重庆工商大学《概率论与数理统计》课后习题答案—高等教育出版社(袁德美主编)第六章

幻灯片 2
6.2 包装某产品,每箱 100 个,各箱的次品率都是 p.现在随机抽取 50 箱进行检查,第 i 箱的
次品数记为 Xi ,
求样本 X1,X2,…,X50 的联合分布律.
解
X i B(100, p)
p (x1, x2 , x50 )
P{X1 x1, X 2 x2 , , X 50 x50 }
x)2
样本方差
0.4
23.5，
s
s2
1 n 1
n i 1
( xi
x )2
0.63
样本标准差
b2
1 n
n
( xi
i 1
x)2
二阶中心矩
0.36
幻灯片 5 错误!未找到引用源。
X1 X2 2
N (0,1)
X1 X 2 N (0, 2)
t
X1 X2
2
X
2 3
X
2 4
X
2 5
3
P( X i xi ) (1 p)xi 1 p, i 1, 2, , n
p (x1, x2 , xn )
P{X1 x1, X 2 x2 , , X n xn }
P{X1 x1}P{ X 2 x2} P{X n xn }
n
(1 p)xi 1 p i 1
pn (1 p)nxn
其中x
1 n
n i 1
Xi
幻灯片 4 6.5 测得一组样本的观测值 24.2，25.0，22.8，23.4，24.3，23.8，24.2，23.5，23.3 求样本均值,样本方差,样本标准差以及样本的二阶中心矩.
1 n
x n i1 xi
解样本均值
23.8
s2
1 n 1
n i 1
( xi
3
X1 X2
2
X
2 3
பைடு நூலகம்
X
2 4
X
2 5
t (3)
d 6 2
幻灯片 8
错误!未找到引用源。
幻灯片 1
6.1 为研究某信息台 1~3 月份从晚上 19 点到晚上 22 点每分钟内接到人工服务的呼叫次数,
今从 1~3 月份的全部记录中随机抽取 200 个记录进行研究,问该研究项目的总体是什么?个
体是什么?样本是什么?
解
该研究项目的总体是全部记录.
该研究项目的个体是每个记录.
该研究项目的样本是随机抽取的 200 个记录.
P{X1 x1}P{ X 2 x2} P{X 50 x50 }
50
C xi 100
p xi
(1
p )100 xi
i 1
50
C xi 100
p50x (1
p)500050 x
i 1
其中x
1 50
50 i 1
Xi
幻灯片 3 6.3 某射手进行射击训练,已知他击中目标的概率为 p,每一轮击中目标就停止.设第 i 轮射击的次数记为 Xi , 求样本 X1,X2,…,Xn 的联合分布. 解

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概率论与数理统计习题答案1-19章

1 随机事件及其概率·样本空间·事件的关系及运算一、任意抛掷一颗骰子，观察出现的点数。

设事件A 表示“出现偶数点”，事件B 表示“出现的点数能被3整除”．（1）写出试验的样本点及样本空间；（2）把事件A 及B 分别表示为样本点的集合；（3）事件B A AB B A B A ,,,,分别表示什么事件？并把它们表示为样本点的集合．解：设i ω表示“出现i 点”)6,,2,1( =i ，则（1）样本点为654321,,,,,ωωωωωω；样本空间为}.,,,,,{654321ωωωωωω=Ω （2）},,{642ωωωA =； }.,{63ωωB =（3）},,{531ωωωA =，表示“出现奇数点”；},,,{5421ωωωωB =，表示“出现的点数不能被3整除”；},,,{6432ωωωωB A =⋃，表示“出现的点数能被2或3整除”；}{6ωAB =，表示“出现的点数能被2整除且能被3整除”；},{B A 51ωω= ，表示“出现的点数既不能被2整除也不能被3整除”二、写出下列随机试验的样本空间及各个事件中的样本点：（1）同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和．A —“点数之和大于10”，B —“点数之和小于15”．（2）一盒中有5只外形相同的电子元件，分别标有号码1，2，3，4，5．从中任取3只，A —“最小号码为1”．解：(1) 设i ω表示“点数之和等于i ”)18,,4,3( =i ，则},,,{1843ωωω =Ω；},,,{181211ωωωA =；}.,,,{1443ωωωB =(2) 设ijk ω表示“出现号码为k j i ,,”);5,,2,1,,(k j i k j i ≠≠= ，则},,,,,,,,,{345245235234145135134125124123ωωωωωωωωωω=Ω }.,,,,,{145135134125124123ωωωωωωA =三、设C B A ,,为三个事件，用事件之间的运算表示下列事件： (1) A 发生, B 与C 都不发生； (2) C B A ,,都发生；(3) C B A ,,中至少有两个发生； (4) C B A ,,中至多有两个发生．解：(1) C B A ；(2) ABC ；(3) ABC C AB C B A BC A ⋃⋃⋃或CA BC AB ⋃⋃(4) BC A C B A C AB C B A C B A C B A C B A ⋃⋃⋃⋃⋃⋃或C B A ⋃⋃或.ABC四、一个工人生产了n 个零件，以i A 表示他生产的第 i 个零件是合格品（n i ≤≤1）．用i A 表示下列事件：（1）没有一个零件是不合格品；（2）至少有一个零件是不合格品；（3）仅有一个零件是不合格品；（4）至少有一个零件不是不合格品．解：(1) n A A A 21；(2) n A A A 21或n A A A ⋃⋃⋃ 21； (3) n n n A A A A A A A A A 212121⋃⋃⋃ (4) n A A A ⋃⋃⋃ 21或.21n A A A2 概率的古典定义·概率加法定理一、电话号码由七个数字组成，每个数字可以是0，1，2，…，9中的任一个数（但第一个数字不能为0），求电话号码是由完全不同的数字组成的概率．解：基本事件总数为611011011011011011019109⨯=C C C C C C C有利事件总数为456789214151617181919⨯⨯⨯⨯⨯=C C C C C C C 设A 表示“电话号码是由完全不同的数字组成”，则0605.0109456789)(62≈⨯⨯⨯⨯⨯⨯=A P 二、把十本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率．解：基本事件总数为!101010=A指定的三本书按某确定顺序排在书架上的所有可能为!777=A 种；这三本书按确定的顺序放在书架上的所以可能的位置共818=C 种；这三本书的排列顺序数为!333=A ；故有利事件总数为!3!8!38!7⨯=⨯⨯(亦可理解为)3388P P 设A 表示“指定的三本书放在一起”，则067.0151!10!3!8)(≈=⨯=A P三、为了减少比赛场次，把二十个队任意分成两组（每组十队）进行比赛，求最强的两个队被分在不同组内的概率．解：20个队任意分成两组（每组10队）的所以排法，构成基本事件总数1020C ；两个最强的队不被分在一组的所有排法，构成有利事件总数91812C C 设A 表示“最强的两队被分在不同组”，则526.01910)(102091812≈==C C C A P四、某工厂生产的产品共有100个，其中有5个次品．从这批产品中任取一半来检查，求发现次品不多于1个的概率．解：设i A 表示“出现的次品为i 件”)5,4,3,2,1,0(=i ，A 表示“取出的产品中次品不多于 1个”，则 .10A A A ⋃=因为V A A =10，所以).()()(10A P A P A P +=而0281.0979942347)(5010050950≈⨯⨯⨯==C C A P 1529.09799447255)(501004995151≈⨯⨯⨯⨯==C C C A P 故 181.01529.00281.0)(=+≈A P五、一批产品共有200件, 其中有6件废品．求 (1) 任取3件产品恰有1件是废品的概率; (2) 任取3件产品没有废品的概率; (3) 任取3件产品中废品不少于2件的概率．解：设A 表示“取出的3件产品中恰有1件废品”；B 表示“取出的3件产品中没有废品”；C 表示“取出的3件产品中废品不少于2件”，则(1) 0855.019819920019319418)(3200219416≈⨯⨯⨯⨯==C C C A P (2) 912.0198199200192193194)(32003194≈⨯⨯⨯⨯==C C B P(3) 00223.019819920012019490)(3200019436119426≈⨯⨯⨯⨯=+=C C C C C C P六、设41)( ,0 ,31)()()(======BC P P(AC)P(AB)C P B P A P ．求A , B , C 至少有一事件发生的概率．解：因为0==P(AC)P(AB)，所以V AC V AB ==,，从而V C AB =)(可推出0)(=ABC P设D 表示“A , B , C 至少有一事件发生”，则C B A D ⋃⋃=，于是有)()()()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P D P +---++=⋃⋃= 75.04341313131==-++=3 条件概率与概率乘法定理·全概率公式与贝叶斯公式一、设,6.0)|(,4.0)(,5.0)(===B A P B P A P 求)|(,)(B A A P AB P ．解：因为B A AB B B A A +=+=)(，所以)()()(B A P AB P A P +=，即14.06.0)4.01(5.0)()()()()()(=⨯--=-=-=B A P B P A P B A P A P AB P68.074.05.036.0)4.01(5.05.0)()()()()()]([)|(≈=--+=-+==A PB P A P A P B A P B A A P B A A P二、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过两次而接通所需电话的概率．若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？解：设A 表示“第一次拨通”，B 表示“第二次拨通”，C 表示“拨号不超过两次而拨通”（1）2.0101101)()()(19111101911011=+=⋅+=+=C C C C C C A B P A P C P（2）4.05151)()()(2511141511=+=+=+=A A A A A A B P A P C P三、两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．（1）求任意取出的零件是合格品的概率；（2）如果任意取出的零件是废品，求它是第二台车床加工的概率．解：设i A 表示“第i 台机床加工的零件”)2,1(=i ；B 表示“出现废品”；C 表示“出现合格品”（1）)()()()()()()()(22112121A C P A P A C P A P C A P C A P C A C A P C P +=+=+= 973.0)02.01(31)03.01(32≈-⨯+-⨯=（2）25.002.03103.03202.031)()()()()()()()()(22112222=⨯+⨯⨯=+==A B P A P A B P A P A B P A P B P B A P B A P四、猎人在距离100米处射击一动物，击中的概率为0.6；如果第一次未击中，则进行第二次射击，但由于动物逃跑而使距离变为150米；如果第二次又未击中，则进行第三次射击，这时距离变为200米．假定击中的概率与距离成反比，求猎人三次之内击中动物的概率．解：设i A 表示“第i 次击中”)3,2,1(=i ，则由题设，有1006.0)(1kA P ==，得60=k ，从而有4.015060150)(2===k A P ，.3.020060200)(3===k A P设A 表示“三次之内击中”，则321211A A A A A A A ++=，故有)()()()()()()(321211A P A P A P A P A P A P A P ++=832.03.0)4.01()6.01(4.0)6.01(6.0=⨯-⨯-+⨯-+= （另解）设B 表示“猎人三次均未击中”，则168.0)3.01)(4.01)(6.01()(=---=B P故所求为 832.0)(1)(=-=B P B P五、盒中放有12个乒乓球，其中有9个是新的．第一次比赛时从其中任取3个来用，比赛后仍放回盒中．第二次比赛时再从盒中任取3个，求第二次取出的都是新球的概率．解：设i A 表示“第一次取得i 个新球”)3,2,1,0(=i ，则2201)(312330==C C A P 22027)(31219231==C C C A P 220108)(31229132==C C C A P 22084)(31239033==C C C A P 设B 表示“第二次取出的都是新球”，则312363123731238312393022084220108220272201)()()(C C C C C C C C A B P A P B P i i i ⋅+⋅+⋅+⋅==∑=146.0532400776161112208444722010855142202755212201≈=⋅+⋅+⋅+⋅=4 随机事件的独立性·独立试验序列一、一个工人看管三台车床，在一小时内车床不需要工人照管的概率：第一台等于0.9，第二台等于0.8，第三台等于0.7．求在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管的概率．解：设i A 表示“第i 台机床不需要照管”)3,2,1(=i ，则9.0)(1=A P 8.0)(2=A P 7.0)(3=A P再设B 表示“在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管”，则321321321321A A A A A A A A A A A A B +++=于是有)()()()()()()()()()()()()(321321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P B P +++= )7.01(8.09.07.0)8.01(9.07.08.0)9.01(7.08.09.0-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-+⨯⨯=902.0=．（另解）设i B 表示“有i 台机床需要照管”)1,0(=i ，B 表示“在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管”，则10B B B +=且0B 、1B 互斥，另外有504.07.08.09.0)(0=⨯⨯=B P398.0)7.01(8.09.07.0)8.01(9.07.08.0)9.01()(1=-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-=B P 故902.0398.0504.0)()()()(1010=+=+=+=B P B P B B P B P ．二、电路由电池a 与两个并联的电池b 及c 串联而成．设电池c b a ,,损坏的概率分别是0.3、0.2、0.2，求电路发生间断的概率．解：设1A 表示“a 损坏”；2A 表示“b 损坏”；3A 表示“c 损坏”；则3.0)(1=A P 2.0)()(32==A P A P又设B 表示“电路发生间断”，则321A A A B +=于是有)()()()()(321321321A A A P A A P A P A A A P B P -+=+=)()()()()()(321321A P A P A P A P A P A P -+= 328.02.02.03.02.02.03.0=⨯⨯-⨯+=．三、三个人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为51、31、41，求能将此密码译出的概率．解：设A 表示“甲能译出”；B 表示“乙能译出”；C 表示“丙能译出”，则51)(=A P 31)(=B P 41)(=C P设D 表示“此密码能被译出”，则C B A D ⋃⋃=，从而有)()()()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P D P +---++=⋃⋃=)()()()()()()()()()()()(C P B P A P A P C P C P B P B P A P C P B P A P +---++= 6.0413151415141513151413151=⨯⨯+⨯-⨯-⨯-++=．（另解）52)411)(311)(511()()()()()(=---===C P B P A P C B A P D P ，从而有6.053521)(1)(==-=-=D P D P四、甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人的命中概率分别为7.0,5.0,4.0．飞机被一人击中而被击落的概率为2.0，被两人击中而被击落的概率为6.0，若三人都击中，则飞机必被击落．求飞机被击落的概率．解：设1A 表示“甲命中”；2A 表示“乙命中”；3A 表示“丙命中”；则4.0)(1=A P5.0)(2=A P 7.0)(3=A P 设i B 表示“i 人击中飞机” )3,2,1,0(=i ，则09.0)7.01)(5.01)(4.01()())(()()(3213210=---===A P A P A P A A A P B P)()(3213213211A A A A A A A A A P B P ++= )()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++=)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=36.07.0)5.01)(4.01()7.01(5.0)4.01()7.01)(5.01(4.0=⨯--+-⨯⨯-+--⨯=)()(3213213212A A A A A A A A A P B P ++= )()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++=)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=41.07.0)5.01)(4.01()7.01(5.0)4.01()7.01)(5.01(4.0=⨯--+-⨯⨯-+--⨯=14.07.05.04.0)()()()()(3213213=⨯⨯===A P A P A P A A A P B P 设A 表示“飞机被击落”，则由题设有0)(0=B A P 2.0)(1=B A P 6.0)(2=B A P 1)(3=B A P故有458.0114.06.041.02.036.0009.0)()()(30=⨯+⨯+⨯+⨯==∑=i i i B A P B P A P ．五、某机构有一个9人组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意见的概率都是0.7，现在该机构内就某事可行与否个别征求每个顾问的意见，并按多数人意见作出决策，求作出正确决策的概率．解：设i A 表示“第i 人贡献正确意见”，则7.0)(=i A P )9,,2,1( =i ．又设m 为作出正确意见的人数，A 表示“作出正确决策”，则 )9()8()7()6()5()5()(99999P P P P P m P A P ++++=≥=+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=277936694559)3.0()7.0()3.0()7.0()3.0()7.0(C C C9991889)7.0()3.0()7.0(⋅+⋅⋅+C C+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=273645)3.0()7.0(36)3.0()7.0(84)3.0()7.0(126918)7.0()3.0()7.0(9+⋅⋅+ 0403.01556.02668.02668.01715.0++++= 901.0=．六、每次试验中事件A 发生的概率为p ，为了使事件A 在独立试验序列中至少发生一次的概率不小于p ，问至少需要进行多少次试验？解：设做n 次试验，则n p A P A P )1(1}{1}{--=-=一次都不发生至少发生一次要p p n ≥--)1(1，即要p p n -≤-1)1(，从而有.1)1(log )1(=-≥-p n p 答：至少需要进行一次试验．5 离散随机变量的概率分布·超几何分布·二项分布·泊松分布一、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取1个．如果每次取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的概率分布．解：设X 表示“在取得合格品以前已取出的废品数”，则X 的概率分布为即亦即二、自动生产线在调整以后出现废品的概率为p ．生产过程中出现废品时立即进行调整．求在两次调整之间生产的合格品数的概率分布．解：设X 表示“在两次调整之间生产的合格品数”，且设p q -=1，则ξ的概率分布为三、已知一批产品共20个，其中有４个次品．（１）不放回抽样．抽取６个产品，求样品中次品数的概率分布；（２）放回抽样．抽取６个产品，求样品中次品数的概率分布．解：（1）设X 表示“取出的样本中的次品数”，则X 服从超几何分布，即X 的概率函数为)4,3,2,0()(6206164===-x C C C x X P xx从而X 的概率分布为即（2）设X 表示“取出的样本中的次品数”，则X 服从超几何分布，即X 的概率函数为)6,5,4,3,2,0()2.01()2.0()(66=-==-x C x X P xx x从而X即四、电话总机为300个电话用户服务．在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于0.01，求在一小时内有4个用户使用电话的概率（先用二项分布计算，再用泊松分布近似计算，并求相对误差）．解：（1）用二项分布计算)01.0(=p168877.0)01.01()01.0()1()4(2964430029644300≈-=-==C p p C ξP（2）用泊松分布计算)301.0300(=⨯==np λ168031355.0!43)4(34≈==-e ξP相对误差为.5168877.0168031355.0168877.0000≈-=δ五、设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生次数不少于3次时，指示灯发出信号．现进行了5次独立试验，求指示灯发出信号的概率．解：设X 表示“事件A 发生的次数”，则3.0)(==p A P ，5=n ，).3.0,5(~B X 于是有)5()4()3()3(=+=+==≥X P X P X P X P5554452335)1()1(p C p p C p p C +-+-=16308.000243.002835.01323.0≈++≈（另解） )2()1()0(1)3(1)3(=-=-=-=<-=≥X P X P X P X P X P322541155005)1()1()1(11p p C p p C p p C ------=16308.0≈六、设随机变量X 的概率分布为2, 1, ,0 , !)(===k k ak X P kλ；其中λ>0为常数，试确定常数a ．解：因为∑∞===01)(k k X P ，即∑∞==01!k kk λa ，亦即1=λae ，所以.λe a -=6 随机变量的分布函数·连续随机变量的概率密度一、函数211x +可否是连续随机变量X 的分布函数？为什么？如果X 的可能值充满区间：（1）（∞+∞- ,）；（2）（0,∞-）．解：（1）设211)(x x F +=，则1)(0<<x F因为0)(lim =-∞→x F x ，0)(lim =+∞→x F x ，所以)(x F 不能是X 的分布函数．（2）设211)(x x F +=，则1)(0<<x F 且0)(lim =-∞→x F x ，1)(lim 0=-→x F x 因为)0( 0)1(2)('22<>+-=x x xx F ，所以)(x F 在（0,∞-）上单增．综上述，故)(x F 可作为X 的分布函数．二、函数x x f sin )(=可否是连续随机变量X 的概率密度？为什么？如果X 的可能值充满区间：（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π；（2）[]π,0；（3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,0π．解：（1）因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，所以0sin )(≥=x x f ；又因为1cos )(2020=-=⎰ππx dx x f ，所以当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，函数x x f sin )(=可作为某随机变量X 的概率密度．（2）因为[]πx ,0∈，所以0sin )(≥=x x f ；但12cos )(00≠=-=⎰ππx dx x f ，所以当[]πx ,0∈时，函数x x f sin )(=不可能是某随机变量X 的概率密度．（3）因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,0πx ，所以x x f sin )(=不是非负函数，从而它不可能是随机变量X 的概率密度．二、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取1个．如果每次取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的分布函数，并作出分布函数的图形．解：设X 表示“取出的废品数”，则X 的分布律为于是，⎪⎩>3,1x四、（柯西分布）设连续随机变量X 的分布函数为+∞<<∞-+=x x B A x F ,arctan )(．求：（1）系数A 及B ；（2）随机变量X 落在区间)1 ,1(-内的概率；(3) X 的概率密度．解：(1) 由0)2()(lim =-⋅+=-∞→πB A x F x ，12)(lim =⋅+=-∞→πB A x F x ，解得.1,21πB A ==即)( ,arctan 121)(+∞<<-∞+=x x πx F ．(2) .21)]1arctan(121[]1arctan 121[)1()1()11(=-+-+=--=<<-ππF F X P(3) X 的概率密度为)1(1)()(2x x F x f +='=π．五、（拉普拉斯分布）设随机变量X 的概率密度为+∞<<∞-=-x Aex f x,)(．求：（1）系数A ；（2）随机变量X 落在区间)1,0(内的概率；（3）随机变量X 的分布函数．解：(1) 由1)(⎰+∞∞-=dx x f ，得1220⎰⎰+∞∞-+∞--===A dx e A dx Ae xx ，解得21=A ，即有).( ,21)(+∞<<-∞=-x e x f x(2) ).11(21)(2121)()10(101010ee dx e dx xf X P x x -=-===<<--⎰⎰(3) 随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>-≤===-∞--∞-⎰⎰21102121)()(x e x e dx e dx x f x F x xx xx．7 均匀分布·指数分布·随机变量函数的概率分布一、公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过．乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的．求乘客候车时间不超过3分钟的概率．解：设随机变量X 表示“乘客的候车时间”，则X 服从]5,0[上的均匀分布，其密度函数为⎩⎨⎧∉∈=]5,0[,0]5,0[,1)(x x x f 于是有.6.053)()30(3===≤≤⎰dx x f X P二、已知某种电子元件的使用寿命X (单位:h)服从指数分布，概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0;0,8001)(800x x e x f x任取３个这种电子元件，求至少有１个能使用1000h 以上的概率．解：设A 表示“至少有１个电子元件能使用1000h 以上”；321A 、A 、A 分别表示“元件甲、乙、丙能使用1000h 以上”．则287.08001)1000()()()(4510008001000800321≈=-==>===-∞+-∞+-⎰e e dx e X P A P A P A P xx)()()()()()()()()(321313221321321A A A P A A P A A P A A P A P A P A P A A A P A P +---++=⋃⋃=638.0287.0287.03287.0332≈+⨯-⨯=（另解）设A 表示“至少有１个电子元件能使用1000h 以上”．则287.08001)1000(4510008001000800≈=-==>-∞+-∞+-⎰ee dx e X P xx从而有713.01)1000(1)1000(45≈-=>-=≤-eX P X P ，进一步有638.0713.01)]1000([1)(33≈-≈≤-=X P A P三、(1) 设随机变量X 服从指数分布)(λe ．证明：对于任意非负实数s 及t ，有).()(t X P s X t s X P ≥=≥+≥这个性质叫做指数分布的无记忆性．(2) 设电视机的使用年数X 服从指数分布)10(．e ．某人买了一台旧电视机，求还能使用５年以上的概率．解：（１）因为)(~λe X ，所以R x ∈∀，有xe x F λ--=1)(，其中)(x F 为X 的分布函数．设t s X A +≥=，t X B ≥=．因为s 及t 都是非负实数，所以B A ⊂，从而A AB =．根据条件概率公式，我们有)(1)(1)()()()()()()()(s X P t s X P s X P t s X P B P A P B P AB P B A P s X t s X P <-+<-=≥+≥====≥+≥tst s e e e λλλ--+-=----=]1[1]1[1)(．另一方面，我们有t t e e t F t X P t X P t X P λλ--=--=-=≤-=<-=≥)1(1)(1)(1)(1)(．综上所述，故有)()(t X P s X t s X P ≥=≥+≥．（２）由题设，知X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-．，；，0001.0)(1.0x x e x f x 设某人购买的这台旧电视机已经使用了s 年，则根据上述证明的（１）的结论，该电视机还能使用5年以上的概率为6065.01.0)()5()5(5.051.051.05≈=-===≥=≥+≥-∞+-∞+-∞+⎰⎰e e dx e dx xf X P s X s X P xx ．答：该电视机还能使用5年以上的概率约为6065.0．四、设随机变量X 服从二项分布)4.0 ,3(B ，求下列随机变量函数的概率分布：（1）X Y 211-=；（2）2)3(2X X Y -=．解：X 的分布律为（1）X Y 211-=的分布律为（2）2)3(2X XY -=的分布律为即五、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=.0,0;0,)1(2)(2x x x x f π求随机变量函数X Y ln =的概率密度．解：因为)()()(ln )()(yX yY e F e X P y X P y Y P y F =<=<=<= 所以随机变量函数X Y ln =的概率密度为)( )1(2)()()()(2''+∞<<-∞+====y e e e e f e e F y F y f yyyyyyXYY π，即 )( )1(2)(2+∞<<-∞+=y e e y f y yY π．８二维随机变量的联合分布与边缘分布一、把一颗均匀的骰子随机地掷两次．设随机变量X 表示第一次出现的点数，随机变量Y 表示两次出现点数的最大值，求二维随机变量),(Y X 的联合概率分布及Y 的边缘概率分布．解：二维随机变量),(Y X 的联合概率分布为Y 的边缘概率分布为二、设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数)3arctan )(2arctan(),(y C x B A y x F ++=．求：（1）系数A 、B 及C ；（2）（X ，Y ）的联合概率密度：（3）边缘分布函数及边缘概率密度．解：（1）由0)0,(,0),0(,1),(=-∞=∞-=∞+-∞F F F ，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=--=++0)2(0)2)(0(1)2)(2(πB AC πC B A πC πB A 解得2πC B ==，.12πA =（2）因为)3arctan 2)(2arctan 2(1),(2yx y x F ++=πππ，所以（X ，Y ）的联合概率密度为.)9)(4(6),(),(222"y x y x F y x f xy ++==π（3）X 及Y 的边缘分布函数分别为xx x X x dx x dy y x f dx x F ∞-∞-∞-+∞∞-=+==⎰⎰⎰2arctan 1)4(2),()(2ππ 2arctan 121xπ+=yx y Y y dy y dx y x f dy x F ∞-∞-∞-+∞∞-=+==⎰⎰⎰3arctan 1)9(3),()(2ππ 3arctan 121yπ+=X 及Y 的边缘概率密度分别为⎰⎰⎰+∞+∞∞-+∞∞-++⋅=++==0222222)9(1)4(112)9)(4(6),()(dy y x dy y x dy y x f x f X ππ )4(2)3arctan 31()4(1122022x y x +=+⋅=∞+ππ ⎰⎰⎰+∞+∞∞-+∞∞-++=++==022222241)9(12)9)(4(6),()(dx x y dx y x dx y x f y f Y ππ)9(3)2arctan 21()9(122022y x y +=+=∞+ππ三、设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧>>=+-.,00;0,,Ae ),(3y)(2x 其它y x y x f 求：（1）系数A ；（2）),(Y X 的联合分布函数；（3）X 及Y 的边缘概率密度；（4）),(Y X落在区域R ：632 ,0 ,0<+>>y x y x 内的概率．解：（1）由1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dy dx y x f ，有16132==⎰⎰∞+∞+--A dy e dx e A y x ，解得.6=A （2）),(Y X 的联合分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>>==⎰⎰⎰⎰--∞-∞-其它0,06),(),(0032y x dy e dx e dy y x f dx y x F x y y x xy⎩⎨⎧>>--=--其它0,0)1)(1(32y x e e y x （3）X 及Y 的边缘概率密度分别为⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞--∞+∞-⎰⎰00020006),()(2032x x ex x dy e e dy y x f x f x y x X⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞--∞+∞-⎰⎰0030006),()(3032y y e x x dx e e dx y x f y f y y x Y（4）⎰⎰⎰⎰---==∈x y xR dy e dx edxdy y x f R Y X P 32203326),(}),{(6306271)(2---⎰-=-=e dx e e x四、设二维随机变量),(Y X 在抛物线2x y =与直线2+=x y 所围成的区域R 上服从均匀分布．求：(1) ),(Y X 的联合概率密度；(2) 概率)2(≥+Y X P ．解：(1) 设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧∉∈=.),(, 0;),(,),(R y x R y x C y x f 则由129)322()2(21322122212==-+=-+==--+-⎰⎰⎰⎰⎰Cx x x C dx x x C dy dx C Cdxdy x x R解得92=C ．故有⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=.),(, 0;),(,92),(R y x R y x y x f(2) ⎰⎰⎰⎰⎰⎰++-≥++==≥+x x x x y x dy dx dy dx dxdy y x f Y X P 2212210229292),()2(⎰⎰-++=21210)2(92292dx x x xdx481.02713)322(92922132102≈=-++=x x x x ．９随机变量的独立性·二维随机变量函数的分布一、设X 与Y 是两个相互独立的随机变量，X 在]1,0[上服从均匀分布，Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0;0,21)(2y y e y f yY求 (1) ),(Y X 的联合概率密度; (2) 概率)(X Y P ≥．解: (1)X 的概率密度为⎩⎨⎧∉∈=)1,0(,0)1,0(,1)(x x x f X ，),(Y X 的联合概率密度为（注意Y X ,相互独立）⎪⎩⎪⎨⎧><<==-其它,00,10,21)()(),(2y x e y f x f y x f yY X（2）dx edx e dy e dx dxdy y x f X Y P x xy xy xy ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-∞+-∞+-≥=-===≥1021022102)(21),()(7869.0)1(2221122≈-=-=--e ex二、设随机变量X 与Y 独立，并且都服从二项分布：.,,2 ,1 ,0 ,)(; ,,2 ,1 ,0 ,)(212211n j qp C j p n i q p C i p jn jj n Y in i i n X ====--证明它们的和Y X Z +=也服从二项分布．证明: 设j i k +=, 则ik n i k i k n ki i n i i n k i Y X Z q p C q p C i k P i P k Z P k P +---=-=∑∑=-===22110)()()()( ∑=-+=ki kn n k i n in q p C C2121)( 由knm ki ik n k m C C C +=-=∑, 有kn n ki in i n C C C21210+==∑. 于是有 ),,2,1,0( )(212121n n k q p C k P kn n k i n n Z +==-++ 由此知Y X Z +=也服从二项分布.三、设随机变量X 与Y 独立，并且X 在区间[0，1]内服从均匀分布，Y 在区间[0，2]内服从辛普森分布：⎪⎩⎪⎨⎧><≤<-≤≤=.20 0,; 2 1 ,2;10 ,)(y y y y y y y f Y 或求随机变量Y X Z +=的概率密度．解: X 的概率密度为 ⎩⎨⎧∉∈=]1,0[,0]1,0[,1)(x x y f ξ . 于是),(Y X 的联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤-≤≤≤≤=. 0, 2 1,10 ,210,10,),(其它当当y x y y x y y x fY X Z +=的联合分布函数为}),{(}{}{)(D y x P z Y X P z Z P z F Z ∈=≤+=≤=，其中D 是z y x ≤+与),(y x f 的定义域的公共部分.故有 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<+-≤<-+-≤≤><=3229321212331023,00)(222z z z z z z z z z z z F Z 从而随机变量Y X Z +=的概率密度为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤<+-≤≤><=3232132103,00)(z z z z z z z z z f Z三、电子仪器由六个相互独立的部件ij L （3,2,1;2,1==j i ）组成，联接方式如右图所示．设各个部件的使用寿命ij X 服从相同的指数分布)(λe ，求仪器使用寿命的概率密度．解: 由题设，知ij X 的分布函数为⎩⎨⎧≤>-=-0,00,1x x e F x X ij λ先求各个并联组的使用寿命)3,2,1( =i Y i 的分布函数.因为当并联的两个部件都损坏时,第i个并联组才停止工作,所以有)3,2,1(),max(21==i Y i i i ξξ从而有)3,2,1( =i Y i 的分布函数为⎩⎨⎧≤>-==-0,00,)1()(221y y e F F y F y X X Y i i i λ 设Z "仪器使用寿命".因为当三个并联组中任一个损坏时,仪器停止工作.所以有),,min(321Y Y Y Z =.从而有Z 的分布函数为⎩⎨⎧≤>---=⎩⎨⎧≤>----=-0,00,])1(1[10,00)],(1)][(1)][(1[1)(32321z z e z z z F z F z F z F z Y Y Y Z λ 故Z 的概率密度为⎩⎨⎧≤>--=---0,00,)2)(1(6)(23z z e e e z f z z z Z λλλλ10 随机变量的数学期望与方差一、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取一个．如果取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望、方差与标准差．解：设X 表示“在取得合格品以前已取出的废品数”，则X 的概率分布为即1103322013220924491430=⨯+⨯+⨯+⨯=EX 即3.0004.03041.02205.0175.00≈⨯+⨯+⨯+⨯=EX2X 的分布为即于是有229220192209444914302=⨯+⨯+⨯+⨯=EX 即4091.0004.09041.04205.0175.002≈⨯+⨯+⨯+⨯=EX从而有3191.013310042471)11033(229)(222≈=-=-=EX EX DX 565.03191.0≈==DX Xσ二、对某一目标进行射击，直至击中为止．如果每次射击命中率为p ，求射击次数的数学期望及方差．解：设X 表示“第i 次击中”),2,1( =i ，则X 的分布为X1 2 3 …… n ……p q p q q p q p iqp ipqEX i i i i i i 1)1()1()(211111=-='-='===∑∑∑∞=∞=-∞=- 2Xpp p p q q p q p q q p pqi EX i i i ii i 122)1()1()(])([223111122-=-=-+='=''==∑∑∑∞=∞=∞=-进一步有pp p p p EX EX DX 11)1(12)(22222-=--=-=三、设离散型随机变量X 的概率函数为,,2,1,21]2)1([ ==-=k k X P k k k问X 的数学期望是否存在？若存在，请计算)(X E ；若不存在，请解释为什么．解：因为∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=-=⋅-=-=-==1111)1(212)1(]2)1([2)1()(k k k k k k k k k k ki i i k k k X P k x X P x 不绝对收敛，所以ξ没有数学期望．四、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=.1, 0;1,11)(2x x x x f π 求数学期望)(X E 及方差)(X D ．解：011)()(112=-⋅==⎰⎰-+∞∞-dx xx dx x xf X E πdx x x dx xx dx x f x X D ⎰⎰⎰-=-⋅==-∞+∞-1022112221211)()(πππ21]arcsin 2112[2102=+--=x x x π五、（拉普拉斯分布）设随机变量X 的概率密度为 )( ,21)(+∞<<-∞=-x e x f x．求数学期望)(X E 及方差)(X D ．解：021)(===⎰⎰+∞∞--+∞∞-dx xe dx x xf EX x2!2)3(21)(0222==Γ====⎰⎰⎰+∞-+∞∞--+∞∞-dx e x dx e x dx x f x DX x x（分部积分亦可）11 随机变量函数的数学期望·关于数学期望与方差的定理一、设随机变量X 服从二项分布)4.0,3(B ，求2)3(X X Y -=的数学期望及方差．解：X 的概率分布为Y 的概率分布为2Y 的分布为72.072.0128.00=⨯+⨯=EY 72.072.0128.002=⨯+⨯=EY2016.0)72.0(72.0)(222=-=-=EY EY DY二、过半径为R 的圆周上一点任意作这圆的弦，求所有这些弦的平均长度．解：在圆周上任取一点O ，并通过该点作圆得直径OA ．建立平面直角坐标系，以O 为原点，且让OA 在x 轴的正半轴上．通过O 任作圆的一条弦OB ，使OB 与x 轴的夹角为θ，则θ服从]2,2[ππ-上的均匀分布，其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧-∉-∈=]2,2[,0]2,2[,1)(ππθππθπθf ．弦OB 的长为 ]2,2[cos 2)(ππθθθ-∈=R L ，故所有弦的平均长度为⎰⎰-∞+∞-⋅==22cos 21)()()]([ππθθπθθθθd R d L f L EπθπθθπππRRd R4sin 4cos 4202===⎰．三、一工厂生产的某种设备的寿命X （以年计）服从指数分布，概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-. 0, 0 ;0 ,41)(4x x e x f x工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换．若工厂售出一台设备赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元．试求厂方出售一台设备的平均净赢利．解：由题设，有⎰⎰---∞--=-===<104110441141)()1(e e dx e dx x f X P x x进而有 41)1(1)1(-=<-=≥e X P X P设Y 表示“厂方出售一台设备获得的净赢利”，则Y 的概率分布为从而有64.33200300100)1(200414141≈-⨯=⨯+-⨯-=---ee e EY答：厂方出售一台设备获得的平均净赢利约为64.33元．四、设随机变量n X X X ,,21相互独立，并且服从同一分布，数学期望为μ，方差为2σ．求这些随机变量的算术平均值∑==ni i X n X 11的数学期望与方差．解：因为μ=)(i X E ，2)(σ=i X D ，且随机变量n X X X ,,21相互独立．所以有μμ=====∑∑∑∑====ni n i i ni i n i i n X E n X E n X n E X E 11111)(1)(1)1()(，nn X D n X D n X n D X D ni ni i n i i n i i 2122121211)(1)(1)1()(σσ=====∑∑∑∑====．五、一民航送客车载有20位旅客自机场开出，沿途有10个车站可以下车，到达一个车站时如没有旅客下车就不停车．假设每位旅客在各车站下车是等可能的，且各旅客是否下车相互独立．求该车停车次数的数学期望．解: 设i X 表示"第i 站的停车次数" (10,,2,1 =i ). 则i X 服从"10-"分布. 其中⎩⎨⎧=站有人下车若在第站无人下车若在第i i X i ,1,0 于是i X 的概率分布为设∑==ni iXX 1, 则X 表示沿途停车次数, 故有]})10110(1[1)10110(0{10)(2020101101--⨯+-⨯===∑∑==i i i i EX X E EX748.8)9.01(1020≈-= 即停车次数的数学期望为748.8.12 二维随机变量的数字特征·切比雪夫不等式与大数定律一、设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为()(). 1,222++=y xAy x f求：（1）系数A ；（2）数学期望)(X E 及)(Y E ，方差)(X D 及)(Y D ，协方差),cov(Y X ．解: (1) 由⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1),(dxdy y x f . 有()()⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+==+=++1112022222A dr rrd A dxdy y xAπθπ解得, π1=A .(2) ()011),()(222⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+∞-∞+∞-=++==dx y xxdy dxdy y x xf X E π.由对称性, 知 0)(=Y E .⎰⎰+∞∞-+∞∞-==-=dxdy y x f x EX EX X E X D ),(])[()(222()⎰⎰∞+∞-∞+∞-++=dx y xx dy 222211π()()+∞=+++=+-+=+=∞+∞+∞+⎰⎰⎰22022220223]11)1ln([1)1(211rr dr r rr r dr rr d πθπ同理, 有 +∞=)(Y D .)()])([(),cov(XY E EY Y Ex X E Y X =--=⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x xyf ),(()011),(222⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+∞-∞+∞-=++==dx y xxydy dxdy y x xyf π.二、设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧<<<=其它．,0;10,,1),(x x y y x f 求(1) ),cov(Y X ；(2) X 与Y 是否独立，是否相关，为什么？解: (1) 因为 ⎰⎰⎰⎰⎰====-∞+∞-∞+∞-1210322),(dx x dy xdx dxdy y x xf EX x x0),(10===⎰⎰⎰⎰-+∞∞-+∞∞-xx ydy dx dxdy y x yf EY0),()(1===⎰⎰⎰⎰-+∞∞-+∞∞-xxydy xdx dxdy y x xyf XY E所以有])32[()])([(),cov(Y X E EY Y EX X E Y X -=--=⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x xyf ),(010==⎰⎰-xxydy xdx ．(2) 当)1,0(∈x 时,有 ⎰⎰+∞∞--===x dy dy y x f x f xxX 2),()(; 当)1,0(∉x 时, 有0)(=x f X .即⎩⎨⎧∉∈=)1,0(0)1,0(2)(X x x x x f 同理有 ⎩⎨⎧∉+∈-=⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=⎰⎰-)1,0(1)1,0(1)1,0()1,0()(11Y x y x y x dx x dx y f y y因为 ),()()(y x f y f x f Y X ≠, 所以X 与Y 不是独立的．又因为0),cov(=Y X , 所以X 与Y 是不相关的．三、利用切比雪夫不等式估计随机变量X 与其数学期望)(X E 的差的绝对值大于三倍标准差)(X σ的概率．解：91)3()3(2=≤>-ξξξξξD D D E P ．四、为了确定事件A 的概率，进行10000次重复独立试验．利用切比雪夫不等式估计：用事件A在10000次试验中发生的频率作为事件A 的概率的近似值时，误差小于0.01的概率．解：设ξ表示“在10000次试验中事件A 的次数”，则)5.0,10000(~B ξ且有50005.010000=⨯==np E ξ 2500)5.01(5.010000=-⨯⨯==n p q D ξ 于是有npqp npq p np m P p n m P 22)01.0(1)01.0(1)01.0()01.0(-=-≥<-=<- 75.025.011=-=-=pq五、样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则认为这批产品不能接受．应该检查多少个产品，可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9？解：设ξ表示“发现的次品件数”，则)1.0,(~n B ξ，现要求.nn ξE 1.0= n ξD 09.0=要使得9.0)10(=>ξP ，即9.0)10(=≤<n ξP ，因为9.0)10(=≤<n ξP ，所以 )3.01.03.01.03.01.010()10(nn n n n ξn n P ξD ξE n ξD ξE ξξD ξE P -≤-<-=-≤-<-)3.01.010()3()33.01.03.01.010(1,01,0nn n n n n ξn n P --≈≤-<-=ΦΦ1)3.0101.0()3(1,01,0--+nn n ΦΦ （德莫威尔—Laplace 定理）因为10>n ，所以53>n ，从而有1)3(1,0≈n Φ，故9.0)3.0101.0(1,0≈-nn Φ．查表有8997.0)28.1(1,0=Φ，故有28.13.0101.0≈-nn ，解得.146≈n 答：应该检查约146个产品，方可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9．13 正态分布的概率密度、分布函数、数学期望与方差一、设随机变量X 服从正态分布)2,1(2N ，求（1）)8.56.1(<≤-X P ；（2）)56.4(≥X P ．解：(1) )4.2213.1()8.416.2()8.56.1(<-≤-=<-≤-=<≤-X P X P X P 8950.09032.019918.0)]3.1(1[)4.2()3.1()4.2(1,01,01,01,0=+-=--=--=ΦΦΦΦ (2) )78.12178.2(1)56.4(1)56.4(<-<--=<-=≥X P X P X P )]78.2(1)78.1(1)]78.2()78.1([11,01,01,01,0ΦΦΦΦ-+-=---= .0402.09973.09625.02=--二、已知某种机械零件的直径X （mm ）服从正态分布)6.0,100(2N ．规定直径在2.1100±（mm ）之间为合格品，求这种机械零件的不合格品率．解：设p 表示这种机械零件的不合格品率，则)2.1100(1)2.1100(≤--=>-=X P X P p ．而)26.01002()6.02.16.01006.02.1()2.1100(≤-≤-=≤-≤-=≤-X P X P X P 1)2(2)]2(1[)2()2()2(-Φ=Φ--Φ=-Φ-Φ= 9544.019772.02=-⨯=故0456.09544.01=-=p ．三、测量到某一目标的距离时发生的误差X (m)具有概率密度3200)20(22401)(--=x ex f π求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30m 的概率．解：三次测量中每次误差绝对值都超过30米可表为}30{}30{}30{>⋃>⋃>=ξξξD 第三次第二次第一次因为)40,20(~2N ξ，所以由事件的相互独立性，有31,01,033)]25.0(1)25.1([})3030{(})30{()(ΦΦ-+-=>+-<=>=ξξP ξP D P 13025.05069.0)8944.05987.02(33≈=--= 于是有86975.013025.01)(1}30{=-=-=<D P P 米至少有一次绝对值三次测量中ξ．四、设随机变量),(~2σμN X ，求随机变量函数Xe Y =的概率密度（所得的概率分布称为对数正态分布）．解：由题设，知X 的概率密度为)(21)(222)(+∞<<-∞=--x ex f x X σμσπ从而可得随机变量Y 的分布函数为)()()(y e P y Y P y F X Y ≤=≤=．当0≤y 时，有0)(=y F Y ；此时亦有0)(='y F Y ．当0>y 时，有dx ey X P y F yx Y ⎰∞---=≤=ln 2)(221)ln ()(σμσπ．此时亦有222)(ln 21)(σμσπ--='y Y eyy F ．从而可得随机变量Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>≤=--.0,21;0,0)(222)(ln y e yy y f y Y σμσπ五、设随机变量X 与Y 独立，),(~211σμN X ，),(~222σμN Y ，求： (1) 随机变量函数bY aX Z +=1的数学期望与方差，其中a 及b 为常数； (2) 随机变量函数XY Z =2的数学期望与方差．解：由题设，有211)(,)(σμ==X D X E ；222)(,)(σμ==Y D Y E ．从而有(1)211)()()()()()(μμb a Y bE X aE bY E aX E bY aX E Z E +=+=+=+=； 222212221)()()()()()(σσb a Y D b X D a bY D aX D bY aX D Z D +=+=+=+=． (2)212)()()()(μμ===Y E X E XY E Z E ；)()()()()()()()(22222222Y E X E Y E X E XY E Y X E XY D Z D -=-== )()()]()()][()([2222Y E X E Y E Y D X E X D -++= )()()()()()(22X E Y D Y E X D Y D X D ++=212222212221μσμσσσ++=．1４二维正态分布·正态随机变量线性函数的分布·中心极限定理四、设二维随机变量),(Y X 服从二维正态分布，已知0)()(==Y E X E ，16)(=X D ，25)(=Y D ，并且12),cov(=Y X ，求),(Y X 的联合概率密度．解：已知0==y x μμ，416==x σ，525==y σ，53),cov(),(===y x Y X Y X r σσ．从而2516)53(1122=-=-r ，5412=-r ．进一步按公式])())((2)([)1(21222121),(yy y x y x x x y y x r x r y x ery x f σμσσμμσμσπσ-+-------=，可得),(Y X 的联合概率密度为)2550316((322522321),(y xy x ey x f +--=π．二、设随机变量X 与Y 独立，并且)1,0(~N X ，)2,1(~2N Y ．求随机变量32+-=Y X Z 的概率密度．解：由题设，有0)(=X E ，1)(=X D ，1)(=Y E ，4)(=Y D ．又根据关于数学期望的定理和方差的定理以及独立正态随机变量线性组合的分布，我们有2)3()()(2)32()(=+-=+-=E Y E X E Y X E Z E ． 8)3()()(4)32()(=++=+-=D Y D X D Y X D Z D ．且)8,2())(,)((~N Z D Z E N Z =，故随机变量32+-=Y X Z 的概率密度为16)2(82)2(2241821)(--⨯--==z z Z eez f ππ )(+∞<<-∞z ．三、台机床分别加工生产轴与轴衬．设随机变量X (mm)表示轴的直径，随机变量Y (mm)表示轴衬的内径，已知)3.0,50(~2N X ，)4.0,52(~2N Y ，显然X 与Y 是独立的．如果轴衬的内径与轴的直径之差在3~1(mm)之间，则轴与轴衬可以配套使用．求任取一轴与一轴衬可以配套使用的概率．解：由题设，知随机变量X 与Y 是独立的，且)3.0,50(~2N X ，)4.0,52(~2N Y ．设X Y Z -=根据独立正态随机变量线性组合的分布，我们有)5.0,2()3.0)1(4.0,50)1(52(~2222N N Z =⨯-+⨯-+．根据题目假设，我们知道当31≤-=≤X Y Z 时，轴与轴衬可以配套使用．于是所求概率为1)2(2)2()2()25.022()5.0235.025.021()31(-Φ=-Φ-Φ=≤-≤-=-≤-≤-=≤≤Z P Z P Z P9544.019772.02=-⨯=．四、100台车床彼此独立地工作着，每台车床的实际工作时间占全部工作时间的80%，求：（1）任一时刻有70至86台车床在工作的概率；。

概率论第3章习题解答袁德美

概率教材第三章勘误说明：红线为要纠正的部分.（一）70页习题3.2答案：1a b +=且0,0a b ≥≥. （二）76页例3.6(2) ()(),d d x yP X Y f x y x y >>=∫∫10041d d d d 42Gxx y xy x xy y ===∫∫∫∫.（三）77页例3.7()||1000P X Y ≤−()||1000,d d x y f x y x y −≤=∫∫61d d 610Hx y =×∫∫400010006200030001d d 610x x y +=×∫∫ 1.3= （四）79页习题3.13（2）答案应为0.3 . （五）84习题3.18 单位:千小时.第3章二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布习题3.13.1比较二维随机变量与一维随机变量的分布函数的性质有何异同？3.2 设1(,)F x y 和2(,)F x y 都是联合分布函数，试问常数a ，b 满足什么条件时，12(,)(,)aF x y bF x y +也是联合分布函数？解：因为1(,)F x y 和2(,)F x y 都是联合分布函数，有1(, )1F ∞∞=，2(, )1F ∞∞=.若12(,)(,)aF x y bF x y +也是联合分布函数，则12(, )(, )1aF bF ∞∞+∞∞=，即1a b +=.又因为联合分布函数12(,)(,)aF x y bF x y +满足单调性,所以0,0a b ≥≥.可以验证,当0,0a b ≥≥且1a b +=时, 12(,)(,)aF x y bF x y +是联合分布函数.3.3 设二维随机变量1+, 0,0,(,)~(,) 0, x y x y xy e e e x y X Y F x y −−−−− −−≥≥=其它. 求：（1）()0.5,0.3P X Y ≤≤；（2）()0.5,0.3 1.3P X Y ≤<≤；（3）()10, 12P X Y −<≤<≤.解: (1)()0.50.30.950.5,0.3(0.5,0.3)1P X Y F ee e −−−≤≤==−−+;（2）()()()0.5,0.3 1.30.5, 1.30.5,0.3P X Y P X Y P X Y ≤<≤=≤≤−≤≤(0.5,1.3)(0.5,0.3)F F =−0.3 2.45 1.30.95e e e e −−−−=+−−;（3）()10, 12(0,2)(1,1)(0,1)(1,2)P X Y F F F F −<≤<≤=+−−−− 00000=+−−=.*3.4 设()10,00,0.1, 01,01,,0.5, 01,11,01,1,x y x y F x y x y x y << ≤<≤<= ≤<≥≥≤<其它或或和()20, 00,0.2, 01,01,,0.5, 01,11,01,1,x y x y F x y x y x y << ≤<≤<= ≤<≥≥≤< 其它或或是两个不同的分布函数，验证它们关于X 和关于Y 的边缘分布函数相同.解: 当 0x <时, ()1,0F x y =,有1(,)0F x ∞=.当01x ≤<时,()10, 0,,0.1,01,0.5, 1.y F x y y y <=≤< ≥ 有1(,)0.5F x ∞=.当1x ≥时,()10, 0,,0.5,01,1, 1.y F x y y y <=≤< ≥有1(,)1F x ∞=.因此()1,F x y 关于X 的边缘分布函数为10,0,(,)0.5, 01,1,x F x x <∞=≤< 其它.类似可求()1,F x y 关于Y 的边缘分布函数为10,0,(,)0.5, 01,1,y F y y <∞=≤< 其它.()2,F x y 关于X 和关于Y 的边缘分布函数为20, 0,(,)0.5, 01,1,x F x x < ∞=≤< 其它与 20,0,(,)0.5, 01,1,y F y y <∞=≤<其它.因此它们关于X 和关于Y 的边缘分布函数相同.习题3.23.5 盒子里装有2只白球，2只红球，3只黑球，在其中任取4只球，以X 表示取到白球的只数，以Y 表示取到黑球的只数，求(,)X Y 的联合分布列及边缘分布列.解: 按古典概率计算,从7只球中取4只球,共有4735C =种取法.在4只球中,白球有i 只,黑球有j 只(剩下4i j −−只红球)的取法数为: 4232iji j C C C −−种. 因此 (,)X Y 的联合分布列为423247(,)ij i jC C C P X i Y j C −−===,0,1,2i =,0,1,2,3j =,24i j ≤+≤. 于是2232473(0,2)35C C P X Y C ====, 3132472(0,3)35C C P X Y C ====, 112232476(1,1)35C C C P X Y C ====, 1212324712(1,2)35C C C P X Y C ====, 1323472(1,3)35C C P X Y C ====, 2222471(2,0)35C C P X Y C ====,211232476(2,1)35C C C P X Y C ====, 2223473(2,2)35C C P X Y C ====, (,)X Y 的联合分布列与边缘分布列为3.6 一批产品工有100件，其中一等品60件，二等品30件，三等品10件. 从这批产品中有放回的任取3件，以X 和Y 分别表示取出的3件产品中一等品、二等品的件数，求:(1) (,)X Y 的联合分布列；(2) (1,2)P X Y ≤≤.解: (1) 因为X 和Y 的可能取值为0,1,2,3, 事件{,}X i Y j ==表示取出的3件产品中一等品有i 件、二等品有j 件(三等品有3i j −−件)的取法, 取法总数为3!!!(3)!i j i j −−种,而对于每种取法的概率为 3631101010ij i j−−,因此(,)X Y 的联合分布列为33!631(,)!!(3)!101010iji jP X i Y j i j i j −−===−− ， ,0,1,2,3i j =,3i j +≤.(,)X Y 的联合分布列与边缘分布列为(2)(1,2)(0,0)(0,1)(0,2)P X Y P X Y P X Y P X Y ≤≤===+==+==(1,0)(1,1)(1,2)0.325P X Y P X Y P X Y +==+==+===.3.7 设事件A ，B 满足1()4P A =，1(|)(|)2P B A P A B ==. 记 1, 0 A X A =若发生，，若不发生, 1, 0 B Y B =若发生，，若不发生. 求,)X Y (的联合分布列及边缘分布列.解（1）由于()111()()428P AB P A P B A ==×=，()()181()124P AB P B P A B ===，所以，1(1,1)()8P X Y P AB ====，1(1,0)(()()8P X Y P AB P A P AB ====−=， 1(0,1)()()(),8P X Y P AB P B P AB ====−=(0,0)()1()P X Y P AB P A B ====−U =51()()()8P A P B P AB −−+=,所以(,)X Y 的联合分布列及边缘分布列为3.8 (,)X Y 的联合分布列为求：(1) (0)P X =；(2) (2)P Y ≤；(3) (1,2)P X Y <≤.解 (1) (0)(0,1)(0,2)(0,3)P X P X Y P X Y P X Y ====+==+==0.10.10.30.5=++=；(2) (2)1(3)1(0,3)(1,3)P Y P Y P X Y P X Y ≤=−==−==−==10.30.250.45=−−=；(3)(1,2)(0,1)(0,2)0.10.10.2P X Y P X Y P X Y <≤===+===+=.习题3.33.9 设二维随机变量()35(1)(1), 0,0,,~(,)0, x y e e x y X Y F x y −− −−≥≥= 其它.试求,)X Y (的联合概率密度(, )f x y .解当0,0x y >>时,35(,)(1)(1)x y F x y e e −−=−−.对(, )F x y 求二阶偏导，得(, )X Y 的联合概率密度为()2,(,)F x y f x y x y∂=∂∂(35)15x y e −+=.当0x <或0y <时, (,)0F x y =, ()2,(,)0F x y f x y x y∂==∂∂.于是,)X Y (的联合概率密度(35)15, 0,0,(, )0, x y e x y f x y −+ ≥≥= 其他.3.1010 设二维随机变量()22,(,),(1)(1)AX Y f x y x y =++ 求：(1)常数A ；(2)联合分布函数(,)F x y ；(3) 概率()(),P X Y D ∈，其中D 是以(0,0)，(0,1)，(1,0)，(1,1)为顶点的正方形区域.解 (1)由联合概率密度(,)f x y 的正则性，221(,)d d d d (1)(1)A f x y x y x y x y +∞+∞+∞+∞−∞−∞−∞−∞==++∫∫∫∫2π1A ==, 得21πA =. (2) 2221(,)(,)d d d d (1)(1)x yxyF x y f s t s t s t s t π−∞−∞−∞−∞==++∫∫∫∫21(arctan )(arctan 22x y πππ=++. (3)()(),(1,1)(0,0)(0,1)(1,0)PX Y D F F F F ∈=+−−913311648816=+−−=. 3.1.111设二维随机变量(),(,)X Y f x y ，则(1)P X >等于 (A) 1d (,)d x f x y y ∞−∞−∞∫∫. (B) 1d (,)d x f x y y ∞∞−∞∫∫.(C)1(,)d f x y x −∞∫. (D)1(,)d f x y x ∞∫.解选(B).因为1(1)(1,)d (,)d P X P X Y x f x y y ∞∞−∞>=<<∞−∞<<∞=∫∫.3.12 设二维随机变量() (6), 02,24,,~(,)0, k x y x y X Y f x y −−<<<< =其它. 求：(1) 常数k ；(2) (1,3)P X Y <<；(3) ( 1.5)P X <；(4) (4)P X Y +<.解（1）由于联合概率密度(,)f x y 满足正则性,于是2421(,)d d d (6)d 8f x y x y x k x y y k +∞+∞−∞−∞==−−=∫∫∫∫所以81=k . （2）130213(1,3)d (6)d 88P X Y x x y y <<=−−=∫∫. （3） 1.5402127( 1.5)( 1.5,)d (6)d 832P X P X Y x x y y <=<<∞=−−=∫∫.（4）(,)f x y 的非零区域与{4}x y +<的交集{(,)|02,24}G x y x y x =<<<<−.()24024112(4),d d (6)d d d (6)d 883x x y GP X Y f x y x y x y x y x x y y −+<+<==−−=−−=∫∫∫∫∫∫.3.13 设二维随机变量()(2),01,0,,~(,)0,cy x x y x X Y f x y −≤≤≤≤ =其它. 求：(1)常数c ；(2)(1)P X Y +≤；(3)边缘概率密度.解（1）由于联合概率密度(,)f x y 满足正则性,于是1051(,)d d d (2)d 24xf x y x y x cy x y c +∞+∞−∞−∞==−=∫∫∫∫，所以 4.8c =.（2）(,)f x y 的非零区域与{1}x y +≤的交集1{(,)|1,0}2G x y y x y y =≤≤−≤≤.()11201(1),d d 4.8(2)d d d 4.8(2)d 0.3y yx y GP X Y f x y x y y x x y y y x x −+≤+≤==−=−=∫∫∫∫∫∫.(3) , X Y （）关于X 的边缘密度函数204.8(2) 2.4(2)01()(,)0x X y x dy x x x f x f x y dy +∞−∞−=−≤≤== ∫∫其它.关于Y 的边缘密度函数124.8(2) 2.4(34)01()(,)0y Y y x dx y y y y f y f x y dx +∞−∞−=−+≤≤== ∫∫其它.3.14 设二维随机变量(,)X Y 在由x 轴、y 轴及直线22x y +=所围成的三角形区域上D 服从均匀分布，求边缘概率密度()X f x 和()Y f y .解区域}01,0{(,)|22x y D x y x ≤≤≤≤=−的面积为1(22)d 1S x x =−=∫.因此(,)X Y 的联合概率密度为01,0122(,)0x y x f x y ≤≤≤≤− = ，，，其他．, X Y （）关于X 的边缘密度函数220d 22, 01()(,)d 0, xX y x x f x f x y y −+∞−∞=−≤≤== ∫∫其它.关于Y 的边缘密度函数220d 1, 02()(,)d 20, y Y yx y f y f x y x −+∞−∞=−≤≤ ==∫∫其它. 3.15设(,)X Y 的联合概率密度分别为(1) 4,01,01,(,)0,xy x y f x y ≤≤≤≤ =其它.(2) 21, 01,02,(,)30, x xy x y f x y +<<<< = 其它.(3) , 0,(,) 0, y e x y f x y − <<= 其它.试分别求, X Y （）的边缘概率密度.解 (1) 因为, X Y （）关于X 的边缘密度函数14d 2, 01()(,)d 0, X xy y x x f x f x y y +∞−∞=≤≤ == ∫∫其它.关于Y 的边缘密度函数104d 2,01,()(,)d 0, ,Y xy x y y f y f x y x +∞−∞=≤≤==∫∫其它(2) 因为, X Y （）关于X 的边缘密度函数222012()d 2, 01()(,)d 330, X x xy y x x x f x f x y y +∞−∞+=+<< == ∫∫其它.关于Y 的边缘密度函数120111()d ,02,()(,)d 3360, .Y x xy x y y f y f x y x +∞−∞+=+<< ==∫∫其它 (3) 因为, X Y （）关于X 的边缘密度函数≤>===∫∫+∞−−∞+∞−0,00,),()(x x e dy e dy y x f x f xx y X 关于Y 的边缘密度函数≤>===∫∫−−∞+∞−,0,0,0,),()(0y y ye dx e dx y x f y f y y y Y习题3.43.16 甲、乙两人独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5，以X 与Y 分别表示甲和乙的命中次数，试求(,)X Y 的联合分布列及边缘分布列.解甲命中次数(2.0.2)X B ,乙命中次数(2,0.5)Y B ,且X 与Y 相互独立,于是(,)X Y 的联合分布列为2222(,)()()0.20.80.50.5ii i j j j P X i Y j P X i P Y j C C −−======,(,0,1,2)i j =.因此(,)X Y 的联合分布列及边缘分布列为3.17 [1999[1999年1]1]设随机变量X 与Y 相互独立，试完成下表：1x a 1/8 b g 2x 1/8 c d h j p g1/6ef1解设表中空格数据为由11211p p p +=g ，即1186p +=，得1124p =；由于X 与Y 相互独立，有1111p p p =?g g ，即111246p =?g ，得114p =g ；由1112131p p p p ++=g ，即131112484p ++=，得13112p =；由1221p p p =?g g ，即21184p =?g ，得212p =g ；由12222p p p +=g ，即221182p +=，得2238p =；由1231p p p ++=g g g ，即311162p ++=g ，得313p =g ；由13233p p p +=g ，即2311123p +=，得2314p =；由121p p +=g g ，即2114p +=g ，得234p =g .填表如下：3.18 [1990年3]一电子仪器由两个部件构成，随机变量X 与Y 分别表示这两个部件的寿命(单位：千小时) ，已知()2221, 0,0,,~(,) 0, x y x y e e e x y X Y F x y +−−− −−+≥≥= 其它.(1) 问X 与Y 是否相互独立？(2) 求这两个部件的寿命都超过100小时的概率.解（1）(, )X Y 关于X 的边缘分布函数为()()0.51,0,,0,0,x X e x F x F x x − −≥=∞=< (, )X Y 关于Y 的边缘分布函数为()()0.51,0,,0,0,y Y e y F y F y y − −≥=∞=<因为()()(),X Y F x y F x F y =，故X 与Y 相互独立．（2）()()()()()()()0.10.1,0.10.10.110.110.1X Y P X Y P X P Y F F e−>>=>>=−−=．3.19 设X 与Y 独立同均匀分布[1,3]U ，并且13a <<，记事件{}A X a =≤，{}B Y a =≥，且()7/9P A B =U ，求常数a .解因为X 与Y 相互独立,所以事件A 与事件B 也相互独立. 因此111()()d 22aa P A P X a x −=≤==∫,313()()d 22a aP B P Y a x −=≥==∫, ()(1)(3)()()4a a P AB P A P B −−==.于是()()()()13(1)(3)72249a a a a P A B P A P B P AB −−−−=+−=+−=U ,解得53a =或73.3.2020 某码头只能容纳一只船，现预知某日将有两只船独立来到，且在24小时内各时刻来到的可能性相等，如果它们需要停靠的时间分别为3小时及4小时，试求有一只船要在江中等待的概率．解设X ，Y 分别表示此二船到达码头的时间，则X , Y 的概率密度函数分别为1,024()240, ,X x f x ≤< = ，其它 1,024()240, ,Y y f x ≤< = ，其它则X 与Y 相互独立，其联合概率密度为()21,024,024,,()()240,X Y x y f x y f x f y ≤<≤<== 其他, 于是按题意，所求概率为(34).P Y X −≤−≤ 区域{(,)|024,024,34}G x y X Y Y X =≤≤≤≤−≤−≤ 所求概率为(34)P Y X −≤−≤21(,)d d 24Gf x y x y G ==×∫∫的面积3110.271152==. 3.21 设X 与Y 独立同均匀分布[0,1]U ，求方程20t Xt Y ++=有实根的概率. 解 X , Y 的概率密度分别为1, 01()0, ,X x f x << = ，其它 1, 01()0, ,Y y f x << =，其它由于X 与Y 相互独立，其联合概率密度为()1,01,01,,()()0,X Y x y f x y f x f y <<<< ==其他. 方程20t Xt Y ++=有实根的充要条件是判别式240X Y ∆=−≥,概率22211240401(40)(,)d d d d d 412x x y x P X Y f x y x y x y x −≥−≥====∫∫∫∫∫. 3.22二维随机变量(,)X Y 在区域D 上服从均匀分布，求边缘概率密度()X f x ,()Y f y ,并判断X 和Y 是否相互独立.（1）{(,)|01,23}D x y x y =≤≤≤≤；（2）22{(,)|1}4y D x y x =+≤；（3）22{(,)|2}D x y x y y =+≤.解（1）因为区域D 的面积1,D S = , X Y （）的联合概率密度1, (,),(,)0, .x y D f x y ∈ = 其他因为, X Y （）关于X 的边缘密度函数32d 1, 01()(,)d 0, X y x f x f x y y +∞−∞=≤≤ == ∫∫其他.关于Y 的边缘密度函数10d 1, 23,()(,)d 0, ,Y x y f y f x y x +∞−∞=≤≤==∫∫其他所以，对任意实数x ，y 均有(,)()(),X Y f x y f x f y =故X 与Y 是相互独立的. （2）因为区域D 的面积2π,D S = , X Y （）的联合概率密度1, (,),(,)2π0, .x y D f x y ∈ = 其他因为, X Y （）关于X 的边缘密度函数1()(,)d 0, X y x f x f x y y +∞−−∞=≤ ==∫∫其它. 关于Y 的边缘密度函数2()(,)d 0 Y y f y f x y x +∞−∞≤== ∫，，其它；所以，对任意实数x ，y 均有(,)()(),X Y f x y f x f y ≠故X 与Y 是相互独立的.（3）因为区域D 的面积π,D S = , X Y （）的联合概率密度1, (,),(,)π0, .x y D f x y ∈ = 其他因为, X Y （）关于X 的边缘密度函数111d 1()(,)d 0, X y x f x f x y y π+∞−∞=≤ ==∫∫其它.关于Y 的边缘密度函数02()(,)d 0 Y y f y f x y x +∞−∞≤≤== ∫，，其它；所以，对任意实数x ，y 均有(,)()(),X Y f x y f x f y ≠故X 与Y 是相互独立的.习题3.53.23 设(,)X Y 的联合分布列为求在1X =条件下，Y 的条件分布列.解 (1)(1,0)(1,1)(1,2)P X P X Y P X Y P X Y ====+==+==0.20.10.10.4=++= 在1X =条件下，Y 的条件分布列为(1,0)0.21(0|1)(1)0.42P X Y P Y X P X ========，(1,1)0.11(1|1)(1)0.44P X Y P Y X P X ========，(1,2)0.11(2|1)(1)0.44P X Y P Y X P X ========.或写成0 1 2111(1)24|4Y P Y k X ==.3.24 设二维随机变量(),X Y 的概率分布表为求：(1) (),X Y 关于X 的边缘分布列；(2) ()2P X Y +≤；(3)()00P Y X ==. 解 (1)(),X Y 关于X 的边缘分布列为0 20.3 0.7X P ；(2) ()()212,110.30.7P X Y P X Y +≤=−===−=.(3)()()()0,00.220000.33P X Y P Y X P X ========. 3.25 设二维随机变量 ()3, 0,0,,~(,)2 0, x xyx ex y X Y f x y −− >> =其它. 求：(1)边缘概率密度()X f x ；(2) 条件概率密度|(|)Y X f y x . 解 (1) 因为, X Y （）关于X 的边缘密度函数320d , 0,()(,)d 220, x xy xX x x e y e x f x f x y y ∞−−−∞−∞=>==∫∫其它. (2) 当0>x 时,条件概率密度|, 0,(,)(|)()0, 0.xy Y X X xe y f x y f y x f x y − >== ≤(3) 当12X =时,条件概率密度 2|11, 0,(|)220, 0.yY X e y f y y − > =≤ 3.26 设直线1x =，0y =以及曲线2y x =所围区域为G ， (,)X Y 在区域G 上服从二维均匀分布，试求：(1) (,)X Y 的联合概率密度(,)f x y ；(2) 条件概率密度|(|)Y X f y x 及|(|)X Y f x y ；(3) |(|1)Y X f y 及()|1/9X Y f x .解(1) 如图,区域2}01,0{(,)|x y x G x y <<<<=的面积为1201d 3S x x ==∫因此(,)X Y 的联合概率密度为201,03(,)0x y x f x y <<<< =，，，其他．(2) , X Y （）关于X 的边缘密度函数例3.26插图220 3 d 3, 01()(,)d 0, x X y x x f x f x y y +∞−∞=<<== ∫∫其它.关于Y 的边缘密度函数13(1 01()(,)d 0, Y x y f y f x y x +∞−∞=<<== ∫其它.当01x <<时，条件概率密度|(|)Y X f y x22|2031(,)(|)3() 0Y X X y x f x y f y x x xf x << ===，，，其他．当01y <<时，条件概率密度|(|)X Y f x y1(,)(|)() 0X Y Y x f x y f x y f y <<== ，，其他． (3) 当1x =时，条件概率密度|101(|1)0Y X y f y << =，，，其他．当19y =时，条件概率密度|3111(|2390X Y x f x << =，，，其他．习题3.63.27 有一本100页的书，每页错别字数服从参数为0.01的泊松分布，假定各页错别字数相互独立，求这本书上错别字总数的概率分布. 解设i X 表示此书第i 页上的错别字数, 则(0.01)i X P , 其中1,2,,100i =L .因为相互独立的泊松随机变量的和仍服从泊松分布,因此这本书上错别字总数1001()ii XP λ=∑ , 其中1000.011λ=×=.3.23.288设两个随机变量X 和Y 相互独立且同分布：()()111/2P X P Y =−==−=，()()111/2P X P Y ====，则下列各式成立的是（A）()12P X Y ==．（B）()1P X Y ==．（C）()104P X Y +==．（C）()114P XY ==．解因为X 与Y 相互独立，由边缘分布列可得联合分布列..111111442111144211122i jY p X p −− 由此得()()()1111,11,1442P X Y P X Y P X Y ===−=−+===+=，故（A）正确，（B）错误．另外，由()()()11101,11,1442P X Y P X Y P X Y +===−=+==−=+=知（C）错误，由{}00P XY ==知（D）错误．*3.29 设随机变量X 服从二项分布(,)B n p ，Y 服从二项分布(,)B m p ，且X 与Y 相互独立，证明X Y +服从二项分布(,)B n m p +. 证: 因(,)X B n p ,(,)Y B m p ,所以()(1)k kn k n P X k C p p −==−，0,1,2,,.k n =L ()(1)k k m k m P Y k C p p −==−，0,1,2,,.k m =L而X Y +可能取值为0,1,2,,n m +L ,且X 与Y 相互独立,由卷积公式有00()()()= (1)(1)iik k n k i k i km i k n m k k P X Y i P X k P Y i k C p p C p p −−−−+==+====−−−∑∑= (1)= (1)ik i k i n m i i i n m in m n m k C C p p C p p −+−+−+=−−∑,0,1,2,,i n m =+L . 注:由超几何分布列的正则性可知,01k i k in m ik n mC C C −=+=∑.因此0ik i k in m n m k C C C −+==∑. 3.30设X 与Y 独立同分布，X 的分布列为1{}2k P X k ==，1,2,k =L .试求：(1)Z X Y =+的分布列；(2) min{,}Z X Y =的分布列.解 (1)Z X Y =+可能取值为2,3,L ,且X 与Y 相互独立,由卷积公式有1111()()()()= 222nnk n k nk k nP Z n P X Y n P X k P Y n k −====+====−=∑∑,2,3,n =L . (2)min{,}Z X Y =可能取值为1,2,3,L ,且X 与Y 相互独立,()(min{,})P Z n P X Y n ===11(,)(,)(,)k n k n P X n Y n P X n Y k P X k Y n ∞∞=+=+===+==+==∑∑11()()()()()()k n k n P X n P Y n P X n P Y k P X k P Y n ∞∞=+=+===+==+==∑∑12211111111322122222412n n n k n n n k n ∞+−=+=+=+=−∑’ 即min{,}Z X Y =的分布列为3()4n P Z n ==,1,2,n =L .3.31设X 与Y 相互独立，X 服从均匀分布[0,1]U ，Y 服从参数为2的指数分布，求：（1）,X Y （）的联合概率密度；（2）(1)P X Y +≤.解 (1)X 与Y 的概率密度分别为()1, 01,0, X x f x ≤≤ = 其他与 ()22e , 00, 0y Y y f y y − = ≤ ＞由于X 与Y 独立，因此,X Y （）的联合概率密度为()()()22e ,01,0,0, .y X Y x y f x y f x f y − ≤≤== ＞, 其他（2）()11122220111(1), d d d 2e d (1e )d 22xy x x y P X Y f x y x y x y x e−−−+≤+≤===−=+∫∫∫∫∫. 3.32 设X 与Y 独立同均匀分布[0,1]U ，求Z X Y =+的概率密度. 解 Z X Y =+的概率密度1()()()d ()d Z X Y Y f z f x f z x x f z x x ∞−∞=−=−∫∫作变量变换, 令t z x =−,得1()()d zZ Y z f z f t t −=∫当0z <时, ()0Z f z =. 当 01z ≤<时, 1()()d d zzZ Y z f z f t t t z −===∫∫.当 011z ≤−<时, 即 12z ≤<时, 1111()()d d 2Z Y z z f z f t t t z −−===−∫∫.当11z −≥时, 即 2z ≥时, 11()()d 0Z Y z f z f t t −==∫.于是Z X Y =+的概率密度为, 01,()2, 12,0, Z z z f z z z <≤=−<≤当当其他.*3.33 设()(2)2,0,0,,~(,) 0, x y e x y X Y f x y −+ >>= 其它.求随机变量2Z X Y =+的分布函数.解随机变量2Z X Y =+取值为(0,)∞当0z ≤时, ()()(2)0Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤=; 当0z >时, 设区域{(,)|0,0,2}G x y x y x y z =>>+≤,(){}{}2Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤()()22,2x y x y zf x y dxdy edxdy −++≤==∫∫∫∫G220d 2d 1z xzx y z z e x e y e ze −−−−−==−−∫∫.于是，随机变量Y X Z 2+=的分布函数为()1,00,0z z Z e ze z F z z −− −−≥= <．★可进一步求得随机变量Z 的密度函数为(),00,0z Z ze z f z z − ≥= <．*3.34设X 与Y 独立同标准正态分布(0,1)N ，随机变量Z =,验证Z 的概率密度为()2/2, 0,0,z z ze z f z − ≥ = 其它，称Z 服从瑞利（Rayleigh）分布.解已知X 、Y 的分布密度分别为22()xXf x−=，22()yYf y−=,由相互独立性得X与Y的联合密度函数为221()21(,)()()2x yX Yf x y f x f y eπ−+=⋅=由于0Z=≥,知当0z<时, ()()0ZF z P Z z=≤=;当0z≥时, ()222())()ZF z P Z z P z P X Y z=≤=≤=+≤222222221()21(,)d d d d2x yx y z x y zf x y x y e x yπ−++≤+≤==∫∫∫∫22222220011d d2[]122r r zz ze r r e eπθπππ−−−=−=−∫∫极坐标.将()ZF z关于z求导数,得Z的概率密度为()2/2,0,0,zzze zf z−≥=其它.3.35 对某种电子装置的输出测量了5次，得到的观察值为12345,,,,X X X X X. 设它们独立同分布，概率密度为2/8,0,()40,xxe xf x−>=其它.求：（1）12345max{,,,,}Z X X X X X=的分布函数；（2）{4}P Z>.解（1）设12345,,,,X X X X X的分布函数为()XF x,则当0x≤时, ()0XF x=.当0x>时, 有()22x/8/8d14x xXxF x e x e−−−∞==−∫.即2/81,0,()0,xXe xF x−−>=其它.因此12345max{,,,,}Z X X X X X=的分布函数25851,0,()()(())0,.zZ Xe zF Z P Z z F z−−>=≤==其他25(2)(4)1(4)1(4)1(1)0.5167.z P Z P Z F e −>=−≤=−=−−=3.36 设随机变量,X Y （）的联合分布列为求：(1) =max(,)U X Y 的分布列；(2) =min(,)V X Y 的分布列；(3) =W X Y +的分布列；(4) (1|2)P X Y ==,(3|0)P Y X ==.解 (1)由X ，Y 的可能取值知=max(,)U X Y 的可能值为：0，1，2，3. 且有 (0)(1,0)(0,0)0.150.060.21P Z P X Y P X Y ===−=+===+=，(1)(1,1)(0,1)(1,1)(1,0)P Z P X Y P X Y P X Y P X Y ===−=+==+==+==0.020.050.150.10.32=+++=，(2)(1,2)(0,2)(1,2)P Z P X Y P X Y P X Y ===−=+==+==0.150.020.050.22=++=,(3)1(0)(1)(2)10.310.320.220.15P Z P Z P Z P Z ==−=−=−==−−−=. 所以=max(,)U X Y 的分布列 0 1 2 3 0.21 0.32 0.22 0.15U P (2由X ，Y 的可能取值知=min(,)V X Y 的可能值为：-1,0,1. 且有(1)(1,0)(1,1)(1,2)(1,3)P Z P X Y P X Y P X Y P X Y =−==−=+=−=+=−=+=−=0.150.020.150.070.39=+++=，(0)(0,0)(0,1)(0,2)(0,3)P Z P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+==(1,0)0.060.050.020.030.10.26P X Y +===++++=,(1)1(1)(0)10.390.260.35P Z P Z P Z ==−=−−==−−=.所以=min(,)V X Y 的分布列为 1 0 1 0.39 0.26 0.35V P − (3) 由X ，Y 的可能取值知=W X Y +的可能值为：-1, 0，1，2，3, 4. 且有 (1)(1,0)0.15P W P X Y =−==−==，(0)(1,1)(0,0)0.020.060.08P W P X Y P X Y ===−=+===+=,(1)(1,2)(0,1)(1,2)P W P X Y P X Y P X Y ===−=+==+==0.150.050.10.3=++=，(2)(1,3)(0,2)(1,1)P W P X Y P X Y P X Y ===−=+==+==0.070.020.150.24=++=,(3)(0,3)(1,2)0.030.050.08P W P X Y P X Y ====+===+=,(4)(1,3)0.15P W P X Y =====.所以=W X Y +的分布列为1 0 1234 0.15 0.08 0.3 0.24 0.08 0.15W P −. (4) (2)(1,2)(0,2)(1,2)P Y P X Y P X Y P X Y ===−=+==+==0.150.020.050.22=++=,(0)(0,0)(0,1)(0,2)(0,3)P X P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+== 0.060.050.020.030.16=+++=,(1,2)0.055(1|2)(2)0.2222P X Y P X Y P Y ========, (0,3)0.033(3|0)(0)0.1616P X Y P Y X P X ========.。

重庆工商大学《概率论与数理统计》课后习题答案—高等教育出版社(袁德美主编)第六章

P{X1 x1}P{ X 2 x2} P{X 50 x50 }
50Biblioteka C xi 100p xi
(1
p )100 xi
i 1
50
C xi 100
p50x (1
p)500050 x
i 1
其中x
1 50
50 i 1
Xi
幻灯片 3 6.3 某射手进行射击训练,已知他击中目标的概率为 p,每一轮击中目标就停止.设第 i 轮射击的次数记为 Xi , 求样本 X1,X2,…,Xn 的联合分布. 解
幻灯片 1
6.1 为研究某信息台 1~3 月份从晚上 19 点到晚上 22 点每分钟内接到人工服务的呼叫次数,
今从 1~3 月份的全部记录中随机抽取 200 个记录进行研究,问该研究项目的总体是什么?个
体是什么?样本是什么?
解
该研究项目的总体是全部记录.
该研究项目的个体是每个记录.
该研究项目的样本是随机抽取的 200 个记录.
其中x
1 n
n i 1
Xi
幻灯片 4 6.5 测得一组样本的观测值 24.2，25.0，22.8，23.4，24.3，23.8，24.2，23.5，23.3 求样本均值,样本方差,样本标准差以及样本的二阶中心矩.
1 n
x n i1 xi
解样本均值
23.8
s2
1 n 1
n i 1
( xi
P( X i xi ) (1 p)xi 1 p, i 1, 2, , n
p (x1, x2 , xn )
P{X1 x1, X 2 x2 , , X n xn }
P{X1 x1}P{ X 2 x2} P{X n xn }

高等教育出版社,袁德美主编的概率论与数理统计习题一的答案

则所求概率为
P( A2 ) P(A1)P(A2 A1) P(A1)P(A2 A1)
2211 5 3 4 3 4 12
1.38某人决定将一笔钱投资于房地产、股票和期货之一,他选择这三种投资渠道的概率依次为1/2,1/4和1/4. 据有关信息显示,现阶段这三种投资渠道亏本的概率分别为1/8,1/4和1/8.问他投资亏本的概率是多少?
(3)(A B) U B A (×) 证明 ( A B) U B ( A I B) U B
(AU B) I (B U B)
AUB
1.4 试问下列命题是否成立?若正确给出其证明,若错误举一个反例.
(4)若AB ,且C A,则BC (√) 证明(反证法) 假设BC , 则至少一个 BC
P AB 0.1, P(AC) 0.08, P(BC) 0.05, P ABC 0.03
(3)P ABC U ABC U ABC P ABC P ABC P ABC
其中P ABC P AUB UC 1 P AUB UC
1[0.7 0.2]
0.5
1.10 设A,B是任意两事件,将下列四个数P(A),P(AB), P(A∪B),P(A)+P(B)按由小到大的顺序排列起来
解 Q AB A (AUB)
∴P(AB)≤P(A)≤P(A∪B) 又P(A∪B)=P(A)+P(B)P∴(PA(BA)∪B)≤P(A)+P(B ) ∴P(AB)≤P(A)≤P(A∪B)≤P(A)+P(B)
(3)连续抛一枚硬币直到正面出现为止的试验次数
3 {1, 2,L } (4)某城市一天的用电量 4 {t t 0}

高等教育出版社,袁德美主编的概率论与数理统计习答案

1
2
E( X E( X ) ) E( X 1) x 1 f ( x)dx
(1 x) x dx
0 1 2 1
1 ( x 1) (2 x) dx 3
4.13 设 (X, Y ) 的联合概率密度是
y
12 y 2 , 0 y x 1 f ( x, y ) 其他 0 , 求(1)E(X),E(Y);(2)E(XY);(3)E(X2＋Y2)
4.19 设 X表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次命中目标的概率为0.4,则E(X2)=( A )
(A)18.4
解
(B)24
(C)16
(D)12
X
B(10, 0.4)
E ( X ) np 4
D( X ) npq 2.4
又D( X ) E ( X ) [ E ( X )]
Cov( X , Y ) E( XY ) E( X ) E(Y ) 0
XY
Cov( X , Y ) 0 D( X ) D(Y )
1 解又P( X 1, Y 1) 8 3 3 P ( X 1) , P (Y 1) 8 8
但P( X 1, Y 1) P( X 1) P(Y 1)
2 2

xyf ( x, y) dxdy dx
0
1 xy 12 y dy 2
(3) E ( X Y )
1

x
( x 2 y 2 ) f ( x, y ) dxdy
2 2 2
16 dx ( x y ) 12 y dy 0 0 15

概率论与数理统计课后习题答案

习题答案第1章三、解答题1．设P (AB ) = 0，则下列说法哪些是正确的？ (1) A 和B 不相容； (2) A 和B 相容； (3) AB 是不可能事件； (4) AB 不一定是不可能事件； (5) P (A ) = 0或P (B ) = 0 (6) P (A – B ) = P (A ) 解：(4) (6)正确.2．设A ，B 是两事件，且P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.7，问： (1) 在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？ (2) 在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？解：因为)()()()(B A P B P A P AB P ，又因为)()(B A P B P 即.0)()( B A P B P 所以(1) 当)()(B A P B P 时P (AB )取到最大值，最大值是)()(A P AB P =0.6.(2)1)( B A P 时P (AB )取到最小值，最小值是P (AB )=0.6+0.7-1=0.3.3．已知事件A ，B 满足)()(B A P AB P ，记P (A ) = p ，试求P (B )．解：因为)()(B A P AB P ，即)()()(1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P AB P ，所以.1)(1)(p A P B P4．已知P (A ) = 0.7，P (A – B ) = 0.3，试求)(AB P ．解：因为P (A – B ) = 0.3，所以P (A )– P(AB ) = 0.3, P(AB ) = P (A )– 0.3, 又因为P (A ) = 0.7，所以P(AB ) =0.7– 0.3=0.4，6.0)(1)( AB P AB P .5．从5双不同的鞋子种任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？解：显然总取法有410C n种，以下求至少有两只配成一双的取法k ：法一：分两种情况考虑：15C k24C 212)(C +25C 其中：2122415)(C C C 为恰有1双配对的方法数法二：分两种情况考虑：!2161815C C C k +25C其中：!2161815C C C为恰有1双配对的方法数法三：分两种情况考虑：)(142815C C C k +25C其中：)(142815C C C 为恰有1双配对的方法数法四：先满足有1双配对再除去重复部分：2815C C k -25C法五：考虑对立事件：410C k -45C 412)(C其中：45C 412)(C 为没有一双配对的方法数法六：考虑对立事件：!4141618110410C C C C C k其中：!4141618110C C C C 为没有一双配对的方法数所求概率为.2113410C k p 6．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任取3人记录其纪念章的号码．求： (1) 求最小号码为5的概率； (2) 求最大号码为5的概率．解：(1) 法一：12131025 C C p ，法二：1213102513 A A C p (2) 法二：20131024 C C p ，法二：2013102413 A A C p 7．将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率．解：设M 1, M 2, M 3表示杯子中球的最大个数分别为1，2，3的事件，则834)(3341 A M P , 1694)(324232 A C M P , 1614)(3143C M P8．设5个产品中有3个合格品，2个不合格品，从中不返回地任取2个，求取出的2个中全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少？解：设M 2, M 1, M 0分别事件表示取出的2个球全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品，则 3.0)(25232 C C M P ,6.0)(2512131 C C C M P ,1.0)(25221 C C M P9．口袋中有5个白球，3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率．解：设M 1=“取到两个球颜色相同”，M 1=“取到两个球均为白球”，M 2=“取到两个球均为黑球”，则2121M M M M M 且.所以.2813C C C C )()()()(282328252121 M P M P M M P M P10．若在区间(0，1)内任取两个数，求事件“两数之和小于6/5”的概率．解：这是一个几何概型问题．以x 和y 表示任取两个数，在平面上建立xOy 直角坐标系，如图. 任取两个数的所有结果构成样本空间 = {(x ，y )：0 x ，y 1} 事件A =“两数之和小于6/5”= {(x ，y ) ： x + y 6/5} 因此2517154211)(2的面积的面积A A P ．图？11．随机地向半圆220x ax y（a 为常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4的概率．解：这是一个几何概型问题．以x 和y 表示随机地向半圆内掷一点的坐标，表示原点和该点的连线与x 轴的夹角，在平面上建立xOy 直角坐标系，如图.随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间={(x ，y )：220,20x ax y a x}事件A =“原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4” ={(x ，y )：40,20,202x ax y a x }因此211214121)(222 a aa A A P 的面积的面积．12．已知21)(,31)(,41)( B A P A B P A P ，求)(B A P ．解：,1213141)()()( A B P A P AB P ,6121121)|()()(B A P AB P B P.311216141)()()()(AB P B P A P B A P 13．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是多少？解：题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取两件产品中至少有一件是不合格品，则两件均为不合格品的概率”。

概率论与数理统计课后习题参考答案高等教育出版社

概率论与数理统计课后习题参考答案高等教育出版社概率论与数理统计课后习题参考答案高等教育出版社习题1.1解答1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。

试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。

解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）}{=C (正，正)，（正，反），（反，正）}2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。

试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。

解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω；{})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ；{})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ；Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ；{})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。

试用C B A ,,表示以下事件：（1）只订阅日报；（2）只订日报和晚报；（3）只订一种报；（4）正好订两种报；（5）至少订阅一种报；（6）不订阅任何报；（7）至多订阅一种报；（8）三种报纸都订阅；（9）三种报纸不全订阅。

解：（1）C B A ；（2）C AB ；（3）C B A C B A C B A ++；（4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++；（6）C B A ；（7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++（8）ABC ；（9）C B A ++4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。

概率论与数理统计课后习题答案

习题一1.见教材习题参考答案.2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C（1）A发生，B，C都不发生；（2）A与B发生，C（3）A，B，C都发生；（4）A，B，C（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C（7）A，B，C至多有2个发生；（8）A，B，C至少有2个发生.【解】（1）A BC（2）AB C（3）ABC（4）A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC(5) ABC=A B C(6) ABC(7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C(8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC3..4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（AB）.【解】P（AB）=1-P（AB）=1-[P(A)-P(A-B)]=1-[0.7-0.3]=0.65.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,（1）在什么条件下P（AB（2）在什么条件下P（AB【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.（2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.【解】 P （A ∪B ∪C ）=P (A )+P (B )+P (C )-P (AB )-P (BC )-P (AC )+P (ABC )=14+14+13-112=347.52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？【解】 p =5332131313131352C C C C /C8.学习小组考虑生日问题：（1）求五个人的生日都在星期日的概率；（2）求五个人的生日都不在星期日的概率；（3）求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1）设A 1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P （A 1）=517=（17）5（亦可用独立性求解，下同）（2）设A 2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故P （A 2）=5567=(67)5(3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日}P （A 3）=1-P (A 1)=1-(17)59..见教材习题参考答案.10.一批产品共N 件，其中M 件正品.从中随机地取出n 件（n <N ）.试求其中恰有m 件（m ≤M ）正品（记为A ）的概率. （1） n 件是同时取出的；（2）n （3） n 件是有放回逐件取出的.【解】（1） P （A ）=C C /C m n m nM N M N --(2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有P nN 种，n 次抽取中有m次为正品的组合数为C m n 种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M 件正品中取m 件的排列数有P m M 种，从N -M 件次品中取n -m 件的排列数为P n mN M --种，故P （A ）=C P PP m m n mn M N M n N--由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成P （A ）=C C C m n mM N Mn N--可以看出，用第二种方法简便得多.（3）由于是有放回的抽取，每次都有N 种取法，故所有可能的取法总数为N n 种，n次抽取中有m 次为正品的组合数为C m n 种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，m 次取得正品，都有M 种取法，共有M m 种取法，n -m 次取得次品，每次都有N -M 种取法，共有（N -M ）n -m 种取法，故()C ()/m m n mn n P A M N M N -=- 此题也可用贝努里概型，共做了n 重贝努里试验，每次取得正品的概率为MN，则取得m 件正品的概率为()C 1m n mm n M M P A N N -⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11..见教材习题参考答案.12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？【解】设A ={发生一个部件强度太弱}133103501()C C /C 1960P A ==13.7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率. 【解】设A i ={恰有i 个白球}（i =2,3），显然A 2与A 3互斥.213434233377C C C 184(),()C 35C 35P A P A ====故 232322()()()35P A A P A P A =+=14.0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求：（1）两粒都发芽的概率；（2）至少有一粒发芽的概率；（3）恰有一粒发芽的概率.【解】设A i ={第i 批种子中的一粒发芽}，（i =1,2）(1) 1212()()()0.70.80.56P A A P A P A ==⨯= (2) 12()0.70.80.70.80.94P A A =+-⨯=(3) 2112()0.80.30.20.70.38P A A A A =⨯+⨯=15.3次正面才停止.（1）问正好在第6次停止的概率；（2）问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.【解】（1） 223151115()()22232p C == (2) 1342111C ()()22245/325p ==16.0.7及0.6，每人各投了3次，求二人进球数相等的概率.【解】设A i ={甲进i 球}，i =0,1,2,3,B i ={乙进i 球},i =0,1,2,3,则33312123330()(0.3)(0.4)C 0.7(0.3)C 0.6(0.4)i i i P A B ==+⨯⨯+22223333C (0.7)0.3C (0.6)0.4+(0.7)(0.6)⨯=0.32076175双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.【解】 4111152222410C C C C C 131C 21p =-= 18.0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：（1）在下雨条件下下雪的概率；（2）这天下雨或下雪的概率. 【解】设A ={下雨}，B ={下雪}.（1） ()0.1()0.2()0.5P AB p B A P A === （2） ()()()()0.30.50.10.7p A B P A P B P AB =+-=+-=19.3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.【解】设A ={其中一个为女孩}，B ={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故()6/86()()7/87P AB P B A P A ===或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.6()7P B A =20.5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.【解】设A ={此人是男人}，B ={此人是色盲}，则由贝叶斯公式()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.50.05200.50.050.50.002521⨯==⨯+⨯21.9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.题21图题22图【解】设两人到达时刻为x,y,则0≤x,y≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x-y|>30.如图阴影部分所示.22301604P==22.0，1）中随机地取两个数，求：（1）两个数之和小于65的概率；（2）两个数之积小于14的概率.【解】设两数为x,y，则0<x,y<1.（1）x+y<65.11441725510.68125p=-==(2) xy=<14.1111244111d d ln242xp x y⎛⎫=-=+⎪⎝⎭⎰⎰23.P（A）=0.3,P(B)=0.4,P(A B)=0.5，求P（B｜A∪B）【解】()()()()()()()()P AB P A P ABP B A BP A B P A P B P AB-==+-0.70.510.70.60.54-==+-24.15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】设A i ={第一次取出的3个球中有i 个新球}，i =0,1,2,3.B ={第二次取出的3球均为新球}由全概率公式，有3()()()i i i P B P B A P A ==∑33123213336996896796333333331515151515151515C C C C C C C C C C C C C C C C C C =∙+∙+∙+∙0.089=25. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：（1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？（2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？【解】设A ={被调查学生是努力学习的}，则A ={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P（A ）=0.8，P （A ）=0.2，又设B ={被调查学生考试及格}.由题意知P （B |A ）=0.9，P （B |A ）=0.9，故由贝叶斯公式知（1）()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.20.110.027020.80.90.20.137⨯===⨯+⨯即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702% (2) ()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.80.140.30770.80.10.20.913⨯===⨯+⨯即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.26. 将两信息分别编码为A 和B 传递出来，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为0.02，而B 被误收作A 的概率为0.01.信息A 与B 传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A ，试问原发信息是A 的概率是多少？【解】设A ={原发信息是A }，则={原发信息是B }C ={收到信息是A }，则={收到信息是B } 由贝叶斯公式，得()()()()()()()P A P C A P A C P A P C A P A P C A =+2/30.980.994922/30.981/30.01⨯==⨯+⨯27.【解】设A i ={箱中原有i 个白球}（i =0,1,2），由题设条件知P （A i ）=13,i =0,1,2.又设B ={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知11112()()()()()()()i i i P B A P A P A B P A B P B P B A P A ===∑ 2/31/311/31/32/31/311/33⨯==⨯+⨯+⨯28.工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】设A ={产品确为合格品}，B ={产品被认为是合格品}由贝叶斯公式得()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.960.980.9980.960.980.040.05⨯==⨯+⨯29..统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？【解】设A ={该客户是“谨慎的”}，B ={该客户是“一般的”}，C ={该客户是“冒失的”}，D ={该客户在一年内出了事故} 则由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()(|)()(|)()(|)P AD P A P D A P A D P D P A P D A P B P D B P C P D C ==++0.20.050.0570.20.050.50.150.30.3⨯==⨯+⨯+⨯30.过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率. 【解】设A i ={第i 道工序出次品}（i =1,2,3,4）.412341()1()i i P A P A A A A ==-12341()()()()P A P A P A P A =-10.980.970.950.970.124=-⨯⨯⨯= 31.0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9?【解】设必须进行n 次独立射击.1(0.8)0.9n -≥即为 (0.8)0.1n ≤ 故 n ≥11 至少必须进行11次独立射击. 32.P （A ｜B ）=P (A ｜B )，则A ，B 相互独立.【证】 (|)(|)P A B P A B =即()()()()P AB P AB P B P B =亦即 ()()()()P AB P B P AB P B =()[1()][()()]()P AB P B P A P AB P B -=-因此 ()()()P AB P A P B = 故A 与B 相互独立. 33.15，13，14，求将此密码破译出的概率.【解】设A i ={第i 人能破译}（i =1,2,3），则31231231()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A ==-=-42310.6534=-⨯⨯= 34.0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率. 【解】设A ={飞机被击落}，B i ={恰有i 人击中飞机}，i =0,1,2,3由全概率公式，得3()(|)()i i i P A P A B P B ==∑=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 =0.45835.25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求：（1）虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率.（2）新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率. 【解】（1） 310110C(0.35)(0.65)0.5138k k k k p -===∑(2) 10102104C(0.25)(0.75)0.2241kk k k p -===∑36.6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：（1） A =“某指定的一层有两位乘客离开”；（2） B =“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”；（3） C =“恰有两位乘客在同一层离开”；（4） D =“至少有两位乘客在同一层离开”.【解】由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.（1） 2466C 9()10P A =，也可由6重贝努里模型：224619()C ()()1010P A =（2） 6个人在十层中任意六层离开，故6106P ()10P B =（3）由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有110C 种可能结果，再从六人中选二人在该层离开，有26C 种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：①4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有131948C C C 种可能结果；②4人同时离开，有19C 种可能结果；③4个人都不在同一层离开，有49P 种可能结果，故1213114610694899()C C (C C C C P )/10P C =++（4） D=B .故6106P ()1()110P D P B =-=-37. n 个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率：（1）甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率；（2）甲、乙、丙三人坐在一起的概率；（3）如果n 个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率. 【解】（1） 111p n =-(2) 23!(3)!,3(1)!n p n n -=>-(3) 12(1)!13!(2)!;,3!!n n p p n n n n --''===≥ 38.[0，a ]【解】设这三段长分别为x ,y ,a -x -y .则基本事件集为由0<x <a ,0<y <a ,0<a -x -y <a 所构成的图形，有利事件集为由()()x y a x y x a x y y y a x y x+>--⎡⎢+-->⎢⎢+-->⎣ 构成的图形，即02022a x a y ax y a ⎡<<⎢⎢⎢<<⎢⎢⎢<+<⎢⎣ 如图阴影部分所示，故所求概率为14p =. 39. 某人有n 把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开（抽样是无放回的）.证明试开k 次（k =1,2,…,n ）才能把门打开的概率与k 无关.【证】 11P 1,1,2,,P k n k n p k n n--=== 40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地取出一个，试求它有i 面涂有颜色的概率P （A i ）（i =0,1,2,3）. 【解】设A i ={小立方体有i 面涂有颜色}，i =0,1,2,3.在1千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的，这样的小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上（除去八个角外）的小立方体是两面涂色的，这样的小立方体共有12×8=96个.同理，原立方体的六个面上（除去棱）的小立方体是一面涂色的，共有8×8×6=384个.其余1000-（8+96+384）=512个内部的小立方体是无色的，故所求概率为01512384()0.512,()0.38410001000P A P A ====, 24968()0.096,()0.00810001000P A P A ====.41.对任意的随机事件A ，B ，CP （AB ）+P （AC ）-P （BC ）≤P (A). 【证】 ()[()]()P A P A BC P AB AC ≥=()()()P AB P AC P ABC =+-()()()P AB P AC P BC ≥+- 42.3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率.【解】设i A ={杯中球的最大个数为i },i =1,2,3.将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故3413C 3!3()48P A ==而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故1433C 1()416P A ==因此 213319()1()()181616P A P A P A =--=--= 或 12143323C C C 9()416P A == 43.2n 次，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】掷2n 次硬币，可能出现：A ={正面次数多于反面次数}，B ={正面次数少于反面次数}，C ={正面次数等于反面次数}，A ，B ，C 两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P （A ）=P （B ）.所以1()()2P C P A -=由2n 重贝努里试验中正面出现n 次的概率为211()()()22n n nn P C C =故 2211()[1C ]22nn n P A =-44.n 次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】设A ={出现正面次数多于反面次数}，B ={出现反面次数多于正面次数}，由对称性知P （A ）=P （B ）（1）当n 为奇数时，正、反面次数不会相等.由P （A ）+P （B ）=1得P （A ）=P （B ）=0.5(2) 当n 为偶数时，由上题知211()[1C ()]22nn n P A =-45.n +1次，乙掷n 次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.【解】令甲正=甲掷出的正面次数，甲反=甲掷出的反面次数.乙正=乙掷出的正面次数，乙反=乙掷出的反面次数. 显然有>正正（甲乙）=（甲正≤乙正）=（n +1-甲反≤n -乙反）=（甲反≥1+乙反）=（甲反>乙反）由对称性知P （甲正>乙正）=P （甲反>乙反）因此P (甲正>乙正)=1246.Sure -thing ）：若P （A |C ）≥P (B |C ),P (A |)≥P (B |)，则P （A ）≥P (B ).【证】由P （A |C ）≥P (B |C ),得()(),()()P AC P BC P C P C ≥即有 ()()P AC P BC ≥ 同理由 (|)(|),P A C P B C ≥ 得 ()(),P AC P BC ≥故 ()()()()()()P A P AC P AC P BC P BC P B =+≥+= 47.一列火车共有n 节车厢，有k (k ≥n )个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】设A i ={第i 节车厢是空的}，（i =1,…,n ）,则121(1)1()(1)2()(1)1()(1)n k ki k ki j ki i i n P A n nP A A n n P A A A n--==-=--=-其中i 1,i 2,…,i n -1是1，2，…，n 中的任n -1个. 显然n 节车厢全空的概率是零，于是2112111122111111123111()(1)C (1)2()C (1)1()C (1)0()(1)n n nk ki ni ki j n i j nn kn i i i n i i i nn nn i ni S P A n n n S P A A n n S P A A A nS P A S S S S --=≤<≤--≤<<≤+===-=-==--==-==-+-+-∑∑∑121121C (1)C (1)(1)C (1)k kn n kn n n n nnn--=---++--故所求概率为121121()1C (1)C (1)nk i i n ni P A n n=-=--+--+111(1)C (1)n n kn n n+----48.设随机试验中，某一事件A 出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则A 迟早会出现的概率为1. 【证】在前n 次试验中，A 至少出现一次的概率为1(1)1()n n ε--→→∞49.袋中装有m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，将它投掷r 次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？【解】设A ={投掷硬币r 次都得到国徽}B ={这只硬币为正品} 由题知 (),()m nP B P B m n m n==++ 1(|),(|)12r P A B P A B ==则由贝叶斯公式知()()(|)(|)()()(|)()(|)P AB P B P A B P B A P A P B P A B P B P A B ==+ 121212r rr m m m n m n m nm n m n+==++++ 50.巴拿赫（Banach ）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N 根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r 根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r 根的概率又【解】以B 1、B 2记火柴取自不同两盒的事件，则有121()()2P B P B ==.（1）发现一盒已空，另一盒恰剩r 根，说明已取了2n -r 次，设n 次取自B 1盒（已空），n -r 次取自B 2盒，第2n -r +1次拿起B 1，发现已空。

概率论与数理统计第一章课后答案

第5题
必然事件是指概率为1的事件，因此 C选项正确。
习题二答案与解析
1. C 答案
2. B
01
03 02
习题二答案与解析
01
3. D
02
4. A
03
5. B
习题二答案与解析
第1题
根据概率的加法公式，两个互斥事件之和的概率等于它们概率的和，因此C选项正确。
第2题
根据概率的乘法公式，两个独立事件同时发生的概率等于它们概率的乘积，因此B选项正确。
习题二答案与解析
01
02
第3题
第4题
根据概率的加法公式，两个对立事件之和的概率等于1减去它们的概率之和，因此D选项正确。
根据概率的加法公式，两个互斥且对立事件之和的概率等于1减去它们的概率之和，因此A选项正确。
03
第5题
根据概率的加法公式，两个独立事件同时发生的概率等于它们概率的乘积加上它们的概率之和减去它们同时发生的概率，因此B选项正确。
3. C 4. B 5. C
习题一答案与解析
第1题
根据概率的基本性质，任何事件的概率都介于0和1之间，因此A选项正确。
第2题
互斥事件是指两个事件不可能同时发生，因此D选项正确。
习题一答案与解析
第3题
独立事件是指一个事件的发生不受另一个事件是否发生的影响，因此C选
项正确。
第4题
不可能事件是指概率为0的事件，因此B选项正确。
概率论与数理统计的应用领域
金融
概率论与数理统计在金融领域中广泛应用于风险评估、投资组合优化和金融衍生品定价等方面。
医学
在医学领域，概率论与数理统计用于临床试验设计、流行病学研究、诊断和预后评估等方面。

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