2019年高考数学章节分类试题 《直线与圆及其方程》
三年高考(2019)高考数学试题分项版解析 专题16 直线与圆 文(含解析)
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……专题16 直线与圆文考纲解读明方向分析解读 1.理解直线的倾斜角与斜率的关系,会求直线的倾斜角与斜率.2.掌握求直线方程的三种方法:直接法、待定系数法、轨迹法.3.能根据两条直线平行、垂直的条件判定两直线是否平行或垂直.4.熟记两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两条平行线间的距离公式,根据相关条件,会求三种距离.5.理解方程和函数的思想方法.6.高考中常结合直线的斜率与方程,考查与其他曲线的综合应用,分值约为5分,属中档题.分析解读 1.了解参数方程的概念,理解圆的参数方程.2.能根据所给条件选取适当的方程形式,利用待定系数法求出圆的方程,结合圆的几何性质解决与圆有关的问题.3.高考对本节内容的考查以圆的方程为主,分值约为5分,中等难度,备考时应掌握“几何法”和“代数法”,求圆的方程的方法及与圆有关的最值问题.分析解读 1.能够根据给定直线和圆的方程,选用代数或几何方法,判断直线和圆、圆与圆的位置关系.2.会根据圆的切线方程、公共弦方程及弦长等有关知识解决有关直线与圆的问题.3.灵活运用数形结合的方法.4.本节在高考中以位置关系、弦长问题为主,分值约为5分,属中档题.2018年高考全景展示1．【2018年全国卷Ⅲ文】直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是 A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：先求出A ，B 两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P 到直线距离范围，由面积公式计算即可点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题。
2．【2018年天津卷文】在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．【答案】【解析】分析：由题意利用待定系数法求解圆的方程即可.点睛：求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．3．【2018年新课标I 卷文】直线与圆交于两点，则________．【答案】【解析】分析：首先将圆的一般方程转化为标准方程，得到圆心坐标和圆的半径的大小，之后应用点到直线的距离求得弦心距，借助于圆中特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理求得弦长.详解：根据题意，圆的方程可化为，所以圆的圆心为，且半径是2，根据点到直线的距离公式可以求得，结合圆中的特殊三角形，可知，故答案为.点睛：该题考查的是有关直线被圆截得的弦长问题，在解题的过程中，熟练应用圆中的特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形，借助于勾股定理求得结果2017年高考全景展示1.【2017江苏，13】在平面直角坐标系xOy 中,(12,0),(0,6),A B -点P 在圆2250O x y +=：上,若20,PA PB ⋅≤ 则点P 的横坐标的取值范围是 .【答案】[-【解析】设(,)P x y ，由20PA PB ⋅≤，易得250x y -+≤，由2225050x y x y -+=⎧⎨+=⎩，可得5:5x A y =-⎧⎨=-⎩或1:7x B y =⎧⎨=⎩，由250x y -+≤得P 点在圆左边弧AB 上,结合限制条件x -≤≤，可得点P 横坐标的取值范围为[-. 【考点】直线与圆，线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.2．【2017课标3，文20】在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. 【答案】（1）不会；（2）详见解析【解析】试题分析：（1）设()()12,0,,0A x B x ，由AC ⊥BC 得1210x x +=；由韦达定理得122x x =-，矛盾，所以不存在（2）可设圆方程为2220x y mx Ey +++-=,因为过(0,1)，所以1E = ，令0x = 得22012y y y y +-=⇒==-或，即弦长为3.（2）解法1：过A ，B ，C 三点的圆的圆心必在线段AB 垂直平分线上，设圆心()00,E x y ，则12022x x mx +==-，由EA EC =得()22221212100+122x x x x x y y +⎛⎫⎛⎫-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得1201122x x y +==-，所以圆E 的方程为22221112222m m x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令0x =得121,2y y ==-，所以过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为()123--=，所以 所以过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值 解法2：设过A ，B ，C 三点的圆与y 轴的另一个交点为D ，由122x x =-可知原点O 在圆内，由相交弦定理可得122OD OC OA OB x x ===， 又1OC =，所以2OD =，所以过A ， B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为3OC OD +=，为定值. 【考点】圆一般方程，圆弦长【名师点睛】：直线与圆综合问题的常见类型及解题策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：12|||AB x x =-=圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．2016年高考全景展示1.【2016高考山东文数】已知圆M ：2220(0)x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是M 与圆N ：22(1)1x y +-=（-1）的位置关系是（ ） （A ）内切（B ）相交（C ）外切（D ）相离 【答案】B 【解析】考点：1.直线与圆的位置关系；2.圆与圆的位置关系.【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系问题，是高考常考知识内容.本题综合性较强，具有“无图考图”的显著特点，解答此类问题，注重“圆的特征直角三角形”是关键，本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.2.【2016高考北京文数】圆22(1)2x y ++=的圆心到直线3y x =+的距离为（ ）【答案】C 【解析】试题分析：圆心坐标为(1,0)-，由点到直线的距离公式可知d == C. 考点：直线与圆的位置关系【名师点睛】点),(00y x 到直线b kx y +=(即0=--b kx y )的距离公式2001||kb kx y d +--=记忆容易，对于知d 求k ，b 很方便.3、【2016高考上海文科】已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________.【答案】5考点：两平行线间距离公式.【名师点睛】确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即,x y 的系数应该分别相同，本题较为容易，主要考查考生的基本运算能力.4.【2016高考四川文科】在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为'2222(,)y xP x y x y -++；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，现有下列命题：若点A 的“伴随点”是点'A ，则点'A 的“伴随点”是点A. 单元圆上的“伴随点”还在单位圆上.若两点关于x 轴对称，则他们的“伴随点”关于y 轴对称 ④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线. 其中的真命题是 . 【答案】②③ 【解析】考点：1.新定义问题；2.曲线与方程.【名师点睛】本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．本题新概念“伴随”实质是一个变换，一个坐标变换，只要根据这个变换得出新的点的坐标，然后判断，问题就得以解决．5.[2016高考新课标Ⅲ文数]已知直线l ：60x +=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，则||CD =_____________. 【答案】4 【解析】试题分析：由60x +=，得6x =-，代入圆的方程，并整理，得260y -+=，解得12y y ==120,3x x ==-，所以||AB ==l 的倾斜角为30︒，由平面几何知识知在梯形ABDC 中，||||4cos30AB CD ==︒．考点：直线与圆的位置关系．【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．6.【2016高考浙江文数】已知a ∈R ，方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______. 【答案】(2,4)--；5． 【解析】试题分析：由题意22a a =+，12a =-或，1a =-时方程为224850x y x y +++-=，即22(2)(4)25x y +++=，圆心为(2,4)--，半径为5，2a =时方程为224448100x y x y ++++=，2215()(1)24x y +++=-不表示圆．考点：圆的标准方程.【易错点睛】由方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆可得a 的方程，解得a 的值，一定要注意检验a 的值是否符合题意，否则很容易出现错误．7.【2016高考天津文数】已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M 在圆C 上，且圆心到直线20x y -=的距离为5，则圆C 的方程为__________. 【答案】22(2)9.x y -+= 【解析】考点：直线与圆位置关系【名师点睛】求圆的方程有两种方法：(1)代数法：即用“待定系数法”求圆的方程．①若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a ，b ，r 的方程组求解．②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D ，E ，F 的方程组求解．(2)几何法：通过研究圆的性质，直线和圆的关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程． 8. 【2016高考新课标1文数】设直线y=x +2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ,B 两点,若,则圆C的面积为 . 【答案】4π 【解析】试题分析：由题意直线即为20x y a -+=,圆的标准方程为()2222x y a a +-=+,所以圆心到直线的距离d =,所以AB===, 故2224a r +==,所以244S r =π=π．故填4π． 考点：直线与圆【名师点睛】注意在求圆心坐标、半径、弦长时常用圆的几何性质,如圆的半径r 、弦长l 、圆心到弦的距离d 之间的关系：2222l r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在求圆的方程时常常用到.9.【2016高考新课标2文数】圆x 2+y 2−2x −8y +13=0的圆心到直线ax +y −1=0的距离为1，则a =（ ） （A ）−43（B ）−34（C（D ）2【答案】A 【解析】考点： 圆的方程，点到直线的距离公式.【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离. 已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围．。
江苏2019高考数学二轮专项练习：第12讲直线与圆的方程及应用
江苏 2019 高考数学二轮专项练习：第 12 讲直线与圆的方程及应用直线与圆的方程及应用第12讲分析几何是江苏高考必考题之一，它包括两个 C 级考点，正常状况下，考一小( 填空 )一大 ( 解答 ) 、小题常波及直线方程及应用，圆锥曲线方程及其性质，有必定的计算量；大题常常与圆相关，波及到方程，地点关系、定点、定值、定线等、圆与圆锥曲线的综合考察，对数学思想方法要求比较高，能灵巧使用待定系数法、定义法等求方程，能用配方法、换元法等，联合图形将问题进行转变，经过函数、方程、不等式等思想来解决问题、1. 理解直线的斜率和倾斜角的观点；掌握过两点的直线斜率的计算公式；认识直线的倾斜角的范围；理解直线的斜率和倾斜角之间的关系，能依照直线的倾斜角求出直线的斜率、2.掌握直线方程的几种形式 ( 点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式 ) 的特色与合用范围；能依照问题的详细条件选择适合的形式求直线的方程；认识直线方程的斜截式与一次函数的关系、3.能依照斜率判断两条直线平行或垂直、4.认识二元一次方程组的解与两直线的交点坐标之间的关系，领会数形联合思想；能用解方程组的方法求两直线的交点坐标、5.掌握两点间的距离公式和点到直线的距离公式及其简单应用；会求两条平行直线间的距离、6.掌握圆的标准方程与一般方程，能依照问题的条件选择适合的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化、7.能依照直线与圆的方程判断其地点关系 ( 订交、相切、相离 ) ；能依照圆的方程判断圆与圆的地点关系 ( 外离、外切、订交、内切、内含 ) 、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题、1.与直线 x＋ 3y－ 1＝0 垂直的直线的倾斜角为 ________、2.过点 (2,1) 且在两坐标轴截距相等的直线方程是________________ 、3.直线 3x－ y＋ m＝ 0 与圆 x2＋ y2－2x－ 2＝ 0 相切，那么实数 m＝________.4.在平面直角坐标系 xOy 中，圆 x2＋ y2＝ 4 上有且仅有四个点到直线12x－ 5y＋ c＝ 0 的距离为1，那么实数 c 的取值范围是 ________、【例 1】圆 C 过点 (1,0) ，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ： y＝ x－ 1 被圆 C 所截得的弦长为 2 2，求过圆心且与直线 l 垂直的直线的方程、【例 2】如图，平面直角坐标系 xOy 中，△AOB和△ COD为两等腰直角三角形，A( －2,0) ，C(a,0)(a>0) 、△ AOB和△ COD的外接圆圆心分别为 M， N.(1)假定⊙ M与直线 CD相切，求直线 CD的方程；(2)假定直线 AB截⊙ N 所得弦长为 4，求⊙ N的标准方程；(3) 能否存在这样的⊙N，使得⊙ N 上有且只有三个点到直线求现在⊙ N的标准方程；假定不存在，说明原由、22【例 3】圆 C： x ＋ (y － 3) ＝4，一动直线l 过点 A(－ 1,0)AB 的距离为与圆 C 订交于2，假定存在，P、Q 两点， M是 PQ的中点， l 与直线 m： x＋ 3y＋ 6＝ 0 订交于点 N.(1)求证：当 l 与 m垂直时， l 必过圆心 C；(2)当 PQ＝ 2 3时，求直线 l 的方程；→→(3)研究 AM· AN的值能否与直线 l 的倾斜角相关，假定没关，恳求出其值；假定相关，请说明原由、x2y22【例4】椭圆E：a2＋ b2＝ 1(a>b>0)的离心率为 2 ，且过点P(2 ，2) ，设椭圆 E 的右准线 l 与x 轴的交点为A，椭圆的上极点为B，直线AB被以原点为圆心的圆O所截得的弦长为4 55.(1)求椭圆 E 的方程及圆 O的方程；(2) 假定 M是准线 l 上纵坐标为t 的点，求证：存在一个异于M的点 Q，对于圆 O上的MN随意一点N，有为定值；且当M在直线 l 上运动时，点Q在一个定圆上、NQ1.(2017·安徽 ) 假定直线 3x ＋ y＋ a＝0 过圆 x2＋y2＋ 2x－ 4y＝ 0 的圆心，那么 a 的值为________、2.(2017·重庆 ) 在圆 x2＋ y2－2x － 6y＝0 内，过点 E(0,1) 的最长弦和最短弦分别是AC和 BD，那么四边形 ABCD的面积为 ________、3.(2017·湖北 ) 过点 ( － 1，－ 2) 的直线 l 被圆 x2＋ y2－ 2x－ 2y＋1＝ 0 截得的弦长为2，那么直线 l 的斜率为 ________、4.(2017·江西 ) 直线 y＝kx ＋ 3 与圆 (x － 2) 2＋ (y － 3) 2＝ 4 订交于 M， N 两点，假定 |MN|≥2 3，那么实数 k 的取值范围是 ________、5.(2017 ·福建理 ) 直线 l ： y＝ x＋ m， m∈ R.(1) 假定以点 M(2,0) 为圆心的圆与直线 l 相切于点 P，且点 P 在 y 轴上，求该圆的方程；(2) 假定直线l 对于 x 轴对称的直线为l ′，问直线l ′与抛物线C：x2＝ 4y 能否相切？说明原由、6.(2017 ·陕西 ) 如图，设 P 是圆 x2＋ y2＝ 25 上的动点，点 D 是 P 在 x 轴上投影， M为 PD4上一点，且 |MD| ＝5|PD|.(1)当 P 在圆上运动时，求点 M的轨迹 C 的方程；4(2)求过点 (3,0) 且斜率为5的直线被 C 所截线段的长度、(2017 ·南京三模 )( 本小题总分值16 分 ) 在平面直角坐标系xOy 中，定点A( －4,0) 、1B(4,0) ，动点 P 与 A、 B 两点连线的斜率之积为－4.(1)求点 P 的轨迹方程；(2)设点 P 的轨迹与 y 轴负半轴交于点 C.半径为 r 的圆 M的圆心 M在线段 AC的垂直平分线上，且在 y 轴右边，圆 M被 y 轴截得的弦长为3r.①求⊙ M的方程；②当 r 变化时，能否存在定直线l与动圆 M均相切？若是存在，求出定直线l 的方程；若是不存在，说明原由、y y 解： (1) 设 P(x ， y) ，那么直线 PA、 PB 的斜率分别为k1＝x＋4、 k2＝x－4.(2分 ) y y1x2y2由题意知x＋4·x－4＝－4，即16＋4＝ 1(x ≠± 4) 、x2y2所以动点 P 的轨迹方程是16＋4＝ 1(x ≠± 4) 、 (4 分 )( 说明：没有范围扣 1 分 )(2) ①由题意知 C(0 ，－ 2) ， A( － 4,0) ，所以线段 AC的垂直均分线方程为y＝ 2x＋ 3.(6分 )设 M(a,2a ＋ 3)(a ＞ 0) ，那么⊙ M的方程为 (x － a) 2＋ (y － 2a－ 3) 2＝r 2.3r r圆心 M到 y 轴的距离 d＝a，由 r 2＝ d2＋22，得 a＝2.r2＋(y － r － 3) 2＝ r 2.(10所以⊙ M的方程为x－2分)②假定存在定直线l 与动圆 M均相切、当定直线的斜率不存在时，不合题意、当斜率存在时，设直线l ： y＝ kx ＋ b，rk × 2－ r － 3＋ b＝ r 对随意 r ＞0 恒建立、 (12 分)那么1＋ k 2k＝ r 1＋ k 2，由2－ 1 r ＋ b －3k得 2－ 1 2r 2＋ (k － 2)(b － 3)r ＋(b － 3) 2＝(1 ＋ k 2)r 2.k2－1 2＝ 1＋ k 2，所以k － 2b － 3 ＝ 0，b － 3 2＝ 0.k ＝ 0， 4k ＝－ 3，解得b ＝ 3或 b ＝ 3.所以存在两条直线y ＝ 3 和 4x ＋ 3y － 9＝ 0 与动圆 M 均相切、 (16 分 )第 12 讲直线与圆的方程及应用1. 实数 x ， y 知足 2x ＋ y ＋5＝ 0，那么 x 2＋ y 2的最小值为 ________、【答案】52. 圆 x 2＋y 2＝ 1 与直线 kx ＋ y －k ＝ 0(k ∈R 为常数 ) 的地点关系是 ________、【答案】订交3. 假定直线 y ＝x ＋ b 与曲线 y ＝ 3－ 4x －x 2有公共点，那么 b 的取值范围是【答案】 [1 － 2 2， 3] 分析：本题考察数形联合思想. 曲线方程可化简为 (x23) ＝4(1 ≤ y ≤3) ，即表示圆心为 (2,3) 半径为 2 的半圆，依照数形联合，当直线________、－2) 2＋ (y －y ＝x ＋ b 与此半圆相切时须知足圆心(2,3) 到直线 y ＝ x ＋ b 距离等于 2，解得 b ＝ 1＋ 2 2或 1－ 2 2，因为是下半圆故可得 b ≠ 1＋ 2 2，当直线过 (0,3) 时，解得 b ＝ 3，故 1－ 2 2≤ b ≤ 3.4. 圆 M ： x 2＋ (y － 2) 2＝ 1， Q 是 x 轴上的动点， QA ， QB 分别切圆 M 于 A ， B 两点、4 2(1) 若是 |AB| ＝ 3 ，求直线 MQ 的方程；(2) 求动弦 |AB| 的最小值、解： (1) 设 Q(q,0) ，因为 M(0,2) ，所以 |MQ| ＝ q 2＋ 22＝ q 2＋ 4，而 |MA| ＝ r ＝ 1， 进而在 Rt △ AMQ 中， |AQ| ＝ |MQ| 2－ |MA| 2＝ q 2＋ 4－ 1＝ q 2＋ 3.1 2 2又由题意和对称性可得， Rt △ AMQ 斜边 MQ 边上的高为 h ＝ 2|AB| ＝ 3 .2 2由等面积法得 3 · q 2 ＋4＝ q 2＋3，解得 q ＝±5，所以 Q(± 5，0)，将 M ，Q 的坐标代入直线的两点式方程整理获得直线MQ 的方程为 2x ± 5y 2 5＝0.11 q 2＋ 3 (2) 由 (1) 知 ， 利 用 等 面 积 法 得2 |AB| · q 2＋ 4 ＝ q 2＋3 2 |AB| ＝q 2＋ 4 ＝11－2，进而当 q＝ 0 时，动弦 |AB| 取到最小值 3.q＋45.(2017 ·盐城二模 ) 如图，在平面直角坐标系xOy 中，曲线 C 由圆弧 C1和圆弧 C2相接而成，两相接点M、N 均在直线x＝ 5 上、圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为13；圆弧 C2过点 A(29,0) 、(1)求圆弧 C2的方程；(2)曲线 C 上能否存在点 P，知足 PA＝ 30PO？假定存在，指出有几个这样的点；假定不存在，请说明原由；(3) 直线 l ： x－ my－ 14＝ 0 与曲线 C交于 E、 F 两点，当 EF＝ 33 时，求坐标原点 O到直线 l 的距离、解： (1) 圆弧 C1所在圆的方程为 x2＋ y2＝ 169，令 x＝ 5，解得 M(5,12) ， N(5 ，－ 12) 、那么线段 AM中垂线的方程为 y－ 6＝ 2(x － 17) ，令 y＝0，得圆弧 C2所在圆的圆心为 O2(14,0) 、又圆弧 C2所在圆的半径为 r 2＝29－ 14＝15，所以圆弧 C2的方程为 (x － 14) 2＋ y2＝ 225(x ≥ 5) 、(2) 假定存在这样的点 P(x， y) ，那么由 PA＝ 30PO，得 x2＋ y2＋2x－ 29＝0.x2＋y2＋ 2x－ 29＝ 0，由x2＋ y2＝ 169－13≤ x≤ 5 ，解得 x＝－ 70( 舍 ) ，x2＋y2＋ 2x－ 29＝ 0，由x－ 1422＝225 5≤x≤ 29 ，解得 x＝ 0( 舍 ) ，＋ y综上知，这样的点P 不存在、(3) 因为 EF＞ r 2，EF＞ r 1，所以 E、F 两点分别在两个圆弧上、设点O到直线 l的距离为d，2，所以 EF＝ 15＋2222，因为直线 l 恒过圆弧 C 所在圆的圆心 (14,0)13 － d ＋14－ d1 615 1 615即132－ d2＋142－ d2＝ 18，解得 d2＝16，所以点 O到直线 l的距离为4.基础训练π1.32.x － 2y＝ 0 或 x＋ y－ 3＝ 03.3或－ 33|c|4.( － 13,13) 分析：圆的半径为 2，圆心 (0,0)到直线 12x － 5y＋ c＝ 0的距离小于1，即13＜1， c 的取值范围是 ( － 13,13) 、例题选讲例 1 解：由题意可设所求的直线方程为x＋ y＋ m＝ 0，设圆心坐标为 (a,0) ，那么由题意|a －1|2＋ 2＝(a － 1) 2，解得 a＝ 3 或－ 1，又因为圆心在知：2x 轴的正半轴上，所以 a＝ 3，故圆心坐标为 (3,0) ，因为圆心 (3,0) 在所求的直线上，所以有3＋ 0＋m＝ 0，即 m＝－ 3，故所求的直线方程为x＋ y－ 3＝0.例 2 点拨：直线与圆订交的问题，要利用图形转变为圆心到直线的距离问题、解： (1) 圆心 M(－ 1.1) 、∴圆 M方程为 (x ＋ 1) 2＋ (y － 1) 2＝ 2，∴直线 CD方程为 x＋ y－a＝ 0.∵⊙ M与直线 CD相切，| － a|∴圆心∴直线M到直线 CD的距离 d＝CD的方程为x＋ y－ 2＝ 0.2＝2，化简得：a＝± 2( 舍去负值) 、a a(2)直线 AB方程为： x－ y＋ 2＝ 0，圆心 N 2，2 .a a∴圆心 N 到直线 AB距离为2－2＋2＝ 2.2a2∵直线 AB 截⊙ N 所得弦长为4，∴ 22＋ ( 2) 2＝2 . ∴ a＝± 23( 舍去负值 ) 、∴⊙ N的标准方程为 (x － 3) 2＋ (y －3) 2＝6.(3) 存在、由 (2) 知，圆心 N 到直线 AB 距离为2( 定值 ) ，且 AB⊥ CD一直建立，a∴当且仅当圆 N半径2＝ 22，即 a＝4 时，⊙ N 上有且只有三个点到直线AB的距离为2.现在，⊙ N 的标准方程为 (x － 2) 2＋ (y － 2) 2＝ 8.变式训练 m∈ R，直线 l ： mx－ (m2＋ 1)y ＝ 4m和圆 C： x2＋ y2－ 8x＋ 4y＋ 16＝ 0.(1)求直线 l 斜率的取值范围；1(2)直线 l 可否将圆 C 切割成弧长的比值为2的两段圆弧？什么原由？点拨：直线与圆订交，用圆心到直线距离 . 直线将圆切割弧长的比值，转变为所对的圆心角的比值，过圆心作弦的垂线，那么垂线段长可求，用圆心到直线的距离即可、m4m解： (1) 直线 l 的方程可化为 y＝m2＋1x－m2＋1，m直线 l 的斜率 k＝m2＋1，1∵|m| ≤2(m2＋ 1) ，|m|1∴|k| ＝2＋≤，当且仅当 |m| ＝ 1 时等号建立、 m 1 21 1∴斜率 k 的取值范围是－2，2 .1(2) 不可以、由 (1) 知 l的方程为 y＝ k(x － 4) ，此中 |k| ≤2.2圆 C 的圆心 C(4，－ 2) ，半径 r ＝ 2. 圆心 C 到直线 l 的距离 d＝1＋ k2.14r由 |k| ≤2，得 d≥5＞ 1，即 d＞2. 进而假定 l 与圆 C 订交，那么圆 C 截直线 l 所得的2π弦所对的圆心角小于3 .1所以 l 不可以将圆 C 切割成弧长的比值为2的两段弧、1例 3(1) 证明：因为 l 与 m 垂直，且 k m ＝－ 3，那么 k l ＝ 3，故直线 l ：y ＝ 3(x ＋1) ，即3x －y ＋ 3＝0. 明显圆心 (0,3) 在直线 l 上，即当 l 与 m 垂直时， l 必过圆心 C.(2) 解：①当直线 l 与 x 轴垂直时，易知 x ＝－ 1 切合题意、②当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线l 的方程为 y ＝ k(x ＋ 1) ，即 kx －y ＋ k ＝ 0，因为| － 3＋ k| 4PQ ＝ 2 3，所以 CM ＝ 4－ 3＝ 1，那么由 CM ＝k 2＋ 1 ＝ 1，得 k ＝ 3. 所以直线 l 的方程为4x － 3y ＋ 4＝ 0.进而所求直线 l 的方程为 x ＝－ 1 或 4x － 3y ＋ 4＝ 0.→→→→→→→→→→→(3) 解：∵ CM ⊥ MN,∴ AM ·AN ＝ (AC ＋ CM) · AN ＝ AC · AN ＋ CM · AN ＝ AC · AN.5→5①当 l 与 x 轴垂直时有 N － 1，－ 3，∴ AN ＝ 0，－ 3 ，→ → → → → 又 AC ＝ (1,3), ∴AM · AN ＝ AC · AN ＝－ 5.②当 l 的斜率存在时，设直线l 的方程为 y ＝k(x ＋1)，y ＝ k x ＋ 1 ，3k ＋ 6 － 5k→55k那么由x ＋ 3y ＋ 6＝ 0，得 N － 1＋ 3k ，1＋ 3k，那么 AN ＝ － 1＋ 3k ，－ 1＋ 3k .→ → → →所以 AM · AN ＝ AC ·AN ＝－ 5.→ →→ →综上，可知 AM ·AN 的值与直线 l 的斜率没关，所以与倾斜角也没关，且AM ·AN ＝－ 5.变式训练直线 m 的方程为 x ＋ y － 1＝ 0，⊙ C 的方程为 x 2－ 2x ＋ y 2－ 2y －3＝ 0，⊙ C 对于→ → →直线 m 的对称的⊙ D 与直线 l 订交于 A 、B 两点，假定在⊙ D 上存在点 P 使得 OP ＝ OA ＋ OB ＝ λa ，又知 a ＝ ( － 1,2) 、(1) 求⊙ D 的方程； (2) 求点 P 的坐标；(3) 求直线 l 的方程、解： (1) ⊙ C 方程为 (x － 1) 2＋ (y － 1) 2＝ 5，设 D(a ， b) ，a ＋ 1b ＋ 12 ＋2 －1＝0， 那么b － 1∴ a ＝ 0， b ＝ 0，1，a － 1＝∴⊙ D 方程为 x 2＋y 2＝ 5.(2) 由题意可知 P( － λ ，2λ ) ，∵ P 在圆 D 上，∴ λ 2＋ 4λ 2＝ 5，∴ λ ＝± 1. ∴ P( －1,2) 或 P(1，－ 2) 、→ → →(3) ∵OP ＝ OA ＋ OB ，P 、 A 、 B 均在圆上，∴ OP ⊥AB ，∠ AOB ＝ 120°，5∴圆心 D 到直线 AB 的距离是 2 .1|c|5当 P 的坐标为 ( － 1,2) 时， k l ＝ 2，设直线 l 的方程是 x － 2y ＋ c ＝0， d ＝5＝2，55∴ c ＝± 2，由图形地点可知 c ＝ 2，现在直线 l 的方程是 2x － 4y ＋5＝ 0.同理可知，当 P 坐标为 (1 ，－ 2) 时，直线 l 的方程是 2x － 4y － 5＝ 0.c2a ＝ 2，2＝ 8，x2y24 2a 例 4(1) 解：2＝ 4， 故椭圆 E 的方程为 8＋ 4＝1，a 2＋b 2＝ 1，ba 2 ＝b 2＋c 2∵ A(4,0) ， B(0,2) ，∴直线 AB 方程为 x ＋ 2y － 4＝ 0，那么 O 到 AB 距离为 45，4 1 2∴圆 O 的半径 r ＝5 2＋ 2× 5 2＝ 2，故圆 O 的方程为 x 2＋ y 2＝ 4.(2) 证明： l 的方程为 x ＝4，∴ M 点坐标为 M(4， t) 、在圆 O 上任取一点 N(x 0， y 0) ，定点 Q(x ， y) 、 ∵ NM 与 NQ 的比值为常数且 Q 不一样于 M ，22∴ NQ ＝ λNM ， λ >0 且 λ ≠ 1，λ 为常数，即 (x 0－ x) 2＋ (y 0－ y) 2＝λ [(x 0－ 4) 2＋ (y 0－ t) 2] ，∴ x 02＋ y 02－ 2xx 0－ 2yy 0＋ x 2＋y 2 ＝λ (x 02＋ y 02－ 8x 0－2y 0t ＋ 16＋t 2) ， 22将 x 0 ＋ y 0 ＝ 4 代入上式，那么－ 2xx 0－2yy 0＋ x 2＋ y 2＋4＝－ 8λx 0－ 2λ y 0t ＋(20 ＋ t 2) λ ，x － 4λ ，①因为 N 是圆 O 上随意一点，所以y ＝ 4λ ，②x 2＋y 2＋ 4＝ 20＋ t 2λ ，③将①②代入③得 (16 ＋ t 2) λ2－ (20 ＋ t 2) λ＋ 4＝ 04∴ ( λ－ 1)[(16 ＋ t 2) λ － 4] ＝ 0，∵ λ≠ 1，∴ λ ＝ 16＋ t 2，即存在一个定点 Q(不一样于点 M)，使得对于圆 O 上的随意一点 N ，MN 4 代入③得 x 2＋ y 2＝ 4λ，均有为定值，又 16＋ t 2＝ λ NQ1 1 1 1所以有 x 2＋ y 2＝ x ，即 x － 2 2＋ y 2＝ 4，故点 Q 在圆心为 2， 0 ，半径为 2的定圆上、 高考回想 1.1 分析：本题考察直线与圆的地点关系，属简单题、2.10 2分析：由题意 AC 为径，设圆心为 F ，那么 FE ⊥ BD ，圆的标准方程为 (x － 1) 2＋(y － 3) 2＝ 10，故 F(1,3)1，由此易得： AC ＝2 10，又 k EF ＝ 2，所以 BD 的方程为 y ＝－ 2x ＋ 1，1| － 2＋1－3|1F 到 BD 的距离为5＝ 5，由此得 BD ＝ 2 5，所以四边形 ABCD 的面积为 2AC · BD21＝ 2×2 5×2 10＝10 2.173.1 或7334.－3 ， 3 分析：因为直线过定点(0,3) 且该点在圆上，设此点为M ，圆心 (2,3) 到|2k － 3＋3|13此直线距离为 d ，所以由 4－ d 2≥( 3)2d ≤ 1，又 d ＝1＋ k2≤ 1，∴ k 2≤ 3，∴－ 3 ≤3k ≤ 3 .5. 点拨：本小题重要考察直线、圆、抛物线等基础知识，考察运算求解能力，函数与方程思想、数形联合思想、化归与转变思想、分类与整合思想、解： ( 解法 1)(1) 依题意，点 P 的坐标为 (0 ，m)，0－ m因为 MP ⊥ l ，所以 2－ 0×1＝－ 1，解得 m ＝ 2，即点 P 的坐标为 (0,2) ，进而圆的半径 r ＝ |MP| ＝2－ 02＋0－22＝ 2 2，故所求圆的方程为 (x － 2) 2＋ y 2＝ 8.(2) 因为直线 l 的方程为 y ＝ x ＋ m 所以直线 l ′的方程为 y ＝－ x － m.y ＝－ x － m ， 得 x 2＋ 4x ＋4m ＝ 0， ＝ 42－ 4× 4m ＝ 16(1 － m)、由x 2＝4y ，①当 m ＝ 1，即＝ 0 时，直线 l ′与抛物线 C 相切、②当 m ≠ 1，即 ≠ 0 时，直线 l ′与抛物线 C 不相切、综上， 当 m ＝ 1 时，直线 l ′与抛物线 C 相切； 当 m ≠ 1 时，直线 l ′与抛物线 C 不相切、222依题意，所求圆与直线l ： x － y ＋ m ＝ 0 相切于点 P(0 ， m)，4＋ m 2＝ r 2，m ＝2，那么 |2 － 0＋ m| 解得 所以所求圆的方程为 (x － 2) ＋ y ＝ 8.222＝ r ，r ＝22.(2) 同解法 1.6. 点拨： (1) 动点 M 经过点 P 与圆相联系，所以把点P 的坐标用点 M 的坐标表示，而后代入圆的方程即可； (2) 直线方程和椭圆方程构成方程组，可以求解，也可以利用根与系数关系；联合两点的距离公式计算、解： (1) 设点 M 的坐标是 (x ， y) ，P 的坐标是 (x p ， x p ) ，4∵点 D是 P 在 x 轴上投影， M为 PD上一点，且 |MD| ＝5|PD| ，5∴x p＝ x，且 y p＝4y，5x2y2∵ P 在圆 x2＋ y2＝ 25 上，∴ x2＋4y 2＝ 25，整理得25＋16＝ 1，x2y2即 C 的方程是25＋16＝ 1.44(2) 过点 (3,0)且斜率为5的直线方程是y＝5(x －3)，设此直线与 C 的交点为 A(x 1， y1) ，B(x 2， y2) ，4x2y2x2x－ 32将直线方程 y＝5(x － 3) 代入 C 的方程25＋16＝1 得：25＋25＝1，化简得 x2－ 3x 3－ 413＋ 41－8＝ 0，∴ x1＝2， x2＝2，2＋2＝162＝4141∴ |AB| ＝x1－x2y1－y21＋25x1－x225× 41＝5，即所截41线段的长度是5 .。
2019年高考数学理科真题汇编解析：第九章直线与圆的方程
第九章 直线与圆的方程第一节 直线的方程与两条直线的位置关系1．（2019浙江11）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积6S ，6S = .1.解析 正六边形的面积为6个正三角形的面积和，所以61=611sin 602S 创创=o . 题型102 倾斜角与斜率的计算——暂无题型103 直线的方程——暂无题型104 两直线位置关系的判定——暂无题型105 有关距离的计算 第二节 圆的方程题型106 求圆的方程——暂无题型107 与圆有关的轨迹问题——暂无第三节 直线与圆、圆与圆的位置关系题型108 直线与圆的位置关系题型109 直线与圆的相交关系及其应用题型110 直线与圆相切、相离关系及其应用——暂无题型111 直线与圆的综合2.（2019江苏13）在平面直角坐标系xOy 中，点()12,0A -，()0,6B ，点P 在圆22:50O x y +=上．若20PA PB ⋅…，则点P 的横坐标的取值范围是 ．2.解析 不妨设()00,P x y ，则220050x y +=，且易知0x ⎡∈-⎣．因为PA PB AP BP =⋅⋅()()000012,,6x y x y =+⋅-=220000126x x y y ++-005012620x y =+-…，故00250x y -+…．所以点()00,P x y 在圆22:50O x y +=上，且在直线250x y -+=的左上方（含直线）.联立2250250x y x y ⎧+=⎨-+=⎩，得15x =-，21x =，如图所示，结合图形知0x ⎡⎤∈-⎣⎦．故填⎡⎤-⎣⎦．2评注 也可以理解为点P 在圆22000012620x y x y +=+-的内部来解决，与解析中的方法一致．3．（2107全国3卷理科20）已知抛物线22C y x =：，过点()20，的直线l 交C 与A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．（1）求证：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点()42P -，，求直线l 与圆M 的方程． 3．解析 （1）显然当直线斜率为0时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．设:2l x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立222y x x my ⎧=⎨=+⎩，得2240y my --=， 2416m ∆=+恒大于0，122y y m +=，124y y =-．1212OA OB x x y y ⋅=+u u r u u u r 1212(2)(2)my my y y =+++21212(1)2()4m y y m y y =++++=24(1)2240m m m -++⋅+=，所以OA OB ⊥uu r uu u r ，即点O 在圆M 上．（2）若圆M 过点P ，则0A P B P ⋅=uu u r uu r ，即1212(4)(4)(2)(2)0x x y y --+++=，即1212(2)(2)(2)(2)0m y m y y y --+++=，即21212(1)(22)()80m y y m y y +--++=，化简得2210m m --=，解得12m =-或1. ①当12m =-时，:240l x y +-=，设圆心为00(,)Q x y ， 则120122y y y +==-，0019224x y =-+=，半径||r OQ ==，则圆229185:4216M x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ②当1m =时，:20l x y --=，设圆心为00(,)Q x y ，12012y y y +==，0023x y =+=，半径r OQ =，则圆22:(3)(1)10M x y -+-=.题型112 圆与圆的位置关系及其应用——暂无。
高考 专题12 直线和圆的方程-2019年高考数学母题题源系列(浙江专版)(解析版)
2．斜率公式
（1）若直线 l 的倾斜角 90°，则斜率 k tan ．
（2）P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线
l
上，且
x1≠x2，则直线
l
的斜率
k＝
y2 x2
y1 x1
．
3．直线方程的五种形式
方程
适用范围
①点斜式： y y1 k(x x1)
②斜截式： y kx b
③两点式：
（1）几何方法
当斜率存在时，设为 k，则切线方程为 y y0 k(x x0 ) ，即 kx y y0 kx0 0 ．由圆心到直线的距
2
离等于半径长，即可得出切线方程．
（2）代数方法
当斜率存在时，设为 k，则切线方程为 y y0 k(x x0 ) ，即 y kx kx0 y0 ，代入圆的方程，得到一
（2）利用平面内两点间的距离公式求出圆心距 d，求 r1 r2，| r1－r2 | ； （3）比较 d, r1 r2 ,| r1－r2 | 的大小，写出结论．
4．涉及直线被圆截得的弦长问题，一般有两种求解方法：
（1）利用半径长 r、弦心距 d、弦长 l 的一半构成直角三角形，结合勾股定理 d 2 ( l )2 r2 求解； 2
3
斜截式 l1 : y k1x b1 l2 : y k2 x b2
一般式 l1 : A1x B1 y C1 0 l2 : A2 x B2 y C2 0
l1 与 l2 相交
k1 k2
A1B2 A2B1 0
l1 与 l2 垂直
k1k2 1
A1A2 B1B2 0
l1 与 l2 平行
个关于 x 的一元二次方程，由 0 ，求得 k，切线方程即可求出．
【方法总结】
2019年高考数学真题分类汇编：专题(08)直线与圆(文科)及答案
2019年高考数学真题分类汇编 专题08 直线与圆 文1.【2018高考北京，文2】圆心为()1,1且过原点的圆的方程是（ ） A ．()()22111x y -+-= B ．()()22111x y +++= C ．()()22112x y +++= D ．()()22112x y -+-= 【答案】D【解析】由题意可得圆的半径为r =，则圆的标准方程为()()22112x y -+-=，故选D.【考点定位】圆的标准方程.【名师点晴】本题主要考查的是圆的标准方程，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“过原点”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是圆的标准方程，即圆心(),a b ，半径为r 的圆的标准方程是()()222x a y b r -+-=．2.【2018高考四川，文10】设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆C ：(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )(A)(1，3) (B)(1，4) (C)(2，3) (D)(2，4)【考点定位】本题考查直线、圆及抛物线等基本概念，考查直线与圆、直线与抛物线的位置关系、参数取值范围等综合问题，考查数形结合和分类与整合的思想，考查学生分析问题和处理问题的能力.【名师点睛】本题实质是考查弦的中垂线过定点问题，注意到弦的斜率不可能为0，但有可能不存在，故将直线方程设为x ＝ty ＋m ，可以避免忘掉对斜率不存在情况的讨论.在对r 的讨论中，要注意图形的对称性，斜率存在时，直线必定是成对出现，因此，斜率不存在(t ＝0)时也必须要有两条直线满足条件.再根据方程的判别式找到另外两条直线存在对应的r 取值范围即可.属于难题.3.【2018高考湖南，文13】若直线3450x y -+=与圆()2220x y r r +=>相交于A,B 两点，且120oAOB ∠=（O 为坐标原点），则r =_____. 【答案】【解析】如图直线3450x y -+=与圆2220x y r r +=（＞） 交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且120o AOB ∠=，则圆心（0，0）到直线3450x y -+=的距离为12r 12r r =∴，=2 .故答案为2.【考点定位】直线与圆的位置关系【名师点睛】涉及圆的弦长的常用方法为几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则222().2lr d =-本题条件是圆心角，可利用直角三角形转化为弦心距与半径之间关系,再根据点到直线距离公式列等量关系. 4.【2018高考安徽，文8】直线3x+4y=b 与圆222210x y x y +--+=相切，则b=（ ） （A ）-2或12 （B ）2或-12 （C ）-2或-12 （D ）2或12 【答案】D【解析】∵直线b y x =+43与圆心为（1,1）,半径为1的圆相切，∴224343+-+b ＝1⇒2=b 或12,故选D.【考点定位】本题主要考查利用圆的一般方程求圆的圆心和半径，直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式的应用.【名师点睛】在解决直线与圆的位置关系问题时，有两种方法；方法一是代数法：将直线方程与圆的方程联立，消元，得到关于x （或y ）的一元二次方程，通过判断0;0;0<∆=∆>∆来确定直线与圆的位置关系；方法二是几何法：主要是利用圆心到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d ，然后再将d 与圆的半径r 进行判断，若r d >则相离；若r d =则相切；若r d <则相交；本题考查考生的综合分析能力和运算能力.5.【2018高考重庆，文12】若点(1,2)P 在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________. 【答案】250x y +-=【解析】由点(1,2)P 在以坐标原点为圆心的圆上知此圆的方程为：225x y +=，所以该圆在点P 处的切线方程为125x y ⨯+⨯=即250x y +-=，故填：250x y +-=. 【考点定位】圆的切线.【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，采用分母实数化和利用共轭复数的概念进行化解求解. 本题属于基础题，注意运算的准确性.6.【2018高考湖北，文16】如图，已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且2AB =.（Ⅰ）圆C 的标准．．方程为_________； （Ⅱ）圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为_________.【答案】（Ⅰ）22(1)(2x y -+-=；（Ⅱ）1--.【解析】设点C 的坐标为00(,)x y ，则由圆C 与x 轴相切于点(1,0)T1=，半 径0r y =.又因为2AB =，所以22211y +=，即0y r ==，所以圆C 的标准方程为22(1)(2x y -+=，令0x =得：1)B +.设圆C 在点B 处的切线方程为1)kx y -+=，则圆心C 到其距离为：d ，解之得1k =.即圆C 在点B 处的切线方程为x 1)y =+，于是令0y =可得x 1=-，即圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为1-，故应填22(1)(2x y -+-=和1-【考点定位】本题考查圆的标准方程和圆的切线问题, 属中高档题.【名师点睛】将圆的标准方程、圆的切线方程与弦长问题联系起来，注重实际问题的特殊性，合理的挖掘问题的实质，充分体现了数C 的横坐标.7.【2018高考广东，文20】（本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆1C :22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ．（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围； 若不存在，说明理由．第16题图【答案】（1）()3,0；（2）492322=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ⎪⎭⎫⎝⎛≤<335x ；（3）存在，752752≤≤-k 或34k =±． 【解析】试题分析：（1）将圆1C 的方程化为标准方程可得圆1C 的圆心坐标；（2）先设线段AB 的中点M 的坐标和直线l 的方程，再由圆的性质可得点M 满足的方程，进而利用动直线l 与圆1C 相交可得0x 的取值范围，即可得线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）先说明直线L 的方程和曲线C 的方程表示的图形，再利用图形可得当直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点时，k 的取值范围，进而可得存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点．试题解析：（1）圆1C :22650x y x +-+=化为()2234x y -+=，所以圆1C 的圆心坐标为()3,0（2）设线段AB 的中点00(,)x y M ，由圆的性质可得1C M 垂直于直线l .设直线l 的方程为mx y =（易知直线l 的斜率存在），所以1C 1k m M ⋅=-，00mx y =，所以130000-=⋅-x yx y ，所以032020=+-y x x ，即49232020=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x .因为动直线l 与圆1C 相交，所以2132<+m m ，所以542<m . 所以202022054x x m y <=，所以20200543x x x <-，解得350>x 或00<x ，又因为300≤<x ，所以3350≤<x . 所以),(00y x M 满足49232020=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤<3350x即M 的轨迹C 的方程为492322=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ⎪⎭⎫⎝⎛≤<335x .（3）由题意知直线L 表示过定点T (4,0)，斜率为k 的直线.结合图形，492322=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤<335x 表示的是一段关于x 轴对称，起点为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-352,35按逆时针方向运动到⎪⎪⎭⎫⎝⎛352,35的圆弧.根据对称性，只需讨论在x 轴对称下方的圆弧.设P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-352,35，则752354352=-=PT k ，而当直线L 与轨迹C 相切时，2314232=+-k k k，解得43±=k .在这里暂取43=k ，因为43752<，所以k k PT <.结合图形，可得对于x 轴对称下方的圆弧，当0k ≤≤或34k =时，直线L 与x 轴对称下方的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知：当0k ≤<或34k =-时，直线L 与x 轴对称上方的圆弧有且只有一个交点. 综上所述，当752752≤≤-k 或34k =±时，直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点. 考点：1、圆的标准方程；2、直线与圆的位置关系.【名师点晴】本题主要考查的是圆的标准方程、直线与圆的位置关系，属于难题．解题时一定要注意关键条件“直线l 与圆1C 相交于不同的两点A ，B ”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是圆的标准方程和直线与圆的位置关系，即圆22D F 0x y x y +++E +=的圆心D ,22E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，直线与圆相交⇔d r <（d 是圆心到直线的距离），直线与圆相切⇔d r =（d 是圆心到直线的距离）．8.【2018高考新课标1，文20】（本小题满分12分）已知过点()1,0A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()()22231x y -+-=交于M ，N 两点.（I ）求k 的取值范围；（II ）12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求MN .【答案】（I ）（II ）2L（II ）设1122(,),(,)M x y N x y .将1y kx =+代入方程()()22231x y -+-=,整理得22(1)-4(1)70k x k x +++=,所以1212224(1)7,.11k x x x x k k ++==++21212121224(1)1181k k OM ON x x y y k x x k x x k+?+=++++=++, 由题设可得24(1)8=121k k k+++，解得=1k ，所以l 的方程为1y x =+. 故圆心在直线l 上，所以||2MN =.考点：直线与圆的位置关系；设而不求思想；运算求解能力【名师点睛】直线与圆的位置关系问题是高考文科数学考查的重点，解决此类问题有两种思路，思路1：将直线方程与圆方程联立化为关于x 的方程，设出交点坐标，利用根与系数关系，将1212,x x y y 用k 表示出来，再结合题中条件处理，若涉及到弦长用弦长公式计算，若是直线与圆的位置关系，则利用判别式求解;思路2：利用点到直线的距离计算出圆心到直线的距离，与圆的半径比较处理直线与圆的位置关系，利用垂径定理计算弦长问题.。
2019年全国高考理科数学试题分类汇编8：直线与圆
2019 年全国高考理科数学试题分类汇编8：直线与圆一、选择题1 ．（ 2019 年上海市春天高考数学试卷( 含答案) ）直线2x 3 y 1 0 的一个方向向量是（）[ 来A．(2，3) B．(2，3) C．(3，2) D．(3，2)【答案】 D2．（2019 年一般高等学校招生一致考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯 WORD版含答案））已知点A( 1,0), B(1,0),C(0,1) ,直线 y ax b(a 0) 将△ABC切割为面积相等的两部分, 则b的取值范围是（）A．(0,1) B．(1 2 , 1 )( C) (1 2,1] D．[1,1)2 2 23 3 2【答案】 B3 ．（ 2019 年一般高等学校招生一致考试山东数学（理）试题（含答案））过点 (3,1) 作圆 (x 1)2 y2 1的两条切线 , 切点分别为A , B , 则直线AB的方程为（）A． 2x y 3 0 B． 2 x y 3 0 C． 4 x y 3 0 D． 4x y 3 0【答案】 A4．（2019 年一般高等学校招生一致考试辽宁数学（理）试题（WORD版））已知点O 0,0 , A 0,b , B a, a3 .若ABC 为直角三角形 , 则必有（）A．b a3 B．b a3 1a C．b a3 b a31 0 D．b a3 b a31a a 【答案】 C5 ．（ 2019 年高考江西卷（理））如图,半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线 , l1, l2之间l l1 l ?l l1l2y f ( x) FG x(0 x) y EB BC CDABCAB=AC 4，P AB A, B P BC,CA P 1光芒 QR 经过 ABC 的中心 , 则 AP 等（ ）A ． 2B ． 1C ．8D ．433【答案】 D。
2019年高考真题理科数学解析分类汇编9直线与圆
2019年高考真题理科数学解析分类汇编9 直线与圆1.【2019高考重庆理3】任意的实数k ，直线1+=kx y 与圆222=+y x 的位置关系一定是 A ．相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心 【答案】C【解析】直线1+=kx y 恒过定点)1,0(，定点到圆心的距离21<=d ，即定点在圆内部，所以直线1+=kx y 与圆相交但直线不过圆心，选C.2.【2019高考浙江理3】设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax+2y=0与直线l 2 ：x+(a+1)y+4=0平行 的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】当1=a 时，直线1l ：02=+y x ，直线2l ：042=++y x ，则1l //2l ；若1l //2l ，则有012)1(=⨯-+a a ，即022=-+a a ，解之得，2-=a 或1=a ，所以不能得到1=a 。
故选A.4.【2019高考陕西理4】已知圆22:40C x y x +-=，l 过点(3,0)P 的直线，则（ ） A.l 与C 相交 B. l 与C 相切 C.l 与C 相离 D. 以上三个选项均有可能【答案】A.【解析】圆的方程可化为4)2(22=+-y x ，易知圆心为)0,2(半径为2，圆心到点P 的距离为1，所以点P 在圆内.所以直线与圆相交.故选A.5.【2019高考天津理8】设R n m ∈,，若直线02)1()1(=-+++y n x m 与圆1)1()1(22=-+-y x 相切，则m+n 的取值范围是（A ）]31,31[+- （B ）),31[]31,(+∞+⋃--∞ （C ）]222,222[+- （D ）),222[]222,(+∞+⋃--∞【答案】D【命题意图】本试题主要考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，重要不等式，一元二次不等式的解法，并借助于直线与圆相切的几何性质求解的能力.【解析】圆心为)1,1(，半径为 1.直线与圆相切，所以圆心到直线的距离满足1)1()1(|2)1()1|22=+++-+++n m n m （，即2)2(1n m mn n m +≤=++，设z n m =+，即01412≥--z z ，解得,222-≤z 或,222+≥z 6.【2019高考江苏12】（5分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ▲ ． 【答案】43。
2019高考试题数学(理)解析汇编-直线与圆(可编辑修改word版)
离.
4.解析: 32 02 4 3 3 0 ,所以点 P(3, 0) 在圆 C 内部,应选 A.
5.答案 B 【命题意图】本试题主要考查了反射原理与三角形相 似知识的运用.通过相似三角形,来确定反射后的点的 落的位置,结合图像分析反射的次数即可.
F B
E
8. 、〔2018 年高考〔上海理〕〕假设 n (2, 1) 是直线
l 的一个法向量,那么 l 的倾斜角的大小为__________(结果用反三角
函数值表示).
9. 、〔2018 年高考〔山东理〕〕如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置 在 (0,1) ,此时圆上一点 P 的位置在 (0, 0) ,圆在 x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位
____.
2018 年高考真题理科数学解析汇编：直线与圆参考答案 【一】选择题 1. 【答案】D
一元二次不等式的解法,并借助于直线与圆相切的几何性质求解的能力.
【解析】∵直线 (m 1)x+(n 1) y 2=0 与圆 (x 1)2 +(y 1)2 =1相切,∴圆心 (1,1) 到
直线的距离为 d = |(m 1)+(n 1) 2| =1,所以 mn m n 1 ( m n )2 ,设 t=m n ,
3 AF =3 , FB=1, EF = ,那么线段 CD 的长为
2
______________. 7. 、〔2018 年高考〔浙江理〕〕定义:曲线 C 上的点到直线
A l 的距离的最小值称为曲线 C 到直线 l 的距离.曲线
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《直线与圆及其方程》
一、选择题
1．【09宁夏海南·文】5．已知圆：+，圆与圆关于直线1C 2(1)x +2
(1)1y -=2C 1C 对称，则圆的方程为
10x y --=2C （A ）+=1
（B ）+=1 2(2)x +2(2)y -2(2)x -2
(2)y +（C ）+=1 （D ）+=1 2(2)x +2(2)y +2(2)x -2(2)y -2．【09浙江·文】9．已知三角形的三边长分别为，则它的边与半径为的圆的公共
3,4,51点个数最多为
A ．
B ．
C ．
D ．
34563．【09安徽·文】7．直线过点且与直线垂直，则的方程是 l (1,2)-2340x y -+=l
A ．
B ． 3210x y +-=3270x y ++=
C ．
D ．
2350x y -+=2380x y -+=4．【09辽宁·理】4．（文科7）已知圆C 与直线 及都相切，圆心在0x y -=40x y --=直线上，则圆C 的方程为
0x y +=A ． B ．
22(1)(1)2x y ++-=22
(1)(1)2x y -++=C ． D ．
22(1)(1)2x y -+-=22(1)(1)2x y +++=5．【09上海·理】18．过圆的圆心，作直线分别交x 、y 正半轴于点
22(1)(1)1C x y -+-=：
A 、
B ，被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足
AOB ∆，
则这样的直线AB 有 I IV II III S S S S +=+（A ）0条 （B ）1条 （C ）2条 （D ）3条
6．【09上海·文】17．点与圆上任一点连线的中点
(4,2)P -224x y +=轨迹方程是 （A ） （B ）
22(2)(1)1x y -++=22(2)(1)4x y -++=（C ） （D ） 22(4)(2)4x y ++-=22(2)(1)1x y ++-=
7．【09上海·文】15．已知直线平
12:(3)(4)10:2(3)230l k x k y l k x y -+-+=--+=与行，则的值是
k （A ）1或3 （B ）1或5 （C ）3或5 （D ）1或2
二、填空题
1．【09广东·文】13．以点为圆心且与直线相切的圆的方程是 ．
(2,1)-6x y +=2．【09安徽·文】11．在空间直角坐标系中，已知点，点M 在y 轴上，
(1,0,2),(1,3,1)A B -且M 到A 与到B 的距离相等，则M 的坐标是________．
3．【09天津·理】14．（文科14）若圆与圆（a>0）的公共224x y +=22
260x y ay ++-=
弦的长为，则 ．a =。