2015年湖北成人高考高起点数学(文)真题【含答案】
[精品]2015年普通高等学校招生全国统一考试高中数学文试题湖北卷和答案
![[精品]2015年普通高等学校招生全国统一考试高中数学文试题湖北卷和答案](https://img.taocdn.com/s3/m/c52ce10bed630b1c59eeb5eb.png)
2015年高考湖北卷文数试题解析（精编版）（解析版）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.i为虚数单位，607i=（）A．i-B．i C．1-D．1【答案】A.【考点定位】本题考查复数的概念及其运算，涉及分数指数幂的运算性质.【名师点睛】将复数的幂次运算和分数指数幂运算结合在一起，不仅考查了复数的概念，也考查了分数指数幂的运算性质，充分体现了学科内知识之间的联系性，能够较好的反应学生基础知识的识记能力和计算能力.2.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石【答案】B.【考点定位】本题考查简单的随机抽样，涉及近似计算.【名师点睛】本题以数学史为背景，重点考查简单的随机抽样及其特点，通过样本频率估算总体频率，虽然简单，但仍能体现方程的数学思想在解题中的应用，能较好考查学生基础知识的识记能力和估算能力、实际应用能力. 3.命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（ ） A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠-B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =-C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =- 【答案】C .【考点定位】本题考查特称命题和全称命题的否定形式，，属识记基础题. 【名师点睛】本题主要考查特称命题的否定，其解题的关键是正确理解并识记其否定的形式特征.扎根基础知识，强调教材的重要性，充分体现了教材在高考中的地位和重要性，考查了基本概念、基本规律和基本操作的识记能力. 4.已知变量x 和y 满足关系0.11y x =-+，变量y 与z 正相关. 下列结论中正确的是（ ）A ．x 与y 负相关，x 与z 负相关B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关C ．x 与y 正相关，x 与z 负相关D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关 【答案】A .【考点定位】本题考查正相关、负相关，涉及线性回归方程的内容.【名师点睛】将正相关、负相关、线性回归方程等联系起来，充分体现了方程思想在线性回归方程中的应用，能较好的考查学生运用基础知识的能力.其易错点有二：其一，未能准确理解正相关与负相关的定义；其二，不能准确的将正相关与负相关问题进行转化为直线斜率大于和小于0的问题.5.12,l l 表示空间中的两条直线，若p ：12,l l 是异面直线；q ：12,l l 不相交，则（ ） A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 【答案】A .【考点定位】本题考查充分条件与必要条件、异面直线，属基础题.【名师点睛】以命题与命题间的充分条件与必要条件为契机，重点考查空间中直线的位置关系，其解题的关键是弄清谁是谁的充分条件谁是谁的必要条件，正确理解异面直线的定义，注意考虑问题的全面性、准确性. 6.函数256()4||lg3x x f x x x -+=-+-的定义域为（ ） A ．(2,3) B ．(2,4]C ．(2,3)(3,4]D ．(1,3)(3,6]-【答案】C .【考点定位】本题考查函数的定义域，涉及根式、绝对值、对数和分式、交集等内容.【名师点睛】本题看似是求函数的定义域，实质上是将根式、绝对值、对数和分式、交集等知识联系在一起，重点考查学生思维能力的全面性和缜密性，凸显了知识之间的联系性、综合性，能较好的考查学生的计算能力和思维的全面性.7.设x ∈R ，定义符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩则（ ） A ．|||sgn |x x x =B ．||sgn ||x x x =C ．||||sgn x x x =D ．||sgn x x x =【答案】D.【考点定位】本题考查分段函数及其表示法，涉及新定义，属能力题. 【名师点睛】以新定义为背景，重点考查分段函数及其表示，其解题的关键是准确理解题意所给的新定义，并结合分段函数的表示准确表达所给的函数.不仅新颖别致，而且能综合考察学生信息获取能力以及知识运用能力.8.在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≤”的概率，2p 为事件“12xy ≤”的概率，则（ ）A ．1212p p <<B ．1212p p <<C ．2112p p <<D ．2112p p <<【答案】B .【考点定位】本题考查几何概型和微积分基本定理，涉及二元一次不等式所表示的区域和反比例函数所表示的区域.【名师点睛】以几何概型为依托，融合定积分的几何意义、二元一次不等式所表示的区域和反比例函数所表示的区域等内容，充分体现了转化的数学思想在实际问题中的应用，能较好的考查学生灵活运用基础知识解决实际问题的能力. 9.将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ） A ．对任意的,a b ，12e e > B ．当a b >时，12e e >；当a b<时，12e e <C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 【答案】D .【考点定位】本题考查双曲线的定义及其简单的几何性质，考察双曲线的离心率的基本计算，涉及不等式及不等关系.【名师点睛】将双曲线的离心率的计算与初中学习的溶液浓度问题联系在一起，突显了数学在实际问题中实用性和重要性，充分体现了分类讨论的数学思想方法在解题中的应用，能较好的考查学生思维的严密性和缜密性. 10.已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（ ）A ．77B ．49C ．45D ．30【答案】C .【考点定位】本题考查用不等式表示平面区域和新定义问题，属高档题.【名师点睛】用集合、不等式的形式表示平面区域，以新定义为背景，涉及分类计数原理，体现了分类讨论的思想方法的重要性以及准确计数的科学性，能较好的考查学生知识间的综合能力、知识迁移能力和科学计算能力.第Ⅱ卷（共110分）（非选择题共110分）二、填空题（每题7分，满分36分，将答案填在答题纸上）11.已知向量OA AB⊥，||3OA =，则OA OB⋅=_________．【答案】9.【考点定位】本题考查向量的数量积的基本运算，属基础题.【名师点睛】将向量的加法运算法则（平行四边形法则和三角形法则）和向量的数量积的定义运算联系在一起，体现数学学科知识间的内在联系，渗透方程思想在解题中的应用，能较好的考查学生基础知识的识记能力和灵活运用能力.12.若变量,x y满足约束条件4,2,30,x yx yx y+≤⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则3x y+的最大值是_________．【答案】10.【考点定位】本题考查线性规划的最值问题，属基础题.【名师点睛】这是一道典型的线性规划问题，重点考查线性规划问题的基本解决方法，体现了数形结合的思想在数学解题中重要性和实用性，能较好的考查学生准确作图能力和灵活运用基础知识解决实际问题的能力. 13.函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为_________.【答案】2.【考点定位】本题考查函数与方程，涉及常见函数图像绘画问题，属中档题. 【名师点睛】将函数的零点问题和方程根的问题、函数的交点问题联系在一起，凸显了数学学科内知识间的内在联系，充分体现了转化化归的数学思想在实际问题中的应用，能较好的考查学生准确绘制函数图像的能力和灵活运用基础知识解决实际问题的能力.14.某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示. （Ⅰ）直方图中的a =_________；（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为_________.【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）6000.【考点定位】本题考查频率分布直方图，属基础题.【名师点睛】以实际问题为背景，重点考查频率分布直方图，灵活运用频率直方图的规律解决实际问题，能较好的考查学生基本知识的识记能力和灵活运用能力.15.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD _________m.【答案】1006.【考点定位】本题考查解三角形的实际应用举例，属中档题.【名师点睛】以实际问题为背景，将抽象的数学知识回归生活实际，凸显了数学的实用性和重要性，体现了“数学源自生活，生活中处处有数学”的数学学科特点，能较好的考查学生识记和理解数学基本概念的能力和基础知识在实际问题中的运用能力.16.如图，已知圆C与x轴相切于点(1,0)T，与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且2AB=.（Ⅰ）圆C的标准．．方程为_________；（Ⅱ）圆C在点B处的切线在x轴上的截距为_________.【答案】（Ⅰ）22--.-+-=；（Ⅱ）12x y(1)(2)2【考点定位】本题考查圆的标准方程和圆的切线问题, 属中高档题.【名师点睛】将圆的标准方程、圆的切线方程与弦长问题联系起来，注重实际问题的特殊性，合理的挖掘问题的实质，充分体现了数学学科特点和知识间的内在联系，渗透着方程的数学思想，能较好的考查学生的综合知识运用能力.其解题突破口是观察出点C的横坐标.17.a为实数，函数2g a. 当a=_________=-在区间[0,1]上的最大值记为()()||f x x ax时，()g a的值最小.【答案】222-.【考点定位】本题考查分段函数的最值问题和函数在区间上的最值问题，属高档题.【名师点睛】将含绝对值的二次函数在区间上的最值问题和分段函数的最值问题融合在一起，运用分类讨论的思想将含绝对值问题转化为分段函数的问题，充分体现了分类讨论和化归转化的数学思想，能较好的考查知识综合能力.其解题的关键是运用分类讨论求出()g a 的表达式和分段函数在区间上的最值求法. 三、解答题 （本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.（本小题满分12分）某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+ 0 π2 π3π2 2πxπ35π6 sin()A x ωϕ+55-（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()f x 的解析式； （Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到()y g x =图象，求()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心.【答案】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-.数据补全如下表：x ωϕ+π2 π3π2 2πxπ12 π3 7π125π6 13π12 sin()A x ωϕ+55-且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-；（Ⅱ）离原点O 最近的对称中心为π(,0)12-.【考点定位】本题考查五点作图法和三角函数图像的平移与三角函数的图像及其性质，属基础题.【名师点睛】将五点作图法、三角函数图像的平移与三角函数的图像及其性质联系在一起，正确运用方程组的思想，合理的解三角函数值，准确使用三角函数图像的平移和三角函数的图像及其性质是解题的关键，能较好的考查学生基础知识的实际应用能力、准确计算能力和规范解答能力. 19.（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）当1d >时，记n n na cb =，求数列{}nc 的前n 项和n T ．【答案】（Ⅰ）121,2.n n na nb -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),929().9n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩；（Ⅱ）12362n n n T -+=-.【考点定位】本题综合考查等差数列、等比数列和错位相减法求和，属中档题. 【名师点睛】这是一道简单综合试题，其解题思路：第一问直接借助等差、等比数列的通项公式列出方程进行求解，第二问运用错位相减法直接对其进行求和.体现高考坚持以基础为主，以教材为蓝本，注重计算能力培养的基本方向. 20.（本小题满分13分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，点E 是PC 的中点，连接,,DE BD BE.（Ⅰ）证明：DE ⊥平面PBC . 试判断四面体EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需 写出结论）；若不是，请说明理由； （Ⅱ）记阳马P ABCD -的体积为1V ，四面体EBCD 的体积为2V ，求12V V 的值．【答案】（Ⅰ）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥. 由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PDCD D =，所以BC ⊥平面PCD . DE ⊂平面PCD ，所以BC DE ⊥. 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥. 而PC BC C =，所以DE ⊥平面PBC.四面体EBCD 是一个鳖臑；（Ⅱ）124.V V =【考点定位】本题考查直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的性质定理和简单几何体的体积，属中高档题.【名师点睛】以《九章算术》为背景，给予新定义，增添了试题的新颖性，但其实质仍然是考查线面垂直与简单几何体的体积计算，其解题思路：第一问通过线线、线面垂直相互之间的转化进行证明，第二问关键注意底面积和高之比，运用锥体的体积计算公式进行求解. 结合数学史料的给予新定义，不仅考查学生解题能力，也增强对数学的兴趣培养，为空间立体几何注入了新的活力. 21.（本小题满分14分）设函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，()()e x f x g x +=，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）求()f x ，()g x 的解析式，并证明：当0x >时，()0f x >，()1g x >； （Ⅱ）设0a ≤，1b ≥，证明：当0x >时，()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-. 【答案】（Ⅰ）1()(e e )2x x f x -=-，1()(e e )2x x g x -=+.证明：当0x >时，e 1x >，0e 1x -<<，故()0.f x >又由基本不等式，有1()(e e )e e 12x x x x g x --=+>=，即() 1.g x > （Ⅱ）由（Ⅰ）得2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x f x g x -''=-=+=+=⑤2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x g x f x -''=+=-=-=⑥当0x >时，()()(1)f x ag x a x >+-等价于()()(1)f x axg x a x >+- ⑦ ()()(1)f x bg x b x<+-等价于()()(1).f x bxg x b x <+- ⑧于是设函数 ()()()(1)h x f x cxg x c x =---，由⑤⑥，有()()()()(1)h x g x cg x cxf x c '=----(1)[()1]().c g x cxf x =--- 当0x >时，（1）若0c ≤，由③④，得()0h x '>，故()h x 在[0,)+∞上为增函数，从而()(0)0h x h >=，即()()(1)f x cxg x c x >+-，故⑦成立.（2）若1c ≥，由③④，得()0h x'<，故()h x 在[0,)+∞上为减函数，从而()(0)0h x h <=，即()()(1)f x cxg x c x <+-，故⑧成立.综合⑦⑧，得 ()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-【考点定位】本题考查函数的奇偶性和导数在研究函数的单调性与极值中的应用，属高档题.【名师点睛】将函数的奇偶性和导数在研究函数的单调性与极值中的应用联系在一起，重点考查函数的综合性，体现了函数在高中数学的重要地位，其解题的关键是第一问需运用奇函数与偶函数的定义及性质建立方程组进行求解；第二问属于函数的恒成立问题，需借助导数求解函数最值来解决.22.（本小题满分14分）一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且1MN=．当栓子D在DN ON==，3滑槽AB内作往复运动时，带动．．N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C．以O为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：OPQ ∆的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）221.164x y +=（Ⅱ）当直线l 与椭圆C在四个顶点处相切时，OPQ ∆的面积取得最小值8.【考点定位】本题考查椭圆的标准方程与直线与椭圆相交综合问题，属高档题. 【名师点睛】作为压轴大题，其第一问将椭圆的方程与课堂实际教学联系在一起，重点考查学生信息获取与运用能力和实际操作能力，同时为椭圆的实际教学提供教学素材；第二问考查直线与椭圆相交的综合问题，借助函数思想进行求解.其解题的关键是注重基本概念的深层次理解，灵活运用所学知识.。
2015年湖北省高考数学试卷(文科)答案与解析
2015年湖北省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
6072．（3分）（2015•湖北）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内×4．（3分）（2015•湖北）已知变量x和y满足关系y=﹣0.1x+1，变量y与z正相关，下列结5．（3分）（2015•湖北）l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l26．（3分）（2015•湖北）函数f（x）=的定义域为（），7．（3分）（2015•湖北）设x∈R，定义符号函数sgnx=，则（），而左边，而左边，而左边=xsgnx=，显然正确；8．（3分）（2015•湖北）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x+y≤”的概率，P2为事件“xy≤”的概率，则（）”==；；9．（3分）（2015•湖北）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时=∴﹣，10．（3分）（2015•湖北）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元二、填空题11．（3分）（2015•湖北）已知向量，||=3，则=9．，所以=0﹣，即212．（3分）（2015•湖北）设变量x，y满足约束条件，则3x+y的最大值为10．得13．（3分）（2015•湖北）函数的零点个数为2．14．（3分）（2015•湖北）某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．（1）直方图中的a=3．（2）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为6000．15．（3分）（2015•湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=100m．h=，h=100．16．（3分）（2015•湖北）如图，已知圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|=2．（1）圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=2．（2）圆C在点B处切线在x轴上的截距为﹣1﹣．）由题意，圆的半径为=））1+）﹣﹣）．17．（3分）（2015•湖北）a为实数，函数f（x）=|x2﹣ax|在区间[0，1]上的最大值记为g（a）．当a=2﹣2时，g（a）的值最小．2﹣2时，=∵=﹣，[）；，故答案为：三、解答题18．（12分）（2015•湖北）某同学将“五点法”画函数f（x）=Asin（wx+φ）（w＞0，|φ|＜）π（1）请将上述数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点向左平移个单位长度，得到y=g（x）图象，求y=g（x）的图象离原点O最近的对称中心．2））图象上所有点向左平移（）﹣]2x+）=k﹣，．（﹣19．（12分）（2015•湖北）设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式（2）当d＞1时，记c n=，求数列{c n}的前n项和T n．，写出、，由题意可得，或；=•••∴+3+5+7+•∴+++﹣﹣20．（13分）（2015•湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC．试判断四面体EBCD是否为鳖臑．若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（Ⅱ）记阳马P﹣ABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求的值．====．CD==21．（14分）（2015•湖北）设函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）是奇函数，g （x）是偶函数，f（x）+g（x）=e x，其中e为自然对数的底数．（1）求f（x），g（x）的解析式，并证明：当x＞0时，f（x）＞0，g（x）＞1；（2）设a≤0，b≥1，证明：当x＞0时，ag（x）+（1﹣a）＜＜bg（x）+（1﹣b）．时，＞，（=）＞×==时，＞，故，故＜22．（14分）（2015•湖北）一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON 可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．其方程为．=k（，，）|PQ|==|PQ|d=|m||x|m|||=| =||=8|时，＜（时，∴1+。
2015年高考文科数学湖北卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共36页）数学试卷 第2页（共36页）数学试卷 第3页（共36页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟. 注意事项：1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑，再在答题卡上对应的答题区域内答题.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．i 为虚数单位，607i = （ ）A ．i -B ．iC ．1-D ．12．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）A ．134石B ．169石C ．338石D ．1 365石 3．命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（ ） A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠- B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =- C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-4．已知变量x 和y 满足关系0.11y x =-+，变量y 与z 正相关.下列结论中正确的是 （ ） A ．x 与y 负相关，x 与z 负相关 B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关 C ．x 与y 正相关，x 与z 负相关D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关5．1l ，2l 表示空间中的两条直线，若p ：1l ，2l 是异面直线；q ：1l ，2l 不相交，则（ ）A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件6．函数256()lg 3x x f x x -+=-的定义域为（ ）A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)(3,4] D ．(1,3)(3,6]-7．设x ∈R ，定义符号函数1,0,sgn 0,0,1,0,x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩则（ ）A ．|||sgn |x x x =B ．||sgn ||x x x =C ．||||sgn x x x =D ．||sgn x x x =8．在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记1p 为事件“12x y +≤”的概率，2p 为事件“12xy ≤”的概率，则（ ）A ．1212p p << B ．1212p p << C ．2112p p <<D ．2112p p << 9．将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则 （ ）A ．对任意的a ，b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的a ，b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >10．已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+∈Z ≤，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =∈Z ≤≤，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（ ）A ．77B ．49C ．45D ．30 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.把答案填在题中的横线上. 11．已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则 OA OB =___________.12．若变量,x y 满足约束条件4,2,30,x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪-⎩≤≤≥则3x y +的最大值是___________.13．函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为___________.14．某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）直方图中的a =_________；（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为_________.15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD =_________m.16．如图，已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且2AB =.（Ⅰ）圆C 的标准方程为_________；（Ⅱ）圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为_________.17． a 为实数，函数2()||f x x ax =-在区间[0,1]上的最大值记为()g a .当a =_________时，()g a 的值最小. --------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共36页）数学试卷 第5页（共36页）数学试卷 第6页（共36页）三、 解答题：本大题共5小题，共65分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分12分）某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图（Ⅰ）请将上表数据补充完整，并直接写出函数()f x 的解析式； （Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到()y g x =的图象，求()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心.19．（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，已知11b a =，22b =，q d =，10100S =.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）当1d >时，记n n nac b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .20．（本小题满分13分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，点E 是PC 的中点，连接DE ，BD ，BE .（Ⅰ）证明：DE PBC ⊥平面.试判断四面体EBCD 是否为鳖臑.若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（Ⅱ）记阳马P ABCD -的体积为1V ，四面体EBCD 的体积为2V ，求12V V 的值.21．（本小题满分14分）设函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，()f x +()g x e x =，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）求()f x ，()g x 的解析式，并证明：当0x ＞时，()0f x ＞，()1g x ＞； （Ⅱ）设0a ≤，1b ≥，证明：当0x ＞时，()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-+-＜＜. 22．（本小题满分14分）一种画椭圆的工具如图1所示，O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN ON =1=，3MN =.当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C ，以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点.若直线l总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文科）答案解析第Ⅰ卷)(]3,4，故选【提示】根据函数成立的条件进行求解即可3 / 124心圆点所有黄心圆点，共45个，故A B⊕中元素的个数为45故选C.第Ⅱ卷5 / 126【解析】作出约束条件表示的可行域如下图所示：易知可行域边界三角形的三个顶点坐标分别是3,11,31,3--()，()，()，平行移动直线3y x =-，求可知当2tan30100︒=7 / 12812a aa =-)1；当29 / 121011 / 1212。
2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学文
2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学文一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. i为虚数单位，i607=( )A. -iB. iC. 1D. -1解析：i607=i606·i=(i2)303·i=(-1)303·i=-i.故选：B.2.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( )A. 134石B. 169石C. 338石D. 1365石解析：由题意，这批米内夹谷约为石，故选：B.3.命题“∃x0∈(0，+∞)，lnx0=x0-1”的否定是( )A.∃x0∈(0，+∞)，lnx0≠x0-1B.∃x0∉(0，+∞)，lnx0=x0-1C.∀x∈(0，+∞)，lnx≠x-1D.∀x∉(0，+∞)，lnx=x-1解析：命题的否定是：∀x∈(0，+∞)，lnx≠x-1，故选：C4.已知变量x和y满足关系y=-0.1x+1，变量y与z正相关，下列结论中正确的是( )A. x与y负相关，x与z负相关B. x与y正相关，x与z正相关C. x与y正相关，x与z负相关D. x与y负相关，x与z正相关解析：因为变量x和y满足关系y=-0.1x+1，一次项系数为-0.1＜0，所以x与y负相关；变量y与z正相关，设，y=kz，(k＞0)，所以kz=-0.1x+1，得到，一次项系数小于0，所以z与x负相关；故选：A.5. l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则( )A. p是q的充分条件，但不是q的必要条件B. p是q的必要条件，但不是q的充分条件C. p是q的充分必要条件D. p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件解析：若l1，l2是异面直线，则l1，l2不相交，即充分性成立，若l1，l2不相交，则l1，l2可能是平行或异面直线，即必要性不成立，故p是q的充分条件，但不是q的必要条件，故选：A.6.函数的定义域为( )A. (2，3)B. (2，4]C. (2，3)∪(3，4]D. (-1，3)∪(3，6]解析：要使函数有意义，则，即，，解得2＜x≤4且x≠3，即函数的定义域为(2，3)∪(3，4]，故选：C7.设x∈R，定义符号函数sgnx=，则( )A. |x|=x|sgnx|B. |x|=xsgn|x|C. |x|=|x|sgnxD. |x|=xsgnx解析：对于选项A，右边=x|sgnx|=，而左边=|x|=，显然不正确；对于选项B，右边=xsgn|x|=，而左边=|x|=，显然不正确；对于选项C，右边=|x|sgnx=，而左边=|x|=，显然不正确；对于选项D，右边=xsgnx=，而左边=|x|=，显然正确；故选：D.8.在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x+y≤”的概率，P2为事件“xy≤”的概率，则( )A. p1＜p2＜B.C. p2＜D.解析：由题意，事件“x+y≤”表示的区域如图阴影三角形，；满足事件“xy≤”的区域如图阴影部分所以p2=；所以；故选：B.9.将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m＞0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则( )A. 对任意的a，b，e1＞e2B. 当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2C. 对任意的a，b，e1＜e2D. 当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2解析：由题意，双曲线C1：c2=a2+b2，e1=；双曲线C2：c′2=(a+m)2+(b+m)2，e2=，∴，∴当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2，故选：D.10.已知集合A={(x，y)|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={(x1+x2，y1+y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A⊕B中元素的个数为( )A. 77B. 49C. 45D. 30解析：∵A={(x，y)|x2+y2≤1，x，y∈Z}={(0，0)，(0，1)，(0，-1)，(1，0)，(-1，0)，B={(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}={(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，-1)，(0，-2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)(1，-1)，(1，-2)(2，0)，(2，1)，(2，2)(2，-1)，(2，-2)，(-1，-2)，(-1，-1)，(-1，0)，(-1，1)，(-1，2)，(-2，-2)，(-2，-1)，(-2，0)，(-2，1)，(-2，2)}∵A⊕B={(x1+x2，y1+y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，∴A⊕B={(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，-1)，(0，-2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)(1，-1)，(1，-2)(2，0)，(2，1)，(2，2)(2，-1)，(2，-2)，(-1，-2)，(-1，-1)，(-1，0)，(-1，1)，(-1，2)，(-2，-2)，(-2，-1)，(-2，0)，(-2，1)，(-2，2)，(-2，4)，(-2，-3)，(-2，-4)，(-1，-5)，(0，-4)，(0，-3)，(1，-4)，(1，-3)，(2，-4)，(2，-3)，(-2，3)，(-1，3)，(-1，-4)，(-1，-3)，(1，3)，(2，3)(1，4)，(0，3)，(0，4)(2，4)}共45个元素故选：C.二、填空题11.已知向量，，则=_____.解析：因为向量，所以=0；又，所以，即故答案为：9.12.设变量x，y满足约束条件，则3x+y的最大值为_____.解析：作出不等式对应的平面区域如图，由z=3x+y，得y=-3x+z，平移直线y=-3x+z，由图象可知当直线y=-3x+z，经过点C时，直线y=-3x+z的截距最大，此时z最大.由得.即C(3，1)，此时z的最大值为z=3×3+1=10，故答案为：10.13.函数的零点个数为_____.解析：f(x)=2sinxcosx-x2=sin2x-x2，由f(x)=0得sin2x=x2，作出函数y=sin2x和y=x2的图象如图：由图象可知，两个函数的图象有2个不同的交点，即函数f(x)的零点个数为2个，故答案为：214.某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示.(1)直方图中的a=_____.(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为_____.解析：(1)由题意，根据直方图的性质得(1.5+2.5+a+2.0+0.8+0.2)×0.1=1，解得a=3 (2)由直方图得(3+2.0+0.8+0.2)×0.1×10000=6000故答案为：(1)3 (2)600015.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=_____m.解析：设此山高h(m)，在△BCD中，利用仰角的正切表示出BC，进而在△ABC中利用正弦定理求得h.答案：设此山高h(m)，则BC=h，在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600.根据正弦定理得，解得h=100(m)16.如图，已知圆C与x轴相切于点T(1，0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|=2.(1)圆C的标准方程为_____.(2)圆C在点B处切线在x轴上的截距为_____.解析：(1)确定圆心与半径，即可求出圆C的标准方程；(2)求出圆C在点B处切线方程，令y=0可得圆C在点B处切线在x轴上的截距.答案：(1)由题意，圆的半径为=，圆心坐标为(1，)，∴圆C的标准方程为(x-1)2+(y-)2=2；(2)由(1)知，B(0，1+)，∴圆C在点B处切线方程为(0-1)(x-1)+(1+-)(y-)=2，令y=0可得x=-1-.17. a为实数，函数f(x)=|x2-ax|在区间[0，1]上的最大值记为g(a).当a=_____时，g(a)的值最小.解析：通过分a≤0、0＜a≤2-2、a＞2-2三种情况去函数f(x)表达式中绝对值符号，利用函数的单调性即得结论.答案：对函数f(x)=|x2-ax|=|x(x-a)|分下面几种情况讨论：①当a≤0时，f(x)=x2-ax在区间[0，1]上单调递增，∴f(x)max=g(a)=1-1；②当0＜a≤2-2时，，f(1)=1-a，∵，∴f(x)max=g(1)=1-a；③当2-2＜a≤1时，f(x)max=g(a)=；综上所述，g(a)=，∴g(a)在(-∞，]上单调递减，在[，+∞)上单调递增，∴g(a)min=g()；④当1＜a＜2时，g(a)=f()=；⑤当a≥2时，g(a)=f(1)=a-1；综上，当a=时，g(a)min=3-2.三、解答题18.某同学将“五点法”画函数f(x)=Asin(wx+φ)(w＞0，|φ|＜)在某一个时期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：(1)请将上述数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；(2)将y=f(x)图象上所有点向左平移个单位长度，得到y=g(x)图象，求y=g(x)的图象离原点O最近的对称中心.解析：(1)由五点作图法即可将数据补充完整，写出函数的解析式；(2)由函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换可得g(x)，解得其对称中心即可得解.答案：(1)数据补充完整如下表：函数f(x)的解析式为：f(x)=5sin(2x-).(2)将y=f(x)图象上所有点向左平移(3)个单位长度，得到y=g(x)=5sin[2(x+)-]=5sin(2x+).由2x+=kπ，k∈Z，可解得：x=-，k∈Z，当k=0时，可得：x=-.从而可得离原点O最近的对称中心为：(-，0).19.设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100.(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式(2)当d＞1时，记c n=，求数列{c n}的前n项和T n.解析：(1)利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；(2)当d＞1时，由(1)知c n=，写出T n、T n的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可.答案：(1)设a1=a，由题意可得，解得，或，当时，a n=2n-1，b n=2n-1；当时，a n=(2n+79)，b n=9·；(2)当d＞1时，由(1)知a n=2n-1，b n=2n-1，∴c n=，∴T n=1+3·+5·+7·+9·+…+(2n-1)·，∴T n=1·+3·+5·+7·+…+(2n-3)·+(2n-1)·，∴T n=2+++++…+-(2n-1)·=3-，∴T n=6-.20.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马P-ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE.(1)证明：DE⊥平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖臑.若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，请说明理由；(2)记阳马P-ABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求的值.解析：(1)证明BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即可得出结论；(2)由已知，PD是阳马P-ABCD的高，所以V1=.由(1)知，DE是鳖臑D-BCE的高，BC⊥CE，所以V2=.即可求的值.答案：(1)证明：因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，因为ABCD为正方形，所以BC⊥CD，因为PD∩CD=D，所以BC⊥平面PCD，因为DE 平面PCD，所以BC⊥DE，因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC，因为PC∩BC=C，所以DE⊥平面PBC，由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB；(2)由已知，PD是阳马P-ABCD的高，所以V1=.由(1)知，DE是鳖臑D-BCE的高，BC⊥CE，所以V2=.因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE=CE=CD，所以21.设函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，f(x)+g(x)=e x，其中e为自然对数的底数.(1)求f(x)，g(x)的解析式，并证明：当x＞0时，f(x)＞0，g(x)＞1；(2)设a≤0，b≥1，证明：当x＞0时，ag(x)+(1-a)＜＜bg(x)+(1-b).解析：(1)运用奇、偶函数的定义，由函数方程的思想可得f(x)、g(x)的解析式，再由指数函数的单调性和基本不等式，即可证得f(x)＞0，g(x)＞1；(2)当x＞0时，＞ag(x)+1-a⇔f(x)＞axg(x)+(1-a)x，＜bg(x)+1-b⇔f(x)＜bxg(x)+(1-b)x，设函数h(x)=f(x)-cxg(x)-(1-c)x，通过导数判断单调性，即可得证. 答案：(1)f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，即有f(-x)=-f(x)，g(-x)=g(x)，f(x)+g(x)=e x，f(-x)+g(-x)=e-x，即为-f(x)+g(x)=e-x，解得f(x)=(e x-e-x)，g(x)=(e x+e-x)，则当x＞0时，e x＞1，0＜e-x＜1，f(x)＞0；g(x)=(e x+e-x)＞×=1，则有当x＞0时，f(x)＞0，g(x)＞1；(2)证明：f′(x)=(e x+e-x)=g(x)，g′(x)=(e x-e-x)=f(x)，当x＞0时，＞ag(x)+1-a⇔f(x)＞axg(x)+(1-a)x，＜bg(x)+1-b⇔f(x)＜bxg(x)+(1-b)x，设函数h(x)=f(x)-cxg(x)-(1-c)x，h′(x)=f′(x)-c(g(x)+xg′(x))-(1-c)=g(x)-cg(x)-cxf(x)-(1-c)=(1-c)(g(x)-1)-cxf(x)，①若c≤0则h′(x)＞0，故h(x)在(0，+∞)递增，h(x)＞h(0)=0，(x＞0)，即有f(x)＞cxg(x)+(1-c)x，故＞ag(x)+1-a成立；②若c≥1则h′(x)＜0，故h(x)在(0，+∞)递减，h(x)《h(0)=0，(x＞0)，即有f(x)＜cxg(x)+(1-c)x，故＜bg(x)+1-b成立.综上可得，当x＞0时，a g(x)+(1-a)＜＜b g(x)+(1-b).22.一种画椭圆的工具如图1所示.O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N 处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(1)求椭圆C的方程；(2)设动直线l与两定直线l1：x-2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点.若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.解析：(1)根据条件求出a，b即可求椭圆C的方程；(2)联立直线方程和椭圆方程，求出原点到直线的距离，结合三角形的面积公式进行求解即可.答案：(1)∵|OM|≤|MN|+|NO|=3+1=4，当M，N在x轴上时，等号成立，同理|OM|≥|MN|-|NO|=3-1=2，当D，O重合，即MN⊥x轴时，等号成立.∴椭圆C的中心为原点O，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为.(2)①当直线l的斜率k不存在时，直线l为：x=4或x=-4，都有S△OPQ=，②直线l的斜率k存在时，直线l为：y=kx+m，(k)，由消去y，可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0，∵直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，∴△=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-16)=0，即m2=16k2+4，①，由，可得，同理得，原点O到直线PQ的距离和|PQ|=·|x P-x Q| ，可得S△OPQ=|PQ|d=|m||x P-x Q|=②，将①代入②得S△OPQ=，当k2＞时，S△OPQ=，当0≤k2＜时，S△OPQ=，∵0≤k2＜时，∴0＜1-4k2≤1，，∴S△OPQ=，当且仅当k=0时取等号，∴当k=0时，S△OPQ的最小值为8，综上可知当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，三角形OPQ的面积存在最小值为8.。
2015年成人高考数学试卷(高起点文史财经类)
2015年成人高等学校高起点招生全国统一考试数学（理工农医类）一、选择题：（本大题共17小题，每小题5分，共85分）1、设集合8}{6N 8}5{2M ，，，，==，则=N M （ ）A 、{8}B 、{6}C 、8}65{2，，，D 、6}5{2，，2、函数92+=x y 的值域为 （ ）A 、),3[+∞B 、),0[+∞C 、),9[+∞D 、R3、若πθπ<<2，41sin =θ，则=θcos （ ） A 、415- B 、1615- C 、1615 D 、415 4、已知平面向量)1,2(-=→a 与)2,(λ=→b 垂直，则λ= （ ）A 、4-B 、1-C 、1D 、45、下列函数在各自定义域中为增函数的是 （ ）A 、x y -=1B 、21x y +=C 、x y -+=21D 、x y 21+=6、设甲：函数b kx y +=的图象过点（1，1），乙：1=+b k ，则 （ ）A 、甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件B 、甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件C 、甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件D 、甲是乙的充分必要条件7、设函数xk y =的图象经过点（2，-2），则k = （ ） A 、4 B 、1 C 、1- D 、4-8、若等比数列}{n a 的公比为3，94=a ，则=1a （ ） A 、91 B 、31 C 、3 D 、27 9、=-2log 10log 55 （ ）A 、0B 、1C 、5D 、810、设2tan =θ，则=+)tan(πθ （ ）A 、2B 、21 C 、21- D 、-2 11、已知点A （1,1）,B(2,1),C （-2,3）,则过点A 及线段BC 中点的直线方程为 （ ） A 、02=-+y x B 、02=++y x C 、0=-y x D 、02=+-y x12、设二次函数c bx ax y ++=2的图象过点（-1，2）和（3，2），则其对称轴方程为 （ ）A 、3=xB 、2=xC 、1=xD 、1-=x13、以点（0，1）为圆心且与直线033=--y x 相切的圆的方程为（ ）A 、2)1(22=-+y xB 、4)1(22=-+y xC 、16)1(22=-+y xD 、1)1(22=+-y x14、设)(x f 为偶函数，若3)2(=-f ，则=)2(f （ ）A 、-3B 、0C 、3D 、615、下列不等式成立的是 （ ）A 、35)21(21>）（B 、212135--> C 、3log 5log 2121> D 、3log 5log 22> 16、某学校为新生开设了4门选修课程，规定每位新生至少要选其中3门，则一位新生不同的选课方案共有 （ ）A 、4种B 、5种C 、6种D 、7种17、甲、乙两人独立地破译一个密码，设两人能破译的概率分别为21,p p ，则恰有一个能破译的概率为 （ ）A 、21p pB 、21)1(p p -C 、)1()1(2121p p p p -+-D 、)1)(1(121p p ---二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）18、不等式1|1|<-x 的解集为________________________19、抛物线px y 22=的准线过双曲线1322=-y x 的左焦点，则=p _______20、曲线432++=x x y 在点（-1，2）处的切线方程为____________________21、从某公司生产的安全带中随机抽取10条进行断力测试，测试结果（单位：kg ）如下：3722 3872 4004 4012 3972 3778 4022 4006 3986 4026 则该样本的样本方差为______________2kg （精确到0.1）.三、解答题：（本大题共4小题，共49分）22、（本小题满分12分）已知ABC ∆中，030A =，1BC AC ==，求(1) AB (2) ABC ∆的面积23、（本小题满分12分）已知等差数列}{n a 的公差0≠d ，211=a ，且521,,a a a 成等比数列， （1）求}{n a 的通项公式；（2）若}{n a 的前n 项和50=n S ，求n 。
100教育：2015高考试题——文数(湖北卷)含答案
2015 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）一、选择题：本大题共10 小题，每小题 5 分，共50 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.i 为虚数单位，i607（）A ． i B． -i C． 1D． -12.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254 粒内夹谷28 粒，则这批米内夹谷约为（）A．134 石B． 169 石C．338 石 D ．1365 石3.命题“x0(0,),ln x0x0 1 ”的否定是（）A ．x(0,),ln x x 1B．x(0,),ln x x1C．x0(0,),ln x0x01D．x0(0,),ln x0x0 14.已知变量 x 和 y 满足关系y0.1x1，变量y与z正相关，下列结论中正确的是（）A ． x 与 y 正相关， x 与 z 负相关B ． x 与 y 正相关， x 与 z 正相关C． x 与 y 负相关， x 与 z 负相关 D ． x 与 y 负相关， x 与 z 正相关5. l1, l2表示空间中的两条直线，若p：l1, l2是异面直线， q：l1,l2不相交，则（）A ． p 是 q 的充分条件，但不是q 的必要条件B． p 是 q 的必要条件，但不是q 的充分条件C． p 是 q 的充分必要条件D． p 既不是 q 的充分条件，也不是q 的必要条件6.函数f ( x) 4 | x |x2 5x 6的定义域为（）lg x3A ．(2,3)B．(2, 4]C．(2,3)(3, 4] D ．(1,3) (3,6]1,x 07.设x R ，定义符号函数sgn x0, x 0 ，则（）1,x 0A ．{ x |x |sgn x |}B．{ x |sgn | x |}C．{ x |x | sgn x D． { x |x sgn x8.在区间[0,1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x y1”的概率， P2为事件“ xy 1 ”22的概率，则（）A ．p1p21B．p21p1C．1p2p1D．p11p222229.将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长 a 和虚半轴长 b ( a b) 同时增加m ( m0) 个单位长度，得到离心率为e2的双曲线 C2，则（）A ．对任意的 a， b，e1e2B ．当C．对任意的 a， b，e1e2 D ．当a b 时， e1e2；当 a b 时， e1e2 a b 时， e1e2；当 a b 时， e1e210.已知集合A{( x, y) | x2y21,x, y Z} ，B {( x, y) || x | 2,|y | 2, x, y Z} ，定义集合A B{( x1 x2 , y1y2 ) | ( x1 , y1 )A,( x2 , y2 ) B} ，则 A B 中元素的个数为（）A．77B．49C．45D．30二、填空题：本大题共7 小题，每小题 5 分，共 35 分。
2015年高考湖北文科数学卷(含解析、答案)word
湖北省教育考试院 保留版权 数学（文史类） 第1页（共15页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（文史类）本试题卷共5页，22题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．i 为虚数单位，607i =A ．i -B ．iC ．1-D ．1 答案：A 解析：1.6074151+33ii i i ⨯===-.故选（A ）.2．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为A ．134石B ．169石C ．338石D ．1365石答案：B解析：这批米内夹谷约为281534169254⨯≈石.故选(B). 3．命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是 A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠- B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =- C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠- D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-答案：C解析：特称性命题的否定是全称性命题，且注意否定结论，故原命题的否定是：“()0,,ln 1x x x ∀∈+∞≠-”.故选（C ）.4．已知变量x 和y 满足关系0.11y x =-+，变量y 与z 正相关. 下列结论中正确的是 A ．x 与y 负相关，x 与z 负相关 B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关 C ．x 与y 正相关，x 与z 负相关 D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关答案：A数学（文史类） 第2页（共5页）解析：显然x 与y 负相关.又y 与z 正相关，所以根据“正负得负”的传递性，得x 与z 负相关.故选（A ）5．12,l l 表示空间中的两条直线，若p ：12,l l 是异面直线；q ：12,l l 不相交，则A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 答案：A解析：由12,l l 是异面直线，可得12,l l 不相交，所以p q ⇒；由12,l l 不相交，可得12,l l 是异面直线或12//l l ，所以q p ⇒.所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件.故选（A ）.6．函数256()lg 3x x f x x -+=-的定义域为A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)(3,4]D ．(1,3)(3,6]-答案：C解析：依题意，有40x -≥，解得44≤≤-x ①；且03652>-+-x x x ，解得2x >且3x ≠②；由①②求交集得，函数的定义域为()(]2,33,4.故选(C).7．设x ∈R ，定义符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩则 A ．|||sgn |x x x = B ．||sgn ||x x x = C ．||||sgn x x x =D ．||sgn x x x =答案：D解析：当0>x 时，sgn x x x x ==； 当0=x 时，sgn 0x x x ==；数学（文史类） 第3页（共5页）当0<x 时，sgn x x x x =-=. 综上，sgn x x x =.故选(D).8． 在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≤”的概率，2p 为事件“12xy ≤” 的概率，则A ．1212p p << B ．1212p p << C ．2112p p <<D ．2112p p << 答案：B解析：在直角坐标系中，依次作出不等式01,01,x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩11,22x y xy +≤≤的可行域如下图所示：依题意，OCDEABO S S p 四边形∆=1，OCDEOEGFC S S p 四边形曲边多边形=2，而O C D EO E C S S 四边形∆=21，所以1212p p <<. 故选(B).9．将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位 长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则 A ．对任意的,a b ，12e e > B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e < C ．对任意的,a b ，12e e < D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 答案：D数学（文史类） 第4页（共5页）解析：2211a b e +=，2e =不妨令21e e <，化简得()0b b m m a a m +<>+，得am bm <，得b a <.所以当a b >时，有ma mb a b ++>，即21e e >；当a b <时，有ma mb a b ++<，即21e e <.故选（D ）. 10．已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合 12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为A ．77B ．49C ．45D ．30答案：C解析：如图，集合A 表示如下图所示的所有红心圆点，集合B 表示如下图所示的所有红心圆点+所有绿心圆点，集合A B ⊕显然是集合(){},|3,3,,x y x y x y ≤≤∈Z 中除去四个点()()()(){}3,3,3,3,3,3,3,3----之外的所有整点（即横坐标与纵坐标都为整数的点），即集合A B ⊕表示如下图所示的所有红心圆点+所有绿心圆点+所有黄心圆点，共45个.故A B ⊕中元素的个数为45 . 故选（C ）.数学（文史类） 第5页（共5页）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位 置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. 11．已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则OA OB ⋅=_________． 答案：9 解析：由OA AB⊥，得OA AB =.所以()2O A OB OA O A AB O A O A A=+=+22039OA =+==. 12．若变量,x y 满足约束条件4,2,30,x y x y xy +≤⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则3x y +的最大值是_________．答案：10解析：作出约束条件表示的可行域如下图所示：易知可行域边界三角形的三个顶点坐标分别是()()()3,1,1,3,1,3--，平行移动直线3y x =-，求可知当直线过点()3,1时3x y +取最大值10.13．函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为_________.答案：2解析：()2222sin sin 2sin cos sin 22f x x x x x x x x x π⎛⎫=+-=-=- ⎪⎝⎭.令()0f x =，则数学（文史类） 第6页（共5页）2sin 2x x =，则函数()f x 的零点个数即为函数sin 2y x =与函数2y x =图像的交点个数.作出函数图像知，两函数图像的交点有2个，即函数()f x 的零点个数为2.14．某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额 （单位：万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示. （Ⅰ）直方图中的a =_________；（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为_________.答案：（Ⅰ）3；（Ⅱ）6000.解析：（Ⅰ）由频率分布直方图知，()1.5 2.5 2.00.80.20.11a +++++⨯=，解得3a =； （Ⅱ）消费金额在区间[]0.5,0.9内的购物者的人数为()100003 2.00.80.20.1⨯+++⨯=6000.15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD =_________m.数学（文史类） 第7页（共5页）答案：解析：依题意，在ABC ∆中，600AB =，30BAC ∠=︒，753045ACB ∠=︒-︒=︒，由正弦定理得sin sin BC AB BAC ACB =∠∠，即600sin 30sin 45BC =︒︒，所以BC =.在BCD ∆中，30CBD ∠=︒，tan tan 30CD BC CBD =∠=︒=16．如图，已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半 轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且2AB =. （Ⅰ）圆C 的标准．．方程为_________； （Ⅱ）圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为_________.AB数学（文史类） 第8页（共5页）答案：（Ⅰ）22(1)(2x y -+=；（Ⅱ）①②③解析：（Ⅰ）由题意设圆心()1,C r （r 为圆C 的半径），则222122AB r ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，解得r =所以圆C 的方程为()(2212x y -+=.（Ⅱ）令0x =，得1y =，所以点()1B .又点(C ，所以直线BC 的斜率为1BCk =-，所以圆C 在点B处的切线方程为)10y x -=-，即)1y x =+.令0y =，得切线在x轴上的截距为1.17． a 为实数，函数2()||f x x ax =-在区间[0,1]上的最大值记为()g a . 当a =_________时，()g a 的值最小.解析：17.①当0a ≤时，()2f x x ax =-在[]0,1上是增函数，所以()()11g a f a ==-，此时()min 1g a =；②当02a <<时，作出函数()2f x x ax =-的大致图像如下：由图易知，()2f x x ax =-在0,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，在,2aa ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，在[],1a 上是增函数，此时，只需比较2a f ⎛⎫⎪⎝⎭与()1f 的大小即可.数学（文史类） 第9页（共5页）由()12a f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得2122a a a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得214a a =-，解得2a =或2a =（舍去）. 且当02a <<时，()12a f f ⎛⎫<⎪⎝⎭；当22a <<时，()12af f ⎛⎫> ⎪⎝⎭.（i ）当02a <<-时，()12a f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以()()11g a f a ==-，此时()31g a -<<；（ii ）当2a =时，()12a f f⎛⎫=⎪⎝⎭，所以()()132a g a f f ⎛⎫===- ⎪⎝⎭（iii ）当22a <<时，()12a f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()224a ag a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，此时()34g a -<；③当2a ≥时，()2f x x ax =-在[]0,1上是增函数，所以()()11g a fa ==-，此时()min 1g a =.综上，当2a =时，()min 3g a =-三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分12分）某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()f x 的解 析式；数学（文史类） 第10页（共5页）（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到()y g x =图象，求 ()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心. 解：18．（1）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-. 数据补全如下表：且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-.（2）由（1）知π()5sin(2)6f x x =-，因此 πππ()5sin[2()]5sin(2)666g x x x =+-=+.因为曲线sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z . 令π2π6x k +=，解得ππ212k x =-，k ∈Z .即()y g x =图像的对称中心为ππ0212k -（，），k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为π(,0)12-. 19．（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）当1d >时，记nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 解：（1）由题意有，111045100,2,a d a d +=⎧⎨=⎩ 即112920,2,a d a d +=⎧⎨=⎩解得11,2,a d =⎧⎨=⎩ 或19,2.9a d =⎧⎪⎨=⎪⎩ 故121,2.n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),929().9n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩（2）由1d >，知21n a n =-，12n n b -=，故1212n n n c --=，于是数学（文史类） 第11页（共5页）2341357921122222n n n T --=++++++， ① 2345113579212222222n nn T -=++++++. ② ①-②可得221111212323222222n n nnn n T --+=++++-=-， 故n T 12362n n -+=-. 20．（本小题满分13分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，点E 是PC 的 中点，连接,,DE BD BE .（Ⅰ）证明：DE ⊥平面PBC . 试判断四面体EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需 写出结论）；若不是，请说明理由；（Ⅱ）记阳马P ABCD -的体积为1V ，四面体EBCD 的体积为2V ，求12V V 的值．解：（1）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥.由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D =， 所以BC ⊥平面PCD . DE ⊂平面PCD ，所以BC DE ⊥. 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥. 而PCBC C =，所以DE ⊥平面PBC .由BC ⊥平面PCD ，DE ⊥平面PBC ，可知四面体EBCD 的四个面都是直角三角数学（文史类） 第12页（共5页）形，即四面体EBCD 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是,,,.BCD BCE DEC DEB ∠∠∠∠（2）由已知，PD 是阳马P ABCD -的高，所以11133ABCD V S PD BC CD PD =⋅=⋅⋅；由（1）知，DE 是鳖臑D BCE -的高， BC CE ⊥，所以21136BCE V S DE BC CE DE ∆=⋅=⋅⋅.在Rt △PDC 中，因为PD CD =，点E 是PC的中点，所以DE CE =， 于是 12123 4.16BC CD PD V CD PD V CE DEBC CE DE ⋅⋅⋅===⋅⋅⋅21．（本小题满分14分）设函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， ()()e x f x g x +=，其中e 为自然对数的底数.（1）求()f x ，()g x 的解析式，并证明：当0x >时，()0f x >，()1g x >； （2）设0a ≤，1b ≥，证明：当0x >时，()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-. 解：（1）由()f x , ()g x 的奇偶性及()()e x f x g x +=, ①得 ()()e .x f x g x --+= ②联立①②解得1()(e e )2x x f x -=-，1()(e e )2x x g x -=+.当0x >时，e 1x >，0e 1x -<<，故()0.f x > ③又由基本不等式，有1()(e e )12x x g x -=+>，即() 1.g x > ④（2）由（1）得 2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x f x g x -''=-=+=+=， ⑤2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x g x f x -''=+=-=-=， ⑥当0x >时，()()(1)f x ag x a x>+-等价于()()(1)f x axg x a x >+-， ⑦()()(1)f x bg x b x<+-等价于()()(1).f x bxg x b x <+- ⑧数学（文史类） 第13页（共5页）设函数 ()()()(1)h x f x cxg x c x =---，由⑤⑥，有()()()()(1)h x g x cg x cxf x c '=----(1)[()1]().c g x cxf x =--- 当0x >时，（1）若0c ≤，由③④，得()0h x '>，故()h x 在[0,)+∞上为增函数，从而()(0)0h x h >=，即()()(1)f x cxg x c x >+-，故⑦成立.（2）若1c ≥，由③④，得()0h x '<，故()h x 在[0,)+∞上为减函数，从而()(0)0h x h <=，即()()(1)f x cxg x c x <+-，故⑧成立. 综合⑦⑧，得 ()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-. 22．（本小题满分14分）一种画椭圆的工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存 在，求出该最小值；若不存在，说明理由．解：（1）因为||||||314OM MN NO ≤+=+=，当,M N 在x 轴上时，等号成立；同理||||||312OM MN NO ≥-=-=，当,D O 重合，即MN x ⊥轴时，等号成立.图1图2数学（文史类） 第14页（共5页）所以椭圆C 的中心为原点O ，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为221.164x y +=（2）1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=.2）当直线l 的斜率存在时，设直线1:()2l y kx m k =+≠±，由22,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 消去y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=. 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+. ① 又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m m Q k k -++.由原点O 到直线PQ的距离为d =和|||P Q PQ x x -，可得22111222||||||||222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-.②将①代入②得，222241281441OPQk m S k k ∆+==--. 当214k >时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--；当2104k ≤<时，2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--. 因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1)814OPQ S k ∆=-+≥-， 当且仅当0k =时取等号.所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8.综合1）2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8.。
2015年高考文科数学湖北卷-答案
2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文科）答案解析
第Ⅰ卷
⊕中元素的个数为45故选C.心圆点所有黄心圆点，共45个，故A B
【考点】集合的基本定义及运算.
第Ⅱ卷【解析】作出约束条件表示的可行域如下图所示：
【提示】将函数进行化简，由()0f x =，转化为两个函数的交点个数进行求解即可. 【考点】函数和方程之间的关系. 14.【答案】（Ⅰ）3 （Ⅱ）6000
【解析】（Ⅰ）由频率分布直方图知，()1.5 2.5 2.00.80.20.11a +++++⨯=，解得3a =. （Ⅱ）消费金额在区间[]0.5,0.9内的购物者的人数为()100003 2.00.80.20.16000⨯+++⨯=.
【提示】（Ⅰ）频率分布直方图中每一个矩形的面积表示频率，先算出频率，在根据频率和为1，算出a 的值.
（Ⅱ）先求出消费金额在区间[]0.5,0.9内的购物者的频率，再求频数. 【考点】频率分布直方图 15.【答案】1006
【解析】依题意，在ABC ∆中，600AB =，30BAC ∠=︒，753045ACB ∠=︒-︒=︒，由正弦定理得
sin sin BC AB BAC ACB =∠∠，即600
sin30sin 45BC =︒︒
，所以3002BC =.在BCD △中，30CBD ∠=︒，
tan 3002tan301006CD BC CBD =∠=︒=g .
【提示】设此山高h m （）
，在BCD △中，利用仰角的正切表示出BC ，进而在ABC △中利用正弦定理求得
11/ 11。