结构动力学_克拉夫(第二版)课后习题
结构动力学_克拉夫(第二版)课后习题
例题E2-1 如图E2-1所示，一个单层建筑理想化为刚性大梁支承在无重的柱子上。
为了计算此结构的动力特性，对这个体系进行了自由振动试验。
试验中用液压千斤顶在体系的顶部（也即刚性大梁处）使其产生侧向位移，然后突然释放使结构产生振动。
在千斤顶工作时观察到，为了使大梁产生0.20in[0.508cm]位移需要施加20 kips[9 072 kgf]。
在产生初位移后突然释放，第一个往复摆动的最大位移仅为0.16 in[0. 406 cm]，而位移循环的周期为1.4 s。
从这些数据可以确定以下一些动力特性：（1）大梁的有效重量；（2）无阻尼振动频率；（3）阻尼特性；（4）六周后的振幅。
2- 1图E2-1所示建筑物的重量W为200 kips，从位移为1.2 in（t=0时）处突然释放，使其产生自由振动。
如果t=0. 64 s时往复摆动的最大位移为0.86 in，试求(a)侧移刚度k；(b)阻尼比ξ；(c)阻尼系数c。
2-2 假设图2- la 所示结构的质量和刚度为：m= kips ·s 2/in ，k=40 kips/in 。
如果体系在初始条件in 7.0)0(=υ、in/s 6.5)0(=υ&时产生自由振动，试求t=1.0s 时的位移及速度。
假设：(a) c=0（无阻尼体系）； (b) c=2.8 kips ·s/in 。
2-3 假设图2- 1a 所示结构的质量和刚度为：m=5 kips ·s 2/in ，k= 20 kips/in ，且不考虑阻尼。
如果初始条件in 8.1)0(=υ，而t=1.2 s 时的位移仍然为1.8 in ，试求：(a) t=2.4 s 时的位移； (b)自由振动的振幅ρ。
例题E3-1 一种便携式谐振荷载激振器，为在现场测量结构的动力特性提供了一种有效的手段。
用此激振器对结构施以两种不同频率的荷载，并分别测出每种情况下结构反应的幅值与相位。
由此可以确定单自由度体系的质量、刚度和阻尼比。
结构动力学
p
图 1 静力荷载作用简支梁
p(t)
惯性力
图 2 动力荷载作用简支梁
以这种方式抵抗结构加速度的惯性力，是结构动力学问题与静力学问题区别的更重要特征。 一般来说， 如果惯性力是结构内部弹性力所平衡的全部外荷载的一个重要部分， 解题时必须 考虑问题的动力特性。 2. 阻尼就是使自由振动衰减的各种摩擦和其他阻碍作用。 当结构的阻尼小鱼结构的临界阻尼时， 一般结构的自由振动振幅不断衰减， 最后振幅降为 0， 结构停止振动。当结构的阻尼大于临界阻尼时，结构的自由振动不会出现震荡，结构的振幅 直接降为 0。 典型结构体系的真实阻尼特性是很复杂和难确定的， 因此通常采用自由振动条件下的具有相 同衰减率的等效粘滞阻尼比ε来表示实际结构的阻尼。并且在建立结构的运动方程时，考虑 阻尼对于结构的作用，采用阻尼与速度的乘积作为结构的阻尼力。
பைடு நூலகம்
1. 答：结构动力问题在以下两个重要方面不同于静力问题。 一、根据定义，动力问题具有随时间变化的性质。由于荷载和反应随时间变化，显然动力问 题不像静力问题那样具有单一的解，而必须建立相应于反应过程全部时间的一系列解答； 二、下图叙述了静力问题和动力问题第二个、并且更重要的问题。如果图 1 所示的简支梁承 受静荷载 P，则它的弯矩、剪力和挠曲线形状直接依赖于给定的荷载，而且可根据力的平衡 原理求得。如果图 2 所示的荷载是动力荷载，则梁所产生的位移将于加速度有联系，而这些 加速度又产生与其反向的惯性力， 梁的弯矩和剪力不仅要平衡外荷载还要平衡由于梁的加速 度所引起的惯性力。
结构力学课后答案第10章结构动力学
解：
若 为静力荷载，弹簧中反力为 。
已知图示体系为静定结构，具有一个自由度。设为B点处顺时针方向转角 为坐标。建立动力方程：
则弹簧支座的最大动反力为 。
10-21设图a所示排架在横梁处受图b所示水平脉冲荷载作用，试求各柱所受的最大动剪力。已知EI=6×106Nm2，t1＝，FP0＝8×104N。
(a)
则同样有： 。
10-9图示结构AD和DF杆具有无限刚性和均布质量 ，A处转动弹簧铰的刚度系数为kθ，C、E处弹簧的刚度系数为k，B处阻尼器的阻尼系数为c，试建立体系自由振动时的运动方程。
*
解：
取DF隔离体， ：
取AE隔离体：
将R代入，整理得：
/
10-10试建立图示各体系的运动方程。
(a)
解：（1）以支座B处转角作为坐标，绘出梁的位移和受力图如下所示。图中惯性力为三角形分布，方向与运动方向相反。
图 图
（1）求结构运动方程
如所示弯矩图，图乘后，
其中 ，稳态解：
所示结构的运动方程为 ，C点最大动位移幅值为
（2）求B点的动位移反应
，
！
B点的动位移幅值为
（3）绘制最大动力弯矩图
图 图
最大动力弯矩图
10-20试求图示集中质量体系在均布简谐荷载作用下弹簧支座的最大动反力。设杆件为无限刚性，弹簧的刚度系数为k。
（2）画出 和 图（在B点处作用一附加约束）
…
（3）列出刚度法方程
， ，
代入 、 的值，整理得：
(b)
解：
图 图
】
试用柔度法解题
此体系自由度为1 。设质量集中处的竖向位移y为坐标。
y是由动力荷载 和惯性力矩 共同引起的。
结构动力学习题解答
Ai )， Ai +1
2πζ 1−ζ 2
1
进一步推导有
δ =
，
结构动力学习题解答
因为 ζ 较小， 所以有
ζ =
δ 。 2π
方法二：共振法求单自由度系统的阻尼比。 （1）通过实验，绘出系统的幅频曲线， 如下图：
单自由度系统的幅频曲线 （2）分析以上幅频曲线图，得到：
β 1, 2 = β max / 2 = 2ζ / 4 ；
Wc = 0 、
W d = − πω
c
A2 、
W f = −π F0 sin α ；
（2） 由机械能守恒定理得，弹性力、阻尼力和激振力在一个周期内所作功为零， 即： 于是 进一步得：
Wc + Wd + W f = 0 ； π F0 sin α - πω c A 2 = 0
A = F0 sin α cω ；
x = Ae − n t sin (ω d t + ϕ ) ；
将其代入方程（6）可以求得：
A= h ;ϕ = 0 ; mω d h e − n t sin (ω d t ) mω d
1 1 J Aω A 2 + J B ω B 2 2 2
C
T=
2⎞ 2⎞ ⎛ 1⎛ ⎜ m ArA ⎟ω A2 + 1 ⎜ mB rB ⎟ω B 2 = 1 (m A + mB )rA 2ω A 2 ； ⎟ ⎟ 2⎜ 2⎜ 4 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
A B D
5
结构动力学习题解答
图 1-36 系统的势能为：
∑ M ,得到系统的运动微分方程；
（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 3、 拉格朗日方程法： 适用范围：所有的单自由度系统的振动。 解题步骤： （1）设系统的广义坐标为 θ ，写出系统对于坐标 θ 的动能 T 和势能 U 的 表 达 式 ； 进一步写求出拉格朗日函数的表达式：L=T-U ； （2）由格朗日方程
结构动力学习题答案
3.4
m2 g k
( m1 + m2 ) u (0) = m2 2 gh
即 u (0) =
i
i
m2 2 gh m1 + m2
动力方程： ( m1 + m2 )( u − ust )′′ + K ( u − ust ) = 0
5 .0 1 = u st 2ξ
(1)
当 w wn = 1 时，发生共振有： Rd 1 =
当 w wn = 1 10 时， Rd 1 =
0 .5 = u st
(1 − 0.1 ) + (2ξ × 0.1)
2 2
1
(2)
2
由式(1),(2)可以解得 ξ = 4.95%
3.6 解：
TR =
[1 − (w w ) ] + [2ξ w w ]
ii
ii
ii
ii
ii
δ Wp = −m2 g sin θ i Lδθ
虚 功原理： δ Ws
+ δ WI + δ W D +δ W p = 0 得：
⎡ m1 + m2 ⎢ mL ⎣ 2
2.6 解：
ii ⎫ ⎧i⎫ m2 L ⎤ ⎧ 0 ⎫ ⎪ u ⎪ ⎡C 0 ⎤ ⎪ u ⎪ ⎡ k 0 ⎤ ⎧ u ⎫ ⎧ +⎢ ⎨ i ⎬+ ⎢ ⎨ ⎬=⎨ ⎬ ⎥ ⎥ 2 ⎥ ⎨ ii ⎬ m2 L ⎦ ⎪ ⎪ ⎣ 0 0 ⎦ ⎪ ⎪ ⎣ 0 0 ⎦ ⎩θ ⎭ ⎩−m2 g sin θ i L ⎭ ⎩θ ⎭ ⎩θ ⎭
结构动力学习题解答
由
d (T + U ) = 0 得系统运动微分方程 dt
1 (m 2 ⎛ ̇̇ A + ⎜ K + m B )r A 2 ϕ ⎜ ⎝ + K
A
A
B
rA 2 ⎞ ⎟ϕ rB 2 ⎟ ⎠
A
= 0；
因此系统的固有频率为：
⎛ r 2 2⎜ K A + K B A 2 ⎜ rB ⎝ (m A + m B )rA 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ r 2 2⎜ K A + K B A 2 ⎜ rB ⎝ (m A + m B ) ⎞ ⎟ ⎟ ⎠
̇̇ + 3C θ ̇ + 6 K θ = 6 F sin ω t θ m m mL
(2)
6
结构动力学习题解答
令 2n =
3C 6K 6F ;ω n2 = ;h = ; m m mL
得
̇̇ + 2nθ ̇ + ω 2θ = h sin ω t θ n
（3）
设方程（3）的稳态解为
x = A sin(ω t − α )
̇̇ = hδ ( t ) ； θ 0
然后积分求初始速度
̇̇ d t = θ̇0 = θ 0
0+ 0+ 0+
∫
0
∫ hδ ( t ) d t = h ∫ δ ( t ) d t = h
0 0 0+
；
再积分求初位移
̇̇ d t == h )d t = 0 ； θ0 = θ 0
0+
∫
0
∫
0
̇̇ 、 θ̇ 和 θ 的瞬态响应 这样方程（6）的解就是系统对于初始条件 θ 0 0 0
[美]R.克里夫《结构动力学》补充详解及习题解
前言结构动力学是比较难学的一门课程，但是你一旦学会并且融会贯通，你就会为成为结构院士、大师和总工垫定坚实的基础。
结构动力学学习的难点主要有以下两个方面。
1 概念难理解，主要表现在两个方面，一是表达清楚难，如果你对概念理解的很透彻，那么你写的书对概念的表述也会言简意赅，切中要害（克里夫的书就是这个特点），有的书会对一个概念用了很多文字进行解释，但是还是没有说清楚，也有的书受水平限制，本身表述就不清楚。
二是理解难，有点只可意会不可言传的味道，老师讲的头头是道，自己听得云山雾绕。
2 公式推导过程难，一是力学知识点密集，推导过程需要力学概念清析，并且需要每一步的力学公式熟悉；二是需要一定的数学基础，而且有的是在本科阶段并没有学习的数学知识。
克里夫《结构动力学》被称为经典的结构动力学教材，但是也很难看懂。
之所以被称为经典，主要就是对力学的概念表达的语言准确，概念清楚。
为什么难懂呢？是因为公式的推导过程比较简单，省略过多。
本来公式的推导过程既需要力学概念清楚也需要数学公式熟悉，但是一般人不是力学概念不清楚，就是数学公式不熟悉，更有两者都不熟悉者。
所以在学习过程中感觉很难，本学习详解是在该书概念清楚的基础上，对力学公式推导过程进行详细推导，并且有的加以解释，帮助你在学习过程中加深理解和记忆。
达到融会贯通，为你成为结构院士、大师和总工垫定坚实的基础。
以下黑体字是注释，其它为原书文字。
[美] R∙克里夫《结构动力学》辅导学习详解第1章结构动力学概述… …第Ⅰ篇单自由度体系第2章基本动力体系的组成… …§2-5 无阻尼自由振动分析如上一节所述，有阻尼的弹簧-质量体系的运动方程可表示为mv̈(t)+cv̇(t)+kν(t)=p(t)（2-19）其中ν(t)是相对于静力平衡位置的动力反应；p(t)是作用于体系的等效荷载，它可以是直接作用的或是支撑运动的结构。
为了获得方程（2-19）的解，首先考虑方程右边等于零的齐次方程，即mv̈(t)+cv̇(t)+kν(t)=0（2-20）mv(t)+kν(t)=0（2-20a）此处公式应该为mv(t)+kν(t)=0，因为该节是无阻尼自由振，而且（2-20）的解，式（2-21）也是公式mv(t)+kν(t)=0的解在作用力等于零时产生的运动称为自由振动，现在要研究的即为体系的自由振动反应。
机械动力学第二版第一章习题答案.
1.解：根据势能相等原理：则系统的等效刚度为2解：分别对圆盘左右两边的轴求刚度，由于两轴并联，所以系统的等效刚度：。
3解：有材料力学得，中间点的静挠度为：所以固有角频率为：。
则，于是只需要求出系统的等效质量即可。
有材料力学得：设中间点的挠度为，令物体m在振动过程中的最大速度为：。
于是梁上各点的最大运动速度为：。
中间点的最大动能为：系统的最大动能为：系统的等效质量为：将该式子带入到4.解：在空气中： (1在液体中有系统的振动方程：（2）(3结合(1(3可得：将上式变形后得：5解质量m产生的离心惯性力是。
它在L法线方向的分量（是摆线与O之间的夹角）由几何关系可以得到：（是摆线与水平线之间的夹角）当摆角很小时有：质量m的切向加速度：，（是摆线与质量到O连线的夹角）二力对点取力矩的合力应等于零。
整理后得到（1）无阻尼受迫振动方程为：（2）将（1）（2）对比后得到：系统的固有角频率为：6解：杆与水平面的夹角为，则利用等效质量和等效刚度先把原系统简化到B 点，根据简化后动能相等。
简化前后势能相等。
固有频率：7解：在临界位置系统的自由振动方程的解为：其中，到达平衡位置时，令带入相关数据得8解：在临界点状态时系统的自由度振动方程解为：其中（1）（2）到达平衡位置时，由（1）可得令带入相关数据得到达最远位置时，由（2）可得带入到（1）可得9解：系统的振动方程为其解为式中常数由初始条件确定，利用（1）可得带入（1）得初始响应为：（2）由已知条件可知，。
带入（2）近似得到。
式子中固有频率为，10解:有图示可得F（t）的方程式由傅里叶级数求各项系数分别为将带入。
系统的振动方程为：其中解方程后得：。
结构动力学作业答案（royr.craig）
结构动⼒学作业答案（royr.craig）P2.3 解答2.3 如图所⽰，刚性梁AB 受到弹簧BC 的激励。
C 点的运动⽅程为z (t )。
试⽤B 点的位移u 为变量来推导系统的运动⽅程。
假设为⼩运动，采⽤⽜顿定律来求解。
解：1. 画⾃由体受⼒图2. 列⼒矩平衡⽅程∑=0AM根据受⼒分析，可知：022211=+---L f Lf L f M c I3. ⼒与位移关系弹簧⼒2/11u k f =；阻尼⼒2/11u c f c =；弹簧⼒)(22u z k f -= 惯性⼒矩ML u dl Ll M u l uL l dl L M l a dm M L LLI 31)()(02200==??=??=4. 将⼒与位移关系代⼊到⼒矩平衡⽅程，并化简：z k u k k u c u M 2211)41(4131=+++P2.13 解答2.13 ⼀根均匀的杆的质量密度为ρ，其杆端有⼀集中质量M 。
应⽤假定振型法（L x x /)(=ψ）推导如下系统的轴向⾃由振动的运动⽅程。
解：1. 形函数及⼏何边界条件0),0(=t U )()(),(t u x t x U ψ=2. 建⽴虚功⽅程0'=+-=inertia nc W V W W δδδδ因为没有外⼒，所以0=nc W δu LAEudx L u L u AE Udx AEU V LL δδδδ===?)'( 对于惯性⼒⽽⾔，其虚功包括杆本⾝的虚功1inertia W δ和杆端集中质量的虚功2 inertia W δ。
u uALdx x Lu u A Udx UA W LLinertia δρδρδρδ 3)(02201-=-=-=?u u M t L U t L UM W inertia δδδ -=-=),(),(2 3. 化简0)3(=++-u u L AE u M ALδρ因为u δ为虚位移，即0≠u δ，所以运动⽅程为0)3(=++u L AEu M AL ρP3.7 解答3.7 ⼀台机器的质量为70kg ，安装在弹簧上，弹簧的总刚度为15kN/m ，总阻尼为1.2kN.s/m 。
结构动力学习题解答(三四章)
第三章 多自由度系统3.1试求图3-10所示系统在平衡位置附近作微振动的振动方程。
图３－１０解：〔1〕系统自由度、广义坐标图示系统自由度N=2，选x1、x2和x3为广义坐标； 〔2〕系统运动微分方程根据牛顿第二定律，建立系统运动微分方程如下：;)(;)()(;)(34233332625323122222121111x K x x K x m x K x K x x K x x K xm x x K x K xm ---=------=---= 整理如下;0)(;0)(;0)(3432333332653212222212111=++-=-++++-=-++x K K x K xm x K x K K K K x K xm x K x K K xm 写成矩阵形式;000)(0)(0)(00000321433365322221321321⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+++--++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡x x x K K K K K K K K K K K K x x x m m m 〔1〕 〔3〕系统特征方程设)sin(,)sin(,)sin(332211ϕωϕωϕω+=+=+=t A x t A x t A x 代入系统运动微分方程〔1〕得系统特征方程;000)(0)(0)(321234333226532222121⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+---+++---+A A A m K K K K m K K K K K K m K K ωωω〔2〕 〔4〕系统频率方程系统特征方程〔2〕有非零解的充要条件是其系数行列式等于零， 即;0)(0)(0)(234333226532222121=-+---+++---+ωωωm K K K K m K K K K K K m K K展开得系统频率方程;0))(())(()))(())(()((21212323432223432265322121=-+--+--+-+++-+ωωωωωm K K K m K K K m K K m K K K K m K K进一步计算得;0;0)()())()(()))(())((())()()(()()()()())(()())(())(())()(())(())(()))(()()())((())(())(()))(())(()((02244662123432265324321236532214321231233224316532214332216321231232123232243226321421434322124321243165322165324323653221653243212121232343222343421221265322165322121212323432223432265322121==++++-+-+++++++++++-++-+++++++++++-=++-++--++++++-++++++++-++++-+++++=-+--+--+++-+++-++++=-+--+--+-+++-+a a a a K K K K K K K K K K K K K K m K K K K K K K K K K m m m K m K m m K K K K m m K K m m K K m m m m m K K K K m K K K K m m m m m K K m m K K K K K K m m m K K K K m K K K K K K m K K K K K K K K K K K K K K m K K K m K K K m K K m m K K m K K K K m K K K K K K m K K K m K K K m K K m K K K K m K K ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω (3)其中;3216m m m a -= ;)()()(316532214332214m m K K K K m m K K m m K K a +++++++=;))(())((36532214321231233222m K K K K K K K K K K m m m K m K a ++++-++-+=);()())()((21234322653243210K K K K K K K K K K K K K K a +-+-+++++=求解方程〔3〕得系统固有频率;)3,2,1(),,,,,,,,,(654321321==i K K K K K K m m m f i i ω 〔4〕 〔5〕系统固有振型 将系统固有频率代入系统特征方程〔2〕得系统固有振型， 即各阶振型之比：)3(3)3(1)3(3)3(2)3(1)3(2)2(3)2(1)2(3)2(2)2(1)2(2)1(3)1(1)1(3)1(2)1(1)1(21,1;1,1,1,1A A A A A A A A A A A A ======γγγγγγ 〔5〕 〔6〕系统振动方程)sin()sin()sin()sin()sin()sin(33)3(1)3(3)3(1)3(2)3(122)2(1)2(3)2(1)2(2)2(111)1(1)1(3)1(1)1(2)1(133)3(3)3(2)3(122)2(3)2(2)2(111)1(3)1(2)1(1321ϕωγγϕωγγϕωγγϕωϕωϕω+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧==+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧t A A A tA A A tA A A t A A A t A A A t A A A x x x 〔6〕在方程〔6〕中含有6个待定常数：)1(1A 、)2(1A 、)3(1A 、1ϕ、2ϕ和3ϕ。
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例题E2-1 如图E2-1所示，一个单层建筑理想化为刚性大梁支承在无重的柱子上。
为了计算此结构的动力特性，对这个体系进行了自由振动试验。
试验中用液压千斤顶在体系的顶部（也即刚性大梁处）使其产生侧向位移，然后突然释放使结构产生振动。
在千斤顶工作时观察到，为了使大梁产生0.20in[0.508cm]位移需要施加20 kips[9 072 kgf]。
在产生初位移后突然释放，第一个往复摆动的最大位移仅为0.16 in[0. 406 cm]，而位移循环的周期为1.4 s。
从这些数据可以确定以下一些动力特性：（1）大梁的有效重量；（2）无阻尼振动频率；（3）阻尼特性；（4）六周后的振幅。
2- 1图E2-1所示建筑物的重量W为200 kips，从位移为1.2 in（t=0时）处突然释放，使其产生自由振动。
如果t=0. 64 s时往复摆动的最大位移为0.86 in，试求(a)侧移刚度k；(b)阻尼比ξ；(c)阻尼系数c。
2-2 假设图2- la 所示结构的质量和刚度为：m= kips ·s 2/in ，k=40 kips/in 。
如果体系在初始条件in 7.0)0(=υ、in/s 6.5)0(=υ&时产生自由振动，试求t=1.0s 时的位移及速度。
假设：(a) c=0（无阻尼体系）； (b) c=2.8 kips ·s/in 。
2-3 假设图2- 1a 所示结构的质量和刚度为：m=5 kips ·s 2/in ，k= 20 kips/in ，且不考虑阻尼。
如果初始条件in 8.1)0(=υ，而t=1.2 s 时的位移仍然为1.8 in ，试求：(a) t=2.4 s 时的位移； (b)自由振动的振幅ρ。
例题E3-1 一种便携式谐振荷载激振器，为在现场测量结构的动力特性提供了一种有效的手段。
用此激振器对结构施以两种不同频率的荷载，并分别测出每种情况下结构反应的幅值与相位。
由此可以确定单自由度体系的质量、刚度和阻尼比。
在一个单层建筑上做这种测试，激振器工作频率分别为s rad /161=ϖ和s rad /251=ϖ，每种情况下力的幅值均为500 lbf[226.8 kgf]。
测出两种情况下的反应幅值和相位为ρ1=7.2x10-3 in[18.3x10-3 cm]，o 151=θ，966.0cos 1=θ，259.0sin 1=θ ρ2=14.5x10-3in[36.8x10-3cm]，o 552=θ，574.0cos 2=θ，819.0sin 2=θ例题E3-2 混凝土桥梁有时将由于蠕变而产生挠度，如果桥面由一系列等跨度的梁组成，当车辆在桥上匀速行驶时，这些挠度将产生谐波干扰。
当然，车辆弹簧和冲击减震器的设计意图就是作为一个隔振体系，用以限制来自路面传给乘客的竖向运动。
图E3-1展示了这种体系的高度理想化的模型，图中车辆重量是4000 lbf[1814 kgf]，弹簧刚度由试验确定。
试验结果为加100 lbf[45. 36 kgf]将产生0. 08 in[0.203 cm]的挠度。
用一个波长为40 ft[12. 2 m]（梁的跨度）、（单）幅值为1.2 in[3. 05 cm]的正弦曲线代表桥的剖面，当车辆以45 mi/h[72.4 km/h]的速度行驶并假定阻尼为临界阻尼的40%时，要求利用这些数据预测一下车辆的稳态竖向运动。
例题E3-3 一个往复式机器重20000 lbf[9072 kgf]，已知当机器的运转速度为40 Hz 时，产生幅值为500 lbf[226.5 kgf]的竖向谐振力。
为了限制这个机器对所在建筑物的振动，在它矩形底面的四角各用一个弹簧支承。
设计者想要知道，为了使机器传给建筑物的全部谐振力限制80 lbf[36.3 kgf]，所需采用的弹簧刚度应该为多少。
例题E3-4 单自由度体系频率-反应试验所得的数据已画在图E3-2中。
计算阻尼比所需的数据也示于图中。
曲线绘出后，分析的步骤如下：3-1 假定图2- 1a 所示的基本结构无阻尼，并在频率比8.0=β下承受谐振干扰，试绘出既包含稳态又包括瞬态效应的反应比R(t)的曲线。
计算反应时采用增量o 80t =∆ϖ，连续分析10个增量。
3-2 假定图2-1a 所示的基本体系具有如下特性：m=2 kips ·s 2/in 和k= 20 kips/in ，如果体系承受从静止条件开始的共振简谐荷载()ωϖ=，试确定四周后()πϖ8=t 反应比R(t)的值。
假设： (a) c= 0[用式(3- 38)]；(b) c=0.5 kips. s/in[用式(3-37)]；(c) c=2.0 kips. s/in[用式(3-37)]。
3-3 除假定梁跨度减小到L=36 ft外，车辆和桥梁结构都和例题E3-2一样。
试确定：(a)车辆的速度为多少时将在车辆弹簀体系内产生共振；υ；(b)在共振时竖向运动的总振幅tmaxυ。
(c)在速度为45 mi/h时，竖向运动的总振幅tmax3-4 一个安装有精密仪器的支架放置在试验室的地板上，而地板以20 Hz的频率作竖向振动，振幅为0.03 in。
如果支架的重量为800 lbf，试确定为使支架的竖向运动振幅减小到0.005 in所需隔振系统的刚度。
3-5 一个重6500 lbf 的筛分机，当满载运行时将在其支承上产生12 Hz 700 lbf的谐振力。
当把机器安装在弹簧式隔振器上后，作用于支承上的谐振力幅值减小到50 lbf。
试确定隔振装置的弹簧刚度k。
3-6 图P3- la 所示的结构可理想化为图P3-1b 所示的等效体系。
为了确定这个数学模型的c 和k 值，按图P3- 1c 对混凝土柱子进行了谐振荷载试验，当试验频率为s rad /10=ϖ时，得到如图P3- ld 所示的力-变位（滞变）曲线，根据这些数据： (a)确定刚度k ；(b)假定为粘滞阻尼机理，试确定名义粘滞阻尼比ξ和阻尼系数c ； (c)假定为滞变阻尼机理，试确定名义滞变阻尼系数ζ。
3-7 用频率s rad /20=ϖ重做习题3-6中的试验，并假设所得到的力-变位曲线（图P3- ld ）不变，在这种情况下：(a)试确定名义粘滞阻尼值ξ和c ； (b)试确定名义滞变阻尼系数ζ；(c)根据这两次试验（s rad /10=ϖ和s rad /20=ϖ），试问用哪种阻尼机理显得更合理——粘滞阻尼还是滞变阻尼？3-8 如果习题3-6中体系的阻尼确实用图P3-1b 所示的粘滞阻尼器来提供，试求用：s rad /20=ϖ进行试验时所得E D 的值为多少？例题E4-1作为一个受周期性荷载作用结构反应的分析例子，研究图E4-1所示的体系和荷载。
此时荷载由简单正值的正弦半波函数组成。
4-1 图P4-1所示周期荷载的表达式如下所示，试用式(4 - 3)的方法确定系数a n 和b n ，将周期荷载表示成式(4- 1)形式的Fourier 级数。
4-2 对如图P4-2所示周期荷载，重做习题4-1。
4-3 假定结构有10%的临界阻尼，试求解例题E4-1的问题。
4-4 类似于图3-6那样，按规定比例建立一个表示作用力、稳态惯性力、阻尼力和弹性恢复力矢量的Argand 图。
假定结构具有15%的临界阻尼，承受谐振荷载()()t i p p t ϖexp 0=作用，其中()ωϖ5/6=（也即5/6=ω），在4/πϖ=t 时绘制图形。
4-5 周期荷载如图P4-3所示，可用如下级数表示()∑∞==1n sin t b p n n t ϖ 其中：()n n n p 12b 0−−=π对此荷载的一个完整周期，仅考虑级数的前四项，计算时的时间增量取为o 30=∆t ϖ，绘制图E4-la 所示结构稳态反应。
例题E5-1 作为一个利用上述反应谱（或震动谱）计算在冲击荷载下单自由度结构最大反应的例子，讨论图E5-1所示承受三角形冲击波荷载的单层建筑物体系的最大弹性力。
例题E5- 2 作为应用这个近似公式的一个例子，讨论图E5-2的结构在所示冲击荷载下的反应。
5-1 考察图2-1a中具有如下特性的基本动力体系：W= 600 lbf（m= W/g）而k=1000 lbf/in。
假定体系承受幅值为p0 = 500 lbf，持续时间为t1=0.15 s的半正弦冲击波（图5-2）。
试确定：(a)最大反应出现的时间；(b)由这个荷载引起的最大弹簧力；利用图5-6获得的结果来校核这个结果。
5-2 从零线性增大到峰值的三角形脉冲可用p (t)= p 0 (t/t 1)表示(0<t<t)，(a)试推导在此荷载作用下从“静止”条件开始的单自由度结构反应的表达式； (b)如果ωπ/31=t ，试确定由此荷载引起的最大反应比kp R /0maxmax υ=。
5-3 一个四分之一余弦波脉冲用下式表示()t p p t ϖcos 0= ϖπ20<<t (a)试推导从静止开始由此脉冲荷载引起的反应表达式； (b)如果ωϖ=，试确定最大反应比kp R /0maxmax υ=5-4 图2-la 所示基本的单自由度体系，其特性为k= 20 kips/in ，m=4 kips ·s 2/in ，承受图5-5所示的三角形脉冲，其中p 0=15 kips ，t 1=0. 15T 。
(a)利用图5-6的震动反应谱，试确定最大弹性力max s f ；(b)利用式(5- 21)，近似地计算最大位移和弹簧力，并与(a)所得结果比较。
5-5 图P5- la 所示的水塔可当作单自由度结构来处理，它具有如下特性：m=4 kips ·s 2/in ，k= 40 kips/in 。
由于爆炸的结果，水塔承受的动力荷载时程如图P5- 1b 所示。
利用式(5- 21)近似计算水塔基底的最大倾覆力矩M 0，并借助Simpson 法则计算冲量积分()∫++++∆=432104243dt p p p p p tp例题E6-1 现在来计算一个承受冲击波荷载的水塔的动力反应，以便说明根据式(6-14)求无阻尼时域反应的数值方法。
图E6-1给出了结构和冲击波荷载的理想化模型。
在数值积分中所用的时间增量为s 005.0=∆τ例题E6-2为了说明在Duhamel积分数值计算中可以包括阻尼，重新分析图E6-1所示阻尼比为5%(ξ=0.05)的体系的反应。
对于这个小阻尼体系来说，其阻尼频率可以认为等于无阻尼频率。
6-1 图P6-la 所示的无阻尼单自由度体系承受图P6- 1b 所示的半正弦波的荷载。
取s 1.0=∆τ，试用Duhamel 积分的数值计算法计算0<t<0.6s 的弹性力时程： (a)用简单求和；(b)用梯形法则；(c)用Simpson 法则。