椭圆专题复习说课讲解

椭圆专题复习椭圆专题复习1.(课本P33.7)已知圆221:(1)1,F x y ++=圆222:(1)9,F x y -+=动圆P 与圆1F 外切，与圆2F 内切，则动圆圆心P 的轨迹方程是 .2.(课本P33.8).设动点P 到点(1,0)F 的距离是到直线9x =的距离之比为13，则点P 的轨迹方程是3.（课本P32.3)改编)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P (3,0)，则椭圆的方程为_______________________________4.(课本P33.3).经过两点2A(2,)2-,3B(2,)2--两点的椭圆标准方程是 .5.(2015江苏改编) 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的椭圆的离心率是2，且右焦点F 到左准线l 的距离为3，则椭圆的标准方程为________.6．(2015南通)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点为(0,b)B ，右焦点为F ，直线BF 与椭圆的另一个交点为M ，且2BF FM =,则椭圆的离心率为7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为e ，若椭圆上存在点P ，使得PF 1PF 2＝e ，则该离心率e 的取值范围是________．8.( 浙江2015高考第15题·)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (c ，0)关于直线y ＝bc x 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________.9.(重庆2015高考第21题)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P 、Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若PF 1＝2＋2，PF 2＝2－2，求椭圆的标准方程； (2)若PF 1＝PQ ，求椭圆的离心率e .拓展1: 已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一点A 关于原点的对称点为B ，右焦点为F ，AF BF ⊥,,,,124ABF ππαα⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦求椭圆的离心率的取值范围。

拓展2：已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与x 轴的正半轴交于点A ，O 是原点，若椭圆上存在一点M ，使MA ⊥MO ，求椭圆的离心率的取值范围．10．(江苏2014高考第17题)如图，在平面直角坐标系xOy 中，12F F ，分别是椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0)b ，，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结1FC ．（1）若点C 的坐标为()4133，，且22BF =，求椭圆的方程；（2）若1FC AB ⊥，求椭圆离心率e 的值． 巩固练习1. .设点(0,5)M -,(0,5)N ，MNP ∆的周长为36，则MNP ∆的顶点P 的轨迹方程为 .2. .椭圆22129x y k +=+的离心率为12，则k 的值为 3. 如图所示，A ，B 是椭圆的两个顶点，C 是AB 的中点，F 为椭圆的右焦点，OC 的延长线交椭圆于点M ，且OF ＝2，若MF ⊥OA ，则椭圆的方程为__________．4. .(江苏2013高考第12题).在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x 0a b >>），右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆C 的离心率为5.椭圆221(22y x a b a b +=>>0)的右焦点为F,点2(0)a A c ,,在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是________．6．如图，已知21,F F 是椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，点P 在椭圆C上，线段2PF 与圆222b y x =+相切于点Q ，且点Q 为线段2PF 的中点，则椭圆C 的离心率为 .7.如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的上、下顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，点P 在椭圆C 上，且OP ⊥AF.(1) 若点P 坐标为(3，1)，求椭圆C 的方程；(2) 延长AF 交椭圆C 于点Q ，若直线OP 的斜率是直线BQ 的斜率的2倍，求椭圆C 的离心率；8.已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x ，点B A ,分别是椭圆的左顶点和上顶点，直线AB 与圆G ：4222c y x =+（c 是椭圆的半焦距）相离，P 是直线AB 上一动点，过点P 作圆G 的两切线，切点分别为M ,N ．（1）若椭圆C 经过两点），（3241、），（1233，求椭圆C 的方程；（2）当c 为定值时，求证：直线MN 经过一定点E ，并求OE OP ⋅的值（O 是坐标原点）；（3）若存在点P 使得PMN ∆为正三角形，试求椭圆离心率的取值范围．y xN MBAOP变式：设(,)P x y 满足方程222(1)(2)3x y x y -++=-+，则点P 的轨迹是变式：已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一点A 关于原点的对称点为B ，右焦点为F ，AF BF ⊥,,,,124ABF ππαα⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦则椭圆的离心率的取值范围是__________.变式：已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)与x 轴的正半轴交于点A ，O 是原点，若椭圆上存在一点M ，使MA ⊥MO ，椭圆的离心率的取值范围 ．9.如图，已知21,F F 是椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，点P 在椭圆C上，线段2PF 与圆222b y x =+相切于点Q ，且点Q 为线段2PF 的中点，则椭圆C 的离心率为 .变式：10.如图，已知21,F F 是椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，点P 在椭圆C上，线段2PF 与圆222b y x =+相切于点Q ，且点Q 为线段2PF 的中点，则椭圆C 的离心率为 .变式：11.(课本P33.11).如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是________.16．QOF 2F 1P y(1) 解：因为点P(3，1)，所以k OP ＝13. 因为AF ⊥OP ，－b c ×13＝－1，所以3c ＝b ，所以3a 2＝4b 2.(2分) 又点P(3，1)在椭圆上，所以3a 2＋1b 2＝1，解之得a 2＝133，b 2＝134.故椭圆C 的方程为x 2133＋y 2134＝1.(4分)(2) 解：由题意，直线AF 的方程为x c ＋y b ＝1，与椭圆C 的方程x 2a 2＋y 2b2＝1联立消去y ，得a 2＋c 2a 2c 2x 2－2x c ＝0，解得x ＝0或x ＝2a 2c a 2＋c 2，所以Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c2，b （c 2－a 2）a 2＋c 2，(7分) 所以直线BQ 的斜率为k BQ ＝b （c 2－a 2）a 2＋c 2＋b2a 2c a 2＋c 2＝bca 2.由题意得c b ＝2bca2，所以a 2＝2b 2，(9分)所以椭圆的离心率e ＝c a ＝1－b 2a 2＝22.(10分)易错点：忽略挖去与y 轴的交点.参考答案：221(0)144169x y x +=≠(待定) 6.易错点：容易遗漏焦点在y 轴的情形.参考答案：4或54-14.答案 x 24＋y 22＝1解析 设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，则A (a,0)，B (0，b )，C ⎝⎛⎭⎫a 2，b 2， F (a 2－b 2，0)．依题意，得a 2－b 2＝2，FM 的直线方程是x ＝2，所以M ⎝⎛⎭⎫2，ba a 2－2. 由于O ，C ，M 三点共线，所以b a 2－2a 2＝b2a 2，即a 2－2＝2，所以a 2＝4，b 2＝2.所求方程是x 24＋y 22＝1.14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆22221y x a b +=(0a b >>)的左、右焦点，B ，C 分别为椭圆的 上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一交点为D . 若127cos 25F BF ∠=，则直线CD 的斜率为(备用)110=表示的曲线是 ；其方程为6=表示的曲线是 ；其方程为 . 参考答案：椭圆；2212516y x +=；线段；0(33)x y =-≤≤（P37.10）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点12,F F ，短轴的一个端点为P ，当12F PF ∠为钝角时,则离心率e 的取值范围是变式：椭圆2214x y +=的焦点12,F F ，点P 为椭圆上一动点，当12F PF ∠为钝角时,求点P 的横坐标取值范围.解析 |AF|22a b c c c =-=,而|PF|a c ≤+, 所以2b a c c+≥, 即2210e e +-≥,解得112e ≤<. 答案 D5.已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)与x 轴的正半轴交于点A ，O 是原点，若椭圆上存在一点M ，使MA ⊥MO ，椭圆的离心率的取值范围 ．(2)设M (x ，y )，则MA ⊥MO ，得y x ·yx －a＝－1.将其与椭圆方程联立，消去y ，得(x －a )(b 2x －a 2x ＋b 2a )＝0.由x ≠a ，得x ＝ab 2a 2－b2＝ab 2c 2.∵M (x ，y )在椭圆上，∴x ∈[－a ，a ]，又MA ⊥MO ，则x ∈(0，a )，即0<ab 2c2<a ，∴0<b 2c 2<1,1<a 2c 2＝b 2＋c 2c 2<2，则c 2a 2>12，∴e >22.又∵0<e <1，∴22<e <1.6 (2)(2014·江西)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________.(2)直线AB ：x ＝c ，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a .∴A (c ，b 2a )，B (c ，－b 2a ).∴kBF 1＝－b 2a－0c －(－c )＝－b 2a 2c ＝－b 22ac .∴直线BF 1：y －0＝－b 22ac (x ＋c ).令x ＝0，则y ＝－b 22a，∴D (0，－b 22a )，∴k AD ＝b 2a ＋b 22ac ＝3b 22ac .由于AD ⊥BF 1，∴－b 22ac ·3b 22ac ＝－1，∴3b 4＝4a 2c 2，∴3b 2＝2ac ，即3(a 2－c 2)＝2ac ， ∴3e 2＋2e －3＝0，∴e ＝－2±4－4×3×(－3)23＝－2±423.∵e >0，∴e ＝－2＋423＝223＝33.答案 (1)⎝⎛⎦⎤0，32 (2)33命题点2 由直线与椭圆的位置关系研究直线的性质例5 (2015·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程. 解 (1)由题意，得c a ＝22且c ＋a 2c ＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1， 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意.当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将AB 的方程代入椭圆方程， 得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0， 则x 1,2＝2k 2±2(1＋k 2)1＋2k 2，C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且 AB ＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝22(1＋k 2)1＋2k 2.若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意. 从而k ≠0，故直线PC 的方程为y ＋k 1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2，则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k (1＋2k 2)， 从而PC ＝2(3k 2＋1)1＋k 2|k |(1＋2k 2).因为PC ＝2AB ，所以2(3k 2＋1)1＋k 2|k |(1＋2k 2)＝42(1＋k 2)1＋2k 2，解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.思维升华 解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单.4.(课本P33.3(1)).过点3(1,)2，且与椭圆2212x y +=有相同焦点的椭圆的标准方程为_______________.。