高一数学 “每周一练”系列(20)试题

高一数学 “每周一练”系列（20）试题
高一数学“每周一练”系列试题（20）
1．为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：
明文――→加密密文――→发送密文――→解密明文
已知加密为y ＝a x －2（x 为明文、y 为密文），如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．
2．已知函数f （x ）＝3x ，f （a ＋2）＝18，g （x ）＝λ·3ax －4x 的定义域为[0,1]．
（1）求a 的值；
（2）若函数g （x ）在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．
3．已知函数f （x ）＝x 2＋（a 2－1）x ＋a －2的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围．
4．判断方程4x 3＋x －15＝0在[1,2]内实数解的存在性，并说明理由．
5．某食品公司为了解某种新品种食品的市场需求，进行了20天的测试，人为地调控每天产品的单价P（元/件）：前10天每天单价呈直线下降趋势（第10天免费赠送品尝），后10天呈直线上升，其中4天的单价记录如下表：
时间（将第x天记为x）x 1101118
单位（元/件）P 9018
而这20天相应的销售量Q（百件/天）与x对应的点（x，Q）在如图所示的半圆上．
（1）写出每天销售收入y（元）与时间x（天）的函数．
（2）在这20天中哪一天销售收入最高？为此每天销售价P定为多少元为好？（结果精确到1元）
参考答案
1．解析：依题意y＝a x－2中，当x＝3时，y＝6，故6＝a3－2，解得a＝2，所以加密为y＝2x－2，因此，
当y ＝14时，由14＝2x －2，解得x ＝4.
答案：4
2．解：法一：（1）由已知得3a ＋2＝18⇒3a ＝2⇒a ＝log 32.
（2）此时g （x ）＝λ·2x －4x ，
设0≤x 1<x 2≤1，因为g （x ）在区间[0,1]上是单调减函数，
所以g （x 1）－g （x 2）＝（2x 1－2x 2）（λ－2x 2－2x 1）>0恒成立，
即λ<2x 2＋2x 1恒成立．由于2x 2＋2x 1>20＋20＝2，
所以实数λ的取值范围是λ≤2.
法二：（1）由已知得3a ＋2＝18⇒3a ＝2⇒a ＝log 32.
（2）此时g （x ）＝λ·2x －4x ，
因为g （x ）在区间[0,1]上是单调减函数，
所以有g ′（x ）＝λln2·2x －ln4·4x ＝ln2[－2·（2x ）2＋λ·2x ]≤0成立． 设2x ＝u ∈[1,2]，上式成立等价于－2u 2＋λu ≤0恒成立．
因为u ∈[1,2]，只需λ≤2u 恒成立，
所以实数λ的取值范围是λ≤2.
3．解：法一：设方程x 2＋（a 2－1）x ＋a －2＝0的两根分别为x 1、x 2（x 1<x 2），
则（x 1－1）（x 2－1）<0，∴x 1·x 2－（x 1＋x 2）＋1<0，
由根与系数的关系得a －2＋（a 2－1）＋1<0，
即a 2＋a －2<0，∴－2<a <1.
法二：函数的大致图像如图，
则有f （1）<0，即1＋（a 2－1）＋a －2<0，得a 2＋a －2<0，
∴－2<a <1.
4．解：令f （x ）＝4x 3＋x －15，由于y ＝4x 3和y ＝x 在[1,2]上都为增函数，
∴f （x ）＝4x 3＋x －15在[1,2]上为增函数，
∵f （1）＝4＋1－15＝－10<0，f （2）＝4×8＋2－15＝19>0，
∴f （x ）＝4x 3＋x －15在[1,2]内存在一个零点，
∴方程4x 3＋x －15＝0在[1,2]内有一个实数解
5．解：（1）P ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 10－x ，x ∈[1，10]，x －10，x ∈[11，20]，x ∈N ＋，
Q ＝100－(x －10)2，x ∈[1,20]，x ∈N ＋，
∴y ＝100QP
＝100(x －10)2[100－(x －10)2]，x ∈[1,20]，x ∈N ＋.
（2）∵（x －10）2[100－（x －10）2]≤[(x －10)2＋100－(x －10)2
2]2＝2500，
∴当且仅当（x －10）2＝100－（x －10）2，即x ＝10±52时，y 有最大值． ∵x ∈N ＋，∴取x ＝3或17时，y max ＝70051≈4999（元），
此时，P ＝7（元）．
答：第3天或第17天销售收入最高，此时应将单价P 定为7元为好．。