LINGO在多目标规划和最大最小化模型中的应用
Lingo求解多目标规划[新]
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例：某工厂生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，需要用到A ，B ，C 三种设备，已知有关数据见下表。
企业的经营目标不仅仅是利润，还需要考虑多个方面：（1） 力求使利润不低于1500元；（2） 考虑到市场需求，Ⅰ、Ⅱ两种产品的产量比应尽量保持1：2；（3） 设备A 为贵重设备，严格禁止超时使用；（4） 设备C 可以适当加班，但要控制；设备B 即要求充分利用，又尽可能不加班。
在重要性上，设备C 是设备B 的3倍。
ⅠⅡ设备的生产能力/hA （h/件） 2 2 12B （h/件） 4 0 16C （h/件） 0 5 15 利润 元/件200300解：此题中只有设备A 是刚性约束，其余都是柔性约束。
首先，最重要的指标是企业的利润，将它的优先级列为第一级；其次是Ⅰ、Ⅱ两种产品的产量保持1：2的比例，列为第二级；再次，设备B 、C 的工作时间要有所控制，列为第三级。
在第三级中，设备B 的重要性是设备C 的3倍，因此它们的权重不一样，设备B 的系数是设备C 的3倍。
该计划问题可用数学模型表示为： 目标函数min)33()(433322211++-+--+++++=d d d p d d p d p z满足约束条件 2122x x + 12≤15003002001121=-+++-d d x x022221=-+-+-d d x x 14x 1633=-++-d d155442=-++-d d x3,2,1,0,,,21=≥+-i d d x x i i LINGO 程序为：求第一级目标。
LINGO 程序如下： model: sets:variable/1..2/:x;S_Con_Num/1..4/:g,dplus,dminus; S_con(S_Con_Num,Variable):c; endsets data:g=1500 0 16 15; c=200 300 2 -1 4 0 0 5; enddata min=dminus(1); 2*x(1)+2*x(2)<12;@for(S_Con_Num(i):@sum(Variable(j):c(i,j)*x(j))+dminus(i)-dplus(i )=g(i)); end求得dminus(1)=0，即目标函数的最优值为0，第一级偏差为0。
Lingo的基本用法
例2:基金的优化使用(2001年建模竞赛C题)
假设某校基金会得到了一笔数额为M万元的基金, 打算将其存入银行,校基金会计划在n年用部分本 息奖励优秀师生,要求每年的奖金额相同,且在n 年仍保留原基金数额.银行存款税后年利率表如下:
银行存款税后利率表 存期 税后年利率% 1年 1.8 2年 2.16 3年 2.592 5年 2.88
解:设两种产品的生产量分别为 x1 和 x2 , 则该问题的数学模型为: 目标函数:max z = 200 x1 + 300 x2
x1 ≤ 100 x ≤ 120 2 约束条件: x1 + 2 x2 ≤ 160 xi ≥ 0, i = 1, 2
在Model窗口内输入如下模型: max=200*x1+300*x2; x1<=100; x2<=120; x1+2*x2<=160; 注:Lingo默认所有的决策变量都非负,因 而变量非负条件可以不必输入.
Lingo的主要功能特色:
既能求解线性规划问题,也有较强的求解非线性规 划问题的能力; 输入模型简练直观; 运行速度快,计算能力强; 内置建模语言,提供几十个内部函数,从而能以较 少语句,较直观的方式描述较大的优化模型; 将集合的概念引入编程语言,很容易将实际问题转 化为lingo模型; 能方便的与Excel,数据库等其他软件交换数据.
Lingo的语法规定:
求目标函数的最大值或最小值分别用"max="或"min= "来 表示; 每个语句必须以分号";"结束,每行可以有多个语句,语 句可以跨行; 每个语句必须以字母开头,由字母,数字和下划线所组成, 长度不超过32个字符,不区分大小写; 可以给语句加上标号,例如[OBJ] max=200*x1+300*x2; 以!开头,以;结束的语句是注释语句; 如果对变量的取值范围没有作特殊说明,则默认所有决策变 量都非负; Lingo模型以语句"Model:"开头,以"End"结束,对于 比较简单的模型,这两个语句可以省略.
优化软件LinGo的使用
•LINGO软件的使用
需要掌握的几个重要方面
正确阅读求解报告（尤其要掌握灵敏性分
析的求解选项
掌握与外部文件的基本接口方法
模型
min或max f(x)
S.T. G(x)≤或≥或＝0 L ≤x≤U
例题2
数学模型：
min
s.t.
其中：
ij ij
c x
i 1 j 1
3
4
xl＝5 2 4 6 cl= 4 9 4
c = 10 6 7 12
16 10 5 9 5 4 10 10
x
i 1 4
j 1
3
ij
xl j , j 1 4
cli , i 13
x
ij
xij 0, i 13, j 1 4
优化(Optimization), 规划(Programming)
无 约 束 优 化 线 性 规 划 非 线 性 规 划
整 数 规 划
组 合 优 化
不 确 定 规 划
多 目 标 规 划
目 标 规 划
网 络 优 化
动 态 规 划
优化问题的一般形式
优化问题三要素：决策变量；目标函数；约束条件
min s.t.
其中SI {1,, n}，SJ ={1,, m}
Lingo表示：
SI/1..n/； SJ/1..m/； IJ(I,J)：x,c；
集合的类型
setname(parent_set_list) [/member_list/] [: attribute_list];
集合
setname [/member_list/] [: attribute_list];
LINGO软件在优化模型中的应用
LINGO软件 ——在优化模型中的应用
腾讯微博：羊羽
LINGO软件在优化模型中的应用
LINGO软件在优化模型中的应用
解：设每天用x1 桶牛奶在甲车间生产，用x2 桶牛 奶在乙车间生产，可获利z 元。
则该问题的数学模型为： max z=72x1+64x2 s.t x1+x2≤50 12x1+8x2≤480 3x1≤100 x1,x2≥0
LINGO软件在优化模型中的应用
结果：
这个线性规划的最优解为x1=20，x2=30，最优值 为z=3360，即用20 桶牛奶在甲车间生产，30 桶 牛奶在乙车间生产，可获最大利润3360 元。
优点
3）强大的求解器 LINGO拥有一整套快速的，内建的求 解器用来求解线性、非线性、二次约束和 整数优化问题。
LINGO软件在优化模型中的应用
优点
4）交互式模型 在LINGO内可以直接创建和求解模型， 也可以从自己编写的应用程序中直接调用 LINGO。对于开发交互式模型，LINGO提 供了一整套建模环境，用来求解和分析构 建的模型。
从该问题的求解我们可以看到用LINGO 软件求 解线性规划是非常方便、快捷的，比单纯形法人 工计算效率高很多。
LINGO软ห้องสมุดไป่ตู้在优化模型中的应用
附加问题：
1） 若用35元可以买到1桶牛奶，应否作这项投资？ 若投资，每天最多购买多少桶牛奶？ 2） 若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临 时工人的工资最多是每小时几元？ 3） 由于市场需求变化，甲车间奶制品的获利增加 到30元，应否改变生产计划？
Lingo软件在运筹学中的应用
Lingo软件在运筹学中的应用Lingo软件在运筹学中的应用随着信息技术的不断发展，计算机软件在各个领域中的应用越来越广泛，尤其是在运筹学领域。
运筹学是研究在复杂决策环境下，如何高效地进行决策的学科。
Lingo软件作为一款运筹学建模和求解工具，为运筹学的研究和应用带来了很大的便利和效率。
本文将介绍Lingo软件在运筹学中的应用，并通过实例来说明其实际效果。
首先，Lingo软件在线性规划问题中的应用非常广泛。
线性规划是一种数学优化技术，用于在给定的约束条件下最大化或最小化线性目标函数。
Lingo软件提供了直观的图形用户界面，使得用户可以轻松地建立线性规划模型，并通过内置的求解器进行求解。
用户只需输入决策变量、约束条件和目标函数，Lingo就能自动找到最优解。
这对于一些复杂的决策问题，如生产规划、资源调度和供应链优化等，提供了很大的帮助。
其次，Lingo软件在整数规划和混合整数规划问题中也有着广泛的应用。
整数规划是在线性规划的基础上，将决策变量限制为整数解的优化问题。
混合整数规划在整数规划的基础上，允许部分决策变量取非整数解。
这种类型的决策问题在实际中很常见，如生产工作安排、旅行路线规划和仓储优化等。
Lingo软件提供了强大的分支定界算法和割平面算法，能够有效地求解整数规划和混合整数规划问题。
用户只需调整问题的参数，Lingo就能快速找到最优解，大大减少了优化问题的求解时间。
此外，Lingo软件还可以用于非线性规划问题的建模和求解。
非线性规划是在线性规划的基础上，将决策变量限制为非线性函数的优化问题。
非线性规划在许多实际问题中都有着广泛的应用，如投资组合优化、工程设计和市场定价等。
Lingo软件提供了多种求解算法，如牛顿法、拟牛顿法和遗传算法等，能够有效地求解非线性规划问题。
用户只需选择合适的算法和调整参数，Lingo就能找到最优解或是近似最优解。
最后，Lingo软件还具有灵活的扩展性和集成性。
它可以与其他优化软件和模拟软件进行集成，提供更强大的求解能力和模型分析能力。
目标规划实验报告lingo
目标规划实验报告lingo实验目的本次实验运用目标规划（Goal Programming）方法解决一个复杂的决策问题。
通过实践应用目标规划模型，可以深入了解该方法的原理和应用场景，并掌握运用LINGO软件求解目标规划模型的技巧。
实验背景目标规划是一种多目标优化方法，通过为每个目标设置上下界限来考虑多个目标之间的权衡和优先级。
该方法在实际决策问题中被广泛应用，如生产调度、资源分配等。
在本次实验中，我们将尝试运用目标规划方法解决一个供应链优化问题。
实验步骤1. 定义决策变量与目标函数首先，我们定义了一组决策变量，包括供应商的订单量、转运中心的运输量以及销售网点的销售量。
然后，我们针对不同的供应链环节和目标，建立了几个目标函数，如最小化总成本、最大化客户满意度等。
2. 设置目标上下界限根据供应链管理的实际情况，我们为每个目标函数设置了上下界限。
例如，总成本的上界可以是一个预算限制，客户满意度的下界可以是一个最低满意度指标。
3. 构建目标规划模型根据定义的决策变量和目标函数，我们构建了一个目标规划模型。
该模型包括了决策变量的约束条件、目标函数的上下界限制等。
4. 利用LINGO软件求解模型使用LINGO软件，我们输入了目标规划模型，并设置了初始数值。
然后运行LINGO软件，对目标规划模型进行求解。
5. 分析与调整模型根据LINGO软件的求解结果，我们对模型的结果进行了分析。
如果目标无法完全实现或者有其他问题，我们需要调整模型的上下界限、决策变量的限制条件等。
6. 进行灵敏度分析为了进一步了解目标规划模型的稳定性和可靠性，我们进行了灵敏度分析。
通过逐步调整目标函数的上下界限，我们观察模型结果的变化，并判断模型的鲁棒性和可操作性。
实验结果与讨论通过LINGO软件的求解，我们得到了供应链优化问题的最优解。
根据模型的目标函数和约束条件，我们可以评估供应链在不同目标下的表现，从而为决策者提供多个可选方案。
在实验的过程中，我们发现目标规划方法对于多目标问题的处理非常有效。
lingo在运筹学中的运用
lingo在运筹学中的运用
Lingo在运筹学中是一类特别有用的工具，它是一种针对非线性优
化问题的建模语言。
它提供了一种实现复杂求解过程的有效方法，可
以帮助企业创建可衡量的、可控的模型，本质上提高解决难题的能力。
Lingo在运筹学中的应用如下：
一、数据建模
Lingo可以帮助企业更好地利用数据分析，通过数据可视化，实时监测，以及建立超级等式和复合对象，更好地实现数据建模。
这样可以提高
数据管理能力，让企业能够更好地组织、管理、分析及设计数据模型。
二、决策模型
Lingo可以帮助企业构建复杂的决策模型，允许运筹学家在多变量制约
条件下建立决策模型。
Lingo可以在多种应用场景中使用，从传统的精
确方程求解到组合优化多目标问题，从分布式系统的模拟到深度学习
的应用模型，Lingo都有着重要的用途。
三、数学优化
Lingo可以帮助企业有效地实现数学优化目标，在模型本身的表述上，Lingo具有更快的执行速度，并且可以处理大量的数量和变量，可以表
示复杂的最优化目标函数，从而提供最佳的运行数值。
四、机器学习
Lingo在运筹学中也可以应用于机器学习领域，可以用来构建收敛性更
强的机器学习模型，比如基于复杂决策树的模型，或者用Lingo设计的模型来处理视觉捕获和多机实时分析的问题。
总结：Lingo在运筹学中具有重要的作用，它可以帮助企业更加有效地实现数据建模、决策模型、数学优化和机器学习等方面的目标，进而提高企业的解决问题的能力。
LINGO在多目标规划和最大最小化模型中的应用
LINGO 在多目标规划和最大最小化模型中的应用在许多实际问题中，决策者所期望的目标往往不止一个，如电力网络管理部门在制定发电计划时即希望安全系数要大，也希望发电成本要小，这一类问题称为多目标最优化问题或多目标规划问题。
一、多目标规划的常用解法多目标规划的解法通常是根据问题的实际背景和特征，设法将多目标规划转化为单目标规划，从而获得满意解，常用的解法有：1．主要目标法确定一个主要目标，把次要目标作为约束条件并设定适当的界限值。
2．线性加权求和法对每个目标按其重要程度赋适当权重0≥i ω，且1=∑i i ω，然后把)(x f i ii ∑ω作为新的目标函数（其中p i x f i ,,2,1),( =是原来的p 个目标）。
3．指数加权乘积法设p i x f i ,,2,1),( =是原来的p 个目标，令∏==p i a i ix f Z 1)]([其中i a 为指数权重，把Z 作为新的目标函数。
4．理想点法先分别求出p 个单目标规划的最优解*i f ，令∑-=2*))(()(i i f x f x h然后把它作为新的目标函数。
5．分层序列法将所有p 个目标按其重要程度排序，先求出第一个最重要的目标的最优解，然后在保证前一个目标最优解的前提条件下依次求下一个目标的最优解，一直求到最后一个目标为止。
这些方法各有其优点和适用的场合，但并非总是有效，有些方法存在一些不足之处。
例如，线性加权求和法确定权重系数时有一定主观性，权重系数取值不同，结果也就不一样。
线性加权求和法、指数加权乘积法和理想点法通常只能用于两个目标的单位（量纲）相同的情况，如果两个目标是不同的物理量，它们的量纲不相同，数量级相差很大，则将它们相加或比较是不合适的。
二、最大最小化模型在一些实际问题中，决策者所期望的目标是使若干目标函数中最大的一个达到最小（或多个目标函数中最小的一个达到最大）。
例如，城市规划中需确定急救中心的位置，希望该中心到服务区域内所有居民点的距离中的最大值达到最小，称为最大最小化模型，这种确定目标函数的准则称为最大最小化原则，在控制论，逼近论和决策论中也有使用。
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LINGO 在多目标规划和最大最小化模型中的应用在许多实际问题中，决策者所期望的目标往往不止一个，如电力网络管理部门在制定发电计划时即希望安全系数要大，也希望发电成本要小，这一类问题称为多目标最优化问题或多目标规划问题。
一、多目标规划的常用解法多目标规划的解法通常是根据问题的实际背景和特征，设法将多目标规划转化为单目标规划，从而获得满意解，常用的解法有：1．主要目标法确定一个主要目标，把次要目标作为约束条件并设定适当的界限值。
2．线性加权求和法对每个目标按其重要程度赋适当权重0≥i ω，且1=∑ii ω，然后把)(x f i ii ∑ω作为新的目标函数（其中p i x f i ,,2,1),( =是原来的p 个目标）。
3．指数加权乘积法设p i x f i ,,2,1),( =是原来的p 个目标，令…∏==pi a i ix f Z 1)]([其中i a 为指数权重，把Z 作为新的目标函数。
4．理想点法先分别求出p 个单目标规划的最优解*i f ，令∑-=2*))(()(iifx f x h然后把它作为新的目标函数。
5．分层序列法将所有p 个目标按其重要程度排序，先求出第一个最重要的目标的最优解，然后在保证前一个目标最优解的前提条件下依次求下一个目标的最优解，一直求到最后一个目标为止。
这些方法各有其优点和适用的场合，但并非总是有效，有些方法存在一些不足之处。
例如，线性加权求和法确定权重系数时有一定主观性，权重系数取值不同，结果也就不一样。
线性加权求和法、指数加权乘积法和理想点法通常只能用于两个目标的单位（量纲）相同的情况，如果两个目标是不同的物理量，它们的量纲不相同，数量级相差很大，则将它们相加或比较是不合适的。
二、最大最小化模型在一些实际问题中，决策者所期望的目标是使若干目标函数中最大的一个达到最小（或多个目标函数中最小的一个达到最大）。
例如，城市规划中需确定急救中心的位置，希望该中心到服务区域内所有居民点的距离中的最大值达到最小，称为最大最小化模型，这种确定目标函数的准则称为最大最小化原则，在控制论，逼近论和决策论中也有使用。
》最大最小化模型的目标函数可写成)}(,),(),(max{min 21X f X f X f p X或)}(,),(),(min{max 21X f X f X f p X式中T n x x x X ),,,(21 是决策变量。
模型的约束条件可以包含线性、非线性的等式和不等式约束。
这一模型的求解可视具体情况采用适当的方法。
三、用LINGO 求解多目标规划和最大最小化模型 1．解多目标规划用LINGO 求解多目标规划的基本方法是先确定一个目标函数，求出它的最优解，然后把此最优值作为约束条件，求其他目标函数的最优解。
如果将所有目标函数都改成约束条件，则此时的优化问题退化为一个含等式和不等式的方程组。
LINGO 能够求解像这样没有目标函数只有约束条件的混合组的可行解。
有些组合优化问题和网络优化问题，因为变量多，需要很长运算时间才能算出结果，如果设定一个期望的目标值，把目标函数改成约束条件，则几分钟就能得到一个可行解，多试几个目标值，很快就能找到最优解。
对于多目标规划，同样可以把多个目标中的一部分乃至全部改成约束条件，取适当的限制值，然后用LINGO 求解，从中找出理想的最优解，这样处理的最大优势是求解速度快，节省时间。
2．解最大最小化问题第一步，先把原来较复杂的目标函数式改写为一个简单的目标函数 C min]以及p 个约束条件：C X f C X f C X f p ≤≤≤)(,,)(,)(21其他原有的约束条件不变，改写后仍然是一个规划，只是增加了p 个约束条件，目标函数的形式较为简单。
如果能用LINGO 求出它的解，则问题已经解决，如果求解困难，可转入下一步。
第二步，取消目标函数，保留上一步由目标函数改成的p 个约束条件和所有原来的约束条件，预设C 值为某个常数，此时原规划模型不再是规划，它仅仅包含等式和不等式，没有目标函数，是许多约束条件的组合，可以称它为“混合组”。
求该混合组的解，其实质是求满足所有约束条件并且使目标函数等于给定值的一组决策变量的值，求出来的结果是可行解，它未必是最优解。
在存在可行解的前提下，使目标函数值小的可行解优于使目标函数值大的可行解，使目标函数值越小的可行解越接近最优解。
第三步，对具体问题作出分析，对目标函数可能达到的最小值（即C 的最小值）作适当估计，然后在此估计值的基础上由大到小改变C 的值进行试算，使可行解越来越接近最优解。
对于目标函数值离散的情况，不难找到最优解。
例：装配线平衡模型。
一条装配线含有一系列的工作站，在最终产品的加工过程中每个工作站执行一种或几种特定的任务。
装配线周期是指所有工作站完成分配给它们各自的任务所化费时间中的最大值。
平衡装配线的目标是为每个工作站分配加工任务，尽可能使每个工作站执行相同数量的任务，其最终标准是装配线周期最短。
不适当的平衡装配线将会产生瓶颈——有较少任务的工作站将被迫等待其前面分配了较多任务的工作站。
问题会因为众多任务间存在优先关系而变得更复杂，任务的分配必须服从这(A)(B)(C)(F)(G)(K)(J)(I)(H)(E);种优先关系。
这个模型的目标是最小化装配线周期。
有2类约束： ① 要保证每件任务只能也必须分配至一个工作站来加工；② 要保证满足任务间的所有优先关系。
'例 有11件任务（A —K ）分配到4个工作站（1—4），任务的优先次序如下图。
每件任务所花费的时间如下表。
解：用变量ik x 表示任务),,,(K B A i i =分配给工作站)4,3,2,1(=k k 的情况，1=ik x 表示分配，0=ik x 表示不分配，i t 表示完成各项任务所需时间，则目标函数为∑=≤≤11141max min i ik i k x t约束条件（1）：每项任务只能且必须分配至一个工作站来做，可以表示为：11,,2,1,141==∑=i xk ik；约束条件（2）：各项任务间如果有优先关系，则排在前面的任务i 对应的工作站（序号）应当小于（或等于）排在后面的任务j 所对应的工作站（序号），即对所有有顺序的任务j i <：0)(41≥-∑=k ik jk kx kx ；约束条件（3）：10或=ik x 。
，这是一个非线性规划（目标函数非线性），但可以化为线性规划，增加一个变量，再增加四个约束条件：4,3,2,1,111=≤∑=k Z x t i ik i ，目标函数变为Z min 。
LINGO 程序为：model :!装配线平衡模型; sets :!任务集合，有一个完成时间属性t; task/ A B C D E F G H I J K/:t;!任务之间的优先关系集合（A 必须完成才能开始B ，等等）; pred(task,task)/ A,B B,C C,F C,G F,J G,J J,K D,E E,H E,I H,J I,J /; ! 工作站集合; ！station/1..4/;tsx(task, station):x;! x 是派生集合txs 的一个属性。
如果x(i ，k ）＝1，则表示第i 个任务 指派给第k 个工作站完成; endsets data :!任务A B C D E F G H I J K 的完成时间估计如下; T = 45 11 9 50 15 12 12 12 12 8 9; enddata! 当任务超过15个时，模型的求解将变得很慢; !每一个作业必须指派到一个工作站，即满足约束①; ￥@for (task(i): @sum (station(k):x(i,k)) = 1);!对于每一个存在优先关系的作业对来说，前者对应的工作站i 必须小于后 者对应的工作站j ，即满足约束②;@for (pred(i,j): @sum (station(k):k*x(j,k)-k*x(i,k))>= 0); !对于每一个工作站来说，其花费时间必须不大于装配线周期; @for (station(k):@sum (txs(i,k):t(i)*x(i,k))<=cyctime); !目标函数是最小化转配线周期; min = cyctime;!指定x(i,j) 为0/1变量; @for (txs:@bin (x)); : end计算的部分结果为Global optimal solution found at iteration: 1255 Objective value:Variable Value Reduced Cost CYCTIME X( A, 1) X( A, 2)X( A, 3)X( A, 4)X( B, 1)^X( B, 2)X( B, 3)X( B, 4)X( C, 1)X( C, 2)X( C, 3)X( C, 4)X( D, 1)X( D, 2)X( D, 3)X( D, 4)/X( E, 1)X( E, 2)X( E, 3)X( E, 4)X( F, 1)X( F, 2)X( F, 3)X( F, 4)X( G, 1)X( G, 2)X( G, 3)`X( G, 4)X( H, 1)X( H, 2)X( H, 3)X( H, 4)X( I, 1)X( I, 2)X( I, 3)X( I, 4)X( J, 1)X( J, 2)【X( J, 3)X( J, 4)X( K, 1)X( K, 2)X( K, 3)X( K, 4)例：工件的安装与排序问题。
某设备由24个工件组成，安装时需要按工艺要求重新排序。
I．设备的24个工件均匀分布在等分成六个扇形区域的一圆盘的边缘上，放在每个扇形区域的4个工件总重量与相邻区域的4个工件总重量之差不允许超过一定值。
II ．工件的排序不仅要对重量差有一定的要求，还要满足体积的要求，即两相邻工件的体积差应尽量大，使得相邻工件体积差不小于一定值。
问题1：按重量排序算法；\问题2：按重量和体积排序算法；请按下表中的工件数据（重量单位：g ，体积单位：cm 3）进行实时计算。
解：对问题1和2分别求解。
（1） 对问题1，仅考虑重量进行排序。
用24,,2,1 =i 表示24个工件，i W 表示各工件的重量，6,,2,1 =j 表示圆盘上的6个扇区，j D 表示各扇区上4个工件的总重量，ij X 是0-1型决策变量，表示工件i 是否放在扇区j 上，1=ij X 表示放，0=ij X 表示不放。
：每个工件必须且只能放到一个位置上，每个位置放一个且仅放一个工件，每个扇区放4个工件，重量之和为j D 。
目标函数是：相邻扇区上的j D 之差的（绝对值）最大值达到最小，建立0-1规划模型如下：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧========-∑∑∑===+≤≤10,6,,2,1,24,,2,1,16,,2,1,4|}{|max min 1724161241161或iji ij i j j ij i ij k k k X D D j X W D i X j X D D 模型中的7D 是虚拟的，17D D =使得1-6-1扇区构成圆盘，引入7D 的目的只是使目标函数的表达式简洁。