结构动力学课件
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体系振动自由度为？ 无限自由度 (忽略 m) 三个自由度
忽略轴向变形 自由度为？单自由度 m 0, EA , R 0
忽略转动惯量
13.1.3 动力计算的自由度
集中质量法：将分布质量集中到某些位置。
无限 有限
例1：
例2：
y2
y y1
EI
EI 2EI
(a)单自由度
(b)两个自由度
13.1.3 动力计算的自由度
静力分析是研究静荷载作用下的平衡问题，结构的质 量不随时间快速运动，因而无惯性力。
动力分析是研究动荷载作用下的运动问题，结构的质 量随时间快速运动，惯性力的影响成为必须考虑的重 要因素。
加速度： 可否忽略
如何考虑
1）牛顿运动定律
第二定律：质点的质量和加速度的乘积，等于作用在质 点上力的大小，加速度的方向与力的方向相同。
例3：
v(t)
例4：
u(t) θ(t)
(c)三个自由度
m(x)
x
y( x, t )
(d)无限自由度
确定体系的振动自由度时，一般忽略梁和刚 架的轴向变形，和集中质量的惯性矩的影响
13.1.3 动力计算的自由度
集中质量法几点注意：
1）体系动力自由度数不一定等于质量数。
x
x
y m1
m2
一个质点 x
两个DOF
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
输出 （动力反应）
输出 （动力反应）
控制系统 （装置、能量）
13.1.2 动力荷载的分类
本课程主要任务是：
求解结构的动力特性；剖析结构动力反应规律，提出
结构在动力反应的分析方法；为结构设计提供可靠的依
据。
《结构动力学》PPT课件
0
P
sin t
计算步骤: 1.求振型、频率;
2.求广义质量、广义荷载;
3.求组合系数;
4.按下式求组合系数;
N
y(t)
Y
i
Di
(t )
i 1
15
例一.求图示体系的稳态振幅.
Psin t
m1 m2 m 3.415 EI / ml3
m1
m2
EI
解:
1 5.692
6
为了使假设的振型尽可能的接近真实振型，尽可能减小假设振型对体系所 附加的约束， Ritz 提出了改进方法：
1、假设多个近似振型 2、将它们进行线性组合
1,2 n 都满足前述两个条件。 Y(x) a1 1 a2 2 an n
（a1、a2、·········、an是待定常数）
j
Y T j
2 j
K
* j
/
M
* j
k Y j
2 j
Y
T j
mY j
折算体系
13
一.振型分解法(不计阻尼)
P1(t) P2 (t)
PN (t)
运动方程
m1 m2
mN
my(t) ky(t) P(t)
设
N
y(t) Yi Di (t)
EI
D2 (t)
2 2
D2
(t )
P2* (t)
/
M
* 2
D2 (t)
0.1054
10 2
Pl 3 EI
s in t
例一.求图示体系的稳态振幅.
P
sin t
计算步骤: 1.求振型、频率;
2.求广义质量、广义荷载;
3.求组合系数;
4.按下式求组合系数;
N
y(t)
Y
i
Di
(t )
i 1
15
例一.求图示体系的稳态振幅.
Psin t
m1 m2 m 3.415 EI / ml3
m1
m2
EI
解:
1 5.692
6
为了使假设的振型尽可能的接近真实振型，尽可能减小假设振型对体系所 附加的约束， Ritz 提出了改进方法：
1、假设多个近似振型 2、将它们进行线性组合
1,2 n 都满足前述两个条件。 Y(x) a1 1 a2 2 an n
（a1、a2、·········、an是待定常数）
j
Y T j
2 j
K
* j
/
M
* j
k Y j
2 j
Y
T j
mY j
折算体系
13
一.振型分解法(不计阻尼)
P1(t) P2 (t)
PN (t)
运动方程
m1 m2
mN
my(t) ky(t) P(t)
设
N
y(t) Yi Di (t)
EI
D2 (t)
2 2
D2
(t )
P2* (t)
/
M
* 2
D2 (t)
0.1054
10 2
Pl 3 EI
s in t
例一.求图示体系的稳态振幅.
结构动力学课件PPT
my cy ky FP (t)
§2-5 广义单自由度体系：刚体集合
➢刚体的集合（弹性变形局限于局部弹性 元件中）
➢分布弹性（弹性变形在整个结构或某些 元件上连续形成）
➢只要可假定只有单一形式的位移，使得 结构按照单自由度体系运动，就可以按 照单自由度体系进行分析。
E2-1
x
p( x,t
)
=p
)
3
B'
M I1
E'
D'
F' G'
A
D
E
B
F
G
C
fD1
fI1
fS1
f D2
f I2
f S2
a
2a
a aa a
Z(t )
f S1
k1(EE')
3 4
k1Z (t )
f D1
d c1( dt
DD')
1 4
c1Z (t )
fS2
k1(GG')
1 3
k2
Z
(t
)
fD2 c2Z (t)
f
I1
m1
1 2
Z(t)
3. 有限单元法
—— 将有限元法的思想用于解决结构的动力计算问题。
要点：
▪ 先把结构划分成适当（任意）数量的单元；
▪ 对每个单元施行广义坐标法，通常取单元的节点位移作 为广义坐标；
▪ 对每个广义坐标取相应的位移函数 （插值函数）；
▪ 由此提供了一种有效的、标准 化的、用一系列离散坐标 表示无限自由度的结构体系。
建立体系运动方程的方法
▪ 直接平衡法，又称动静法，将动力学问题转化为任一时刻 的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性力作为附加的 虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作用在结构上的外荷载， 使体系处于动力平衡条件，按照静力学中建立平衡方程的 思路，直接写出运动方程。
结构动力学课件
m
EI = ∞
W=2
m m>>m梁 m +αm梁 I
厂房排架水平振动 时的计算简图
m 2I
I
单自由度体系 三个自由度体系
v(t) u(t) θ(t)
三个自由度 水平振动时的计算体系
三个自由度 顶板简化成刚性块
多自由度体系
复杂体系可通过加支 杆限制质量运动的办 法确定体系的自由度
§15-2 单自由度体系的运动方程 15建立运动方程的方法很多，常用的有“动静法” 虚功法、 建立运动方程的方法很多，常用的有“动静法”、虚功法、 变分法等。下面介绍建立在达朗泊尔原理基础上的“动静法” 变分法等。下面介绍建立在达朗泊尔原理基础上的“动静法”。 m
P(t )
&&(t ) y
m&&(t ) = P(t ) y
运动方程
m
P(t )
一、柔度法
− m&&(t ) y
惯性力 && 柔度法步骤： 柔度法步骤(t ) f I = −my ： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； P(t ) + [−m&&(t )] = 0 y 2.求外力和惯性力引起的位移； 形式上的平衡方程， 形式上的平衡方程，实质上的运动方程 3.令该位移等于体系位移。
∆
δ 11
P (t )
柔度法步骤： 柔度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求外力和惯性力引起的位移； 3.令该位移等于体系位移。
三、列运动方程例题 例3.
&& my + ky = P(t )
P(t )
P(t )
m
EI1 = ∞
第12章结构动力学 ppt课件
§14-1 概 述
一、结构动力计算的特点 动力荷载作用下，结构将发生振动，各种量值均随时间而变化。
1、内容： （1）研究动力荷载作用下，结构的内力、位移等计算原理和计算方法。 求出它们的最大值并作为结构设计的依据。
（2）研究单自由度及多自由度的自由振动、强迫振动。 2、静荷载和动荷载 （1）静荷载：荷载的大小和方向不随时间变化（如梁板自重）。 （2）动荷载：荷载的大小和方向随时间变化，需要考虑惯性力。 3、特点 (1)必须考虑惯性力。 （2）内力与荷载不能构成静平衡。必须考据惯性力。依达朗伯原理， 加惯性力后，将动力问题转化为静力问题。
动力自由度的确定方法：加附加链杆约束质点位移，最少链杆数即为自 由度
图刚架上有四个集中质点，但只需要加三根链杆 便可限制全部质点的位置。如图e。
自由度=3 或
图示梁，其分布质量集度为m，可看作有无穷多 个mdx的集中质量，是无限自由度结构。
自由度的数目与结构是否静定或超静定无关
§14-2 结构振动的自由度
2、运动方程的解：
方程
y2y0
为一常系数线性齐次微分方程，其通解为
y (t) A 1 co t s A 2sitn
A1和A2为任意常数，可有初始条件来确定。
振动的初始条件为 t 0 时 y y ， 0 ， y y 0
式中y0—初位移， y0—初速度。则有Fra bibliotekA1y0，A2
y0
可得
yy0cots y0si nt
第十四章 结构动力学
§14-1 概 述 §14-2 结构振动的自由度 §14-3 单自由度结构的自由振动 §14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 §14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动 §14-6 多自由度结构的自由振动 §14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 §14-8 振型分解法 §14-9 无限自由度结构的振动 §14-10 计算频率的近似法
第十章结构动力学1 56页PPT文档
5.与其它课程之间的关系
结构动力学以结构力学和数学为基础。 要求熟练掌握已学过的结构力学知识和数学知识（微分方程的求解）。
结构动力学作为结构抗震、抗风设计计算的基础。
2019/9/6
结构力学
§10-2 体系的动力自由度
1.动力自由度的定义
动力问题的基本特征是需要考虑惯性力，根据达朗贝尔（D‘Alembert Jean Le Rond）原理，惯性力与质量和加速度有关，这就要求分析质量分布和质量位 移，所以，动力学一般将质量位移作为基本未知量。
世界上采用被动式TMD的其它代表性建筑有：加拿大多伦多 的CN Tower、日本大阪的Crystal Tower、澳洲悉尼的 Centerpoint Tower、美国纽约的Citicorp Center、日本的明石 海峡大桥 Akashi Kaikyo Bridge ，等等。
§10-1 概述
结构振动控制的工程应用实例
冲击和突加载荷： 其特点是荷载的大小在极短的时间内有较大的变化。冲 击波或爆炸是冲击载荷的典型来源；吊车制动力对厂房的水平作用是典型 的突加荷载。
随机载荷：其时间历程不能用确定的时间函数而只能用统计信息描述。风 荷载和荷载均属此类。对于随机荷载，需要根据大量的统计资料制定出相 应的荷载时间历程（荷载谱）。
第10章 结构动力学
Structural dynamics
§10-1 概述 §10-2 体系的动力自由度 §10-3 单自由度体系运动方程的建立 §10-4 单自由度体系的自由振动 §10-5 单自由度体系的强迫振动 §10-6 多自由度体系的自由振动 §10-7 振型的正交型 §10-8 多自由度体系的强迫振动 §10-9 无限自由度体系的自由振动 §10-10 自振频率的近似计算
结构动力学以结构力学和数学为基础。 要求熟练掌握已学过的结构力学知识和数学知识（微分方程的求解）。
结构动力学作为结构抗震、抗风设计计算的基础。
2019/9/6
结构力学
§10-2 体系的动力自由度
1.动力自由度的定义
动力问题的基本特征是需要考虑惯性力，根据达朗贝尔（D‘Alembert Jean Le Rond）原理，惯性力与质量和加速度有关，这就要求分析质量分布和质量位 移，所以，动力学一般将质量位移作为基本未知量。
世界上采用被动式TMD的其它代表性建筑有：加拿大多伦多 的CN Tower、日本大阪的Crystal Tower、澳洲悉尼的 Centerpoint Tower、美国纽约的Citicorp Center、日本的明石 海峡大桥 Akashi Kaikyo Bridge ，等等。
§10-1 概述
结构振动控制的工程应用实例
冲击和突加载荷： 其特点是荷载的大小在极短的时间内有较大的变化。冲 击波或爆炸是冲击载荷的典型来源；吊车制动力对厂房的水平作用是典型 的突加荷载。
随机载荷：其时间历程不能用确定的时间函数而只能用统计信息描述。风 荷载和荷载均属此类。对于随机荷载，需要根据大量的统计资料制定出相 应的荷载时间历程（荷载谱）。
第10章 结构动力学
Structural dynamics
§10-1 概述 §10-2 体系的动力自由度 §10-3 单自由度体系运动方程的建立 §10-4 单自由度体系的自由振动 §10-5 单自由度体系的强迫振动 §10-6 多自由度体系的自由振动 §10-7 振型的正交型 §10-8 多自由度体系的强迫振动 §10-9 无限自由度体系的自由振动 §10-10 自振频率的近似计算
结构动力学 ppt课件
i (0) i (l ) 0
--基函数（或形状函数） 课件 i ( x)PPT
9
ai ---广义坐标
3) 有限元法 和静力问题一样，可通过将实 际结构离散化为有限个单元的集合， 将无限自由度问题化为有限自由度 来解决。
m
三. 自由度的确定
集中质量法：独立质量位移数即为自由度数； 广义坐标法：广义坐标个数即为自由度个数； 有限元法：独立结点位移数即为自由度数；
第三类问题：荷载识别。
PPT课件
5
第四类问题：控制问题
输入 （动力荷载） 结构 （系统） 控制系统 （装置、能量） 输出 （动力反应）
本课程主要介绍结构的反应分析 任务 讨论结构在动力荷载作用下反应的分析的方法。寻找 结构固有动力特性、动力荷载和结构反应三者间的相互关 系，即结构在动力荷载作用下的反应规律，为结构的动力 可靠性（安全、舒适）设计提供依据。
PPT课件
10
例. 自由度的确定
1) 平面上的一个质点 3) 计轴向变形时 W=2 不计轴向变形时 W=1 W=2 为减少动力自由度，梁与 刚架一般可不计轴向变形。
y2
y1
W=2
2)Βιβλιοθήκη 弹性支座不减少动力自由度PPT课件
11
4)
y1
W=1
5) W=2
6)
EI
W=1
PPT课件
12
§1.4
体系的运动方程
形式上的平衡方程，实质上的运动方程
PPT课件
13
一、柔度法
P(t )
l
EI
m m (t ) y y(t )
=1
11
(t )] 11[ P(t ) m y
结构力学课件—结构动力学
中南大学
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17:04
§14-1 概述
二、动力荷载的分类
1. 周期荷载
结构力学
周期荷载—— 随时间周期地变化的荷载。其中最简单、最重要的是 简谐荷载(按弦或余弦函数规律变化)。 F
r
m
F (t) F t
θ t
o
简谐荷载
l/ 2
l/ 2
非简谐性周期荷载
F (t)
例：打桩时落锤撞击所产生的荷载。
o
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17:04
§14-3 单自由度结构的自由振动
结构力学
（2）柔度法。即列位移方程。当质点m振动时，把惯性力看作静力荷载作用在体 系的质量上，则在其作用下结构在质点处的位移y应当为：
y F111 my11
即
my k11 y 0
同刚度法所得方程
此二阶线性常系数齐次微分方程的通解为：
振动微分方程的建立方法：
（1）刚度法。即列动力平衡方程。设质点m在振动的任一时刻位移为y，取质点 m为隔离体，不考虑质点运动时受到的阻力，则作用于质点m上 的力有： (a) 弹簧恢复力
Fc k11 y
(b) 惯性力
该力有将质点拉回静力平衡位置的趋势，负号表示其方 向恒与位移y的方向相反，即永远指向静力平衡位置。
产生自由振动的原因：结构在振动初始时刻受到干扰。 初始干扰的形式: （1）结构具有初始位移 m （2）结构具有初始速度 Δ st 静平衡位置 （3）上述二者同时存在
yd
结构力学
自由振动：结构在振动进程中不受外部干扰力作用的振动形式。
k11
m
FS (t )
yd
W
FI ( t )
1. 不考虑阻尼时的自由振动
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1) 集中质量法 将实际结构的质量看成（按一定规则）集中在某些 几何点上，除这些点之外物体是无质量的。这样就将无 限自由度系统变成一有限自由度系统。
m
2) 广义坐标法
y ( x) ai i ( x) y ( x) ai i ( x)
i 1 i 1 n
m y ( x)
i (0) i (l ) 0
i ( x) ---基函数（或形状函数）
ai ---广义坐标
3) 有限元法 和静力问题一样，可通过将实 际结构离散化为有限个单元的集合， 将无限自由度问题化为有限自由度 来解决。
m
三. 自由度的确定
集中质量法：独立质量位移数即为自由度数； 广义坐标法：广义坐标个数即为自由度个数； 有限元法：独立结点位移数即为自由度数；
P(t ) P(t )
l Pl/4
l/2
EI
l/2
2l 3 11 3EI
Pl 3 1P 16 EI
2l 3 l3 (t )] 1P (t )] y(t ) 11[m y [m y P(t ) 3EI 16 EI
例3.
P(t )
l
EI
m
EI1
EI
结构动力学
结构动力学
目录
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 绪论 单自由度体系的振动分析(复习) 有限自由度体系的振动分析 实用计算方法 无限自由度体系的振动分析
主要参考书
《结构动力学》克拉夫 王光远等译 科学出版社 《结构动力学》包世华编著 武汉理工大学出版社 《结构动力学基础》张亚辉等编著 大连理工大学出版社 《结构动力学》赵光恒主编 水利水电出版社 《结构动力学》邹经湘主编 哈尔滨工业大学出版社 《DYNAMICS OF STRUCTURES》Anil K.Chopra
简记为
1 (t ) m1 y
1
2 (t ) m2 y
y P m y
加 速 度 向 量
11
21
1
位移 向量
柔度矩阵
荷载向量 质量 矩阵
12
22
4l 3 11 22 243EI
7l 3 12 21 486 EI
§1.3 结构动力分析中的自由度
一. 自由度的定义
确定体系中所有质量位置所需的独立坐标数，称作体 系的动力自由度数。
单自由度体系、有限自由度体系、无限自由度体系 二. 自由度的简化 实际结构都是无限自由度体系，这不仅导致分析困难， 而且从工程角度也没必要。常用简化方法有： 集中质量法 广义坐标法 有限单元法
11
(t )] y(t ) 11[ P(t ) m y
l3 11 48EI
列运动方程时可不考虑重力影响
48EI (t ) 3 y (t ) P(t ) m y l
例5.
y1 (t )
l/3
1 (t )] 12[m2 2 (t )] y1 (t ) 11[ P(t ) m1 y y
三、列运动方程例题
例1. m y(t )
EI EI
y(t )
P(t )
=1
11
P(t )
l
(t ) m y
l
l
2l 3 11 3EI 3EI my (t ) 3 y (t ) P(t ) 2l
例2.
y(t )
m y(t )
l
EI
=1
11
1P
P(t)
(t ) m y
例. 自由度的确定
1) 平面上的一个质点 3) 计轴向变形时 W=2 不计轴向变形时 W=1 W=2 为减少动力自由度，梁与 刚架一般可不计轴向变形。
y2
y1
W=2
2)
弹性支座不减少动力自由度
4)
y1
W=1
5) W=2Biblioteka 6)EI W=1
§1.4
体系的运动方程
要了解和掌握结构动力反应的规律，必须首先建立描述 结构运动的（微分）方程。建立运动方程的方法很多，常用的 有虚功法、变分法等。下面介绍建立在达朗伯原理基础上的 “动静法”。 m
P(t )
(t ) m y
(t )] y(t ) 11[ P(t ) m y
l3 11 3EI
柔度系数
3EI (t ) 3 y (t ) P(t ) m y l
柔度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求外力和惯性力引起的位移； 3.令该位移等于体系位移。
P(t )
(t ) m y y(t )
1
k11
l
k11
12EI / l 3 12EI / l 3
k11 24 EI / l 3
(t ) m y
(t ) k11 y(t ) P(t ) m y
24 EI y (t ) P(t ) 3 l
例4.
P(t )
EI
y (t ) ---P(t)引起的动位移
P(t )
m
(t ) y
(t ) P(t ) m y
运动方程
P(t )
惯性力
(t ) m y
(t )] 0 P(t ) [m y
形式上的平衡方程，实质上的运动方程
一、柔度法
P(t )
l
EI
m m (t ) y y(t )
=1
11
(t )] 11[ P(t ) m y
作业：列图示体系的运动方程
2k
m
EI
M sin t
2b l/2
m
k k
2k
2a
l/2
P(t )
m2 k2 m1 k1
二、刚度法
P(t )
l
EI
m m (t ) y y(t )
1
y
k11
k11 y(t )
(t ) k11 y(t ) P(t ) m y
3EI k11 3 刚度系数 l 3EI (t ) 3 y (t ) P(t ) m y l
k11 11 1
刚度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求发生位移y所需之力； 3.令该力等于体系外力和惯性力之 和。
P(t )
m1
EI
l/3
m2 y2 (t )
l/3
1 (t )] 22[m2 2 (t )] y2 (t ) 21[ P(t ) m1 y y
1 y y1 11 12 P 11 12 m1 0 0 m y y 0 2 2 2 21 22 21 22
结构动力学是研究结构、动荷载、结构反应三者关 系的学科。
当前结构动力学的研究内容为:
第一类问题：反应分析（结构动力计算）
输入 （动力荷载） 结构 （系统） 输出 （动力反应）
第二类问题：参数（或称系统）识别 输入 （动力荷载） 输入 （动力荷载） 结构 （系统） 结构 （系统） 输出 （动力反应） 输出 （动力反应）
§1.2 动荷载及其分类
一.动荷载的定义 大小、方向和作用点随时间变化;在其作用下，结构 上的惯性力与外荷比不可忽视的荷载。 自重、缓慢变化的荷载，其惯性力与外荷比很小，分 析时仍视作静荷载。静荷只与作用位置有关，而动荷是坐 标和时间的函数。
二.动荷载的分类
简谐荷载 周期 非简谐荷载 确定 冲击荷载 非周期 突加荷载 动荷载 其他确定规律的动荷载 风荷载 地震荷载 不确定 其他无法确定变化规律的荷载
st
---重力引起的位移
质点的总位移为
l/2
l/2
m
W
st y(t )
Y (t ) y(t ) st
加速度为
(t ) (t ) Y y
(t ) m y
1
(t )] y(t ) st 11[ P(t ) W m y
st W 11
第一章 绪论
§1.1 结构动力学的研究内容和任务
人类为了生产、生活的需要，需要采用天然或人工 材料建造各种各样的建筑物和构筑物（结构）。这些建 筑物在使用过程中要受到各种外界作用（荷载）。在这 些作用下，结构会产生内力、变形等（反应）。为了节 省造价、保证安全、提高寿命并有效地实现使用功能， 需要控制结构的反应，这就需要研究结构、作用、反应 的关系。
第三类问题：荷载识别。
第四类问题：控制问题
输入 （动力荷载） 结构 （系统） 控制系统 （装置、能量） 输出 （动力反应）
本课程主要介绍结构的反应分析 任务 讨论结构在动力荷载作用下反应的分析的方法。寻找 结构固有动力特性、动力荷载和结构反应三者间的相互关 系，即结构在动力荷载作用下的反应规律，为结构的动力 可靠性（安全、舒适）设计提供依据。