求数列{an}通项公式的方法

1．1+n a =n a +)(n f 型
累加法：
n a =（n a －1-n a ）+（1-n a －2-n a ）+…+（2a －1a ）
+1a =
)1(-n f +)2(-n f +…+)1(f +1a
例 1.已知数列{n a }满足1a =1，1+n a =n a +n
2（n ∈
N +），求n a . [解]
n a =n a －1-n a +1-n a －2-n a +…+2a －1a +1a
=1
2-n +2
2
-n +…+1
2+1
=
2
12
1--n
=n
2－1
∴n a =n
2－1 （n ∈N +）
3．1+n a =p n a +q 型（p 、q 为常数）
方法：（1）1+n a +1-p q
=)1
(-+p q a p n ，
再根据等比数列的相关知识求n a .
（2）1+n a －n a =
)(1--n n a a p
再用累加法求n a .
（3）
1
1++n n p a =
n
n p a +1
+n p q
，先用累加
法求
n
n
p a 再求n a .
例 3.已知{n a }的首项1a =a （a 为常数），
n a =21-n a +1（n ∈N +，n ≥2），求n a .
[解] 设n a －λ=2（1-n a －λ），则λ=－1
∴n a +1=2（1-n a +1） ∴{1+n
a }为公比为2的等比数列.
∴n a +1=（a+1）·1
2-n
∴n a =（a+1）·1
2
-n －1
2．)(1
n g a a n
n =+型 累乘法：n a =
1
-n n a a ·
2
1--n n a a …
1
2a a ·1a
例 2.已知数列{n a }满足
n a a n
n =+1
（n ∈N +），1a =1，求n a .
[解]
n a =
1
-n n a a ·
2
1--n n a a …
1
2a a ·1a
=（n －1）·（n －2）…1·1=（n －1）！ ∴n a =（n －1）！ （n ∈N +）
4．1+n a =p n a +)(n f 型（p 为常数） 方法：变形得
1
1++n n p a =
n
n p a +
1
)
(+n p n f ， 则{n
n p a }可用累加法求出，由此求n a .
例
4.已知{
n
a }满足
1
a =2，
1+n a =2n a +12+n .求n a .
[解] 112++n n a =n n
a 2+1
∴{n n
a 2}为等差数列.
n n a 2=
n n a =-+12
1
∴n a =n ·n
2
5．2+n a = p 1+n a ＋q n a 型（p 、q 为常数）
特征根法：q px x +=2
（1）21x x ≠时，n a =1C ·n x 1+2C ·n
x 2 （2）21
x x =时，n a =（1C +2C ·n ）
·n
x 1 例5.数列{n a }中，1a =2，2a =3，且2n a =1-n a +1+n a （n ∈N +，n ≥2），求n a . [解]
1+n a =2n a －1-n a
∴122
-=x x
∴121==x x
∴n a =（1C +2C ·n ）·n
1=1C +2C ·n
∴⎩⎨⎧=+=+3222121C C C C ∴⎩⎨⎧==112
1C C
∴)(1+∈+=N n n a n
7．“已知n S ，求n a ”型
方法：n a =n S －1-n S （注意1a 是否符合）
例6.设n S 为{n a }的前n 项和，
n S =2
3
（n a －1），求n a （n ∈N +） [解] ∵n S =
2
3
（n a －1） （n ∈N +）
∴当n=1时，1a =2
3
（1a －1）
∴1a =3 当n ≥2时，
n a =n S －1-n S
=23（n a －1）－2
3
（1-n a －1） ∴n a =31-n a ∴n a =n
3（n ∈N +）
6．1+n a =
D
Ca B
Aa n n ++型（A 、B 、C 、D 为常数）
特征根法：x =D Cx B
Ax ++
（1）21x x ≠时，21x a x a n n --=C ·2
11
1x a x a n n ----
（2）21x x =时， 11x a n -=
C x a n +--1
11
例6. 已知1a =1，1+n a =2
2+n n
a a （n ∈N +），求n a .
[解] x =22+x x
∴021==x x
∴n a 1=1
1
-n a +C
∵1a =1，2a =32，∴代入，得C=2
1
∴⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n a 1为首项为1，d=21的等差数列.
∴
n
a 1
=
21+n ∴n a =1
2
+n （n ∈N +） 8．“已知n a ，1+n a ，n S 的关系，求n a ”
型
方法：构造与转化的方法.
例8. 已知{n a }的前n 项和为n S ，
且n a +2n S （1+n S －1+n a －n a ）=0（n ≥2），
1a =
2
1
，求n a . [解] 依题意，得n S －1-n S +2n S ·1-n S =0
∴n S 1－11-n S =2 ∴n
S 1=２+2（n －１）=2n ∴n S =n
21
，1-n S =)1(21-n
∴n a =n S -1-n S
=－2×n 21
×)1(21-n
=)
1(21n n -（2≥n ） ∴n a =⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥∈-=+)2,()1(21)1(21
n N n n n n。