎛⎫= ⎪⎝⎭由（1）知平面PAD 的法向量可取为()1,0,0m =∴2222441835|cos ,|249(3)55m n <>==⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴平面PAD 与平面PBF 4183. 【点睛】本小题主要考查面面垂直的判定定理和性质定理，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.18．已知数列{}n a 和{}n b 满足：1111112,1,2,2,*,2n n n n n n a b a a b b b a n N n ----==-=-=-∈≥.（1）求证:数列{}n n a b -为等比数列；（2）求数列13n n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .【答案】（1）见解析（2）112231n n S +=-+ 【解析】（1）根据题目所给递推关系式得到113n nn n a b a b ---=-，由此证得数列{}n n a b -为等比数列.（2）由（1）求得数列{}n n a b -的通项公式，判断出1n n a b +=，由此利用裂项求和法求得数列13n n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .【详解】（1）()()()111111223n n n n n n n n a b a b b a a b -------=---=-11*,2,3n nn n a b n N n a b ---∈≥=-所以数列{}n n a b -是以3为首项，以3为公比的等比数列.（2）由（1）知，()()1111113,22nn n n n n n n n n n a b a b a b b a a b -------=+=-+-=+∴{}n n a b +为常数列，且111n n a b a b +=+=， ∴213n n a =+，∴()()11134311231313131n n n n n n n n a a +++⋅⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭∴1111111241010283131n n n S +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111122431231n n ++⎛⎫=-=- ⎪++⎝⎭ 【点睛】本小题主要考查根据递推关系式证明等比数列，考查裂项求和法，属于中档题. 19．为响应“坚定文化自信，建设文化强国”，提升全民文化修养，引领学生“读经典用经典”，某广播电视台计划推出一档“阅读经典”节目.工作人员在前期的数据采集中，在某高中学校随机抽取了120名学生做调查，统计结果显示：样本中男女比例为3:2，而男生中喜欢阅读中国古典文学和不喜欢的比例是7:5，女生中喜欢阅读中国古典文学和不喜欢的比例是5:3.（1）填写下面列联表，并根据联表判断是否有95%的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系？（2）为做好文化建设引领，实验组把该校作为试点，和该校的学生进行中国古典文学阅读交流.实验人员已经从所调查的120人中筛选出4名男生和3名女生共7人作为代表，这7个代表中有2名男生代表和2名女生代表喜欢中国古典文学.现从这7名代表中任选3名男生代表和2名女生代表参加座谈会，记ξ为参加会议的人中喜欢古典文学的人数，求5的分布列及数学期望()Eξ附表及公式：22(),()()()()n ad bcK n a b c da b c d a c b d-==+++ ++++.【答案】（1）见解析，没有（2）见解析，17 6【解析】（1）根据题目所给数据填写22⨯列联表，计算出2K的值，由此判断出没有95%的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系.（2）先判断出ξ的所有可能取值，然后根据古典概型概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望.【详解】（1）22120(42183030)0.208 3.84172487248K ⨯-⨯==<⨯⨯⨯所以，没有95%的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系.（2）设参加座谈会的男生中喜欢中国古典文学的人数为m ，女生中喜欢古典文学的人数为n ，则m n ξ=+.且2,3,4ξ=1211222132431(2)(1,1)3C C C C P P m n C C ξ======； 21111222221222323243431(3)(2,1)(1,2)2C C C C C C C P P m n P m n C C C C ξ====+===+=； 22222324131(4)(2,2)6C C C P P m n C C ξ======. 所以ξ的分布列为则11117()2343266E ξ=⨯+⨯+⨯=.【点睛】本小题主要考查22⨯列联表独立性检验，考查随机变量分布列和数学期望的求法，考查数据处理能力，属于中档题.20．已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >，关于直线:20l x y --=的对称点为M ，且||FM =若点P 为C 的准线上的任意一点，过点P 作C 的两条切线PA PB ，，其中A B ，为切点.（1）求抛物线C 的方程；（2）求证：直线AB 恒过定点，并求PAB △面积的最小值. 【答案】（1）24x y =（2）见解析，最小值为4【解析】（1）根据焦点F 到直线l 的距离列方程，求得c 的值，由此求得抛物线的方程. （2）设出,,A B P 的坐标，利用导数求得切线,PA PB 的方程，由此判断出直线AB 恒过抛物线焦点F .求得三角形PAB 面积的表达式，进而求得面积的最小值. 【详解】（1）依题意d =1c = （负根舍去） ∴抛物线C 的方程为24x y =（2）设点()()1122,,,,(,1)A x y B x y P t -，由24x y =，即214y x =，得12y x '= ∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-， 即2111122x y x y x =+- ∵21114y x =，∴112xy x y =-∵点(,1)P t -在切线PA 上，1112x t y -=-①，同理，2212xt y -=-② 综合①、②得，点()()1122,,,A x y B x y 的坐标都满足方程12xt y -=-.即直线:12tAB y x =+恒过抛物线焦点()0,1F当0t =时，此时()0,1P -，可知：PF AB ⊥当0t ≠，此时直线PF 直线的斜率为2PF k t=-，得PF AB ⊥于是1||||2PAB S PF AB =⋅△，而||PF把直线12t y x =+代入24x y =中消去x 得()22210y t y -++=21224AB y y t=++=+，即：(()3222114422S t t =+=+当0t =时，PABS 最小，且最小值为4【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，考查抛物线方程的求法，考查抛物线的切线方程的求法，考查直线过定点问题，考查抛物线中三角形面积的最值的求法，考查运算求解能力，属于难题.21．已知函数()ln f x x =.（1）设2()()f x g x x =，求函数()g x 的单调区间，并证明函数()g x 有唯一零点. （2）若函数()(1)x h x e af x =--在区间()1,1ae -+上不单调，证明：111a a a +>+.【答案】（1）(x ∈为增区间；)x ∈+∞为减区间.见解析（2）见解析【解析】（1）先求得()g x 的定义域，然后利用导数求得()g x 的单调区间，结合零点存在性定理判断出()g x 有唯一零点.（2）求得()h x 的导函数()'h x ，结合()h x 在区间()1,1ae -+上不单调，证得1ln a e a a -+->，通过证明111ln 1a e a a a -+>+-+，证得111a a a +>+成立. 【详解】（1）∵函数()g x 的定义域为(0,)+∞，由312ln ()0xg x x-'=>，解得(x ∈为增区间；由312ln ()0xg x x -'=<解得)x ∈+∞为减区间.下面证明函数只有一个零点：∵2110,02g e g e e ⎛⎫=-<=> ⎪⎝⎭，所以函数在区间(内有零点，∵,()0x g x →+∞→，函数在区间)+∞上没有零点， 故函数只有一个零点.（2）证明：函数()(1)ln(1)x x h x e af x e a x =--=--，则 (1)(),111x xa x e ah x e x x x --'=-=>--当0a ≤时，()0h x '>，不符合题意； 当0a >时，令()(1),1x m x e x a x =-->，则()0xm x xe '=>，所以()m x 在(1,)+∞上单调增函数，而()10m <，又∵()h x 区间()1,1a e -+上不单调，所以存在()01,1a x e -∈+，使得()h x '在()1,1ae -+上有一个零点0x ，即()00h x '=，所以()00m x =，且()()11010a ee am e ee a e a m x ααα---+-+-+=⋅-=->=，即1a e e a α--+>两边取自然对数，得1ln a a e a --+>即1ln a e a a -+->， 要证111a a a +>+，即证111ln 1a e a a a -+>+-+， 先证明：1(0)x e x x >+>，令()1x n x e x =--，则()10x n x e '=-> ∴()n x 在(0,)+∞上单调递增，即()()00n x n >=，∴()10xe x x >+>①在①中令x a =，∴111111aaa e a e e a a ->+⇒<⇒<++ 令1ln x a=∴1ln1ln 1ae a >+，即111ln 11ln a a a a>+⇒>-即111ln 1a e a a a -+>+-+，∴111a a a +>+. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间和零点，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2x a t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22123sin ρθ=+.（1）若2a =-，求曲线C 与l 的交点坐标；（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为45°的直线，交l 于点A ，且PA 的最大值为，求a 的值.【答案】（1）()2,0-，31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）1a =或1a =-【解析】（1）将曲线C 的极坐标方程和直线l 的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，即可求得曲线C 与l 的交点坐标；（2）由直线l 的普通方程为20x y a +-=，故C 上任意一点(2cos )P αα，根据点到直线距离公式求得P 到直线l 的距离，根据三角函数的有界性，即可求得答案. 【详解】 （1）22123sin ρθ=+，∴2223sin 12ρρθ+=.由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得223412x y +=，曲线C 的直角坐标方程为22143x y +=.当2a =-时，直线l 的普通方程为220x y ++=由22220143x y x y ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得20x y =-⎧⎨=⎩或132x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩. 从而C 与l 的交点坐标为()2,0-，31,2⎛⎫⎪⎝⎭.（2）由题意知直线l 的普通方程为20x y a +-=，C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数） 故C上任意一点(2cos )P αα到l 的距离为d ==则||sin 45d PA ︒===当0a ≥时，||PA1a =；当0a <时，||PA=1a =-.综上所述，1a =或1a =- 【点睛】解题关键是掌握极坐标和参数方程化为直角坐标方程的方法，和点到直线距离公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 23．已知函数()12f x x x =+--. （1）解不等式()1f x ≤；（2）记函数()f x 的最大值为s ，若(),,0a b c s a b c ++=>，证明：2222223a b b c c a abc ++≥.【答案】（1）(],1-∞；（2）证明见解析第 21 页 共 21 页 【解析】（1）将函数整理为分段函数形式可得3,1()21,123,2x f x x x x -≤-⎧⎪=--<<⎨⎪≥⎩,进而分类讨论求解不等式即可；（2）先利用绝对值不等式的性质得到()f x 的最大值为3,再利用均值定理证明即可.【详解】（1）()12f x x x =+--3,1()21,123,2x f x x x x -≤-⎧⎪=--<<⎨⎪≥⎩①当1x ≤-时，31-≤恒成立，∴1x ≤-；②当12x -<<时，211x -≤，即1x ≤，∴11x -<≤；③当2x ≥时，31≤显然不成立，不合题意；综上所述，不等式的解集为(],1-∞.（2）由（1）知max ()3f x s ==，于是3a b c ++=由基本不等式可得222222a b b c ab c +≥= （当且仅当a c =时取等号）222222b c c a abc +≥= （当且仅当b a =时取等号）222222c a a b a bc +≥=（当且仅当c b =时取等号）上述三式相加可得()22222222()a b b c c a abc a b c ++≥++（当且仅当a b c ==时取等号）3a b c ++=，∴2222223a b b c c a abc ++≥，故得证.【点睛】本题考查解绝对值不等式和利用均值定理证明不等式,考查绝对值不等式的最值的应用，解题关键是掌握分类讨论解决带绝对值不等式的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
内蒙古赤峰市2020届高三（5月份）高考数学（理科）模拟试题一、未知
(★★★) 1. 已知集合，，则（）
A．B．，C．，D．，
(★★★) 2. 已知复数，则复数在复平面内对应的点不可能在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
(★★★) 3. 陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台，景区内有一处景点建筑，是按古典著作《连山易》中记载的金、木、水、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相生关系的概率为（）
A．B．C．D．
(★★★) 4. 设为定义在上的奇函数，且满足，（1），则（8）=（）
A．B．C．0D．1
(★★★) 5. 被称为计算机第一定律的摩尔定律表明，集成电路芯片上所集成的电路的数目，每隔18个月就翻一番并且性能也将提升一倍.这说明电子产品更新换代之迅速.由于计算机与掌上智能设备的升级，以及电动汽车及物联网行业的兴起等新机遇，使得电子连接器行业增长呈现加速状态.对于汽车领域的连接器市场规模，中国产业信息发布了年之间统计折线图，根据图中信息，得到了下列结论：
① 年市场规模量逐年增加；
②增长额度最大的一年为年；
③2018年比2010年增长了约；
④与年每年的市场规模相比，年每年的市场规模数据方差更小，变化更加平稳.
其中正确命题的序号为（）
A．①④B．②③C．②③④D．③④
(★★★) 6. 已知，，则“ ”的一个必要不充分条件是（）
A．B．
C．D．
(★★★) 7. 已知圆与抛物线交于，两点在的上方），与抛
物线的准线交于，两点在的上方），则四边形的面积为（）
A．B．C．D．
(★★★)8. 设双曲线，，是双曲线上关于坐标原点对称的两点，为双曲线上的一动点，若，则双曲线的离心率为（）
A．2B．C．D．5
(★★★) 9. 杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家.在他著的《详解九章算法》一书中，画
了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现在简
称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果.它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年.若用表示三角形数阵的第行第个数，则（）
A．5050B．4851C．4950D．5000
(★★★) 10. 设等差数列的前项和为，且满足，，将，，，中去掉一项后，剩下的三项按原来的顺序恰为等比数列的前三项，则数列的前10项的和（）
A．B．C．D．
(★★★) 11. 设函数，直线是曲线的切线，则的最大值是（）
A．B．1C．D．
(★★★) 12. 如图，一张纸的长、宽分别为，，四条边的中点分别是，，，，现将其沿图中虚线折起，使得，，，四点重合为一点，从而得到一个多面体，关于该多面体有下述四个结论：
①该多面体是六面体；
②点到棱的距离为；
③ 平面；
④该多面体外接球的直径为，
其中所有正确结论的序号是（）
A．①④B．③④C．②③D．②③④
(★★★) 13. 已知，，是圆上的三点，且满足，，则
__.
(★★★) 14. 设数列中，若等比数列满足，且，则__. (★★★) 15. 若正方体的棱长为1，点是面的中心，点是面的对角线上一点，且面，则异面直线与所成角的正弦值为__.
(★★★) 16. 对于函数，有如下结论：
① 在上是奇函数；② 为的一个周期；③ 为的一个极大值点；④ 在
区间，上单调递增.
其中所有正确结论的序号是__.
(★★★) 17. 在中，内角，，所对的边分别是，，，且
.
（1）求角；
（2）若，，求的周长.
(★★★) 18. 在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，是的中点，平面，过的平面交棱于点（异于点，两点），交于.
（1）求证：平面；
（2）若是中点，且平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求与底
面所成角的正切值.
(★★★) 19. 在考察疫情防控工作中，某区卫生防控中心提出了“要坚持开展爱国卫生运动，提
倡文明健康、绿色环保的生活方式”的要求.某学生小组通过问卷调査，随机收集了和该区居民
的日常生活习惯有关的六类数据.分别是：（1）卫生习惯；（2）垃圾处理；（3）体育锻炼；（4）
心理健康；（5）膳食合理；（6）作息规律.经过数据整理，得如表：
卫生习惯垃圾处理体育锻炼心理健康膳食合理作息规律
有效答卷份数380550330410400430
习惯良好频
0.60.90.80.70.650.6
率
假设每份调查问卷只调查上述六类状况之一，且各类调查的结果相互独立. （1）从该小组收集的有效答卷中随机选取1份，求这份试卷的调查结果是“垃圾处理”中习惯良好者的概率；（2）从“体育锻炼”和“心理健康”两类中各随机选取一份，估计恰有一份是具有良好习惯的概率；（3）利用上述六类习惯调查的排序，即“卫生习惯”是第一类，“垃圾处理”是第二类“作息规律”是第六类用“ ”表示任选一位第类受访者是习惯良好者，“ ”表示任选一位第
类受访者不是习惯良好者，2，3，4，5，.求出方差，，2，3，4，5，，并由小到大排序.
(★★★) 20. 已知椭圆的长轴长为4，过焦点且垂直于轴的直线被椭
圆截得的线段长为1.
（1）求椭圆的方程；
（2）若点，点，在椭圆上，轴，垂足为，直线交轴于点，线段的中点为坐标原点，试判断直线与椭圆的位置关系. (★★★) 21. 已知函数，，.
（1）当时，存在，，使得成立，求实数的取值范围；
（2）证明：当时，对任意，都有.
(★★★) 22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的直角坐标方程为. （1）求曲线的普通方程和直线的极坐标方程；
（2）射线，和曲线分别交于点，，与直线分别交于，
两点，求四边形的面积.
二、解答题
(★★★) 23. 已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.。