2019届高考数学一轮复习第八章立体几何8_4直线平面平行的判定与性质课件文
考点一
平行关系的判断——基础考点
(1)(2015· 北京卷)设 α，β 是两个不同的平面，m 是 直线且 m⊂α.“m∥β”是“α∥β”的( A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 )
(2)设 m，n 表示不同直线，α，β 表示不同平面，则下列结论 中正确的是( )
[答案] D
3．若 P 为异面直线 a，b 外一点，则过 P 且与 a，b 均平行 的平面( ) B．零个或一个 D．有无数多个
A．不存在 C．可以有两个
[解析]
若 P 点与直线 a(或 b)确定的平面与直线 b(或 a)平行，
则符合条件的平面不存在；否则，符合条件的平面有一个．故选 B.
[答案]
[解析]
命题①l 可以在平面 α 内，不正确；命题②直线 a 与
平面 α 可以是相交关系，不正确；命题③a 可以在平面 α 内，不 正确；命题④正确．
[答案]
A
5．(2018· 湖南株洲调研)如图所示，正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝2，点 E 为 AD 的中点，点 F 在 CD 上．若 EF∥平面 AB1C，则线段 EF 的长度等于________．
①或③
(把所有正确的序号填上)．
[小题速练] 1．下列结论中正确的是( )
A．若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线 平行于这个平面 B．如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这 两个平面平行
C．若直线 a∥α，P∈α，则过点 P 且平行于 a 的直线有无数 条 D．如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直 线平行或异面
B
4．(2017· 河北保定模拟)有下列命题： ①若直线 l 平行于平面 α 内的无数条直线，则直线 l∥α；② 若直线 a 在平面 α 外，则 a∥α；③若直线 a∥b，b∥α，则 a∥α； ④若直线 a∥b，b∥α，则 a 平行于平面 α 内的无数条直线． 其中真命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[解析]
在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中， AB＝2， ∴AC＝2 2.
又 E 为 AD 中点，EF∥平面 AB1C，EF⊂平面 ADC，平面 ADC∩ 1 平面 AB1C＝AC，∴EF∥AC，∴F 为 DC 中点，∴EF＝2AC＝ 2.
[答案]
2
考点突破 提能力
研一研 练一练 考点通关
(1)两个常用结论：①α∥β，a⊂α，则 a∥β；②
α∥β，β∥γ，则 α∥γ. (2)一个注意点：面面平行判定定理中两条相交直线．如：设 α，β，γ 是三个不同平面，a，b 是两条不同直线，有下列三个条 件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“若 α∩β＝a，b⊂γ，且________，则 a∥b”为真命题，则可以在横 线填入的条件是
第 八 章
立体几何
第四节
直线、平面平行的判定与性质
高考概览 1.以立体几何的有关定义、公理和定理为出发点，认识和理 解空间中线面平行、面面平行的有关性质与判定定理，并能够证 明相关性质定理；2.能运用线面平行、面面平行的判定及性质定 理证明一些空间图形的平行关系的简单命题.
吃透教材 夯双基
填一填 记一记 厚积薄发
A．若 m∥α，m∥n，则 n∥α B．若 m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则 α∥β C．若 α∥β，m∥α，m∥n，则 n∥β D．若 α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则 n∥β
[思路引导]
(1)m⊂α 为大前提，判断能否 m∥β⇒α∥β，α
∥β⇒m∥β？(2)结合草图，逐一判断．
[解析]
(1)若 m⊂α 且 m∥β， 则平面 α 与平面 β 不一定①错；②中 l 与 m 可能异
面，故②错；由线面平行的性质定理可知，l∥m，l∥n，所以 m ∥n，故③正确．
[答案]
1
考点二 直线与平面平行的判定和性质——热考点 1 如图，四棱锥 P－ABCD 中，AD∥BC，AB＝BC＝ 2 AD，E，F，H 分别为线段 AD，PC，CD 的中点，AC 与 BE 交于 O 点，G 是线段 OF 上一点．
[知识梳理] 1．直线与平面平行 (1)判定定理
(2)性质定理
[温馨提示] 一个注意点： 在利用线面平行的判定定理时，一定要强调直线不在平面 内，否则容易出现错误．
如：在四棱锥 P－ABCD 中，E 是棱 PA 的中点，则直线 PC 与平面 BDE 位置关系是
平行
．
2．平面与平面平行
[温馨提示]
[答案] (1)B (2)D
平行关系判断问题的 3 个注意点 (1)判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的判定 定理中线在面外的条件易忽视． (2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断． (3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确． 总之：空间线面关系的判断要：真有据，假反例．
[跟踪演练] 设互不相同的直线 l，m，n 和平面 α，β，γ，给出下列三个 命题： ①若 l 与 m 为异面直线，l⊂α，m⊂β，则 α∥β；②若 α∥β， l⊂α，m⊂β，则 l∥m；③若 α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ， 则 m∥n. 其中真命题的个数为________．
有可能相交； 而 m⊂α 且 α∥β 一定可以推出 m∥β， 所以“m∥β” 是“α∥β”的必要而不充分条件． (2)A 错误，n 有可能在平面 α 内；B 错误，平面 α 有可能与 平面 β 相交；C 错误，n 也有可能在平面 β 内；D 正确，易知 m ∥β 或 m⊂β，若 m⊂β，又 n∥m，n⊄β，∴n∥β，若 m∥β，过 m 作平面 γ 交平面 β 于直线 l，则 m∥l，又 n∥m，∴n∥l，又 n⊄β， l⊂β，∴n∥β.
[答案]
D
2．若直线 m⊂平面 α，则条件甲：“直线 l∥α”是条件乙： “l∥m”的( ) B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
A．充分不必要条件 C．充分必要条件
[解析]
若 l∥α，则 l∥m 或 l 与 m 异面；若 l∥m，则 l∥α
或 l⊂α，故“直线 l∥α”是“l∥m”的既不充分也不必要条件．
高考一轮复习通用版8.4直线平面平行的判定与性质课件(55张)
【对点训练】
1．如图所示，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M 是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.
求证：PA∥GH.
2.[2022·江苏南通市检测]《九章算术》是我国古代的数学著作，是“算经 十书”中最重要的一部，它对几何学的研究比西方要早1 000多年．在《九
线线平行”)
符号语言
因为 _l_∥__a__， _a_⊂__α__， __l⊄__α__， 所以l∥α
因为 __l∥__α__， __l⊂__β__， ______， 所以l∥b
[提醒] 应用判定定理时，要注意“内”“外”“平行”三个条件 必须都具备，缺一不可．
2．平面与平面平行的判定定理和性质定理
2.在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB＝AD， E为AD的中点，在线段B1C1上是否存在点F， 使得平面A1AF∥平面ECC1？若存在，请加 以证明，若不存在，请说明理由．
微专题29 函数思想破解立体几何中的问题
名师点评利用函数思想建立MN与a的函数关系式是解此题的关键， 立体几何中的最值问题，通常借助函数思想求解．
因为 _α_∥__β__， ______， ______， 所以a∥b
二、必明2个常用结论 1．平行间的三种转化关系
2．平行关系中的三个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β. (2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. (3)垂直于同一平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.
关键能力—考点突破
考点一 与线、面平行相关命题的判定 [基础性]
1．设a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法 正确的是( )
高考数学一轮总复习课件：直线、平面平行的判定及性质
∴平面MNP∥平面AA1B1B.
又∵MN⊂平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B.
【答案】 略
(2)如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面 ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作 平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
【证明】 如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO， 因为四边形ABCD是平行四边形，
5．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，下列结论中，正确的是 __①_②__④___．
①AD1∥BC1；②平面AB1D1∥平面BDC1；③AD1∥DC1； ④AD1∥平面BDC1.
解析 连接AD1，BC1，
因为AB綊C1D1，所以四边形AD1C1B为平行四边形，
故AD1∥BC1，从而①正确； 易证BD∥B1D1，AB1∥DC1， 又AB1∩B1D1＝B1，BD∩DC1＝D， 故平面AB1D1∥平面BDC1，从而②正确； 由图易知AD1与DC1异面，故③错误； 因AD1∥BC1，AD1⊄平面BDC1，BC1⊂平面BDC1，故AD1∥平
因为A1G与EB平行且相等， 所以四边形A1EBG是平行四边形．所以A1E∥GB. 因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， 所以A1E∥平面BCHG. 因为A1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG. 【答案】 (1)略 (2)略
【讲评】 要证四点共面，只需证GH∥BC即可；要证面面 平行，可证一个平面内的两条相交直线和另一个平面平行，注 意“线线平行”“线面平行”“面面平行”之间的相互转化．
∵BD＝B1C，DN＝CM， ∴B1M＝BN.
∵△MEB1∽△CBB1，∴
ME CB
＝
B1M B1C
，又
∵△NFB∽△DAB，DNAF ＝BBND，
新教材高中数学第八章立体几何初步8.4.1平面课件新人教A版必修第二册ppt
③
×
如三棱锥的四个顶点相连的四边形不能确定
一个平面
④
√
平面是空间中点的集合,是无限集
答案:④
4.设平面α与平面β交于直线l,A∈α,B∈α,且直线AB∩l=C,则
直线AB∩β=
.
解析:∵α∩β=l,AB∩l=C,∴C∈β,C∈AB,∴AB∩β=C.
答案:C
∴由基本事实3可知,点P在平面ABC与平面α的交线上,同理可
证Q,R也在平面ABC与平面α的交线上.
∴P,Q,R三点共线.
本例换为:如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设线段A1C
与平面ABC1D1交于点Q,如何说明B,Q,D1三点共线?
证明:如图所示,连接A1B,CD1.
显然B∈平面A1BCD1,D1∈平面A1BCD1.
④两条平行线确定一个平面
A.①②
B.②③
C.②④
D.③④
(2)两个平面若有三个公共点,则这两个平面(
A.相交
B.重合
C.相交或重合
D.以上都不对
)
解析:(1)不在同一条直线上的三点确定一个平面.圆上三个点
不会在同一条直线上,故可确定一个平面,∴①不正确,②正确.
当四点在一条直线上时不能确定一个平面,③不正确.根据平
且 P∈l
3.做一做:如图所示,在空间四边形各边AD,AB,BC,CD上分别
取E,F,G,H四点,如果EF,GH交于一点P,求证:点P在直线BD
上.
证明:∵EF∩GH=P,
∴P∈EF,且P∈GH.
又EF⊂平面ABD,GH⊂平面CBD,
∴P∈平面ABD,且P∈平面CBD,
即P∈平面ABD∩平面CBD,平面ABD∩平面CBD=BD,
2023年新高考数学一轮复习8-4 直线、平面平行的判定及性质(知识点讲解)含详解
专题8.4 直线、平面平行的判定及性质（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理，运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题，凸显逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养．【知识点展示】（一）空间平行关系1.直线与平面平行的判定与性质a∥α，a⊂β，2.利用线面平行的定义，一般用反证法；利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)； 利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)． （二）平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β. (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b. (3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.【常考题型剖析】题型一：与线、面平行相关命题的判定例1. （2023·全国·高三专题练习）已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ） A ．若m //α，m //n ，则n //α B ．若m //α，n //α，则m //n C ．若m //α，n ⊂α，则m //nD ．若m //α，m ⊂β，αβ＝n ，则m //n例2.（2022·上海静安·二模）在下列判断两个平面α与β平行的4个命题中，真命题的个数是（ ）. （1）α、β都垂直于平面r ，那么α∥β. （2）α、β都平行于平面r ，那么α∥β. （3）α、β都垂直于直线l ，那么α∥β.（4）如果l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β，那么α∥β A ．0B ．1C ．2D ．3例3．（四川·高考真题（文））下列命题正确的是（ ） A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行例4. （2022·云南师大附中模拟预测（理））若α，β是两个不同平面，m ，n 是两条不同直线，则下列4个推断中正确的是（ ）A ．m α∥，m β∥，n ⊂α，n m n β⊂⇒∥B ．m α⊂，n β⊂，m n αβ⇒∥∥C ．m α∥，n α∥，m β⊂，n βαβ⊂⇒∥D ．m α⊂，n β⊂，m n αβ⇒∥∥ 【方法技巧】直线、平面间平行的判定方法(1)关注是否符合判定定理与性质定理，并注意定理中易忽视的条件． (2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断． (3)利用实物进行空间想象，比较判断．(4)熟记一些常见结论，如垂直于同一条直线的两个平面平行等． 题型二：直线与平面平行的判定例5.（2023·全国·高三专题练习）在直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 、F 、M 、N 分别是BC 、11B C 、1AA 、1CC 、1A C 的中点，给出下列四个判断：①//EF 平面1ADB ；②//EM 平面1ADB ； ③//EN 平面1ADB ； ④1//A M 平面1ADB ， 错误的序号为___________.例6.【多选题】（2017·全国·高考真题（文））如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 平行的是（ ）A．B．C．D．例7.（2023·全国·高三专题练习）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于,A B的点，直线PC 平面ABC，,E F分别是PA，PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l，求证：直线l//平面PAC【总结提升】证明直线与平面平行的方法(1)线面平行的定义：一条直线与一个平面无公共点(不相交)．(2)线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边、成比例线段出现平行线或过已知直线作一平面找其交线．注意内外平行三条件，缺一不可．题型三：线面平行性质定理的应用例8.（福建·高考真题（文））如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD 上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．例9.(2019·全国卷Ⅰ改编)如图，直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．证明：MN ∥平面C 1DE .例10.如图，在直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 为线段AD 上的任意一点(不包括A ，D 两点)，平面CEC 1∩平面BB 1D ＝FG .证明：FG ∥平面AA 1B 1B ．【总结提升】 1.思路方法：(1)通过线面平行可得到线线平行，其中一条线应是两平面的交线，要树立这种应用意识． (2)利用线面平行性质必须先找出交线． 2.易错提醒（1）在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.（2）线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加，在添加辅助线、辅助面时一定要以某一性质定理为依据，绝不能主观臆断.（3）解题中注意符号语言的规范应用. 题型四：平面与平面平行的判定与性质例11.（2023·全国·高三专题练习）已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AB AD ==，12AA =，E ，F 分别为棱11A B 和11A D 的中点，M 为长方体表面上任意一点．若BM ∥平面AEF ，则BM 的最大值为（ ）A．B ．C ．D ．6例12.（2020·全国·高三专题练习（文））如图，平面//α平面β，PAB △所在的平面与α，β分别交于CD 和AB ，若2PC =，3CA =，1CD =，则AB =______．例13.（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F分别为棱11,DD CC 的中点.求证：平面1//AEC 平面BDF例14.（陕西·高考真题（文））如图,四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O∥平面ABCD, 12AB AA ==.（1）证明: 平面A 1BD // 平面CD 1B 1;（2）求三棱柱ABD －A 1B 1D 1的体积.【规律方法】 1.证明面面平行的常用方法 (1)利用面面平行的定义．(2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． (3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”．(4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”． (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．2.面面平行的应用(1)两平面平行，构造与之相交的第三个平面，可得交线平行．(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，可用于证明线面平行．3.三种平行关系之间的转化其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化．专题8.4 直线、平面平行的判定及性质（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理，运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题，凸显逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养．【知识点展示】（一）空间平行关系1.直线与平面平行的判定与性质a∥α，a⊂β，2.利用线面平行的定义，一般用反证法；利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)； 利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)． （二）平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β. (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b. (3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.【常考题型剖析】题型一：与线、面平行相关命题的判定例1. （2023·全国·高三专题练习）已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ） A ．若m //α，m //n ，则n //α B ．若m //α，n //α，则m //n C ．若m //α，n ⊂α，则m //n D ．若m //α，m ⊂β，αβ＝n ，则m //n【答案】D 【解析】 【分析】举例说明判断A ，B ，C ；利用线面平行的性质判断D 作答. 【详解】如图，长方体1111ABCD A B C D -中，平面1111D C B A 视为平面α，对于A ，直线AB 视为m ，直线11A B 视为n ，满足m //α，m //n ，而n ⊂α，A 不正确；对于B，直线AB视为m，直线BC视为n，满足m//α，n//α，而m与n相交，B不正确；A D视为n，满足m//α，n⊂α，显然m与n是异面直线，C不正确；对于C，直线AB视为m，直线11对于D，由直线与平面平行的性质定理知，D正确.故选：D例2.（2022·上海静安·二模）在下列判断两个平面α与β平行的4个命题中，真命题的个数是（）.（1）α、β都垂直于平面r，那么α∥β.（2）α、β都平行于平面r，那么α∥β.（3）α、β都垂直于直线l，那么α∥β.（4）如果l、m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，那么α∥βA．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】【分析】由面面平行的判定定理及其相关结论分析可得结果.【详解】由面面平行的判定定理分析可知（1）错，（2），（3），（4）正确.故选：D例3．（四川·高考真题（文））下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】C【解析】【详解】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确.例4. （2022·云南师大附中模拟预测（理））若α，β是两个不同平面，m ，n 是两条不同直线，则下列4个推断中正确的是（ ）A ．m α∥，m β∥，n ⊂α，n m n β⊂⇒∥B ．m α⊂，n β⊂，m n αβ⇒∥∥C ．m α∥，n α∥，m β⊂，n βαβ⊂⇒∥D ．m α⊂，n β⊂，m n αβ⇒∥∥【答案】A【解析】【分析】利用线面，面面位置关系逐项分析即得.【详解】对于A ，如图，n ⊂α，n n βαβ⊂⇒⋂=，结合m α，m β，可知m n ∥，故A 正确；对于B ，如图，m ，n 可能异面，故B 错误；对于C ，如图，α，β可能相交，故C 错误；对于D ，如图，αβ，可能相交，故D 错误.故选：A ．【方法技巧】直线、平面间平行的判定方法(1)关注是否符合判定定理与性质定理，并注意定理中易忽视的条件．(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．(3)利用实物进行空间想象，比较判断．(4)熟记一些常见结论，如垂直于同一条直线的两个平面平行等．题型二：直线与平面平行的判定例5.（2023·全国·高三专题练习）在直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 、F 、M 、N 分别是BC 、11B C 、1AA 、1CC 、1A C 的中点，给出下列四个判断：①//EF 平面1ADB ；②//EM 平面1ADB ；③//EN 平面1ADB ；④1//A M 平面1ADB ，错误的序号为___________.【答案】①②④【解析】【分析】连接DE 、1A E 、CE 、EF 、EM 、EN 、1A M 、FM ，证明出平面1//A CE 平面1AD B ，利用面面平行的性质结合假设法可判断①②③④的正误.【详解】连接DE 、1A E 、CE 、EF 、EM 、EN 、1A M 、FM ，在三棱柱111ABC A B C -中，因为11//BB CC 且11BB CC =，所以，四边形11BB C C 为平行四边形，则11//BC B C 且11BC B C =，D 、E 分别为BC 、11B C 的中点，则1//CD B E 且1CD B E =，故四边形1CDB E 为平行四边形，则1//CE B D ，CE ⊄平面1ADB ，1B D ⊂平面1ADB ，故//CE 平面1ADB ，同理可证四边形1BB ED 为平行四边形，则11////DE BB AA ，11DE BB AA ==，则四边形1AA ED 为平行四边形，所以，1//A E AD ，1A E ⊄平面1ADB ，AD ⊂平面1ADB ，则1//A E 平面1ADB ，1CE A E E =，故平面1//A CE 平面1AD B ，EN ⊂平面1A CE ，则//EN 平面1ADB ，③对；对于①，若//EF 平面1ADB ，EF EN E =，则平面//EFN 平面1ADB ，因为过点E 且与平面1ADB 平行的平面只有一个，矛盾，故①错，同理可知，②④均错.故答案为：①②④.例6.【多选题】（2017·全国·高考真题（文））如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 平行的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】BCD【解析】【分析】利用线面平行判定定理逐项判断可得答案．【详解】对于选项A，OQ∥AB，OQ与平面MNQ是相交的位置关系，故AB和平面MNQ不平行，故A错误；对于选项B，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ，故B正确；对于选项C，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故C正确；对于选项D，由于AB∥CD∥NQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故D正确；故选：BCD例7.（2023·全国·高三专题练习）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，,E F 分别是PA ，PC 的中点.记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，求证：直线l //平面PAC【答案】证明见解析【解析】【分析】先通过//EF AC 可得出//EF 平面ABC ，再利用线面平行的性质即可证明.【详解】因为,E F 分别是,PA PC 的中点，所以//EF AC ，又因为AC ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ，所以//EF 平面ABC ，又EF ⊂平面BEF ，平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，所以//EF l ，而l ⊄平面PAC ，EF ⊂平面PAC ，所以//l 平面P AC .【总结提升】证明直线与平面平行的方法(1)线面平行的定义：一条直线与一个平面无公共点(不相交)．(2)线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边、成比例线段出现平行线或过已知直线作一平面找其交线．注意内外平行三条件，缺一不可． 题型三：线面平行性质定理的应用例8.（福建·高考真题（文））如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．【解析】【分析】根据直线与平面平行的性质定理可得//EF AC ,再根据E 为AD 的中点可得F 为CD 的中点,从而根据三角形的中位线可得.【详解】如图:因为//EF 平面1AB C ,EF ⊂平面DABC ,且平面1A C B 平面ABCD AC =,所以//EF AC ,又因为E 为AD 的中点,所以F 为CD 的中点, 所以12EF AC =,因为正方体的棱长为2.所以AC =所以EF =故答案为.例9.(2019·全国卷Ⅰ改编)如图，直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．证明：MN∥平面C1DE.【答案】见解析【解析】证明:连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝12B1C．又因为N为A1D的中点，所以ND＝12A1D．由题设知A1B1//=DC，可得B1C//=A1D，故ME//=ND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MN∥ED．又MN⊄平面C1DE，ED⊂平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.例10.如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1∩平面BB1D＝FG.证明：FG∥平面AA1B1B．【答案】见解析【解析】证明：在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D．又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1∩平面BB1D＝FG，所以CC1∥FG.因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.而BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B．【总结提升】1.思路方法：(1)通过线面平行可得到线线平行，其中一条线应是两平面的交线，要树立这种应用意识．(2)利用线面平行性质必须先找出交线．（1）在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.（2）线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加，在添加辅助线、辅助面时一定要以某一性质定理为依据，绝不能主观臆断.（3）解题中注意符号语言的规范应用.题型四：平面与平面平行的判定与性质例11.（2023·全国·高三专题练习）已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AB AD ==，12AA =，E ，F 分别为棱11A B 和11A D 的中点，M 为长方体表面上任意一点．若BM ∥平面AEF ，则BM 的最大值为（ ）A．B ．C ．D ．6【答案】C【解析】【分析】由面面平行的性质结合题意可确定点M 所在的平面，再由平面几何的性质即可确定BM 的值为最大值时的位置，即可求解【详解】如图所示，取G ，H 分别为棱11B C 和11D C 的中点，连接11,,,BG DH BD B D ,由题意易知1111,BF B D GH B D ∥∥，所以BF GH ∥；又易知AF BG ∥，故可以证明平面BGHD ∥平面AEF ；又BM ∥平面AEF ，由面面平行的性质可知M ∈平面BGHD ，所以由题意可知M 在等腰梯形BGHD 四条边上运动，过点H 作HQ BD ⊥，交BD 于点Q ，由题意可知BD GH DH BG DQ ====所以HQ BQ BD DQ =-=所以BH又BD BH ==，所以故当M 与D 点重合时，BM 的值为最大值，此时BM BD ==例12.（2020·全国·高三专题练习（文））如图，平面//α平面β，PAB △所在的平面与α，β分别交于CD 和AB ，若2PC =，3CA =，1CD =，则AB =______． 【答案】52【解析】【分析】根据面面平行的性质，证得//CD AB ，结合CD PC AB PA =，即可求解. 【详解】由题意，平面//α平面β，PAB △所在的平面与α，β分别交于CD 和AB ， 根据面面平行的性质，可得//CD AB ，所以CD PC AB PA =， 因为2PC =，3CA =，1CD =，所以15522CD PA AB PC ⋅⨯===.故答案为：52. 例13.（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11,DD CC 的中点.求证：平面1//AEC 平面BDF【答案】证明见解析【解析】【分析】根据1//DF EC ，可证明1//EC 平面BDF ；又//BF AE ，可得//AE 平面BDF .进而根据线面平行证明面面平行.【详解】证明：在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11,DD CC 的中点， 所以11111,22DE DD C F CC ==. 因为11CC DD =，且11//CC DD ，所以1DE C F =，且1//DE C F ，所以四边形1DEC F 是平行四边形，所以1//DF EC 又DF ⊂平面BDF ，1EC ⊄平面BDF ，所以1//EC 平面BDF .同理，//BF AE ，又BF ⊂平面BDF ，AE ⊄平面BDF ， 所以//AE 平面BDF .又1AE EC E ⋂=，1,AE EC ⊂平面1AEC ，所以平面1//AEC 平面BDF 例14.（陕西·高考真题（文））如图,四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O∥平面ABCD, 1AB AA =（1）证明: 平面A 1BD // 平面CD 1B 1;（2）求三棱柱ABD －A 1B 1D 1的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）1.【解析】【详解】试题分析：（1）要证明1A C ⊥平面11BB D D ，只要证明1A C 垂直于平面11BB D D 内的两条相交直线即可，由已知可证出1A C ⊥BD ，取11B D 的中点为1E ，通过证明四边形11A OCE 为正方形可证1A C ⊥1E O ．由线面垂直的判定定理问题得证；（2）由已知1A O 是三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的高，由此能求出三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的体积 试题解析：（Ⅰ）∵四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB=AA 1=，由棱柱的性质可得BB 1和DD 1平行且相等，故四边形BB 1D 1D 为平行四边形，故有BD 和B 1D 1平行且相等．而BD 不在平面CB 1D 1内，而B 1D 1在平面CB 1D 1内，∴BD ∥平面CB 1D 1．同理可证，A 1BCD 1为平行四边形，A 1B ∥平面CB 1D 1．而BD 和A 1B 是平面A 1BD 内的两条相交直线，故有平面A 1BD ∥平面CD 1B 1 ．（Ⅱ）由题意可得A 1O 为三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的高．三角形A 1AO 中，由勾股定理可得A 1O===1，∴三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的体积V=S △ABD •A 1O=•A 1O=×1=1．【规律方法】1.证明面面平行的常用方法 (1)利用面面平行的定义．(2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”．(4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”．(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．2.面面平行的应用(1)两平面平行，构造与之相交的第三个平面，可得交线平行．(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，可用于证明线面平行．3.三种平行关系之间的转化其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化．。
直线、平面平行的判定及性质1
∴平面SAB∥平面DEF，又SG平面SAB，
∴SG∥平面DEF.
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题型二
平面与平面平行的判定与性质
【例2】 如图所示，三棱柱ABC— A1B1C1，D是BC上一点，且A1B∥平 面AC1D，D1是B1C1的中点，求证： 平面A1BD1∥平面AC1D.
思维启迪 由面面平行的判定定理知只需证 BD1、A1B平行于平面ADC1,已知A1B∥平面
C1F B1G ∴FG∥B C ∥BC， , 1 1 C1B B1B
∴平面EFG∥平面ABCD，而EF平面EFG，
①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线 面平行的判定定理(aα ,bα ,a∥ba∥α )； ③利用面面平行的性质定理(α ∥β ,aα a∥β )； 金太阳新课标资源网课件大赛参赛课件
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线//线 线//面
判定
性质 线//面 线//线
线//线 线//面
a // b a a // b
a a // b b
a //
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AC1D,则只需证BD1∥平面ADC1.
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证明
连接A1C交AC1于点E，
∵四边形A1ACC1是平行四边形，
∴E是A1C的中点，连结ED， ∵A1B∥平面AC1D， 平面A1BC∩平面AC1D=ED， ∴A1B∥ED，
∵E是A1C的中点，
∴D是BC的中点. 又∵D1是B1C1的中点.
中l、m为直线，α 、β 为平面），则此条件
为
l .
l ③ l // .
新高考数学直线、平面平行的判定与性质精品课件
(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,H分别为DD1,AB的中点,点F,G分别在棱BC, CC1上,且CF=CG=BC,则在F,G,H这三点中任取两点确定的直线中,与平面ACE平行的直线的条数为( )A.0 B.1 C.2 D.3
课堂考点探究
[解析]如图,取CE的中点I,CC1的中点K,连接AI,IG,EK,因为CI=IE,CG=GK,所以IG∥EK,且IG=EK,又AB∥EK, AB=EK,AH=AB,所以IG AH,所以四边形AHGI为平行四边形,则AI∥GH,又GH⊄平面ACE,AI⊂平面ACE,所以GH∥平面ACE.易知HF,GF均不与平面ACE平行,故选B.
6.下列说法中正确的是 .(填序号) ①若a,b是两条直线,且a∥b,则a平行于经过b的任何平面;②若直线a和平面α满足a∥α,则a与α内的任何直线平行;③平行于同一条直线的两个平面平行;④若直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,b⊄α,则b∥α.
课前基础巩固
[解析]对于①,a可以在经过b的平面内,故①错误;对于②,a与α内的直线平行或异面,故②错误;对于③,两平面也可以相交,故③错误;对于④,若a∥b,a∥α,b⊄α,则b∥α,故④正确.
D
(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,H分别为DD1,AB的中点,点F,G分别在棱BC, CC1上,且CF=CG=BC,则在F,G,H这三点中任取两点确定的直线中,与平面ACE平行的直线的条数为( )A.0 B.1 C.2 D.3
课堂考点探究
[思路点拨]由题意作出图形,取CE的中点I,连接AI,证出AI∥GH,利用线面平行的判定定理可知GH∥平面ACE,又HF,GF均不与平面ACE平行,即可得解.
图7-39-1
4. [教材改编] 如图7-39-2,平面α∥平面β,△PAB所在的平面与α,β分别交于CD,AB,若PC=2,CA=3,CD=1,则AB= .
直线、平面平行垂直的判定及其性质(讲)-2019年高考数学 ---精校解析Word版
内的无数条直线都垂直”是“直线a
BB1D1D，又OB1⊂平面
，则a与c的位置关系为
在同一个平面内，由题设条件可得a∥c；在空间中，直线
n⊥β，则n与l的位置关系为
l⊂β，又
中，底面ABCD为矩形，侧棱
________．
BC.由底面ABCD为矩形，
PD＝CD，点E是PC
⊥平面ABCD，AB∥DC，
⊥PA⇒AE⊥BC，
，故②正确，③若
2．在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟练掌握“线线垂直”。
8-4直线与平面垂直的判定及其性质课件共120张PPT
(3)[解] 当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.证明如下： 取PC的中点F，连接DE，EF，DF. 在△PBC中，FE∥PB，在菱形ABCD中，GB∥DE. 而FE⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E，PB⊂平面PGB，GB⊂平面 PGB，PB∩GB＝B， 所以平面DEF∥平面PGB. 因为BG⊥平面PAD，PG⊂平面PAD，所以BG⊥PG. 又因为PG⊥AD，AD∩BG＝G， 所以PG⊥平面ABCD.
第四节 直线与平面垂直的判定及其性质
[复习要点] 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线 面垂直的有关性质与判定定理．
2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命 题．
理清教材•巩固基础
知识点一 直线与平面垂直 1．定义：直线l与平面α内的__任__意____一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相 垂直．
易/错/问/题
类比思维的应用：注意由平面到空间的思维的变化． (1)已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a与c的位置关系为_平__行__、__相__交__或__异__面_． (2)已知直线a和平面α，β，若α⊥β，a⊥β，则a与α的位置关系为a_∥__α_或__a_⊂__α__．
通/性/通/法
(4)面面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交 线的直线垂直于另一个平面(常用方法)；
(5)面面平行的性质：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则这条 直线也垂直于另一个平面(客观题常用)；
(6)若两相交平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平 面(客观题常用)．
(2)如果一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角为直角．
(3)如果一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角为0°的角． (4)直线和平面所成角的范围是___0_，__π2_ _．
高中数学知识点总结(第八章 立体几何 第四节 直线、平面平行的判定与性质)
第四节 直线、平面平行的判定与性质一、基础知识1．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言 判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)∵l ∥a ，a ⊂α， l ⊄α，∴l ∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)∵l ∥α，l ⊂β，α∩β＝b ，∴l ∥b⎣⎢⎡⎦⎥⎤❶应用判定定理时，要注意“内”“外”“平行”三个条件必须都具备，缺一不可. 2．平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言 图形语言符号语言 判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)∵a ∥β， b ∥β， a ∩b ＝P ，a ⊂α， b ⊂α， ∴α∥β 性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行∵α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ，∴a ∥b⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤❷如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行.符号表示：a ⊂α，b ⊂α，a ∩b ＝O ，a ′⊂β，b ′⊂β，a ∥a ′，b ∥b ′⇒α∥β.二、常用结论平面与平面平行的三个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．(3)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．考点一直线与平面平行的判定与性质考法(一)直线与平面平行的判定[典例]如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，点M，N分别为线段A1B，AC1的中点．求证：MN∥平面BB1C1C.[证明]如图，连接A1C.在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C为平行四边形．又因为N为线段AC1的中点，所以A1C与AC1相交于点N，即A1C经过点N，且N为线段A1C的中点．因为M为线段A1B的中点，所以MN∥BC.又因为MN⊄平面BB1C1C，BC⊂平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.考法(二)线面平行性质定理的应用[典例](2018·豫东名校联考)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1与平面BB1D交于FG.求证：FG∥平面AA1B1B.[证明]在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D.又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1与平面BB1D交于FG，所以CC1∥FG.因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.因为BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B.[题组训练]1．(2018·浙江高考)已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ∵若m ⊄α，n ⊂α，且m ∥n ，由线面平行的判定定理知m ∥α，但若m ⊄α，n ⊂α，且m ∥α，则m 与n 有可能异面，∴“m ∥n ”是“m ∥α”的充分不必要条件．2．如图，在四棱锥P ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2，CD ＝3，M 为PC 上一点，且PM ＝2MC .求证：BM ∥平面P AD .证明：法一：如图，过点M 作MN ∥CD 交PD 于点N ，连接AN . ∵PM ＝2MC ，∴MN ＝23CD .又AB ＝23CD ，且AB ∥CD ，∴AB 綊MN ，∴四边形ABMN 为平行四边形， ∴BM ∥AN .又BM ⊄平面P AD ，AN ⊂平面P AD ， ∴BM ∥平面P AD .法二：如图，过点M 作MN ∥PD 交CD 于点N ，连接BN . ∵PM ＝2MC ，∴DN ＝2NC ， 又AB ∥CD ，AB ＝23CD ，∴AB 綊DN ，∴四边形ABND 为平行四边形， ∴BN ∥AD .∵BN ⊂平面MBN ，MN ⊂平面MBN ，BN ∩MN ＝N ， AD ⊂平面P AD ，PD ⊂平面P AD ，AD ∩PD ＝D ， ∴平面MBN ∥平面P AD .∵BM ⊂平面MBN ，∴BM ∥平面P AD .3.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和P A作平面P AHG交平面BMD于GH.求证：P A∥GH.证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴P A∥MO.又MO⊂平面BMD，P A⊄平面BMD，∴P A∥平面BMD.∵平面P AHG∩平面BMD＝GH，P A⊂平面P AHG，∴P A∥GH.考点二平面与平面平行的判定与性质[典例]如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.[证明](1)∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EF A1∥平面BCHG.[变透练清]1.变结论在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明：如图所示，连接A1C，AC1，设交点为M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连接MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵DM⊄平面A1BD1，A1B⊂平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知D1C1綊BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又∵DC1∩DM＝D，DC1⊂平面AC1D，DM⊂平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.2．如图，四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF 的中点，求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.证明：(1)如图，连接AE，设DF与GN的交点为O，则AE必过DF与GN的交点O.连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO.又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N ，G 分别为平行四边形ADEF 的边AD ，EF 的中点， 所以DE ∥GN .又DE ⊄平面MNG ，GN ⊂平面MNG ， 所以DE ∥平面MNG . 又M 为AB 中点，所以MN 为△ABD 的中位线， 所以BD ∥MN .又BD ⊄平面MNG ，MN ⊂平面MNG ， 所以BD ∥平面MNG .又DE ⊂平面BDE ，BD ⊂平面BDE ，DE ∩BD ＝D ， 所以平面BDE ∥平面MNG .[课时跟踪检测]A 级1．已知直线a 与直线b 平行，直线a 与平面α平行，则直线b 与α的关系为( ) A ．平行 B ．相交C ．直线b 在平面α内D ．平行或直线b 在平面α内解析：选D 依题意，直线a 必与平面α内的某直线平行，又a ∥b ，因此直线b 与平面α的位置关系是平行或直线b 在平面α内．2．若平面α∥平面β，直线a ∥平面α，点B ∈β，则在平面β内且过B 点的所有直线中( )A ．不一定存在与a 平行的直线B ．只有两条与a 平行的直线C ．存在无数条与a 平行的直线D ．存在唯一与a 平行的直线解析：选A 当直线a 在平面β内且过B 点时，不存在与a 平行的直线，故选A. 3．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和BC 上的点，若AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝1∶2，则对角线AC 和平面DEF 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．在平面内D ．不能确定解析：选A 如图，由AE EB ＝CFFB 得AC ∥EF .又因为EF ⊂平面DEF ，AC ⊄平面DEF ， 所以AC ∥平面DEF .4．(2019·重庆六校联考)设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是( )A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βB ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α解析：选D 对于选项A ，若存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β，则α∥β或α与β相交，若α∥β，则存在一条直线a ，使得a ∥α，a ∥β，所以选项A 的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B 、C 的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项D ，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D 的内容是α∥β的一个充分条件．故选D.5.如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：①没有水的部分始终呈棱柱形；②水面EFGH 所在四边形的面积为定值； ③棱A 1D 1始终与水面所在平面平行； ④当容器倾斜如图所示时，BE ·BF 是定值． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 由题图，显然①是正确的，②是错误的； 对于③，∵A 1D 1∥BC ，BC ∥FG ，∴A 1D 1∥FG 且A 1D 1⊄平面EFGH ，FG ⊂平面EFGH ， ∴A 1D 1∥平面EFGH (水面)． ∴③是正确的；对于④，∵水是定量的(定体积V )， ∴S △BEF ·BC ＝V ，即12BE ·BF ·BC ＝V .∴BE ·BF ＝2VBC(定值)，即④是正确的，故选C.6.如图，平面α∥平面β，△P AB 所在的平面与α，β分别交于CD ，AB ，若PC ＝2，CA ＝3，CD ＝1，则AB ＝________.解析：∵平面α∥平面β，∴CD ∥AB ， 则PC P A ＝CD AB ，∴AB ＝P A ×CD PC ＝5×12＝52.答案：527．设α，β，γ是三个平面，a ，b 是两条不同直线，有下列三个条件： ①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(填序号)．解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当b ∥β，a ⊂γ时，a 和b 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.答案：①或③8．在三棱锥P ABC 中，PB ＝6，AC ＝3，G 为△P AC 的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB 和AC ，则截面的周长为________．解析：如图，过点G 作EF ∥AC ，分别交P A ，PC 于点E ，F ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ，过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，连接MN ，则四边形EFMN 是平行四边形(平面EFMN 为所求截面)，且EF ＝MN ＝23AC ＝2，FM ＝EN ＝13PB ＝2，所以截面的周长为2×4＝8.10．(2019·南昌摸底调研)如图，在四棱锥P ABCD 中，∠ABC ＝ ∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝2，AB ＝1.设M ，N 分别为PD ，AD 的中点．(1)求证：平面CMN ∥平面P AB ； (2)求三棱锥P ABM 的体积．解：(1)证明：∵M ，N 分别为PD ，AD 的中点， ∴MN ∥P A ，又MN ⊄平面P AB ，P A ⊂平面P AB ， ∴MN ∥平面P AB .在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，CN ＝AN ， ∴∠ACN ＝60°.又∠BAC ＝60°，∴CN ∥AB . ∵CN ⊄平面P AB ，AB ⊂平面P AB ， ∴CN ∥平面P AB . 又CN ∩MN ＝N ， ∴平面CMN ∥平面P AB .(2)由(1)知，平面CMN ∥平面P AB ，∴点M 到平面P AB 的距离等于点C 到平面P AB 的距离．∵AB ＝1，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°，∴BC ＝3，∴三棱锥P ABM 的体积V ＝V M P AB ＝V C P AB ＝V P ABC ＝13×12×1×3×2＝33.B 级1.如图，四棱锥P ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)求证：MN ∥平面P AB ； (2)求四面体N BCM 的体积． 解：(1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2.取BP 的中点T ，连接AT ，TN ， 由N 为PC 的中点知TN ∥BC ， TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ， 所以MN ∥平面P AB .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12P A .取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3，得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5. 由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5， 故S △BCM ＝12×4×5＝2 5.所以四面体N BCM 的体积V N BCM ＝13×S △BCM ×P A 2＝453.2.如图所示，几何体E ABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB ＝CD ，EC ⊥BD . (1)求证：BE ＝DE ；(2)若∠BCD ＝120°，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC . 证明：(1)如图所示，取BD 的中点O ，连接OC ，OE . ∵CB ＝CD ，∴CO ⊥BD . 又∵EC ⊥BD ，EC ∩CO ＝C ，∴BD⊥平面OEC，∴BD⊥EO.又∵O为BD中点．∴OE为BD的中垂线，∴BE＝DE.(2)取BA的中点N，连接DN，MN.∵M为AE的中点，∴MN∥BE.∵△ABD为等边三角形，N为AB的中点，∴DN⊥AB.∵∠DCB＝120°，DC＝BC，∴∠OBC＝30°，∴∠CBN＝90°，即BC⊥AB，∴DN∥BC.∵DN∩MN＝N，BC∩BE＝B，∴平面MND∥平面BEC.又∵DM⊂平面MND，∴DM∥平面BEC.。
人教A版高考总复习一轮文科数学精品课件 第8章立体几何 指点迷津(八) 空间几何体的截面问题 (2)
所以截面面积为
+
S= 2
·h=
2+2 2
2
×
3 2
2
=
2 2
)
2
9
.故选
2
B.
=
9
2
=
3 2
,
2
本 课 结 束
是棱C1C的中点,则过线段AG且平行于平面A1EF的截面图形为(
A.矩形
B.三角形
C.正方形
D.等腰梯形
)
答案:D
解析:取BC的中点H,连接AH,GH,由题意得GH∥EF,AH∥A1F,
又GH⊄平面A1EF,EF⊂平面A1EF,
∴GH∥平面A1EF,同理AH∥平面A1EF,
又GH∩AH=H,GH,AH⊂平面AHG,
α∥平面A1BC1或者α与平面A1BC,BC,CC1,C1D1,D1A1,A1A的中点为E,F,G,H,K,L,易证点
E,F,G,H,K,L共面.则正六边形EFGHKL平行于平面A1BC1.
由 KH
1
A1C1,得
2
KH=
2
,
2
正六边形 EFGHKL 的面积
第八章
指点迷津(八) 空间几何体的截面问题
空间几何体的截面问题
用平面去截一个几何体,所截出的面叫做截面.我们可以想象,类似于用刀
去切(截)几何体,把几何体分成两部分,刀在几何体上留下的痕迹就是截面
的形状,截面是一个平面图形.空间几何体的截面问题涉及平面的基本事实、
空间线面的位置关系、点线共面、线共点等问题,综合性较强,对直观想象
和逻辑推理的数学素养有着较高的要求.