一(复数与复数运算)
复数及其运算(完整版本)
z1 z2
z1 z2
;
(5)zz;
(6 )zz R e (z )2 I m (z )2 |z|2 ;
恒为正整数或0,它的非负平方根称为z的模或绝对值
11
例 1 设 z13i , 求 R z )e I,m ( z )与 z( z. i 1i
解 z1 3i i 3i(1i) 3 1 i, i 1i ii (1i)1 (i) 2 2
18
19
20世纪
•16世纪，解代数方程时引入复数(笛卡尔，韦塞尔，阿尔冈) •17世纪，实变初等函数推广到复变数情形 •18世纪，逐步阐明复数的几何、物理意义。（达朗贝尔，欧拉）
流 体 力 学u (x ,y )+ iv (x ,y )
3
•19世纪，奠定理论基础。A.L.Cauchy、维尔斯特 拉斯分别用积分和级数研究复变函数，黎曼研究复 变函数的映射性质
§1-1 复数及其运算 §1-2 复平面上的点集 §1-3 复变函数及其极限和连续 §1-4 复球面与无穷远点
6
§1-1 复数及其运算
主要介绍关于复数的基本概念，包括复数的定 义、表示方法、运算法则、基本不等式的应用
7
一 复数的概念及表示法
i2 1
定 义 ： 形 如 z x y i 或 z x i y 的 数 称 为 复 数 .
则z 1 z 2 x 1 x 2 且 y 1 y 2
8
共轭复数 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两
个复数称为共轭复数, z的共轭复数记z. 为
即 z ： x i,y 则 若 z x i.y
x Rez zz , y Imz zz
2
2i
9
复数系关于加法,乘法,除法是自封闭的
复数及复数运算
复变函数（§1.1）§1.1复数运算(一)复数的基本概念一个复数z可以表为某个实数x与某个纯虚数i y的和，z = x + i y， (1.1.1) 这称为复数的代数式，x和y分别为该复数的实部和虚部，并分别记作Re z和Im z。
如果将x和y当作平面上点的坐标(图1−1)，复数z就跟平面上的点一一对应起来。
这个平面称为复数平面，两个坐标轴分别称为实轴和虚轴。
如果将x和y当作矢量的直角坐标分量(图1−1)，复数z还可以用复数平面上的矢量来表示。
改用极坐标ρ和φ (图1−1)代替直角坐标x和y，两者之间的关系如下{ρ=√x2+y2，φ=arctan(yx )；{x=ρcos φ ，y=ρsin φ 。
(1 .1 .2 )则复数z可表为三角式或指数式，即z = ρ ( cos φ + i sin φ ) ，(1 .1 .3 )或z =ρe iφ(1 .1 .4 )ρ称为该复数的模，记作|z|。
φ称为该复数的幅角，记作Arg z 。
一个复数的辐角值不能唯一地确定，可以取无穷多个值，并且彼此相差2π的整数倍。
通常约定，以arg z表示其中满足条件0 ≤ Arg z <2π的一个特定值，并称arg z为Arg z的主值，或z的主幅角。
于是有φ = Arg z = arg z + 2kπ(k = 0，±1，±2 … ) 。
复数“零”(即实部x及虚部y都等于零的复数)的辐角没有明确意义。
一个复数z的共扼复数 z∗，指的是对应的点对实轴的反映，即z∗= x –i y = ρ (cos φ –i sin φ) = ρe−iφ(1 .1 .5 )(二)无限远点前面我们将模为有限值的复数跟复数平面上的有限远点一一对应起来，在复变函数论中，通常还将模为无限大的复数也跟复数平面上的一点相对应，并且称这一点为无限远点。
关于无限远点，可作如下理解.把一个球放在复数平面上，球以南极S跟复数平面相切于原点，如(图1−2) 所示。
数学物理方法1.1复数与复数运算
12
课后习题
1.下列各式在复平面上表示什么？ (1) |z-a|=|z-b|，a、b为复常数
解：由表达式可知，这是一条直线，即a、b两点 的垂直平分线。
(3) Rez>1/2
解：设z=x+iy，则Rez=x，故原式即为x>1/2，它表 示为x>1/2的半平面。
2.将下列复数用代数式、三角式和指数式表示。
指数式和三角式的优越性 模相乘、幅角相加.
y2
z1 z2
1 2 z2
y1
1 2
z1
x1 x2
10
除法运算：
z1 x1 x2 y1 y2 x y1 x1 y2 i 2 2 2 2 2 z2 x2 y2 x2 y2
1 i ( ) e 2 1 [cos(1 2 ) i sin(1 2 )] 2
1
课程的基本要求
《数学物理方法》作为物理、电子类专业的专业基 础课，既是一门数学课程，又是一门物理课程。在 学习过程中，固然不应该将数学的严谨性弃置不 顾，也不宜在数学上作过多的纠缠；既要照顾数学 完整性与连续性，也应考虑物理模型、物理图象、 物理过程以及数学结论的物理内涵，因此，应将数 学方法与物理思想有机地联系起来，作为一个整体 加以学习。主要是掌握今后有关物理课程中遇到的 各种数学工具，并能熟练地运用这些数学手段有效 地解决物理问题。
复数与复数运算
复数与复数运算复数是数学中一个重要的概念，它由实部和虚部组成，常用形式为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。
复数的引入为解决一些实数范围内无法解决的问题提供了新的可能性。
在实际应用中，复数常常用于描述交流电路、信号处理、量子力学等领域。
本文将探讨复数的基本概念以及复数运算的相关内容。
一、复数的基本概念复数的引入是为了解决无法在实数范围内解决的方程，例如x^2=-1。
在实数范围内，这个方程无解，但引入了虚数单位i后，我们可以得到解x=i和x=-i，其中i^2=-1。
虚数单位i定义为i^2=-1，它是一个与实数无关的数。
复数的一般形式为a+bi，其中a为实部，bi为虚部。
实部和虚部都可以是实数，也可以是复数。
当虚部为零时，复数退化为实数。
复数的实部和虚部可以通过实数的运算进行加减乘除。
例如，(3+2i)+(1+4i)=(3+1)+(2+4)i=4+6i。
二、复数运算的基本规则复数的加减法遵循实数的运算法则，实部相加，虚部相加。
例如，(3+2i)+(1+4i)=(3+1)+(2+4)i=4+6i。
复数的乘法按照分配律进行，即(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=(ac-bd)+(ad+bc)i。
复数的除法可以通过乘以共轭复数的方式进行，即(a+bi)/(c+di)=(a+bi)(c-di)/(c+di)(c-di)=(ac+bd)/(c^2+d^2)+(bc-ad)/(c^2+d^2)i。
复数的运算还可以通过极坐标形式进行。
极坐标形式表示复数的模和幅角，即z=r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为幅角。
复数的模可以通过勾股定理计算得到，即|r|=√(a^2+b^2)。
复数的幅角可以通过反三角函数计算得到，即θ=arctan(b/a)。
在极坐标形式下，复数的乘法和除法变得更加简洁，即z1z2=r1r2(cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2))和z1/z2=(r1/r2)(cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2))。
数学中的复数与复数运算
数学中的复数与复数运算数学中的复数是一个非常有趣且重要的概念。
复数是由实数和虚数组成的数，可以用形如a+bi的方式表示，其中a和b都是实数，i是虚数单位，满足i^2=-1。
复数的引入是为了解决实数域中无法解决的方程问题，比如x^2+1=0。
在实数域中，这个方程无解，但是在复数域中，可以找到解x=i和x=-i。
因此，复数的引入使得我们能够解决更多的方程问题。
复数的运算也是非常有趣的。
与实数不同，复数的加法和减法是直接按照实部和虚部相加减的。
例如，(3+2i)+(1+5i)=4+7i，(3+2i)-(1+5i)=2-3i。
复数的乘法也是按照特定的规则进行的。
要计算两个复数的乘积，首先将实部相乘，然后将虚部相乘，最后将两个结果相加。
例如，(3+2i)×(1+5i)=(3×1)+(3×5i)+(2i×1)+(2i×5i)=3+15i+2i+10i^2=3+17i-10= -7+17i。
除法运算也是复数运算中的一个重要部分。
要计算两个复数的除法，首先需要将分母的共轭复数乘以分子和分母，然后将结果进行简化。
例如，(3+2i)/(1+5i)=((3+2i)(1-5i))/((1+5i)(1-5i))=(3-15i+2i-10i^2)/(1-25i^2)=(3-13i+10)/(1+25)=13/26-(13/26)i=1/2-(1/2)i。
复数的模也是一个重要的概念。
复数的模表示复数到原点的距离，可以通过勾股定理计算。
复数z=a+bi的模可以表示为|z|=√(a^2+b^2)。
模的平方也是复数的实部平方加上虚部平方的和。
例如，复数3+4i的模为|3+4i|=√(3^2+4^2)=√(9+16)=√25=5。
复数的幂运算也是复数运算中的一个重要部分。
要计算一个复数的幂，可以使用欧拉公式e^(ix)=cos(x)+isin(x)。
通过欧拉公式，可以将复数的幂转化为三角函数的形式进行计算。
复数与复数运算
谢 谢 观 看！
数学物理方法
绪论
教学目的
• 数学物理方法是高等师范院校本科教育
的一门重要基础课，它使学生获得复变 函数，傅里叶变换，三种偏微分方程的 建立与求解及球函数、柱函数等方面的 基础知识。是学习物理专业四门基础理 论课的基础与数学工具。课程目的重点 在于培养学生运用数学方法分析、解决 物理问题的能力。
课程内容
数学物理方程（七、八、九、十、十一
• 考试方式：闭卷 • 考核方式：平时10％，期末90％ • 即平时成绩满分10分，每缺席1次扣2分，6
次以上取消本门课程考试资格。
1.1 复数与复数运算
• 重点：复数与复平面上的点的对应关系，复数
的直角坐标表示，极坐标表示 • 难点：复数的指数式与代数式之间的转换，无 限远点的概念 • 掌握：复数的三种表示方式，复数的运算法则 • 1. 复数的概念
(5)复数的商： z1 x1＋iy1 ( x1＋iy1 )( x2 -iy2 ) x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 = = 2 +i 2 2 2 z2 x2＋iy2 ( x2＋iy2 )( x2 -iy2 ) x2 y2 x2 y2 z1 1 (cos 1 i sin 1 ) 1 [cos(1 2 ) i sin(1 2 )] z2 2 (cos 2 i sin 2 ) 2
i
] , k 0,1
2 2 k 0, e cos i sin i 4 4 2 2 5 i 5 5 2 2 4 k 1, e cos i sin i 4 4 2 2
4
（8）区别：|z|2与z 2 |z|2 2 z z* , z 2 z z
复数的运算与复数方程的解法
复数的运算与复数方程的解法复数是由实数和虚数组成的数，包含实部和虚部。
在复数的运算中，可以进行加法、减法、乘法和除法操作。
同时，复数也可用于解决复数方程。
一、复数的加减法运算复数的加减法运算可以通过实部和虚部的相加减来完成。
假设有两个复数z1和z2，分别表示为z1=a1+bi，z2=a2+bi，其中a1和a2为实部，b为虚部。
1. 加法运算z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i2. 减法运算z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i通过以上公式，我们可以利用实部和虚部对复数进行相加减运算。
二、复数的乘法运算复数的乘法运算可以通过公式(a+bi)(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i来完成。
1. 将两个复数展开并按照实部和虚部分别相乘，得到的结果相加即可。
例如，有复数z1=3+2i，z2=4-5i，我们可以将它们进行乘法运算：z1*z2=(3+2i)(4-5i)=(3*4-2*5)+(3*(-5)+2*4)i=(12-10)+(-15+8)i=2-7i三、复数的除法运算复数的除法运算可以通过乘法的逆运算-相乘数的倒数来完成。
假设有两个复数z1和z2，分别表示为z1=a1+bi，z2=a2+bi，其中a1和a2为实部，b为虚部。
1. 将复数z2的共轭复数(实部相同，虚部取相反数)作为除数，即z2的共轭复数为a2-bi。
2. 将z1乘以z2的共轭复数。
3. 将结果的实部除以z2和z2的共轭复数的模的平方，虚部除以模的平方，得到的商即为除法运算结果。
四、复数方程的解法复数方程是指方程中未知数是复数的方程，一般形式为az + b = 0，其中a和b为已知复数。
1. 将方程转化为标准形式：az = -b。
2. 计算方程中的变量z，得到复数解。
例如，解复数方程2z + 3i = 0：2z = -3iz = -3i/2通过以上步骤，我们可以求解复数方程的解。
总结：复数的运算可以通过实部和虚部的加减乘除运算完成，运算的结果仍然是一个复数。
复数与复数运算数学中的虚实之间
复数与复数运算数学中的虚实之间复数与复数运算：数学中虚实之间在数学中，复数是由实数与虚数相加得到的数。
虚数是一个不能用实数表示的数，它的特点是平方为负数。
复数的存在使我们能够解决一些实际问题中的难题，并且在数学的其他分支中也有广泛的应用。
本文将探讨复数的定义、运算规则以及复数与实际问题之间的联系。
复数的定义复数是由实数与虚数相加而得到的数。
在复数表示中，实数部分用a表示，虚数部分用bi表示，其中a和b都是实数，i是虚数单位，满足i²=-1。
复数的一般形式可以写作a+bi。
例如，2+3i就是一个复数，其中实数部分是2，虚数部分是3i。
复数运算规则与实数类似，复数也具有加、减、乘、除等基本运算。
1. 复数的加法与减法复数的加法就是实部与实部相加，虚部与虚部相加。
例如，(3+4i)+(2+5i)=5+9i。
复数的减法也类似，实部与实部相减，虚部与虚部相减。
例如，(3+4i)-(2+5i)=1-i。
2. 复数的乘法复数的乘法与实数的乘法类似，实部与实部相乘，虚部与虚部相乘，并且要注意虚数单位i的平方为-1。
例如，(3+4i)*(2+5i)=(6-20)+(15+10)i=-14+25i。
3. 复数的除法复数的除法涉及到共轭复数的概念。
共轭复数就是虚数的符号取相反数。
例如，对于复数a+bi，它的共轭复数为a-bi。
复数的除法可以通过乘以共轭复数的方式转化为乘法。
例如，(3+4i)/(2+5i)可以转化为(3+4i)*(2-5i)。
复数的应用复数不仅在数学中有广泛的应用，还在物理学、工程学等学科中发挥重要的作用。
1. 电路分析在电路分析中，往往涉及到交流电，而交流电是由正弦函数表示的。
而正弦函数可以通过复数的指数形式进行表示，因此复数在电路分析中起到了重要的作用。
2. 物理学中的波动现象波动现象涉及到振幅、周期和相位等概念，这些概念可以通过复数进行表示。
例如，光的电场和磁场波动可以用复数表示，从而方便地进行计算和描述。
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12
w0
r1
n cos
n
i
sin
n
w1
r1 n cos
2
n
i sin
2
n
wn1
r1 n cos
2n 1
n
i sin
2n 1
n
以原点为中心，r1 n为半径的圆的内接正n边形的n个顶点
13
例1
设
z1
5 5i, z2
3
4i
求
z1 z2
与
z1 z2
解: z1 5 5i 35 5i 7 1 i
4
第一章 复变函数
§1.1 复数与复数运算
一. 复数的基本概念
虚数单位 i i2 1
y Z
z
复数
z x iy,
代数式 O
实部、虚部 x Rez y Im z
x 复数平面
实轴
纯虚数
z iy, y 0.
虚轴
两个复数相等 实部和虚部分别相等 复数还可以用复平面上的矢量来表示！
复数不 能比较 大小！
z1z2 12[cos(1 2 ) i sin(1 2 )]
••••
ei(12 ) 12
z1 z2
1 2
[cos(1 2 ) i sin(1 2 )]
••• 1 ei(12 ) 2
辐角不能唯一确定，可以相差2 的整数倍
10
z的n次幂： zn zz z
n个
zn r n cos nθ i sinn
结论 tgArgz y
x
设1为z 0的一个辐角，则
Argz 1 2k k为任意整数
Argz的主值 arg z：z 0的辐角中，满足 0 0 2
的角.
z 0时，辐角没有意义.
6
共轭复数 设 z x iy, 定义 z的共轭复数 z x iy. 共轭复数的性质:
i) z1 z2 z1 z2 z1z2 z1z2
sin(ix) ishx,
chx为双曲余弦
cos(ix) chx,
shx 1 (ex ex )•••••chx 1 (ex ex )
2
2
3
二. 复变函数的应用： 1、解偏微分方程的边值问题，如：保角变换法、 复变函数法； 2、解偏微分方程的初值问题，如：积分变换法、 行波法；
3、计算实积分，如：留数定理。
z2 3 4i
25
55
例2 设 z 1 3i ,求 Re( z), Im( z) 与 zz i 1i
z 1 3i i 3i(1 i) i 3 i 3 3 1 i
i 1i
(1 3 , Im(z) 1 , zz ( 3 1 i)(3 1 i) 5
第一篇 复变函数论
复变函数理论被人誉为19世纪最独特的创造，这个新的数学 分支统治了19世纪。几乎象微积分的直接扩展统治了18世纪那 样，曾被称为19世纪的数学享受，也曾被称为抽象科学最和谐 的理论之一。
复变函数理论中最重要的内容是解析函数。解析函数不仅对 数学自身的发展起了重大作用，而且在理论物理、空气动力学、 流体力学、天体物理、弹性理论及其工程技术中也有广泛的应 用。所以本篇研究的中心问题是解析函数的问题。
由于复变函数是定义在复数集上的，为此在学习时我们首先 需要复习有关复数的概念。
1
一. 复变函数的内容： １、将“实函”中, 函数、极限、连续、微商、积分、级数推 广至“复函”中；
２、解除了实数领域中若干禁令：
实函
(a x)
2
不存在
ln(2)
不存在
| cos a |
ea
| sin a |
1 ex exb
(1.3.7)
定义
z n
1 zn
zn r ncos nθ i sin n
r ncos nθ i sinnθ
r 1
棣莫弗(DeMoivre)公式：
cosθ i sin n cos nθ i sinn
(1.3.8)
11
z的n次根： w n z
下面求出w
令z rcosθ i sin
•S
A
因当z点无限地远离原点时 或者说，当复数z的模无限地变大时，
点P就无限地接近于N. 所以，规定： 复平面上有一个唯一的“无穷远点”与N相对应相. 应地，规定：
复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点 N相对应. 记为∞
8
三. 复数的运算
z1 x1 iy1, z2 x2 iy2 和差 z1 z2 (x1 x2 ) i( y1 y2 )
5
复数的三角表示式：z rcos i sin
r
x2 y2
复数的指数表示式： z rei
arctg( y / x)
欧拉公式
r称为z的模： z x2 y2
y
x z , y z , z x y , zz z 2
Z z
z的辐角： Argz
O
x
z 0时，以正实轴为始边，以表示z的向量OP为终边的弧度数
交换律结合律
z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 积 z1z2 (x1x2 y1 y2 ) i(x1 y2 x2 y1)
交换律、结合律、分配律
商
z1 z2
x1x2 x22
y1 y2 y22
i
x2 y1 x1 y2 x22 y22
除法是乘法的逆运算
9
有的时候采用三角式或者指数式表示更加简单：
w cos i sin
由棣莫弗公式得：
n cos n i sinn rcosθ i sin
n r cosn cos sinn sin
n r , n 2k , k 0,1,2,
n r,
2k ,
n
k 0,1,2, , n 1时，得到n个相异的根：
z1 z1
z2
z2
ii) z z
y
iii) zz Rez2 Im z2
Z z
iv) z z 2 Rez
z z 2i Imz
O
x
7
二. 无限远点
•N
N为北极，S为南极 除去北极N，球面上的点与复平面内
P
A
的点一一对应. 即
除去北极N，球面上的点与 复数一一对应.这种对应叫做
测地投影，球叫做复数球
2
2
22 22 2
14
例3 将 z 12 2i 化为三角表示和指数表示.
复函 2i ln 2 i(2n 1) 1,1 ez ezi2n
(a z)
2
复变函数的内容： １、将“实函”中, 函数、极限、连续、微商、积分、级数推 广至“复函”中； ２、解除了实数领域中若干禁令：
３、建立了三角函数和指数函数，双曲函数的关系
eix cos x i sin x,
shx为双曲正弦