人教版高中数学必修四《2.3.1平面向量的基本定理》
平行向量的夹角是________ ， 0°或180° 90° . 垂直向量的夹角是 ____
0 0 0 ,180 夹角的范围：
课后练习与提高:
2.3平面向量的基本定理及坐标表示（1）
谢 谢！
B. 3e1 2 e2 和 4 e2 6 e1 D. e 2 和 e1 e 2
练习2：请用以下三组基底分别表示 a.
a e1 3e2
a 3e3 e4
a 5e5 3e6
向量的夹角
两个非零向量 a 和 b,作 OA a ,
B
OB b ,则 AOB
如果 e1 ,e2 是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任意向量 a ，有且只有 一对实数 1 , 2 ，使 a 1 e1 2 e2 . 我们把不共线的向量 e1 ,e2 叫做表示这一平 面内所有向量的一组基底.
例1. 若向量 a， b不共线，且 c 2a b, d 3a 2b, 试判断
C
C
'
120
A
0
60
B
问题2：选择具有什么特征的基底会为研究向量 垂直 单位相量 问题带来方便？ 练习3：如下图，用 i, j 表示下面三个向量
a
b
a 2i 3 j
b 3i 2 j
c
c 3i 2 j
1.平面向量基本定理是建立在向量加法和 数乘运算基础上的向量分解原理，同时又是 向量坐标表示的理论依据，是一个承前起后 的重要知识点. 2.向量的夹角是反映两个向量相对位置关系的 一个几何量.
2.3.1平面向量的基本定理
问题1：请自己给定平面内的两个向量 e1 ,e2
（1）作出 2e1 ,
3e2
与 e1 共线的向量均可用 1 e1 唯一表示；与 e2 共线 的向量均可用 2 e2 唯一表示.
向量共线定理：
向量a ( a 0)与b共线, 当且仅当有唯一一个实数 , 使b a.
即a与b共线
b a
(a 0)
（2）作出 2e1 3e2 , 2e1 3e2
思考1： 形如 1 e1 2 e2 的向量是否均可用 e1 ,e2 表示？ 思考2：平面内的任一向量是否都可以用形如
，
1 e1 2 e2 的向量表示呢？
e1
a
e2
a
M
C
a
e1
e2
a
e1
O
如图 a OM ON
向量 c 与 d 能否作为一组基底 .
d 是否 思路分析： 要判断cd ，能否作为基底，只需看c ， 共线，若共线，则不能作为基底；否则可以作为基底．
练习1：已知 e1、e2 是表示平面内所有向量的一组基底，那 么下列四组向量中不能作为一组基底的是（ ）
A . e1 e2 和 e1 e 2 C. e1 3e 2 和 e2 3e1
OM 1 e1
ON 2 e2
e2
N
a 1 e1 2 e2
思考3：如果平面内的任一向量都可以用形如 1 e1 2 e2 的向量来表示，那么这种表示形式是唯一的吗？ M C
a
e1
e2
a
e1
O
e2
N
【归纳】通过刚才的探究，请你归纳一下 我们所发现的结论.
平面向量基本定理
叫做向量
特别的：a
O
b
a 和 b 的夹角．
a
A B
O a B
b
A
A
0
b
B
180
a与 b 反向
b
O
O
a
A
90
a 与 b 同向
a与 b 垂直，记作 a b
夹角的范围：
0 0 0 ,180
例2.在等边三角形中，求
(1)AB与AC的夹角； (2)AB与BC的夹角； (3) BA与CA的夹角.
0 0 0 ,180 夹角的范围：
课后练习与提高:
2.3平面向量的基本定理及坐标表示（1）
谢 谢！
B. 3e1 2 e2 和 4 e2 6 e1 D. e 2 和 e1 e 2
练习2：请用以下三组基底分别表示 a.
a e1 3e2
a 3e3 e4
a 5e5 3e6
向量的夹角
两个非零向量 a 和 b,作 OA a ,
B
OB b ,则 AOB
如果 e1 ,e2 是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任意向量 a ，有且只有 一对实数 1 , 2 ，使 a 1 e1 2 e2 . 我们把不共线的向量 e1 ,e2 叫做表示这一平 面内所有向量的一组基底.
例1. 若向量 a， b不共线，且 c 2a b, d 3a 2b, 试判断
C
C
'
120
A
0
60
B
问题2：选择具有什么特征的基底会为研究向量 垂直 单位相量 问题带来方便？ 练习3：如下图，用 i, j 表示下面三个向量
a
b
a 2i 3 j
b 3i 2 j
c
c 3i 2 j
1.平面向量基本定理是建立在向量加法和 数乘运算基础上的向量分解原理，同时又是 向量坐标表示的理论依据，是一个承前起后 的重要知识点. 2.向量的夹角是反映两个向量相对位置关系的 一个几何量.
2.3.1平面向量的基本定理
问题1：请自己给定平面内的两个向量 e1 ,e2
（1）作出 2e1 ,
3e2
与 e1 共线的向量均可用 1 e1 唯一表示；与 e2 共线 的向量均可用 2 e2 唯一表示.
向量共线定理：
向量a ( a 0)与b共线, 当且仅当有唯一一个实数 , 使b a.
即a与b共线
b a
(a 0)
（2）作出 2e1 3e2 , 2e1 3e2
思考1： 形如 1 e1 2 e2 的向量是否均可用 e1 ,e2 表示？ 思考2：平面内的任一向量是否都可以用形如
，
1 e1 2 e2 的向量表示呢？
e1
a
e2
a
M
C
a
e1
e2
a
e1
O
如图 a OM ON
向量 c 与 d 能否作为一组基底 .
d 是否 思路分析： 要判断cd ，能否作为基底，只需看c ， 共线，若共线，则不能作为基底；否则可以作为基底．
练习1：已知 e1、e2 是表示平面内所有向量的一组基底，那 么下列四组向量中不能作为一组基底的是（ ）
A . e1 e2 和 e1 e 2 C. e1 3e 2 和 e2 3e1
OM 1 e1
ON 2 e2
e2
N
a 1 e1 2 e2
思考3：如果平面内的任一向量都可以用形如 1 e1 2 e2 的向量来表示，那么这种表示形式是唯一的吗？ M C
a
e1
e2
a
e1
O
e2
N
【归纳】通过刚才的探究，请你归纳一下 我们所发现的结论.
平面向量基本定理
叫做向量
特别的：a
O
b
a 和 b 的夹角．
a
A B
O a B
b
A
A
0
b
B
180
a与 b 反向
b
O
O
a
A
90
a 与 b 同向
a与 b 垂直，记作 a b
夹角的范围：
0 0 0 ,180
例2.在等边三角形中，求
(1)AB与AC的夹角； (2)AB与BC的夹角； (3) BA与CA的夹角.
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高中数学--2.3.1-平面向量基本定理--新人教A版必修4PPT课件
6
思考3：一 个 平 面 内 的 两 个 不 共 线 的 向 量 e 1 、 e 2 与 该 平
面 内 的 任 一 向 量 a 之 间 的 关 系 .
M
C
a
A
e1
e2
O
如 图 O C O M O N
NB
O M 1 O A 1 e 1 O N2O B2e2
O C 1e12e2
即 a1e-1+2e2
有 且 只 有 一 个 实 数 ， 使 得 b a .
当 0 时，b 与a 同向， 且| b | 是| a | 的 倍; 当 0 时，b 与a 反向， 且| b | 是| a | 的| | 倍; 当 0 时，b 0 ，且| b| 0 。
-
4
（问题提出） .如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下 滑力为F1，木块对斜面的压力为F2，这三个力的 方向分别如何？
解：在 ABCD中，
D
C
AC ABADab
b
M
DB ABADab A
MA 1 AC a b a b
2
2
22
MB 1 DB a b a b
2
2 22
MC 1 AC MA a b
2
22
MD
1
DB
MB
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a
-
b
2
22
aB
13
例3 如图，O A 、O B 不线，APtAB(tR)，
向量能够用选取的基底表示．
新疆 王新敞
奎屯
教学重点：
平面内任一向量用两个不共线非零向量表示.
教学难点： 平面向量基本定理的理解.
-
2
你复习了吗？
思考3：一 个 平 面 内 的 两 个 不 共 线 的 向 量 e 1 、 e 2 与 该 平
面 内 的 任 一 向 量 a 之 间 的 关 系 .
M
C
a
A
e1
e2
O
如 图 O C O M O N
NB
O M 1 O A 1 e 1 O N2O B2e2
O C 1e12e2
即 a1e-1+2e2
有 且 只 有 一 个 实 数 ， 使 得 b a .
当 0 时，b 与a 同向， 且| b | 是| a | 的 倍; 当 0 时，b 与a 反向， 且| b | 是| a | 的| | 倍; 当 0 时，b 0 ，且| b| 0 。
-
4
（问题提出） .如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下 滑力为F1，木块对斜面的压力为F2，这三个力的 方向分别如何？
解：在 ABCD中，
D
C
AC ABADab
b
M
DB ABADab A
MA 1 AC a b a b
2
2
22
MB 1 DB a b a b
2
2 22
MC 1 AC MA a b
2
22
MD
1
DB
MB
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a
-
b
2
22
aB
13
例3 如图，O A 、O B 不线，APtAB(tR)，
向量能够用选取的基底表示．
新疆 王新敞
奎屯
教学重点：
平面内任一向量用两个不共线非零向量表示.
教学难点： 平面向量基本定理的理解.
-
2
你复习了吗？
高中数学必修四人教版2.3.1平面向量基本定理10ppt课件
1．平面向量基本定理 如果 e1、e2 是同一平面内的两个_不 __共 __线 ___向量，那么对于 这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1 ＋λ2e2，其中不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向 量的一组_基 __底 ____．
[破疑点](1)这个定理告诉我们，在平面内任一向量都可以 沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，且这样的分解是唯 一的，同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的，而 零向量的分解式是唯一的，即 0＝λ1e1＋λ2e2，且 λ1＝λ2＝0.
与
→ CA
的夹角，
→ AC
与
→ CB
的起点不同，
则∠ACB不是夹角．
[思路分析]
当且仅当a与b的起点相同，且a＝
→ OA
，b＝
O→B时，∠AOB才是向量a与b的夹角．
谢谢观看！
[正解]
如图所示，延长AC到D，使AC＝CD，则
→ AC
＝
C→D，∠BCD是A→C与C→B的夹角，
由于∠BCD＋∠ACB＝180°，∠ACB＝60°， 则∠BCD＝180°－60°＝120°，即θ＝120°.
试指出图中向量的夹角． [解析] ①∠AOB＝θ为两向量O→A与O→B的夹角； ②O→A与O→B的夹角为0°，两向量同向； ③O→A与O→B的夹角为180°，两向量反向； ④两向量O→A与A→B的夹角为θ.
名师辨误作答
1.忽略两个向量作为基底的条件
已知 e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，则 a 与 b 共线的条
[答案] A
新课引入
音乐是人们在休闲时候的一种选择，不管是通俗的流行歌 曲、动感的摇滚音乐，还是高雅的古典音乐，它们都给了人们 不同的享受、不一样的感觉．事实上，音乐有 7 个基本音符：
高中数学必修四 2.3.1 平面向量基本定理 人教课标版40精品公开PPT课件
判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)平面向量的一组基底e1,e2一定都是非零向量.( ) (2)在平面向量基本定理中,若a=0,则λ1=λ2=0.( ) (3)在平面向量基本定理中,若a∥e1,则λ2=0;若a∥e2,则 λ1=0.( ) (4)表示同一平面内所有向量的基底是唯一的.( )
【解析】1.如图所示，作
u u u r u u u r O A a， O B b ,
以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,
则
u u u r u u u r B A a b ， O C a b ,
所以∠AOC是a与a+b的夹角,
因为|a|=|b|=|a-b|，
所以△OAB是等边三角形，平行四边形OACB是菱形,
(3)体现的数学思想 这个定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问 题时，我们可以选择恰当的基底，将问题中涉及的向量用基 底化归，使问题得以解决.
2.正确理解向量的夹角
(1)向量夹角的几何表示.
依据向量夹角的定义，两非零向量的夹角是将两个向量的起点
移到同一点，这样它们所成的角才是两向量的夹角.如图①，
u u ur B E；
向量 BuuD在ur b方向上的分向量是
uur B F.
(2)因为 A D 所3 以,
DC 4
A所D 以 3 ,
AC 7
uuur AD
3
uuur AC,
7
所以 B uuD urB uuA urA uuD urB uuA ur3A uuC ur
7
B uuA ur3A uuB urB uuC ur a3ab4a3b.
因为 O uuP u 与r O u共uM uu r线，故可设 O uuP ur＝ tO uuM uur＝ta＋2tb.
高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理课件 新人教A版必修4
1.若向量 a，b 不共线，则 c＝2a－b，d＝3a－2b， 试判断 c，d 能否作为基底． 解：设存在实数 λ，使 c＝λd， 则 2a－b＝λ(3a－2b)， 即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0， 由于向量 a，b 不共线， 所以 2－3λ＝2λ－1＝0，这样的 λ 是不存在的， 从而 c，d 不共线，c，d 能作为基底．
探究点二 用基底表示平面向量
如图所示，在▱ABCD 中，点 E，F
分别为 BC，DC 边上的中点，DE 与 BF 交 于点 G，若A→B＝a，A→D＝b，试用 a，b 表 示向量D→E，B→F.
[解] D→E＝D→A＋A→B＋B→E ＝－A→D＋A→B＋12B→C
＝－A→D＋A→B＋12A→D＝a－12b．
4．若 a，b 不共线，且 la＋mb＝0(l，m∈R)，则 l＝________， m＝________． 答案：0 0 5.若A→D是△ABC 的中线，已知A→B＝a，A→C＝b，若 a，b 为基底，则A→D＝________． 答案：12(a＋b)
探究点一 对基底的理解
设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点，给出下列向
解：D→E＝D→C＋C→E＝2F→C＋C→E＝－2C→F＋C→E＝－2b＋a．
B→F＝B→C＋C→F＝2E→C＋C→F
＝－2C→E＋C→F＝－2a＋b．
用基底表示向量的两种方法 (1基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一 性求解.
对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共 线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底． (2)一个平面的基底若确定，那么平面上任意一个向量都可以由 这组基底唯一线性表示出来，设向量 a 与 b 是平面内两个不共 线的向量，若 x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则xy11＝＝yx22.，
新人教版数学必修4同步课件：平面向量基本定理
(方法 2)因为������������ = ������������ + ������������,
而������������
=
1 2
������������
=
1 2
(������������
−
������������ ),
所以������������
=
������������
+
1 2
(������������
分析根据平面向量基本定理,结合向量的线性运算进行求解.
解(1)(方法 1)如图,因为������������ = ������������ + ������������, ������������ = ������������ + ������������, 所以 2������������ = ������������ + ������������ + ������������ + ������������.
的其他向量的基底的是( )
A.①②
B.①③
C.①④ D.③④
解析∵������������ 与������������ 不共线,������������ 与������������ 不共线,∴①③可以作为基底,
其他两组分别共线,故不可以,选 B.
答案B
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
平面向量基本定理的应用
2.3.1 平面向量基本定理
-1-
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核心素养培养目标
核心素养形成脉络
1.理解基底的定义,并能判断两个向量是否是 平面向量基本定理
基底.培养数学抽象及逻辑推理素养. 2.理解并掌握平面向量基本定理,会用基底表 示平面向量.培养数学抽象、数学运算素养. 3.掌握两个向量夹角以及两个向量垂直的定 义.培养数学运算、数学抽象素养.
人教A版必修四 2.3.1 平面向量基本定理 课件(34张)
其中正确的说法是( B )
A．①②
B．②③
C．①③
D．②
【解析】因为不共线的两个向量都可以作为一组基 底，所以一个平面内有无数多个基底，又零向量和 任何向量共线，所以基底中不含有零向量．因此本 题中，①错，②、③正确，故选 B.
2．在等边三角形 ABC 中，A→B与B→C的夹角等于( C )
A．60°
r ur uur 即 a 1e1 +2 e2.
e1
e2
a
N A
B
C O
uuur uuuur uuur
如图, OC OM ON,
M
uuuur uuur ur uuur uuur uur
因为OM 1OA 1e1,
uuur ur uur
ON 2 OB 2 e2,
所以OC 1e1 2 e2,
数λ1,λ2 ,使
a 1e1 2 e2
说明：① ②
areur1是，e平uur2 面是内两的个任不意共向线量的；向量；
③ λ1，λ2为实数，且唯一确定.
我们把不共线的向量
ur e1
，euur2
叫做这一平面内所有向量
的一组基底.
不共线向量有不同方向，它们的位置关系可用夹角
来表示.关于向量的夹角,我们规定:
那么对于这一平面内的任意向量 有且只有
一对实数
使
.
不共线的向量 叫做表示这一平面内 所有向量的一组基底.
r ur uur
即 a 1e1 +2 e2.
r ur uur
a 1e1 +2e2
这就是说平面内任 r
一向量a都可以表示 ur uur ur uur
成1e1 2 e2 (e1, e2 不共线)的形式.
人教版高中数学必修4(A版) 平面向量基本定理 PPT课件
2.3.1 平面向量基本定理
问题提出
1. 向量加法与减法有哪几种几何运算 法则？ 2.怎样理解向量的数乘运算λa？
（1）|λ a|=|λ ||a|； （2）λ >0时，λa与a方向相同；
λ<0时，λa与a方向相反；
λ=0时，λa=0.
3.平面向量共线定理是什么？
非零向量a与向量b共线 存在唯 一实数λ ，使b＝λa. 4.如图，光滑斜面上一个木块受到的重 力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压 力为F2，这三个力的方向分别如何？ 三者有何相互关系？
理论迁移
例1 如图，已知向量e1、e2，求作向 量－2.5e1＋3e2.
C e1 e2 3e2 A －2.5e 1 O B
例2 如图，在平行四边形ABCD中， AB =a， AD =b，E、M分别是AD、DC的中 点，点F在BC上，且BC=3BF，以a，b为 基底分别表示向量 AM 和 EF .
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
思考8：上述定理称为平面向量基本定理， 不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所 有向量的一组基底. 那么同一平面内可 以作基底的向量有多少组？不同基底对 应向量a的表示式是否相同？
a
e2 a
a=λ1e1+0e2
a =0 e1 + λ 2 e2
思考7：根据上述分析，平面内任一向 量a都可以由这个平面内两个不共线的 向量e1，e2表示出来，从而可形成一个 定理.你能完整地描述这个定理的内容 吗？
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
问题提出
1. 向量加法与减法有哪几种几何运算 法则？ 2.怎样理解向量的数乘运算λa？
（1）|λ a|=|λ ||a|； （2）λ >0时，λa与a方向相同；
λ<0时，λa与a方向相反；
λ=0时，λa=0.
3.平面向量共线定理是什么？
非零向量a与向量b共线 存在唯 一实数λ ，使b＝λa. 4.如图，光滑斜面上一个木块受到的重 力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压 力为F2，这三个力的方向分别如何？ 三者有何相互关系？
理论迁移
例1 如图，已知向量e1、e2，求作向 量－2.5e1＋3e2.
C e1 e2 3e2 A －2.5e 1 O B
例2 如图，在平行四边形ABCD中， AB =a， AD =b，E、M分别是AD、DC的中 点，点F在BC上，且BC=3BF，以a，b为 基底分别表示向量 AM 和 EF .
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
思考8：上述定理称为平面向量基本定理， 不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所 有向量的一组基底. 那么同一平面内可 以作基底的向量有多少组？不同基底对 应向量a的表示式是否相同？
a
e2 a
a=λ1e1+0e2
a =0 e1 + λ 2 e2
思考7：根据上述分析，平面内任一向 量a都可以由这个平面内两个不共线的 向量e1，e2表示出来，从而可形成一个 定理.你能完整地描述这个定理的内容 吗？
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2020-2021学年数学人教A版必修4课件：2-3-1 平面向量基本定理
∵a 与 b 不共线，∴131211－ －mn＝＝mn， ， ∴O→P＝15a＋25b.
∴n＝15.
将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两 种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断转化，直至 用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的 唯一性求解.
[变式训练 2] 如图，已知梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB＝ 2CD，E，F 分别是 DC，AB 的中点，设A→D＝a，A→B＝b，试用 a， b 表示D→C，E→F，F→C.
解析：①中，设 e1＋e2＝λe1，则λ1＝＝10，， 无解．所以 e1＋e2 与 e1 不共线，故 e1 与 e1＋e2 可作为一组基底；
同理，可得②④中的两个向量不共线，可作为一组基底； ③中的两个向量共线，不可作为一组基底．
类型二 用基底表示向量 [例 2] 如图所示，在△OAB 中，O→A＝a，O→B＝b，M、N
分别是边 OA、OB 上的点，且O→M＝13a，O→N＝12b，设A→N与B→M交 于点 P，用向量 a、b 表示O→P.
[分析] 利用“表示方法的唯一性”确定参数，进而确定 λ1， λ2.
[解] ∵O→P＝O→M＋M→P，O→P＝O→N＋N→P， 设M→P＝mM→B，N→P＝nN→A， 则O→P＝O→M＋mM→B＝13a＋m(b－13a)＝13(1－m)a＋mb， O→P＝O→N＋nN→A＝12(1－n)b＋na.
[解析] (1)在 B 中，因为 6e1－8e2＝2(3e1－4e2)， 所以(3e1－4e2)∥(6e1－8e2)．所以 3e1－4e2 和 6e1－8e2 不能 作为基底，其它三个选项中的两组向量都不平行，故都可以作 为一组基底．
(2)因为 a＝e1＋2e2①，b＝－e1＋e2②， 显然 a 与 b 不共线，①＋②得 a＋b＝3e2， 所以 e2＝a＋3 b代入②得 e1＝e2－b＝a＋3 b－b＝13a－23b， 故有 e1＋e2＝13a－23b＋13a＋13b＝23a－13b.
人教A版高中数学必修四课件：第二章2.3.1平面向量基本定理 (共16张PPT)
x
e2
O
a 3e1 2e2
3 a x 4y 2
yn
A
a 3m 2n
当a 0时, 有且只有1 2 0时可使 0 1 e1 2 e2 , (e1 , e2不共线).
若1与2中只有一个为零 , 情况会是怎样?
若2 0, 则a 1 e1 ,即a与e1共线, 若1 0, 则a 2 e2 ,即a与e2共线,
本题在解决过程中用到了两向量共 线的等价条件这一定理，并用基向量表 示有关向量,用待定系数法列方程，通 过消元解方程组。这些知识和考虑问题 的方法都必须切实掌握好。
课堂总结 1.平面向量基本定理可以联系物理 学中的力的分解模型来理解，它说明在
同一平面内任一向量都可以表示为不共
线向量的线性组合，该定理是平面向量
D
A
N M B
C
例2.用向量的方法证明: 1 平行四边形OACB中, BD BC , OD与BA 3 1 相交于E , 求证 : BE BA. 4 D B C E
O
A
例3.证明: 向量OA, OB, OC的终点A, B, C共线 的等价条件是存在实数 、 且 1， 使得 OC OA OB.
问题 3 : 设 e1 , e2 是同一平面内两个不共 线的向量, a是这一平面内的任一向 量, 我们来通过作图研 究a与e1 , e2 之间的关系?
平面向量基本定理: 如果e1 , e2 是同一平面内两个不共 线的向量, 那 么对于平面内的任一向 量a , 有且只有一对实数
1 , 2 , 使得a 1 e1 2 e2 .
坐标表示的基础，其本质是一个向量在
其他两个向量上的分解。
2. 在实际问题中的指导意义在于
必修4平面向量基本定理
思考：如图，在直角坐标系中，
已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7). 设 OA i, OB j ，填空：
y
7 4
D
j | ______, 1 1 （1）| i | _____,|
5 | OC | ______; （2）若用 i, j 来表示 OC, OD ，则：
3 i 4 j OD _________. 5 i 7 j OC ________,
3、 如图，已知梯形ABCD， AB//CD，且AB= 2DC,M,N分 别是DC,AB的中点. 参考答案： A
D
M
C
e2
N
取基底 AB e1, AD e2 ,则有
1 DC e1 ; 2
e1
B
1 1 BC BA AD DC e1 e2 e1 2 e1 e2 2
a b x1 x2且y1 y2
2.3.2 平面向量的坐标表示
例1．如图，用基底i ，j 分别表示向量a、b 、c 、d ，并 A2 求它们的坐标． 解：由图可知
a AA1 AA2 2i 3 j
A
a (2,3)
同理， b 2i 3 j (2,3) c 2i 3 j (2,3)
j o i
x
B
这里，我们把（x,y）叫做向量 a 的（直角）坐标，记作
a ( x, y)
①
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做 a 在y轴上的坐标， ①式叫做向量的坐标表示。 那么i =（1 ， 0） j =( 0 ， 1 ) 0 =（ 0 ， 0）
y
a
y
A
j
O
i
x