计算方法-2-插值法
插值法计算公式
插值法计算公式
数学内插法即“直线插入法”。
其原理是，若A（i1，b1），B（i2，b2）为两点，则点P（i，b）在上述两点确定的直线上。
而工程上常用的为i在i1，i2之间，从而P在点A、B之间，故称“直线内插法”。
数学内插法说明点P反映的变量遵循直线AB反映的线性关系。
上述公式易得。
A、B、P三点共线，则：（b-b1）/（i-i1）=（b2-b1）/（i2-i1）=直线斜率，变换即得所求。
内插法原理
内插法原理：学内插法即“直线插入法”。
其原理是，若A(i1,b1),B(i2,b2)为两点，则点P(i,b)在上述两点确定的直线上。
内插法
内插法又称插值法。
根据未知函数f（x）在某区间内若干点的函数值，作出在该若干点的函数值与f（x）值相等的特定函数来近似原函数f（x），进而可用此特定函数算出该区间内其他各点的原函数f （x）的近似值，这种方法，称为内插法。
按特定函数的性质分，有线性内插、非线性内插等；按引数（自变量）个数分，有单内插、双内插和三内插等。
线性内插是假设在二个已知数据中的变化为线性关系，因此可由已知二点的座标(a, b)去计算通过这二点的斜线。
通俗地讲，线性内插法就是利用相似三角形的原理，来计算内插点的数据。
计算方法第四章 插值法
4
3
xi 4 yi 2
9 16 3 4
2
0
4
7
9
16
第4章 插值法
应用背景
造函数表：三角函数、对数 预测：鸡蛋价格、城市用水量
《 计 算 方 法 》
数控加工：造船、飞机机翼骨架、服装 样片、模具加工、刀具 计算机辅助设计：潜水艇、汽车造型
服装样片
第4章 插值法
实际问题中，f (x)多样，复杂，通常只能观测到一些离散 数据；或者f (x)过于复杂而难以运算。这时我们要用近似函数 φ(x)来逼近f (x)。
《 计 算 方 法 》
φ (x)= y0
第4章 插值法
§2 线性插值与二次插值
2.1 线性插值
线性插值是代数多项式插值的最简单的形式。假设
《 计 算 方 法 》
给定了函数f (x)在两个互异点x0，x1的值,即
x x0值）
y y0 x0
y1
x1
x
第4章 插值法
现要用一线性函数
满足插值条件：
y( xi ) = yi , i = 0,1, 2
22
第4章 插值法 例：已知函数 y=f (x)的观测数据为
x
《 计 算 方 法 》
1 0
2 -5
3 -6
4 3
y
试求拉格朗日插值多项式。
第4章 插值法
《 计 算 方 法 》
( x 2)( x 3)( x 4) 解 ：p3 ( x ) = 0 (1 2)(1 3)(1 4) ( x 1)( x 3)( x 4) ( 5) (2 1)(2 3)(2 4) ( x 1)( x 2)( x 4) ( 6) (3 1)(3 2)(3 4) ( x 1)( x 2)( x 3) 3 (4 1)(4 2)(4 3) = x3 4 x2 3
财务管理插值法计算公式例子
财务管理插值法计算公式例子
插值法是基于已知数据点的近似值推测未知数据点的方法。
在财务管理中，可以使用插值法来估计未知数据点的值，以便进行决策和分析。
插值法的一种常见计算公式是线性插值法。
该方法基于已知数据点的线性关系，使用直线来逼近未知数据点的值。
线性插值法的计算公式如下：
\[y = y_1 + \frac{{(y_2 - y_1)}}{{(x_2 - x_1)}}(x - x_1)\]
其中，\(y\) 是未知数据点的估计值，\(y_1\) 和 \(y_2\) 分别是
已知数据点的值，\(x\) 是未知数据点的横坐标，\(x_1\) 和
\(x_2\) 分别是已知数据点的横坐标。
例如，假设有以下已知数据点的情况：
已知数据点 1：\(x_1 = 10, y_1 = 5\)
已知数据点 2：\(x_2 = 20, y_2 = 10\)
我们要估计在 \(x = 15\) 时的未知数据点的值 \(y\)，可以使用
线性插值法计算：
\[y = 5 + \frac{{(10 - 5)}}{{(20 - 10)}}(15 - 10) = 7.5\]
因此，在 \(x = 15\) 时，估计的未知数据点的值 \(y\) 为 7.5。
这只是线性插值法的一个例子，财务管理中还有其他插值方法，
如多项式插值、样条插值等，根据具体情况选择合适的插值方法来估计未知数据点的值。
二次插值算法
二次插值法亦是用于一元函数在确定的初始区间搜索极小点的一种方法。
它属于曲线拟合方法的畴。
一、基本原理在求解一元函数的极小点时，常常利用一个低次插值多项式来逼近原目标函数，然后求该多项式的极小点(低次多项式的极小点比较容易计算)，并以此作为目标函数的近似极小点。
如果其近似的程度尚未达到所要求的精度时，可以反复使用此法，逐次拟合，直到满足给定的精度时为止。
常用的插值多项式为二次或三次多项式，分别称为二次插值法和三次插值法。
这里我们主要介绍二次插值法的计算公式。
假定目标函数在初始搜索区间中有三点、和，其函数值分别为、和(图1}，且满足，，即满足函数值为两头大中间小的性质。
利用这三点及相应的函数值作一条二次曲线，其函数为一个二次多项式（1）式中、、为待定系数。
图1根据插值条件，插值函数与原函数在插值结点、、处函数值相等，得（2）为求插值多项式的极小点，可令其一阶导数为零，即（3）解式(3)即求得插值函数的极小点（4）式(4)中要确定的系数可在方程组(2)中利用相邻两个方程消去而得:（5）（6）将式(5)、(6)代入式(4)便得插值函数极小值点的计算公式：（7）把取作区间的另一个计算点，比较与两点函数值的大小，在保持两头大中间小的前提下缩短搜索区间，从而构成新的三点搜索区间，再继续按上述方法进行三点二次插值运算，直到满足规定的精度要求为止，把得到的最后的作为的近似极小值点。
上述求极值点的方法称为三点二次插值法。
为便于计算，可将式(7)改写为（8）式中：（9）（10）二、迭代过程及算法框图(1)确定初始插值结点通常取初始搜索区间的两端点及中点为，，。
计算函数值，，，构成三个初始插值结点、、。
(2)计算二次插值函数极小点按式(8)计算，并将记作点，计算。
若本步骤为对初始搜索区间的第一次插值或点仍为初始给定点时，则进行下一步(3);否则转步骤(4)(3)缩短搜索区间缩短搜索区间的原则是：比较函数值、，取其小者所对应的点作为新的点，并以此点左右两邻点分别取作新的和，构成缩短后的新搜索区间。
计算方法—插值法
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lk ( x) lk 1 ( x) 1
13
2.2 拉格朗日插值
Chapter2 插值法
L1(X)
L1(X)
∴ lg2.718 ≈L1 (2.718)=0.43428
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2.2 拉格朗日插值
2-2 线性插值与抛物插值
利用线性插值法对函数y=f(x) 进行逼近时，即用直线y=L1(x)代替 曲线y=f(x)。
Chapter2 插值法
显然当插值区间较大或曲线[x0,x1]凸凹变化大时，线 性插值的误差很大。 为了减小这种误差，我们用简单的曲线(抛物线)去近似
代替复杂曲线y=f(x) 。二次多项式函数的曲线为抛物线， 所以我们构造插值函数L2(x) ，即n=2。
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2.2 拉格朗日插值
5
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2.1 引言
多项式插值
Chapter2 插值法
对于n+1个基点的插值问题，如果要求插值函数是次 数不超过n的多项式，记为Pn(x)，则相应的问题就是多项 式插值，并且把Pn(x)称为插值多项式。 实际上，我们所考虑的插值函数通常都是多项式函数
或分段多项式函数。由于次数不超过n的多项式的一般形 式为： Pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn
当n=20,在109次/秒的计算机上计算需几万年！
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2.2 拉格朗日插值
2-2 线性插值与抛物插值 已知函数y=f(x)的函数 插值法
y yk
yk+1
求次数不超过1的多项式L1(x)=a0+a1x 满足插值条件L1(xk)=yk, L1(xk+1)=yk+1。
计算方法(2)-插值法
2
2
yk1 2
f (xk
h
2
),
y
k
1 2
f (xk
h) 2
21
3.牛顿向后插值公式
Nn (xn
th)
yn
tyn
t(t 1) 2!
2
yn
t(t
1)
(t n!
n
1)
n
yn
(t 0)
插值余项
Rn
(xn
th)
t(t
1) (t (n 1)!
Nn (x0
th)
y0
ty0
t(t 1) 2!
2
y0Leabharlann 插值余项t(t
1)
(t n!
n
1)
n
y0
Rn (x0
th)
t(t
1) (t (n 1)!
n)
h n1
f
(n1) ( ),
(x0 , xn )
20
二.向后差分与牛顿向后插值公式
杂.
根据f(x)函数表或复杂的解析表达式构
造某个简单函数P(x)作为f(x)的近似.
2
2.问题的提法
1)已知条件 设函数y f (x)在区间[a,b]上
连 续, 且 在n 1个不 同点a x0 , x1, , xn b 上 分 别 取 值y0 , y1, , yn
计算方法 插值法
例见 P.74 例 1。 (2) 差商与牛顿基本插值多项式 考虑到拉格朗日插值的缺点：增加新的结点，需重新计算，工作量较大！ 改进的方向：选取形式： a 0 + a1 ( x − x0 ) + a 2 ( x − x0 )( x − x1 ) + L + a n ( x − x0 )( x − x1 ) L ( x − xn −1 ) ； （称之为 n 次牛顿插值多项式） 记 N n ( x) = a 0 + a1 ( x − x0 ) + a 2 ( x − x0 )( x − x1 ) + L + a n ( x − x0 )( x − x1 ) L ( x − x n −1 ) 为了给出 a i 简明计算表达式，引入差商（或均差）概念。 定义 1.
第二章 插值与拟合
§1.插值概念与基础理论
(1) 提法： 给定函数表 x y = f ( x) x0 y0 x1 y1
K K
xn yn
其中假定 f ( x) 在区间 [a, b] 上连续，设 x0 , x1 , L, x n 为区间 [a, b] 上 n + 1 个互不相同的 点，要求在一个性质优良、便于计算的函数类 {P ( x)} 中，选一个使 P ( xi ) = y i (i = 0,1,L, n) L (*) 的函数 P( x) 作为 f ( x) 的近似，这就是最基本的插值问题。 [a, b] 称为插值区间； x0 , x1 , L, x n 为插值节点； {P ( x)} 称为插值函数类；（*）称为插 值条件； P( x) 称为插值函数；求插值函数 P( x) 的方法称为插值法。 本章取 Pn ( x) = a 0 + a1 x + L + a n x n ，其中 a 0 , a1 , L, a n 为实数， Pn ( x) 为次数不超 过 n 的插值代数多项式，相应的插值问题称为 n 次代数多项式插值。
计算方法插值法(均差与牛顿插值公式)
为f ( x)关于节点 x0 , xk 一阶均差 (差商)
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5
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6
二、均差具有如下性质：
f [ x0 , x1 ,, xk 1 , xk ]
j 0
k
f (x j ) ( x j x0 )( x j x j 1 )(x j x j 1 )( x j xk )
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fk fk 1 fk 为f ( x)在 xk 处的二阶向前差分
2
依此类推
m f k m1 f k 1 m1 f k
为f ( x)在 xk 处的m阶向前差分
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差分表
xk f k 一阶差分 x0 f 0 x1 f 1 二阶差分 三阶差分 四阶差分
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等距节点插值公式
一、牛顿前插公式
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33
二、牛顿插值公式与拉格朗日插值相比
牛顿插值法的优点是计算较简单,尤其是增加 节点时,计算只要增加一项,这是拉格朗日插值 无法比的. 但是牛顿插值仍然没有改变拉格朗日插值的 插值曲线在节点处有尖点，不光滑，插值多 项式在节点处不可导等缺点.
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26
§
2.3.4 差分及其性质
一、差分
fk , 定义3. 设f ( x)在等距节点xk x0 kh 处的函数值为 k 0 ,1, , n , 称
f k f k 1 f k
k 0,1,, n 1
为f ( x)在 xk 处的一阶向前差分
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(k 0,1,2,, n)
且
n1 ( x) Ln ( x) yk ' ( x x ) k 0 k n 1 ( xk )
n
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总 结
于是, y f ( x)在节点xi (i 0,1,, n)上, 以li ( x) (i 0,1,, n) 为插值基函数的插值多 项式(记为Ln ( x))为
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抛物插值举例2
(x–x1)(x–x2) (x–x0)(x–x2) f ( x 0) + f(x1) L2(x)= (x0–x1)(x0–x2) (x1–x0)(x1–x2) (x–x0)(x–x1) + f(x2) (x2–x0)(x2–x1) x0=100, x1=121, x2=144 f(x0)=10, f(x1)=11, f(x2)=12
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例3：求过点(2，0) (4，3) (6，5) (8，4) (10，1)的 拉格朗日插值多项式。
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拉格朗日插值多项式的缺点：
（1）插值基函数计算复杂
（2）高次插值的精度不一定高
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为 节 点 x0 ,x1, ,x n上的n次插值 插 值 基 。
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对n=1及n=2时的情况前面已经讨论，用类
似的推导方法，可得到n次插值基函数为：
( x x0 )(x x1 ) ( x xk 1 )(x xk 1 ) ( x xn ) lk ( x ) ( xk x0 )(xk x1 ) ( xk xk 1 )(xk xk 1 ) ( xk xn )
第二章 插值法
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1
第二章 插值法
§ 2.1 引言 § 2.2 拉格朗日插值 § 2.3 均差与牛顿插值公式 § 2.4 差分与等距节点插值 § 2.5 埃尔米特插值 § 2.6 分段低次插值 § 2.7 三次样条插值
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本章要点 用简单的函数(如多项式函数)作为一个 复杂函数的近似,最简单实用的方法就是 插值.
(115–100)(115–144) (115–121)(115–144) L2(115) = + * 11 * 10 (121–100)(121–144) (100–121)(100–144) (115–100)(115–121) + * 12 (144–100)(144–121) = 10.7228
27
§ 2.2.3 插值余项与误差估计
一、插值余项
从上节可知 , y f ( x)的Lagrange 插值
Ln ( x) yi li ( x)
i 0
n
满足
但
Ln ( xi ) f ( xi )
x [a, b]
i 0,1,, n Ln ( x) f ( x) 不会完全成立
设 其中
Rn ( x) K ( x)n1 ( x)
n1 ( x) ( x x0 )(x x1 )( x xn )
K ( x)为待定函数
Rn ( x) f ( x) Ln ( x) K ( x)n1 ( x)
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f ( x) Ln ( x) K ( x)n1 ( x) 0
依此类推
在区间 (a, b)内至少有一个点 , 使得 (t )的n 1阶导数为零
( n1) ( ) 0
由于
( n1) ( n1) (t ) f ( n1) (t ) L(nn1) (t ) K ( x)n 1 (t )
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32
因此
( n1) (n1) ( ) f (n1) ( ) L(nn1) ( ) K ( x)n 1 ( )
Rn ( xi ) K ( x)n1 ( xi ) 0
i 0,1,, n
因此, 若令x xi , (t )在区间 [a, b]上至少有 n 2个零点 ,即
( x) 0 , ( xi ) 0 , i 0,1,2,, n
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根据罗尔定理, (t )在区间(a, b)上有至少n 1个零点 再由罗尔定理, (t )在区间(a, b)上有至少n个零点
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证明：假设在区间[a,b]上f(x)的插值多项式为 Ln ( x) 令
Rn ( x) f ( x) Ln ( x)
显然在插值节点为 xi (i 0,1,, n)上 Rn ( xi ) f ( xi ) Ln ( xi ) 0 , i 0,1,, n 因此Rn ( x)在[a, b]上至少有n 1个零点
Ln ( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x) ynln ( x)
i 0 j 0 j i n n
(x x j ) ( xi x j )
yi
称 Ln ( x) 为y=f(x)的拉格朗日插值多项式 称 li ( x)(i 0,1,, n) 为n次拉格朗日插值基函数
本章主要介绍有关插值法的一些基本概念， 及多项式插值的基础理论和几个常用的插 值方法：拉格朗日插值、分段线性插值、 牛顿插值、埃尔米特插值和三次样条插值.
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3
§ 2.1 引言
一、插值问题
对函数f ( x),其函数形式可能很复杂 , 且不利于在计算机上
运算, 假如可以通过实验或测 量, 可以获得f ( x)在区间 [ a , b] 上的一组n 1个不同的点
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从而
( x x0 )(x x1 )( x xk 1 )(x xk 1 )( x xn ) lk ( x ) ( xk x0 )(xk x1 )( xk xk 1 )(xk xk 1 )( xk xn )
n1 ( x) 1 ( xk ) ( x xk )n
( x xi ) i 0 ( xk xi )
n ik
(k 0,1,2,, n)
n+1次多项式
令 ωn1(x) ( x x0 )(x x1 )( x xn )
1(xk ) ( xk x0 )(xk x1 )( xk xk 1 )(xk xk 1 )( xk xn ) 则 ωn
其几何意义，就是通过两点 A( x0 , y0 ), B( x1 , y1 ) 的 一条直线。
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10
L1
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11
由直线两点式可知，通过A，B的直线方程为
y1 y0 y y0 ( x x0 ) L1 ( x) x1 x0
称为线性插值(n=1的情况)，分为内插与外推。 适用情况：
因此，插值多项式存在着截断误差,那么我们怎样估 计这个截断误差呢？
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Ln ( x)
f ( n1) ( ) n1 ( x) Rn ( x) (n 1)!
其中 n 1 ( x) ( x xi ) , (a, b) , 且依赖于x.
i 0 n
注意t与x 的区分
若引入辅助函数 (t ) f (t ) Ln (t ) K ( x)n1 (t )
则有 ( x) f ( x) Ln ( x) K ( x)n1 ( x) 0
且 ( xi ) f ( xi ) Ln ( xi ) K ( x)n1 ( xi )
a x0 x1 x2 xn b
上的函数值 yi f ( xi ),
i 0,1,2,, n
能否存在一个性能优良、便于计算的函数
比如多项式函数P( x), 满足
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P( xi ) yi
i 0,1,2 ,, n
并且用P( x)近似代替f ( x)
• 这就是所谓的拉格朗日（Lagrange）插值。
li(x)(i=0,1,…,n)的构造。
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8
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§ 2.2.1
线性插值与抛物插值
一、线性插值—点斜式 问题 已知函数y=f(x)在点x0,x1上的值为y0,y1，求 作一次式 L1 ( x)，使满足条件
L1 ( x0 ) y0 , L1 ( x1 ) y1
函数l0(x)及l`1(x)为线性插值基函数
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线性插值的局限性
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线性插值举例
例1: 已知 100 10 ， 121 11，求 y 代入点斜式插值多项式
y1 y0 L1 ( x) y0 ( x x0 ) x1 x0
115
得 y=10.71428 精确值为 10.723805，故这个结果有3位有 效数字。
sinxµ IJ å Öµ
1
yy
0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
0
0.5
1
1.5 1.5
2 2
2.5 2.5
3 3
3.5 3.5
x x x
对于被插函数 f ( x)和插值函数 P( x) 在节点xi处的函数值必然相等 但在节点外 P( x)的值可能就会偏离 f ( x) 因此P( x)近似代替 f ( x)必然存在着误差
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二、抛物插值
问题 求作二次式 L2 ( x) ，使满足条件
L2 ( x j ) y j