第3章 动量守恒定律和能量守恒定1

第三章动量守恒定律和能量守恒定律问题解答3-1如图所示，设地球在太阳引力的作用下，绕太阳作匀速圆周运动。

试问：在下述情况下，（1）地球从点A运动到点B，（2）地球从点A运动到点C，（3）地球从点A出发绕行一周又返回点A，地球的动量增量和所受的冲量各为多少？解由22Mm mvGR R=可得，地球绕太阳作圆周运动的速率为v=（1）地球从A到B，动量增量的大小为AB ABP m v∆=∆==方向与B点速度方向成45o角。

在运动过程中，地球只受到引力作用，由动量定理可知，地球所受的冲量等于动量的增量，即AB ABI P=∆=方向与B点速度方向成45o角。

（2）同理，地球从A运动到C，动量增量大小为22AC ACP m v mv∆=∆==，方向与C点速度方向相同。

此过程中地球所受的冲量为2AC ACI P=∆=C点速度方向相同。

（3）当地球绕行一周回到A时，动量增量为零，地球所受到的冲量也为零。

3-2假使你处在摩擦可略去不计的覆盖着冰的湖面上，周围又无其它可以利用的工具，你怎样依靠自身的努力返回湖岸呢？解可以将身上所带的物品往后扔，由于动量守恒，人自身会向前进。

3-3质点系的动量守恒，是否意味着该系统中，一部分质点的速率变大时，另一部分质点的速率一定会变小？ACBAC解 不一定，因为动量是矢量，既有大小也有方向。

例如炸弹爆炸，产生的碎片获得的速率相对爆炸前都增大，但方向不一。

3-4 一人在帆船上用电动鼓风机正对帆鼓风，帆船是前进，还是后退？为什么？ 解 帆船仍然静止，鼓风机所鼓的风对帆及其自身都有作用力，对于整个帆船来看，风对帆和鼓风机的力属于内力，动量守恒。

3-5 在大气中，打开充气气球下方的塞子，让空气从球中冲出，气球可在大气中上升。

如果在真空中打开气球的塞子，气球也会上升吗？说明其道理。

解 气球会上升，由动量守恒，从气球中乡下冲出的空气会给气球一个向上的冲力。

3-6 在水平光滑的平面上放一长为L 、质量为m '的小车，车的一端站有质量为m 的人，人和车都是静止不动的。

人以速率v 相对地面从车的一端走向另一端，在此过程中人和小车相对地面各移动了多少距离？解 如图所示，取人与车为系统，在水平方向系统不受外力，满足动量守恒。

设小车沿地面的速率为v '，所以有 mv m v ''= 将上式两边乘以dt ，并对时间积分t tm vdt m v dt ''=⎰⎰ （1）设t 时刻，人刚好走到小车另一端，此时人相对于地面运动的距离为s ，小车相对于地面运动的距离为s '，所以0ts vdt =⎰，0ts v dt ''=⎰，代入（1）式有ms m s ''= （2）又由图示可知 s s l '+= （3）由（2）（3）可得人对地面移动的距离为m s l m m '='+小车对地面移动的距离为ms l m m'='+3-7 人从大船上容易跳上岸，而从小舟上则不容易跳上岸了，这是为什么？解 船与河岸的距离一定，人要能跳上岸，则他相对于地面的速率必须要达到一定的值，假设这个所需的速率为1v ，设人的质量为1m ，船的质量为2m ，并且当起跳时人相对船的速率为u ，由相对运动可知，此时船相对地面运动的速率为'v()21v u v =-.取人与船为一个系统，起跳过程中，在水平方向满足动量守恒，即()1121m v m u v =-1121m u v m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭又上式分析可知，人的质量1m 、人相对地面所需的速度1v 恒定，当船的质量越小，则人相对船起跳的速率也要越大，即人从小舟跳上岸要困难些。

3-8 质点的动量和动能是否与惯性系的选取有关？功是否与惯性系有关？质点的动量定理和动能定理是否与惯性系有关？请举例说明。

解 质点的速度v 因惯性系选取的不同而不同，所以质点的动量和动能都与惯性系的选取有关；由位移d dt =r v ，即位移与惯性系有关，所以对于功dW d =⋅F r 也与惯性系有关；动量定理与惯性系选取无关；动能定理与惯性系有关。

例如，在一辆以速率u 匀速前进的火车上，一乘客用一恒定力F 拉动物体A ，使物体相对于火车由静止开始运动，则物体相对于当运动t 秒后，取地面为参考系，物体的动量为()P m u at =+，动能为()2k 12E m u at =+，力F 作功212W at F =，这段时间内其动量定理表达式为Ft m v mat =∆=，动能定理表达式为()222111222F ut at m u at mu ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭取火车为参考系，物体的动量为P mat =，动能为()2k 12E m at =，动量定理表达式Ft m v mat =∆=，动能定理表达式为()221122F at m at ⎛⎫= ⎪⎝⎭3-9 关于质点系的动能定理，有人认为可以这样得到，即：“在质点系内，由于各质点间相互作用的力（内力）总是成对出现的，他们大小相等方向相反，因而所有内力做功相互抵消。

这样质点系的总动能增量等于外力对质点系做的功”。

显然这与式（3-20）所表述的质点系动能定理不符。

错误出在哪里呢？解 这种观点不正确，各质点间的内力虽是成对出现的，且大小相等方向相反，但它们分别作用在不同的质点上，质点的位移并不一定相同，所以这对内力作功之和也不一定为零。

如右图所示，两质点1m 、2m ，相互作用力为F 、'F ， 在时间dt 内，两质点位移分别为1d r 、2d r ，则这一对内力作功为()121212dW d d d d d '=⋅+⋅⋅-=⋅F r F r =F r r F r12d r 是质点1m 对2m 的相对位移。

当12d r 为零时，这对内力作功才可抵消。

3-10 有两个同样的物体，处于同一位置，其中一个水平抛出，另一个沿斜面无摩擦地自由滑下，问哪一个物体先到达地面？到达地面是两者的速率是相等？解 如图所示，这两个物体在竖直方向都作初速度为零、加速度为g 的匀加速运动，由于起始高度相同，由运动学公式，它们到达地面所要的时间都为t =对于沿斜面下滑的物体、斜面、地球组成的系统而言，只有重力作功，由机械能守恒可得物体到达地面时的速率为1v =对于平抛落地的物体，它到达地面时的速率为1v =所以它们落地时速率并不相等。

3-11 如果一质点P 处于如图所示的方形势阱底部。

若有力作用在质点上，在什么情形下，此质点的运动可以不受方形势阱的束缚；在什么情形下，质点仍要受束缚。

解 质点P 受力作用，当它所获得的能量大于在势阱底部的势能mgh 时，质点不受方形势阱的束缚。

3-12 举例说明用能量方法和牛顿定律各自求解哪些力学问题较方便，哪些力学问题不方便。

解 能量方法和牛顿定律是解决力学问题时经常要用到的方法，利用牛顿定律可以求得瞬时关系，但解题时必须考虑物体运动状态改变的细节， 能量的方法一般适用于研究物体或系统运动状态的变化。

O1r例如对于碰撞问题，两质点碰撞过程中的相互作用力为变力，不便利用牛顿定律来求解，而利用能量方法则不用考虑碰撞中的内力。

习题解答3-1 一架以213.010m s -⨯⋅的速率水平飞行的飞机，与一只身长为0.20m 、质量为0.50kg 的飞鸟相碰。

设碰撞后飞鸟的尸体与飞机具有同样的速度，而原来飞鸟对于地面的速率甚小，可以忽略不计。

试估计飞鸟对飞机的冲击力（碰撞时间可用飞鸟身长被飞机速率相除来估算）。

根据本题计算结果，你对于高速运动的物体（如飞机、汽车）与通常情况下不足以引起危害的物体（如飞鸟、小石子）相碰后会产生什么后果的问题有些什么体会？解 由力的作用的相互性可知，鸟与飞机相撞，鸟对飞机的冲击力F 与飞机对鸟的冲击力'F 大小相等，方向相反。

我们以鸟为研究对象，取飞机的飞行的方向为Ox 轴正方向。

由动量定理得0F t mv ∆=- 其中t ∆为碰撞时间，由题意可知t l v ∆=，代入上式可得252.2510N mv F l==⨯ 所以飞鸟对飞机的冲击力为52.2510N F F '=-=-⨯负号表示飞机所受冲力方向与其飞行方向相反。

由以上结果可知，尽管飞鸟质量、飞行速度都不大，但与其相撞后，飞机受到的冲击力很大，所以飞机在飞行时需要采取一些措施来避免与看似不会引起危害的物体相碰。

3-2 质量为m 的物体，由水平面上点O 以初速为0v 抛出，0v 与水平面成仰角α.若不计空气阻力，求：（1）物体从发射点O 到最高点的过程中，重力的冲量；（2）物体从发射点到落回至同一水平面的过程中，重力的冲量。

解 从所给的条件分析，本题有两种解法。

一是直接利用冲量的定义式，二是根据物体运动的始、末状态，利用动量定理来求解。

方法一 如图所示建立Oxy 坐标系，物体从发射点到最高点A 所用的时间为01sin v t gα∆=由冲量定义，从发射点到最高点的过程中重力的冲量为1110sin t dt mg t mv α∆==-∆-⎰I F j =j同理，物体从发射点O 落到B 所用的时间为022sin v t gα∆=此过程重力的冲量为22202sin t dt mg t mv α∆==-∆-⎰I F j =j方法二 物体在整个运动过程中只受到重力作用，由动量定理可知，物体始末动量的增量即为重力的冲量。

右图分别为两过程中动量矢量图。

所以物体由发射点O 运动到A 、B 过程中重力的冲量分别为10sin sin A O O P mv αα=-=--I P P j =j202sin 2sin B O O P mv αα=-=--I P P j =j3-3 高空作业时系安全带是非常必要的。

假如一质量为51.0kg 的人，在操作时不慎从高空竖直跌落下来，由于安全带的保护，最终使它被悬挂起来。

已知此时人离原处的距离为2.0m ，安全带弹性缓冲作用时间为0.50s . 求安全带对人平均冲力。

解 人从跌落到最终被悬挂，受到重力P 和安全带对他的冲力F 的作用，但二者作用时间不同，重力作用于整个过程中，而安全带只作用于缓冲阶段。

由题意可知，安全带对人的作用时间为 10.5s t ∆=，而重力的作用时间为人自由落A体到 2.0m h =处的时间与缓冲作用时间之和，即21t t ∆=∆ 取竖直向下为正方向，人初始下落和最终被悬挂时的速度均为零，所以对于整个过程，人的动量增量为零，由动量定理有120t t ∆+∆=F P由上式可知，安全带对人的平均冲力的大小为F mg =3-4 一作斜抛运动的物体，在最高点炸裂为质量相等的两块，最高点距离地面为19.6m . 爆炸后1.00s ，第一块落到爆炸点正下方的地面上，此处距抛出点的水平距离为21.0010m ⨯. 问第二块落在距抛出点多远的地面上？（设空气的阻力不计）解 物体在最高点发生爆炸，其中爆炸力是内力，它远大于物体的重力，所以爆炸前后动量守恒。