山东省实验中学2020-2021学年高一上学期1月阶段性教学质量检测数学试题含答案
山东省实验中学2020级高一上学期阶段性教学质量检测数学试题第一部分（选择题，共60分）一、单项选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把它选出后在答题卡规定的位置上用铅笔涂黑． 1．－315°化为弧度是( )A ．－43πB ．－5π3C ．－7π4D ．－76π2．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x (单位：o C )的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据()i i x y ，(i=1，2，…，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10o C 至40o C 之间，下面四个函数模型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的函数的是（ ） A ．y a bx =+ B ．2y a bx =+ C ．x y a be =+D ．ln y a b x =+3．已知点P (4，－3)是角α终边上一点，则下列三角函数值中正确的是( )A ．tan α＝－43B ．tan α＝－34C ．sin α＝－45D ．cos α＝354．下面诱导公式使用正确的是( )A ．sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2＝cos θB ．cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ＝－sin θ C ．sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ＝－cos θ D ．cos ⎝⎛⎭⎫θ－π2＝－sin θ5．在平面直角坐标系xOy 中，若角α的顶点在坐标原点，始边与x 非负半轴重合，终边与单位圆交于点P (m ,n ),且33cos()25πα-=，3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则m =（ ）A ．-45B ．45C ．-35D ．356．已知函数2()log f x x =的反函数为()g x ，则()1g x -的图像为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知0.3a e =，5log b =sin 4c =，则（ ）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b <<8．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L .E .J .Brouwer )，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ）A ．()2x f x x =+B ．2()3g x x x =-+C ．21,1()2,1xx f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩D ．1()2g x x x=+ 二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分） 9. 下列给出的各角中，与53π-终边相同的角有（ ） A.3π B. 133πC. 23π-D. 173π-10．下列函数中，与y x =是同一个函数的是（ ）A ．3log 3xy =B ．3log 3xy =C ．y =D ．2y =11．已知全集为R ，集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2680B x xx =-+≤，则下列结论正确的有（ ）A ．(,0]A =-∞B ．{|2RB x x =<或}4x >C ．{}02RA B x x ⋂=≤<D ．{|02RA B x x ⋂=≤<或}4x >12．已知函数e 1()e 1x x f x -=+(e 为自然对数的底数)，则（ ）A ．f (x )为奇函数B ．方程f (x )＝12的实数解为x ＝ln3 C ．f (x )的图象关于y 轴对称 D ．∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，都有()()12120f x f x x x ->-第二部分（非选择题，共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13．已知函数22x y a +=-()0,1a a >≠的图象恒过定点A ，则定点A 的坐标为______. 14. 已知扇形的圆心角为23π，扇形的面积为3π，则该扇形的弧长为____________. 15．十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰•纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即log ba a Nb N =⇔=，现已知2log 6,336b a ==，则12a b+=____，2=ab _____．(第一空2分，第二空3分)16. 已知函数2log ,04()6,4x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩，存在三个互不相等的正实数a ，b ，c 且a b c<<时有()()()f a f b f c ==，则()a b c f a ⋅⋅⋅取值范围是________.四、解答题：本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 温馨提示: 考生请注意在答题卷规定区域内用黑色笔作答,超出指定区域答题不给分. 17．（本小题满分10分）已知sin α＝45，求cos α，tan α的值．18．（本小题满分12分）已知函数()()32log 324f x x x x =+-+的图象在[]2,5-内是连续不断的，对应值表如下：（1）计算上述表格中的对应值a 和b ；（2）从上述对应填表中，可以发现函数()f x 在哪几个区间内有零点？说明理由． 19．（本小题满分12分）求下列各式的值： （1）230234812lg lg 5log 4log 9274e --⎛⎫-+++⨯⎪⎝⎭;（2）3sin()cos()sin 2cos(2020)tan(2020)πααπαπαπα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭+-.20. （本小题满分12分）已知1sin cos 5αα+=-. （1）求sin cos αα⋅的值. （2）若2παπ<<，求11sin cos αα-的值. 21. （本小题满分12分）已知：(){ln 1A x y x ==-+，21log 2B x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭. （1）求AB 、A B .（2）已知函数224()log log 2x f x x ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ∈____________，请从①A B ②A B 选一个补充横线条件后，求函数()f x 的最大值并求函数最大值时x 的值. 22. （本小题满分12分）已知()()1log 011a xf x a a x+=>≠-， (1)判断()f x 的奇偶性并予以证明； (2)若a >1,判断f (x )的单调性（不用证明）．(3)在(2)条件下求不等式f (x －1)+f (1－x 2) <0的解集。
数学答案选择题 填空题：13.21--，14. 2π 15 . 1 16. ()0,8解答题：17、解：因为sin α>0，sin α≠1，所以α是第一或第二象限角．由sin 2α＋cos 2α＝1，得cos 2α＝1－sin 2α＝925.若α是第一象限角，那么cos α>0，于是cos α＝35，从而tan α＝sin αcos α＝43；若α是第二象限角，那么cos α＝－35，tan α＝－43.18.【解】（1）由题意可知()()()()322log 23224201688a f =-=-+-⋅-+⋅-=+-=，()21log 4244b f ==-+=．（2）∵()()210f f -⋅-<，()()100f f -⋅<，()()120f f ⋅<， ∴函数()f x 分别在区间()2,1--，()1,0-，()1,2内有零点． 19．（1）原式23322722lg 22lg 52log 2log 38⎛⎫=---+⋅ ⎪⎝⎭91244=-=. （2）原式sin cos (cos )cos tan()ααααα-=-sin cos tan ααα-=-sin cos sin cos αααα=2cos α=.20. 解：（1）21(sin cos )12sin cos 25αααα+==+， ∴12sin cos 25αα=-. （2）11cos sin sin cos sin cos αααααα--=， ∵21249(cos sin )12sin cos 122525αααα⎛⎫-=-=-⋅-=⎪⎝⎭，又∵,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，∴cos 0α<，sin 0α>，cos sin 0αα-<， ∴7cos sin 5αα-=-，∴原式7355121225-==-.21. 解：（1）由题意知：1040x x ->⎧⎨-≥⎩，集合(]1,4A =，集合)B =+∞，∴2,4AB ⎡⎤=⎣⎦，()1,A B =+∞.（2）以选()1,AB =+∞为例，则22224()log log log log 2244x x x f x x ==-⋅()2log 422log 1log 144xt x x t t =⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭令，其中()2,t ∈-+∞，由二次函数的性质知，在12t =-时取得最大值14，此时21log 42x t ==-，解得x = 22.【解】(1)由>0 ，解得x∈(－1,1)．∴函数y ＝f(x)定义域为(－1,1)……2分11()111()log log log ()log ()1()111aa a a x x x xf x f x x x x x-+--++-====-=---+--……4分∴函数y ＝f(x)是奇函数．……………………5（分） (2) a >1时，1(1,1)log 1a xt y t x+=-=-在上单调递增，单调递增 ∴f (x )在(－1,1)上单调递增。
……………………7分（3）y ＝f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数∴-f (1－x 2)= f (x 2－1) f(x －1)+f (1－x 2) <0等价于f(x －1) < f (x 2－1) ………8分 由(2)知f(x)在(-1,1)上单调递增2211111111,xx x x -<-<⎧⎪∴-<-<⎨⎪-<-⎩0201x x x x <<⎧⎪∴<<⎨⎪<>⎩或1x ∴<<11分∴不等式解集为1(………12分 注：第一问没有求定义域扣2分。
山东省菏泽市巨野县实验中学2024-2025学年高一上学期入学分班考数学试题
山东省菏泽市巨野县实验中学2024-2025学年高一上学期入学分班考数学试题一、单选题1．下列各数中，最小的数是（ ）A ．−2B ．()2--C ．12-D ．2．下列运算正确的是（ ） A ．5510x x x += B ．21m m n n n÷⋅= C ．624a a a ÷=D ．()325a a -=-3．2024年3月份，低空经济首次被写入《政府工作投告》．截止2023年底，全国注册通航企业690家、无人机126.7万架，运营无人机的企业达1.9万家．将126.7万用科学记数法表示为（ ） A ．51.26710⨯ B ．61.26710⨯ C ．71.26710⨯D ．4126.710⨯4．关于x 的一元二次方程2230x x k -+=有实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．98k <B ．98k ≤C ．98k ≥D ．98k <-5．已知点()()()1232,,1,,3,A y B y C y --在反比例函数(0)ky k x=<的图象上，则123,,y y y 的大小关系是（ ） A ．123y y y << B ．213y y y << C ．312y y y <<D ．321y y y <<6．同一条公路连接A ，B ，C 三地，B 地在A ，C 两地之间．甲、乙两车分别从A 地、B 地同时出发前往C 地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．下图表示甲、乙两车之间的距离y （km ）与时间x （h ）的函数关系．下列结论正确的是（ ）A ．甲车行驶8h 3与乙车相遇B ．A ，C 两地相距220km C ．甲车的速度是70km /hD ．乙车中途休息36分钟7．《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这样一道题目：以绳测井．若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度．如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多4尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺．绳长、井深各是多少尺？若设绳长x 尺，井深y 尺，则符合题意的方程组是（ ） A ．3441x y x y -=⎧⎨-=⎩B ．3441x yx y +=⎧⎨+=⎩C ．4314xy x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩D ．4314xy x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩8．如图，Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，分别以顶点A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧分别相交于点M 和点N ，作直线MN 分别与BC ，AC 交于点E 和点F ；以点A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB ，AC 于点H 和点G ，再分别以点H ，点G 为圆心，大于12HG 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP ，若射线AP 恰好经过点E ，则下列四个结论：①30C ∠=︒；②AP 垂直平分线段BF ；③2CE BE =；④16BEF ABC S S =△△．其中，正确结论的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，分别延长圆内接四边形ABCD 的两组对边，延长线相交于点E ，F .若5441E '∠=︒，4319F '∠=︒，则A ∠的度数为（ ）A ．42︒B ．4120'︒C ．41︒D ．4020'︒10．如图所示是二次函数()20y ax bx c a =++≠的部分图象，该函数图象的对称轴是直线1x =，图象与y 轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①20a b +=；②方程20ax bx c ++=一定有一个根在2-和1-之间；③方程2302ax bx c ++-=一定有两个不相等的实数根；④2b a -<．其中，正确结论的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．因式分解：()()241x x +++=． 12x 的取值范围为． 13．如图，在平面直角坐标系中，直线()10y ax b a =+≠与双曲线()20ky k x=≠交于点()1,A m -，()2,1B -．则满足12y y ≤的x 的取值范围．14．将一张矩形纸片（四边形ABCD ）按如图所示的方式对折，使点C 落在AB 上的点C '处，折痕为MN ，点D 落在点D ¢处，C D ''交AD 于点E ．若3BM =，4BC '=，3AC '=，则DN =．15．如图①是半径为1的圆，在其中挖去2个半径为12的圆得到图②，挖去22个半径为212⎛⎫ ⎪⎝⎭的圆得到图③……，则第(1)n n >个图形阴影部分的面积是.16．在平面直角坐标系中，抛物线2y x =的图象如图所示．已知A 点坐标为()1,1，过点A 作1AA x ∕∕轴交抛物线于点1A ，过点1A 作12A A OA ∕∕交抛物线于点2A ，过点2A 作23A A x ∕∕轴交抛物线于点3A ，过点3A 作34A A OA ∕∕交抛物线于点4A ……，依次进行下去，则点2019A 的坐标为．三、解答题17．（12132-⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（2）先化简，再求值：32111a a a a +⎛⎫+-÷⎪--⎝⎭，其中2a =. 18．如图1，在ABE V 中，点C ，D 在边BE 上，AB AE =，BC DE =. (1)求证：BAC EAD ∠=∠.(2)如图2，用直尺和圆规在直线BC 上取点D ，点E （点D 在点E 的左侧），使得EAD BAC ∠=∠，且DE BC =（不写作法，保留作图痕迹）；(3)如图3，用直尺和圆规在直线AC 上取一点D ，在直线BC 上取一点E ，使得CDE BAC ∠=∠，且DE AB =（不写作法，保留作图痕迹）.19．在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A 地沿相同路线骑行去距A 地30千米的B 地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．若乙先骑行2千米，甲才开始从A 地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度； 20．直线()10y kx b k =+≠与反比例函数28y x=-的图象相交于点()2,A m -，(),1B n -，与y 轴交于点C ．(1)求直线1y 的表达式；(2)若12y y >，请直接写出满足条件的x 的取值范围；(3)过C 点作x 轴的平行线交反比例函数的图象于点D ，求ACD V 的面积．21．如图①是位于嘉峪关市雄关广场转盘中心的象征这座城市的雄关之光，于2001年6月建成，其形如长剑指天，寓意亲手创造了戈壁钢城的嘉峪关人坚韧不拔，奋发向上，继续创建嘉峪关更加辉煌明天的美好愿望.某校实践小组把“测量雄关之光雕塑的高度”作为一项活动课题，并设计了如下的测量方案.请根据以上测量数据，计算雄关之光雕塑AB的高度.（结果保留整数）（参考数据：︒≈，sin580.85︒≈，tan350.70︒≈，cos350.82sin350.57︒≈）︒≈，cos580.53︒≈，tan58 1.60 22．为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（共20题，每题5分，满分100分）．该校从学生成绩都不低于80分的八年级（1）班和（3）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表．【收集数据】八年级（1）班20名学生成绩：85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95．八年级（3）班20名学生成绩：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95．【描述数据】八年级（1）班20名学生成绩统计表【分析数据】八年级（1）班和（3）班20名学生成绩分析表【应用数据】根据以上信息，回答下列问题． (1)请补全条形统计图：(2)填空：m =______，n =______；(3)你认为哪个班级的成绩更好一些？请说明理由；(4)从上面5名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加市级知识竞赛．请用列表法或画树状图法求所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率．23．如图，ABC V 内接于O e ，D 是BC 上一点，AD AC =．E 是O e 外一点，,BAE CAD ADE ACB ∠=∠∠=∠，连接BE ．(1)若8AB =，求AE 的长； (2)求证：EB 是O e 的切线．24．问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为ABC V 和DFE △，其中90,ACB DEF A D ∠=∠=∠=∠o ．将ABC V 和DFE △按图2所示方式摆放，其中点B 与点F重合（标记为点B ）．当ABE A ∠=∠时，延长DE 交AC 于点G ．试判断四边形BCGE 的形状，并说明理由．(1)数学思考：谈你解答老师提出的问题；(2)深入探究：老师将图2中的DBE V 绕点B 逆时针方向旋转，使点E 落在ABC V 内部，并让同学们提出新的问题．①“善思小组”提出问题：如图3，当ABE BAC ∠=∠时，过点A 作AM BE ⊥交BE 的延长线于点,M BM 与AC 交于点N ．试猜想线段AM 和BE 的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；②“智慧小组”提出问题：如图4，当CBE BAC ∠=∠时，过点A 作AH DE ⊥于点H ，若==，求AH的长．请你思考此问题，直接写出结果．BC AC9,1225．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2=++的图象与x轴交于A、B两点，Ay x bx c-点，点P是直线BC下方的抛物点在原点的左侧，B点的坐标为(3,0)，与y轴交于C(0,3)线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式；(2)求出四边形ABPC的面积最大时的P点坐标和四边形ABPC的最大面积；V为等腰三角形，写出Q点坐标．(3)在直线BC找一点Q，使得QOC。
河南省实验中学2022-2023学年高一上学期线上阶段性测试数学试题(二)(含答案解析)
河南省实验中学2022-2023学年高一上学期线上阶段性测试数学试题（二）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}2log ,1A y y x x ==>，{}log 2,1x B y y x ==>，则A B = （）A ．{}0y y >B ．{}01y y <<C ．{}01y y <≤D ．∅2．如图，U 是全集，,,M P S 是U 的子集，则阴影部分表示的集合是（）A ．()M P SB ．()M P SC ．()U M P S ⋂⋂ðD ．()U M P S⋂⋃ð3．设ln 3a =，1log 3eb =，23c -=，则（）A ．a b c >>B ．b a c>>C ．a c b >>D ．c b a>>4．若－4<x <1，则22222x x x -+-（）A ．有最小值1B ．有最大值1C ．有最小值－1D ．有最大值－15．若33sin 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且α是第三象限角，则2021cos 2πα⎛⎫+=⎪⎝⎭（）A ．35B ．35-C ．45D ．45-6．若sin()cos()sin 4παβαβαβ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭，则（）A ．()tan 1αβ-=B ．()tan 1αβ+=C ．()tan 1αβ-=-D ．()tan 1αβ+=-7．下列关于函数tan 23y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的说法正确的是（）A ．最小正周期为πB ．图像关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称C ．在区间,312ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增D ．图像关于直线12x π=-成轴对称8．若函数()f x 同时满足：①定义域内任意实数x ，都有()()110f x f x ++-=；②对于定义域内任意1x ，2x ，当12x x ≠时，恒有()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦；则称函数()f x 为“DM 函数”．若“DM 函数”满足()()2sin cos 0f f αα-+>，则锐角α的取值范围为（）A ．0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题9．已知[0]:,1p x ∀∈,不等式2223x m m -- 恒成立,:[1,3]q x ∃∈,不等式24x ax -+ 0,则下列说法正确的是()A ．p 的否定是:[]00,1x ∃∈,不等式20223x m m-<-B ．q 的否定是:0[1,3]x ∀∈,不等式20040x ax -+C ．p 为真命题时,12mD ．q 为假命题时,4a <10．下列命题正确的是（）A ．函数y =的定义域为[3,)+∞B ．函数421x x y =++的值域为(1,)+∞C ．已知23a b k ==（1k ≠），且121a b+=，则实数8k =D ．2x y =与2log y x =互为反函数，其图像关于y x =对称11）A B ．22cossin 1212ππ-C ．cos15 sin 45 sin15cos45︒︒-︒︒D ．2tan151tan 15︒-︒12．设函数()2πcos (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎝⎭，已知()f x 在[]0,π上有且仅有4个零点，则（）A ．ω的取值范围是1925,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．()y f x =的图象与直线1y =在()0,π上的交点恰有2个C ．()y f x =的图象与直线1y =-在()0,π上的交点恰有2个D ．()f x 在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减三、填空题13．若函数()2743kx f x kx kx +=++的定义域为R ，则实数k 的取值范围是__________.14．已知4sin cos 3αα-=，则sin cos αα=__________．15．已知函数()cos f x x x =+，对于任意x ∈R ，都有0()()f x f x ≤成立，则0sin x =_____．16．已知函数π()cos ln(4f x x x =+⋅+在区间[]2022,2022-上的最大值是M ，最小值是m ，则()f M m +=____________．四、解答题17．已知集合{}{}34,211A x x B x m x m =-≤<=-≤≤+（1）若B A ⊆，求实数m 的取值范围.（2）命题q ：“x A ∃∈，使得x B ∈”是真命题，求实数m 的取值范围.18．计算(1)已知tan 3α=．求()()πsin 3sin π23πcos cos 5π2αααα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的值．(2)计算()sin 501︒+︒．19．为了进一步增强市场竞争力，某企业计划在2023年利用新技术生产某部手机.经过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，每生产x （单位：千部）手机，需另投入可变成本()R x 万元，且()210200800,040,81008018500,40.x x x R x x x x ⎧++<<⎪=⎨+-≥⎪⎩由市场调研知，每部手机售价0.8万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.（利润=销售额－固定成本－可变成本）(1)求2023年的利润()W x （单位：万元）关于年产量x （单位：千部）的函数关系式；(2)2023年的年产量为多少（单位：千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？20．如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．(1)如果A ，B 两点的纵坐标分别为412,513，求cos α和sin β的值；(2)在（1）的条件下，求cos()a β-的值．21．已知函数π()2.4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(1)求()f x 的单调递增区间：(2)若函数()()g x f x m =-在π3π,244⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点个数为2，求m 的取值范围．22．设函数f (x )=ax -a -x (x ∈R ，a >0且a ≠1).（1）若f (1)<0，求使不等式f (x 2+tx )＋f (4-x )<0恒成立时实数t 的取值范围；（2）若3(1)2f =，g (x )=a 2x ＋a -2x -2mf (x )且g (x )在[1，+∞)上的最小值为-2，求实数m 的值.参考答案：1．A【分析】根据对数的性质确定集合A 、B ，再应用集合的交运算求结果.【详解】由(1,)x ∈+∞，则2log 0y x =>，故{|0}A y y =>，由x 趋向于1时21log 2log x y x ==趋向正无穷大，x 趋向于+∞时21log 2log x y x==趋向0，故{|0}B y y =>，所以A B = {}0y y >.故选：A 2．C【分析】根据交并补的概念和韦恩图判断即可.【详解】A 选项：()M P S = ⑤，故A 错；B 选项：()M P S = ③⑤⑥⑦⑧，故B 错；C 选项：M P ⋂=③⑤，U S =ð①②③④，所以()U M P S = ð③，故C 正确；D 选项：()U M P S = ð①②③④⑤，故D 错.故选：C.3．C【解析】利用对数函数、指数函数的单调性与“0，1”比较即可.【详解】ln 3ln 1a e =>=Q ，11log 310eeb log =<=，2139c -==，a c b ∴>>．故选:C .【点睛】本题考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，属于基础题．4．D【分析】先将22222x xx-+-转化为11[(1)]21xx-+-，根据－4<x<1，利用基本不等式求解.【详解】22211[(1)] 2221 x x xx x-+=-+--又∵－4<x<1，∴x－1<0．∴－(x－1)>0．∴11[(1)]12(1)xx---+≤---．当且仅当x－1＝11x-，即x＝0时等号成立．故选：D【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题. 5．C【分析】利用诱导公式和同角三角函数平方关系可求得sinα，再次利用诱导公式可求得结果.【详解】33 sin cos25παα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，3cos5α∴=-，又α是第三象限角，4sin5α∴=-，20214cos sin25παα⎛⎫∴+=-=⎝⎭.故选：C.6．C【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】[方法一]：直接法由已知得：() sin cos cos sin cos cos sin sin2cos sin sin αβαβαβαβααβ++-=-,即：sin cos cos sin cos cos sin sin0αβαβαβαβ-++=，即：()()sin cos0αβαβ-+-=所以()tan1αβ-=-故选：C[方法二]：特殊值排除法解法一:设β=0则sinα+cosα=0，取=2πα，排除A,B；再取α=0则sinβ+cosβ=2sinβ，取β=4π，排除D ；选C.[方法三]：三角恒等变换sin()cos()]44cos sin sin 444ππαβαβαβαβπππαβαβαβ+++=++++=++=+（（）（）（）（）cos sin 44ππαβαβ++（）（）sin cos cos sin =044ππαβαβ+-+（（）即sin=04παβ+-（）sin =sin cos cos sin =sin cos =044422πππαβαβαβαβαβ∴-+-+--+-（）（）（）（）（）sin =cos αβαβαβ∴----（）（）即tan(）=-1,故选：C.7．B【分析】根据函数tan(2)tan(233y x x ππ=-+=--，结合正切函数的图象与性质，对选项中的命题判断正误即可．【详解】解：函数tan(2)tan(233y x x ππ=-+=--，当512x π=时，521232πππ⨯-=，所以图象关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，选项B 正确；函数的最小正周期为2T π=，所以A 错误；当,312x ππ⎛-∈⎫-⎪⎝⎭时，2,32x πππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，所以函数在,312ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，所以C 错误；正切函数不是轴对称函数，所以D 错误．故选：B ．8．A【分析】先判断出函数()y f x =是R 上的增函数，把()()2sin cos 0f f αα-+>转化为sin cos αα<，即可求出锐角α的取值范围.【详解】由()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦，知：函数()y f x =是R 上的增函数.由()()110f x f x ++-=，即()() 11f x f x +=--，所以由题设：()()2sin cos f f αα->-，∴()()()()() cos 11cos 11cos f f f ααα-=---=+-，即有()() 2sin 2cos f f αα->-.∵函数()y f x =是R 上的增函数.∴2sin 2cos αα->-，即sin cos αα<，∵α为锐角﹐则cos 0α>，∴0tan 1α<<，则α的取值范围是0,4π⎛⎫⎪⎝⎭．故选：A 9．ACD【分析】根据命题的否定定义判断，求参数可转化为函数的最值问题【详解】p 的否定是:0[0,1]x ∃∈,不等式20223x m m -<-，A 正确q 的否定是:0[1,3]x ∀∈,不等式20040x ax -+>，B 错误若p 为真命题,则2min [0,1],(22)3x x m m ∈--,即2320m m -+ 解得12m，C 正确若q 为假命题,则2[1,3],40x x ax ∈-+>恒成立即4a x x<+恒成立因为44x x += ,当且仅当4x x =,即2x =取等所以4a <，D 正确故选：ACD 10．ABD【分析】对于A ，直接根据表达式求定义域即可；对于B ，利用换元法，结合范围即可求得值域；对于C ，首先利用指对互换公式变形，再根据对数计算公式即可求解；对于D ，根据反函数定义以及性质即可求解.【详解】对于A ，因为3270x -≥，即333x ≥，解得3x ≥，即定义域为[)3,∞+，正确；对于B ，令2xt =，()0,t ∞∈+，则原式可变为2213()124f t t t t ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，()0,t ∞∈+，则1122t +>，2131312444t ⎛⎫++>+= ⎪⎝⎭，即()1f t >，即421x x y =++的值域为(1,)+∞，B 正确；对于C ，由23a b k ==，根据指对互换法则，得2log k a =，3log k b =，则由121a b+=可得2312log 22log 3log 2log 9log 181log log k k k k k k k+=+=+==，解得18k =，则C 错误；对于D ，根据反函数定义可知，2x y =与2log y x =互为反函数，由反函数性质可得，互为反函数的图像关于直线y x =对称，正确.故选：ABD 11．AB【分析】结合二倍角公式和正弦的差角公式依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：选项A sin 60==︒=；选项B ：22cos sin cos121262πππ-==；选项C ：()1cos15sin 45sin15cos 45sin 4515sin 302︒︒-︒︒=︒-︒=︒=；选项D ：22tan1512tan1511tan 301tan 1521tan 152236︒︒=⨯=︒=⨯=-︒-︒.故选：AB.12．AB【分析】对于A,确定2π2π2ππ[,]333πx ω-∈--，根据零点个数确定5π2π7ππ232ω≤-<，求得参数范围；对于B ，C ，采用整体代换思想，结合余弦函数的图象和性质即可判断；对于D ，当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，确定2ππ2ππ2π,34323x ωωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，计算π2ππ2π,4323ωω--的范围，从而确定()f x 在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调性.【详解】当[]0,πx ∈时，2π2π2ππ[,]333πx ω-∈--，因为()f x 在[]0,π上有且仅有4个零点，所以5π2π7ππ232ω≤-<，解得192566ω≤<，故A 正确；又由以上分析可知，函数cos y x =在2π2π[,π3]3ω--上有且仅有4个零点，且5π2π7ππ232ω≤-<，则在2π7π[,)32-上，cos y x =出现两次最大值，此时函数cos y x =的大致图象如图示：即()y f x =在()0,π上两次出现最大值1，即2ππ3x -取0,2π时，()y f x =取最大值，故()y f x =的图象与直线1y =在()0,π上的交点恰有2个，故B 正确；由于当(0,π)x ∈时，2π2π2ππ(,333πx ω-∈--，5π2π7ππ232ω≤-<，当2πππ3x -=-时，()y f x =取最小值1-，由于2ππ3x -是否取到3π不确定，故()y f x =的图象与直线1y =-在()0,π上的交点可能是1个或2个，故C 错误；当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2ππ2ππ2π,34323x ωωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，因为192566ω≤<，所以π2π043ω->，11ππ2π17π122312ω≤-<，故π2π23ω-的值不一定小于π，所以()f x 在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上不一定单调递减.故选：AB.【点睛】本题考查了复合型余弦函数的解析式中参数的确定以及零点以及最值和单调性问题，综合性强，计算量大，解答时要能综合应用三角函数的相关知识灵活解答，关键是整体代换思想的应用.13．30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】分析可知，对任意的x R ∈，2430kx kx ++≠恒成立，分0k =、0k ≠两种情况讨论，结合已知条件可求得实数k 的取值范围.【详解】因为函数()2743kx f x kx kx +=++的定义域为R ，所以，对任意的x R ∈，2430kx kx ++≠恒成立.①当0k =时，则有30≠，合乎题意；②当0k ≠时，由题意可得216120k k ∆=-<，解得304k <<.综上所述，实数k 的取值范围是30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭.14．718-【分析】将已知条件两边平方，结合同角三角函数的平方关系即可求值.【详解】由22216(sin cos )sin 2sin cos cos 12sin cos 9αααααααα-=-+=-=，所以7sin cos 18αα=-.故答案为：718-15【分析】对于任意x ∈R ，都有0()()f x f x ≤成立,则0()f x 是()f x 的最大值，由两角和的正弦公式化简函数式，由正弦函数的最大值求得0x ，再计算其正弦值．【详解】1()cos 2(sin cos )2sin()226f x x x x x x π=+=+=+,对于任意x ∈R ，都有0()()f x f x ≤成立,则0()f x 是()f x 的最大值,所以0262x k πππ+=+，Z k ∈，023x k ππ=+，Z k ∈，0sin sin(2sin 33x k πππ=+==．16．π4【分析】令(()cos ln g x x x =⋅，则()()π4f xg x =+，()f x 和()g x 在[]2022,2022-上单调性相同，()g x 时奇函数，可得()g x 在max min ()()0g x g x +=，据此可求M ＋m ，从而求出()f M m +.【详解】令(()cos ln g x x x =⋅，则()()π4f xg x =+，∴()f x 和()g x 在[]2022,2022-上单调性相同，∴设()g x 在[]2022,2022-上有最大值max ()g x ，有最小值min ()g x .∵()(cos ln g x x x -⋅-＝，∴()())cos ln 0g x g x x x x ⎡⎤+-=⋅=⎢⎥⎣⎦，∴()g x 在[]2022,2022-上为奇函数，∴max min ()()0g x g x +=，∴max min ππ(),()44M g x m g x =+=+，∴π2M m +=，()ππ24f M m f ⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故答案为：π417．（1）1m ≥-；（2）[4,2]-.【分析】（1）B A ⊆，分B 为空集和B 不是空集两种情况讨论求解即可；（2）由x A ∃∈，使得x B ∈，可知B 为非空集合且A B ⋂≠∅，然后求解A B ⋂=∅的情况，求出m 的范围后再求其补集可得答案【详解】解：（1）①当B 为空集时，121,2m m m +<->成立.②当B 不是空集时，∵B A ⊆，12121314m m m m +≥-⎧⎪-≥-⎨⎪+<⎩，∴12m -≤≤综上①②，1m ≥-.（2）x A ∃∈，使得x B ∈，∴B 为非空集合且,121,2A B m m m ≠∅+≥-≤ .当A B ⋂=∅时2142m m -≥⎧⎨≤⎩，无解或132m m +<-⎧⎨≤⎩，4m <-，∴,[4,2]A B m ≠∅∈- .18．(1)4(2)1【分析】(1)先用诱导公式化简，再用同角三角函数的商数关系转化，代入tan 3α=即可求解;(2)用诱导公式化简和同角三角函数的商数关系化简求解.【详解】（1）解：()()πsin 3sin πcos 3sin 13tan 133243πsin cos tan 131cos cos 5π2αααααααααα⎛⎫+++ ⎪---⨯⎝⎭===-+-+-+⎛⎫--+ ⎪⎝⎭．（2）sin 501sin 50︒︒⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭原式2sin 5012sin 50cos50cos10cos1022cos10︒︒︒︒︒︒︒⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭sin100cos101cos10cos10︒︒︒︒===19．(1)()2106001050,040,81008250,40.x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩；(2)90，8070万元.【分析】（1）()()800250W x x R x =--代入分段函数化简即可.（2）分别求分段函数的最值，取最大值即可.【详解】（1）()()()2280025010200800106001050,040,800250810081008250,40.8002508018500x x x x x x W x x R x x x x x x x ⎧--++⎧-+-<<⎪⎪=--==⎨⎨⎛⎫--+≥--+⎪⎪ ⎪⎩⎝⎭⎩（2）2106001050,040y x x x =-+-<<，当30x =时，max 7950y =；8100825082508070y x x ⎛⎫=-++≤-= ⎝⎭，当且仅当90x =时等号成立.故当产量为90千部时，企业所获利润最大，最大利润为8070万元20．(1)3cos 5α=，12sin 13β=(2)3365【分析】（1）根据正弦和余弦函数的定义即可求得sin α和sin β，进而求得cos α；（2）结合（1）的结论由两角差的余弦公式计算即可．【详解】（1）解：∵1OA =，1OB =，且点A ，B 的纵坐标分别为45，1213，∴4sin 5α=，12sin 13β=，又∵α为锐角，∴cos α＝35．（2）解：∵β为钝角，∴由（1）知cos β=＝－513，∴5312433cos()cos cos sin sin 13513565a ββαβα-=+=-⨯+⨯=．21．(1)π3ππ,π,Z 88k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；(2)⎡-⎣.【分析】（1）利用正弦型函数的性质求函数的增区间；（2）将问题化为()πsin 24h x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象与直线4y m =的交点有2个，结合正弦型函数性质求()h x 的区间端点值，即可确定参数范围.【详解】（1）令222,242k x k k πππ-+π≤-≤+π∈Z ，解得π3πππ,Z 88k x k k -+≤≤+∈故()f x 的单调递增区间为π3ππ,π,Z 88k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）()g x 在π3π,244⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点个数等于()πsin 24h x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象与直线4y m =的交点个数．因为π3π,244x ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦∈，所以ππ5π2,434x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当ππ242x -=，3π8x =时，则()h x 在π3π,248⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在[3π8，3π4]上单调递减．所以()max 1h x =，π3π24242h h ⎛⎫⎛⎫-=-<=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以124m -≤<，即m 的取值范围为⎡-⎣.22．（1）35t -<<；（2）2.【分析】(1)由f (1)<0导出01a <<，再探讨函数f (x )的单调性及奇偶性，由此将给定不等式等价转化成一元二次不等式恒成立即可；(2)由3(1)2f =求出2a =，借助换元的思想将函数g (x )转化成二次函数问题即可作答.【详解】（1）()1110f a a a a -=--<=，即210a a-<，而0a >，则210a -<，解得01a <<，显然()f x 在R 上单调递减，又()()x x f x a a f x --=--=，于是得()f x 在R 上是奇函数，从而有()()24f x tx f x ++-<0等价于()()()244f x tx f x f x +<--=-，由原不等式恒成立可得24x tx x +>-，即()2140x t x +-+>恒成立，亦即()21440t ∆=--⨯<，解得：35t -<<，所以实数t 的取值范围是：35t -<<；（2）()1211132a a a a f a a ---====-，即22320a a --=，而0a >，解得：2a =，所以()()()()22222222222222x x x x x x x x g x m m ----=+--=---+，令22x x t -=-，显然22x x t -=-在[)1,+∞上单调递增，则1322222x x t -=-≥-=，()222h t t mt =-+，对称轴为t m =，当32m ≥时，()()22min 222h t h m m m ==-+=-，解得2m =或2m =-(舍)，则2m =，当32m <时，()2min 33317()()22322224h t h m m ==-⋅+=-=-，解得：253122m =>不符合题意，综上得2m =，所以实数m 的值为2.。
河北省石家庄市河北正中实验中学2024-2025学年高一上学期月考一数学试题
河北省石家庄市河北正中实验中学2024-2025学年高一上学期月考一数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．下列表述正确的是（ ）A ．{}00,1,2ÎB ．{}{}0,1,22,1,0ÍC ．{}0,1,2ÆÍD ．{}0Æ=10．下列命题中为真命题的是（ ）A ．若0a b >>，则22ac bc >B ．若a b >，则a c b c+>+C ．若0a b >>且0c <，则22a c b c<(2)若xÎQ是x PÎ的充分条件，求实数a的取值集合；(3)若1a=，且存在x AÎ，使得230-++=成立，求实数m的取值范围.x x m则命题:1p x Ø£，命题:01q x Ø££，由01x ££能推出1x £，由1x £不能推出01x ££.所以q Ø是p Ø的充分不必要条件.故选：A 8．B【分析】问题转化为满足条件E D ÆÍÍ的集合E 的个数，其中D 中含有4个元素，求集合D 的子集个数即可.【详解】去掉A B C ､､三个集合中共有的A 中的2个元素，集合C 中去掉集合A 中的2个元素，剩下4个元素构成集合D ，集合B 中去掉集合A 中的2个元素构成的新集合记为集合E ，原题等价于满足E D ÆÍÍ的集合E 的个数，即集合D 的子集个数4216=个.所以满足条件的集合B 有16个.故选：B.9．ABC【分析】根据元素与集合，集合与集合之间的关系逐一判断即可.【详解】对于A ：因为0是元素，{}0,1,2是集合，所以{}00,1,2Î，故A 正确；对于B ：因为集合具有无序性，且{}0,1,2是{}0,1,2的子集，所以{}{}0,1,22,1,0Í，故B 正确；对于C ：因为空集是任何集合的子集，所以{}0,1,2,ÆÍ故C 正确，对于D ：因为空集是指不含任何元素的集合.{}0中含有元素0，所以{}0ƹ，故D 错误.故选：ABC.10．BCD【分析】利用不等式的性质和作差法比较大小，对各命题的结论进行判断.只需讨论0,1,2,3,4,5x=时的情形，由此列出以下表格：。
山东省济南市山东省实验中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题(含答案)
山东省实验中学2024～2025学年第一学期期中高二数学试题 2024.11（选择性必修—检测）说明：本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页.试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（共58分）一、单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分。
每小题只有一个选项符合题意）1.已知空间向量，，，若，，共面，则实数（ ）A.1B.2C.3D.42.“”是“直线与直线平行”的（ ）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.给出下列说法，其中不正确的是（）A.若，则，与空间中其它任何向量都不能构成空间的一个基底向量B.若，则点是线段的中点C.若，则，，，四点共面D.若平面，的法向量分别为，，且，则3.若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有（ ）A.2个B.3个C.4个D.5个4.实数，满足，则的最小值为（ ）A. B.7C. D.36.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）A.()1,2,0a = ()0,1,1b =- ()2,3,c m = a b cm =1m =-()1:2310l mx m y +++=2:30l x my ++=a b ∥a b c2PM PA PB =+M AB 2OA OB OC OD =+-A B C D αβ()12,1,1n =- ()21,,1n t =-αβ⊥3t =1:43l x y +=2:0l x y +=3:2l x my -=m x y 2222x y x y +=-3x y -+3+:20l kx y --=:1C x =-k k >5k <≤k <<1k <≤7.在三棱锥中，为的重心，，，，，，若交平面于点，且，则的最小值为（ ）A.B.C.1D.8.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上且位于第一象限，圆与线段的延长线，线段以及轴均相切，的内切圆为圆.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为4，则的离心率为（ ）A.C.二.多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）9.下列说法正确的是（）A.若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B.圆与直线必有两个交点C.在轴、轴上的截距分别为，的直线方程为D.设，，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是10.已知椭圆的离心率为，长轴长为6，，分别是椭圆的左、右焦点，是一个定点，是椭圆上的动点，则下列说法正确的是（ ）A.焦距为2B.椭圆的标准方程为P ABC -G ABC △PD PA λ= PE PB μ= 12PF PC =λ()0,1μ∈PG DEF M 12PM PG =λμ+122343()2222:10x y C a b a b+=>>1F 2F P C 1O 1F P 2PF x 12PF F △2O 1O 2O 1O 2O C 123522:4O x y +=10mx y m +--=x y a b 1x y a b+=()2,2A -()1,1B :10l ax y ++=AB a (]322⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，，()2222:10x y E a b a b +=>>23F F '()1,1A P E E 22195x y +=C.D.的最大值为11.立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数24，棱长为的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有（）A.平面B.，，，四点共面C.点到平面的距离为D.若为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值范围为第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分.）12.已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围为______.13.如图，已知点，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是______.14.杭州第19届亚运会的主会场——杭州奥体中心体育场，又称“大莲花”（如图1所示）.会场造型取意于杭州丝绸纹理与纺织体系，建筑体态源于钱塘江水的动态，其简笔画如图2所示.一同学初学简笔画，先AF '=PA PF +6AG ⊥BCDG A F C D B ACD E BC DE AF 12⎡⎢⎣l 2,43ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭l ()8,0A ()0,4B -()3,0P AB OB OB P画了一个椭圆与圆弧的线稿，如图3所示.若椭圆的方程为，下顶点为，为坐标原点，为圆上任意一点，满足，则点的坐标为______；若为椭圆上一动点，当取最大值时，点恰好有两个，则的取值范围为______.图1 图2 图3四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（13分）已知两直线和的交点为.（1）直线过点且与直线平行，求直线的一般式方程；（2）圆过点且与相切于点，求圆的一般方程.16.（15分）已知椭圆，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆交于，两点，且点在第一象限，点，分别为椭圆的右顶点和上顶点，求四边形面积的最大值.17.（15分）在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到位置，使得（如图2）.图1 图2（1）求证：平面平面；（2）线段上是否存在点，使得与平面的值；若不存在，请说明理由.E()222210x ya ba b+=>>10,2A⎛⎫-⎪⎝⎭O P C2PO PA=C Q QC Q a1:20l x y++=2:3210l x y-+=Pl P310x y++=lC()1,01l P C()2222:10x yC a ba b+=>>⎛⎝C12l C M N M A B CAMBN SABCD AB CD∥3BADπ∠=224AB AD CD===P AB AC DP O ACD△AC ACD'△D O OP'⊥D AC'⊥ABCPD'Q CQ BCD'PQPD'18.（17分）已知直线，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方.（1）求圆的方程；（2）直线与圆交于不同的，两点，且，求直线的斜率；（3）过点的直线与圆交于，两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由.19.（17分）已知点，是平面内不同的两点，若点满足（，且），则点的轨迹是以有序点对为“稳点”的-阿波罗尼斯圆.若点满足，则点的轨迹是以为“稳点”的-卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，，.（1）若以为“稳点”的-阿波罗尼斯圆的方程为，求，，的值；（2）在（1）的条件下，若点在以为“稳点”的5-卡西尼卵形线上，求（为原点）的取值范围；（3）卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若，，求证：不存在实数，，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称.:40l x ++=C l C x l C 2y kx =-C M N 120MCN ︒∠=2y kx =-()0,1M C A B A x y N y ANB ∠N A B P PAPBλ=0λ>1λ≠P (),A B λQ ()0QA QB μμ⋅=>Q (),A B μ()2,0A -()(),2B a b a ≠-(),A B λ221240x y x +-+=a b λQ (),A B OQ O 0b =λ=a μ(),A B μ山东省实验中学2024～2025学年第一学期期中高二数学试题参考答案 2024.11选择题1234567891011ABCBDDCCBDBCDABD填空题12..13.，.解答题15.【答案】（1）（2）.【详解】（1）直线与直线平行，故设直线为，……1分联立方程组，解得.直线和的交点.……3分又直线过点，则，解得，即直线的方程为.……5分（2）设所求圆的标准方程为，的斜率为，故直线的斜率为1，由题意可得，……8分解得，……11分故所求圆的方程为.(()1,-∞-+∞ ,20,3⎛⎫-⎪⎝⎭a >340x y ++=221140333x y x y +++-=l 310x y ++=l 130x y C ++=203210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩11x y =-⎧⎨=-⎩∴1:20l x y ++=2:3210l x y -+=()1,1P --l P 1130C --+=14C =l 340x y ++=()()222x a y b r -+-=1:20l x y ++=1-CP ()()()()2222221110111a b r a b r b a ⎧--+--=⎪⎪-+-=⎨⎪+⎪=+⎩216162518a b r ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩2211256618x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为一般式：.……13分16.【答案】（1）（2）【详解】（1）由椭圆，解得，……2分由椭圆过点，得，联立解得，，……4分所以椭圆的方程为.……5分（2）由题意可设，点在第一象限，，……6分设，，点，到直线的距离分别为，，由，消可得，，，……8分10分，，直线的一般式方程：，，，，……12分14分当时，有最大值为……15分17.【答案】（1）证明见解析（2）存在，【详解】（1）证明：在梯形中，，22114333x y x y+++-=2214xy+=2222:1x yCa b+==2a b= C⎛⎝221314a b+=2a=1b=C2214xy+=1:2l y x m=+M11m∴-<<()11,M x y()22,N x y A B l1d2d221412xyy x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩y222220x mx m++-=122x x m∴+=-21222x x m=-MN∴===()2,0A()0,1B l220x y m-+=1d∴=2d=12d d∴+=()121122AMN BMNS S S MN d d∴=+=⋅+==△△m=S13ABCD AB CD∥，，为的中点，，，，……1分是正三角形，四边形为菱形，，，……3分，，又，，平面，平面，……5分平面，平面平面.……6分（2）存在，，理由如下：……8分平面，，，，两两互相垂直，如图，以点为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系.则，，，，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，，……11分设，，，， (12)分设与平面所成角为，则，即，，解得，224AB AD CD ===3BAD π∠=P AB CD PB ∴∥CD PB =BC DP =ADP ∴△DPBC AC BC ∴⊥AC DP ⊥AC D O ⊥' D O OP '⊥AC OP O = AC OP ⊂ABC D O ∴'⊥ABC D O ⊂' D AC '∴D AC '⊥ABC 13PQ PD '=D O ⊥' BAC OP AC ⊥OA ∴OP OD 'O OA OP OD 'x y z ()C ()2,0B ()0,0,1D '()0,1,0P )2,1BD ∴'=- )CD '=CBD '(),,n x y z =00n BD n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩'' 200y z z -+=+=⎪⎩1x =0y =z =(1,0,n ∴=()01PQ PD λλ'=≤≤)CP =()0,1,1PD =-'),CQ CP PQ CP PD λλλ∴=+=+=- CQ BCD 'θsin cos ,CQ n CQ n CQ n θ⋅====23720λλ-+=01λ≤≤ 13λ=线段上存在点，且，使得与平面……15分18.【答案】（1）（2）（3）【详解】（1）设圆心，则，……2分解得或（舍），故圆的方程为.……4分（2）由题意可知圆心到直线的距离为，……6分，解得.……8分（3）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，由得，……10分，……12分若轴平分，则，即，即，即，即，即，……14分当时，上式恒成立，即；……15分当直线的斜率不存在或斜率为0时，易知满足题意；综上，当点的坐标为时，轴平分.……17分19.【答案】（1），，（2）（3）证明见解析【详解】（1）因为以为“稳点”的—阿波罗尼斯圆的方程为，设是该圆上任意一点，则，……1分所以，……3分∴PD 'Q 13PQ PD '=CQ BCD '224x y +=k =()0,4N ()(),04C a a >-422a +=0a =8a =-C 224x y +=C 2y kx =-2sin 301︒=1=k =AB AB ()10y kx k =+≠()()0,0N t t >()11,A x y ()22,B x y 224,1x y y kx ⎧+=⎨=+⎩()221230k x kx ++-=12221k x x k -∴+=+12231x x k -=+y ANB ∠AN BN k k =-12120y t y t x x --+=1212110kx t kx tx x +-+-+=()()1212210kx x t x x +-+=()()22126011t k k k k -⨯--+=++40k kt -+=4t =()0,4N AB ()0,4N N ()0,4y ANB ∠2a =0b =λ=[]1,3(),A B λ221240x y x +-+=(),P x y 22124x y x +=-()()()()22222222222222244162212224PA x y x y x x x y ax by a b a x by a bx a y b PB+++++===+--++--+-+-+-因为为常数，所以，，且，……5分所以，，.……6分（2）解：由（1）知，，设，由，所以，……7分，整理得，即，所以，……9分，……10分由，得，即的取值范围是.……12分（3）证明：若，则以—阿波罗尼斯圆的方程为，整理得，该圆关于点对称.……15分由点，关于点对称及，可得—卡西尼卵形线关于点对称，令，解得，与矛盾，所以不存在实数，，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称……17分22PA PB2λ2240a b -+=0b =2a ≠-2a =0b =λ==()2,0A -()2,0B (),Q x y 5QA QB ⋅=5=()222242516x y x ++=+2240y x =--≥42890x x --≤()()22190x x +-≤209x ≤≤OQ ==209x ≤≤13OQ ≤≤OQ []1,30b =(),A B ()()222222x y x a y ⎡⎤++=-+⎣⎦()22244240x y a x a +-++-=()22,0a +()2,0A -(),0B a 2,02a -⎛⎫⎪⎝⎭QA QB μ⋅=μ2,02a -⎛⎫⎪⎝⎭2222a a -+=2a =-2a ≠=-a μ(),A B μ。
【精准解析】山东省实验中学2020-2021学年上学期期中考试高一数学试卷
山东省实验中学2020~2021学年第一学期期中高一数学试题2020.11第Ⅰ卷一、单项选择题1. 已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，{}2,3,5A =，{}1,3,6B =，则()UA B =（ ）A. {}4B. ∅C. {}1,2,4,5,6D.{}1,2,3,5,6【答案】C 【解析】 【分析】先利用交集的运算求得AB ，再利用补集运算求解.【详解】因为{}2,3,5A =，{}1,3,6B =， 所以{}3A B ⋂=， 又全集{}1,2,3,4,5,6U =， 所以()UA B ={}1,2,4,5,6,故选：C2. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A. ()2f x x =，()22x g x x =B. ()f x x =，()g x =C. ()211x f x x -=-，()1g x x =+D. ()f x =()g x =【答案】B 【解析】 【分析】根据同一函数的判定方法，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，()2f x x =的定义域为R ，()22x g x x=的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，定义域不同，不是同一函数； B 选项，()f x x =和()2g x x =的定义域都为R ，且()2g x x x ==，对应关系一致，所以是同一函数；C 选项，()211x f x x -=-的定义域为()(),11,-∞+∞，()1g x x =+的定义域为R ，定义域不同，不是同一函数； D 选项，()11f x x x =+⋅-的定义域为[)1,+∞，()21g x x =-的定义域为(][),11,-∞-+∞，定义域不同，不是同一函数.故选：B.3. 命题：“30,0x x x ∀≥+≥”的否定是（ ） A. 30,0x x x ∀<+< B. 30,0x x x ∀<+≥ C. 30,0x x x ∃≥+< D. 30,0x x x ∃≥+≥【答案】C 【解析】 【分析】利用全称命题的否定可得出结果.【详解】命题“30,0x x x ∀≥+≥”为全称命题，该命题的否定为“30,0x x x ∃≥+<”. 故选：C.【点睛】本题考查全称命题否定改写，注意量词与结论的变化，属于基础题. 4. 在同一坐标系中，函数()1f x ax a=+与()2g x ax =的图像可能是（ ） A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】分0a >和0a <两种情况，根据一次函数和二次函数的图象和性质判断. 【详解】因为当0a >时，()1f x ax a=+是增函数，与y 轴的交点在正半轴上，()2g x ax =的开口向上；当0a <时，()1f x ax a=+是减函数，与y 轴的交点在负半轴上，()2g x ax =的开口向下； 所以只有A 中的图象符合， 故选：A5. 已知4枝郁金香和5枝丁香的价格之和小于22元，而6枝郁金香和3枝丁香的价格之和大于24元.设1枝郁金香的价格为A 元，1枝丁香的价格为B 元，则A ，B 的大小关系为（ ） A. A B > B. A B =C. A B <D. 不确定【答案】A 【解析】 【分析】本题先根据题意建立不等式组，再解不等式组判断A ，B 的大小关系即可.【详解】解：由题意：45226324A B A B +<⎧⎨+>⎩，解得10B A -<-<，则A B >故选：A【点睛】本题考查不等关系的大小比较、不等式的性质，是基础题.6. 若函数()y f x =为偶函数，且在()0,∞+上是减函数，又()30f =，则不等式()()02f x f x x+-<的解集为（ ）A. ()3,3-B. ()(),33,-∞-+∞C. ()(),30,3-∞-D. ()()3,03,-⋃+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据函数奇偶性，将所求不等式化为()0f x x<；再由函数单调性，以及(3)0f =，即可求出结果.【详解】∵()f x 为偶函数，∴()()f x f x -=，∴()()02f x f x x+-<可转化为()0f x x <．而()f x 在(0,)+∞上是减函数，且(3)0f =， 故当3x >时，()0f x <； 当30x -<<时，()0f x >． 故()0f x x<的解集为(3,0)(3,)-⋃+∞． 故选：D7. 若正实数a ，b 满足1a b +=，则33b a b+的最小值为（ ）A.193B. C. 5D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据1a b +=，将33b a b +，变形为33333333b b a b b a a b a b a b++=+=++，利用基本不等式求解.【详解】因为正实数a ，b 满足1a b +=， 所以3333335333b b a b b a a b a b a b ++=+=++≥=，当且仅当334b a ==时，取等号， 所以33b a b+的最小值为5 故选：C8. 定义域是R 的函数()f x 满足()()f x f x =--，当(]0,2x ∈时，()(](]2,0,1,1,1,2,x x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨-+∈⎪⎩若[)2,0x ∈-时，()142t f x t ≥-有解，则实数t 的取值范围是（ ）A. (),22⎡-∞-⋃-+∞⎣B. ((,20,2-∞-⋃+C. ((,20,2-∞-⋃-+D. ((,-∞⋃【答案】B 【解析】 【分析】先由(]0,2x ∈时的解析式，求出对应的最小值，根据函数奇偶性，得到()f x 在[)2,0x ∈-时的最大值，由()max 142t f x t≥-求解，即可得出结果. 【详解】因为(]0,2x ∈时，()(](]2,0,11,1,2x x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨-+∈⎪⎩， 当(]0,1x ∈时，由二次函数的性质，易得()22111,0244f x x x x ⎛⎫⎡⎤=-=--∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；当(]1,2x ∈时，()[)11,0f x x =-+∈-， 所以(]0,2x ∈时，()[]1,0f x ∈-；又定义域是R 的函数()f x 满足()()f x f x =--，即函数()f x 是奇函数，关于原点对称， 所以[)2,0x ∈-时，()[]0,1f x ∈， 因为[)2,0x ∈-时，()142t f x t≥-有解，所以只需()max 142t f x t ≥-，即1142t t ≥-，整理得24204t t t --≤，所以24200t t t ⎧--≤⎨>⎩或24200t t t ⎧--≥⎨<⎩，解得02t <≤+2t ≤故选：B.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于，根据已知区间的分段函数求出对应的值域，结合函数奇偶性，得出()f x 在[)2,0x ∈-时的最大值，即可求解.二、多项选择题9. 满足{}1234,,,M a a a a ⊆，且{}{}12312,,,M a a a a a =的集合M 可能是（ ）A. {}12,a aB. {}123,,a a aC. {}124,,a a aD.{}1234,,,a a a a【答案】AC 【解析】 【分析】由交集的结果知集合M 一定含有元素12,a a ，一定不含有3a ，由此可判断． 【详解】∵{}{}12312,,,Ma a a a a =，∴集合M 一定含有元素12,a a ，一定不含有3a ，∴12{,}M a a =或124{,,}M a a a =． 故选：AC ．【点睛】本题考查由集合的交集求参数，掌握交集的定义是解题基础． 10. 设函数()f x 定义域()1,1-，且满足：①()1,0x ∈-时，()0f x >；②()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭，(),1,1x y ∈-则下列说法正确的是（ ） A. ()f x 是奇函数B. ()f x 是偶函数C. ()f x 在定义域上是减函数D. ()f x 在定义域上是增函数【答案】AC 【解析】 【分析】由条件②，令0x y ==，可得(0)0f =，再令y x =-，即可得到()()0f x f x +-=，从而可得函数的奇偶性，判断选项A ，B ；利用函数单调性的定义，结合条件①可得函数()f x 的单调性，从而判断选项C ，D ． 【详解】()()()1x yf x f y f xy++=+， 令0x y ==，则(0)(0)(0)f f f +=， 所以(0)0f =，令y x =-，则()()(0)0f x f x f +-==， 又因为(1,1)x ∈-，所以()f x 为奇函数，故A 对，B 错； 任取1210x x -<<<，所以12121212()()()()()1x x f x f x f x f x f x x --=+-=-，因为1210x x -<<<，所以120x x -<，1201x x <<，所以1210x x ->，所以121201x x x x -<-，因为12121212(1)(1)1011x x x x x x x x -+++=>--，所以121211x xx x ->--，所以1212101x x x x --<<-，由条件①得1212()01x x f x x ->-，所以12())0(f x f x ->， 所以()f x 在(1,0)-上单调递减，所以()f x 在(1,1)-上单调递减，故C 对，D 错． 故选：AC【点睛】方法点睛：用定义法判断函数的单调性的一般步骤：①取值，设12,x x D ∈，且12x x <；②作差，求12()()f x f x -；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；④判断12()()f x f x -的正负符号；⑤根据函数单调性的定义下结论.11. 若a ，b ，c 为实数，下列说法正确的是（ ） A. 若a b >，则22ac bc > B. 若0a b <<，则22a ab b >>C. “关于x 的不等式20ax bx c ++≥恒成立”的充要条件是“0a >，240b ac -≤”D. “1a <”是“关于x 的方程20x x a ++=有两个异号的实根”的必要不充分条件 【答案】BD 【解析】 【分析】 若0c，则A 选项不成立；根据不等式的性质，可判断B 正确；根据充要条件的概念，可判断C 错；根据充分条件和必要条件的概念，结合方程根的个数，可判断D 正确. 【详解】A 选项，若a b >，0c，则22ac bc =，A 错；B 选项，若0a b <<，则2a ab >，2ab b >，即22a ab b >>，B 正确；C 选项，不等式20ax bx c ++≥不一定是一元二次不等式，所以不能推出0a >；由0a >，240b ac -≤，可得出不等式20ax bx c ++≥恒成立，所以“关于x的不等式20ax bx c ++≥恒成立”的充要条件不是“0a >，240b ac -≤”，C 错；D 选项，若关于x 的方程20x x a ++=有两个异号的实根，则0140a a <⎧⎨=->⎩，即0a <， 因此“1a <”是“关于x 的方程20x x a ++=有两个异号的实根”的必要不充分条件，D 正确. 故选：BD.12. 对于定义在R 上的函数()f x ，下列说法正确的是（ ） A. 若()f x 是奇函数，则()1f x -的图象关于点（1，0）对称B. 若对x ∈R ，有()()11f x f x =+-，则()f x 的图象关于直线1x =对称C. 若函数()1f x +的图象关于直线1x =-对称，则()f x 为偶函数D. 若()()112f x f x ++-=，则()f x 的图象关于点（1，1）对称 【答案】AC【解析】 【分析】四个选项都是对函数性质的应用，在给出的四个选项中灵活的把变量x 加以代换，再结合函数的对称性、周期性和奇偶性就可以得到正确答案.【详解】对A ，()f x 是奇函数，故图象关于原点对称，将()f x 的图象向右平移1个单位得()1f x -的图象，故()1f x -的图象关于点（1，0）对称，正确；对B ，若对x ∈R ，有()()11f x f x =+-，得()()2f x f x +=，所以()f x 是一个周期为2的周期函数，不能说明其图象关于直线1x =对称，故错误.； 对C ，若函数()1f x +的图象关于直线1x =-对称，则()f x 的图象关于y 轴对称，故为偶函数，正确；对D ，由()()112f x f x ++-=得()()()()112,202f f f f +-=+=，()()()()312,422f f f f +=+=，()f x 的图象不关于（1，1）对称，错误.故选：AC.【点睛】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了函数的性质综合应用，考查分析问题、解决问题的能力，是易错题.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题13. 幂函数()2312235m m y m m x --=+-的图像分布在第一、二象限，则实数m 的值为______．【答案】3 【解析】 【分析】先根据函数是幂函数，由251m m +-=，求得m ，再根据其图像分布在第一、二象限确定m 的值；【详解】因为函数是幂函数， 所以251m m +-=，解得2m =或3m =-，当2m =时，23y x =，其图像分布在第一、二象限； 当3m =-时，796y x =，其图像分布在第一象限； 所以2m = 故答案为：214. 某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价，该地区的电网销售电价表如下：若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式，该家庭本月应付的电费为________元（用数字作答）． 【答案】148.4 【解析】 【分析】本题首先可以结合表中数据计算出高峰时间段的电费，然后计算出低谷时间段的电费，最后两者相加，即可得出结果.【详解】高峰时间段的电费：500.5681500.598118.1⨯+⨯=（元）， 低谷时间段的电费：500.288500.31830.3⨯+⨯=（元），所以该家庭本月应付的电费为118.130.3148.4+=（元）， 故答案为：148.4.【点睛】本题考查从材料中提取信息解决实际问题，能否从材料中准确的找出关系式是解决本题的关键，考查学生处理信息的能力，是简单题.15. 函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如：[ 3.5]4-=-，[2.1]2=．若{|[][2][3],01}A y y x x x x ==++≤≤，则A 中所有元素的和为_______．【答案】12 【解析】 【分析】 分103x ≤<，1132x ≤<，1223x ≤<，213x ≤<，1x =，5种情况讨论2,3x x 的范围，计算函数值，并求元素的和. 【详解】①当103x ≤<时， 220,3x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，[)30,1x ∈，∴ [][][]230x x x ===，[][][]230x x x ++= ；②当1132x ≤<时，22,13x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，331,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ ， [][]20,x x ∴==[]31x =， [][][]231x x x ∴++=；③当1223x ≤<时，[)21,2x ∈ ，33,22x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭[]0x ∴=，[]21x = ，[]31x = ， [][][]232x x x ∴++=；④213x ≤<时，42,23x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，[)32,3x ∈ []0x ∴=，[]21x =，[]32x =，[][][]233x x x ∴++=；⑤当1x =时[]1x =，[]22x =，[]33x = ，[][][]236x x x ∴++= {}0,1,2,3,6A ∴=，则A 中所有元素的和为0123612++++=. 故答案为12【点睛】本题考查新定义的题型，需读懂题意，并能理解，应用，分类讨论解决问题，本题的难点是分类较多，不要遗漏每种情况四、解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16. 已知关于x 的不等式2520ax x +->的解集是M ． （1）若3a =，求解集M ； （2）若122M xx ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，解关于x 的不等式22510ax x a -+->． 【答案】（1）123M x x x ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭或；（2）132x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法直接求得结果；（2）根据一元二次不等式的解集和一元二次方程的关系，利用韦达定理可构造方程求得a ，根据一元二次不等式的解法可直接求得结果. 【详解】（1）3a =，∴不等式为：23520x x +->，即()()3120x x -+>，解得：2x <-或13x >，123M x x x ⎧⎫∴=-⎨⎬⎩⎭或.（2）122M x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，12∴和2是方程2520ax x +-=的两个根，由韦达定理得：15221222aa ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩，解得：2a =-，∴不等式22510ax x a -+->即为22530x x --+>，即22530x x +-<，即()()2130x x -+<，解得：132x -<<. ∴不等式的解集为132x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．17. 已知函数f (x )＝1－2x. （1）若g (x )＝f (x )－a 为奇函数，求a 的值；（2）试判断f (x )在(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明. 【答案】（1）1；（2）为增函数，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由函数()g x 是奇函数，得g (－x )＝－g (x )，代入可求得a .（2）由函数的单调的定义进行证明，设0<x 1<x 2，作差f (x 1)－f (x 2)，判断符号，可得证. 【详解】（1）由已知g (x )＝f (x )－a ，得g (x )＝1－a －2x， 因为g (x )是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，即1－a －2()x -＝－21a x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，解得a ＝1.（2）函数f (x )在(0，＋∞)内为增函数.证明如下：设0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－12x －221x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝()12122x x x x -，.因为0<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，x 1x 2>0，从而()12122x x x x -<0，即f (x 1)<f (x 2).所以函数f (x )在(0，＋∞)内是增函数.【点睛】本题考查函数的奇偶性和函数的单调性的定义，属于基础题.18. 已知函数()()()()5,133,125,2x x f x x x x x ⎧-<-⎪=--≤≤⎨⎪-+>⎩．（1）解不等式()1f x >；（2）若()0f x t +<对任意实数x 都成立，求实数t 的取值范围．【答案】（1）4,43⎛⎫⎪⎝⎭；（2）3t <-． 【解析】 【分析】（1）根据1x <-，12x -≤≤，2x >进行分类讨论，将求解出的结果取并集即可得到不等式解集；（2）将问题转化为“()t f x <-对任意实数x 都成立”，根据已知条件先求解出()f x 的取值范围，然后可求解出()f x -的取值范围，则t 的取值范围可求.【详解】（1）由题意()5,133,125,2x x f x x x x x -<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪-+>⎩，①1x <-时，()51f x x =->，不等式无解；②12x -≤≤时，331x ->，解得423x <≤； ③2x >时，51x -+>，解得24x <<；综上不等式的解集为4,43⎛⎫⎪⎝⎭． （2）①1x <-时，()56f x x =-<-；②12x -≤≤时，6333x -≤-≤，所以()63f x -≤≤； ③2x >时，()53f x x =-+<； 所以()3f x ≤所以()3f x -≥-，因为()t f x <-对任意实数x 都成立 所以3t <-．【点睛】思路点睛：已知()f x 为分段函数，求解形如()f x a >的不等式解集的思路： （1）分别考虑每一段定义域下()f x a >的解集，同时注意前提条件；（2）将每一段定义域下()f x a >的解集取并集即可得到不等式()f x a >的解集. 19. 已知函数()()2210f x ax ax b a =-++>．（1）若1a b ==，求()f x 在[],1t t +上的最大值；（2）若()f x 在区间[]2,4上的最大值为9，且最小值为1，求实数a ，b 的值．【答案】（1）12t ≤时，最大值为222t t -+；12t >时，最大值为21t +；（2）10a b =⎧⎨=⎩．【解析】 【分析】（1）根据题中条件，分别讨论112t +≤，112t +>两种情况，结合二次函数的性质，即可得出结果；（2）根据二次函数的性质，由函数在给定区间的最值，得到()()2114819f b f a b ⎧=+=⎪⎨=++=⎪⎩，求解，即可得出结果.【详解】（1）()222f x x x =-+，[],1x t t ∈+因为对称轴1x =，而1122t t t ++=+，所以 ①112t +≤即12t ≤时，最大值()222f t t t =-+；②112t +>即12t >时，最大值()211f t t +=+；综上，12t ≤时，最大值为222t t -+；12t >时，最大值为21t +；（2）因为函数()f x 图像的开口方向向上，且对称轴方程为1x =， 所以，函数()y f x =在区间[]2,4上为增函数，又因为函数()y f x =在区间[]2,4上的最大值为9，最小值为1， 可得()()2114819f b f a b ⎧=+=⎪⎨=++=⎪⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩．【点睛】思路点睛：求解二次函数在给定区间的最值问题时，通常需要根据二次函数的性质（开口方向、对称轴、单调性），由分类讨论的方法进行求解.20. 2020 年初，新冠肺炎疫情袭击全国，在党和国家强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情，之后一方面防止境外输入，另一方面复工复产．某厂经调查测算，某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并将定价提高到x 元．公司拟投入()216006x -万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．【答案】（1）40；（2）10.2，30元． 【解析】 【分析】（1）根据条件列出关于t 的一元二次不等式，求解出解集即可确定出定价最多时对应的数值； （2）明年的销售收入等于销量a 乘以单价x ，原收入和总投入之和为()2112585060065x x ⨯++-+，由此列出不等式，根据不等式有解结合基本不等式求解出a 的最小值，同时计算出x 的值. 【详解】（1）设每件定价为t 元，依题意得2580.22581t t -⎛⎫-⨯≥⨯⎪⎝⎭，整理得26510000t t -+≤，解得2540t ≤≤所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． （2）依题意知当25x >时，不等式()2112585060065ax x x ≥⨯++-+成立 等价于25x >时，1501165a x x ≥++有解， 由于1501150121066x x x x +≥⨯=， 当且仅当1506xx =，即30x =时等号成立， 所以10.2a ≥当该商品改革后销售量a 至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．【点睛】关键点点睛：本题中的第二问，解答的关键有两点：（1）根据条件列出满足的不等式并对不等式进行参变分离；（2）使用基本不等式求解出最值. 21. 已知函数2()43()52f x x x a g x mx m =-++=+-， （1）当时，求方程()()0f x g x -=的解；（2）若方程()0f x =在[]11-，上有实数根，求实数a 的取值范围；（3）当0a =时，若对任意的[]114x ∈，，总存在[]21,4x ∈，使12()()f x g x =成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）15x x =-=或；（2） [－8，0]；（3）(,3][6,)-∞-+∞． 【解析】 【详解】（1）当时，方程为2()()450f x g x x x -=--=，解得15x x =-=或（2）因为函数()f x ＝x 2－4x ＋a ＋3的对称轴是x ＝2， 所以()f x 在区间[－1，1]上是减函数， 因为函数在区间[－1，1]上存在零点，则必有：(1)0{(1)0f f ≤-≥即0{80a a ≤+≥，解得80a ≤≤－，故所求实数a的取值范围为[－8，0] ．（3）若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f（x1）＝g（x2）成立，只需函数y＝f （x）的值域为函数y＝g（x）的值域的子集．()f x＝x2－4x＋3，x∈[1，4]的值域为[－1，3]，下求g（x）＝mx＋5－2m的值域．①当m＝0时，g（x）＝5－2m为常数，不符合题意舍去；②当m＞0时，g（x）的值域为[5－m，5＋2m]，要使[－1，3]⊆[5－m，5＋2m]，需51{523mm-≤-+≥，解得m≥6；③当m＜0时，g（x）的值域为[5＋2m，5－m]，要使[－1，3]⊆[5＋2m，5－m]，需521{53mm+≤--≥，解得m≤－3；综上，m的取值范围为(,3][6,)-∞-+∞．。
【精准解析】山东省潍坊市临朐县实验中学2020-2021学年高一上学期11月月考数学试卷
高一（2020级）上学期11月份学情检测数学试题命题人：马世珍 审核人：温志涛一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1. 若集合{A x y =，{B x y =，则A B =（ ）A. )1,⎡+∞⎣B. )2,⎡+∞⎣C. [])3,11,⎡--⋃+∞⎣D.[])3,10,⎡--⋃+∞⎣【答案】C 【解析】 【分析】先化简两集合，再求交集，即可得出结果.【详解】{{}3A x y x x ===≥-，{{1B x y x x ===≤-或}1x ≥，因此[])3,11,A B ⎡⋂=--⋃+∞⎣. 故选：C.【点睛】本题主要考查求集合的交集，属于基础题型.2. 命题“0x R ∃∈，使得200250x x ++=”的否定是（ ）A. x R ∀∈，2250x x ++=B. x R ∀∈，2250x x ++≠C. x R ∀∉，2250x x ++=D. x R ∀∉，2250x x ++≠【答案】B 【解析】 【分析】利用特称命题的否定是全称命题，从而可得出结果. 【详解】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“0x R ∃∈，使得200250x x ++=”的否定是：x R ∀∈，都有2250x x ++≠．故选：B .【点睛】本题考特称查命题的否定，以及特称命题的否定是全称命题，属于基础题． 3. 下列各组函数表示同一函数的是（ ）A. 2(),()f x g x ==B. 0()1,()f x g x x ==C. 21()1,()1x f x x g x x -=+=-D. (),()f x x g x ==【答案】D 【解析】 【分析】根据函数定义域和对应关系，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断.【详解】对A ：()f x 的定义域为R ，()g x 的定义域为[)0,+∞，定义域不同； 对B ：()f x 的定义域为R ，()g x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，定义域不同； 对C ：()f x 的定义域为R ，()g x 的定义域为()(),11,-∞⋃+∞，定义域不同； 对D ：()(),f x g x 定义域都为R ，且()()g x x f x ==，故两函数相等； 故选：D .【点睛】本题考查函数相等的判断，一般从定义域和对应关系入手考虑即可，同时要注意细节即可.4. 已知关于x 的不等式20x ax b --<的解集是(2,3)-，则+a b 的值是（ ） A. 7 B. 7-C. 11D. 11-【答案】A 【解析】 【分析】先利用韦达定理得到关于a,b 的方程组，解方程组即得a,b 的值，即得解. 【详解】由题得23,1,6(2)3aa b b-+=⎧∴==⎨-⋅=-⎩，所以a+b =7. 故选A【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解集，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.5. 读书能陶冶我们的情操，给我们知识和智慧．我国古代数学名著《算法统宗》中有以下问题：毛诗春秋周易书，九十四册共无余，毛诗一册三人读，春秋一册四人呼，周易五人读一本，要分每样几多书，就见学生多少数，请君布算莫踌躇．由此可推算，学生人数为( ) A. 120 B. 130C. 150D. 180【答案】A 【解析】 【分析】设出3种书每本的数量，设出学生人数，根据已知条件列方程组，解方程组求得学生人数. 【详解】设毛诗x 本，春秋y 本，周易z 本，学生人数为m ，则94345x y z mxm y m z++=⎧⎪⎪=⎪⎪⎨=⎪⎪⎪=⎪⎩， 解得120403024m x y z =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩. 故选A.【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查方程的思想，属于基础题.6. 已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)-()f x <0的x 的取值范围是（ ）A. 113⎛⎫ ⎪⎝⎭，B. ()-1∞，C. 1-3⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，D. 112⎛⎫ ⎪⎝⎭，【答案】A 【解析】 【分析】根据()f x 是偶函数，故()(||)f x f x =，将f （2x -1）＜f （x ）转化后根据函数的单调性求解即可，【详解】由f (2x －1)-()f x <0可得f (2x －1)<()f x ∵f (x )为偶函数， ∴f (x )＝f (|x |)． 则f (|2x －1|)<f ()||x .又∵f (x )在[0，＋∞)上单调递增，∴|2x －1|<||x ，23410x x ∴-+<解得13<x <1. 故选：A【点睛】关键点点睛：本题利用偶函数的性质，由f （2x -1）＜f （x ）转化为f (|2x －1|)< ()||f x ,以便利用f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增这一性质，脱去“f ”求解即可.7. 若xy 是正数，则221122⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x y y x 的最小值是（ ）A. 3B.72C. 4D.92【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意得到22222211112244⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭y x x y x y y x x y x y ，再利用基本等式求最小值即可.【详解】22222211112244⎛⎫⎛⎫+++=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x y x y x y y x y y x x222211444⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++≥= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭y x x y x y x y当且仅当22x y或2x y ==-时取等号.故选：C【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，考查学生分析问题的能力，属于简单题.8. 若函数2,1()(1)1,1x x x f x f x x ⎧->=⎨+-≤⎩，则(0)f =（ ）A. -1B. 0C. 1D. 2【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，结合分段条件，代入逐次运算，即可求解.【详解】由题意，函数2,1()(1)1,1x x x f x f x x ⎧->=⎨+-≤⎩，可得2(1)(11)1(221)1f f =+-=--=. 故选：C.【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中熟练应用分段函数的解析式，结合分段条件代入求解是解答的关键，着重考查运算与求解能力.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 下列命题正确的有（ ） A. A ⋃∅=∅ B. ()()()U U U C A B C A C B ⋃=⋃ C A B B A ⋂=⋂ D. ()U U C C A A =【答案】CD 【解析】 【分析】利用集合的交、并、补运算法则直接求解． 【详解】对A ，因为A A ⋃∅=，故A 错误；对B ，因为()()()U U U C A B C A C B ⋃=⋂，故B 错误； 对C ，A B B A ⋂=⋂，故C 正确； 对D ，()U U C C A A =，故D 正确． 故选：CD ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查集合的交、并、补运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．10. 下列函数中，对任意x ，满足2()(2)f x f x =的是（ ）A. ()||f x x =B. ()2f x x =-C. ()||f x x x =-D.()1f x x【答案】ABC 【解析】 【分析】对A 、B 、C 、D 选项逐项验证即可．【详解】对于A ，2()2f x x =，(2)22f x x x ==，故满足2()(2)f x f x =； 对于B ，2()4f x x =-，(2)4f x x =-，故满足2()(2)f x f x =；对于C ，2()22f x x x =-，(2)2222f x x x x x =-=-，故满足2()(2)f x f x =； 对于D ，2()22f x x =-，(2)21f x x =-，故不满足2()(2)f x f x =； 故选：ABC .【点睛】本题考查抽象函数的应用，函数值的求法，考查学生基本的运算能力，属于基本知识的考查．11. 下列不等式，其中正确的是（ ） A. 2 32x x +>（R x ∈） B. 3322 a b a b ab +≥+（a ，R b ∈）C 22 2a b +≥（1a b --） D. ()22211f x x x =+≥- 【答案】AC 【解析】 【分析】,,A B C 三个选项用作差法比较，D 选项通过举例判断．【详解】2232(1)20x x x +-=-+>，所以232x x +>，A 正确；332222222()()()()()()a b a b ab a a b b a b a b a b a b a b +--=---=--=-+，当0a b +<时，33220a b a b ab +--≤，B 错误；22222(1)(1)(1)0a b a b a b +-+-=-+-≥，即222(1)a b a b +≥+-，C 正确；222()1f x x x =+-中(0)21f =-<，D 错误．12. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩是有理数是无理数，被称为狄利克雷函数．以下说法正确的是（ ）．A. ()D x 的值域是{0,1}B. x ∀∈R ，都有()()0D x D x -+=C. 存在非零实数T ，使得()()D x T D x +=D. 对任意,(,0)a b ∈-∞，都有{|()}{|()}x D x a x D x b >=> 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数的对应法则，x 是有理数时，()1D x =，x 是无理数时，()0D x =，故A 正确；根据函数奇偶性的定义，可得()D x 是偶函数，故B 错误，根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质，可判断C 正确，由()0D x =或1可知D 正确.【详解】对于选项A ，根据函数的对应法则，x 是有理数时，()1D x =x 是无理数时，()0D x =，故A 正确对于选项B ，因为有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数 所以x ∀∈R ，都有()()D x D x -=，故B 错误 对于选项C ，若x 是有理数，则x T +也是有理数 若x 是无理数，则x T +也是无理数所以任取一个不为零的实数T ，对于任意的x 都有()()D x T D x +=，故C 正确 对于选项D ，因为()0D x =或1，所以对任意,(,0)a b ∈-∞，都有{|()}{|()}x D x a x D x b >=> 故D 正确综上：正确的有ACD【点睛】本题考查的是解决一个新定义的函数的值域，奇偶性，周期性等问题，较为综合.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知集合{}2,3,44A m =--，集合{}23,B m =.若B A ⊆，则实数m =______.【答案】2 【解析】 【分析】根据子集的定义，列出等式，即可求出．【详解】由B A ⊆知，244m m =-，即()220m -=，所以2m =. 【点睛】本题主要考查子集的定义应用．14. 已知命题:p x R ∀∈，220x x a ++>是假命题，则实数a 的取值范围是__________. 【答案】(],1-∞ 【解析】 【分析】根据“x R ∀∈，220x x a ++> ”是假命题，得出它的否定命题是真命题，求出实数a 的取值范围．【详解】∵命题“x R ∀∈，220x x a ++> ”是假命题，∴∃x ∈R , 220x x a ++≤是真命题，即存在()22211a x x x ≤--=-++； 因为()222111x x x -=-++≤ ∴实数a 的取值范围是(−∞,1]. 故答案为：(−∞,1].【点睛】本题主要考查根据特称命题与全称命题的真假求参数，考查了一元二次不等式能成立问题，属于基础题.15. 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y （万元）与机器运转时间x （年数，*x ∈N ）的关系为21825y x x =-+-，则当每台机器__________年时，年平均利润最大，最大值是__________万元． 【答案】 (1). 5 (2). 8 【解析】2518y x x x =-+- 2518x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭ 8≤．当且仅当5x =时，等号成立，max8y x ⎛⎫=⎪⎝⎭， 即机器运转5年时，年平均利润最大，为8万元/年．16. 已知函数()f x 在定义域(0,)+∞上是单调函数，若对任意(0,)x ∈+∞，都有1()2f f x x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦，则12020f ⎛⎫⎪⎝⎭的值是______________. 【答案】2021 【解析】 【分析】由已知条件，利用换元法求出f （x ），然后代入计算即可求解．【详解】已知函数f （x ）在定义域（0，+∞）上是单调函数，且对任意x ∈（0，+∞），都有f [f（x ）﹣1x]＝2， 可设f （x ）﹣1x ＝c ，故f （x ）＝1x +c ，且f （c ）＝c +1c＝2（c ＞0），解可得c ＝1，f （x ）＝1x+1， 则f （12020）＝2021．故答案为：2021【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性求函数值，函数解析式的求法，注意函数性质的合理应用，属于中档题．四、解答题：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数()f x =A ，{}210B x Z x =∈<<，{C x R x a =∈<或}1x a >+.（1）求A ，()RA B ⋂；（2）若A C R ⋃=，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{}37A x x =≤<，(){7,8,9}R A B ⋂=；（2）36a ≤<. 【解析】 【分析】（1）先根据函数解析式求出定义域，得到A ；再由补集和交集的概念，即可得出()RA B ⋂；（2）根据并集的结果，列出不等式求解，即可得出结果.【详解】（1）由()f x =3070x x -≥⎧⎨->⎩，解得{}37A x x =≤<， 所以{3RA x x =<或}7x ≥，又{}{}2103,4,5,6,7,8,9B x Z x =∈<<=， 所以(){7,8,9}RA B =；（2）因为A C R ⋃=，{C x R x a =∈<或}1x a >+， 所以只需371aa ≤⎧⎨>+⎩，所以36a ≤<，即实数a 的取值范围为36a ≤<.【点睛】本题主要考查集合的交集和补集运算，以及由并集的结果求参数，考查求具体函数的定义域，属于常考题型.18. 已知p ：28200x x --≤；q ：2211m x m -≤≤+． （1）若p 是q 的必要条件，求m 的取值范围；（2）若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）⎡⎣;（Ⅱ）(,3][3,)-∞-+∞.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）求出p ，q 成立的等价条件，根据p 是q 的必要条件，建立条件关系即可．（Ⅱ）利用￢p 是￢q 的必要不充分条件，即q 是p 的必要不充分条件，建立条件关系进行求解即可．解：由x 2﹣8x ﹣20≤0得﹣2≤x ≤10，即P ：﹣2≤x ≤10，又q ：1﹣m 2≤x ≤1+m 2．（1）若p 是q 的必要条件，则2212110m m ⎧-≥-⎨+≤⎩，即2239m m ⎧≤⎨≤⎩，即m 2≤3，解得m ≤≤，即m 的取值范围是⎡⎣．（2）∵¬p 是¬q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件．即2212110m m ⎧-≤-⎨+≥⎩，即m 2≥9，解得m ≥3或 m ≤﹣3即m 的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．19. 已知()()233f x x a x a =-++．（1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集；（2）解关于x 的不等式()0f x ≥．【答案】（1）()1,3；（2）答案见解析.【解析】【分析】(1)将1a =代入，利用分解因式解出不等式；(2)分解因式，并讨论3a =，3a >和3a <三种情况，分别解出不等式即可．【详解】（1）1a =时，不等式()0f x <化为()()130x x --<，解得13x <<，∴不等式的解集为()1,3（2）关于x 的不等式()0f x >，即()()30x a x --≥；当3a =时，不等式化为()230x -≥，解得R ；当3a >时，解不等式()()30x a x --≥，得3x ≤或x a ≥；当3a <时，解不等式()()30x a x --≥，得x a ≤或3x ≥；综上所述，当3a =时，不等式解集为R ；当3a >时，不等式的解集为(][),3,a -∞⋃+∞；当3a <时，不等式的解集为(][),3,a -∞⋃+∞．【点睛】本题考查解一元二次不等式，考查学生计算能力和分类讨论思想，属于基础题．20. 已知函数()2++=x bx a f x x,若函数()f x 是定义域()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数,且()12f =.（1）求,a b 的值;（2）判断函数()f x 在()1,+∞上的单调性,并用定义进行证明.【答案】（1）1a =,0b =.（2）函数()f x 在(1,)+∞上的单调递增.见解析【解析】【分析】（1）因为()2++=x bx a f x x,化简可得:()a f x x b x =++,根据奇函数定义,结合已知条件,即可求得答案;（2）由（1）可知1()f x x x =+,故函数()f x 在(1,)+∞上的单调递增,利用单调性的定义,即可求得答案.【详解】（1）()2++=x bx a f x x化简可得:()a f x x b x =++, 函数()f x 是定义域(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数,故任意(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞,都有()()f x f x -=-成立,即:⎛⎫--+=-++ ⎪⎝⎭a a xb x b x x 解得:20=b ,即0b = 又(1)2f =,∴12a +=,即1a =,综上可得1a =,0b =.（2）由（1）可知1()f x x x=+, 故函数()f x 在(1,)+∞上的单调递增.证明:任取211x x >>,则()()21212111f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2121212121111--⎛⎫=--= ⎪⎝⎭x x x x x x x x x x 211x x >>,∴210x x ->,211>x x ,∴()()210f x f x ->,即()()21f x f x >,∴函数()f x 在(1,)+∞上的单调递增.【点睛】本题主要考查了根据奇函数性质求参数和证明函数的单调性,解题关键是掌握奇偶性的定义和利用单调的定义证明单调性的步骤,考查了分析能力和计算能力,属于基础题. 21. 为了缓解市民吃肉难的生活问题,某生猪养殖公司欲将一批猪肉用冷藏汽车从甲地运往相距120千米的乙地,运费为每小时60元,装卸费为1000元,猪肉在运输途中的损耗费(单位:元)是汽车速()km/h 度值的2倍.(说明:运输的总费用=运费+装卸费+损耗费)（1）若汽车的速度为每小时50千米,试求运输的总费用;（2）为使运输总费用不超过1260元,求汽车行驶速度的范围;（3）若要使运输的总费用最小,汽车应以每小时多少千米的速度行驶？【答案】（1）1244元 （2）[40,90]（3）每小时60千米【解析】【分析】（1）根据运输的总费用=运费+装卸费+损耗费,即可求得答案;（2）设汽车行驶的速度为x 千米/小时,利用12060100021260⨯++≤x x,即可求得答案;（3）设汽车行驶的速度为x 千米/小时,利用运输的总费用=运费+装卸费+损耗费，可得运输的总费用:1207200601000221000x x x x⨯++=++,根据均值不等式,即可求得答案. 【详解】（1）从甲地运往相距120千米的乙地,运费为每小时60元,装卸费为1000元, 又运输的总费用=运费+装卸费+损耗费当汽车的速度为每小时50千米时∴运输的总费用为:120601000250124450⨯++⨯=（元） （2）设汽车行驶的速度为x 千米/小时运输的总费用=运费+装卸费+损耗费 ∴12060100021260⨯++≤x x, 化简得213036000-+≤x x解得:4090x ≤≤∴运输的总费用不超过1100元,汽车行驶速度的范围为:[40,90].（3）设汽车行驶的速度为x 千米/小时,运输的总费用=运费+装卸费+损耗费∴运输的总费用:120720060100022100010001240⨯++=++≥+=x x x x 当且仅当72002=x x即60x =时取得等号 ∴若要使运输的总费用最小,汽车应以每小时60千米的速度行驶.【点睛】本题主要考查了求解一元二次不等式和均值不等式的解决实际问题,解题关键是掌握一元二次不等式的解法和灵活使用均值不等式,在使用均值不等式时,要注意等号的验证,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.22. 已知2(2)f x x bx c =++，不等式()0f x <的解集是(0,5).（1）求()f x 的解析式；（2）不等式组()0()0f x f x k >⎧⎨+<⎩的正整数解只有一个，求实数k 取值范围； （3）若对于任意[1,1]x ∈-，不等式()2t f x ⋅≤恒成立，求t 的取值范围.【答案】（1）2()210f x x x =-；（2）[2,1)-；（3）11[,]46-. 【解析】【分析】（1）由已知条件可知0,5是一元二次方程220x bx c ++=的两个实数根，利用根与系数的关系可求出,b c 的值，从而可求出()f x 的解析式；（2）由()0()0f x f x k >⎧⎨+<⎩得055x x k x k⎧⎨-<<-⎩或，而不等式组的的正整数解只有一个，由此可得该正整数解就是6，从而可求出k 取值范围；（3）由()2t f x ⋅≤得2510tx tx --≤，当0t =时显然成立，当0t >时，有15(1)1015110t t t t ⋅-⋅--≤⎧⎨⋅-⋅-≤⎩；当0t <时，函数251y tx tx =--在[1,1]-上单调递增，只要有510t t --≤，由此可求出t 的取值范围.【详解】解：（1）因为不等式()0f x <的解集是(0,5)，所以0,5是一元二次方程220x bx c ++=的两个实数根， 可得052052b c ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得100b c =-⎧⎨=⎩ 所以2()210f x x x =-； （2）不等式组()0()0f x f x k >⎧⎨+<⎩即为22221002(2)10()0x x x kx k x k ⎧->⎨++-+<⎩， 解得055x x k x k ⎧⎨-<<-⎩或， 因为不等式组的正整数解只有一个，可得该正整数解就是6，可得657k <-≤，解得21k -≤<-，所以k 的取值范围是[2,1)-；（3）()2t f x ⋅≤，即2(210)2t x x -≤，即2510tx tx --≤，当0t =时显然成立，当0t >时，有15(1)1015110t t t t ⋅-⋅--≤⎧⎨⋅-⋅-≤⎩，即510510t t t t +-≤⎧⎨--≤⎩， 解得1146t -≤≤，所以106t <≤， 当0t <时，函数251y tx tx =--在[1,1]-上单调递增，所以只要其最大值满足条件即可，所以有510t t --≤，解得14t ≥-，即104t -≤<， 综上，t 的取值范围是11[,]46-.【点睛】此题考查恒成立问题，考查数学转化思想方法，利用函数单调性求二次函数的最值，属于中档题.。
山东省潍坊市2020-2021学年高一上学期期中数学试题 (1)
山东省潍坊市2020-2021学年高一上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集{}1,0,1,2U =-，{} 1,1A =-，则集合UA（ ）A ．{0,2}B ．{1,0}-C ．{0,1}D ．{1,2}2．命题“(0,)x ∃∈+∞，13x x+≥”的否定是( ) A ．(0,)x ∃∈+∞，13x x +≤ B ．(0,)x ∃∈+∞，13x x +< C ．(0,)x ∀∈+∞，13x x+<D ．(0,)x ∀∈+∞，13x x+≤3．设x ∈R ，则“|3|1x -<”是“2x >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．下列各式运算正确的是( ) A ．245(1)(5)a a a a ++=++ B ．222249(23)a ab b a b ++=+ C ．()3322()a b a b a ab b+=+-+ D ．()3322()a b a b a ab b-=--+5．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞是增函数，设(3)a f =-，()b f π=，(1)c f =-，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a c b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．c a b <<6．我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的关系为2() 4.914.717h t t t =-++，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为( )A ．26米B ．28米C ．30米D ．32米7．对x R ∀∈，不等式()2214(2)02m x m x m -+-+>+恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．[2,6]B ．[2,6){2}⋃-C ．(,2)[2,6)-∞-⋃D ．[2,6)8．读书能陶冶我们的情操，给我们知识和智慧．我国古代数学名著《算法统宗》中有以下问题：毛诗春秋周易书，九十四册共无余，毛诗一册三人读，春秋一册四人呼，周易五人读一本，要分每样几多书，就见学生多少数，请君布算莫踌躇．由此可推算，学生人数为( ) A ．120B ．130C ．150D ．1809．已知a ，b 为正实数，则下列判断中正确的个数是( )①若11a b <> ②若1a b +=，则14a b+的最小值是10； ③114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； ④函数11y a a =++的最小值为1． A ．1B ．2C ．3D ．410．定义在R 上的奇函数()f x 在[0,)+∞是减函数，且(2)1f -=，则满足1(1)1f x -≤-≤的x 的取值范围是( )A ．[2,2]-B ．[2,1]-C ．[1,3]-D ．[0,2]11．关于x 的方程225(9)20x a x a a -++--=的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(3,1)--B ．(11)(3,1--⋃+C ．(2,1)(2,3)--⋃D ．(2,6)12．已知函数()f x 满足(2)(2)6f x f x -++=，31()2x g x x -=-，且()f x 与()g x 的图像交点为()11,x y ，()22,x y ，…，()88,x y ，则128128x x x y y y +++++++的值为( ) A ．20 B ．24 C ．36 D ．40二、填空题13．函数(11)f x x -的定义域是_______． 14．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≥时，()(1)f x x x =-，则(2)f -=________．15．已知不等式20ax bx c ++>的解集为{|26}x x <<，则不等式20cx bx a ++<的解集为________．16．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(,)A a b ，若函数()y f x =满足：[1,1]x a a ∀∈-+，都有[1,1]y b b ∈-+，则称这个函数是点A 的“界函数”．已知点(,)B m n 在函数212y x =-的图像上，若函数212y x =-是点B 的“界函数”，则m 的取值范围是________．三、解答题17．已知集合{|26}A x x =-≤≤，{|35}B x x =-≤≤． （1）求AB ，A B ；（2）若{|121}C x m x m =+≤≤-，()C A B ⊆，求实数m 的取值范围．18．已知函数2()(0)1x af x a x -=>+，若不等式()1f x ≥-的解集为(,1)[0,)-∞-+∞． （1）求实数a 的值；（2）证明函数()f x 在[0,)+∞上是增函数．19．已知函数223,(02)()43,(2)x x f x x x x -+≤<⎧=⎨-+≥⎩，()(||)F x f x =．（1）判断()F x 的奇偶性，在给定的平面直角坐标系中，画出函数()F x 的大致图像；并写出该函数的单调区间；（2）若函数()()H x F x t =-有两个零点，求t 的取值范围． 20．已知函数2()(1)()f x x a x a a R =+--∈． （1）解关于x 的不等式()0f x <；（2）若[1,1]a ∀∈-，()0f x ≥恒成立，求实数x 的取值范围．21．第二届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海国家会展中心举行，来自151个国家和地区的3617家企业参展，规模和品质均超过首届．更多新产品、新技术、新服务“全球首发，中国首展”，专（业）精（品）尖（端）特（色）产品精华荟萃．某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2021年与该跨国公司合资生产此款空调．生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，每生产x 千台空调，需另投入资金()R x 万元，且2210,040()901945010000,40x ax x R x x x x x ⎧+<<⎪=⎨-+≥⎪⎩．经测算生产10千台空调需另投入的资金为4000万元．由调研知，每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完．（1）求2021年的企业年利润()W x （万元）关于年产量x （千台）的函数关系式； （2）2021年产量为多少（千台）时，企业所获年利润最大？最大年利润是多少？注：利润=销售额–成本22．已知二次函数()y f x =满足：①x R ∀∈，有(1)(1)f x f x --=-+；②(0)3f =-；③()y f x =的图像与x 轴两交点间距离为4． （1）求()y f x =的解析式；（2）记()()5g x f x kx =++，[1,2]x ∈-． ①若()g x 为单调函数，求k 的取值范围；②记()g x 的最小值为()h k ，讨论()24h t λ-=的零点个数．参考答案1．A 【分析】利用集合补集的性质直接求解即可 【详解】由于{}1,0,1,2U =-，{} 1,1A =-，所以，UA {0,2}故选A 2．C 【分析】根据特称命题的否定是全称命题的知识，选出正确选项. 【详解】原命题是特称命题，其否定是全称命题，注意到要否定结论，故C 选项正确. 故选C. 【点睛】本小题主要考查特称命题的否定是全称命题，属于基础题. 3．A 【分析】求得不等式|3|1x -<的解集，由此判断出充分、必要条件. 【详解】由|3|1x -<得131x -<-<，即24x <<，所以“|3|1x -<”是“2x >” 充分不必要条件. 故选A. 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查绝对值不等式的解法，属于基础题. 4．C 【分析】利用乘法分配律和立方和、立方差公式，判断出正确选项. 【详解】对于A 选项，右边265a a =++≠左边，故A 选项错误.对于B 选项，右边224129a ab b =++≠左边，故B 选项错误. 对于C 选项，根据立方和公式可知，C 选项正确.对于D 选项，根据立方差公式可知，正确的运算是()3322()a b a b a ab b -=-++，故D选项错误. 故选：C. 【点睛】本小题主要考查乘法分配律，立方和、立方差公式，考查因式分解，属于基础题. 5．D 【分析】利用函数的奇偶性化简,a c ，再根据单调性比较出三者的大小关系. 【详解】由于()f x 是偶函数，故()()()()33,11a f f c f f =-==-=.由于()f x 在(0,)+∞是增函数，所以()()()13πf f f <<，即c a b <<. 故选：D. 【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性、单调性比较大小，属于基础题. 6．B 【分析】利用配方法求得()h t 的最大值，也即烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度. 【详解】依题意2() 4.914.717h t t t =-++234.928.0252t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，故当32t =时，()max 28.02528m h t =≈.故选B. 【点睛】本小题主要考查二次函数最大值的求法，考查函数在生活中的应用，属于基础题. 7．D 【分析】对m 分成2m =和2m ≠且2m ≠-两种情况，结合一元二次不等式恒成立，求得的m 的取值范围. 【详解】当2m =时，原不等式化为104>恒成立. 当2m ≠且2m ≠-时，要使对x R ∀∈，不等式()2214(2)02m x m x m -+-+>+恒成立，则需()()22240124402m m m m ⎧->⎪⎨∆=---⋅<⎪+⎩即()()()()220260m m m m ⎧+->⎪⎨--<⎪⎩，解得26m <<. 综上所述，m 的取值范围是[2,6). 故选：D. 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式恒成立问题的求解，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题. 8．A 【分析】设出3种书每本的数量，设出学生人数，根据已知条件列方程组，解方程组求得学生人数. 【详解】设毛诗x 本，春秋y 本，周易z 本，学生人数为m ，则94345x y z mxm y mz++=⎧⎪⎪=⎪⎪⎨=⎪⎪⎪=⎪⎩， 解得120403024m x y z =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩. 故选A. 【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查方程的思想，属于基础题. 9．B 【分析】对四个判断逐一分析，由此确定判断正确的个数.对于①，由于0,0a b >>，由11a b <，得110b a a b ab--=<，即0a b >>>以①正确.对于②，由于0,0a b >>，()14144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当42,23b a b a a b ===时等号成立，故②错误. 对于③，由于0,0a b >>，所以112,2a b a b+≥+≥，根据不等式的性质，有114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故③正确.对于④，由于0,0a b >>，所以1111121111y a a a a =+=++-≥=-=++，但是由于111a a +=+时，0a =或2a =-，不符合题意，故等号不成立.所以④错误.综上所述，正确的判断个数为2个. 故选B. 【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查基本不等式的运用，属于基础题. 10．C 【分析】根据奇函数的性质，求得不等式1(1)1f x -≤-≤的解集. 【详解】由于()f x 是奇函数，故()()221f f =--=-.由于奇函数()f x 在[0,)+∞是减函数，所以()f x 在R 上是减函数.由1(1)1f x -≤-≤得()()()212f f x f ≤-≤-，所以212x ≥-≥-，解得13x -≤≤.故选C. 【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于基础题.【分析】构造函数()225(9)2f x x a x a a =-++--，根据()f x 零点分布列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围. 【详解】构造二次函数()225(9)2f x x a x a a =-++--，其开口向上.依题意，()f x 的零点分别在区间(0,1)和(1,2)内，所以()()()001020f f f ⎧>⎪<⎨⎪>⎩，即()()222205920202920a a a a a a a a ⎧-->⎪-++--<⎨⎪-++-->⎩，解得(11)(3,1a ∈-⋃+. 故选：B. 【点睛】本小题主要考查根据一元二次方程根的分布求参数的取值范围，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 12．D 【分析】根据已知条件判断()f x 和()g x 都关于()2,3中心对称，由此求得128128x x x y y y +++++++的值.【详解】由于()f x 满足(2)(2)6f x f x -++=，当0x =时，()23f =，所以()f x 关于()2,3中心对称.由于()325315()3222x x g x x x x -+-===+---，所以()g x 关于()2,3中心对称.故()f x 和()g x 都关于()2,3中心对称.所以()f x 与()g x 的图像交点()11,x y ，()22,x y ，…，()88,x y ，两两关于()2,3对称.所以128128x x x y y y +++++++828340=⨯+⨯=.故选：D. 【点睛】本小题主要考查函数图像的对称性，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.13．[2,1)(1,)-+∞【分析】要使函数()f x 有意义，只需2010x x +⎧⎨-≠⎩，解此不等式组即可．【详解】解：要使函数()f x 有意义，须有2010x x +⎧⎨-≠⎩，解得2x -，且1x ≠，故函数()f x 的定义域为：{|2x x -，且1}x ≠， 故答案为：[2,1)(1,)x ∈-+∞．【点睛】本题考查函数定义域的求解，属基础题，若函数为偶次根式，被开放数须大于等于0；若函数为分式，分母必不为0． 14．2 【分析】根据函数的奇偶性求得()2f -的值.【详解】由于()f x 是奇函数，故()()()222122f f -=-=--=⎡⎤⎣⎦. 故答案为：2. 【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性求函数值，属于基础题. 15．{1|6x x <或12x ⎫>⎬⎭.【分析】根据20ax bx c ++>的解集写出根与系数关系，由此求得不等式20cx bx a ++<的解集. 【详解】由于不等式20ax bx c ++>的解集为{|26}x x <<，所以0a <，2682612b a c a⎧-=+=⎪⎪⎨⎪=⨯=⎪⎩，即812b a c a=-⎧⎨=⎩，所以不等式20cx bx a ++<可化为21280ax ax a -+<，由于0a <，所以21280ax ax a -+<可化为212810x x -+>，即()()21610x x -->，解得16x <或12x >. 故答案为{1|6x x <或12x ⎫>⎬⎭. 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于基础题.16．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【分析】对m 分成1,11,1m m m ≤--<<≥三种情况，结合[1,1]x m m ∀∈-+，都有[1,1]y n n ∈-+进行分类讨论，由此求得m 的取值范围.【详解】 函数212y x =-开口向下，对称轴为y 轴.由于B 在函数212y x =-的图像上，所以212n m =-.依题意[1,1]x m m ∀∈-+，都有[1,1]y n n ∈-+，即：[1,1]x m m ∀∈-+，都有22[11122,1]y m m --∈-+. 当10m +≤，即1m ≤-时，函数212y x =-在[1,1]m m -+上递增，最小值为()2112m --，最大值为()2112m -+，所以()()2222111111211222m m m m ---<-+≤--≤+，此不等式在1m ≤-时无解.当101m m -<<+，即11m -<<时，函数212y x =-在[1,1]m m -+上，最大值为0，最小值在区间[1,1]m m -+的端点取得，故()()222222221110122111111222111111222m m m m m m m m ⎧--≤≤-+⎪⎪⎪--≤--≤-+⎨⎪⎪--≤-+≤-+⎪⎩，解得1122m -≤≤. 点10m -≥，即m 1≥时，函数212y x =-在[1,1]m m -+上递减，最小值为()2112m -+，最大值为()2112m --，所以()()2222111111211222m m m m --+<--≤--≤+，此不等式在m 1≥时无解.综上所述，m 的取值范围是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【点睛】本小题主要考查新定义函数的理解，考查分类讨论的数学思想方法，考查不等式的解法，属于中档题.17．（1）{|25}A B x x ⋂=-≤≤,{|36}A B x x ⋃=-≤≤（2）3m ≤【分析】（1）根据交集、并集的知识，求得A B ，A B . （2）根据（1）得到A B ，对C 分成C =∅和C ≠∅两种情况，结合()C A B ⊆进行分类讨论，由此求得m 的取值范围.【详解】（1）由已知可得{|25}A B x x ⋂=-≤≤，{|36}A B x x ⋃=-≤≤．（2）由（1）知{|25}A B x x ⋂=-≤≤.由于()C AB ⊆，①若C =∅，则121m m +>-，∴2m <；②若C ≠∅，则12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得23m ≤≤，综上可得3m ≤．【点睛】本小题主要考查集合交集和并集的概念和运算，考查根据集合的包含关系求参数，属于基础题.18．（1）1a =；（2）证明见解析.【分析】（1）化简不等式()1f x ≥-为整式形式，根据不等式()1f x ≥-的解集，求得a 的值.（2）利用函数单调性的定义，计算()()210f x f x ->，由此证得函数()f x 在[0,)+∞上是增函数.【详解】（1）由题意211x a x -≥-+， 变形2311011x a x a x x --++=≥++， 等价于(31)(1)0x a x -++≥且10x +≠，解得1x <-或13a x -≥， 所以103a -=，解得1a =． （2）由（1）得21()1x f x x -=+， 任取12,[0,)x x ∈+∞，且12x x <，则210x x ->，那么()()()()()2121212112321211111x x x x f x f x x x x x ----=-=++++， ∵210x x ->，()()12110x x ++>，∴()()210f x f x ->，∴函数()f x 在[0,)+∞上是增函数．【点睛】本小题主要考查分式不等式的解法，考查利用函数单调性的定义证明函数单调性，属于基础题.19．（1）()F x 在R 上是偶函数,增区间为(2,0)-，(2,)+∞，递减区间为：(,2)-∞-，(0,2),图像见解析；（2）3t >或1t =-【分析】（1）利用奇偶性的定义，判断出()F x 为偶函数，根据函数()f x 的解析式以及()F x 图像的对称性，画出()F x 的图像，根据图像写出()F x 的单调区间.（2）令()()0H x F x t =-=，()F x t =，结合()F x 图像与y t =的图像有两个交点，求得t 的取值范围.【详解】（1）由题意知()F x 定义域为R ，关于原点对称，又()(||)(||)()F x f x f x F x -=-==，∴()F x 在R 上是偶函数．函数()F x 的大致图像如下图：观察图像可得：函数()F x 的单调递增区间为：(2,0)-，(2,)+∞，单调递减区间为：(,2)-∞-，(0,2)．（2）当()()H x F x t =-有两个零点时，即()F x 的图像与直线y t =图像有两个交点，观察函数图像可得3t >或1t =-．【点睛】本小题主要考查函数奇偶性，考查函数图像的对称性，考查函数零点问题的求解策略，考查20．（1）当1a <-时，不等式的解集为(,1)a -；当1a =-时，不等式的解集为∅；当1a >-时，不等式的解集为(1,) a -；（2）{|1x x ≤-或}1x ≥.【分析】（1）将不等式()0f x <左边因式分解，将a 分成1,1,1a a a <-=->-三种情况分类讨论，结合一元二次不等式的解法，求得不等式()0f x <的解集.（2）变换主参变量，将“[1,1]a ∀∈-，()0f x ≥恒成立”转化为一次函数在区间[]1,1-上恒大于零，列不等式组来求解得x 的取值范围.【详解】（1）不等式2(1)0x a x a +--<等价于 ()(1)0x a x -+<，当1a <-时，不等式的解集为(,1)a -；当1a =-时，不等式的解集为∅；当1a >-时，不等式的解集为(1,)a -．（2）22(1)(1)x a x a a x x x +--=-+++，设2()(1),[1,1]g a a x x x a =-+++∈-，要使()0g a ≥在[1,1]a ∈-上恒成立， 只需(1)0(1)0g g -≥⎧⎨≥⎩， 即22210,10,x x x ⎧++≥⎨-≥⎩解得1x ≥或1x ≤-，所以x 的取值范围为{|1x x ≤-或}1x ≥．【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.21．（1）2210600260,040()919010000,40x x x W x x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-+-≥⎪⎩（2）2021年产量为100（千台）时，企业所获利润最大，最大利润是8990万元【分析】（1）利用()104000R =求得a 的值.利用销售额减去固定成本和()R x ，求得利润()W x 的函数关系式.（2）结合二次函数的性质、基本不等式，求得当x 为何值时，()W x 取得最大值.【详解】（1）由题意2(10)1010104000R a =⨯+=，所以300a =，当040x <<时，()22()9001030026010600260W x x x x x x =-+-=-+-； 当40x ≥时， 22901945010000919010000()900260x x x x W x x x x-+-+-=--=， 所以2210600260,040()919010000,40x x x W x x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-+-≥⎪⎩． （2）当040x <<，2()10(30)8740W x x =--+当30x =时，max ()8740W x = 当40x ≥，29190100001000010000()91909190x x W x x x x x x -+-⎛⎫==--+=-++ ⎪⎝⎭， 因为0x >，所以10000200x x +≥=， 当且仅当10000x x=时，即100x =时等号成立， 此时()20091908990W x ≤-+=，所以max ()8990W x =万元，因为87408990<，所以2021年产量为100（千台）时，企业所获利润最大，最大利润是8990万元．【点睛】本小题主要考查分段函数在实际生活中的应用，考查分段函数求最值的方法，属于中档题.22．（1）2()23f x x x =+-（2）①0k ≥或6k ≤-；②2λ>时无零点；12λ<<时，有4个零点，1λ=时，有3个零点，2λ=或1λ<时，有2个零点【分析】（1）设出二次函数解析式，根据已知条件得到二次函数对称轴、与y 轴交点、根与系数关系，由此列方程组，解方程组求得二次函数解析式（2）①求得()g x 解析式，根据其对称轴与区间[1,2]-的位置关系，求得k 的取值范围. ②将k 分成0k ≥，60k -<<，6k ≤-三种情况，结合()g x 的单调性，求得()h k 的表达式，利用换元法：令244m t =-≥-，即()(4)h m m λ=≥-，结合()h m 的图像对λ进行分类讨论，由此求得()24h t λ-=的零点个数.【详解】（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，由题意知对称轴12b x a=-=-；① (0)3f c ==-；②设()0f x =的两个根为1x ，2x ，则12b x x a +=-，12c x x a=，124x x -===；③ 由①②③解得1a =，2b =，3c =-，∴2()23f x x x =+-．（2）①2()(2)2g x x k x =+++，其对称轴22k x +=-． 由题意知：212k +-≤-或222k +-≥， ∴0k ≥或6k ≤-．② 1)当0k ≥时，对称轴212k x +=-≤-，()g x 在[1,2]-上单调递增，()(1)1h k g k =-=-+，2)当60k -<<时，对称轴2(1,2)2k x +=-∈-，2244()24k k k h k g +--+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 3)当6k ≤-时，对称轴222k x +=-≥，()g x 在[1,2]-单调递减， ()(2)210h k g k ==+， ∴21,0,44(),604210, 6.k k k k h k k k k -+≥⎧⎪--+⎪=-<<⎨⎪+≤-⎪⎩， 令244m t =-≥-，即()(4)h m m λ=≥-，画出()h m 简图，i ）当1λ=时，()1h m =，4m =-或0，∴244t -=-时，解得0t =，240t -=时，解得2t =±，有3个零点．ii ）当1λ<时，()h m λ=有唯一解10m >，2140t m -=>，t =2个零点．iii ）当12λ<<时，()h m λ=有两个不同的零点2m ，3m ，且23,(4,2)(2,0)m m ∈--⋃-，2340,40m m +>+>，∴224t m -=时，解得t =234t m -=时，解得t =4个不同的零点．iv ）当2λ=时，()2h m =，224m t =-=-，∴t =有2个零点．v ）当2λ>时，()h m λ=无解．综上所得：2λ>时无零点；12λ<<时，有4个零点；1λ=时，有3个零点；2λ=或1λ<时，有2个零点．【点睛】本小题主要考查根据二次函数的性质求得二次函数解析式，考查含有参数的二次函数在给定区间上的单调性讨论问题，考查函数零点问题的求解策略，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.。
山东省济宁市实验中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题(无答案)
济宁市实验中学高二年级第一学期九月模块测试数学试题注意事项：1．答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形码.2．本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页.3．选择题的作答：每小题选出答案后，用28铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.4．非选择题的作答：用0.5mm 黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.以下现象是随机现象的是( )A ．标准大气压下，水加热到100 ℃，必会沸腾B ．走到十字路口，遇到红灯C ．长和宽分别为a ，b 的矩形，其面积为abD ．实系数一次方程必有一实根2.抽查10件产品，记事件A 为“至少有2件次品”，则A 的对立事件为( )A ．至多有2件次品B ．至多有1件次品C ．至多有2件正品D ．至少有2件正品3.两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为( )A.12B.14C.13D.164.抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A ＋B 发生的概率为( )A.13 B ．12 C.23 D.565．直三棱柱中，若，，，111ABC A B C -CA = a CB = b 1CC = c则（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知空间向量，，，，则（）A ．B ．C ．D ．7.国庆节放假，甲回老家过节的概率为13，乙、丙回老家过节的概率分别为14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人回老家过节的概率为( )A.5960B.35C.12D.1608.在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题．如我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为( )A.4.33%B.3.33%C. 3.44%D.4.44%二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9．在平行六面体中，若所在直线的方向向量为，则所在直线的方向向量可能为（）A ．B ．C ．D ．10.下列各组事件中，是互斥事件的是( )A ．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6B ．统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分C ．播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒D ．检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%11．已知点为三棱锥的底面所在平面内的一点，且1A B = +-a b c -+a b c -++a b c -+-a b c++=0a b c 2=a 3=b 4=c cos ,<>=a b 121312-14ABCD A B C D ''''-AB (2,1,3)-C D ''(2,1,3)(2,1,3)--(4,2,6)-(4,2,6)-P O ABC -ABC（，），则，的值可能为（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，第Ⅱ卷（非选择题）三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________.13.已知A ，B ，C 两两互斥，且P (A )＝0.3，P (B －)＝0.6，P (C )＝0.2，则P (A ∪B ∪C )＝________．14.在长方体中，，以为原点，，，方向分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，则 ，若点为线段的中点，则到平面距离为 ．四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）16.（13分）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级” ，求事件M 发生的概率．12OP OA mOB nOC =+- m n ∈R m n 1m =12n =-12m =1n =12m =-1n =-32m =1n =ABCD A B C D ''''-22AB AA AD '===D DA DC DD ' x y z AC '= PAB P A BC ''ba b a b a )2(b -a 2b a b a 3b ,2a 1 ∙-=+∙+⊥==，求已知）（），求（，且）已知（17.（15分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，采用5局3胜制，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．(1)求再赛2局结束这次比赛的概率；(2)求甲获得这次比赛胜利的概率．18.（17分）如图所示，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点．求证：（1）平面；（2）平面．19．（17分）在长方体中，，为线段中点．（1）求直线与直线所成的角的余弦值；（2）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由．ABCDACEFAB =1AF =M EF AM ∥BDE AM ⊥BDF 1111ABCD A B C D -11AA AD ==E CD 1B E 1AD 1AA P DP ∥1B AEAP。
山东省邹城市2020_2021学年高一数学上学期期中质量检测试题
山东省邹城市2020-2021学年高一数学上学期期中质量检测试题本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共4页；满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的考场、座号、姓名、班级填(涂)写在答题卡上，将条形码粘贴在指定位置处。
2.第I卷的答案须用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号。
3.答第II卷(非选择题)考生须用0.5mm的黑色签字笔(中性笔)作答，答案必须写在答题卡的各题目指定的区域内相应位置，如需改动，须先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
否则，该答题无效。
4.书写力求字体工整、笔迹清楚。
第I卷(选择题60分)一、单项选择题(本题共8个小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1.已知集合A＝{x|x(x－1)>2}，集合B＝{x|x>1}，则A∩B＝A.{x|<x<2}B.{x|x<－1或x>1}C.{x|x>2}D.{x|x>1}2.下列函数是幂函数且在(0，＋∞)是减函数的是A.y＝x2B.y＝13x C.y＝x＋x－1 D.y＝23x-3.已知a>0，b>0，且满足a＋2b＝1，则31a b +有A.最大值为5＋B.最小值为5＋C.最大值为D.最小值为4.命题“0≤a<4”是命题“函数yR”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知a，b，c，d均为实数，则下列命题错误．．的是A.若ac2>bc2，则a>bB.若a>b，c>d，则a－d>b－cC.若a>b，c>d>0，则a bd c> D.若ab>0，bc－ad>0，则0c da b->6.已知函数f(x)＝()() 2a1x a x1ax(x1)-+<⎧⎪⎨-≥⎪⎩，，是定义在(0，＋∞)的减函数，则实数a 的取值 范围是 A.[18，13) B.(0，12) C.(14，12) D.[14，12) 7.二次函数f(x)＝ax 2＋a 是区间[－a ，a 2]上的偶函数，若函数g(x)＝f(x －2)，则g(0)，g(32)，g(3)的大小关系为A.g(32)<g(0)<g(3) B.g(0)<g(32)<g(3) C.g(32)<g(3)<g(0) D.g(3)<g(32)<g(0)8.定义在实数R 上的偶函数f(x)在区间(－∞，0]上单调递减，且f(－2)＝0，则不等式(x －1)f(x)<0的解集为A.(－∞，－2)∪(1，2)B.(－∞，－2)∪(1，＋∞)C.(－2，1)∪(2，＋∞)D.(－2，1)∪(1，2)二、多项选择题(本题共4个小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
山东省实验中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题
山东省实验中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________D ．关于x 的不等式()0f x <的解集为(),2-¥12．设函数()y f x =的定义域为R ，对于任意给定的正数p ，定义函数()()()(),,p f x f x p f x p f x pì£ï=í>ïî，则称()p f x 为()f x 的“p界函数”.若函数2()21f x x x =-+，则下列结论正确的是（ ）A ．()424f =B ．()4f x 的值域为[]0,4C ．()4f x 在[]1,1-上单调递减D ．函数()41y f x =+为偶函数四、解答题17．已知集合{}27,{121}A x x B x m x m =-££=+<<-∣∣，(1)3m =时，求A B Ç；(2)若A B B =I ，求实数m 的取值范围.对D ，由于()f x 在R 上单调递增，()()0(2)f x f x f <Û<，则2x <，即不等式()0f x <的解集为(),2-¥，D 正确．故选：BD12．BCD【分析】令2214x x -+£求出不等式的解，即可求出()4f x 的解析式，即可判断A 、B 、C ，再求出()41y f x =+的解析式，画出图象，即可判断D.【详解】根据题意，由2214x x -+£，解得13x -££，\()2421,134,14,3x x x f x x x ì-+-££ï=<-íï>î，所以()24222211f =-´+=，故A 错误；当13x -££时()()224211f x x x x =-+=-，且()4f x 在[]1,1-上单调递减，在[]1,3上单调递增，()401f =，()()44431f f -==，所以()404f x ££，即()4f x 的值域为[]0,4，故B 、C 正确；因为()24,2214,24,2x x y f x x x ì-££ï=+=<-íï>î，则()41y f x =+的图象如下所示：。