热传导基本理论与建模
热传导和热导率
热传导和热导率热传导是指热量从高温区域传递到低温区域的过程。
它是物体内部热量传递的一种方式，与热辐射和热对流相对应，是热学中一个重要的研究方向。
热导率则是用来描述材料导热性能的物理量。
1. 热传导的基本原理热传导是由原子和分子的热运动引起的。
在物体的高温区域，热运动的分子具有较大的动能，相互碰撞产生能量传递。
而在低温区域，分子的动能较小，接收到的能量较多，从而达到热平衡状态。
2. 热传导方程热传导可以通过热传导方程来描述，在一维情况下，该方程可以表示为：∂Q/∂t = -k * A * (∂T/∂x)其中∂Q/∂t表示单位时间内通过物体某一截面的热量，k表示热导率，A表示面积，∂T/∂x表示温度梯度。
根据此方程，可以计算热传导过程中的热流强度和温度变化情况。
3. 热导率的定义和计算热导率是描述材料导热性能的物理量，表示的是单位时间内单位厚度、单位面积温度差产生的热流。
热导率的计算公式为：k = Q * L / (A * ΔT)其中k表示热导率，Q表示通过材料的热流强度，L表示热传导路径长度，A表示横截面积，ΔT表示温度差。
4. 热导率的影响因素热导率与物质的性质、温度、压力等因素有关。
常见的影响热导率的因素有：- 温度：通常情况下，材料的热导率随温度的升高而增大。
- 材料的物理性质：不同材料具有不同的热导率。
例如，金属通常具有较高的热导率，而绝缘体则较低。
- 材料的结构：材料晶体结构的不同也会影响热导率。
例如，晶体结构简单的金属材料通常具有较高的热导率。
- 含气等其他因素：材料中可能含有空气或其他气体，这些气体的导热性能较差，会降低热导率。
5. 应用领域和意义热传导和热导率在各个领域都有重要的应用。
例如，在材料工程领域，热导率是研究材料导热性能的重要参数，有助于选择合适的材料用于导热器件的设计。
在能源领域，热传导的研究有助于提高能源转换效率和热管理技术。
此外，热传导现象还在电子器件的散热、建筑材料的保温等方面有着广泛的应用。
热传导问题的数值模拟
热传导问题的数值模拟热传导是自然界中一种普遍存在的物理现象，其在许多领域都有着广泛的应用。
在工程领域，对于许多工程问题的求解过程中，需要对热传导问题进行数值模拟。
本文将从热传导问题的基本理论出发，介绍一些热传导问题的数值模拟方法及其应用。
一、热传导基本理论热传导是指热量从高温区传递到低温区的现象。
在热传导过程中，热流量的方向和大小受到热传导物质的性质及其温度差等因素的影响。
热传导物质分为导热性能好的导体和导热性能差的绝缘体两种类型。
根据傅里叶定律和傅立叶热传导方程，热传导问题可以用以下的偏微分方程来描述：∂u/∂t = α(∂²u/∂x²+∂²u/∂y²+∂²u/∂z²)+f(x,y,z,t)其中，u(x,y,z,t)表示温度分布，f(x,y,z,t)表示源项（可能是热源或热损失），α为导热系数，t为时间，x、y、z为空间坐标。
二、数值模拟方法热传导问题的数值模拟主要采用有限元法、有限体积法、有限差分法等方法进行计算。
下面将分别介绍这三种方法。
1. 有限元法有限元法（Finite Element Method, FEM）是一种广泛应用于数值分析领域的方法。
在热传导问题的数值模拟中，有限元法的基本思想是将要求解的物理问题离散化，将其分解成有限个简单的元件来进行求解。
具体而言，可以将热传导区域分解成一系列的小单元，然后根据有限元法的原理，通过计算每个单元内的热传导能量，并利用边界条件，在整个区域内拼凑成一个整体的方程组，在求解这个方程组后得到热传导问题的解。
2. 有限体积法有限体积法（Finite Volume Method, FVM）是一种以连续性方程为基础，采用体积平均原理离散化控制体积的方法。
有限体积法在处理不规则域的问题时具有重要的优势。
在热传导问题的求解中，可以采用有限体积法离散分析过程。
对于一个立方体体积元，可以用守恒方程将体积元内部的能量和热流量进行刻画。
热力学中的热传导
热力学中的热传导在热力学中，热传导是指热量从高温区域向低温区域的传递过程。
热传导是自然界中非常常见的现象，我们可以在日常生活中的许多事物中观察到它的存在，比如触摸热的物体时感到的热量传递、热水壶中热水变凉的过程等。
本文将探讨热传导的基本原理、数学模型和应用。
一、热传导的基本原理热传导是由原子或分子之间的碰撞和相互作用引起的。
原子或分子在高温区域具有较大的动能，它们通过与周围的原子或分子碰撞，将一部分动能传递给周围的粒子，使其动能增加，最终导致热量在物质中的传递。
在固体中，这种传递主要通过声子（晶格振动）进行；在液体和气体中，除了声子传导外，还存在分子之间的碰撞传导。
根据热传导的基本原理，我们可以得到热传导的传热方程，即傅立叶热传导定律。
该定律表明，热流密度（单位时间通过单位面积的热量）与温度梯度（单位长度内的温度变化）成正比，可以表示为以下数学关系：q = -k * A * (dT/dx)其中，q是单位时间通过单位面积传递的热量，k是材料的热导率，A是传热的面积，dT/dx是单位长度内的温度变化。
二、热传导的数学模型为了准确描述物质中的热传导过程，我们可以使用热传导方程进行建模。
热传导方程（也称为热输运方程）是一个偏微分方程，可以用来描述热量在空间和时间上的传递和分布。
其一维形式如下：∂T/∂t = α * ∂²T/∂x²其中，T是温度，t是时间，x是空间坐标，α是热扩散系数。
这个方程可以通过热传导方程的推导过程得到，其解可用于预测物质内部温度随时间和空间的变化。
三、热传导的应用热传导在众多领域中都有广泛的应用。
以下是一些常见的热传导应用：1. 热保护材料：热传导定律的理论基础被应用于设计和开发热保护材料，以降低传热过程中的能量损失。
比如建筑保温材料、隔热材料等。
2. 电子散热：电子设备的长时间工作会产生大量的热量，为了保证设备安全和性能稳定，需要利用高热导率的散热材料来加快热量的传递和散发。
热传导中应用数学建模的探讨_许维珍
热传导中应用数学建模的探讨_许维珍热传导是热学中的一个基本概念，指的是物体内热量的传递过程。
在实际应用中，我们常常需要对热传导进行建模和分析，以便更好地理解和控制热传导过程。
数学建模则是将实际问题抽象成数学模型，并利用数学方法进行分析和求解的过程。
本文将探讨在热传导中应用数学建模的一些思路和方法。
首先，热传导过程可以用热传导方程进行描述。
热传导方程是一个偏微分方程，可以通过对物体内各点温度的关系进行推导得到。
一般情况下，热传导方程是一个二阶偏微分方程，其中包含了物质的热传导性质、温度分布及其变化率等因素。
对于一维的热传导过程，可以用以下形式的热传导方程描述：\[\frac{{\partial T}}{{\partial t}} = \alpha \frac{{\partial ^2 T}}{{\partial x^2}}\]其中，\(T\)表示温度，\(t\)表示时间，\(x\)表示空间坐标，\(\alpha\)表示热扩散系数。
通过对热传导方程进行求解，可以得到物体内各点温度随时间和空间的变化规律。
这就为我们研究物体的热传导性质提供了一个数学模型。
其次，对热传导过程进行数值模拟是研究热传导的常用方法之一、数值模拟的基本思路是将物体划分为若干个小区域，然后对每个小区域进行数值计算，最后得到整个物体的温度分布。
常用的数值方法有有限差分和有限元方法。
有限差分方法将时间和空间进行离散化，然后通过数值逼近来求解热传导方程。
有限元方法则是将物体划分为若干个小单元，在每个小单元内近似求解热传导方程，然后通过组装所有小单元的解来得到整个物体的温度分布。
这些数值方法在实际工程中被广泛应用，可以快速得到物体的温度分布，并且可以进行不同条件下的模拟和优化。
此外，对于复杂的热传导问题，还可以引入辅助变量、辅助方程和辅助条件等来进行建模和求解。
这些辅助变量和辅助方程可以帮助我们更好地描述和分析热传导过程中的其他因素，如辐射传热、相变等。
热传导的基本理论和应用
热传导的基本理论和应用热传导是指热能通过物质的传递，它在自然界和工业生产中都具有广泛的应用。
在我们日常生活中，各种材料的热传导性质也是我们考虑的因素之一。
本文将从热传导的基本理论、热传导的影响因素以及热传导的应用三个部分来探讨热传导及其应用。
一、热传导的基本理论热传导是由物质的内部交换热能造成的。
它的特点是热能从高温处向低温处移动。
这个过程可以通过热传导方程来描述。
热传导方程：dQ/dt=-kA (dT/dx)其中，dQ/dt表示单位时间内从高温处传来的热量，k是热导率，A是横截面积，dT/dx表示温度在空间中变化的速率。
热传导的速度与物体的热导率、横截面积和温度差有关。
材料的热导率是一个比较重要的特性，是指单位时间内单位横截面积上热量的传递率，通常用W/(m·K)或W/(m·℃)来表示。
不同材料的热导率不同，一般来说，导热性能好的金属通常都有很高的热导率，而不好导热的物质热导率较低。
二、热传导的影响因素除了热导率、横截面积和温度差外，热传导的速率还受到很多其他因素的影响。
1.材料的密度和热容：材料的热导率与密度和热容有关。
通常来说，材料的密度越大，热传导速率就越快，而热容越大，则热传导速率就越慢。
2.材料的结构：材料的结构也会影响热传导的速度。
结构越复杂的材料，通常热传导速度越慢。
3.环境的影响：环境因素如空气流动、湿度等等，也会影响热传导的速度。
三、热传导的应用热传导的应用非常广泛，以下是几个常见的应用。
1.散热器：散热器是利用金属材料的热传导特性，将CPU等设备产生的热量传递出去，起到散热的作用。
2.太阳能吸热板：太阳能吸热板利用热传导原理，将太阳能转化为热能，再利用流体循环来传递热量。
3.热塑性成型：热塑性成型就是利用热形变和热传导的原理，将材料加热到一定温度，使其软化，然后利用塑料成型机械组成的模具对材料进行成型。
结语热传导的基本理论和应用具有广泛的应用范围。
了解和掌握其基本理论和影响因素，将有助于提高我们对于材料和设备的热学性质的认识，进而为我们的生活和工作带来便利。
热传导的数学模型与应用
热传导的数学模型与应用热传导是研究热传输过程的一种方法，它基于物质的热运动，描述了热能在空间中沿着温度梯度传导的过程。
在现实世界中，热传导的应用广泛，例如工程传热、地质传热等。
本文将介绍热传导的数学研究领域及其在应用中的一些方法和技术。
一、一维热传导的数学模型考虑一根长为L的均匀导热杆，其温度分布随时间的变化可以描述为以下偏微分方程：$$\frac{\partial u}{\partial t}=k\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$其中，u表示温度，k是杆的热导率。
这个方程是著名的热传导方程，它描述了热传导现象的基本规律。
对于一维的情况，我们可以设计一些边界条件来求解这个方程。
例如，假设杆的两端分别接触两个热库，温度分别为$u_0$和$u_L$，则可以给出如下的边界条件：$$u(0,t)=u_0,\quad u(L,t)=u_L$$此外，还需确定初始条件，即$t=0$时的温度分布：$$u(x,0)=f(x)$$为了求解这个问题，我们可以采用变量分离法或者傅里叶变换等数学工具求解上述偏微分方程，进而得到温度分布随时间的变化规律。
这个问题在工程中有很多应用，例如热传导计算、材料热处理等。
二、二维热传导的数学模型对于二维的情况，即热传导在一个平面上进行时，我们需要引入两个空间变量$x,y$，此时热传导方程变为：$$\frac{\partial u}{\partial t}=k\left(\frac{\partial^2 u}{\partialx^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)$$同样地，我们还需要给出边界条件和初始条件。
例如，假设平面上存在一个温度分布为$u(x,y,0)=f(x,y)$的初始温度分布，则边界条件可以取如下形式：$$u(x,0,t)=u(x,L,t)=u(0,y,t)=u(W,y,t)=0$$其中，L和W分别表示平面的长度和宽度。
热传导中应用数学建模的探讨
度 q( r, t) , 即 单位 时间 通过 单位 等温 面的热 流量 .根
据实 验结 果, 热传导 现象 所遵 循 的热 传导 定 律, 是
傅 利 叶 定 律 q( r, t) =- kg!T( r, t) w/m2, 式 中 k 是 材
料导 热系 数.
由傅 利叶 定律知 道, 要计 算 物体 的热 流 强度 ,
关 键词 : 数 学模 型; 热 传导 ; 温 度分 布; 热 流强 度; 建 模应 用 中 图分 类号 : O29; O551.3 文 献标 识码 : A 文章 编号 : 1673- 260X( 2008) 04A- 0026- 04
数学 建模 , 是对 于 现实 世 界的 一 个特 定 对象 , 为 了一 个特 定目 的,根据 特有 的 内在 规律 ,做出 一些 必 要的 简化 假设 ,运 用适 当的 数 学工 具,得 出的 一个 对 问 题近 似刻 画 的数 学 模型 , 并求 出 模型 的 解,验 证 模 型的 合理 性, 并用 该 数学 模 型所 提 供的 解 答来 解 释 现 实问 题 , 它 或者 能 解 释特 定 现 象 的 现实 状 态 ,或者 能预测 到对 象的 未来 状 况,或者 能 提供 处理 对 象 的最 优决 策 或控 制. 数学 建 模的 应 用很 广 , 随 着 人类 生活 质量 的提 高, 生产 力的 发展 和 科学 文化 的进 步 , 数 学 建 模几 乎 涉 及各 个 领 域 , 本 文 着重 讨 论 它在 热传 导中 的应 用.
化学工程中的传热和质量传递的建模和仿真研究
化学工程中的传热和质量传递的建模和仿真研究在化学工程领域中，传热和质量传递是一个十分重要的研究课题。
传热和质量传递涉及到庞大的物理学、化学、数学、机械等方面的知识，加上实验研究复杂度高、费时费力、成本高昂等因素的限制，使得传热和质量传递的建模和仿真成为现代科技应用中一个重要的研究方向。
传热和质量传递的研究可以分为理论与实验两个方面。
传热和质量传递的理论研究可以通过建模和仿真来进行。
传热和质量传递的实验研究则涉及到设备和技术的开发与创新。
基于建模和仿真的方法可以大大减少实验室研究的难度和成本，同时能够更快地检验和确认预期的效果。
什么是传热和质量传递的建模？在化学工程中，传热和质量传递的建模是指基于理论和实验结果，通过数学建模的方式来描述和预测物体内部传热和质量传递的过程。
传热和质量传递的建模需要对传递的物质和热量进行宏观的分析，包括物理、化学、热力学等方面的知识。
对于化学工程中的传热和质量传递问题，传热和质量传递的建模是一个主要的研究方向。
传热和质量传递的建模的具体方法包括：流体力学、热传导、物态方程、传质论等等。
建模不仅可以预测物体的传热和质量传递，而且还可以发现潜在的物理学和化学学规律。
传热和质量传递的基础理论传热和质量传递的基础理论是一个十分庞杂的分支学科。
传热和质量传递的基础理论通过研究物质和热量的传递，探究物质和热量在空间和时间上的变化规律，从而得出传递过程的本质规律。
传热和质量传递的基础理论可以分为以下几个方面：传热定律、传质反应、热传导和动量传递等。
传热和质量传递的基础理论是建模和仿真的基础。
离散单元模型（DEM）离散单元模型（DEM）是一种常用于传热和质量传递中流体固体等离散相交换耦合研究中的建模和仿真技术。
DEM 建模和仿真方法基于分散的小粒子（如泥土颗粒、沙粒、颗粒）来模拟物质的整体性状，生成数值计算模型。
DEM 建立的离散颗粒模型是一种比传统方法更加符合物理实际的研究方法。
DEM 建模和仿真技术已在化学工程中得到成功应用。
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常用的形式
ρc ∂t ∂t ∂ ∂t 1 ∂ 1 1 = 2 (λ r 2 ) + 2 (λ sin θ )+ 2 2 ∂τ r ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ ∂ ∂t & ( λ ∂φ ∂φ ) + QV
对于各向同性连续介质(Isotropic Media)
直角坐标系(Cartesian coordinates ) ∂t ∂ ∂t ∂ ∂t ∂ ∂t & ρc = (λ ) + ( λ ) + ( λ ) + Q V ∂τ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z 圆柱坐标系(Cylindrical coordinates )
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300
250
200
过热度/℃
150
100
50
0
0
0.1
0.2
0.3 0.4 无 量 纲 时 间 Fo
0.5
0.6
0.7
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40
800
700
600
温度 /℃
500
400
300
200
2.2垂直埋管传热问题的建模
垂直温度梯度远小于径向 均匀介质 定解条件
∂t 1 ∂ ∂t ρc = (λ r ) ∂τ r ∂r ∂r
∂t 1 ∂ ∂t ρc =λ (r ) ∂τ r ∂r ∂r
τ = 0, t = t∞ r = R , t = t0 r → ∞, t → t∞
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2.3.14小结
• 从实际问题到数学模型的过程需要关于 研究对象的知识 • 数学模型可以有很多个选择，但是一个 能够求解的近似模型的作用远远优于一 个无法求解的详细模型 • 本例中很多的影响因素被忽略了。
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案例：高温颗粒急冷过程的分析
x
0
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r
2.3.7温度场的数学模型
1 ∂ ∂t ∂ t ∂t =λ ρc r + 2 ∂τ r ∂r ∂r ∂x
2
x=L x=0 r = r0 r=R τ =0
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∂t −λ = h(t − t f ) ∂x ∂t −λ =0 ∂x ∂t −λ = 0 ∂r ∂t −λ = h(t − t f ) ∂x t = t0
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2.3.4加热器布置
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加热器
H
路面
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2.3.5温度场的数学模型
1 ∂ ∂t ∂ t ∂t =λ ρc r + 2 ∂τ r ∂r ∂r ∂x
2
∂t =q ∂x ∂t =0 x = 0 −λ ∂x ∂t r = r0 − λ = 0 ∂r ∂t r = R −λ = h(t − t f ) ∂x τ = 0 t = t0 x = L −λ
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2.3.11恒温阶段沿高度方向的温度 变化
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2.3.12附加的因素
• • • • • 实际情况与模型的差异 材料物性的不确定性 表面对流传热损失 表面辐射热损失 其它
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2.3.13得到的设计参考数据
• 为了保证加热表面不低于600W/m2 的净 加热强度，系统的加热强度要高于1200 W/m2即可 • 这里的计算要根据最坏情况设计的，实 际情况可能会因为采取保温措施（如遮 盖，底部和侧面加保温材料等），所需 要的加热强度要少一些。
x
0
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r
2.3.8恒温阶段的温度场模型
1 ∂ ∂t ∂ t ∂t =λ ρc r + 2 ∂τ r ∂r ∂r ∂x
2
x = L t = tw ∂t =0 ∂x ∂t r = r0 − λ = 0 ∂r ∂t r = R −λ = h(t − t f ) ∂x τ = 0 t = t0 x = 0 −λ
没有内热源
∂t 1 ∂ ∂t 1 ∂ 1 ∂t ∂ ∂t ρc = (λ r ) + (λ ) + (λ ) ∂τ r ∂r ∂r r ∂φ r ∂φ ∂z ∂z
轴对称
∂t 1 ∂ ∂t ∂ ∂t ρc = (λ r ) + (λ ) ∂τ r ∂r ∂r ∂z ∂z
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2.2垂直埋管传热问题的建模
对于热水，只要补充水的能量方程即可
∂t 1 ∂ ∂t ρc =λ r ∂τ r ∂r ∂r dtW ∂t mc p = − 2πλ r dz ∂r z = 0, tW = tW 0 τ = 0, t = t∞ r = R, t = tWZ 0 r → ∞ , t → t∞
应用于：地源热泵、地热开采、石油热采等
O
r
井筒内可以是热水、蒸汽、或原油等
z
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2.2 垂直埋管传热问题的建模
圆柱坐标系(Cylindrical coordinates )
∂t 1 ∂ ∂t 1 ∂ 1 ∂t ∂ ∂t & ρc = (λ r ) + (λ ) + (λ ) + Q V ∂τ r ∂r ∂r r ∂φ r ∂φ ∂z ∂z
0.25
0.3
0.35
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10
3
10
2
过热度/℃
10
1
10
0
0
0.05
0.1
0.15
0.25 无量纲时间 Fo
0.2
0.3
0.35
0.4
0.45
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问题
隔板中水的运动方向？ 哪一块木板承载更多？
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2.4 各向异性介质的热传导 （Heat Conduction in Anisotropic Media)
8
2.2垂直埋管传热问题的建模
模型问题解决了吗？前面的定解条件能 符合实际情况吗？ 介质在井筒中的温度是变化的!!!怎么办？ 方程和定解条件还能用吗?
∂t 1 ∂ ∂t ρc =λ (r ) ∂τ r ∂r ∂r
τ = 0, t = t∞ r = R , t = t0 r → ∞, t → t∞
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高温颗粒急冷过程的数学模型
1 ∂ 2 ∂t ∂t = 2 λr ρc 0<r<R ∂τ r ∂r ∂r ∂t r =0 =0 ∂r ∂t r = R − λ = q ( ∆t f ) ∂r τ = 0 t = t0
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∂t 1 ∂ ∂t 1 ∂ 1 ∂t ∂ ∂t & ρc (λ r ) + (λ ) + (λ ) + Q = V ∂τ r ∂r ∂r r ∂φ r ∂φ ∂z ∂z
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r ∂t & ρc = −∇g(q) + Q V ∂τ
2.1.2 各向同性介质热传导方程
球坐标系(Spherical coordinates )
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2.3.1环道碾压试验设计
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2.3.2加热设计要求
• 温度自上而下逐渐降低 • 温度场基本恒定 • 加热均匀
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2.3.3加热方式选择
• 电加热器＋温度控制系统 • 远红外加热器 • 加热方式
– 侧向加热 – 水平加热
• 背景
– 金属热处理 – 炉渣冷却 – 核反应堆溃堆
• 研究思路
– 数学模型 – 定解条件 – 问题的数学特征
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x
r
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2.3.9必要的物性参数
表1 实验材料物性参数表 W/(m K) 参数名称 数值 导热系数 2.0~3.099 (kg/m3) 表观密度 1800~2500 J/(kg K) 比热 739~921
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2.3.10加热阶段表面温度计算结果
2 热传导理论
——热传导问题的建模与解析
2.1 热传导基本理论
2.1.1 傅里叶定律（Fourier’s Law)
r q = −λ grad t
v ∂t u v ∂t v ∂t u grad t = i + j + k ∂x ∂y ∂z