建筑结构力学 结构动力学-习题解答

ω12 = 7.965EI / ml 3
2 ω 2 = 65.53EI / ml 3
无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。如果仍然显示红色 “x” ，则可能需要删除该图像，然后重新将其插入。
ω1 = 2.822 EI / ml 3
8-4.试求图示刚架的自振频率和振型。 4.试求图示刚架的自振频率和振型。 试求图示刚架的自振频率和振型 按对称振型振动 按反对称振型振动
m
EI m y2 y1 EI
l/2
l/2 l/2
m
EI
l/2
l/2 l/2
m
l/2
l/2
m
EI
l/8 =1 l/8 =1 l/8 l/2
m
=1 5l/32 =1 3l/16 l/2
1 令 δ 11m1ω 2 1− λ −1/ 2 =0 −1/ 4 1/ 3− λ
λ=
x11 / x21 = −3.277; x12 / x22 = 0.61
1 1 {X }1 = ; {x}2 = − 0.305 1.639
λ2 − 4λ / 3 + 5 / 24 = 0
ξ=
1 ln 10 = 0.0366 2π ×10
8-1试求图示梁的自振频率和振型。 试求图示梁的自振频率和振型。
无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。如果仍然显示红色 “x”，则可能需要删除该图像，然后重新将其插入。
m
y1 (t )
1 l3 1 ( + )m 48EI 2k
1 l3 1 T = 2π ( + )m 48 EI 2k
试求图示体系质点的位移幅值和最大弯矩值。 7-3 试求图示体系质点的位移幅值和最大弯矩值。 已知 θ = 0.6 ω l 解：
m
y1 (t )
EI=常数
F sin θt P
FP l yst = EI
8-2.试求图示刚架的自振频率和振型 2.试求图示刚架的自振频率和振型 解:δ11mω 2 X1 + δ12 2mω 2 X 2 = X1
m
EI
y1
m
y2
mω2 X1
2mω2 X2
X1
δ 21mω 2 X1 + δ 22 2mω 2 X 2 = X 2 l EI X2 2 令 λ = 1 / δ 11m1ω l 2δ12 l (1− λ) X1 + X2 = 0 δ 21 δ11 δ 11 δ 12 δ 22 δ 21 δ 22 X1 + (2 − λ) X 2 = 0 δ11 δ11 l 3 1 l δ 12 = δ 21 = EI EI 2 EI ω1 = 0.749 ;ω2 = 2.140 3 3 ml ml3 1 l δ 22 = 3 EI 2.23 X11 3/ 4 =− = 2.23 {X }1 = ; X 21 1− λ1 1
k22 = 21×10 N / m
k11 − mω 1 kδ21
2
k12 k22 − m2ω
2
EI1 = ∞
=0
i1
i1
y1
4m
0.012ω 4 − 7.62ω 2 + 630 = 0
k12 =0 2 k22 − m2ω
2ω 4 − 147ω 2 + 1044 = 0
X11 X = 0.4612; 12 = −4.336 X 21 X 22
无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。如果仍然显示红色 “x”，则可能需要删除该图像，然后重新将其插入。
λ1 = 1.336
λ2 = 0.1637
X12 3/ 4 =− = −0.897 X 22 1− λ2
− 0.897 {X }2 = 1
8-3.试求图示梁的自振频率和振型。 3.试求图示梁的自振频率和振型。 试求图示梁的自振频率和振型
l =100cm, mg =1000N, I = 68.82cm4 , E = 2×105 MPa 按对称振型振动 m EI m 3 l m δ11 = = 0.662×10−7 EI l/2 l/2 l/2 l/2 l/2 l/2 ω = 384.75 1/ s
ω1 = EI / ml3
ω2 =13.856 EI / ml3
1 {X}1 = −1
1 {X}2 = 1
l3 δ11 = 192EI
l3 δ11 = EI
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ω =13.856 EI / ml
ω = EI / ml3
8-5.试求图示刚架的自振频率和振型。 5.试求图示刚架的自振频率和振型。 试求图示刚架的自振频率和振型 2m
EI
m
刚性杆
l
l/2
由水平杆的平衡： 由水平杆的平衡：
∑F
x
2
=0
l
A 12 EI 2 mAω + mω = 3 A 2 l mAω 2A EI 2 ω =8 3 ml EI ω = 2.828 ; 3 ml
2m
mAω
12 EI A 3 l
2
mAω 2 / 2
o
A 2 2m ⋅ ⋅ ω 2
2m ⋅ A 2 ⋅ω 2
m
EI = 常数
l/2 l/2
l
l / 16
l / 32
11 l 3 δ 11 = ; 1536 EI
1536 EI ω = ; 3 11 ml
2
9l / 64 (a) 5l / 32 l/2
EI ω = 11.817 ; 3 ml
ml3 ; T = 0.531 EI
(b)
7-1（c)试求图示体系的自振频率与周期。 c)试求图示体系的自振频率与周期。 试求图示体系的自振频率与周期 解 由右面竖杆的平衡可求出铰处约束力。 由右面竖杆的平衡可求出铰处约束力。
ml3 ; T = 2.22 EI
A/ 2
7-1（d)试求图示体系的自振频率与周期。 d)试求图示体系的自振频率与周期。 试求图示体系的自振频率与周期 解
m
EI1 = ∞
m EI l EI l
6 EI k11 = 3 l
k11 6EI EI ω = = =3 3 3 m 2ml ml
2
EI ω = 1.732 ; 3 ml
EI a a a
2m
y2 (t )
解
a
1 a3 δ 12 = δ 21 = − 4 EI
[I ] −ω2[δ ][m]
=0
m2δ12 δ11m −1/ ω2 1 =0 2 mδ21 δ22m2 −1/ ω 1
λ1 = 1.153
a/2 λ2 = 0.181
无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。如果仍然显示红色 “x”，则可能需要删除该图像，然后重新将其插入。
60 1 = −1.923 µ= 2 2 1 −θ / ω
A = yst µ = Pδ 11µ = −16.326 ×10 −4 m
M d max Pl = µ = 5.769 ×103 N .m 4
(b)阻尼比 (b)阻尼比 ξ = 0.05
µ=
1 (1 − β ) + 4ξ β
2 2 2 2
= 1.8726
=1 5l/32 =1 按反对称振型振动 l/2 3l/16
ω1 = 254.45 1/ s ω2 = 384.75 1/ s
1 {X}1 = −1 1 {X}2 = 1
m
l/2
l/2
l3 δ11 = = 0.0151×10−5 48EI
=1 l/4
ω = 254.45 1/ s
7-1（a)试求图示体系的自振频率与周期。 a)试求图示体系的自振频率与周期。 试求图示体系的自振频率与周期 解
m EI
l
y1 (t )
5 l3 δ 11 = ; 48 EI
l/2
l/2
EI ω = 3.098 ; 3 ml
ml T = 2.027 ; EI
3
l/2 l/4
7-1（b)试求图示体系的自振频率与周期。 b)试求图示体系的自振频率与周期。 试求图示体系的自振频率与周期 求柔度系数： 解: 求柔度系数：用位移法或力矩分配法 求单位力作用引起的弯矩图（ 求单位力作用引起的弯矩图（图a); 将其与图b图乘， 将其与图b图乘，得
图示梁跨中有重量为20kN的电动机，荷载幅值P=2kN 机器转速400r/min 20kN的电动机 P=2kN， 400r/min， 7-4 图示梁跨中有重量为20kN的电动机，荷载幅值P=2kN，机器转速400r/min， 梁长l=6m 试求梁中点处的最大动位移和最大动弯矩。 =6m。 EI =1.06×104 kN.m2,梁长 =6m。试求梁中点处的最大动位移和最大动弯矩。
1 l3 63 = = 4.245 ×10 −7 m / N 解： δ 11 = 48 EI 48 ×1.06 ×107
1 9.8 = = 1154(1 / s 2 ) ω2 = 3 −7 mδ11 20 ×10 × 4.245×10
l/2
EI=常数
Psin θt
m
l/2
ω = 33.97(1 / s) 2π × 400 θ= = 41.888(1 / s)
y2
l
2 EI
k11 = 60EI / l 3 k22 = 27EI / l
3
k12 = k21 = −24EI / l 3
EI
EI1 = ∞
EI1 = ∞
m
2 EI
y1
2 EI
l
k11 − mω2 1 kδ21
无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。如果仍然显示红色 “x”，则可能需要删除该图像，然后重新将其插入。
ml3 T = 3.626 ; EI
7-1（e)试求图示体系的自振频率与周期。 e)试求图示体系的自振频率与周期。 试求图示体系的自振频率与周期 解
1 l 1 δ 11 = + 48 EI 2k
3
m k EI l/2 k l/2
ω2 =
1 = mδ11
1 l3 1 ( + )m 48EI 2k
1 ω = = mδ11
无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。如果仍然显示红色 “x”，则可能需要删除该图像， 然后重新将其插入。 无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。如果仍然显示红色 “x”，则可能需要删除该图像，然后重新将其插入。
无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。如果仍然显示红色 “x”，则可能需要删除该图像，然后重新将其插入。
8-6.试求图示刚架的自振频率和振型。设楼面质量分别为m1=120t和m2=100t, 6.试求图示刚架的自振频率和振型。设楼面质量分别为 试求图示刚架的自振频率和振型 和 , 柱的质量已集中于楼面，柱的线刚度分别为i 柱的质量已集中于楼面，柱的线刚度分别为 1=20MN.m和i2=14MN.m,横梁 和 , 刚度为无限大。 刚度为无限大。 m2 6 6 k12 = k21 = −21×10 N / m y2 k11 = 51×10 N / m EI1 = ∞ i2 i2 4m 6 m1
A = yst µ = Pδ 11µ
= 30 ×103 × 4.245 × 10 −7 × 2 = 0.02547m
某结构在自振10个周期后，振幅降为原来初始位移的10% 10个周期后 7-6 某结构在自振10个周期后，振幅降为原来初始位移的10% 初位移为零），试求其阻尼比。 ），试求其阻尼比 （初位移为零），试求其阻尼比。 解：
3
µ=
1 1−θ / ω
2 2
= 1.5625
3
2l
2l
FP l 位移幅值 A = y st µ = 1.5625 EI 5 l3 δ 11 = 3 EI
mθ 2 A = 0.3375FP M d max = 1.169 FP l
yst
FP
FP l
= 1 δ 11
l/2
0.3375FP FP
l/2
1.169 FP l
A = yst µ = Pδ 11µ = 15.898 ×10 −4 m
M d max Pl = µ = 5.6178 ×103 N .m 4
习题7 结构的质量上受到突加荷载P=30kN作用，若开始时体系静止， P=30kN作用 7-5 习题7-4结构的质量上受到突加荷载P=30kN作用，若开始时体系静止， 试求梁中最大动位移。 试求梁中最大动位移。 不计阻尼时，动力系数为2 利用上题数据， 解： 不计阻尼时，动力系数为2，利用上题数据，可得