复变函数与积分变换课后答案(张鸿艳版)

复变函数与积分变换第四章习题解答

= tat.�!:'(z-2)" -t (;,,2 (z -2)'
Zo
。 =2
I 一= Z z 2 3 及一 I- + -z +···,I Z I<) 。故 I+z
1 z-1 = 一 = z -1 I (z 1) 言 (z-1 +2) 了 l + 已 2
(6) arctan z, z =0
= 1+1 .
。
吕＝旱 [1- 子十 (T丁-···+(- 1t'(罕）'+
11=1 ln1n
1 ” a11+1 a n =0 = lim n =lim (2) R=1/lim ; 11 ---'>«> 1---)00 1 II 00 n+ 1 a＂ all+ [
—
II
—
11
(1+ — )
千
(3) R= 1/lim /1---)00
(4) R =ll �
扣厂 lim1/ 11 + i I = 1/忒； ---'>
i'
00
0, 1，
3. 判断下列级数的绝对收敛性与收敛性：
2)
不存在，
lakl, 囡>l, a=l ，囡=l,a
;
.
=1=
1.
I 上－；
11=2 ln n
•fl
3)
解所以
C:,J
1)
• fl
I� 收敛，但－ n n=I n
oo n兀. n冗 — — " +isin , 由 i =cos 2 2 11=1 • 00·11 1 1 II,

复变函数与积分变换第四章习题解答

2!
3!
2!
3!
3!
5!
2
4
而收敛半径 R=扛'fJ •
而收敛半径 R=+oo;
(7)
z
而收敛半径 R=l 。
cos 土 ==1- 上 (z+z2 + z3 + .. 一上 (z+z2 +z3 + ...r +... =1-2. z2 - z 3 +...' I zI< 1 I 1-z 2 4! 2
＇
In n
1
n
1
4)因 cos in= cbn,
( 1)每一个幕级数在它的收敛圆周上处处收敛；
4. 下列说法是否正确？为什么？
而lim—-=1=0,
II�")
chn
2"
故
cosm 2 — " 发散。 11=2 2
00
(2)每一个幕级数的和函数在收敛圆内可能有奇点；
解 (1)不对。如Iz"在收敛圆lzl < 1内收敛，但在收敛圆周日=l上井不收敛； (3)不对。如八 z) 三在全平面上连续，但它在任何点的邻域内均不能展开成 Taylor 级 5幕级数LC11 (z-2)" 能否在z=0收敛而在z=3发散？
=
＝早－（于)2 f （）
11=]
一I
干是收敛半径 R=2 。 (2)因
(-1t z-1 "' "
2
+ ... + ( -1 y,-1
(早厂
lz-11<2
l
及
飞(z�2 一言） = z�2 一士 2 = = 1-'� 厂; J- J [ =』 z�2 4 +(:-2i ± + � 2 �

复变函数与积分变换习题解答

练习一1．求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。

（1）i ii i 524321----；解：i iii 524321---- =i 2582516+zk k Argz z z z ∈+====π221arctan 2558258Im 2516Re（2）3)231(i + 解： 3)231(i +zk k Argz z z z e i i∈+===-=-==+=πππππ210Im 1Re 1][)3sin3(cos3332．将下列复数写成三角表示式。

1）i 31- 解：i 31-)35sin 35(cos2ππi +=（2）i i +12 解：i i +12 )4sin4(cos21ππi i +=+=3．利用复数的三角表示计算下列各式。

（1）i i2332++- 解：i i 2332++- 2sin2cosππi i +==（2）422i +-解：422i +-41)]43sin 43(cos 22[ππi +=3,2,1,0]1683sin 1683[cos 2]424/3sin ]424/3[cos 28383=+++=+++=k k i k k i k ππππππ4．.设321,,z z z 三点适合条件：321z z z ++=0，,1321===z z z 321,,z z z 是内接于单位圆z =1的一个正三角形的项点。

证：因,1321===z z z 所以321,,z z z 都在圆周32z z ++=0则,321z z z -=+1321=-=+z z z ，所以21z z +也在圆周1=z 上，又,12121==-+z z z z 所以以0，211,z z z +为顶点的三角形是正三角形，所以向量211z z z +与之间的张角是3π，同理212z z z +与之间的张角也是3π，于是21z z 与之间的张角是32π，同理1z 与3z ，2z 与3z 之间的张角都是32π，所以321,,z z z 是一个正三角形的三个顶点。

高等教育出版社《复变函数》与《积分变换》第四版课后习题参考答案

26 7
−
π
+
2kπ
= arctan 26 + (2k −1)π ,
7
k = 0,±1,±2," .
( ) ( ) （4） i8 − 4i21 + i = i2 4 − 4 i2 10i + i = (−1)4 − 4(− )1 10i + i
所以
= 1 − 4i + i = 1 − 3i
{ } { } Re i8 − 4i21 + i = 1, Im i8 − 4i21 + i = −3
习题一解答
1．求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角。
（1） 1 ；（2）1 − 3i ；（3） (3 + 4i)(2 − 5i) ；
3 + 2i
i 1−i
2i
解
（1）
1 3 + 2i
=
(3
+
3 − 2i
2i)(3 −
2i)
=
1 13
(3
−
2i)
所以
（4）i8 − 4i 21 + i
Re⎨⎧ ⎩3
2）如果 R(z) 为 1）中的有理分式函数，但具有实系数，那么 R(z ) = X − iY ；
3）如果复数 a + ib 是实系数方程
a0 zn + a1zn−1 +" + an−1z + an = 0
的根，那么 a − ib 也是它的根。
证 1） R(z) = P(z) = P(z)Q(z) = Re(P(z)Q(z)) + Im(P(z)Q(z)) ;
3i 1−

复变函数与积分变换答案马柏林李丹横晏华辉修订版,习题2

习题二1、求映射1w z z =+下圆周||2z =的像、解:设i ,i z x y w u v =+=+则 2222221i i i i i()i x y x y u v x y x y x y x y x y x y x y -+=++=++=++-++++ 因为224x y +=,所以53i 44u iv x y +=+ 所以 54u x =,34v y =+ 5344,u v x y == 所以()()2253442uv +=即()()222253221u v +=,表示椭圆、2、在映射2w z =下,下列z 平面上的图形映射为w 平面上的什么图形,设e i w ϕρ=或i w u v =+、(1)π02,4r θ<<=; (2)π02,04r θ<<<<; (3) x=a, y=b 、(a, b 为实数) 解:设222i ()2i w u v x iy x y xy =+=+=-+所以22,2.u x y v xy =-=(1) 记e i w ϕρ=,则π02,4r θ<<=映射成w 平面内虚轴上从O 到4i 的一段,即 π04,.2ρϕ<<=(2) 记e i w ϕρ=,则π0,024r θ<<<<映成了w 平面上扇形域,即π04,0.2ρϕ<<<<(3) 记w u iv =+,则将直线x =a 映成了22,2.u a y v ay =-=即2224().v a a u =-就是以原点为焦点,张口向左的抛物线将y =b 映成了22,2.u x b v xb =-=即2224()v b b u =+就是以原点为焦点,张口向右抛物线如图所示、3、求下列极限、(1) 21lim 1z z →∞+; 解:令1z t=,则,0z t →∞→、于就是22201lim lim 011z t t z t →∞→==++、 (2) 0Re()lim z z z→; 解:设z =x +y i,则Re()i z x z x y=+有 000Re()1lim lim i 1i z x y kx z x z x kx k →→=→==++ 显然当取不同的值时f (z )的极限不同所以极限不存在、 (3) 2lim (1)z i z i z z →-+; 解:2lim (1)z i z i z z →-+=11lim lim ()()()2z i z i z i z i z z i z i z →→-==-+-+、(4) 2122lim 1z zz z z z →+---、解:因为222(2)(1)2,1(1)(1)1zz z z z z z z z z z +--+-+==-+-+ 所以2112223lim lim 112z z zz z z z z z →→+--+==-+、4、讨论下列函数的连续性: (1) 22,0,()0,0;xy z x y f z z ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩解:因为220(,)(0,0)lim ()limz x y xy f z x y →→=+, 若令y =kx ,则222(,)(0,0)lim1x y xy k x y k →=++, 因为当k 取不同值时,f (z )的取值不同,所以f (z )在z =0处极限不存在、从而f (z )在z =0处不连续,除z =0外连续、 (2) 342,0,()0,0.x y z f z x y z ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩解:因为33422022x y x x y x y x y ≤≤=+, 所以342(,)(0,0)lim 0(0)x y x y f x y →==+ 所以f (z )在整个z 平面连续、5、下列函数在何处求导？并求其导数、(1) 1()(1)n f z z -=- (n 为正整数);解:因为n 为正整数,所以f (z )在整个z 平面上可导、1()(1)n f z n z -'=-、 (2) 22()(1)(1)z f z z z +=++、解:因为f (z )为有理函数,所以f (z )在2(1)(1)0z z ++=处不可导、从而f (z )除1,i z z =-=±外可导、2222232222(2)(1)(1)(1)[(1)(1)]()(1)(1)2543(1)(1)z z z z z z f z z z z z z z z ''+++-+++'=++-+++=++ (3) 38()57z f z z +=-、解:f (z )除7=5z 外处处可导,且223(57)(38)561()(57)(57)z z f z z z --+'==---、 (4) 2222()i x y x y f z x y x y +-=+++、解:因为2222222i()i i(i )(i )(1i)(1i)1i ()x y x y x y x y x y z f z x y x y x y z z++--+--+++=====+++、所以f (z )除z =0外处处可导,且2(1i)()f z z+'=-、6、试判断下列函数的可导性与解析性、(1) 22()i f z xy x y =+;解:22(,),(,)u x y xy v x y x y ==在全平面上可微、22,2,2,y u v v y xy xy x x y x y∂∂∂∂====∂∂∂∂ 所以要使得u v x y ∂∂=∂∂, u v y x∂∂=-∂∂, 只有当z =0时,从而f (z )在z =0处可导,在全平面上不解析、(2) 22()i f z x y =+、解:22(,),(,)u x y x v x y y ==在全平面上可微、2,0,0,2u u v v x y x y x y∂∂∂∂====∂∂∂∂ 只有当z =0时,即(0,0)处有u v x y ∂∂=∂∂,u v y y∂∂=-∂∂、所以f (z )在z =0处可导,在全平面上不解析、(3) 33()23i f z x y =+;解:33(,)2,(,)3u x y x v x y y ==在全平面上可微、226,0,9,0u u v v x y x y x y∂∂∂∂====∂∂∂∂=时,才满足C-R 方程、从而f (z )0=处可导,在全平面不解析、 (4) 2()f z z z =⋅、解:设i z x y =+,则23232()(i )(i )i()f z x y x y x xy y x y =-⋅+=+++ 3232(,),(,)u x y x xy v x y y x y =+=+22223,2,2,3u u v v x y xy xy y x x y x y∂∂∂∂=+===+∂∂∂∂ 所以只有当z =0时才满足C-R 方程、从而f (z )在z =0处可导,处处不解析、7、证明区域D 内满足下列条件之一的解析函数必为常数、(1) ()0f z '=;证明:因为()0f z '=,所以0u u x y ∂∂==∂∂,0v v x y∂∂==∂∂、所以u ,v 为常数,于就是f (z )为常数、(2) ()f z 解析、证明:设()i f z u v =-在D 内解析,则()u v u v x y x y∂∂-∂∂=⇒=-∂∂∂∂ ()u v v y x y∂-∂-∂==+∂∂∂ ,u v u v x y y x∂∂∂∂=-=∂∂∂∂ 而f (z )为解析函数,所以,u u u v x y y x ∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 所以,,v v v v x x y y ∂∂∂∂=-=-∂∂∂∂即0u u v v x y x y∂∂∂∂====∂∂∂∂ 从而v 为常数,u 为常数,即f (z )为常数、(3) Re f (z )=常数、证明:因为Re f (z )为常数,即u =C 1, 0u u x y∂∂==∂∂ 因为f (z )解析,C-R 条件成立。

(完整版)复变函数与积分变换习题答案

一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。

(1) i 解：2cossin22ii e i πππ==+(2) -1解：1cos sin i e i πππ-==+ (3)1+解：()/3122cos /3sin /3i e i πππ+==+ (4) 1cos sin i αα-+ 解：2221cos sin 2sin 2sincos2sin(sincos )2222222sincos()sin()2sin 222222i i i i i e πααααααααααπαπαα⎛⎫- ⎪⎝⎭-+=+=+⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭(5) 3z解：()3333cos3sin3i z r e r i θθθ==+ (6) 1i e +解：()1cos1sin1i i e ee e i +==+(7)11ii-+ 解：3/411cos3/4sin 3/411i i i i e i i i πππ--==-==+++二、计算下列数值(1) 解：1ar 21ar 21ar 2 b i ctg k a bi ctg abi ctgaπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==⎧⎪=⎨⎪⎩(2)解：6226363463222i k i i i i e i ee e iπππππππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎧=+⎪⎪⎪⎨====-+⎪⎪⎪=-⎩(3) i i 解：()2222ii k k i i e eππππ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==(4)解：()1/2222ii k k eeππππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==(5) cos5α解：由于：()()552cos5i i e e ααα-+=，而：()()()()()()()()5555555555cos sin cos sin cos sin cos sin nni nn nni n n e i C i e i C i αααααααααα-=--==+==-=-∑∑所以：()()()()()()()()()()()555505555043253543251cos5cos sin cos sin 21 cos sin 112 5cos sin cos sin cos 5cos sin 10cos sin cos n n n nn n n n nn n C i i C i i C i ααααααααααααααααα--=--=⎡⎤=+-⎣⎦⎡⎤=+-⎣⎦=++=-+∑∑(6) sin5α解：由于：()()552sin 5i i ee ααα--=，所以：()()()()()()()()()()()()55550555505234245552341sin 5cos sin cos sin 21 cos sin 1121 sin cos sin sin cos sin 10cos sin 5sin cos n n n nn n n n nn n C i i i C i i i C i C i iααααααααααααααααα--=--=⎡⎤=--⎣⎦⎡⎤=--⎣⎦=++=-+∑∑ (7) cos cos2cos n ααα+++L L 解：()()221cos cos 2cos ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e ααααααααααααααααααααααα----------⎡⎤+++=+++++++⎣⎦⎡⎤--+--⎡⎤--⎢⎥=+=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎣⎦+=L L L L L L (1)(1)22(1cos )12cos 22cos(1)2cos cos 1cos(1)cos 22(1cos )2(1cos )1sin()sin22 2sin2i i n i n in in e e e e n n n n n ααααααααααααααααα+-+-⎡⎤---++⎢⎥-⎣⎦⎡⎤--++--++==⎢⎥--⎣⎦+-=(8) sin sin 2sin n ααα+++L L 解：()()221sin sin 2sin ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e i e e e e e e e e e e i e e i e i αααααααααααααααααααααα---------⎡⎤+++=+++-+++⎣⎦⎡⎤-----⎡⎤--⎢⎥=-=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎣⎦=L L L L L L (1)(1)112(1cos )12sin 2sin(1)2sin sin sin(1)sin 22(1cos )2(1cos )1cos()cos22 2sin2i n in i i n in e e e e e i i n i n n n i n αααααααααααααααααα+--+-⎡⎤--+-++-⎢⎥-⎣⎦⎡⎤-++-++==⎢⎥--⎣⎦-++=1.2 复变函数1、试证明函数f (z )=Arg(z ) (-π<Arg(z) ≤π)，在负实轴上(包括原点)不连续。

高等教育出版社《复变函数》与《积分变换》第四版课后习题参考答案

⎝ 12
12 ⎠
6 2ei5π / 4 = 6 2⎜⎛ cos 5π + i sin 5π ⎟⎞ 。
⎝4
4⎠
15．若 (1+ i)n = (1− i)n ，试求 n 的值。
5
解由题意即 ( 2eiπ / 4 )n = ( 2e−iπ / 4 )n , einπ / 4 = e−inπ / 4 ， sin n π = 0 ， 4
+
2kπ
= − arctan 5 + 2kπ, 3
k = 0,±1,±2,".
（3）
(3
+
4i)(2
2i
−
5i)
=
(3
+
4i)(2 − (2i)(−
5i)(− 2i)
2i)
=
(26
−
7i)(−
4
2i)
所以
= −7 − 26i = − 7 −13i
2
2
Re⎨⎧ (3
+
4i)(2
−
5i)⎫
⎬
=
−
7
，
⎩ 2i ⎭ 2
Im⎨⎧ ⎩
(3
+
4i)(2
2i
−
5i)⎫
⎬ ⎭
=
−13
，
1
⎡ ⎢ ⎣
(3
+
4i)(2
2i
−
5i)⎤
⎥ ⎦
=
−
7 2
+
l3i
(3 + 4i)(2 − 5i) = 5 29 ，
2i
2
Arg⎢⎣⎡ (3
+
4

复变函数的积分习题与解答

第三章复变函数的积分习题与解答(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第三章复变函数的积分习题与解答如果函数()f z 是在【1】单连通区域；【2】复通区域中的解析函数，问其积分值与路径有无关系【答案单连通无关，复连通有关】计算积分 3||21z z =-⎰的值【答案 0】计算积分 22d L zz a -⎰:其中0a >．设 L 分别为（1）(1)||/2; ||; (3)||z a z a a z a a =-=+=【答案 (1)0；（2）πi a ； (3)πia -】计算积分 Im d C z z ⎰，其中积分曲线C 为（１）从原点到2i +的直线段；（２）上半圆周 ||1z =，起点为1，终点为1-；（３）圆周|| (0)z a R R -=>的正方向（逆时针方向）【答案 2(1)1i /2;(2)π/2;(3)πR +--】计算积分 d ||C z z z ⎰的值，(1)||2; (2)||4;z z ==【答案(1)4πi;(2)8πi 】计算积分的值 π2i 0cos d 2z z +⎰【答案 1/e e +】计算下列积分的值（1） ||1d cos z z z =⎰；（2）2||2d z ze z =⎰21||1||12i d d (3); (4)24()(2)z z z z z z z z ==++++⎰⎰ 【答案（1）0；（2） 0；（3） 0；（4） 4πi4i +】计算 2||2||232|i|1||1522||1|i|2(1)d ; (2)d ;3(1)(21)cos (3)d ; (4)d (i)(2)d (5)d ; (6)(4)z z z zz z z z z e z z z z z z z e z z z z z e z z z z z ==-===-=--+--+⎰⎰⎰⎰⎰⎰【答案（1）0；（2）0；（3）πicosi -；（4）3πi 2-；（5）πi 12（6）π8-】计算积分（1）π61i i 000(1)sin d ; (2)ch3d ; (3)(1)d z z z z z z z e z --⎰⎰⎰【答案13(1)sin1cos1; (2)i; (3)1cos1i[sin(1)1]--+-】计算复数 123cos (1)d C C z z z +⎰，其中1:||2C z =顺时针方向；2:||3C z =逆时针方向．（2）3||1d ()zz e z z a =-⎰，其中复常数||1a ≠【答案（1） 0；（2）当||1,0;||1,πi a a a e ><】设L 为不经过点b 和b -的简单正向（逆时针）曲线，b 为不等于零的任何复数，试就曲线L 与b 的各种可能计算积分的值．d ()()L z I z z b z b =+-⎰【答案（1）L 不含b ±，则I=0;（2）L 含b ，πi b I =；L 含b -，πi b I =-；（3）两点在内部 0I =】已知 π3||2()d e h z z ξξξξ==-⎰，试求(i),(i)h h -，以及当||2z >时，()h z '的值. 【 ()π(i);(i)i);||2,()0h i h z h z '=-=>=】计算积分 3d ()zC ze z z a -⎰，其中常数a 在闭曲线C 内部【答案 1(2)2aa e +】设 C 为正向圆周1=z ，且||1a ≠，证明：积分222π1||22π||1||1 (||1)|d ||| (||1)a z a a z z a a -=-<⎧⎪=⎨->⎪⎩⎰利用积分 ||1d 2z z z =+⎰的值，证明2π012cos d 054cos θθθ+=+⎰计算积分 2|||d |,(||)||z r z a r z a =≠-⎰（提示：令i i :|d |d ,r z c z re z z θ=⇒=注意到点2,ra a 是关于圆周||z r =的对称点） .已知2πsin 4()d f z z ζζζζ==-⎰求(12i),(1),(1)f f f '-．计算积分（2）2||1cos d z z z z e z =⎰本章计算机仿真编程计算机仿真编程验证的积分结果2π012cos d 054cos θθθ+=+⎰计算机仿真计算下列积分的值（沿非闭合路径的积分） π63πi i i 2123πi 00(1)d ; (2)ch3d ; (3)(1)d ;z z I e z I z z I z e z --===-⎰⎰⎰i4211tan (4)d ,cos z I z z +=⎰其积分的路径为沿1到i 的直线段． (说明：沿闭合路径的积分可以利用留数的定义，留数定理来计算；而留数可以利用计算机仿真编程Matlab 直接求解)。