第五章：拉普拉斯变换——【清华 信号与系统(山秀明)】

f te
0
注：1）对因果信号 f (0 ) 0= ， L
p{ f
t(
)}
=
sF (s), p ꢀ
d dt
，
p~s~ j
pf (t )
2）
3）
sF (s)
L
d dt
f
(t )
=
sF (s)
f (0+ )
L {p2 f (t )} = L { pf (t)}
= s sF (s) f (0 ) f (0 )
（5-1）
0
定义信号 f (t) 的（单边）拉普拉斯变换为：
∫ +∞
F (s ) ꢀ L {f (t)}ꢀ 0 f( )t −est dt, s= σ + jω
∫ ∫ f (t) e−σt =
1 2π
+∞ ⎡ −∞ ⎢⎣
+∞ 0
f
( )t e−(σ + jω)t
dt⎤⎥⎦ ejωtdω
令 s = σ + jω ，σ 为常数，ds = jdω
( )d
{ 证明： L
1 p
f
(t )
=
L
0f
d
tf
0
d}
() + ()
{ } = L { f 1 (0)u (t )}+ L t f d 0
{ } =
1 s
f(
1) (0) +
L
t ( )d
0f
()
第二项 =
t f( )
st
00
d e dt
（5-16） （5-17）
4
《信号与系统》
第五章：拉普拉斯变换
n! sn+ 1
2
（5-4）
（5-5） （5-6） （5-7） （5-8）
《信号与系统》
第五章：拉普拉斯变换
积分下限：当 f (t ) 在 t = 0 处第一类间断，
F (s) = L { f (t )} = 0 f( )t est dt
= f (t ) e stdt 0+
（5-9）
注： f
(t
)
《信号与系统》
第五章：拉普拉斯变换
第五章：拉普拉斯变换
§5.1 定义、存在性（《信号与系统》第二版（郑君里）4.2）
信号 f (t) 的傅里叶变换存在要求： f ( t)∈ [−∞, +∞]，但sgn (t )∉ L1 ，
L
F
{sgn (t )}= lim F
{e
t −σ
( )}
1
−σ t 纳入积分核？
3
（5-12）
《信号与系统》
第五章：拉普拉斯变换
L
d dt
f
(t)
=
s L { f (t )}
( )= ( ) (
f 0 sF s f 0
)
证明： L
d dt
f
(t )
=
0
f (t ) e stdt
（5-13）
= ( ) st |0 ( s) f (t ) e stdt = sF ( s) f (0 )
σ →0
f t ,σ > 0 。考虑是否可以将 e
对因果信号 f (t) = f ( t) u( t) ，
∫∫ ∫ ( ) F
{e −σ t f (t)} =
=
+∞
0 ⎡⎣
f(
t)
e−σ t ⎤⎦ e-jωtdt
=
+∞ ( ) −
0 f te
σ +t jω
dt
+∞
f (t) e−st dt=
L{
(f)}t
=
d f 1
t
st
()
( ) s e 0
d 0
+
1 s
0
f
t
st
e
t
=
1 s
F
(
s)
L
1 p
f
(t )
=
1 s
f(
1) (0 ) +
1 s
F
(
s
)
9 像微分（s 域微分）：
L{
tf (t )} =
d ds
F
(
s)
ꢀ
pF
(
（5-10） （5-11）
图 5-2
9 像卷积（s 域卷积）：
L { f1 (t ) f2 (t)} =
1 2
j
F1
(
s)
F (s)
2
=
1 2j
+j 1 ( ) (
-j F z F s
)
z dz
2
f1 (t )
f1 (t ) f (t )
2
拓扑性质（微/积分性质）： 9 微分：
f2 (t)
图 5-3
（5-2）
∫ f
()
t
=1 2π j
σ + j∞
σ − j∞
F
(s
)
e(σ
+
jω)tds
∫ f (t) ꢀ L {−1 F( s)}ꢀ
1 2π j
σ + j∞
σ − j∞ F
( ) st
s e ds
（5-3）
（4-2）式和（4-3）式是一对拉普拉斯变换式，f (t ) 称为原函数，F (s )
称为像函数。
A+ M e ( 0
0
0 )tdt = A +
M
0
注：1） et2, et3 ꢀ t 0 为非指数阶信号。 ,,
2） p (t ) e t 为指数阶信号，其中 p (t ) 为多项式。
3） 0 为收敛坐标，过 0 垂直于 轴的垂线为收敛轴， > 0 收敛域 （已知收敛域）。
图 5-1
( )= ( ) 例： uf (tt) 1uie0tt , M = 1,T = 0, 0 = 0, > 0 收敛
|
t
=
0
~
=
( ) st
0 f t e dt
(t)， f
(
t)
|
t
=
0
~
t ，解微分方程的初（边）值问题。
()
§5.2 性质（《信号与系统》第二版（郑君里）4.3） 代数性质： 9 线性：
n
n
Байду номын сангаас
L i fi (t) =
i L { fi ( t)}
i= 1
i= 1
9 卷积：
L { f1 (t ) f2 (t )} = F1 ( s) F2 ( s)
定义（指数阶函数）：指 f (t) 分段连续（存在有限个第一类间断点），且
∃M > 0,T > 0 ，使 f (t ) ≤ Meσ0t ，对∀t > T 。
注： f (t) = (O eσ t0 ) 。
F (s )存在： F (s ) < ∞
。 命题：指数阶信号的拉式变换存在。
( ) ≤ Meσ 0t ，对∀ t> T
{ ( )} =
0
e stdt =
e st s |0
>
=
0
1
s
L ut
例：
e L {
}t =
t stdt =
0e e
e ( + s)t |
+s 0
=
1 +s
例：
L {tn} =
0
t n stdt = e
n s
L{
n
}
1
L L
{ ( )} =
ut
{tu (t )}
1
s 1 = s2
t
L {tnu (t )} =
= s2F ( s) sf (0 ) f (0 )
（5-14） （5-15）
特别： f (0 ) =0, f (0 ) =0, ꢁ, f (n 1) ( 0 ) = 0
9 积分：
n f (t) snF (s)
p
{ } L
t -
f(
)d
=
L
1 ()
pf t
=
1 s
F
(
)
s
+
1 s
( f
1) ( )
0
， f ( 1) (0 ) = 0 f
证明： f t
∫ ∫ ∫ F (s ) =
+∞ 0
f(
)t
−est
dt=
T
0
f(
)t
−est
d+t
T +∞(f ) t−ste
dt
1
《信号与系统》
第五章：拉普拉斯变换
T f (t ) e stdt +
( ) st
0
T f t e dt
T () t +
() t
0 f t e dt T f t e dt