相似三角形典型模型及例题

：相似三角形判定的基本模型
一） A 字型、反 A 字型（斜 A 字型）
二） 8字型、反 8字型
三）母子型 四）一线三等角型：
三等角型相似三角形是以 等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形 为 背景，一个与
等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分 别与等腰三角形的两边相交如图所示：
（五）一线三直角型：
三直角相似可以看着是 “一线三等角” 中当角为直角时的特例， 三直角型相似通常是以矩形或者正 方形形为背景， 或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角， 几种常见的基本图形如 下：
当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相 似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。

（六）双垂型： 二：相似三角形判定的变化模型
旋转型：由 A 字型旋转得到
平行）
不平行）
B
蝴蝶型） 不平行）
8 字型拓展
一线三等角的变形
一线三直角的变形
2：相似三角形典型例题
（1）母子型相似三角形
例1：如图，梯形ABCD中，AD∥ BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E．求证：OC2 OA OE ．
例2：已知：如图，△ ABC中，点E在中线AD上, DEB ABC ．
求证：（1）DB2DE DA；（2）DCE DAC ．
例3：已知：如图，等腰△ ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F．求证：BE2 EF EG ．
1 、如图，已知AD为△ ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：FD
2 FB FC ．
2、已知：AD是Rt△ ABC中∠ A 的平分线，∠ C=90°，EF 是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC 的延长线交于一点N。

求证：（1）△ AME∽△ NMD; （2）ND 2=NC·NB
3、已知：如图，在△ ABC中，∠ ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥ BE于F。

求证：EB·DF=AE·DB
4. 在ABC中，AB=AC，高AD与BE交于H，EF BC ，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是AH 的中点。

求证：GBM 90
5 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ C=90°，BC=2，AC=4，P 是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边
AC
于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠ EPD=∠ A．设A、P两点的距离为
x，△BEP 的面积为y．（1）求证：AE=2PE；
（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当△ BEP与△ ABC相似时，求△ BEP的面积．
（2）双垂型
1、如图，在△ ABC中，∠ A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高求证：（1）△ ABD∽△ ACE；（2）△ ADE∽△ ABC；（3）BC=2ED
2、如图，已知锐角△ ABC，AD、CE分别是BC、AB边上的高，△ABC和△ BDE的面积分别是27和3，DE=6 2，求：点 B 到直线AC的距离。

（3）共享型相似三角形
1、△ ABC是等边三角形，DBCE在一条直线上, ∠ DAE=120° , 已知BD=1，CE=3，求等边三角形的边长
2、已知：如图，在Rt△ ABC中，AB=AC，∠ DAE=45°．
例 1 ：如图，等边△ ABC中，边长
为
（1）求证：△ BDE∽△ CFD
（2）当BD=1，FC=3 时，求BE
点B 重合），且保持APQ ABC .
①若点P在线段CB上（如图），且BP 6，求线段CQ的长；
②若BP x，CQ y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；
2）正方形ABCD 的边长为5（如下图），点P 、Q分别在直．线．CB 、DC 上（点P不与点C、点
B
求证：（1）△ ABE∽△ ACD；2)BC22BE CD ．
（4）一线三等角型相似三角形
例2：（1）在ABC中，AB AC
B D
C
重合），且保持APQ 90 . 当CQ 1时，求出线段BP的长.
例3：已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD< BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．
（1）如图8，P为AD上的一点，满足∠ BPC＝∠ A．
①求证；△ ABP∽△ DPC
②求AP的长．
（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠ BPE＝∠ A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么
①当点Q在DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；
②当CE＝1 时，写出AP的长．
例4：如图，在梯形ABCD中，AD ∥ BC ，AB CD BC 6，AD 3．点M 为边BC的中点，以M为顶点作EMF B，射线ME交腰AB于点E ，射线MF交腰CD于点F ，联结EF．
（1）求证：△ MEF ∽△ BEM ；
（2）若△ BEM 是以BM 为腰的等腰三角形，求EF 的长；
（3）若EF CD ，求BE的长．
1、如图，在△ ABC中，AB AC 8，BC 10 ，D是BC边上的一个动点，点E在AC 边上，且
ADE C ．
（1）求证：△ ABD∽△ DCE；
（2）如果BD x，AE y ，求y 与x的函数解析式，并写出自变量x的定义域；
（3）当点D 是BC 的中点时，试说明△ ADE是什么三角形，并说明理由．
2、如图，已知在△ ABC中，AB=AC=6，BC=5，D是AB上一点，BD=2，E是BC上一动点，联结DE，并作DEF B ，射线EF 交线段AC于F．
（1）求证：△ DBE∽△ ECF；
（2）当 F 是线段AC中点时，求线段BE的长；
（3）联结DF，如果△ DEF与△ DBE相似，求FC的长．
3、已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD<BC，且BC =6 ，AB=DC=4，点E是AB的中点．
（1）如图，P为BC上的一点，且BP=2．求证：△ BEP∽△ CPD；
（2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足∠ EPF=∠ C，PF交直线CD 于点F，同时交直线AD于点M，那么
①当点 F 在线段CD的延长线上时，设BP= x ，DF= y ，求y关于x的函数解析式，并写出函数的
定义域；
9
②当S DMF 9S BEP 时，求BP的长．
4、如图，已知边长为3的等边ABC，点F 在边BC上，CF 1，点E是射线BA 上一动点，以线段EF 为边向右侧作等边EFG ，直线EG,FG交直线AC 于点M ,N，
1）写出图中与BEF 相似的三角形；
2）证明其中一对三角形相似；
3）设BE x,MN y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
4）若AE 1，试求GMN 的面积．
（5）一线三直角型相似三角形
例1、已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上的一个动点，且和点A,D不重合，过点P作PE CP，交边AB于点E,设PD x,AE y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围。

例 2、在 ABC 中， C 90o ,AC 4,BC 3,O 是 AB 上的一点，且
AO 2
AO 2
，点 P 是 AC 上的一个动点， PQ OP 交线段 BC 于点 Q ，（不与 AB 5
点 B,C 重合），设 AP x,CQ y ，试求 y 关于 x 的函数关系，并写出定 义域。

o
3
1.在直角 ABC 中， C 90o ,AB 5,tanB ，点 D 是 BC 的中点，
4
点 E 是 AB 边上的动点， DF DE 交射线 AC 于点 F （ 1）、求 AC 和 BC 的长
（2）、当 EF // BC 时，求 BE 的长。

（3）、连结 EF,当 DEF 和 ABC 相似时，求 BE 的长。

2.在直角三角形 ABC 中， C 90o ,AB BC,D 是AB 边上 一点， E
是在 AC 边上的一个动点， （与 A,C 不重合） ， DF DE,DF 与射线 BC 相交于点 F.
（1） 、当点 D 是边 AB 的中点时，求证： DE DF （2） 、当 AD m ，求 DE 的值
DB DF
AD 1
3）、当 AC BC 6, ，设 AE x,BF
DB 2
3
3.如图，在 ABC 中， C 90 ， AC 6， tanB ，D 是 BC 边的中点，
4
动点，作 DEF 90 ， EF 交射线 BC 于点 F ．设 BE x ， BED 的面积为 y ．
（1）求 y 关于 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；
（2）如果以 B 、 E 、F 为顶点的三角形与 BED 相似，求 BED 的面积 .
4. 如图,在梯形 ABCD 中，AB CD , AB 2,AD 4,tanC 4， ADC
DAB 900,P 是
腰BC 上一个动点 （不含点 B 、C ）, 作PQ AP 交CD 于点Q .（ 图 1）
（1） 求 BC 的长与梯形 ABCD 的面积； （2） 当 PQ DQ 时, 求 BP 的长； （ 图 2）
（3） 设BP x,CQ y ,试求y 关于x 的函数解析式 ,并写出定义域
y ,求y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域
E 为 AB 边上的一个
C
A。