冲击动力学

力解值表达式，画出某一时刻的 X 图和某质点位置的
t 图。
[ 分析 ] 两杆初始应力和应变为零，但初始质点速度不为零， 分别为 v1 和 v2 ，撞击后，在两杆中分别形成了方向相反的强 间断弹性波，根据碰撞界面上压力相等（等截面时应力也相
等）、质点速度相等条件，两杆从碰撞面开始应力和质点速
落锤冲击钢丝的试验，请分析落锤自由下落后，钢丝受冲击 拉断的位置是冲击端A 端还是固定端B 端，此外致使钢丝冲
击拉断的控制因素是什么。
图3-2-3
[分析求解]依题，设固定端B 端为坐标原点，钢丝绳方向为
X的正向，落锤下落冲击到A 端时为初始时刻，可以画出相 应的波系图和 v 图。
图3-2-4
（该解同样可从 v 图中可以直接得出。）
某一时刻的 X 图和某质点位置的 t 图略。
讨论： （1）可以看出，当杆初始状态为自然的静止状态时，在
固定端界面上，即入射波与反射波相遇的界面处质点速度为
零而应力加倍。 （2）当长杆中初始状态为均匀场，参量对应为σ*、v*， 则有
1 * 0 C0 (v1 v*) 2 1 0 C0 (v2 v1 ) v2 v *
（ 4 ） 如果本题中 v1 和 v2 方向反向，则杆处于受压状态， 求解方法一样，但要注意画图时各参量的正负方向。
（5）图3-1-6所示特征线所组成图示各区域，其中1、2、
3和4区若均为恒值区，则可以直接得到：
v4 v2 v3 v1 4 2 3 1 2 3 1 4
（该解同样可从 v 图中可以直接得出。） 某一时刻的 X 图和某质点位置的 t 图略。 由上可知：当杆初始状态为自然的静止状态时，在自由 端界面上，即入射波与反射波相遇的界面处质点速度加倍而
应力为零。
[ 讨论分析题 ] 图 3-2-3 是 Hopkinson.J 于 1872 年所做的著名的
理来确定，入射波与反射波叠加的总效果符合所给定的边界
条件。
3-2-1 弹性波从固定端的反射
固定端的边界条件为 v 0 （这是相对于杆及固定端初始 状态为自然静止状态而言）。 [ 例 3-2-1] 设长为 l 的长杆初始状态为自然静止状态，左端施 加突加恒值拉伸载荷v1，杆右端为固定端。 2l t 要求画出 时间内的波系图、 v 图，写出右传 C0 入射波和左传反射波的特征线方程，求解波系图中各区的质
而影响钢丝绳冲击拉断的控制因素是 落锤的高度，而与落锤的质量基本无关。
这是因为落锤的高度决定了落锤冲击 A端
时的速度，也就决定了外加载荷的大小。 当然，如果落锤的高度足够大，使得 波系图中 1 区的应力值超过了钢丝的破坏 极限（冲击速度大于材料的破坏速度），
那么 A 端将会首先破坏，但一般的实验条
1
1 0C0v1 2 0C0v2 v v1 1 2 2
C0 E
2
C0
E
3 0C0 (v1 v2 ) 1 2 ，v3 v1 v2， 3 v1 v2 1 2 C0
由上述结果可见，两弹性波相互作用时满足叠加原理， 即其结果相当于两弹性波分别作用时结果的线性叠加，这主 要是因为弹性波的控制方程是线性的。
初始状态为自然静止态的线弹性波有：
[v] C0[ ] 若初始状态为均匀场，对于有突跃的情况有： [ ] 0C0[v]
l 求解应力波之间的相互作用，是基于以下几点来考虑：
（1）杆中一维应力纵波基本假设；
（2）应力波作用界面上的质点速度相等的连续条件，和 作用力与反作用力互等条件（在等截面处即简化为 界面两侧应力相等）； （ 3）波阵面上的动量守恒条件、质量守恒条件或应力 -
点位置的 t 图，求出波系图中各区的 、v 解。
分析： （ 1）弹性杆两端受到突加恒值载荷后，分别从两端迎面 传播强间断弹性波（一次波），并在杆正中央相遇，发生内
撞击，形成二次波，分别向杆端两侧反射传播；
图3-1-1
（ 2）左行一次波波阵面过后，杆右端状态逐渐由自然静 止状态转变为参量值对应于 v1 ,1 , 1 的状态。右行一次波波
图3-3-2
根据波阵面上的动量守恒条件，有：
( 0C0 )1 v1 ( 0C0 ) 2 v2 v3 ( C ) ( C ) 0 0 1 0 0 2 v2 v1 3 1 1 ( 0C0 )1 ( 0C0 ) 2
图3-1-6
3-2 弹性波从固定端和自由端的反射
当杆中传播的应力波到达杆的另一端时将发生波的反射，
反射波的性质与边界条件息息相关。
从某种意义上说，边界条件（如固定端或刚壁，自由端） 对于入射波来说，实际上是对入射波波阵面后方状态的一个 新的扰动，这一扰动的传播就形成反射波。 对于弹性波而言，入射波与反射波的总效果可由叠加原
v2 v * 2 2 1 * 0C0 (v1 v*) *
3-2-2 弹性波从自由端的反射 自由端的边界条件为 0 。 [ 例 3-2-2] 设长为 l 的长杆初始状态为自然静止状态，左端施 2l 加突加恒值拉伸载荷v1，杆右端为自由端。要求画出 t C0 时间内的波系图、 v 图，写出右传入射波和左传反射波 的特征线方程，求解波系图中各区的质点速度和应力解值表
度逐渐分别由 1 0, v1 和 2 0, v2 变为 3 , v3 。
波系图中设坐标原点在两杆碰撞面处。 v 图中所给中 的对应于 C01 C02 ， ( 0C0 )1 ( 0C0 )2 的情况。
X (C0 )2 t
X (C0 )1 t
图 3-3-1
l 回顾：对于一维纵波
dX Cdt 沿特征线有： dv Cd d Cdv 0 X C0t v C0 C v 0 0
◆
初始状态为自然静止态的线弹性波有：
◆
波阵面前后（跨过特征线）有：
dX Cdt dv Cd d Cdv 0 X C0t v C0 C v 0 0
点速度和应力解值表达式，并画出某一时刻的 X 图和
某质点位置的 t 图。
[分析] 依题可画出杆的作用示意波系图和
v 图。
图3-2-1
l 弹性波波速为C0，则右传波到达固定端的时间为 t ， C0 2l 左传反射波回到左端面的时间为 t ，右传波的特征线对 C0
应为波系图中的OA，其方程为：
v2 2 C0 E
3 1 0C0 (v3 v1 ) 3区： C (v v ) 3 2 0 0 3 2 3 3 3 v3 v3 v3
v3 v1 C0 ( 3 1 ) v v C ( ) 3 2 0 3 2 v3 v3 v3 3 3 3
X C0t
左传波的特征线对应为AB，其方程为：
l X l C0 t C0 X C0t 2l
各区解如下： 1区： 2区：
1 0C0v1
2 1 0C0 (v2 v1 ) ， v2 0 2 2 1 v 2 0
左传波的特征线对应为AB，其方程为：
l X l C0 t C0 X C0t 2l
各区解如下：
1区：
2区：
1 0C0v1
2 1 0C0 (v2 v1 ) ， 2 0 v2 2v1 2 0
应变关系。
3-1 两个相向传播的弹性波的相互作用 [ 问题 ] 如图所示，一弹性杆，初始状态为静止的自然状态， 左端和右端分别受到突加恒值冲击载荷v1和v2。（设v1 >0，v2 <0，｜v1｜<｜v2｜）
求：波的传播及相互作用情况（波传到杆端发生反射之前），
v 图，和某时刻的 X 图或某质 画出波系图（X-t 图）、
件很难达到，故一般观察到的现象仍是 Hopkinson.J所观察到的结果。
3-3 弹性杆的共轴碰撞
两杆的共轴碰撞是应力波产生并发生相互作用的典型问
题，本节先对半无限长杆之间的碰撞问题进行求解，包括横 截面相等和不等两种情况，再针对有限长杆的问题进行求解。
3-3-1 两半无限长杆的共轴碰撞 [例 3-3-1]如图，两截面完全相同的半无限长杆，其声阻抗分 别为 ( 0C0 )1 和 ( 0C0 )2 ，撞击前杆中应力均为零且无初始应 变，两杆分别以速度v1、v2（> v1）发生碰撞（如图所示）， 画出波系图、 v 图，求解两杆碰撞后杆中的质点速度和应
讨论：
v2 v1 ， 3 21 2 2 则 v3 0 ，
（ 1 ）当 这相当于在刚壁上发生反 射。
（2）当 v2 v1
，
则 v3 2v1 2v2
界面上发生反射。
，
3 0 ， 这 相 当 于 自 由
（3）如果弹性杆初始状态不是自然静止状态，而为一均
匀场σ*、v*和ε*，则有：
阵面过后，杆左端状态逐渐由自然静止状态转变为参量值对
应于 v2 , 2 , 2 的状态。 （ 3）两波相遇后，界面上满足质点速度相等和应力相等 条件，v3 , 3 , 3 所对应的状态逐渐由杆中部向杆两端展开。
解：根据分析可画出波系图（图3-1-2）
图3-1-2
根据波阵面前后的关系可列出相应关系式，并进行求解：
1区： 1 0 0C0 (v1 0) ， v1 0 C0 (1 0)

1 0C0v1
，
v1 1 1 C0 E
2区： 2 0 0C0 (v2 0) ， v2 0 C0 ( 2 0)