三阶系统综合分析与设计解析

三阶系统是以三级微分方程为运动方程的控制系统。在控制工程中，三阶系统非常普遍，其动态性能指标的确定是比较复杂。在工程上常采用闭环主导极点的概念对三阶系统进行近似分析，或直接用MATLAB软件进行高阶系统分析。在课程设计中，要掌握用MATLAB绘制闭环系统根轨迹和系统响应曲线，用系统的闭环主导极点来估算三系统的动态性能，以及在比较点与开环传递函数之间加一个非线性环节判断其稳定性。
8、认真撰写课程设计报告。
２ 绘制三阶系统
图2系统结构图
由图1可得，三阶系统的开环传递函数为：
G（s）=ห้องสมุดไป่ตู้
2.1
根据绘制根轨迹的规则，可知该系统的根轨迹绘制步骤如下：
（1）根轨迹的起点和终点。根轨迹起于开环极点，终于开环零点。
开环极点分别为0、-3、-6，无开环零点。
（2）根轨迹的分支数。n=3，m=0，所以分支数为3 。且它们是连续的并且对称于实轴。
1 设计内容
1.1 设计题目
三阶系统的综合分析和设计
初始条件：某单位反馈系统结构图如图1-1所示：
图1-1 图1-2
1.2 设计任务
要求完成的主要任务:（包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）
1、试绘制随根轨迹
2、当-8为闭环系统的一个极点时，K=?
3、求取主导极点阻尼比为0.7时的K值（以下K取这个值）
于是分离点方程为：
因此可以求得分离点d=-1.3,d=-4.7（不合题意，舍去）
(6)根轨迹与虚轴的交点。
闭环特征方程式为
对上式应用劳斯判据，有：
1 18
9 k
k
令劳斯表中 行的首项为零，得k= 162,根据 行的系数，得辅助方程
9 +k=0
代k=162并令s=jw,解得交点坐标
2
MATLAB为绘制根轨迹编程如下：
4、分别求取位置误差系数、速度误差系数、加速度误差系数及输入信号为 单位阶跃信号、斜坡信号及单位加速度信号时的稳态误差
5、用Matlab绘制单位阶跃相应曲线
6、绘制Bode图和Nyquist曲线，求取幅值裕度和相角裕度
7、如在比较点与开环传递函数之间加1个死区非线性环节，如图1-2所示，其中 ，试求取非线性环节的描述函数，并根据负倒描述函数和Nyquist图判断系统的稳定性
令 ，称 为稳态位置误差系数。
稳态误差可表示为
对于0型系统， =0，则 = ；当 1时， = 。
由图1系统得：
由上式得 =1，则 =
= =0
4
对于单位斜坡输入 ，此时系统的稳态误差为
称为稳态速度误差系数。
于是稳态误差可表示为
由图1系统得： = = =0.978
=1.022
4
对于单位抛物线输入 ，此时系统的稳态误差为
0.686 -12.6 +k=0
0.686 -8.82 +12.6 =0
解得
（舍）
所以取 。
所以，开环传递函数为
4
系统的误差 e(t)一般定义为输出量的希望值与实际值之差，一般情况下采用从系统输入端定义的误差e(t)来进行计算分析。控制系统的稳定系统误差信号的稳态分量称为系统的稳态误差，以 表示
4
对于单位阶跃输入，R(s)=1/s,求得系统的稳态误差为
手工绘制伯德图的步骤如下：
1、将传递函数写成伯德标准型，确定开环传递系数和各转折频率。
系统的开环频率特性为
由伯德标准型容易看书，开环传递系数为 ，转折频率为 ， 。
2、 确定低频段：由传递函数可知该系统为1型系统，即有微分环节，所以绘制低频段，可过 ， 作一条斜率为-20dB/dec的斜线。
3、 绘制开环对幅频特性的渐近线：将低频段延伸到第一个转折点频率 处。因为第一个转折频率是惯性环节的转折频率，所以，开环对数频率特性的渐近线下降20dB/dec,再延伸到第二个转折频率 处，因为也是惯性环节，所以再下降20dB/dec。
4、 绘制相频特性：绘制各个环节的对数相频特性曲线，然后逐点叠加。一般在一些特征点上进行叠加，如各个转折频率处。
5、 修正对数幅频特性。
Matlab编写程序时可以利用函数Bode和margin,但是margin函数可以直接读出相角裕度和幅值裕度，所以下面用margin函数绘制BODE图
num=[17.6];
den=[191817.6];
syms=tf(num,den);
step(tf(num,den))
即系统单位阶跃相应曲线为图3所示：
图4系统单位阶跃相应曲线
6
6
6.1.1绘制Bode图
Bode图又称对数频率特性曲线图，由对数幅频曲线和对数相频曲线组成，是工程中广泛使用的一组曲线。
令
称 为稳态加速度误差系数。于是稳态误差可表示为
于是稳态误差可表示为
则对于图1系统得： = =0
=
4
系统的开环传递函数为 ( =17.617)
当 时， = ， = =0
当 时， =0.978， =2.556
当 时， =0， =
则当输入信号为 时
= + + =
5
MATLAB绘制单位阶跃响应曲线编程如下：
由于主导极点阻尼比 =0.7<1,属于欠阻尼系统。由公式 得：
=
设系统的自然频率为 ，阻尼比 ，由上述用闭环主导极点分析高阶系统的方法可知，距虚轴最近的一对闭环共轭主导极点为：
代入数据：
闭环特征方程式为
代入s的方程化简得:
0.686 -12.6 +k+ (0.686 -8.82 +12.6 )=0
分别令实部和虚部为零得到两个方程：
（3）根轨迹的渐进线。本系统根轨迹的渐近线有三条，据其与实轴的夹角公式:
把n=3,m=0代入求得：
渐近线与实轴的交点为：
(4)根轨迹在实轴上的分布。实轴上的某一个区域，若其右边开环零、极点的个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。因此实轴上[- ，-6] [-3,0]必为根轨迹。
(5)确定根轨迹的分离点。该系统中没有有限零点，由法则五得：
num=[1];
den=[1918 0];
syms=tf(num,den);
rlocus(syms)
MATLAB产生的根轨迹如图2所示：
图3闭环系统的根轨迹
3
3.1
由图1的系统的闭环传递函数为
闭环特征方程式为
把s=-8代入上式中解得K=80
3
在控制工程实践中，通常要求控制系统即具有较快的响应速度，又具有一定的阻尼程度，此外还要求减少死区间、间隙和库仑摩擦等非线性因素对系统性能的影响，因此高阶系统的增益常常调整到是系统具有一对闭环共轭主导极点。这时，可以用二阶系统的动态性能指标来估算高阶系统的性能。