2010高考数学知识总结
2010年高考数学知识点总结
2010年高考数学知识点总结第一篇：2010年高考数学知识点总结2010年高考数学知识点总结1.平面向量考试内容：向量.向量的加法与减法.实数与向量的积.平面向量的坐标表示.线段的定比分点.平面向量的数量积.平面两点间的距离.平移.考试要求：(1)理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念.(2)掌握向量的加法和减法.(3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.(4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件.(6)掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用.掌握平移公式.2.集合、简易逻辑考试内容：集合.子集.补集.交集.并集.逻辑联结词.四种命题.充分条件和必要条件.考试要求：理解集合、子集、补集、交集、并集的概念.了解空集和全集的意义.了解属于、包含、相等关系的意义.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.理解四种命题及其相互关系.掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义.3.函数考试内容：映射.函数.函数的单调性.奇偶性.反函数.互为反函数的函数图像间的关系.指数概念的扩充.有理指数幂的运算性质.指数函数.对数.对数的运算性质.对数函数.函数的应用.考试要求：了解映射的概念，理解函数的概念.了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法.了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质.理解对数的概念，掌握对数的运算性质.掌握对数函数的概念、图像和性质.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.4.不等式不等式.不等式的基本性质.不等式的证明.不等式的解法.含绝对值的不等式.考试要求：(1)理解不等式的性质及其证明.(2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用.(3)掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式.(4)掌握简单不等式的解法.(5)理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│.5.三角函数考试内容：角的概念的推广.弧度制.任意角的三角函数.单位圆中的三角函数线.同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式.两角和与差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.正弦函数、余弦函数的图像和性质.周期函数.函数y=Asin(ωx+)的图像.正切函数的图像和性质.已知三角函数值求角.正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.考试要求：(1)理解任意角的概念、弧度的意义.能正确地进行弧度与角度的换算.(2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义.了解余切、正割、余割的定义.掌握同角三角函数的基本关系式.掌握正弦、余弦的诱导公式.了解周期函数与最小正周期的意义.(3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.(4)能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明.(5)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+)的简图，理解A,ω, 的物理意义.(6)会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsin x、arccos x、arctanx表示.(7)掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形.6.数列考试内容：数列.等差数列及其通项公式.等差数列前n项和公式.等比数列及其通项公式.等比数列前n项和公式.考试要求：(1)理解数列的概念，了解数列通项公式的意义.了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.(2)理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题.(3)理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题.7.直线和圆的方程考试内容：直线的倾斜角和斜率.直线方程的点斜式和两点式.直线方程的一般式.两条直线平行与垂直的条件.两条直线的交角.点到直线的距离.用二元一次不等式表示平面区域.简单的线性规划问题.曲线与方程的概念.由已知条件列出曲线方程.圆的标准方程和一般方程.圆的参数方程.考试要求：(1)理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式.掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程.(2)掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式.能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系.(3)了解二元一次不等式表示平面区域.(4)了解线性规划的意义，并会简单的应用.(5)了解解析几何的基本思想，了解坐标法.(6)掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程.8.圆锥曲线方程考试内容：椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程.双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质.抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质.考试要求：(1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程.(2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质.(3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质.(4)了解圆锥曲线的初步应用.9(A).①直线、平面、简单几何体考试内容：平面及其基本性质.平面图形直观图的画法.平行直线.对应边分别平行的角.异面直线所成的角.异面直线的公垂线.异面直线的距离.直线和平面平行的判定与性质.直线和平面垂直的判定与性质.点到平面的距离.斜线在平面上的射影.直线和平面所成的角.三垂线定理及其逆定理.平行平面的判定与性质.平行平面间的距离.二面角及其平面角.两个平面垂直的判定与性质.多面体.正多面体.棱柱.棱锥.球.考试要求：(1)掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图.能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形.能够根据图形想像它们的位置关系.(2)掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理.掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离.(3)掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理.掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握三垂线定理及其逆定理.(4)掌握两个平面平行的判定定理和性质定理.掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念.掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理.(5)会用反证法证明简单的问题.(6)了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念.(7)了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图.(8)了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图.(9)了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式.9(B).直线、平面、简单几何体考试内容：平面及其基本性质.平面图形直观图的画法.平行直线.直线和平面平行的判定与性质.直线和平面垂直的判定.三垂线定理及其逆定理.两个平面的位置关系.空间向量及其加法、减法与数乘.空间向量的坐标表示.空间向量的数量积.直线的方向向量.异面直线所成的角.异面直线的公垂线.异面直线的距离.直线和平面垂直的性质.平面的法向量.点到平面的距离.直线和平面所成的角.向量在平面内的射影.平行平面的判定和性质.平行平面间的距离.二面角及其平面角.两个平面垂直的判定和性质.多面体.正多面体.棱柱.棱锥.球.考试要求：(1)掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图；能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想像它们的位置关系.(2)掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；理解直线和平面垂直的概念，掌握直线和平面垂直的判定定理；掌握三垂线定理及其逆定理.(3)理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘.(4)了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算.(5)掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间距离公式.(6)理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念.(7)掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念.对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离.掌握直线和平面垂直的性质定理.掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理.(8)了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念.(9)了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图.(10)了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图.(11)了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式.(考生可在9(A)和9(B)中任选其一)10.排列、组合、二项式定理考试内容：分类计数原理与分步计数原理.排列.排列数公式.组合.组合数公式.组合数的两个性质.二项式定理.二项展开式的性质.考试要求：(1)掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题.(2)理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题.(3)理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题.(4)掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题.11.概率考试内容：随机事件的概率.等可能性事件的概率.互斥事件有一个发生的概率.相互独立事件同时发生的概率.独立重复试验.考试要求：(1)了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义.(2)了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率.(3)了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率.(4)会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.12.统计考试内容：抽样方法.总体分布的估计.总体期望值和方差的估计.考试要求：(1)了解随机抽样了解分层抽样的意义，会用它们对简单实际问题进行抽样.(2)会用样本频率分布估计总体分布.(3)会用样本估计总体期望值和方差.13.导数考试内容：导数的背景.导数的概念.多项式函数的导数.利用导数研究函数的单调性和极值.函数的最大值和最小值.考试要求：(1)了解导数概念的某些实际背景.(2)理解导数的几何意义.(3)理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值.(4)会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值.第二篇：2021年高考数学知识点归纳总结2021年高考数学知识点归纳总结你知道吗?高中数学在学习的过程中，有很多知识点常考点。
2010年高考数学知识点复习重点90条
46． 解含参数的不等式的通法是"定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．"
47． 恒成立不等式问题通常解决的方法：借助相应函数的单调性求解，其主要技巧有数形结合法，分离变量法，换元法。
12． 切记定义在R上的奇函数y=f(x)必定过原点。
13． 抽象函数的单调性、奇偶性一定要紧扣函数性质利用单调性、奇偶性的定义求解。同时，要领会借助函数单调性利用不等关系证明等式的重要方法：f(a)≥b且f(a)≤b?f(a)=b。
14． 对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？（真数大于零，底数大于零且不等于1）字母底数还需讨论。
18． 等差数列中的重要性质：；若，则；成等差。
19． 等比数列中的重要性质：；若，则；成等比。
20． 你是否注意到在应用等比数列求前n项和时，需要分类讨论．（时，；时，）
21． 等差数列的一个性质：设是数列的前n项和，为等差数列的充要条件是
（a, b为常数），其公差是2a。
22． 你知道怎样的数列求和时要用"错位相减"法吗？（若，其中是等差数列，是等比数列，求的前n项的和）
60． 两圆相交所得公共弦方程是两圆方程相减消去二次项所得。x0x+y0y=r2 表示过圆x2+y2=r2上一点（x0，y0）的切线，若点（x0，y0）在已知圆外，x0x+y0y=r2 表示什么？（切点弦）
61． 椭圆方程中三参数a、b、c的满足a2+b2=c2对吗？双曲线方程中三参数应满足什么关系？
90． 保持良好的心态，是正常发挥、高考取胜的关键！
2010年高考数学重点知识点归纳(word文档物超所值)
<∆∆0=>∆0关于直线对称。
x y =⑦证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称注意：①根据要求先画出抛物线，然后写出图象成立的充要条件。
<-20n a b使得取最大值使得取最小值。
，=，=)ααcos -)2(α-ctg αtg =-)3(απtg tg -、三角函数的图象：的最大值是B x ++)sin(ϕω），（其中00>>ωA A +，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴ωπ2πω2=f ϕω+x ϕ，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心)(2Z k ∈+πB y =）。
k π=三角函数的单调区间：的递增区间是，递减区间是⎤⎡+-22ππππk k ，)(Z k ∈⎡2πk1.平面向量知识结构表2.向量的概念①向量的加法与减法：定义与法则（如图5-1）：a+b =(x 1+x 2,y 1+y 2),a-b =(x 1-x 2,y 1-y 2)。
其中a =(x 1，y 1),b =(x 2,y 2)。
运算律：a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c),a+0=0+a=a 。
②向量的数乘（实数与向量的积）定义与法则（如图5-2）：λa=λ(x,y)=(λx, λy)(1)︱︱=︱︱·︱︱;λa λa λa+λb。
=,OA a )=λ（·），（b a b 2121y y x x +分有向线段AB 所成的比为+=+=222121y y x x ，但不一定有斜率。
（斜率=tgα，α=90 时，无斜率），这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于例如：一条直线经过点，且被圆截得的弦长为求此弦所在直线的方程。
该题就要注意，不要漏掉准线方程：，1ex 1122)(ex a x ca e PF -=-=通径，过焦点与长轴垂直的直线与椭圆相交所得弦，其长为22b a中经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段、1PF轨迹是双曲线。
12222=-b y )0,0(>>b a 122=)0,0(>>b a ； y∈R； 实轴长，虚轴长=2b}a x a x x ≤≥、2c 准线方程：ca x 2±=）图中线段的几何特征：=1AF BF 22.图形：性质：方程：（焦点到准线的距离）；、、、-->=p p px y ),0(,22(p）的焦点F 的弦为AB +p以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦，只能用。
2010年高考全国卷数学知识点预测
2010年高考全国卷数学知识点预测:1.集合与简易逻辑分值在5分左右（一道选择题），考查的重点是抽象思维能力，主要考查集合与集合的关系，将加强对集合的计算与化简的考查，与不等式结合考查不等式解法的可能性较大。
简易逻辑多为考查“充分与必要条件”及命题真伪的判别。
2.函数与导数分值在25分左右（两小一大），函数的单调性和奇偶性有向抽象函数发展的趋势。
注意函数的图像的平移、伸缩变换与对称变换、函数的对称性与函数值的变化趋势，函数的最值与反函数的新题型。
函数与导数的结合是高考的热点题型,文科以三次函数为命题载体，理科以对数函数、指数函数及分式函数为命题载体，以切线、极值、单调性为设置条件，与数列、不等式、解析几何综合的有特色的试题，应加以重视。
3.不等式不会单独命题，会在其他题型中“隐蔽”出现，分值一般在10左右。
不等式作为一种工具广泛地应用在涉及函数、数列、解几等知识的考查中，不等式重点考五种题型：解不等式(组)；证明不等式；比较大小；不等式的应用；不等式的综合性问题。
选择题和填空题主要考查不等式性质、解法及均值不等式。
解答题会与其它知识的交汇中考查，如含参量不等式的解法（确定取值范围）、数列通项或前n项和的有界性证明、由函数的导数确定最值型的不等式证明等。
4.向量分值在20分左右，估计会有一道小题的纯向量题，另外在函数、三角、解析几何与立体几何中均可能结合出题。
向量是新增的重点内容，它融代数特征和几何特征于一体，能与三角函数、函数、解析几何、立体几何自然交汇、亲密接触。
在处理位置关系、长度、夹角计算上都有优势，向量作为代数与几何的纽带，理应发挥其坐标运算与动点轨迹、曲线方程等综合方面的工具性功能，因此加大对向量的考查力度，充分体现向量的工具价值和思维价值，应该是今后高考命题的发展趋势。
向量和平面几何的结合是高考选择、填空题的命题亮点，向量不再停留在问题的直接表达水平上，而与解析几何、函数、三角等知识有机结合将成为一种趋势，会逐渐增加其综合程度。
2010 年高考数学重点复习知识点(含练习题)
2010 年高考数学重点复习知识点（含练习题）---------南通四星级高中数学资料一、集合与逻辑 1、区分集合中元素的形式：如：{}x y x lg |=—函数的定义域；{}x y y lg |=—函数的值域；{}x y y x lg |),(=—函数图象上的点集，如（1）设集合{|3}M x y x ==+，集合N ＝{}2|1,y y x x M =+∈，则M N =___（答：[1,)+∞）；（2）设集合{|(1,2)(3,4),}M a a R λλ==+∈，{|(2,3)(4,5)N a a λ==+，}R λ∈，则=N M _____（答：)}2,2{(--）2、条件为B A ⊆，在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况如：}012|{2=--=x ax x A ，如果φ=+R A ，求a 的取值。
（答：a ≤0）3、}|{B x A x x B A ∈∈=且 ;}|{B x A x x B A ∈∈=或C U A={x|x ∈U 但x ∉A};B x A x B A ∈∈⇔⊆则;真子集怎定义？ 含n 个元素的集合的子集个数为2n,真子集个数为2n－1;如满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ⊂⊆≠集合M 有______个。
（答：7）4、C U (A ∩B)=C U A ∪C U B; C U (A ∪B)=C U A ∩C U B;card(A ∪B)=?5、A ∩B=A ⇔A ∪B=B ⇔A ⊆B ⇔C U B ⊆C U A ⇔A ∩C U B=∅⇔C U A ∪B=U6、补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。
如已知函数12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ，使0)(>c f ，求实数p 的取值范围。
（答：3(3,)2-）7、原命题: p q ⇒;逆命题: q p ⇒;否命题: p q ⌝⇒⌝；逆否命题: q p ⌝⇒⌝；互为逆否的两个命题是等价的.如：“βαsin sin ≠”是“βα≠”的 条件。
2010全国各地高考数学文科试题分类汇编函数与导数
2010全国各地高考数学文科试题分类汇编函数与导数2010安徽文（20）（本小题满分12分）设函数()sin cos 1 , 02f x x x x x π=-++<<，求函数()f x 的单调区间与极值。
2010北京文(18) （本小题共14分） 设定函数32()(0)3a f x x bx cx d a =+++ ，且方程'()90f x x -=的两个根分别为1，4。
（Ⅰ）当a=3且曲线()y f x =过原点时，求()f x 的解析式； （Ⅱ）若()f x 在(,)-∞+∞无极值点，求a 的取值范围。
2010湖南文21．（本小题满分13分） 已知函数()(1)ln 15,af x x a x a x=++-+其中a<0,且a ≠-1. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）设函数332(23646),1(),1(){x x ax ax a a e x e f x x g x -++--≤⋅>=（e 是自然数的底数）。
是否存在a ，使()g x 在[a,-a]上为减函数？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由。
2010辽宁文（21）（本小题满分12分）已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）设2a ≤-，证明：对任意12,(0,)x x ∈+∞，1212|()()|4||f x f x x x -≥-。
（21）（本小题满分12分） 已知函数1()ln 1()af x x ax a R x-=-+-∈ （I ）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；（II ）当12a ≤时，讨论()f x 的单调性. 2010陕西文21、(本小题满分14分)已知函数f （x ）g （x ）=alnx ，a ∈R 。
（1）若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a 的值及该切线的方程； （2）设函数h(x)=f(x)- g(x),当h(x)存在最小之时，求其最小值ϕ（a ）的解析式； （3） 对（2）中的ϕ（a ），证明：当a ∈（0，+∞）时， ϕ（a ）≤1.2010天津文（20）（本小题满分12分）已知函数f （x ）=3231()2ax x x R -+∈，其中a>0.（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，f （x ）>0恒成立，求a 的取值范围.2010新课标全国卷文 （21）本小题满分12分） 设函数()()21x x f x e ax =-- （Ⅰ）若a=12，求()x f 的单调区间； （Ⅱ）若当x ≥0时()x f ≥0，求a 的取值范围（19）（本小题满分12分。
2010年高考数学公式大全
b ∈ [ p, q] ， 则 f ( x)min = min { f ( p), f (q )} ， 若 2a
x=−
b ∉ [ p, q ]，则 f ( x)max = max { f ( p ), f (q )} ， f ( x) min = min { f ( p ), f (q )} . 2a
10.一元二次方程的实根分布 依据：若 f ( m) f ( n) < 0 ，则方程 f ( x ) = 0 在区间 (m , n ) 内至少有一个实根 . 设 f ( x ) = x2 + px + q ，则
⎧ p 2 − 4q ≥ 0 ⎪ （1）方程 f ( x ) = 0 在区间 (m,+∞) 内有根的充要条件为 f ( m ) = 0 或 ⎨ p ； ⎪− > m ⎩ 2 ⎧ f ( m) > 0 ⎪ f ( n) > 0 ⎪ ⎪ （2）方程 f ( x ) = 0 在区间 (m, n ) 内有根的充要条件为 f (m) f ( n) < 0 或 ⎨ p 2 − 4q ≥ 0 ⎪ ⎪m < − p < n ⎪ ⎩ 2 ⎧ f ( m) = 0 ⎧ f ( n ) = 0 或⎨ 或⎨ ； ⎩af ( n) > 0 ⎩af ( m) > 0 ⎧ p 2 − 4q ≥ 0 ⎪ （3）方程 f ( x ) = 0 在区间 ( −∞, n) 内有根的充要条件为 f ( m) < 0 或 ⎨ p . ⎪− < m ⎩ 2
(1)函数 y = f ( x) 的图象关于直线 x = a 对称 ⇔ f (a + x ) = f (a − x)
⇔ f (2a − x ) = f ( x) .
(2)函数 y = f ( x) 的图象关于直线 x =
高中数学公式大全(2010版)
高中数学常用公式一及常用结论1. 元素与集合一的关系U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉. 2.德摩根公式();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == .3.包含关系A B A A B B =⇔= U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=Φ U C A B R ⇔=4.容斥原理()()card A B cardA cardB card A B =+-()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+ .5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n个；真子集有2n–1个；非空子集有2n–1个；非空的真子集有2n–2个.6.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式()N f x M <<⇔[()][()]0f x M f x N --<⇔|()|22M N M N f x +--<⇔()0()f x NM f x ->- ⇔11()f x N M N>--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21<k f k f 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程)0(02≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价于0)()(21<k f k f ,或0)(1=k f 且22211k k a bk +<-<,或0)(2=k f 且22122k abk k <-<+. 9.闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在abx 2-=处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当a>0时，若[]q p a bx ,2∈-=，则{}m i n m a x m ax ()(),()(),()2b f x f f x f p f qa=-=；[]q p abx ,2∉-=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =. (2)当a<0时，若[]q p a bx ,2∈-=，则{}m i n ()m i n (),()f x f p f q =，若[]q p abx ,2∉-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =. 10.一元二次方程的实根分布依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设q px x x f ++=2)(，则（1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩；（2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或()0()0f m af n =⎧⎨>⎩或()0()0f n af m =⎧⎨>⎩； （3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ .11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∉.(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∉.(3)0)(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是000a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩或2040a b ac <⎧⎨-<⎩.12.13.14.四种命题的相互关系15.充要条件（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件.（2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.（3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.17.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.18．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．19.若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.20.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2ba x +=对称. 21.若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.22．多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++ 的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数()y f x =的图象的对称性(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=.(2)函数()y f x =的图象关于直线2a bx +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=- ()()f a b mx f mx ⇔+-=.24.两个函数图象的对称性(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m+=对称. (3)函数)(x f y =和)(1x f y -=的图象关于直线y=x 对称.25.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.26．互为反函数的两个函数的关系a b f b a f =⇔=-)()(1.27.若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x f ky -=-,并不是)([1b kx f y +=-,而函数)([1b kx f y +=-是])([1b x f ky -=的反函数. 28.几个常见的函数方程(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.(2)指数函数()x f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠.(4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==.(5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+，()(0)1,lim1x g x f x→==. 29.几个函数方程的周期(约定a>0)（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ； （2）0)()(=+=a x f x f ，或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ， 或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,或[]1(),(()0,1)2f x a f x +=+∈,则)(x f 的周期T=2a ； (3))0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ； (4))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，则)(x f 的周期T=4a ；(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ； (6))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a.30.分数指数幂(1)m na =（0,,a m n N *>∈，且1n >）. (2)1m nm naa-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.31．根式的性质 （1）n a =.（2）当na =； 当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.32．有理指数幂的运算性质 (1) (0,,)r s r s a a a a r s Q +⋅=>∈. (2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈.(3)()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈.注： 若a ＞0，p 是一个无理数，则a p表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.34.对数的换底公式log log log m a m NN a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).推论 log log m na a nb b m =(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >).35．对数的四则运算法则若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+;(2) log log log aa a MM N N=-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈.36.设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42-=∆.若)(x f 的定义域为R ,则0>a ，且0<∆;若)(x f 的值域为R ,则0>a ，且0≥∆.对于0=a 的情形,需要单独检验.37. 对数换底不等式及其推广若0a >,0b >,0x >,1x a ≠,则函数log ()ax y bx = (1)当a b >时,在1(0,)a 和1(,)a +∞上log ()ax y bx =为增函数.， (2)当a b <时,在1(0,)a 和1(,)a+∞上log ()ax y bx =为减函数. 推论:设1n m >>，0p >，0a >，且1a ≠，则 （1）log ()log m p m n p n ++<.（2）2log log log 2a a am nm n +<. 38. 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)x y N p =+.39.数列的同项公式与前n 项的和的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++ ). 40.等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+ 211()22d n a d n =+-. 41.等比数列的通项公式1*11()n nn a a a q q n N q-==⋅∈； 其前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.42.等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=⎧⎪=+--⎨≠⎪-⎩；其前n 项和公式为(1),(1)1(),(1)111n n nb n n d q s d q db n q q q q +-=⎧⎪=-⎨-+≠⎪---⎩. 43.分期付款(按揭贷款)每次还款(1)(1)1nnab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ). 44．常见三角不等式 （1）若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<.(2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.45.同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan 1cot θθ⋅=. 46.正弦、余弦的诱导公式212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩212(1)s ,s ()2(1)s i n ,nn co n co απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩47.和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±= .22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式);22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.sin cos a b αα+=)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ= ).48.二倍角公式sin 2sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-.49. 三倍角公式3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()33ππθθθθθθ=-=-+.3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33ππθθθθθθ=-=-+.323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33θθππθθθθθ-==-+-.50.三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T πω=.51.正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===. 52.余弦定理2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.53.面积定理（1）111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. （2）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.(3)OAB S ∆=54.三角形内角和定理在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 55. 简单的三角方程的通解sin (1)arcsin (,||1)k x a x k a k Z a π=⇔=+-∈≤. s 2arccos (,||1)co x a x k a k Z a π=⇔=±∈≤.tan arctan (,)x a x k a k Z a R π=⇒=+∈∈.特别地,有sin sin (1)()k k k Z αβαπβ=⇔=+-∈.s cos 2()co k k Z αβαπβ=⇔=±∈.tan tan ()k k Z αβαπβ=⇒=+∈.56.最简单的三角不等式及其解集sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ>≤⇔∈++-∈.sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈--+∈. cos (||1)(2arccos ,2arccos ),x a a x k a k a k Z ππ>≤⇔∈-+∈.cos (||1)(2arccos ,22arccos ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈++-∈.tan ()(arctan ,),2x a a R x k a k k Z πππ>∈⇒∈++∈.tan ()(,arctan ),2x a a R x k k a k Z πππ<∈⇒∈-+∈.57.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa )=(λμ)a ;(2)第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa; (3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb . 58.向量的数量积的运算律： (1) a ·b= b ·a （交换律）; (2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）; (3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c. 59.平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 60．向量平行的坐标表示设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=. 53. a 与b 的数量积(或内积) a ·b =|a ||b |cos θ． 61. a ·b 的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 62.平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++.(2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --.(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +.63.两向量的夹角公式cos θ=(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).64.平面两点间的距离公式,A B d=||AB ==11(,)x y ，B 22(,)x y ).65.向量的平行与垂直设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则 A ||b ⇔b =λa 12210x y x y ⇔-=. a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=. 66.线段的定比分公式设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12PP 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+ ⇔12(1)OP tOP t OP =+- （11t λ=+）. 67.三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. 68.点的平移公式''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP的坐标为(,)h k .69.“按向量平移”的几个结论（1）点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+.(3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-.(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=.(5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y .70. 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔== .（2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅.（4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=.（5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+.71.常用不等式：（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R +∈⇒2a b+≥当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>（4）柯西不等式22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈（5）b a b a b a +≤+≤-. 72.极值定理已知y x ,都是正数，则有（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2； （2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值241s . 推广 已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(22+-=+ （1）若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大； 当||y x -最小时,||y x +最小.（2）若和||y x +是定值,则当||y x -最大时, ||xy 最小； 当||y x -最小时, ||xy 最大.73.一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<； 121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或.74.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.75.无理不等式 （1()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩. （22()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或. （32()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩. 76.指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩.(2)当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩77.斜率公式2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.78.直线的五种方程（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).(4)截距式 1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、)（5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).79.两条直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ⇔=≠; ②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠；②1212120l l A A B B ⊥⇔+=； 80.夹角公式(1)2121tan ||1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan ||A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A AB B +≠). 直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π.81. 1l 到2l 的角公式(1)2121tan 1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A AB B +≠). 直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2π.82．四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．(2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=,λ是参变量．83.点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).84. 或0<所表示的平面区域设直线:0l Ax By C ++=，则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是： 若0B ≠，当B 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的上方的区域；当B 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.若0B =，当A 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的右方的区域；当A 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.85. 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域 设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（12120A A B B ≠），则 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域是：111222()()0A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域上下两部分； 111222()()0A x B y C A x B y C ++++<所表示的平面区域上下两部分.86. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).87. 圆系方程(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----=1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中0a x b yc ++=是直线AB 的方程,λ是待定的系数．(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数．(3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F++++=的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数．88.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内.89.直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .其中22BA CBb Aa d +++=.90.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ; 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ; 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .91.圆的切线方程(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=．①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=. 当00(,)x y 圆外时, 0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=表示过两个切点的切点弦方程．②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线．(2)已知圆222x y r +=．①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=;②斜率为k 的圆的切线方程为y kx =±92.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.93.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>焦半径公式)(21c a x e PF +=，)(22x ca e PF -=.94．椭圆的的内外部（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的外部2200221x y a b⇔+>. 95. 椭圆的切线方程(1)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b +=.（2）过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b+=. （3）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c +=.96.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式21|()|a PF e x c =+，22|()|a PF e x c=-.97.双曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b ⇔-<. 98.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-by a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a by ±=.(2)若渐近线方程为x a by ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222by a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.99. 双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b -=.（2）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b-=. （3）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0A x B yC ++=相切的条件是22222A a B b c -=.100. 抛物线px y 22=的焦半径公式抛物线22(0)y px p =>焦半径02pCF x =+.过焦点弦长p x x px p x CD ++=+++=212122.101.抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2 y py 或或)2,2(2pt pt P P (,)x y ，其中22y px = .102.二次函数2224()24b ac b y ax bx c a x a a-=++=++(0)a ≠的图象是抛物线：（1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a-+-；（3）准线方程是2414ac b y a--=.103.抛物线的内外部(1)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的内部22(0)y px p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的外部22(0)y px p ⇔>>. (2)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的内部22(0)y px p ⇔<->. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的外部22(0)y px p ⇔>->. (3)点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的外部22(0)x py p ⇔>>. (4) 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =->的外部22(0)x py p ⇔>->. 104. 抛物线的切线方程(1)抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+.（2）过抛物线px y 22=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+. （3）抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =.105.两个常见的曲线系方程(1)过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22221x y a k b k+=--,其中22max{,}k a b <.当22min{,}k a b >时,表示椭圆; 当2222min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线.106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB =1212||||AB x x y y ==-=-（弦端点A ),(),,(2211y xB y x ，由方程⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F b kx y 消去y 得到02=++c bx ax ，0∆>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）.107.圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=. （2）曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是22222()2()(,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B++++--=++. 108.“四线”一方程对于一般的二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，用0x x 代2x ，用0y y 代2y ，用002x y xy +代xy ，用02x x +代x ，用02y y +代y 即得方程 0000000222x y xy x x y yAx x B Cy y D E F ++++⋅++⋅+⋅+=，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.109．证明直线与直线的平行的思考途径 （1）转化为判定共面二直线无交点； （2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行.110．证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行.111．证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直.112．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113．证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114．证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直.115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a ＋b =b ＋a ．(2)加法结合律：(a ＋b )＋c =a ＋(b ＋c )． (3)数乘分配律：λ(a ＋b )=λa ＋λb ．116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.117.共线向量定理对空间任意两个向量a 、b (b ≠0 )，a ∥b ⇔存在实数λ使a =λb ．P A B 、、三点共线⇔||AP AB ⇔AP t AB = ⇔(1)OP t OA tOB =-+.||AB CD ⇔AB 、CD共线且AB CD 、不共线⇔AB tCD = 且AB CD 、不共线.118.共面向量定理向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的⇔存在实数对,x y ,使p ax by =+．推论 空间一点P 位于平面MAB 内的⇔存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+，或对空间任一定点O ，有序实数对,x y ，使OP OM xMA yMB =++.119.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++（x y z k ++=），则当1k =时，对于空间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；当1k ≠时，若O ∈平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点共面；若O ∉平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点不共面．C A B 、、、D 四点共面⇔AD 与AB 、AC 共面⇔AD xAB yAC =+⇔ (1)OD x y OA xOB yOC =--++（O ∉平面ABC ）.120.空间向量基本定理如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x a ＋y b ＋z c ．推论 设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x ，y ，z ，使OP xOA yOB zOC =++.121.射影公式已知向量AB =a 和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量.作A 点在l 上的射影'A ，作B点在l 上的射影'B ，则''||cos A B AB = 〈a ，e 〉=a ·e122.向量的直角坐标运算设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则 (1)a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； (2)a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； (3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)；(4)a ·b ＝112233a b a b a b ++； 123.设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则 AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---.124．空间的线线平行或垂直设111(,,)a x y z =r ，222(,,)b x y z =r，则a b r r P ⇔(0)a b b λ=≠r r r r ⇔121212x x y y z zλλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩；a b ⊥r r ⇔0a b ⋅=r r⇔1212120x x y y z z ++=.125.夹角公式设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则 cos 〈a ，b 〉.推论 2222222112233123123()()()a b a b a b a a a b b b ++≤++++，此即三维柯西不等式.126. 四面体的对棱所成的角四面体ABCD 中, AC 与BD 所成的角为θ,则2222|()()|cos 2AB CD BC DA AC BDθ+-+=⋅.127．异面直线所成角cos |cos ,|a b θ=r r=||||||a b a b ⋅=⋅r rr r（其中θ（090θ<≤o o）为异面直线a b ,所成角，,a b r 分别表示异面直线a b ,的方向向量）128.直线AB 与平面所成角sin ||||AB m arc AB m β⋅= (m为平面α的法向量). 129.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,A B 、为ABC ∆的两个内角，则2222212sin sin (sin sin )sin A B θθθ+=+.特别地,当90ACB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=.130.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,''A B 、为ABO ∆的两个内角，则222'2'212tan tan (sin sin )tan A B θθθ+=+.特别地,当90AOB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=. 131.二面角l αβ--的平面角cos ||||m n arc m n θ⋅= 或cos ||||m narc m n π⋅-（m ，n 为平面α，β的法向量）.132.三余弦定理设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1θ，AB 与AC 所成的角为2θ，AO 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=.133. 三射线定理若夹在平面角为ϕ的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1θ,2θ,与二面角的棱所成的角是θ，则有22221212sin sin sin sin 2sin sin cos ϕθθθθθϕ=+- ;1212||180()θθϕθθ-≤≤-+ (当且仅当90θ= 时等号成立).134.空间两点间的距离公式若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则,A B d =||AB = =.135.点Q 到直线l 距离h =(点P 在直线l 上，直线l 的方向向量a =PA ，向量b =PQ ).136.异面直线间的距离||||CD n d n ⋅=(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).137.点B 到平面α的距离||||AB n d n ⋅=（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）. 138.异面直线上两点距离公式dd =d ='E AA F ϕ=--）.(两条异面直线a 、b 所成的角为θ，其公垂线段'AA 的长度为h.在直线a 、b 上分别取两点E 、F ，'A E m =,AF n =,EF d =). 139.三个向量和的平方公式2222()222a b c a b c a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅2222||||cos ,2||||cos ,2||||cos ,a b c a b a b b c b c c a c a =+++⋅+⋅+⋅140. 长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=222123sin sin sin 2θθθ⇔++=.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）. 141. 面积射影定理'cos S S θ=.(平面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ，它们所在平面所成锐二面角的为θ). 142. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是l ,侧面积和体积分别是S 斜棱柱侧和V 斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是1c 和1S ,则①1S c l =斜棱柱侧. ②1V S l =斜棱柱.143．作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行. 144．棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．145.欧拉定理(欧拉公式)2V F E +-=(简单多面体的顶点数V 、棱数E 和面数F).（1）E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n 的多边形，则面数F 与棱数E 的关系：12E nF =； （2）若每个顶点引出的棱数为m ，则顶点数V 与棱数E 的关系：12E mV =. 146.球的半径是R ，则其体积343V R π=, 其表面积24S R π=．147.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体:棱长为a ,. 148．柱体、锥体的体积13V Sh =柱体（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）.13V Sh =锥体（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.149.分类计数原理（加法原理） 12n N m m m =+++ . 150.分步计数原理（乘法原理） 12n N m m m =⨯⨯⨯ . 151.排列数公式mnA =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注:规定1!0=.152.排列恒等式(1）1(1)m m n nA n m A -=-+; （2）1mmn n n A A n m -=-; （3）11m m n n A nA --=;（4）11n n n n n n nA A A ++=-; （5）11m m m n n nA A mA -+=+. (6) 1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+- . 153.组合数公式m n C=m n mmA A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤). 154.组合数的两个性质(1)m n C =mn n C - ; (2) m n C +1-m n C =m n C 1+. 注:规定10=n C .155.组合恒等式（1）11mm n n n m C C m --+=; （2）1m mn n n C C n m -=-; （3）11mm n n n C C m--=;（4）∑=nr r nC0=n2;（5）1121++++=++++r n r n r r r r r rC C C C C . (6)n n n r n n n n C C C C C 2210=++++++ . (7)14205312-+++=+++n n n n n n n C C C C C C . (8)1321232-=++++n n n n n n n nC C C C . (9)r n m r n r m n r m n r m C C C C C C C +-=+++0110 . (10)n n n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++ .156.排列数与组合数的关系m mn nA m C =⋅！ . 157．单条件排列以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列. （1）“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有11--m n A 种；②某（特）元不在某位有11---m n mn A A （补集思想）1111---=m n n A A （着眼位置）11111----+=m n m m n A A A （着眼元素）种.（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有km k n k k A A --种.②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有k k k n k n A A 11+-+-种.注：此类问题常用捆绑法；③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有k h h h A A 1+种.（3）两组元素各相同的插空m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当1+>m n 时，无解；当1+≤m n 时，有n m n nn m C A A 11++=种排法.（4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为nn m C +.158．分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的m 、n 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有mnn nn nn mn nn mn nmn n mn C C C C C N )!()!(22=⋅⋅⋅⋅⋅=-- . （2）(平均分组无归属问题)将相异的m ·n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有mn nn n n n mn n n mn n mn n m mn m C C C C C N )!(!)!(!...22=⋅⋅⋅⋅=--. （3）(非平均分组有归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数共有!!...!!!! (212)11m n n n n p n p n n n m p m C C C N m m=⋅⋅=-.（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、...个相等，则其分配方法数有!...!!! (2)11c b a m C C C N m mn n n n p n p ⋅⋅=- 12!!!!...!(!!!...)m p m n n n a b c =.（5）(非平均分组无归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，m n 件无记号的m 堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数有!!...!!21m n n n p N =.（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，m n 件无记号的m 堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则其分配方法数有!...)!!(!!...!!21c b a n n n p N m =.（7）(限定分组有归属问题)将相异的p （2m p n n n = 1+++）个物体分给甲、乙、丙，……等m 个人，物体必须被分完，如果指定甲得1n 件，乙得2n 件，丙得3n 件，…时，则无论1n ，2n ，…，m n 等m 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有!!...!! (212)11m n n n n p n p n n n p C C C N m m=⋅=-.159．“错位问题”及其推广。
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要点1 集合 要点2 函数概念与基本初等函数 要点3 立体几何初步 要点4 平面解析几何初步 要点5 基本初等函数（三角函数） 要点6 平面向量 要点7 三角恒等变换 要点8 解三角形 要点9 数列
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