大物复习题

8-5 有一无限长直螺线管，单位长度上线圈的匝数为 n，在管的中
心放置一绕了 N 圈，半径为 r 的圆形小线圈，其轴线与螺线管的轴
线平行，设螺线管内电流变化率为，求小线圈中感应的电动势。
解：
无限长直螺线管内部的磁场为 B=μ0nI
通过 N 匝圆形小线圈的磁通量为Φm=NBS=Nμ0nIπr2
由法拉第电磁感应定律得：
解： 球内外 E 的分布都具有球对称性， 所以在球内外做同心球面为高斯面 由高斯定理：
E • dS EdS cos
S
S
E cos0 dS E dS E4r2
S
S
q i
r R包围整个电荷 q
0
r R时q' 4r 3 3
当 r>R 时
E cos0 dS E dS E4r2
解： （1）
t
3 kT 2
(2)
p
2 3
n
t
tH2 / tHe 1:1
H2
/ He
2g 2g / mol
:
2g 4g / mol
2
nH2
/ nHe
H2 V
: He V
2
pH2 / pHe 2 :1
(3) E i vRT 2
EH2
/
EHe
iH2 H2 iHe He
52 3
10 3
EX12 热力学第一定律及其应用
dm dt
N 0n r2
dI dt
8-9 长为 l 的一金属棒 ab，水平放置在均匀磁场 B 中，如图所示。
金属棒可绕 O 点在水平面内以角速度旋转，O 点离 a 端的距离为 l/k
（设 k >2）。试求 a、b 两端的电势差，并指出那端电势高。
解：
以 O 点为坐标原点。距离原点 x 位置取微元 dx，
则 dx 产生的感应电动势为 d xBdx
对整根导体棒进行积分：
l l
k xBdx
l k
1 2
B
l
l k
2
l k
2
k 2 Bl2 2k
动电势方向由 b 指向 a，a 端电势高。
EX9 自感,互感,磁场能量
8-15 一纸筒长 30 cm ,截面直径为 3.0 cm ，筒上绕有 500 匝线圈，求这线圈的自感。
S
S
4R3 30
E R3 3r 20
当 r < R 时，同理有
S
E
E
• dS EdS
S
qr 4 0R3
cos
0
E
E dS E4 r2 q
S
qr 4 0R3
rˆ, (r
R)
r3 R3
q 4r 3 3
Ex3 静电场环路定理,电势能,电势
6-17 如图所示，A 点有电荷+q，B 点有电荷-q，AB=2l，OCD 是以 B 为中心、 l 为半径的半圆。
解： L n2V
4
107
500 0.3
2
0.3
1.5102
2
7.4104 H
8-17 一由两薄圆筒构成的同轴长电缆，内筒半径为 R1，外筒半径为 R2，两筒间的介
质 r ＝1，设内圆筒和外圆筒中的电流方向相反，而电流强度 I 相等，求长度为 l 的一段同
轴电缆所贮磁能为若干？
解：根据对称性和安培环路定理，在内圆筒和外圆筒外的空间磁场为零。两圆筒(如右图所 示)间磁场为
强 dE1
dE1i
且 dE1
dx 40 x2
，
La dx
L
EP1 Q dE1 i a
40 x2
i 40a(a L)
即
P1
点场强大小为
L 4 0 a(a
L)
，方向沿
AP1
方向。
6.5 一根玻璃棒被弯成半径为 R 的半圆形，其上电荷均匀分布，总电荷为 q，求半圆中心 O 点
的场强。
解：如图，以半圆圆心为原点、对称轴为 x 轴建立坐标系，在棒上取电荷元 dq。
r R r R
U1
Q 4 0R
U2
Q 4 0r
根据球面电势的叠加原理
(1)r
R1时
U Q1 Q2 4 0R1 4 0R2
因此
(2)R1
r
R2时
U Q1 Q2 4 0r 4 0R2
(3)r R2时
U Q1 Q2 4 0r
EX5 电容器,电场能量
6.29 平板电容器两板间的空间（体积为 V）被相对介电常数为 r 的均匀电介质填满。极板
q 4 0
3l
q 4 0l
q 6 0l
单位正电荷从 O 点移到 D 点，电场力做功为：
WOD
q(U O
UD)
1[0
(
q 6
0l
)]
q 6
0l
（2）单位正电荷从 D 点移到无穷远处，电场力做功为：
WD
q(U D
U)
1[(
q 6
0l
)
0]
q 6
0l
6-19. 在半径分别为 R1 和 R2 的两个同心球面上，分别均匀带电，电荷量各为 Q1 和 Q2，且 R1<R2。求下列区域内的电势分布：（1）r<R1；（2）R1<r<R2；（3） r>R2。 解：半径为 R 的均匀带电球面在空间产生的电势为：
B I 2 r
R1 r R2
R2 R1
因磁场是非均匀的，则体积元中的磁场能元
dW wdV B2 dV uI 2 dV
2u
8 2r2
所以磁场能为
I
l
W
dW
R2
wdV
uI 2 2 rldr
W
V
R1 8 2r 2
ulI 2 ln R2
4 R1
u0lI 2 ln R2
4 R1
8-18 两个共轴圆线圈，半径分别为 R 及 r（ R 〉r ），匝数分别为 N1，N2，两线圈 的中心相距为 l，设 r 很小，则小线圈所在处的磁场可以视为均匀的。求两线圈的互感系数。 解：因为 R﹥r，且小线圈所在处的磁场可以视为均匀（如图所示），则由载流圆线圈轴线 上的磁场表达式可知 L1 在 L2 处产生的磁感应大小为
两球面间充满介电常量为 的均匀电介质，设其电容量为 C，试证明次电容器电场的能量
为 We
Q2 2C
。
证明：在球形电容器两极板间作半径为 r 的同心高斯球面 S
由高斯定理
D dS D 4 r2 Q
(RA r RB )
得D Q 4 r 2
则E D Q 4
5.065104 Pa，求气体分子的最概然速率。
解：由 PV m RT 可得 PV RT
M
mM
最概然速率为:
vp
2RT M
2PV m
2 5.065104 3102 2 102
3.90102 m s1
4-11 质量均为 2g 的氦气和氢气分别装在两个容积相同的封闭容器内，温度也相 同。设氢气分子可视为刚性分子，试问（1）氢分子与氦分子的平均平动动能之 比是多少？（2）氢气和氦气的压强之比是多少？（3）氢气和氦气的内能之比又 是多少？
B
N1u0 I1R 2
2( R 2
l
2
)
3 2
方向沿两线圈的轴线方向，于是
M
M 21
21 I1
BS I1
N1u0 I1R2 2(R2 l 2 )32
N2 r 2
I1
N1N2u0 R2r 2
2(R2 l 2 )32
其中 21 表示线圈 L1 激发的磁场通过 L2 的磁通量
4-15 在体积为 3102 m3 的容器内装有 2102 kg 的气体，容器内的气体压强为
上电荷的面密度为 。试计算将电介质从电容器中取出过程中外力所作的功。
解： 外力做功等于电容器电场能的增加：
W
We2
We1
q2 2
(1 C0
1) C
将C
0 r S d
， C0
0S d
，q
S ，V
Sd 代入求得
W 2V ( r 1) 2 0 r
6.29 若球形电容器两同心金属球面半径分别为 RA 和 RB（RA<RB）,带电荷分别为+Q 和-Q，
7 2
R
T2 T1 160K
∵ P1V1
m M
RT1，且 P1 、V1 、T1 已知，
∴ m P1V1 M RT1
代入 QP 计算式中，得：
QP
P1V1 RT1
7 2
RT2
T1
1.013105 1103 7 160J 2.08102 J
273
2
（2）体积不变，即等体过程
∵ AV
V2 PdV 0
dq dS q Rd q d
R
dq 与其对称电荷元 dq 在 O 点产生的场强沿 y 轴的分量抵消，
合场强沿 x 轴正向。关于 x 轴对称分布的任一对电荷元皆如此。
EO EOxi i qdEx
dE
dq 4 0 R 2
q 4 2 0R2
d
dEx
dE
cos
4
q 2 0 R2
cosd
故
E0
过圆心，因而在圆心产生的磁感应强度为
0，
B
0
B中 =
0I 4R
（2）类似前面，得到向下和向左流向的电流通过圆心，因而在圆心产生
的磁感应强度为
0，
B
B弧 =
0I 8R
R
I
O
(a)
I I
I OR
（b ）