《力学》漆安慎(第二版)答案07章

力学（第二版）漆安慎习题解答

第七章刚体力学

第七章 刚体力学

一、基本知识小结

⒈刚体的质心

定义：∑⎰⎰==dm dm r r m r m r c i i c //

求质心方法：对称分析法，分割法，积分法。

⒉刚体对轴的转动惯量

定义：∑⎰==dm r I r m I i i 22

平行轴定理 I o = I c +md 2 正交轴定理 I z = I x +I y.

常见刚体的转动惯量：（略） ⒊刚体的动量和质心运动定理

∑==c c a m F v m p

⒋刚体对轴的角动量和转动定理

∑==βτωI I L

⒌刚体的转动动能和重力势能

c p k mgy E I E ==221ω

⒍刚体的平面运动=随质心坐标系的平动+绕质心坐标系的转动

动力学方程：∑∑==c c c c

I a m F βτ （不必考虑惯性力矩） 动能：221221c c c k I mv E ω+= ⒎刚体的平衡方程

∑=0F ， 对任意轴 ∑=0τ

二、思考题解答

火车在拐弯时所作的运动是不是平动

答：刚体作平动时固联其上的任一一条直线，在各时刻的位置（方位）

始终彼此平行。若将火车的车厢看作一个刚体，当火车作直线运行时，车

厢上各部分具有平行运动的轨迹、相同的运动速度和加速度，选取车厢上

的任一点都可代替车厢整体的运动，这就是火车的平动。但当火车拐弯时，

车厢上各部分的速度和加速度都不相同，即固联在刚体上任一条直线，在

各时刻的位置不能保持彼此平行，所以火车拐弯时的运动不是平动。

对静止的刚体施以外力作用，如果合外力为零，刚体会不会运动

答：对静止的刚体施以外力作用，当合外力为了零，即0i c F ma ==∑时，

刚体的质心将保持静止，但合外力为零并不表明所有的外力都作用于刚体

的同一点。所以，对某一确定点刚体所受合外力的力矩i i i M M r F ==⨯∑∑不

一定为零。由刚体的转动定律M J α=可知，刚体将发生转动。比如，置于

光滑水平面上的匀质杆，对其两端施以大小相同、方向相反，沿水平面且

垂直于杆的两个作用力时，杆所受的外力的合力为零，其质心虽然保持静

止，但由于所受合外力矩不为零，将作绕质心轴的转动。

如果刚体转动的角速度很大，那么（1）作用在它上面的力是否一定很大

（2）作用在它上面的力矩是否一定很大

答：由刚体的定轴转动定律

sin i i i d M r F J J dt ωθα===∑可知，刚体受对轴

的合外力矩正比于绕定轴转动角速度的时间变化率。因此，刚体转动的角

速度很大，并不意味这转动角速度的时间变化率也很大，所以，

（1）刚体定轴转动的角速度ω很大，与其受力i F ∑没有直接关系。对

于刚体的一般运动，所受合外力使刚体的质心产生加速度，即改变刚体的

平动状态。 （2）刚体定轴转动的角速度ω很大，与其受到对定轴的力矩M 的大小

也没有直接关系。合外力矩使刚体产生角加速度，改变刚体的转动状态。

为什么在研究刚体转动时，要研究力矩作用力矩和哪些因素有关

答：一个静止的刚体能够获得平动的加速度而运动起来的原因是，相

对它的质心而言，所受的合外力不为零。一个静止的刚体相对某一转动，

能够获得角加速度而转动起来的原因是，刚体所受到的外力对转轴的合外

力矩i M ∑不为零。因此，刚体的转动是与其受到的相对转轴的合外力矩密

切相关的。取z 轴为刚体转动的固定轴时，对转动有贡献的合外力矩是

z iz M M =∑，其中sin iz i i M F r θ=，i F 是作用在刚体上的第i 个外力在转动平面

内的分量，而i r 是由转轴（z 轴）到i F 的作用点的距离，θ是i r 和i F 间由右手

定则决定的夹角。所以，对z 轴的力矩不但与各外力在转动平面内分量的大

小i F 有关，还与i F 的作用线与z 轴的垂直距离（力臂）sin i i d r θ=的值有关。

试证：匀质细棒在光滑平面上受到一对大小相等、方向相反的作用力作用

时，不管力作用在哪里，它的质心加速度总是零。 答：匀质刚性细棒可以看作在运动中保持相对位置不变的质点系，其质心

遵守运动定律i

c i F ma =∑ .当该棒受大小相等方向相反的作用力时，质心所

受合力与各个力的作用点无关，加速度总为零。

在计算物体的转动惯量时，能把物体的质量集中的质心处吗

答：物体的转动惯量时物体转动惯性大小的量度。影响转动惯量的因素有：物体的总质量、物体质量的分布以及转轴的位置。同一物体对质心轴和任意轴的转动惯量是不同的。所以，在计算物体的转动惯量时，不能简单地把物体的质量看作集中在质心处。

两个同样大小的轮子，质量也相同。一个轮子的质量均匀分布，另一个轮子的质量主要集中在轮缘，问：（1）如果作用在它们上面的外力矩相同，哪个轮子转动的角加速度较大（2）如果它们的角加速度相等，作用在哪个轮子上的力矩较大（3）如果它们的角动量相等，哪个轮子上的力矩较大答：质量相等、大小相同的轮子，由于质量分布情况的不同而使得它们对

同一转轴的转动惯量不同。由转动惯量的意义

2

J r dm

=⎰可知，质量主要集

中在轮缘的轮子，其转动惯量较大。由定轴的转动定律M Jα

=和角动量L Jω

=，可知：

（1）M相同时，物体所获得的角加速度大小与转动惯量成反比，故质量均匀分布的轮子转动的角加速度较大；

（2）角加速度相等时，转动惯量大的轮子上作用的力矩也大，故质量主要集中在轮缘的轮子受到的力矩较大；