上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高一下期中考试数学试题(简答)
华东师范大学第二附属中学2018-2019学年第二学期
高一期中考试数学试题
一、填空题(每小题4分,共40分) 1.2019°是第________象限.
2.已知角α终边经过点P ()，
，32-则=αsin ________. 3.已知，2tan =α则
=++α
αα
αcos 2sin 5cos sin 3_________.
4.函数x y cos =的定义城为_______.
5.已知()，ππ，，π⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=-233
1
cos αα则=⎪⎭
⎫
⎝⎛-
2cot πα______. 6.已知αα，54sin =
在第二象限，则=2
tan α
_______. 7.方程x x 2cos 24sin 5+=的解集为________.
8.已知，π⎪⎭⎫ ⎝⎛
-
=4sin sin 2αα则=⎪⎭⎫
⎝
⎛-8tan πα______. 9.将函数x y 2sin =的图像先沿x 轴向左平移
6
π
个单位，再将所有点的横坐标伸长到原来 的2倍(纵坐标不变)后得到函数()x f y =图像，对于函数()x f y =有以下四个判断:
①该函数的解析式为⎪⎭
⎫ ⎝⎛+
=6sin πx y ； ②该函数图像关于点⎪⎭
⎫ ⎝⎛03，
π对称； ③该函数在⎥⎦
⎤⎢⎣⎡60π，上是增函数；
④若函数()a x f y +=在⎥⎦
⎤⎢⎣⎡20π，上的最小值为1,则.2
1=
a 其中正确判断的序号是_________(写出所有正确判断的序号).
10.已知△ABC 中，，C B A A C B sin sin sin 2sin 2sin 3sin 72
22+=+则=⎪⎭
⎫
⎝⎛
-
4cos πA ____.
二、选择题(每小题4分,共16分) 11.如果α是第三象限的角，那么
3
α
必然不是下列哪个象限的角 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
12.函数⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈+=
31313arcsin 2，πx x y 的反函数是 A.[]()，π0sin 31∈=
x x y B.[]()，π0cos 31
∈=x x y C.[]()，π0sin 3
1∈-=x x y D.[]()，π0cos 3
1∈-=x x y
13.在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别为，、、c b a 已知，c B a =cos 2且满足：
()，2
1
2sin cos 2sin sin 2
+=-C C B A 则△ABC 是 A.锐角非等边三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 C.钝角三角形 14.已知函数()()ϕ+=x x f 3cos 满足()()1f x f ≤恒成立,则()
A.函数()1-x f 一定是奇函数
B.函数()1+x f 一定是奇函数
C.函数()1-x f 一定是偶函数
D.函数()1+x f 一定是偶函数
三、解答题(共44分) 15.(本小题满分8分) 已知.3
2cos sin =
+αα (1)求ααcos sin 的值；
(2)若α为第二象限的角，求
()()
αα---ππ2cos 1
sin 1的值。
16.(本小题满分12分)
已知函数()()ϕω+=x A x f sin (其中2
000π
＜＜，＞，＞ϕωA )的相邻对称轴之间的距离为，π2且该函数图像的一个最高点为.212⎪⎭
⎫
⎝⎛，
π (1)求函数()x f 的解析式和单调递增区间；
(2)若，π，⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈40x 求函数()x f 的最大值和最小值。
如图，甲、乙两个企业的用电负荷量y 关于投产持续时间t (单位:小时)的关系()t f y =均近似地满足函数()()().000sin ＜π＜，＞，＞ϕωϕωA b x A t f ++= (1)根据图像,求函数()t f 的解析式；
(2)为使任意时刻两企业用电负荷量之和不超过9，现采用错峰用电的方式，让企业乙比企业甲推迟()0＞m m 小时投产,求m 的最小值。
在锐角△ABC 中，已知，，△613
5
cos ==ABC S A 若点D 是续段BC 上一点(不含端点)，过D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F. (1)若△AEF 外接圆的直径长为，4
13求EF 的值； (2)求BC 的取值范围；
(3)问点D 在何处时，△DEF 的面积最大?最大值为多少?。
2019-2020学年上海市华东师范大学第二附属中学高一下学期期中数学试题(解析版)
绝密★启用前2019-2020学年上海市华东师范大学第二附属中学高一下学期期中数学试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．设｛a n ｝是等比数列，则“a 1＜a 2＜a 3”是数列｛a n ｝是递增数列的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件、 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：C 解：1212311101a a a a a a q a q q >⎧<<⇒<<⇒⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩，所以数列｛a n ｝是递增数列若数列{a n }是递增数列，则“a 1＜a 2＜a 3”，因此“a 1＜a 2＜a 3”是数列｛a n ｝是递增数列的充分必要条件，选C2． 如图所示，在直角三角形ABC 中，A ∠为直角，以B 为圆心，AB 为半径作圆弧交BC 于点D ，若»AD 将ABC V 的面积分成相等的两部分，设ABC α∠=（弧度），则（ ）A ．sin 2cos αα=B ．2sin cos αα=C ．t n a αα=D ．t n 2a αα=答案：D根据题意得到2ABC S S ∆=扇ABD ，再根据三角形的面积公式和扇形的面积公式即可得到答案. 解：解：因为»AD 将ABC V 的面积分成相等的两部分， 所以，2ABC S S ∆=扇ABD所以，»11222AD AB AC l AB ⋅⋅=⋅⋅⋅, 所以，11tan 222AB AB AB AB αα⋅⋅=⋅⋅⋅⋅，化简得：tan 2αα=. 故选：D. 点评：本题主要考查扇形的面积公式、弧长公式，考查学生的计算能力和转化思想，属于基础题.3．在ABC ∆中，tan A 是以-4为第三项，-1为第七项的等差数列的公差，tan B 是以12为第三项，4为第六项的等比数列的公比，则该三角形的形状是( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均错答案：B本题首先可以根据“t nA a 是以4-为第三项，1-为第七项的等差数列的公差”计算出t nA a 的值，然后可以根据“tanB 是以12为第三项，4为第六项的等比数列的公比”计算出tanB 的值，然后根据t nA t nB a a 、的值计算出tanC 的值，最后根据t nA t nB t nC a a a 、、的值得出A B C 、、的取值范围，最终得出结果．解：因为t nA a 是以4-为第三项、1-为第七项的等差数列的公差，所以143t nA 44a -+==， 因为tanB 是以12为第三项、4为第六项的等比数列的公比，所以tanB 2==， 因为A B C 、、是ABC V 的内角，所以()()t nA tanBtanC tan 180tan 1t nA tanBa A B A B a ︒+=--=-+=--n3211432124+=-=-n， 因为t nA t nB t nC a a a 、、都大于0，所以A B C 、、都属于()090︒、，所以ABC V 是锐角三角形．故选B ． 点评：本题主要考查三角函数，考查正切函数的相关性质以及三角恒等变换公式的运用，考查推理能力．如果三个角A B C 、、在三角形内，则有A B C 180︒++=．4．已知ABC V 中，cot A 、cot B 、cot C 成等差数列，则以下结论中正确的是（ ） A ．角B 有最大值 B ．角B 有最小值 C ．ABC V 为锐角三角形 D ．ABC V 为钝角三角形答案：A先根据等差数列性质列等量关系，再根据两角和正弦公式、正弦定理以及余弦定理化得边的关系，最后根据余弦定理确定角B 范围，结合范围判断选择. 解：因为cot A 、cot B 、cot C 成等差数列， 所以2cos cos cos 2cos sin()2cot cot cot sin sin sin sin sin sin B A C B A C B A C B A C B A C+=+∴=+∴=2cos sin sin sin sin B B B A C∴=222222222cos 2ac B b a c b b a c b ∴=∴+-=∴+=222221cos 242a c b a c B ac ac +-+∴==≥（当且仅当a c =时取等号）(0,)(0,]3B B ππ∈∴∈Q ，因此角B 有最大值，无最小值当ABC V 为正三角形时满足题意，所以排除D当22222222cos 0(,)2222b bc a c b c A A bc bc ππ+--<⇒==<⇒∈即ABC V 为钝角三角形，也满足题意，所以排除C 故选：A 点评：本题考查正弦定理、余弦定理、等差数列性质以及两角和正弦公式，考查基本分析转化判断能力，属中档题.二、填空题5．已知2020θ=︒，则θ的终边在第________象限 答案：三利用终边相同的角的公式{}360,S k k Z ββα==+⋅∈o化简可得. 解：2020θ=︒Q ,2020=5360+220θ∴=︒⨯o o220o Q 在第三象限，2020θ=︒在第三象限.故答案为：三 点评：本题考查终边相同的角所在的象限.所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：{}360,S k k Z ββα==+⋅∈o 或{}2,S k k Z ββαπ==+∈．6．已知θ的终边在第三象限，且1cos 3θ=-，则3cos()2πθ-=________先由条件可得sin 3θ=-，再由诱导公式可得3cos()sin 2πθθ-=-，得出答案.解：θ的终边在第三象限，且1cos 3θ=-，则sin 3θ===-3cos()cos 2cos sin 2223πππθπθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--=+=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦点评：本题考查同角三角函数的基本关系和诱导公式，解题时注意角的范围，属于基础题. 7．已知等差数列{}n a 中，202020a =，202020a =，则该等差数列的公差的大小为________答案：1-利用等差数列的性质直接求解． 解：解：等差数列{}n a 中，202020a =，202020a =，∴20120201192020201920a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得12039a =，1d =-． 故答案为：1-． 点评：本题考查等差数列的公差的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．8．若函数()sin()6f x x πωπ=-(0)>ω的最小正周期为15，则1()3f =________ 答案：12-根据周期公式可求出ω，即可得到解析式，从而可求出1()3f ． 解： 因为215T πωπ==，所以10ω=，即()sin(10)6f x x ππ=-，∴1101()sin sin 3sin 336662f πππππ⎛⎫⎛⎫=-=+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故答案为：12-． 点评：本题主要考查周期公式，诱导公式的应用，以及三角函数求值，属于容易题． 9．已知公比为q (0)q >的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2223S a =+，4423S a =+，则3a =________答案：12-用两个已知等式相减可得3422a a a =-，再用等比数列的通项公式可解得2q =，再利用2223S a =+可解得13a =-，最后利用等比数列的通项公式可解得312a =-. 解：由题意可得34424222a a S S a a +=-=-，即3422a a a =-，所以231112a q a q a q =-，因为10a ≠，0q >，所以220q q --= ，解得2q =或1q =-（舍去），由2223S a =+得12223a a a +=+，得123a a =+， 所以113a a q =+，即1123a a =+，解得13a =-，所以2313412a a q ==-⨯=-.故答案为：12-. 点评：本题考查了等比数列通项公式的应用，考查了等比数列的前n 项和，属于基础题. 10．已知α，β均为锐角，4cos 5α=，1tan()3αβ-=-，则cos β=_____．先求得tan α的值，然后求得tan β的值，进而求得cos β的值. 解：由于α为锐角，且4cos 5α=，故3sin 5α==，sin 3tan cos 4ααα==.由()tan tan 1tan 1tan tan 3αβαβαβ--==-+⋅，解得13tan 9β=，由于β为锐角，故cos β====. 点评：本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正切公式，属于中档题. 11．若数列{}n a 的通项公式为cos2n n a n π=⋅()n ∈*N ，其前n 项和为n S ，则2020S =________答案：1010结合三角函数周期性，利用分组求和方法得结果. 解： 因为cos2n y π=的周期为4 所以2020(10213041)(50617081)S =⨯-⨯+⨯+⨯+⨯-⨯+⨯+⨯+L(20170201812019020201)+⨯-⨯+⨯+⨯22225051010=+++=⨯=L故答案为：1010点评：本题考查三角函数周期性以及分组求和法求和，考查基本分析求解能力，属基础题. 12．已知函数11()[sin ][sin ][sin ]23f x x x x =++++，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则()f x 的值域为________ 答案：{3,2,1,0,1,2,3}---由正弦函数的值域可知，[]sin 1,1x ∈-，即可根据题意，依据11121,,,0,,,12323---七个分段点分类讨论，即可求出． 解：当sin 1x =-时，()()1113y =-+-+-=-； 当1sin 1,2x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()()1113y =-+-+-=-； 当1sin 2x =-时，()1012y =-++-=-； 当11sin ,23x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()1012y =-++-=-； 当1sin 3x =-时，1001y =-++=-；当1sin ,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，1001y =-++=-；当sin 0x =时，0000y =++=； 当1sin 0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0000y =++=； 当1sin 2x =时，0101y =++=； 当12sin ,23x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0101y =++=； 当2sin 3x =时，0112y =++=； 当2sin ,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0112y =++=； 当sin 1x =时，1113y =++=．所以函数()f x 的值域为{3,2,1,0,1,2,3}---．故答案为：{3,2,1,0,1,2,3}---． 点评：本题主要考查高斯函数的理解和运用，以及正弦函数的值域的应用，意在考查学生分类讨论思想的应用能力，属于基础题．13．如图所示，三个全等的三角形ABF V 、BCD V 、CAE V 拼成一个等边三角形ABC ，且DEF V 为等边三角形，2EF AE =，设ACE θ∠=，则sin 2θ=________73设()0AE k k =>，则2EF k =，由题意可得3CAE πθ∠=-，3CE k =，在CAE V 中，运用正弦定理可得3tan θ=，结合22tan sin 2tan 1θθθ=+可得结果. 解：设()0AE k k =>，则2EF k =，由ACE θ∠=， 由于三角形ABF V 、BCD V 、CAE V 全等， ∴FAB θ∠=，CD k =，2DE k =， 又∵ABC V 为等边三角形，∴3CAE πθ∠=-，在CAE V 中，由正弦定理可得：sin sin AE CE ACE CAE=∠∠，即3sin sin 3kkπθθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，313sin cos sin 22θθθ=-， 化简得3tan 7θ=， ∴222322sin cos 2tan 737sin 23sin cos tan 126149θθθθθθθ====+++，故答案为：26. 点评：本题主要考查了利用正弦定理解三角形，利用正切求齐次式的值，属于中档题. 14．若函数()sin cos2f x a x x =+在区间(0,)n π()n ∈*N 内恰有2019个零点，则n =________答案：1346根据零点的定义可知，方程()sin cos20f x a x x =+=，即2sin 2sin 1a x x =- 在(0,)n π内有有2019个根，显然sin 0x =不满足方程，所以12sin sin a x x=- 令sin t x =，再研究直线y a =与函数12y t t=-的交点个数，即可解出． 解：令()sin cos20f x a x x =+=，即有2sin 2sin 1a x x =-，因为sin 0x =不满足方程，所以12sin sin a x x =-，令[)(]sin 1,00,1t x =∈-U ，∴12a t t=-．∵函数12y t t =-在[)1,0-上递增，在(]0,1上递增，由图象可知，直线y a =与函数12y t t=-的图象至少有一个交点．当1a >时，直线y a =与函数12y t t=-的图象只有一个交点，此时()1,0t ∈-，sin t x =在一个周期()0,2π内的(),2ππ上有两个解，所以在区间(0,)n π()n ∈*N 内不可能有奇数个解；当1a <-时，同理可得，在区间(0,)n π()n ∈*N 内不可能有奇数个解；当11a -<<时，直线y a =与函数12y t t=-的图象有两个交点，一个()11,0t ∈-，一个()20,1∈t ，所以sin t x =在一个周期()0,2π内，()0,π有两个解，(),2ππ有两个解，所以在区间(0,)n π()n ∈*N 内不可能有奇数个解；当1a =-时，直线y a =与函数12y t t=-的图象有两个交点，一个()10,1t ∈，一个21t =-，所以sin t x =在一个周期()0,2π内，()0,π有两个解，(),2ππ有一个解，即一个周期()0,2π内有三个解，所以20193673÷=，即67321346n =⨯=． 当1a =时，同理可得，1346n =． 故答案为：1346．点评：本题主要考查根据函数的零点个数求参数，二倍角公式的应用，考查转化思想，分类讨论思想和数形结合思想的应用，属于较难题．三、解答题15．已知函数2()3sin(2)2sin ()612f x x x ππ=-+-()x ∈R .（1）求函数()f x 的单调递减区间； （2）求使得()f x 取得最大值时x 的集合. 答案：（1）减区间为511[,]1212k k ππππ++，k ∈Z （2）5{|,}12x x k k ππ=+∈Z（1）利用两角差的三角公式化简函数的解析式，在根据正弦函数的性质计算可得． （2）当()f x 取最大值时，sin(2)13x π-=，22()32x k k Z πππ-=+∈，解出x 即得所求．解：解：（1）因为2()3sin(2)2sin ()612f x x x ππ=-+-所以()3sin(2)1cos2()612f x x x ππ=-+--312)cos(2)1626x x ππ⎡⎤=---+⎢⎥⎣⎦2sin[(2)]166x ππ=--+ 2sin 213x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭即()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭由3222232k x k πππππ+-+剟，k Z ∈ 解得5111212k x k ππππ++剟，k Z ∈ 所以函数()f x 的单调递减区间为511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．（2）当()f x 取最大值时，sin(2)13x π-=，此时22()32x k k Z πππ-=+∈，即5()12x k k Z ππ=+∈， 所以所求x 的集合为5,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭． 点评：本题考查三角函数的周期性和最值，求正弦函数的单调区间，化简函数的解析式，是解题的突破口，属于基础题．16．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，1a ＝1，且139,,a a a 成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项；(2)设2n an b =，求数列{}n b 的前n 项和S n . 答案：(1)a n ＝n . (2)S n ＝2n ＋1－2.解：(1)由题设知公差d ≠0，由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得121d +＝1812d d++， 解得d ＝1，d ＝0(舍去)，故{a n }的通项a n ＝1＋(n －1)×1＝n . (2)由(1)知2=2n a n n b =，由等比数列前n 项和公式得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n ＝()21212n --＝2n ＋1－2.点评：掌握等差、等比数列的概念及前n 项和公式是此类问题的关键．17．如图，岛A 、C相距海里．上午9点整有一客轮在岛C 的北偏西040且距岛C 10海里的D 处，沿直线方向匀速开往岛A ，在岛A 停留10分钟后前往B 市．上午9:30测得客轮位于岛C 的北偏西070且距岛C E 处，此时小张从岛C 乘坐速度为V 海里/小时的小艇沿直线方向前往A 岛换乘客轮去B 市．（Ⅰ）若(0,30]V ∈，问小张能否乘上这班客轮？（Ⅱ）现测得4cos 5BAC ∠=-，5sin 5ACB ∠=．已知速度为V 海里/小时((0,30]V ∈)的小艇每小时的总费用为(21502V V ++)元，若小张由岛C 直接乘小艇去B 市，则至少需要多少费用？答案：（Ⅰ）若小张9点半出发，则无法乘上这班客轮；（Ⅱ）若小张由岛C 直接乘小艇去B 市，其费用至少需16535元.（Ⅰ）在CDE ∆中，由余弦定理得DE ，进而得客轮的航行速度1V ，在ACE ∆中，由余弦定理得AE ，分别求出客轮和小张到岛A 所用的时间，比较即可；（Ⅱ）根据条件求得sin sin BAC B ∠，，再由正弦定理得，sin sin BC AC BAC B =∠，求得BC ，进而求得总费用为()215351150501535122f V V V V V V ⎫⎫=++=++⎪⎪⎝⎭⎭，利用基本不等式求最值即可.解：（Ⅰ）如图，根据题意得： 10CD =，103CE =，7AC =704030DCE ∠=-=o o o ．在CDE ∆中，由余弦定理得， ()222232cos 10103210103102DE CD CE CD CE DCE =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=,所以客轮的航行速度110220V =⨯=（海里/小时）．因为CD DE =，所以30DEC DCE ∠=∠=o ，所以18030150AEC ∠=-=o o o ．在ACE ∆中，由余弦定理得，2222cos AC AE CE AE CE AEC =+-⋅⋅∠， 整理得：2304000AE AE +-=，解得10AE =或40AE =-（不合舍去）．所以客轮从E 处到岛A 所用的时间1101202t ==小时， 小张到岛A所用的时间至少为2t ==小时． 由于2116t t >+， 所以若小张9点半出发，则无法乘上这班客轮.（Ⅱ）在ABC ∆中，4cos 5BAC ∠=-，sin ACB ∠=, 所以ACB ∠为锐角，3sin 5BAC ∠=，cos ACB ∠= 所以()()0sin sin 180sin sin cos cos sin B BAC ACB BAC ACB BAC ACB BAC ACB⎡⎤=-∠+∠=∠+∠=∠∠+∠∠⎣⎦34555525=⨯-⨯=. 由正弦定理得，sin sin BC AC BAC B=∠,所以3BC ==所以小张由岛C 直接乘小艇去城市B 的总费用为()2115050122f V V V V V V ⎫⎫=++=++≥⎪⎪⎝⎭⎭((]0,30V ∈)， 当且仅当1502V V =，即10V =时，()min f V =元）. 所以若小张由岛C 直接乘小艇去B市，其费用至少需元．18．若数列{}n a 共有k (,4)k k ∈≥*N 项，且同时满足120k a a a ++⋅⋅⋅+=，12||||||1k a a a ++⋅⋅⋅+=，则称数列{}n a 为()P k 数列.（1）若等比数列{}n a 为(4)P 数列，求1a 的值；（2）已知m 为给定的正整数，且2m ≥，①若公差为d (0)d >的等差数列{}n a 是(23)P m +数列，求公差d ；②若数列{}n b 的通项公式为1131212n n q n m b m nm n m-⎧≤≤⎪⎪=⎨-⎪+≤≤⎪⎩()n ∈*N ，其中常数1q <-，判断数列{}n b 是否为(2)P m 数列，并说明理由.答案：（1）14±；（2）①1(1)(2)d m m =++；②不是，详见解析 （1）根据新定义结合等比数列即可求出1a 的值；（2）①设等差数列的公差为d ，根据新定义以及等差数列的性质即可求出公差d 的值；②若数列{}n a 是(2)P m 数列，根据新定义，对m 的值分奇数和偶数两种情况讨论，即可判断出数列{}n a 是否为(2)P m 数列.解：（1）设等比数列的公比为q ，∵数列{}n a 为(4)P 数列，∴12340a a a a +++=，∴2310q q q +++=，即()()2110q q ++=，∴1q =-， 又∵12341a a a a +++=，∴141a =，解得114a =±； （2））①设等差数列的公差为d ，∵数列{}n a 是()23P m +数列，∴12230m a a a +++⋯+=，即()()1232320m a a m +++=， ∵()12322m m ++=+，∴12322m m a a a +++=，∴()2230m m a ++=，即20m a +=， 又∵12231m a a a +++⋯+=，且0d >，∴()()12134231m m m m a a a a a a ++++-++⋯++++⋯+=，即()()211m m d ++=，解得()()112d m m =++，∴等差数列{}n a 的公差为得()()112d m m =++；②若数列{}n a 是()2P m 数列，则有：1220m a a a ++⋯+=，1221m a a a ++⋯+=， ∵1**,1,3,12,12n n q n m n N a m n m n m n N -⎧≤≤∈⎪⎪=⎨-⎪+≤≤∈⎪⎩，且1q <-， ∴11(1)03124m q m m q -+⨯-=-（）， 11||(1)131||24m q m m q -+⨯+=-（）， 当m 为偶数时，在（）中，13101m q q -⨯<-，()1024m m +-<，所以（）不成立， 当m 为奇数时，由（）+（）得：11 311mm q q q q --+=--， 又∵1q <-，∴11 311m m q q q q -++=-+，解得21321m q q +=-， ∵()2m m ≥为奇数，∴14m q q +≥， ∴2431 2q q -≥，整理得：()()222110q q --≤，即21 12q ≤≤，与1q <-矛盾， 综上可知，数列{}n a 不是()2P m 数列.点评：本题主要考查了新定义，以数列为载体，又考查的等比数列和等差数列的性质，理解新定义是解题的关键，属于难题.。
上海市华东师范大学第二附属中学高一下学期期中数学试题(解析版)
一、填空题1．向量的单位向量是______. ()3,4a =【答案】34,55⎛⎫⎪⎝⎭【分析】利用结论：非零向量的单位向量为，可求得结果.aa a【详解】因为，则，()3,4a = 5a == 所以，向量的单位向量为. a()1343,4,555a a ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 故答案为：.34,55⎛⎫⎪⎝⎭2．若，，当实数k ＝______时，.()1,a k = ()4,b k k =- a b ⊥ 【答案】4或0【分析】根据垂直向量的坐标表示，列出关于的方程求解即可．k 【详解】因为，，且，()1,a k = ()4,b k k =- a b ⊥所以，解得或， 240k k -+=0k =4k =故答案为：4或0．3．函数的两条对称轴之间距离的最小值为______. sin 2y x =【答案】π2【分析】求出函数的对称轴即可求解.【详解】由已知条件得，Z ，即，Z ， π2π+2x k =k ∈ππ24k x =+k ∈因为相邻的两条对称轴之间的距离最小， 所以分别令，得，， 0k =1π4x =3π4x =即相邻的两条对称轴之间的距离最小值为， 3πππ442-=故答案为：. π24．已知，则_________ 1sin cos 2αα+=sin 2α=【答案】34-【分析】原式两边平方后，即可计算的值.sin 2α【详解】因为，两边平方后， 1sin cos 2αα+=， ()2221sin cos sin cos 2sin cos 1sin 24ααααααα+=++=+=所以. 3sin 24α=-故答案为：34-5．在等腰三角形中，已知顶角的余弦值是，则底角的余弦值是_________． 45【分析】设顶角为，底角为，先通过倍角公式求出，再利用求解即可. αβsin 2απcos cos 2αβ-⎛⎫= ⎪⎝⎭【详解】设顶角为，底角为，则，， αβ2παβ+=4cos 5α=又， 2πcos 12sin,0,222ααα⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭sin2α∴===. πcos cos sin 22ααβ-⎛⎫∴===⎪⎝⎭6．方程在区间上的解集为______.sin cos 2x x =[]0,π【答案】π5π,66⎧⎫⎨⎬⎩⎭【分析】利用二倍角公式化简并解方程即可求解. 【详解】由得， sin cos 2x x =2sin 12sin x x =-即，解得或， 22sin sin 10x x +-=sin 1x =-1sin 2x =因为，所以或， []0,πx ∈π6x =5π6所以方程在区间上的解集为,sin cos 2x x =[]0,ππ5π,66⎧⎫⎨⎬⎩⎭故答案为：.π5π,66⎧⎫⎨⎬⎩⎭7．将函数的图象向左平移个单位后得到得到函数图象关于点成中心对()sin 2y x ϕ=+4π4,03π⎛⎫⎪⎝⎭称，那么的最小值为__________．ϕ【答案】6π【分析】首先确定平移后函数的解析式，然后结合三角函数的特征整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可知平移之后的函数解析式为：，()sin 22cos 24y x x πϕϕ⎡⎤⎛⎫=++=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦函数图象关于点成中心对称，则：， 4,03π⎛⎫⎪⎝⎭()4232k k Z ππϕπ⨯+=+∈整理可得：， ()136k k Z πϕπ=-∈则当时，有最小值.2k =ϕ6π【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的对称中心及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．函数的最小正周期为____________．sin 1tan tan 2x y x x ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭【答案】2π【详解】解析：当时，，=2,x k k Z π∈sin 1tan tan 02x y x x ⎛⎫=+⋅= ⎪⎝⎭当时，，其中且，2,x k k Z π≠∈sin 1cos sin 1tan cos sin x x y x x x x -⎛⎫=+⋅= ⎪⎝⎭2x k ππ≠+2x k ππ≠+画出图象可得函数周期为．2π故答案为：.2π9．已知，都是定义在R 上的函数，若，其中m ，n 实数，则称()f x ()g x ()()()h x mf x ng x =+为，在R 上的生成函数.已知，，，，则()h x ()f x ()g x 1m =1n =-()sin f x x =()cos g x x =，在上的生成函数的单调增区间为______.()f x ()g x R ()h x【答案】,Zππ,π2k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦k ∈【分析】求出的周期及其奇偶性，在一个周期内判断函数的单调性，最后写出单调递增区间()h x 即可.【详解】由题意可知，()sin cos x x h x =-则， ()()()()sin cos πsin πcos πh x x x x x h x +=+=-=-+所以是函数的周期，π()h x 又∵， ()()()()sin cos sin cos x x x h h x x x =-----==∴函数为偶函数， ()h x当时，，π02x ≤≤()πsin cos sin cos 4h x x x x x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭此时函数的单调递增区间为，Z , πππ2π2π242k x k -≤-≤+k ∈解得，Z , π3π2π2π44k x k -≤≤+k ∈当时，单调递增区间为，故在上函数单调递增，0k =π3π,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦当时，，ππ2x ≤≤()πsin cos sin cos 4h x x x x x x ⎛⎫=-=+=+ ⎪⎝⎭此时函数的单调递减区间为，Z ， ππ3π2π+2π242k x k ≤+≤+k ∈解得，Z , π5π2π+2π44k x k ≤≤+k ∈当时，单调递减区间为，故在上函数单调递减，0k =π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦综上所述，函数的单调递增区间为,Z ,ππ,π2k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦k ∈故答案为：,Z .ππ,π2k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦k ∈10．已知向量的夹角为锐角，且满足、,a b a =b = ，都有成立，则的最小值为_______.{}(,)(,)|1,0x y x y xa yb xy ∈+=||1x y +≤a b ⋅v v 【答案】815【详解】分析：设单位向量的夹角为锐角，由，得,b aθ|1,0xa yb xy += ，由得出()()22152cos sin 16x y y θθ++=1x y +≤，令，得出，求不()()()222212cos [2cos sin ][]142sin x y y x y θθθθ-⎛⎫+++≥+= ⎪⎝⎭t cos θ=()()222116+41541t t -≥-等式的解集可得结果.详解：设向量的夹角为锐角，由，，得，∴,a bθ1xa yb += 0xy >22641664cos 1151515x y xy θ++=， ()222221644cos cos sin 115x xy y y θθθ+++=即；又，由柯西不等式得()()22152cos sin 16x y y θθ++=1x y +≤ ； ()()()222212cos [2cos sin ][]142sin x y y x y θθθθ-⎛⎫+++≥+= ⎪⎝⎭令，则，化简得， cos t θ=()()222116+41541t t -≥-26460110t t -+≤解得，所以，即的最小值为，故答案为．111416t ≤≤328cos 1515a b θ⋅=≥ a b ⋅ 815815点睛：本题考查了平面向量数量积与不等式的解法与应用问题，此题最大的难点在于构造柯西不等式，具有一定难度.二、单选题11．已知，则“”是“是直角三角形”的（ ） ABC A sin cos A B =ABC A A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】若，则或；若，则；由充分条件和必sin cos A B =2A B π+=2A B π=+2A π=sin cos A B ≠要条件的概念即可得解.【详解】若，则或，不能推出是直角三角形；sin cos A B =2A B π+=2A B π=+ABC A 若，则，所以是直角三角形不能推出;2A π=sin cos A B ≠ABC A sin cos A B =所以“”是“是直角三角形”的既不充分也不必要条件. sin cos A B =ABC A 故选：D .【点睛】本题考查了三角函数的性质和充分条件、必要条件的概念，属于基础题.12．为了使函数y ＝sin ωx (ω＞0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是( )． A ．98πB ．π C ．π D ．100π19721992【答案】B【详解】试题分析：因为，使y=sinωx （ω＞0）在区间[0，1]上至少出现50次最大值， 所以，49×T≤1，即≤1， 1419724πω⨯所以，ω≥π，故选B ． 1972【解析】本题主要考查正弦型函数的图象和性质． 点评：简单题，根据正弦型函数的图象和性质，确定应满足的条件．2πω13．已知函数，其中表示不超过x 的最大整数，下列关于说法正确的是()[]πsin 2f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭[]x ()f x （ ）①的值域为；②为奇函数；③为周期函数，且最小正周期；④()f x []1,1-12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()f x 4T =与的图像有且仅有两个公共点. ()f x 2y x =A ．①②③ B ．②④C ．③④D ．①③【答案】C【分析】利用函数的奇偶性、周期性以及取整的定义求解即可. 【详解】由已知条件得：当时，，； 10x -≤<[]1x =-()1f x =-当时，，；当时，，； 01x ≤<[]0x =()0f x =12x ≤<[]1x =()1f x =当时，，；当时，，；…；23x ≤<[]2x =()0f x =34x ≤<[]3x =()1f x =-则，()[]π4sin 42f x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭[][]()πππsin 4sin 222x x f x ⎛⎫⎛⎫+⨯== ⎪ ⎪⎝⎭=⎝⎭所以为周期函数，且最小正周期，即③正确； ()f x 4T =由此可知的值域为，即①错误；()f x {}1,0,1-若为奇函数，则，12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，，，12x =()110022f f ⎛⎫-+== ⎪⎝⎭()111122f f ⎛⎫-+=-=- ⎪⎝⎭故当时，不成立，故不是奇函数，即②错误；12x =1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在一个周期内作出的图象，如下图所示，()f x由图象可知与的图像有且仅有两个公共点，分别为坐标原点和点, ()f x 2y x =O A 即④正确； 故选：C.14．克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形ABCD 内接于半径为，，，则四边形ABCD 的周长为120A ∠=︒45B ∠=︒AB AD =（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】连接AC ，BD ．利用正弦定理求出，6BD =AC =AB AD ==定理求出，即得解. BC CD +=【详解】连接AC ，BD ．由，及正弦定理，得，120A ∠=︒45B ∠=︒sin sin BD ACBAD ABC==∠∠解得，．6BD =AC =在中，，，，ABD △120BAD ∠=︒AB AD =6BD =所以AB AD ==因为四边形ABCD 内接于半径为 它的对角互补，所以， AC BD AB DC AD BC ⋅=⋅+⋅所以,所以， )BC CD =+BC CD +=所以四边形ABCD 的周长为． +故选：A ．三、解答题15．已知函数.()2π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(1)求的单调增区间；()f x (2)求函数在的值域.()f x 2π0,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】(1)7πππ,π,1122k k k ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦Z(2) ⎡-⎣【分析】（1）根据正弦型函数的单调性，利用整体代换法求解即可； （2）先求出的范围，再根据正弦函数的性质求解即可． 2π23x +【详解】（1）由可得， π2ππ2π22π,232k x k k -+≤+≤+∈Z 7ππ2π22π6,6k x k k -+≤≤-+∈Z 所以， 7ππππ,1212k x k k -+≤≤-+∈Z 所以函数单调递增区间为：；()f x 7πππ,π,1122k k k ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦Z（2）令，由可得， 2π23t x =+2π0,3x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭2π,2π3t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭又因为函数在单调递减，在单调递增，sin y t =2π3π,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭所以在时有最小值-1，又， sin y t =3π2t =2πsin 3=sin 2π0=所以，所以函数在上的值域为． sin [t ∈-()f x 2π0,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭⎡-⎣16．已知函数，若对任意的实数x 都成立．()2cos ,(0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭()4f x f π⎛≤⎫ ⎪⎝⎭（1）求的最小值；ω（2）在（1）中值的条件下，若函数的最小正周期为，当时，ω()()1(0)g x f kx k =+>π0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦方程恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围． ()g xm =【答案】（1）；（2）． 23ω=[1m ∈+【分析】（1）根据条件得到为函数的最大值，结合函数的最值求出即可．4f π⎛⎫⎪⎝⎭ω（2）根据条件求出的解析式，在同一坐标系中，作出函数和的图象，利用数形()g x ()y g x =y m =结合求解．【详解】（1）若对任意的实数x 都成立，则为函数的最大值，()4f x f π⎛⎫⎪⎝⎭…4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭则，得，即， 2,46k k ππωπ-=∈Z 2,46k k ππωπ=+∈Z 28,3k k ω=+∈Z ∵，∴当时，取得最小值，最小值为； 0ω>0k =ω23ω=（2）在（1）中值的条件下，则，ω23ω=2()2cos 36f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2()()12cos 1,(0)36g x f kx kx k π⎛⎫=+=-+> ⎪⎝⎭∵的最小正周期为，∴，即，则，()g x π223k ππ=3k =()2cos 216g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭作出函数和的图象如图：()03y g x x π⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭y m =，则，所以，则，03x π≤≤2662x πππ-≤-≤0cos 216x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭()13g x ≤≤且，()02cos 116g π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭由图象知：要使恰有两个不同的解，则．()g x m =[1m ∈+【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.17．如图是函数图像的一部分，M 、N 是它与x 轴的两()sin(),(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<个交点，C 、D 分别为它的最高点和最低点，E （0，1）是线段MC 的中点， (1)若点M 的坐标为（-1，0），求点C 、点N 和点D 的坐标(2)若点M 的坐标为（-,0）（>0），，试确定函数的解析式m m 2344MC MD π⋅=- ()f x【答案】(1) (2) (12),(30),(52)C N D -，，，π()2sin(+)4f x x =【分析】（1）根据中点坐标公式可得C,根据对称可得N ，D 点坐标（2）先根据中点坐标公式以及对称性可得C,D 坐标，再代入向量数量积坐标公式可得值，根据点坐标确定周期、振幅以及初m 始角，即得三角函数解析式【详解】(1)设点C (a ,b )，由中点坐标公式得由中点坐标公式可得解得a =1，b =2，∴点C (1,2)，∴点N (3,0),点D (5,−2)；(2)同样由E (0,1)是线段MC 的中点，得A =2，由M (−m ,0),得C (m ,2),D (5m ,−2)；∴，2124MC MD m ⋅=- 又， 2344MC MD π⋅=-解得m =； 4π由，解得ω=1， 282T m ππω===∴φ=； 4π∴函数f (x )的解析式为f (x )=2sin(x +).4π【点睛】本题主要考查正弦函数的图象与性质，考查了平面向量数量积的运算，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于综合题.18．已知常数，定义在R 上的函数.0a ≠()cos 2sin f x x a x =+(1)当时，求函数的最大值，并求出取得最大值时所有x 的值；4a =-()y f x =(2)已知常数，，且函数在内恰有2021个零点，求常数a 及n 的值.n ∈N 1n ≥()y f x =()0,πn 【答案】(1)最大值为，； 3π2π,2x k k =-∈Z (2)，.1a =-1347n =【分析】（1）利用二倍角公式化简，利用二次函数的性质求其最值以及此时满足要求所有的()f x x 值；（2）利用换元法将零点问题转化为与的交点问题，先分析在一个周期内零点的个sin y x =y t =数，然后再分析多周期内零点的临界值即可求解.【详解】（1）当时，4a =-()cos 24sin f x x x =-212sin 4sin x x =--232(sin 1)x =-+则当时，，此时， sin 1x =-()max 3f x =π2π,2x k k =-∈Z （2），2()cos 2sin 12sin sin f x x a x x a x =+=-+令，，则，sin t x =[1,1]t ∈-2()21f t t at -+=+得，，则方程有两个不相等的实数根，()0f t =2210t at --=280a ∆=+>()0f t =由韦达定理得，即两根异号， 1212t t =-①当两根的绝对值在之间，，，在区间上均为偶数根，则不符合题()0,11sin t x =2sin t x =()0,πn 意；②当，，即，， 11t =212t =-12122a t t +=-=-1a =当，，即，，即，， [0,2π]x ∈sin 1x =π2x =1sin 2x =-7π6x =11π6所以方程在上有三个根，()0f x =[0,2π]因为，所以方程在上有个根，202136732=⨯+[0,1346π]2019又因为方程在上有个根，在上有个根， [1346π,1347π]1[1347π,1348π]2所以在（）内恰有2021个根是不可能的， ()0f x =()0,πn n ∈N ③当，，即，， 11t =-212t =12122a t t +=-=--1a =-当，，即，，即，， [0,2π]x ∈sin 1x =-3π2x =1sin 2x =π6x =5π6所以方程在上有三个根，()0f x =[0,2π]因为，所以方程在上有个根，202136732=⨯+[0,1346π]2019又因为方程在上有个根，在上有个根， [1346π,1347π]2[1347π,1348π]1所以在内恰有2021个根，()0f x =()0,1347π故满足题意，此时，. 1a =-1347n =。
2018-2019学年华二附中高一年级下学期期中考试数学试卷
10.已知△ 中， ，则
【答案】：
二.选择题
11.如果 是第三象限的角，那么 必然不是下列哪个象限的角（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】：B
【解析】：
解：∵α是第二象限角，
∴α∈（2kπ+ ，2kπ+π），k∈Z，
∴ ∈（ kπ+ ， kπ+ ），k∈Z．
∴是第一或二，四象限角．
【解析】：
解：（1）由题可得：
∴
（2）∵
∴
∴bc=6
∵
∴
即BC的取值范围为
（3）∵∠EDF+∠BAC=
∴
又
当且仅当DE=DF时等号成立，此时AD是∠BAC的角平分线。
∴
=
=6
∴
当DE=DF，AB=AC时，
则
∴
【答案】：C
【解析】：
解：将已知等式2acosB＝c，利用正弦定理化简得：2sinAcosB＝sinC，
∵sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，
∴2sinAcosB＝sinAcosB+cosAsinB，即sinAcosB﹣cosAsinB＝sin（A﹣B）＝0，
∵A与B都为△ABC的内角，
整理得：cos2C﹣2cosC＝0，即cosC（cosC﹣2）＝0，
∴cosC＝0或cosC＝2（舍去），
∴C＝90°，
则△ABC为等腰直角三角形．
故选：C．
14.已知函数 满足 恒成立，则（）
A.函数 一定是奇函数B.函数 一定是奇函数
C.函数 一定是偶函数D.函数 一定是偶函数
【答案】：D
2018-2019学年上海市华东师范大学第二附属中学高一下学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市华东师范大学第二附属中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 ABC． D．【答案】D【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈， 又1a f =，则7781a a q f === 故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若1n n a q a +=（*0,q n N ≠∈）或1nn a q a -=（*0,2,q n n N ≠≥∈）， 数列{}n a 是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且212n n n a a a --=⋅（*3,n n N ≥∈），则数列{}n a 是等比数列.2．已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4 【答案】B【解析】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为()35cos222f x x =+，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项. 【详解】根据题意有()1cos2x 35cos212cos2222f x x x -=+-+=+， 所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==， 且最大值为()max 35422f x =+=，故选B. 【点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.3．将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A ．在区间35[,]44ππ上单调递增 B ．在区间3[,]4ππ上单调递减 C ．在区间53[,]42ππ上单调递增 D ．在区间3[,2]2ππ上单调递减 【答案】A【解析】由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可. 【详解】由函数图象平移变换的性质可知：将sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后的解析式为：sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.则函数的单调递增区间满足：()22222k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令1k =可得一个单调递增区间为：35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 函数的单调递减区间满足：3222k x k k Z ππ+≤≤+∈，即()344k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 令1k =可得一个单调递减区间为：57,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 4．已知函数215cos 36k y x ππ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭（其中k ∈N ），对任意实数a ，在区间[],3a a +上要使函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，则k 值为（ ） A ．2或3 B ．4或3C ．5或6D ．8或7【答案】A【解析】根据题意先表示出函数的周期，然后根据函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，得到周期的范围，从而得到关于k 的不等式，从而得到k 的范围，结合k ∈N ，得到答案. 【详解】 函数215cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以可得2621213T k k ππ==++，因为在区间[],3a a +上，函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，所以5215cos 436k x ππ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭得121cos 436k x ππ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 即21cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭与14y =的图像在区间[],3a a +上的交点个数大于等于4，小于等于8， 而21cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭与14y =的图像在一个周期T 内有2个，所以2343T T ≤⎧⎨≥⎩，即6232164321k k ⎧⨯≤⎪⎪+⎨⎪⨯≥⎪+⎩解得3722k ≤≤， 又因k ∈N ，所以得2k =或者3k =， 故选：A. 【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质，根据周期性求参数的值，函数与方程，属于中档题.二、填空题5．函数1arcsin 22y x x ⎛⎫⎡⎤=∈-- ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭的值域是______. 【答案】,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 【解析】根据arcsin y x =的单调性，结合x 的范围，得到答案. 【详解】函数arcsin y x =是单调递增函数，所以2x =-时，arcsin 23y π⎛=-=- ⎝⎭， 12x =-时，1arcsin 26y π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以函数的值域为：,36y ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦. 故答案为：,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查反三角函数的单调性，根据函数的单调性求值域，属于简单题.6．数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++,则{}n a 的通项公式n a = _____.【答案】()()3122n nn ⎧=⎪⎨≥⎪⎩ 【解析】根据n a 和n S 之间的关系,应用公式()()1112n n n S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩得出结果当1n =时,113a S ==；当2n ≥时,()()()22111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦； ∴()()3122n n a nn ⎧=⎪=⎨≥⎪⎩故答案为：()()3122n nn ⎧=⎪⎨≥⎪⎩ 【点睛】本题考查了n a 和n S 之间的关系式,注意当1n =和2n ≥时要分开讨论,题中的数列非等差数列.本题属于基础题7．()cos f x x x =+的值域是______.【答案】[]22-,【解析】对()f x 进行整理，得到正弦型函数，然后得到其值域，得到答案. 【详解】()cos f x x x =+12cos 2x x ⎫=+⎪⎪⎝⎭2sin 6x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为[]sin 1,16x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭所以()f x 的值域为[]22-,. 故答案为：[]22-,【点睛】本题考查辅助角公式，正弦型函数的值域，属于简单题.8．“1423a a a a +=+”是“数列1234,,,a a a a 依次成等差数列”的______条件（填“充要”，“充分非必要”，“必要非充分”，“既不充分也不必要”）. 【答案】必要非充分【解析】通过等差数列的下标公式，得到必要条件，通过举特例证明非充分条件，从而【详解】因为数列1234,,,a a a a 依次成等差数列，所以根据等差数列下标公式，可得1423a a a a +=+， 当121a a ==，342a a ==时， 满足1423a a a a +=+，但不能得到数列1234,,,a a a a 依次成等差数列所以综上，“1423a a a a +=+”是“数列1234,,,a a a a 依次成等差数列”的必要非充分条件. 故答案为：必要非充分. 【点睛】本题考查必要非充分条件的证明，等差数列通项的性质，属于简单题.9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1010S =，2030S =，则30S = ； 【答案】60 【解析】【详解】若数列{a n }为等差数列则S m ，S 2m -S m ，S 3m -S 2m 仍然成等差数列． 所以S 10，S 20-S 10，S 30-S 20仍然成等差数列． 因为在等差数列{a n }中有S 10=10，S 20=30，()302201030S ⨯=+-所以S 30=60． 故答案为60．10．已知ABC ∆的三边分别是,,a b c ，且面积2224a b c S +-=，则角C =__________.【答案】045【解析】试题分析：由2224a b c S +-=，可得2221sin 24a b c ab C +-=，整理得222sin cos 2a b c C C ab+-==，即tan 1C =，所以045C =.【考点】余弦定理；三角形的面积公式.11．已知数列{}n a 中，其中199199a =，11()an n a a -=，那么99100log a =________【解析】由已知数列递推式可得数列99{log }n a 是以199991991log 9999log a ==为首项，以19999为公比的等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解． 【详解】由11()an n a a -=，得991991log log n n a a a -=，∴199991991l 9og log 9n n a a a -==， 则数列99{log }n a 是以199991991log 9999log a ==为首项，以19999为公比的等比数列， ∴19999991001log (99)199a =⋅=． 故答案为：1． 【点睛】本题考查数列的递推关系、等比数列通项公式，考查运算求解能力，特别是对复杂式子的理解．12．等比数列{}n a 中首项12a =，公比()*+13,++720,,n n m q a a a n m N n m =+⋅⋅⋅=∈<，则n m +=______.【答案】9【解析】根据等比数列求和公式，将+1++720n n m a a a +⋅⋅⋅=进行转化，然后得到关于n 和m 的等式，结合*,,n m N n m ∈<，讨论出n 和m 的值，得到答案.【详解】因为等比数列{}n a 中首项12a =，公比3q =，所以1,,,n n m a a a +⋅⋅⋅成首项为123n n a -=⨯，公比为3的等比数列，共1n m -+项，所以()11+12313++27013n m n n n m a a a --+⨯-+⋅⋅⋅==-整理得11720313n m n -+--=因为*,,n m N n m ∈<所以可得，等式右边为整数，故等式左边也需要为整数，则13n -应是720的约数， 所以可得133,9,27n -=，所以1,2,3n =，当1n =时，得3721m =，此时*m N ∉ 当2n =时，得13241m -=，此时*m N ∉ 当3n =时，得2381m -=，此时6m =， 所以9m n +=， 故答案为：9. 【点睛】本题考查等比数列求和的基本量运算，涉及分类讨论的思想，属于中档题.13．在△ABC 中，222sin sin 2018sin A C B +=，则2(t a n t a n )t a n t a n t a n t a n A C BA B C+=++________． 【答案】22017【解析】【详解】因为222sin sin 2018sin A C B += 所以2222018a c b +=⋅注意到：tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅故()2tan tan tan tan tan tan A C B A B C+++ ()2tan tan tan 11tan tan tan tan tan tan A C B B A B CA C +⎛⎫==+ ⎪⋅⋅⎝⎭22222222sin 1222sin sin cos 20182017B b ac b AC B ac a c b b b ⎛⎫=⋅=== ⎪⋅+--⎝⎭． 故答案为：2201714．已知数列{}n a 的通项公式为22lg 1,1,2,3,,3n n a n S n n ⎛⎫=+=⋅⋅⋅ ⎪+⎝⎭是数列的前n 项和，则lim n n S →∞=______. 【答案】lg 3【解析】对数列{}n a 的通项公式22lg 13n a n n ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭进行整理，再求其前n 项和，利用对数运算规则，可得到n S ，从而求出lim n n S →∞，得到答案. 【详解】222232lg 1lg 33n n n a n n n n ++⎛⎫=+= ⎪++⎝⎭()()()12lg3n n n n ++=+所以123n n S a a a a =+++⋅⋅⋅+()()()12233445lglg lg lg 1425363n n n n ++⨯⨯⨯=+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+ ()13131lg lg 331n n n n ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==++ 所以131lg lg 331lim lim n n n S n n→∞→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭==+.故答案为：lg 3. 【点睛】本题考查对数运算公式，由数列的通项求前n 项和，数列的极限，属于中档题.三、解答题15．在△ABC 中，a =7，b =8，cos B = –17． （Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高． 【答案】(1) ∠A =π3 (2) AC【解析】分析：（1）先根据平方关系求sin B ,再根据正弦定理求sin A ，即得A ∠；（2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程11sin 22ab C hb =，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求sin C ，解得AC 边上的高．详解：解：（1）在△ABC 中，∵cos B =–17，∴B ∈（π2，π），∴sin B7=．由正弦定理得sin sin a b A B = ⇒ 7sin A7∴sin A=2．∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A =π3． （2）在△ABC 中，∵sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A=112727⎛⎫-+⨯⎪⎝⎭=14． 如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ，∴h =sin BC C ⋅=7142⨯=，∴AC 边上的高为2．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 16．已知()1221*,,0nn n n n n u a ab a b ab b n N a b ---=+++⋅⋅⋅++∈>.（1）当a b =时，求数列{}n u 前n 项和n S ；（用a 和n 表示）； （2）求1limnn n u u →∞-. 【答案】（1）1a =时，()3,12n n n S a +=≠时，()()()21221221n n n n a n a a a S a +++-+-+=-；（2）1,lim ,n n n a a b u b a b u →∞-≥⎧=⎨<⎩； 【解析】（1）当a b =时，求出()1nn u n a =+，再利用错位相减法，求出{}n u 的前n 项和n S ；（2）求出1nn u u -的表达式，对a ，b 的大小进行分类讨论，从而求出数列的极限. 【详解】（1）当a b =时，可得()1nn u n a =+，当1a =时，得到1n u n =+， 所以()32n n n S +=， 当1a ≠时，所以()2312341n n n S a a a nan a -=+++⋅⋅⋅+++，两边同乘a 得()23412341nn n aS a a a na n a+=+++⋅⋅⋅+++上式减去下式得()()231121nn n a S a a a a n a+-=+++⋅⋅⋅+-+()()()11111n n n a a a S a n a a+--=+-+-，所以()()()121111n n n a a a n a S aa +--+=+--()()()21221221n n n a n a a a a +++-+-+=- 所以综上所述，1a =时，()32n n n S +=；1a ≠时，()()()21221221n n n n a n a a a S a +++-+-+=-. （2）由（1）可知当a b =时，()1nn u n a =+则()111lim lim nn n n n n n a uu na -→∞→∞-+=()1lim n a n a n →∞+==； 当a b ¹时，11n n n n n u a a b ab b --=++⋅⋅⋅++21nnb b b a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()111111n n n n b aa ab b a ba+++⎛⎫- ⎪⎝⎭==--- 则111n n n n n n u a b u a b++--=-若0a b >>，111limlim lim 1nn n n n n nn n n n b a b u a b a a u a b b a ++→∞→∞→∞-⎛⎫- ⎪-⎝⎭===-⎛⎫- ⎪⎝⎭若0b a >>，111limlim lim 1nn n n n n nn n n n b a b u a b ab u a b b a ++→∞→∞→∞-⎛⎫- ⎪-⎝⎭===-⎛⎫- ⎪⎝⎭所以综上所述1,lim ,n n n a a b u b a b u →∞-≥⎧=⎨<⎩.【点睛】本题考查错位相减法求数列的和，数列的极限，涉及分类讨论的思想，属于中档题.17． 已知方程arctanarctan(2)2xx a +-=； （1）若4a π=，求arccos 2x的值；（2）若方程有实数解，求实数a 的取值范围；（3）若方程在区间[5,15]上有两个相异的解α、β，求αβ+的最大值. 【答案】（1）π或3π； （2）； （3）19；【解析】试题分析：(1)4a π=时，由已知得到()22121212xxx x x +-=⇒=---或;(2)方程有实数解即a 在()arctan arctan 22x x +-的值域上，（3）根据二次函数的性质列不等式组得出tana 的范围，利用根与系数的关系得出α+β的最值. 试题解析：（1）()()2π2arctan arctan 212122412xxx x x x x +-+-=⇒=⇒=---或， arccos =2x π或3π；（2）()()222arctan arctan 2tan tan ,4,2261012xxx t x a a a t x x x t t +-+-=⇒=⇒==---+-tan a ∴∈a ⎡∴∈⎢⎣（3）因为方程在区间[]5,15上有两个相异的解α、β，所以[]411,1,441119x αβαβ-∈--∴-+-≥-∴+≤18．（1）证明：()3cos 34cos 3cos x x x =-；（2）证明：对任何正整数n ，存在多项式函数()n f x ，使得()()cos cos n nx f x =对所有实数x 均成立，其中()111112,,,n n n n n n n f x x a x a x a a a ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅均为整数，当n 为奇数时，0n a =，当n 为偶数时，()21nn a =-；（3）利用（2）的结论判断()*cos16,7m m m N π≤≤∈是否为有理数？ 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）不是【解析】（1）()()cos 3cos 2x x x =+，利用两角和的正弦和二倍角公式，进行证明；（2）对n 分奇偶，即21n k =+和2n k =两种情况，结合两角和的余弦公式，积化和差公式，利用数学归纳法进行证明；（3）根据（2）的结论，将cos 7m π表示出来，然后判断其每一项都为无理数，从而得到答案. 【详解】（1）()()cos 3cos 2cos2cos sin 2sin x x x x x x x =+=-()222cos 1cos 2sin cos x x x x =-- ()322cos cos 21cos cos x x x x =---34cos 3cos x x =-所以原式得证. （2）n 为奇数时，3n =时，()()2323123cos 3cos 2cos cos cos x f x x a x a x a ==+++，其中30a =，成立21n k =-时，()()21cos 21cos k k x f x --=222122*********cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a ------=+++⋅⋅⋅++，其中210k a -=，成立21n k =+时，()()21cos 21cos k k x f x ++=221221122212cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a +-+=+++⋅⋅⋅++，其中210k a +=，成立，则当23n k =+时，()()()()cos 23cos 212cos 21cos2sin 21sin 2k x k x x k x x k x +=++=+-+⎡⎤⎣⎦ ()()()1cos 21cos 2cos 21cos 232k x x k x k x =+---+⎡⎤⎣⎦所以得到()()()cos 232cos 21cos2cos 21k x k x x k x +=+--2212212122212221222312222122cos cos cos cos 2cos 12coscoscoscos k k k k k k k k k k k k x a x a x a x a x x a x a x a x a +-+------⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅++-⎣⎦⎣⎦⎡⎤-+++⋅⋅⋅++⎣⎦()()2223222121122212cos 4cos 42cos 2cos k k k k k k k x a x a x a a x +++++-=++-+⋅⋅⋅-+因为1,,n a a ⋅⋅⋅均为整数，所以()21122214,42,,2k k k a a a a +--⋅⋅⋅-+也均为整数，故原式成立；n 为偶数时，2n =时，()212212cos2cos 2cos cos x f x x a x a -==++，其中()22211a =-=-，22n k =-时，()()22cos 22cos k k x f x --=232223*********cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a ------=+++⋅⋅⋅++，其中()()221222111k k k a ---=-=-=-，成立，2n k =时，()2cos2cos k kx f x =2122122122122cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a ----=+++⋅⋅⋅++，其中()()222111k kk a =-=-=，成立，则当22n k =+时，()()cos 22cos 22cos2cos2sin 2sin 2k x kx x kx x kx x +=+=- ()()()1cos 21cos 2cos 21cos 232k x k x k x =+---+⎡⎤⎣⎦所以得到()()cos 232cos2cos2cos 22k x kx x k x +=--21221222122122322232412232222cos cos cos cos 2cos 12coscoscoscos k k k k k k k k k k k k x a x a x a x a x x a x a x a x a ----------⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅++-⎣⎦⎣⎦⎡⎤-+++⋅⋅⋅++⎣⎦()()2122212121221232222cos 4cos 42cos 2cos 2k k k k k k k k k x a x a x a a x a a +++----=++-+⋅⋅⋅-+--其中22221k k a a ---=-，因为1,,n a a ⋅⋅⋅均为整数，所以()211221234,42,,2k k k a a a a ----⋅⋅⋅-+也均为整数，故原式成立；综上可得：对任何正整数n ，存在多项式函数()n f x ，使得()()cos cos n nx f x =对所有实数x 均成立，其中()11112n n n n n n f x x a x a x a ---=++⋅⋅⋅++，1,,n a a ⋅⋅⋅均为整数，当n 为奇数时，0n a =，当n 为偶数时，()21nn a =-； （3）由（2）可得()*cos16,7m m m N π≤≤∈ cos cos 77m m f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11112cos cos cos 777m m m m m a a a πππ---=++⋅⋅⋅++*16,m m N ≤≤∈其中1122,,m m a a a -⋅⋅⋅均为有理数，因为cos 7π为无理数，所以1cos,cos cos777mm πππ-⋅⋅⋅均为无理数，故11112cos cos cos777m mm m m a a a πππ---++⋅⋅⋅++为无理数，所以()*cos16,7m m m N π≤≤∈不是有理数. 【点睛】本题考查利三角函数的二倍角的余弦公式，积化和差公式，数学归纳法证明，属于难题.。
上海市华师大二附中2018学年高一下学期期中数学试卷含解析
2018-2018学年上海市华师大二附中高一（下）期中数学试卷一、填空题（4*10=40分）1．求值arctan（cot）=．2．函数f（x）=的定义域是．3．若tanθ=﹣3，则sinθ（sinθ﹣2cosθ）=．4．若x∈（0，2π），则使=sinx﹣cosx成立的x的取值范围是．5．若arcsinx﹣arccosx=，则x=．6．函数f（x）=log cos1（sinx）的单调递增区间是．7．若0＜θ＜，则cosθ，cos（sinθ），sin（cosθ）的大小顺序为．8．若关于x的函数y=sinωx在[﹣，]上的最大值为1，则ω的取值范围是．9．已知，且，则cos（x+2y）=．10．设函数f（x）=，关于f（x）的性质，下列说法正确的是．①定义域是{x|x≠kπ+，k∈Z}；②值域是R；③最小正周期是π；④f（x）是奇函数；⑤f（x）在定义域上单调递增．二、选择题（4*4=16分）11．为了得到y=3sin（2x+）的图象，只需将y=3cos2x的图象（）A．向左平移B．向右平移C．向右平移D．向左平移12．α，β∈（，π），且tanα＜cotβ，则必有（）A．α＜β B．α＞β C．α+β＜D．α+β＞13．下列函数中以π为周期，在（0，）上单调递减的是（）A．y=（cot1）tanx B．y=|sinx|C．y=﹣cos2x D．y=﹣tan|x|14．下列命题中错误的是（）A．存在定义在[﹣1，1]上的函数f（x）使得对任意实数y有等式f（cosy）=cos2y成立B．存在定义在[﹣1，1]上的函数f（x）使得对任意实数y有等式f（siny）=sin2y成立C．存在定义在[﹣1，1]上的函数f（x）使得对任意实数y有等式f（cosy）=cos3y成立D．存在定义在[﹣1，1]上的函数f（x）使得对任意实数y有等式f（siny）=sin3y成立三、解答题（8+10+12+14=44分）15．已知α，β∈（0，π），并且sin（5π﹣α）=cos（π+β），cos（﹣α）=﹣cos（π+β），求α，β的值．16．若关于x的方程sinx+cosx+a=0在（0，2π）内有两个不同的实数根α，β，求实数a的取值范围及相应的α+β的值．17．已知函数y=．（1）设变量t=sinθ+cosθ，试用t表示y=f（t），并写出t的范围；（2）求函数y=f（t）的值域．18．用a，b，c分别表示△ABC的三个内角A，B，C所对边的边长，R表示△ABC的外接圆半径．（1）R=2，a=2，B=45°，求AB的长；（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2；（3）给定三个正实数a，b，R，其中b≤a，问a，b，R满足怎样的关系时，以a，b为边长，R为外接圆半径的△ABC不存在，存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a，b，R表示c．2018-2018学年上海市华师大二附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（4*10=40分）1．求值arctan（cot）=．【考点】反三角函数的运用．【分析】利用特殊角的三角函数，反正切函数的定义和性质，求得arctan（cot）的值．【解答】解：arctan（cot）=arctan（）=，故答案为：．2．函数f（x）=的定义域是{x|x=2kπ，k∈z} ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式的性质得到cosx=1，解出即可．【解答】解：由题意得：cosx﹣1≥0，cosx≥1，∴cosx=1，∴x=2kπ，k∈Z，故答案为：{x|x=2kπ，k∈z}．3．若tanθ=﹣3，则sinθ（sinθ﹣2cosθ）=．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：∵tanθ=﹣3，∴sinθ（sinθ﹣2cosθ）====，故答案为：．4．若x∈（0，2π），则使=sinx﹣cosx成立的x的取值范围是[]．【考点】三角函数的化简求值．【分析】把根式内部的代数式化为完全平方式的形式，由已知等式可得sinx≥cosx，再由已知x的范围求得x的具体范围．【解答】解：∵===sinx﹣cosx，∴sinx≥cosx，又x∈（0，2π），∴x∈[]．故答案为：∈[]．5．若arcsinx﹣arccosx=，则x=．【考点】反三角函数的运用．【分析】由题意可得arcsinx与arccosx=均为锐角，x＞0，求得cos（arcsinx﹣arccosx）的值，可得x的值．【解答】解：∵arcsinx∈（﹣，），arccosx∈（0，π），arcsinx﹣arccosx=，∴arcsinx与arccosx 均为锐角，x＞0．又cos（arcsinx﹣arccosx）=cos=，即cos（arcsinx）?cos（arccosx）+sin（arcsinx）sin（arccosx）=?x+x?=，∴?x=，∴x2（1﹣x2）=，∴x2=，或x2=，∴x=，或x=．经检验，x=不满足条件，故舍去．故答案为：．6．函数f（x）=log cos1（sinx）的单调递增区间是[）（k∈Z）．【考点】复合函数的单调性．【分析】由0＜cos1＜1，得外函数y=log cos1t在定义域内单调递减，再求出内函数t=sinx的减区间，取使t大于0的部分得答案．【解答】解：令t=sinx，∵0＜cos1＜1，∴外函数y=log cos1t在定义域内单调递减，又sinx＞0，∴当x∈[）（k∈Z）时，内函数t=sinx大于0且单调递减，∴函数f（x）=log cos1（sinx）的单调递增区间是[）（k∈Z），故答案为：[）（k∈Z）．7．若0＜θ＜，则cosθ，cos（sinθ），sin（cosθ）的大小顺序为cos（sinθ）＞cosθ＞sin（cosθ）；．【考点】三角函数线．【分析】观察知道，利用x＞0时，sinx＜x，结合余弦函数的单调性解答．【解答】解：因为sinx＜x，所以0＜θ＜，sinθ＜θ，所以cos（sinθ）＞cosθ，令x=cosθ，所以cosθ＞sin（cosθ），故答案为：cos（sinθ）＞cosθ＞sin（cosθ）；8．若关于x的函数y=sinωx在[﹣，]上的最大值为1，则ω的取值范围是{ω|ω≥1或ω≤﹣}．【考点】正弦函数的图象．【分析】利用正弦函数的图象特征，正弦函数的最大值，分类讨论求得ω的取值范围．【解答】解：∵关于x的函数y=sinωx在[﹣，]上的最大值为1，∴当ω＞0时，由ω？≥，ω≥1，当ω＜0时，由ω？（﹣）≥，求得ω≤﹣，故答案为：{ω|ω≥1或ω≤﹣}．9．已知，且，则cos（x+2y）=1．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；两角和与差的余弦函数．【分析】设f（u）=u3+sinu．根据题设等式可知f（x）=2a，f（2y）=﹣2a，进而根据函数的奇偶性，求得f（x）=﹣f（2y）=f（﹣2y）．进而推断出x+2y=0．进而求得cos（x+2y）=1．【解答】解：设f（u）=u3+sinu．由①式得f（x）=2a，由②式得f（2y）=﹣2a．因为f（u）在区间上是单调增函数，并且是奇函数，∴f（x）=﹣f（2y）=f（﹣2y）．∴x=﹣2y，即x+2y=0．。
2018-2019学年上海市华东师范大学第二附属中学高一上学期期中数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市华东师范大学第二附属中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}|1,M y x y x R =+=∈，{}|1,N y x y x R =-=∈，则M N =（ ）A ．()1,0B ．(){}1,0C ．{}0D ．R【答案】D【解析】根据y 的取值范围，求得M N R ==，由此求得两个集合的交集. 【详解】对于集合,M N ，两个集合的研究对象都是y ，且y R ∈，故M N R ==，所以M N R =.故选：D. 【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题.2．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（） A ．充分条件 B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件 【答案】B【解析】根据等价命题，便宜Þ没好货，等价于，好货Þ不便宜，故选B ． 【考点定位】考查充分必要性的判断以及逻辑思维能力，属中档题。
3．若110a b <<，则下列不等式中，①2ab b <；②22a b >；③2a b +<④2a bb a+>.成立的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】根据110a b<<得到0b a <<，结合不等式的性质、基本不等式，对四个不等式逐一分析，由此判断出成立的个数. 【详解】 由110a b<<可知0b a <<.由b a <两边乘以负数b 得2b ab >，故①正确.由0b a <<得()()22220,b a b a b a b a -=+->>，故②错误.由0b a <<，结合基本不等式有()()22a b a b -+-+=-<=③正确.由0b a <<，结合基本不等式有2a b b a +>=，故④正确. 综上所述，正确的个数为3个. 故选：C. 【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查基本不等式的运用，属于基础题.4．定义区间(),c d 、[),c d 、(],c d 、[],c d 的长度均为()d c d c ->，已知实数a b >，则满足111x a x b+≥--的x 构成的区间的长度之和为（ ） A ．-a b B ．+a bC ．4D ．2【答案】D 【解析】将不等式111x a x b+≥--转化为高次分式不等式，求得不等式的解集，由此求得x 构成的区间的长度和. 【详解】原不等式111x a x b +≥--可转化为()()()220x a b x ab a b x a x b -+++++≤--①，对于()220x a b x ab a b -+++++=，其判别式()220a b ∆=-+>，故其必有两不相等的实数根，设为12,x x ，由求根公式得1x =，2x =.下证12b x a x <<<：构造函数()()22f x x a b x ab a b =-+++++，其两个零点为12,x x ，且12x x <.而()()220f a a a b a ab a b b a =-++⋅+++=-<，所以12x a x <<，由于b a <，且()()220f b b a b b ab a b a b =-++⋅+++=->，由二次函数的性质可知12b x a x <<<.故不等式①的解集为(](]12,,b x a x ⋃，其长度之和为()1212x b x a x x a b -+-=+-+()22a b a b =++-+=.故选：D. 【点睛】本小题主要考查高次分式不等式的解法，考查一元二次方程、一元二次不等式的关系，考查新定义的理解和运用，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于难题.二、填空题5．若集合{}2|20A x x x =+-=，{}|1B x =<，则A B =______.【答案】{}[]20,1-【解析】解一元二次方程求得集合A ，解不等式求得集合B ，由此求得两个集合的并集. 【详解】由()()22210xx x x +-=+-=解得2x =-或1x =，故{}2,1A =-.1<得01x ≤<，故[)0,1B =.所以A B ={}[]20,1-.故答案为：{}[]20,1-.【点睛】本小题主要考查集合并集的概念和运算，考查一元二次方程的解法，考查不等式的解法，属于基础题.6．若全集{}|26,U x x x Z =-≤≤∈，集合{}|2,3,A x x n n n N ==≤∈，则U C A =______.（用列举法表示）【答案】{}2,1,1,3,5--【解析】分别求得集合,U A 的元素，由此求得U C A . 【详解】 依题意{}2,1,0,1,2,3,4,5,6U=--，{}0,2,4,6A =，所以{}2,1,1,3,5U C A =--.故答案为：{}2,1,1,3,5--. 【点睛】本小题主要考查集合补集的概念和运算，属于基础题. 7．在如图中用阴影部分表示集合()U U U C C A C B _____.【答案】详见解析【解析】先用阴影部分表示U U C A B C ，再用阴影部分表示()U U U C C A C B .【详解】 依题意可知U U C AB C 表示为：故()U U U C C A C B 表示为：故答案为：【点睛】本小题主要考查利用文氏图表示集合的并集和补集的运算，属于基础题. 8．命题“设,,a b R ∈若0,ab =则0a =或0b =”的逆否命题是：________. 【答案】设,a b ∈R ，若0a ≠且0b ≠，则0ab ≠. 【解析】直接利用逆否命题的定义求解即可. 【详解】逆否命题是将原命题的条件与结论都否定，然后将条件当结论，结论当条件， 所以 “,,a b R ∈若0,ab =则0a =或0b =”的否命题是 “,,a b R ∈若0b ≠且0b ≠，则0ab ≠”, 故答案为“,,a b R ∈若0b ≠且0b ≠，则0ab ≠”. 【点睛】本题主要考查逆否命题的定义，属于简单题. 逆否命题是将原命题的条件与结论都否定，然后将条件当结论，结论当条件求得.9．已知集合{}|A x x a =<，{}2|540B x x x =-+≥，若P ：“x A ∈”是Q ：“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为______. 【答案】1a ≤【解析】解一元二次不等式求得集合B ，根据P ：“x A ∈”是Q ：“x B ∈”的充分不必要条件，判断出A 是B 的真子集，由此列不等式，解不等式求得a 的取值范围. 【详解】 依题意()()254140xx x x -+=--≥，解得1x ≤或4x ≥.由于P ：“x A ∈”是Q ：“x B ∈”的充分不必要条件，所以集合A 是集合B 的真子集，故1a ≤.即a 的取值范围为1a ≤. 故答案为：1a ≤ 【点睛】本小题主要考查根据充分不必要条件求参数的取值范围，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.10．已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为_____【答案】116【解析】211414()44216x y xy x y +=⋅≤=，当且仅当x=4y=12时取等号.11．函数y =______.【答案】[)[]1,00,2-【解析】根据偶次方根被开方数为非负数，分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域. 【详解】依题意2401010x x ⎧-≥⎪+≥⎨⎪≠⎩，2210x x x -≤≤⎧⎪≥-⎨⎪≠⎩，解得[)[]1,00,2x ∈-.故答案为：[)[]1,00,2-.【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，考查不等式的解法，属于基础题. 12．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为 ．【答案】【解析】试题分析：当时，不等式变形为，解集为，符合题意；当时，依题意可得，综上可得．【考点】一元二次不等式．【易错点睛】本题主要考查不等式中的一元二次不等式问题，难度一般．有很多同学做此题时直接考虑为一元二次不等式，其二次函数应开口向下且与轴至多有一个交点，而忽略二次项系数为0时的情况导致出现错误．当二次项系数含参数时一定要讨论是否为0，否则极易出错．13．对定义域是f D 、g D 的函数()y f x =、()y g x =，规定函数()()()()(),,,,,,f g f g f g f x g x x D x D h x f x x D x D g x x D x D⎧∈∈⎪=∈∉⎨⎪∉∈⎩，设函数()()2f x x x R =-∈，()()231g x x x =-+≥，则函数()h x 的值域是______.【答案】1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】先根据()h x 函数的定义求得()h x 的解析式，由此求得()h x 的值域.【详解】根据()h x 函数的定义可知()()()223,12,1x x x h x x x ⎧--+≥=⎨-<⎩，即()2276,12,1x x x h x x x ⎧-+-≥=⎨-<⎩，对于()22761y x x x =-+-≥，其图像开口向下，对称轴为74x =，所以当74x =时有最大值为2771276448⎛⎫-+⨯-= ⎪⎝⎭，没有最小值，即18y ≤.对于()21y x x =-<，21y x =-<-.故函数()h x 的值域是1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故答案为：1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【点睛】本小题主要考查新定义函数的理解和运用，考查分段函数解析式和值域的求法，属于基础题.14．设2019a b +=，0b >，则当a =______时，12019a a b+取得最小值.【答案】20192018-【解析】利用已知条件，将12019a a b+转化为2220192019a a ba ab ++，然后利用绝对值的性质结合基本不等式，求得最小值，并求得此时a 的值. 【详解】2120192019a a a b a b a b ++=+222122019201920192019a a b a a b =++≥-+，当且仅当22019a b a b =且0a <时等号成立，即20192018a =-. 故答案为：20192018- 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最小值，考查绝对值的性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.三、解答题15．已知：a 、b 是正实数，求证：22a ba b b a++≥.【答案】见解析.【解析】由基本不等式得出22a b a b+≥，22b a b a +≥，然后利用同向不等式的可加性可得出证明. 【详解】由基本不等式得出22a b a b +≥=，22b a b a +≥=，上述两个不等式当且仅当a b =时，等号成立，由同向不等式的可加性得2222a b a b a b b a +++≥+，即22a b a b b a++≥.【点睛】本题考查不等式的证明，考查基本不等式的应用，考查推理论证能力，属于中等题.16．解不等式组：9721212x x x ⎧≥⎪-+⎨⎪+≥⎩.【答案】(][],31,5-∞-【解析】分别求得分式不等式和绝对值不等式的解集，求两者的交集得到不等式组的解集. 【详解】由97212x x ≥-+得970212x x -≥-+，()()50212x x x -≤-+，解得()1,2,52x ⎛⎤∈-∞-⋃ ⎥⎝⎦.由12x +≥得12x +≤-或12x +≥，解得3x ≤-或1x ≥.所以不等式9721212x x x ⎧≥⎪-+⎨⎪+≥⎩的解集即()(][)(][]1,2,52,31,5,31,x x x ⎧⎛⎤=-∞-⋃⎪ ⎥⇒∈-∞-⋃⎝⎦⎨⎪∈-∞-⋃+∞⎩.故答案为：(][],31,5-∞-.【点睛】本小题主要考查分式不等式的解法，考查绝对值不等式的解法，考查不等式组的求解，属于基础题.17．缴纳个人所得税是收入达到缴纳标准的公民应尽的义务.①个人所得税率是个人所得税额与应纳税收入额之间的比例；②应纳税收入额=月度收入－起征点金额－专项扣除金额（三险一金等）；③2018年8月31日，第十三届全国人民代表大会常务委员会第五次会议《关于修改中华人民共和国个人所得税法的决定》，将个税免征额（起征点金额）由3500元提高到5000元.下面两张表格分别是2012年和2018年的个人所得税税率表：2012年1月1日实行：2018年10月1日试行：（1）何老师每月工资收入均为13404元，专项扣除金额3710元，请问何老师10月份应缴纳多少元个人所得税？若与9月份相比，何老师增加收入多少元？（2）对于财务人员来说，他们计算个人所得税的方法如下：应纳个人所得税税额＝应纳税收入额×适用税率－速算扣除数，请解释这种计算方法的依据？【答案】（1）何老师10月份应缴纳683.8元个人所得税，增加收入424.4元（2）详见解析【解析】（1）先计算出10月份的扣税，再计算出9月份的扣税，两者作差，计算出何老师增加的收入.（2）直接按当前级数税率计算，则多算了前面级数的金额，所以要扣除.这样计算可以减少运算量，能使财务人员迅速计算出个人所得税. 【详解】（1）10月份，13404371050004694--=，∴30003%169410%259.4⨯+⨯=；9月份，13404371035006194--=，∴15003%300010%169420%683.8⨯+⨯+⨯=；增加收入683.8259.4424.4-=元；（2）速算扣除数等于按当前级数税率计算后，前面级数多算的金额，所以扣除， 如2018年10月的表中，21030007%=⨯，1410900010%300017%=⨯+⨯，2660130005%900015%300022%=⨯+⨯+⨯，依此类推.【点睛】本小题主要考查实际生活中的数学应用，属于基础题.18．已知集合{}22|190D x x ax a =-+-=，{}2|22,B y y x x y Z +==-++∈，集合|C x y x Z ⎧⎫⎪⎪==∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，且集合D 满足D B ≠∅，D C =∅. （1）求实数a 的值；（2）对集合{}()12,,,2k A a a a k =⋅⋅⋅≥，其中()1,2,,i a Z i k ∈=⋅⋅⋅，定义由A 中的元素构成两个相应的集合：(){},|,,S a b a A b A a b A =∈∈+∈，(){},|,,T a b a A b A a b A =∈∈-∈，其中(),a b 是有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和n ，若对任意的a A ∈，总有a A -∉，则称集合A 具有性质P . ①请检验集合B C ⋃与B D 是否具有性质P ，并对其中具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T ；②试判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论.【答案】（1）2a =-（2）①B C ⋃不具有性质P ，B D 具有性质P ；()(){}1,2,2,1S =，()()(){}2,1,3,1,3,2T =②m n <，证明见解析【解析】（1）先求得集合,B C 所包含的元素，根据DB ≠∅，DC =∅，求得a 的值.（2）根据（1）求得,,B C D ，由此求得,B C B D ⋃⋃.①根据性质P 的定义，判断出B C ⋃不具有性质P ，B D 具有性质P .根据集合,S T 的定义求得,S T .②根据①所求,S T ，求得,m n ，由此比较出两者的大小关系.【详解】（1）对于集合B ，222y x x =-++开口向下，对称轴为1x =，当1x =时3y =，故{}1,2,3B =对于集合C ，由201x x -≥+，解得()12x x Z -<≤∈，所以{}0,1,2C =. 根据题意D B ≠∅，D C =∅，所以3D ∈，解得5a =或2a =-，经检验，5a =不符合DC =∅，故舍去，2a =-满足题意，即2a =-. （2）由（1）得{}3,5D =-，{}1,2,3B =，{}0,1,2C =，{}0,1,2,3B C ⋃=，{}5,1,2,3B D =-.①B C ⋃中,00B C B C ⋃-∈⋃∈，故B C ⋃不具有性质P ；B D 中任意元素,a B D a B D ∈-∉，故B D 具有性质P ；根据集合,S T 的定义，求得()(){}1,2,2,1S =，()()(){}2,1,3,1,3,2T =；②由①知，2,3m n ==，故m n <.【点睛】本小题主要考查二次函数函数值、一元二次不等式的解法，函数的定义域，考查新定义概念的理解和运用，属于中档题.。
上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题与详细解析
华师大二附中2021届高一第二学期期末数学考试试卷一、填空题1.函数1arcsin ,22y x x ⎛⎫⎡⎤=∈-- ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭的值域是______.2.数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++,则{}n a 的通项公式n a =_____.3.()cos f x x x =+的值域是______.4.“1423a a a a +=+”是“数列1234,,,a a a a 依次成等差数列”的______条件（填“充要”，“充分非必要”，“必要非充分”，“既不充分也不必要”）.5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1010S =，2030S =，则30S =；6.已知ABC ∆的三边分别是,,a b c ，且面积2224a b c S +-=，则角C =__________.7.已知数列{}n a 中，其中199199a =，11()a n n a a -=，那么99100log a =________8.等比数列{}n a 中首项12a =，公比()*+13,++720,,n n m q a a a n m N n m =+⋅⋅⋅=∈<，则n m +=______.9.在△ABC 中，222sin sin 2018sin A C B +=，则2(tan tan )tan tan tan tan A C B A B C +=++________．10.已知数列{}n a 的通项公式为22lg 1,1,2,3,,3n n a n S n n ⎛⎫=+=⋅⋅⋅ ⎪+⎝⎭是数列的前n 项和，则lim n n S →∞=______.二、选择题11.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为A. B.C. D.12.已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A.()f x 的最小正周期为π，最大值为3B.()f x 的最小正周期为π，最大值为4C.()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D.()f x 的最小正周期为2π，最大值为413.将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A.在区间35[,]44ππ上单调递增 B.在区间3[,]4ππ上单调递减C.在区间53[,]42ππ上单调递增 D.在区间3[,2]2ππ上单调递减14.已知函数215cos 36k y x ππ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭（其中k ∈N ），对任意实数a ，在区间[],3a a +上要使函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，则k 值为（）A.2或3B.4或3C.5或6D.8或7三、解答题15.在△ABC 中，a =7，b =8，cos B =–17．（Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．16.已知()1221*,,0n n n n n n u a a b a b ab b n N a b ---=+++⋅⋅⋅++∈>.（1）当a b =时，求数列{}n u 前n 项和n S ；（用a 和n 表示）；（2）求1lim nn n u u →∞-.17.已知方程arctan arctan(2)2xx a +-=；（1）若4a π=，求arccos 2x的值；（2）若方程有实数解，求实数a 的取值范围；（3）若方程在区间[5,15]上有两个相异的解α、β，求αβ+的最大值.18.（1）证明：()3cos 34cos 3cos x x x =-；（2）证明：对任何正整数n ，存在多项式函数()n f x ，使得()()cos cos n nx f x =对所有实数x 均成立，其中()111112,,,n n n n n n n f x x a x a x a a a ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅均为整数，当n 为奇数时，0n a =，当n 为偶数时，()21nn a =-；（3）利用（2）的结论判断()*cos 16,7m m m N π≤≤∈是否为有理数？华师大二附中2021届高一第二学期期末数学考试试卷一、填空题1.函数1arcsin ,22y x x ⎛⎫⎡⎤=∈-- ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭的值域是______.【答案】,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】根据arcsin y x =的单调性，结合x 的范围，得到答案.【详解】函数arcsin y x =是单调递增函数，所以32x =-时，arcsin 23y π⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，12x =-时，1arcsin 26y π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以函数的值域为：,36y ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.故答案为：,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查反三角函数的单调性，根据函数的单调性求值域，属于简单题.2.数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++,则{}n a 的通项公式n a =_____.【答案】()()3122n n n ⎧=⎪⎨≥⎪⎩【解析】【分析】根据n a 和n S 之间的关系,应用公式()()1112n n n S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩得出结果【详解】当1n =时,113a S ==；当2n ≥时,()()()22111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦；∴()()3122n n a n n ⎧=⎪=⎨≥⎪⎩故答案为()()3122n nn ⎧=⎪⎨≥⎪⎩【点睛】本题考查了n a 和n S 之间的关系式,注意当1n =和2n ≥时要分开讨论,题中的数列非等差数列.本题属于基础题3.()cos f x x x =+的值域是______.【答案】[]22-,【解析】【分析】对()f x 进行整理，得到正弦型函数，然后得到其值域，得到答案.【详解】()cos f x x x=+12sin cos 22x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭2sin 6x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为[]sin 1,16x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭所以()f x 的值域为[]22-,.故答案为：[]22-,【点睛】本题考查辅助角公式，正弦型函数的值域，属于简单题.4.“1423a a a a +=+”是“数列1234,,,a a a a 依次成等差数列”的______条件（填“充要”，“充分非必要”，“必要非充分”，“既不充分也不必要”）.【答案】必要非充分【解析】【分析】通过等差数列的下标公式，得到必要条件，通过举特例证明非充分条件，从而得到答案.【详解】因为数列1234,,,a a a a 依次成等差数列，所以根据等差数列下标公式，可得1423a a a a +=+，当121a a ==，342a a ==时，满足1423a a a a +=+，但不能得到数列1234,,,a a a a 依次成等差数列所以综上，“1423a a a a +=+”是“数列1234,,,a a a a 依次成等差数列”的必要非充分条件.故答案为：必要非充分.【点睛】本题考查必要非充分条件的证明，等差数列通项的性质，属于简单题.5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1010S =，2030S =，则30S =；【答案】60【解析】【详解】若数列{a n }为等差数列则S m ，S 2m -S m ，S 3m -S 2m 仍然成等差数列．所以S 10，S 20-S 10，S 30-S 20仍然成等差数列．因为在等差数列{a n }中有S 10=10，S 20=30，()302201030S ⨯=+-所以S 30=60．故答案为60．6.已知ABC ∆的三边分别是,,a b c ，且面积2224a b c S +-=，则角C =__________.【答案】045【解析】试题分析：由2224a b c S +-=，可得2221sin 24a b c ab C +-=，整理得222sin cos 2a b c C C ab+-==，即tan 1C =，所以045C =.考点：余弦定理；三角形的面积公式.7.已知数列{}n a 中，其中199199a =，11()a n n a a -=，那么99100log a =________【答案】1【解析】【分析】由已知数列递推式可得数列99{log }n a 是以199991991log 9999log a ==为首项，以19999为公比的等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解．【详解】由11()a n n a a -=，得991991log log n n a a a -=，∴199991991l 9og log 9n n a a a -==，则数列99{log }n a 是以199991991log 9999log a ==为首项，以19999为公比的等比数列，∴19999991001log (99)199a =⋅=．故答案为1．【点睛】本题考查数列的递推关系、等比数列通项公式，考查运算求解能力，特别是对复杂式子的理解．8.等比数列{}n a 中首项12a =，公比()*+13,++720,,n n m q a a a n m N n m =+⋅⋅⋅=∈<，则n m +=______.【答案】9【解析】【分析】根据等比数列求和公式，将+1++720n n m a a a +⋅⋅⋅=进行转化，然后得到关于n 和m 的等式，结合*,,n m N n m ∈<，讨论出n 和m 的值，得到答案.【详解】因为等比数列{}n a 中首项12a =，公比3q =，所以1,,,n n m a a a +⋅⋅⋅成首项为123n n a -=⨯，公比为3的等比数列，共1n m -+项，所以()11+12313++27013n m n n n m a a a --+⨯-+⋅⋅⋅==-整理得11720313n m n -+--=因为*,,n m N n m∈<所以可得，等式右边为整数，故等式左边也需要为整数，则13n -应是720的约数，所以可得133,9,27n -=，所以1,2,3n =，当1n =时，得3721m =，此时*m N ∉当2n =时，得13241m -=，此时*m N ∉当3n =时，得2381m -=，此时6m =，所以9m n +=，故答案为：9.【点睛】本题考查等比数列求和的基本量运算，涉及分类讨论的思想，属于中档题.9.在△ABC 中，222sin sin 2018sin A C B +=，则2(tan tan )tan tan tan tan A C BA B C +=++________．【答案】22017【解析】【详解】因为222sin sin 2018sin A C B+=所以2222018a c b +=⋅注意到：tan tan tan tan tan tan A B C A B C++=⋅⋅故()2tan tan tan tan tan tan A C B A B C+++()2tan tan tan 11tan tan tan tan tan tan A C B B A B C A C +⎛⎫==+ ⎪⋅⋅⎝⎭22222222sin 1222sin sin cos 20182017B b ac b A C B ac a c b b b ⎛⎫=⋅=== ⎪⋅+--⎝⎭．故答案为2201710.已知数列{}n a 的通项公式为22lg 1,1,2,3,,3n n a n S n n ⎛⎫=+=⋅⋅⋅ ⎪+⎝⎭是数列的前n 项和，则lim n n S →∞=______.【答案】lg 3【解析】【分析】对数列{}n a 的通项公式22lg 13n a n n ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭进行整理，再求其前n 项和，利用对数运算规则，可得到n S ，从而求出lim n n S →∞，得到答案.【详解】222232lg 1lg 33n n n a n n n n ++⎛⎫=+= ⎪++⎝⎭()()()12lg 3n n n n ++=+所以123n nS a a a a =+++⋅⋅⋅+()()()12233445lg lg lg lg 1425363n n n n ++⨯⨯⨯=+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+()13131lg lg 331n n n n⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==++所以131lg lg 331lim lim n n n S n n→∞→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭==+.故答案为：lg 3.【点睛】本题考查对数运算公式，由数列的通项求前n 项和，数列的极限，属于中档题.二、选择题11.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为A.B.C.D.【答案】D 【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈，又1a f =，则7781a a q f ===故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若1n n a q a +=（*0,q n N ≠∈）或1n n aq a -=（*0,2,q n n N ≠≥∈），数列{}n a 是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且212n n n a a a --=⋅（*3,n n N ≥∈），则数列{}n a 是等比数列.12.已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A.()f x 的最小正周期为π，最大值为3B.()f x 的最小正周期为π，最大值为4C.()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D.()f x 的最小正周期为2π，最大值为4【答案】B 【解析】【分析】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为()35cos222f x x =+，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项.【详解】根据题意有()1cos2x 35cos212cos2222f x x x -=+-+=+，所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，且最大值为()max 35422f x =+=，故选B.【点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.13.将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A.在区间35[,]44ππ上单调递增 B.在区间3[,]4ππ上单调递减C.在区间53[,42ππ上单调递增 D.在区间3[,2]2ππ上单调递减【答案】A 【解析】【分析】由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可.【详解】由函数图象平移变换的性质可知：将sin 25y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后的解析式为：sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.则函数的单调递增区间满足：()22222k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令1k =可得一个单调递增区间为：35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.函数的单调递减区间满足：()322222k x k k Z ππππ+≤≤+∈，即()344k x k k Z ππππ+≤≤+∈，令1k =可得一个单调递减区间为：57,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.已知函数215cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭（其中k ∈N ），对任意实数a ，在区间[],3a a +上要使函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，则k 值为（）A.2或3 B.4或3C.5或6D.8或7【答案】A 【解析】【分析】根据题意先表示出函数的周期，然后根据函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，得到周期的范围，从而得到关于k 的不等式，从而得到k 的范围，结合k ∈N ，得到答案.【详解】函数215cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以可得2621213T k k ππ==++，因为在区间[],3a a +上，函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，所以5215cos 436k x ππ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭得121cos 436k x ππ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭即21cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭与14y =的图像在区间[],3a a +上的交点个数大于等于4，小于等于8，而21cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭与14y =的图像在一个周期T 内有2个，所以2343T T ≤⎧⎨≥⎩，即6232164321k k ⎧⨯≤⎪⎪+⎨⎪⨯≥⎪+⎩解得3722k ≤≤，又因k ∈N ，所以得2k =或者3k =，故选：A.【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质，根据周期性求参数的值，函数与方程，属于中档题.三、解答题15.在△ABC 中，a =7，b =8，cos B =–17．（Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．【答案】(1)∠A =π3(2)AC边上的高为2【解析】分析：（1）先根据平方关系求sin B ,再根据正弦定理求sin A ，即得A ∠；（2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程11sin 22ab C hb =，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求sin C ，解得AC 边上的高．详解：解：（1）在△ABC 中，∵cos B =–17，∴B ∈（π2，π），∴sin B7=．由正弦定理得sin sin a b A B =⇒7sin A 437sin A=2．∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A =π3．（2）在△ABC 中，∵sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A=112727⎛⎫⨯-+⨯⎪⎝⎭=14．如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ，∴h =sin BC C ⋅=7142⨯=，∴AC边上的高为2．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.16.已知()1221*,,0nn n n n n u a ab a b ab b n N a b ---=+++⋅⋅⋅++∈>.（1）当a b =时，求数列{}n u 前n 项和n S ；（用a 和n 表示）；（2）求1limnn n u u →∞-.【答案】（1）1a =时，()3,12n n n S a +=≠时，()()()21221221n n n n a n a a a S a +++-+-+=-；（2）1,lim,n n n a a bu b a b u →∞-≥⎧=⎨<⎩；【解析】【分析】（1）当a b =时，求出()1nn u n a =+，再利用错位相减法，求出{}n u 的前n 项和n S ；（2）求出1nn u u -的表达式，对a ，b 的大小进行分类讨论，从而求出数列的极限.【详解】（1）当a b =时，可得()1nn u n a =+，当1a =时，得到1n u n =+，所以()32n n n S +=，当1a ≠时，所以()2312341n n n S a a a nan a -=+++⋅⋅⋅+++，两边同乘a 得()23412341nn n aS a a a na n a+=+++⋅⋅⋅+++上式减去下式得()()231121nn n a S a a a a n a+-=+++⋅⋅⋅+-+()()()11111n n n a a a S a n a a+--=+-+-，所以()()()121111n n n a a a n a S aa +--+=+--()()()21221221n n n a n a a a a +++-+-+=-所以综上所述，1a =时，()32n n n S +=；1a ≠时，()()()21221221n n nn a n a a aS a +++-+-+=-.（2）由（1）可知当a b =时，()1nn u n a=+则()111lim lim n nn n n n n a u u na -→∞→∞-+=()1lim n a n a n →∞+==；当a b ¹时，11nn n nn u a ab ab b --=++⋅⋅⋅++21nnb b b a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()111111n n n n b aa ab b a ba+++⎛⎫- ⎪⎝⎭==---则111n n n n nn u a b u a b ++--=-若0a b >>，111limlim lim 1nn n n n n nn n n n b a b u a b a a u a b b a ++→∞→∞→∞-⎛⎫- ⎪-⎝⎭===-⎛⎫- ⎪⎝⎭若0b a >>，111limlim lim 1nn n n n n nn n n n b a b u a b ab u a b b a ++→∞→∞→∞-⎛⎫- ⎪-⎝⎭===-⎛⎫- ⎪⎝⎭所以综上所述1,lim ,n n n a a bu b a b u →∞-≥⎧=⎨<⎩.【点睛】本题考查错位相减法求数列的和，数列的极限，涉及分类讨论的思想，属于中档题.17.已知方程arctanarctan(2)2xx a +-=；（1）若4a π=，求arccos 2x 的值；（2）若方程有实数解，求实数a 的取值范围；（3）若方程在区间[5,15]上有两个相异的解α、β，求αβ+的最大值.【答案】（1）π或3π；（2）[arctan；（3）19；【解析】试题分析：(1) 4a π=时，由已知得到()22121212xxx x x +-=⇒=---或;(2)方程有实数解即a 在()arctan arctan 22xx +-的值域上，（3）根据二次函数的性质列不等式组得出tana 的范围，利用根与系数的关系得出α+β的最值.试题解析：（1）()()2π2arctan arctan 212122412xxx x x x x +-+-=⇒=⇒=---或，arccos =2x π或3π；（2）()()222arctan arctan 2tan tan ,4,2261012xxx t x a a a t x x x t t +-+-=⇒=⇒==---+-tan a ∴∈arctan a ⎡∴∈⎢⎣（3）因为方程在区间[]5,15上有两个相异的解α、β，所以[]411,1,441119x αβαβ-∈--∴-+-≥-∴+≤18.（1）证明：()3cos 34cos 3cos x x x =-；（2）证明：对任何正整数n ，存在多项式函数()n f x ，使得()()cos cos n nx f x =对所有实数x 均成立，其中()111112,,,n n n n n n n f x x a x a x a a a ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅均为整数，当n 为奇数时，0n a =，当n 为偶数时，()21nn a =-；（3）利用（2）的结论判断()*cos16,7m m m N π≤≤∈是否为有理数？【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）不是【解析】【分析】（1）()()cos 3cos 2x x x =+，利用两角和的正弦和二倍角公式，进行证明；（2）对n 分奇偶，即21n k =+和2n k =两种情况，结合两角和的余弦公式，积化和差公式，利用数学归纳法进行证明；（3）根据（2）的结论，将cos7m π表示出来，然后判断其每一项都为无理数，从而得到答案.【详解】（1）()()cos 3cos 2cos 2cos sin 2sin x x x x x x x=+=-()222cos 1cos 2sin cos x x x x =--()322cos cos 21cos cos x x x x =---34cos 3cos x x=-所以原式得证.（2）n 为奇数时，3n =时，()()2323123cos 3cos 2cos cos cos x f x x a x a x a ==+++，其中30a =，成立21n k =-时，()()21cos 21cos k k x f x --=222122*********cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a ------=+++⋅⋅⋅++，其中210k a -=，成立21n k =+时，()()21cos 21cos k k x f x ++=221221122212cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a +-+=+++⋅⋅⋅++，其中210k a +=，成立，则当23n k =+时，()()()()cos 23cos 212cos 21cos 2sin 21sin 2k x k x x k x x k x +=++=+-+⎡⎤⎣⎦()()()1cos 21cos 2cos 21cos 232k x x k x k x =+---+⎡⎤⎣⎦所以得到()()()cos 232cos 21cos 2cos 21k x k x x k x+=+--2212212122212221222312222122cos cos cos cos 2cos 12cos cos cos cos k k k k k k k k k k k k x a x a x a x a x x a x a x a x a +-+------⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅++-⎣⎦⎣⎦⎡⎤-+++⋅⋅⋅++⎣⎦()()2223222121122212cos 4cos 42cos 2cos k k k k k k k x a x a x a a x +++++-=++-+⋅⋅⋅-+因为1,,n a a ⋅⋅⋅均为整数，所以()21122214,42,,2k k k a a a a +--⋅⋅⋅-+也均为整数，故原式成立；n 为偶数时，2n =时，()212212cos 2cos 2cos cos x f x x a x a -==++，其中()22211a =-=-，22n k =-时，()()22cos 22cos k k x f x --=232223*********cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a ------=+++⋅⋅⋅++，其中()()221222111k k k a---=-=-=-，成立，2n k =时，()2cos 2cos k kx f x =2122122122122cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a ----=+++⋅⋅⋅++，其中()()222111k kka=-=-=，成立，则当22n k =+时，()()cos 22cos 22cos 2cos 2sin 2sin 2k x kx x kx x kx x +=+=-()()()1cos 21cos 2cos 21cos 232k x k x k x =+---+⎡⎤⎣⎦所以得到()()cos 232cos 2cos 2cos 22k x kx x k x+=--21221222122122322232412232222cos cos cos cos 2cos 12cos cos cos cos k k k k k k k k k k k k x a x a x a x a x x a x a x a x a ----------⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅++-⎣⎦⎣⎦⎡⎤-+++⋅⋅⋅++⎣⎦()()2122212121221232222cos 4cos 42cos 2cos 2k k k k k k k k k x a x a x a a x a a +++----=++-+⋅⋅⋅-+--其中22221k k a a ---=-，因为1,,n a a ⋅⋅⋅均为整数，所以()211221234,42,,2k k k a a a a ----⋅⋅⋅-+也均为整数，故原式成立；综上可得：对任何正整数n ，存在多项式函数()n f x ，使得()()cos cos n nx f x =对所有实数x 均成立，其中()11112n n n n n n f x x a x a x a ---=++⋅⋅⋅++，1,,n a a ⋅⋅⋅均为整数，当n 为奇数时，0n a =，当n 为偶数时，()21nn a =-；（3）由（2）可得()*cos16,7m m m N π≤≤∈cos cos 77m m f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11112cos cos cos 777m m m m m a a a πππ---=++⋅⋅⋅++*16,m m N ≤≤∈其中1122,,m m a a a -⋅⋅⋅均为有理数，因为cos7π为无理数，所以1cos,cos cos 777m m πππ-⋅⋅⋅均为无理数，故11112coscos cos 777m m m m m a a a πππ---++⋅⋅⋅++为无理数，所以()*cos 16,7m m m N π≤≤∈不是有理数.【点睛】本题考查利三角函数的二倍角的余弦公式，积化和差公式，数学归纳法证明，属于难题.。
2018-2019学年上海市上海中学高一下期中考试数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市上海中学高一下期中考试数学试题一、单选题1．若则在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】根据三角函数值在各个象限的正负，判断出角的终边所在的象限.【详解】由于，故角为第一、第四象限角.由于，故角为第二、第四象限角.所以角为第四象限角.故选D.【点睛】本小题主要考查三角函数值在各个象限的正负值，根据正切值和余弦值同时满足的象限得出正确选项.2．函数的部分图像如图,则可以取的一组值是A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：∵，∴，，又由得.3．在△ABC中,分别为三个内角A、B、C的对边,若则△ABC的形状是A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【答案】D【解析】利用正弦定理化简得：，再利用二倍角公式整理得：，解三角方程即可得解。
【详解】由正弦定理化简得：,整理得：，所以又，所以或.所以或.故选：D【点睛】本题主要考查了正弦定理及三角恒等变换，还考查了正弦的二倍角公式及三角函数的性质，属于中档题。
二、填空题4．函数的最小正周期是_________.【答案】【解析】直接由周期公式得解。
【详解】函数的最小正周期是：故填：【点睛】本题主要考查了的周期公式，属于基础题。
5．已知点P在角的终边上,则_______.【答案】0【解析】求出到原点的距离，利用三角函数定义得解。
【详解】设到原点的距离，则所以，，所以【点睛】本题主要考查了三角函数定义，考查计算能力，属于基础题。
6．已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，则扇形的圆心角α的弧度数为__________．【答案】【解析】由题意或，则圆心角是，应填答案。
7．在△ABC中,若则△ABC为_______(填“锐角”或直角”或“钝角”)三角形.【答案】钝角【解析】整理得，利用可得，问题得解。
【详解】因为，所以，又,所以，所以所以为钝角，故填：钝角【点睛】本题主要考查了三角恒等变换及转化思想，属于基础题。
2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一(下)3月段考数学试卷
2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一（下）3月段考数学试卷试题数：18.满分：1001.（填空题.4分）已知点P（5a.-12a）在角α的终边上.且a＞0.则sec(3π2+α) =___ ．2.（填空题.4分）求值：sin50°（1+ √3 cot80°）=___ ．3.（填空题.4分）已知x=−1312π .则11−11−11−csc2x的值为___ ．4.（填空题.4分）已知锐角α.β是钝角△ABC的两个内角.且θ的终边过点P（sinβ-cosα.cosβ-sinα）.则θ是第___ 象限角．5.（填空题.4分）在△ABC中.已知tan A+B2=sinC.给出以下论断：① tanA-cotB=1 ② 0＜sinA+sinB≤ √2③ sin2A+cos2B=1 ④ cos2A+cos2B=sin2C其中正确的是：___ ．6.（填空题.4分）已知1−tanθ1+tanθ=2019 .则sec2θ+tan2θ=___ ．7.（填空题.4分）已知sinα+cosβ=1.cosα+sinβ=0.则sin（α+β）=___ ．8.（填空题.4分）已知α∈（-π.π）.且tanα是关于x的方程x2+2xsecα+1=0的两个根中较小的根.则α的值为___ ．9.（填空题.4分）在△ABC中. cosAcosB+1sinAsinB =53.则tan A2•tan B2=___ ．10.（填空题.4分）在△ABC中. ba +ab=4cosC，cos(A−B)=16.则cosC=___ ．11.（单选题.4分）若角α、β的终边关于y轴对称.则下列等式成立的是（）A.sinα=sinβB.cosα=cosβC.tanα=tanβD.cotα=cotβ12.（单选题.4分）“ α+β=π4”是“（1+tanα）（1+tanβ）=2”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分亦不必要条件13.（单选题.4分）已知△ABC中. tanA+tanB+√3=√3tanAtanB且. sinBcosB=√34.则△ABC是（）A.正三角形B.直角三角形C.正三角形或直角三角形D.直角三角形或等腰三角形14.（单选题.4分）设α∈（0. π2）.β∈（0. π2）.且tanα= 1+sinβcosβ.则（）A.3α-β= π2B.3α+β= π2C.2α-β= π2D.2α+β= π215.（问答题.10分）如图.点A、B是单位圆O上的两点.点C是圆O与x轴的正半轴的交点.将锐角α的终边OA按逆时针方向旋转π3到OB．（1）若点A的坐标为（35 . 45）.求1+sin2α1+cos2α的值；（2）用α表示|BC|.并求|BC|的取值范围．16.（问答题.10分）在△ABC中.已知c=2，C=π3．（1）求△ABC周长的最大值；（2）若2sin2A+sin（2B+C）=sinC.求△ABC的面积．17.（问答题.12分）（1）如图.点P在线段AB上.直线AB外一点O对线段AP.BP的张角分别为α.β.即∠AOP=α.∠BOP=β．求证：sin(α+β)OP =sinαOB+sinβOA．（2）在△ABC中.AB=c.DC=kAD.∠DBA=α.∠DBC=β.其中k＞0.试用c.k.α.β表示线段BC的长．18.（问答题.12分）如图.边长为1的正方形ABCD中.P.Q分别为边BC.CD上的点.且△PCQ的周长为2．（1）求线段PQ长度的最小值；（2）试探究∠PAQ是否为定值.若是.给出这个定值；若不是.说明理由．2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一（下）3月段考数学试卷参考答案与试题解析试题数：18.满分：1001.（填空题.4分）已知点P （5a.-12a ）在角α的终边上.且a ＞0.则 sec (3π2+α) =___ ． 【正确答案】：[1] −1312【解析】：由P 的坐标求得|OP|.再由任意角的三角函数的定义求得sinα.然后利用诱导公式及同角三角函数基本关系式求解．【解答】：解：∵P （5a.-12a ）.且a ＞0.∴|OP|= √(5a )2+(−12a )2=13|a | =13a. ∴sinα= −12a 13a =−1213 . ∴ sec (3π2+α) =1cos(3π2+α)= 1sinα = −1312 ．故答案为： −1312 ．【点评】：本题考查任意角的三角函数的定义.考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用.是基础题．2.（填空题.4分）求值：sin50°（1+ √3 cot80°）=___ ． 【正确答案】：[1]1【解析】：利用cot80°=tan10°.tan60°= √3 .将原式化为 cos10°cos10° =1．【解答】：解：因为cot80°=tan10°.tan60°= √3 所以1+ √3 cot80°=1+tan60°tan10°= cos60°cos10°+sin60°sin10°cos60°cos10° =cos (60°−10°)cos60°cos10°=cos50°cos60°cos10°.则sin50°（1+ √3 cot80°）=sin50°cos50°cos60°cos10°=12sin100°12cos10° =cos10°cos10°=1. 故答案为：1．【点评】：本题考查三角函数的恒等变化.能将 √3 替换成tan60°是关键.属于基础题．3.（填空题.4分）已知x=−1312π .则11−11−11−csc2x的值为___ ．【正确答案】：[1] 8+4√3【解析】：将所求式子化为：1sin2x .利用倍角公式求出sin2π12= 1−cosπ62=1−√322=2−√34.代入即可．【解答】：解：因为cscx= 1sinx. 所以11−11−11−csc2x = 11−11−csc2x−11−csc2x=11+1−csc2xcsc2x=csc2x = 1sin2x.又因为sin2x=sin2(−13π12) =sin2π12.且 sin2π12= 1−cosπ62=1−√322=2−√34.所以原式= 1sin2x =2−√34=2−√3=4(2+√3)4−3=8+4√3 .故答案为8+4√3．【点评】：本题考查三角函数的恒等变换.涉及二倍角公式.属于基础题．4.（填空题.4分）已知锐角α.β是钝角△ABC的两个内角.且θ的终边过点P（sinβ-cosα.cosβ-sinα）.则θ是第___ 象限角．【正确答案】：[1]二【解析】：由题意利用三角函数的单调性.判断点的坐标的符号.从而得出点所在的象限．【解答】：解：∵锐角α.β是钝角△ABC的两个内角.∴α+β＜π2 .∴β＜π2-α．∴两边同取正弦可得.sinβ＜sin（π2-α）=cosα.即sinβ＜cosα.sinβ-cosα＜0；∴两边同取余弦可得.cosβ＞cos（π2-α）=sinα.即sinα＜cosβ.cosβ-sinα＞0．∵θ的终边过点P（sinβ-cosα.cosβ-sinα）.故点P的横坐标小于零.纵坐标大于零.故θ为第二象限角.故答案为：二．【点评】：本题主要考查三角函数的单调性.判断点所在的象限的方法.属于基础题．5.（填空题.4分）在△ABC中.已知tan A+B2=sinC.给出以下论断：① tanA-cotB=1 ② 0＜sinA+sinB≤ √2③ sin2A+cos2B=1 ④ cos2A+cos2B=sin2C其中正确的是：___ ．【正确答案】：[1] ② ④【解析】：利用同角三角函数的基本关系和二倍角公式化简整理题设等式求得cos A+B 2 = √22进而求得A+B=90°.进而求得tanA-cotB=tanA-tanA=0.可得 ① 不正确； ② 利用两角和公式化简.利用正弦函数的性质求得其范围符合.得 ② 正确；③ sin 2A+cos 2B=2sin 2A 不一定等于1.排除 ③ ； ④ 利用同角三角函数的基本关系可知cos 2A+cos 2B=cos 2A+sin 2A=1.进而根据C=90°可知sinC=1.进而可知二者相等.得 ④ 正确．【解答】：解：∵tan A+B 2 =sinC.∴ sin A+B2cosA+B 2 =2sin A+B 2 cos A+B 2 .整理求得cosA+B 2 = √22.∴A+B=90°． ∴tanA -cotB=tanA-tanA=0.不等于1.故 ① 不正确． 由上可得 sinA+sinB=sinA+cosA= √2 sin （A+45°）. 45°＜A+45°＜135°.故有 √22＜sin （A+45°）≤1. ∴0＜sinA+sinB≤ √2 .所以 ② 正确．sin 2A+cos 2B=sin 2A+sin 2A=2sin 2A.不一定等于1.故 ③ 不正确． ∵cos 2A+cos 2B=cos 2A+sin 2A=1.sin 2C=sin 290°=1. 所以cos 2A+cos 2B=sin 2C.所以 ④ 正确． 故答案为 ② ④ ．【点评】：本题主要考查了三角函数的化简求值.考查了学生综合分析问题和推理的能力.基本的运算能力.属于中档题．6.（填空题.4分）已知 1−tanθ1+tanθ=2019 .则sec2θ+tan2θ=___ ． 【正确答案】：[1] 12019【解析】：由已知利用同角三角函数基本关系式及倍角公式化sec2θ+tan2θ为含有tanθ的代数式求解．【解答】：解：∵ 1−tanθ1+tanθ=2019 .∴sec2θ+tan2θ=1cos2θ+2tanθ1−tan 2θ= cos 2θ+sin 2θcos 2θ−sin 2θ+2tanθ1−tan 2θ =1+tan 2θ1−tan 2θ+2tanθ1−tan 2θ= (1+tanθ)2(1−tanθ)(1+tanθ) = 1+tanθ1−tanθ=12019 ．【点评】：本题考查三角函数的化简求值.考查同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用.是基础题．7.（填空题.4分）已知sinα+cosβ=1.cosα+sinβ=0.则sin（α+β）=___ ．【正确答案】：[1] −12【解析】：把已知等式两边平方化简可得2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）=1.再利用两角和差的正弦公式化简为2sin（α+β）=-1.可得结果．【解答】：解：sinα+cosβ=1.两边平方可得：sin2α+2sinαcosβ+cos2β=1. ① .cosα+sinβ=0.两边平方可得：cos2α+2cosαsinβ+sin2β=0. ② .由① + ② 得：2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）=1.即2+2sin（α+β）=1.∴2sin（α+β）=-1．∴sin（α+β）= −12．故答案为：−12．【点评】：本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用.三角函数的求值.属于基本知识的考查.是基础题．8.（填空题.4分）已知α∈（-π.π）.且tanα是关于x的方程x2+2xsecα+1=0的两个根中较小的根.则α的值为___ ．【正确答案】：[1] −5π6【解析】：由题意利用韦达定理求出tanα＜1tanα .且sinα=- 12.由此求得α的值．【解答】：解：已知α∈（-π.π）.且tanα是关于x的方程x2+2xsecα+1=0的两个根中较小的根.根据韦达定理可得两根之积等于1.故另一个根为1tanα .且tanα＜1tanα① ．∴tanα+ 1tanα =-2secα= −2cosα.即1sinαcosα= −2sinαsinαcosα.∴sinα=- 12② ．由① ② .结合α∈（-π.π）.可得α=- 5π6.【点评】：本题主要考查韦达定理.根据三角函数的值求角.属于中档题．9.（填空题.4分）在△ABC中. cosAcosB+1sinAsinB =53.则tan A2•tan B2=___ ．【正确答案】：[1] 13【解析】：把已知等式化弦为切.整理后求得tan A2•tan B2= 13或tan A2•tan B2=3．再由A.B.C为三角形三内角.得tan A2 .tan B2.tan C2均大于0.可得tan A2•tan B2＜1.则答案可求．【解答】：解：在△ABC中.由cosAcosB+1sinAsinB =53.得1−tan2A21+tan2A2•1−tan2B21+tan2B2+12tanA21+tan2A2•2tanB21+tan2B2= 53.整理得(1−tan2A2)(1−tan2B2)+(1+tan2A2)(1+tan2B2)4tan A2•tan B2= 53．即1+tan2A2tan2B22tan A2tan B2=53.则tan A2•tan B2= 13或tan A2•tan B2=3．又A.B.C为三角形三内角.得tan A2 .tan B2.tan C2均大于0.可得tan A2•tan B2＜1.则tan A2•tan B2= 13．故答案为：13．【点评】：本题考查三角函数的恒等变换与化简求值.考查万能公式的应用.是中档题．10.（填空题.4分）在△ABC中. ba +ab=4cosC，cos(A−B)=16.则cosC=___ ．【正确答案】：[1] 23【解析】：由题意.利用余弦定理和正弦定理.化简求得sin2A+sin2B=2sin2C.再利用降幂公式与和差化积.以及同角的三角函数关系.求得cosC的值．【解答】：解：△ABC中. ba + ab=4cosC.∴cosC＞0；∴a2+b2=2×2abcosc=2（a2+b2-c2）. ∴a2+b2=2c2.∴sin2A+sin2B=2sin2C.∴ 1−cos2A2 + 1−cos2B2=2sin2C.即2-（cos2A+cos2B）=4sin2C；∴2-2cos（A+B）cos（A-B）=4sin2C. 又cos（A-B）= 16.cos（A+B）=-cosC.∴2+ 13cosC=4sin2C=4×（1-cos2C）. 化简得12cos2C+cosC-6=0.解得cosC= 23或cosC=- 34（不合题意.舍去）；所以cosC= 23．故答案为：23．【点评】：本题考查了三角恒等变换应用问题.也考查了正弦、余弦定理的应用问题.是中档题．11.（单选题.4分）若角α、β的终边关于y轴对称.则下列等式成立的是（）A.sinα=sinβB.cosα=cosβC.tanα=tanβD.cotα=cotβ【正确答案】：A【解析】：根据α、β的终边关于y轴对称.得到两个角之间的关系.结合三角函数的诱导公式即可得到结论．【解答】：解：∵α、β终边关于y轴对称.设角α终边上一点P（x.y）.则点P关于y轴对称的点为P′（-x.y）.且点P与点P′到原点的距离相等.设为r.则P′（-x.y）在β的终边上.由三角函数的定义得sinα= yr .s inβ= yr.∴sinα=sinβ.故选：A．【点评】：本题考查任意角的三角函数的定义以及直线关于直线的对称直线.点关于直线的对称点问题．12.（单选题.4分）“ α+β=π4”是“（1+tanα）（1+tanβ）=2”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分亦不必要条件【正确答案】：D【解析】：根据正切函数的定义域.结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】：解：依题意.若α+β=π4 .若α= π2+kπ（或者β= π2+kπ）.则tanα（或tanβ）无意义.所以（1+tanα）（1+tanβ）=2不成立.故充分性不成立；若（1+tanα）（1+tanβ）=2.所以tanα+tanβ1−tanαtanβ=1⇒tan（α+β）=1⇒α+β= π4+kπ .故必要性不成立.所以“ α+β=π4”是“（1+tanα）（1+tanβ）=2”的既不充分也不必要条件.故选：D．【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断.利用函数的定义域和周期性是解决本题的关键.比较基础．13.（单选题.4分）已知△ABC中. tanA+tanB+√3=√3tanAtanB且. sinBcosB=√34.则△ABC是（）A.正三角形B.直角三角形C.正三角形或直角三角形D.直角三角形或等腰三角形【正确答案】：A【解析】：利用两角和的正切求得A+B.再由倍角公式求得B.则答案可求．【解答】：解：∵由tanA+tanB+√3=√3tanAtanB .得：tanA+tanB1−tanAtanB=- √3 .即tan（A+B）=- √3 .∴A+B=120°.C=60°.又sinBcosB= √34.∴sin2B= √32.则2B=60°或2B=120°.即B=30°或B=60°.若B=30°.则A=90°.tanA不存在.不合题意；若B=60°.则A=C=60°.△ABC为正三角形．故选：A．【点评】：本题考查三角形形状的判定.考查了两角和的正切及倍角公式的应用.是基础题．14.（单选题.4分）设α∈（0. π2）.β∈（0. π2）.且tanα= 1+sinβcosβ.则（）A.3α-β= π2B.3α+β= π2C.2α-β= π2D.2α+β= π2【正确答案】：C【解析】：化切为弦.整理后得到sin（α-β）=cosα.由该等式左右两边角的关系可排除选项A.B.然后验证C满足等式sin（α-β）=cosα.则答案可求．【解答】：解：由tanα= 1+sinβcosβ.得：sinαcosα=1+sinβcosβ.即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα.sin（α-β）=cosα=sin（π2−α）.∵α∈（0. π2）.β∈（0. π2）.∴当2α−β=π2时.sin（α-β）=sin（π2−α）=cosα成立．故选：C．【点评】：本题考查三角函数的化简求值.训练了利用排除法及验证法求解选择题.是基础题．15.（问答题.10分）如图.点A、B是单位圆O上的两点.点C是圆O与x轴的正半轴的交点.将锐角α的终边OA按逆时针方向旋转π3到OB．（1）若点A的坐标为（35 . 45）.求1+sin2α1+cos2α的值；（2）用α表示|BC|.并求|BC|的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由已知利用任意角的三角函数的定义可得.cosα 和sinα 的值.再利用二倍角公式求得sin2α 和 cos2α的值.可得 1+sin2α1+cos2α的值． （2）由题意可得.|OC|=|OB|=1.∠COB=α+ π3 .由余弦定理可得|BC|2的解析式．根据α∈（0. π2 ）.利用余弦函数的定义域有和值域求得|BC|的范围．【解答】：解：（1）由已知可得.cosα= 35 .sinα= 45 ．∴sin2α=2sinαcosα= 2425 .cos2α=2cos 2α-1=- 725 . 1+sin2α1+cos2α = 1+24251+(−725) = 4918 ． （2）由题意可得.|OC|=|OB|=1.∠COB=α+ π3.由余弦定理可得|BC|2=|OC|2+|OB|2-2|OB||OC|cos∠COB=1+1-2cos （α+ π3 ）=2-2cos （α+ π3 ）．∵α∈（0. π2 ）.∴α+ π3 ∈（ π3 . 5π6 ）.∴cos （α+ π3 ）∈（- √32 . 12 ）.∴|BC|2∈（1.2+ √3 ）.∴|BC|∈（1.√6+√22 ）．【点评】：本题主要考查任意角的三角函数的定义、同角三角函数的基本关系、余弦定理、二倍角公式、余弦函数的定义域和值域.属于中档题．16.（问答题.10分）在△ABC 中.已知 c =2，C =π3 ．（1）求△ABC 周长的最大值；（2）若2sin2A+sin （2B+C ）=sinC.求△ABC 的面积．【正确答案】：【解析】：（1）由已知利用余弦定理.基本不等式可求得a+b≤4.当且仅当a=b=2时.等号成立.即可求解△ABC 周长的最大值；（2）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2sinAcosA-cosAsinB=0.可得cosA=0或sinB=2sinA.分类讨论求得b 的值.利用三角形的面积公式即可得解．【解答】：解：（1）∵ c =2，C =π3 .∴由余弦定理.得 c 2=a 2+b 2−2abcosC =a 2+b 2−ab =(a +b )2−3ab ≥(a +b )2−3•(a+b)24.∴得a+b≤4.当且仅当a=b=2时.等号成立.∴C△ABC=a+b+c≤6.即△ABC周长的最大值为6；（2）∵2sin2A+sin（2B+C）=sinC.∴2sin2A+sin[（B+C）+B]-sin[（B+C）-B]=2sin2A+2cos（B+C）sinB=0. ∴2sinAcosA-cosAsinB=0.∴cosA=0或sinB=2sinA.∴ ① cosA=0时. A=π2 .此时b=2√3，S△ABC=12bc=2√33.② sinB=2sinA时.由正弦定理.知b=2a. ∵c2=a2+b2-ab=3a2=4.∴ a=2√33，b=4√33，S△ABC=12absinC=2√33.综上.△ABC的面积为2√33．【点评】：本题主要考查了余弦定理.基本不等式.三角函数恒等变换的应用.三角形的面积公式在解三角形中的应用.考查了分类讨论思想和转化思想.属于中档题．17.（问答题.12分）（1）如图.点P在线段AB上.直线AB外一点O对线段AP.BP的张角分别为α.β.即∠AOP=α.∠BOP=β．求证：sin(α+β)OP =sinαOB+sinβOA．（2）在△ABC中.AB=c.DC=kAD.∠DBA=α.∠DBC=β.其中k＞0.试用c.k.α.β表示线段BC的长．【正确答案】：【解析】：（1）由S△AOB=S△AOP+S△BOP S△ACB.列出等式化简证得结论即可；（2）由三角形的面积公式.列出等式化简就求得BC的值．【解答】：（1）证明：由题意知.S△AOB=S△AOP+S△BOP S△ACB.即12OA•OB•sin（α+β）= 12OA•OP•sinα+ 12OA•OP•sinβ.等式两边同除12OA•OB•OP.即得sin(α+β)OP =sinαOB+sinβOA；（2）解：∵DC=kAD.∴ S△ABD S△BCD =12AB•BD•sinα12BC•BD•sinβ= 1k.解得BC= k•AB•sinαsinβ = cksinαsinβ．【点评】：本题考查了三角形面积计算问题.是基础题．18.（问答题.12分）如图.边长为1的正方形ABCD中.P.Q分别为边BC.CD上的点.且△PCQ的周长为2．（1）求线段PQ长度的最小值；（2）试探究∠PAQ是否为定值.若是.给出这个定值；若不是.说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）设∠CQP=θ，θ∈(0，π2) .用θ的三角函数值表示△PCQ的周长.求出PQ.再求最小值；（2）∠PAQ为定值π4.设∠DAQ=α.∠BAP=β.计算tanα、tanβ和tan（α+β）的值.从而求得∠PAQ的值．【解答】：解：（1）设∠CQP=θ，θ∈(0，π2) . 则CP=PQsinθ.CQ=PQcosθ.△PCQ的周长为L△PCQ=PQ+CP+CQ=PQ+PQsinθ+PQcosθ=2.解得PQ=21+sinθ+cosθ=1+√2sin(θ+π4)≥1+√2=2√2−2；（2）∠PAQ为定值π4.设∠DAQ=α.∠BAP=β.其中α、β、α+β∈（0. π2）；则tanα=DQDA =1−CQ1=1−CQ .同理tanβ=1-CP；∴ tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=2−CP−CQ1−(1−CQ)(1−CP)=2−CP−CQCP+CQ−CP•CQ= PQPQsinθ+PQcosθ−PQ2sinθcosθ=1sinθ+cosθ−PQsinθcosθ= 1sinθ+cosθ−21+sinθ+cosθsinθcosθ=1+sinθ+cosθ(sinθ+cosθ)(1+sinθ+cosθ)−2sinθcosθ= 1+sinθ+cosθ(sinθ+cosθ)2+sinθ+cosθ−2sinθcosθ=1+sinθ+cosθ1+2sinθcosθ+sinθ+cosθ−2sinθcosθ=1 .∴ α+β=π4 .∴ ∠PAQ=π2−(α+β)=π4．【点评】：本题考查了三角恒等变换应用问题.也考查了解三角形的应用问题.是中档题．。
2019华二附中高一期中
7. 函数 y 4 x2 的定义域为 1 x 1
8. 若不等式 ax2 ax 1 0 的解集为 ，则实数 a 的取值范围是
9. 对定义域是 Df 、 Dg 的函数 y f (x) 、 y g (x) ，规定函数
h(x)
f
f
(x)g(x), 当x D f 且x Dg (x), 当x D f 且x Dg
A. (1,0)
B. {(1,0)}
C. {0}
D. R
12. 钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ）
A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
13. 若 1 1 0 ，则下列不等式中，① ab b2 ；② a2 b2 ；③ a b ab ；④ a b 2 .
税率（%） 3 10 20 25 30 35 45
速算扣除数 0 210
1410 2660 4410 7160 15160
（1）何老师每月工资收入均为 13404 元，专项扣除金额 3710 元，请问何老师 10 月份应缴 纳多少元个人所得税？若与 9 月份相比，何老师增加收入多少元？ （2）对于财务人员来说，他们计算个人所得税的方法如下：应纳个人所得税税额 应纳税收入额 适用税率 速算 扣除数，请解释这种计算方法的依据？
ab
2
ba
成立的个数是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
1
14. 定义区间 (c, d ) 、[c, d ) 、 (c, d ] 、[c, d ] 的长度均为 d c (d c) ，已知实数 a b ，则满足 1 1 1的 xa xb
x 构成的区间的长度之和为（ ）
A. a b