人教版初中数学三角形技巧及练习题
人教版初中数学三角形知识点训练附答案
人教版初中数学三角形知识点训练附答案一、选择题1．如图，在ABC ∆中，90C =o ∠，30B ∠=o ，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是（ ） ①AD 是BAC ∠的平分线；②ADC 60∠=o ；③点D 在AB 的垂直平分线上；④:1:3DAC ABC S S ∆∆=A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】 根据题干作图方式，可判断AD 是∠CAB 的角平分线，再结合∠B=30°，可推导得到△ABD 是等腰三角形，根据这2个判定可推导题干中的结论.【详解】题干中作图方法是构造角平分线，①正确；∵∠B=30°，∠C=90°，AD 是∠CAB 的角平分线 ∴∠CAD=∠DAB=30°∴∠ADC=60°，②正确∵∠DAB=∠B=30°∴△ADB 是等腰三角形∴点D 在AB 的垂直平分线上，③正确在Rt △CDA 中，设CD=a ，则AD=2a在△ADB 中，DB=AD=2a∵1122DAC S CD AC a CD ∆=⨯⨯=⨯，13(CD+DB)22BAC S AC a CD ∆=⨯⨯=⨯ ∴:1:3DAC ABC S S ∆∆=，④正确故选：D【点睛】本题考查角平分线的画法及性质、等腰三角形的性质，解题关键是熟练角平分线的绘制方法.2．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，若BC＝10cm，则△DEC的周长为（）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm【答案】B【解析】【分析】根据“AAS”证明ΔABD≌ΔEBD .得到AD＝DE，AB＝BE，根据等腰直角三角形的边的关系，求其周长.【详解】∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠EBD.又∵∠A＝∠DEB＝90°，BD是公共边，∴△ABD≌△EBD (AAS)，∴AD＝ED，AB＝BE，∴△DEC的周长是DE＋EC＋DC＝AD＋DC＋EC＝AC＋EC＝AB＋EC＝BE＋EC＝BC＝10 cm.故选B.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质. 掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．3．AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．4 B．3 C．6 D．2【答案】B【解析】【分析】首先由角平分线的性质可知DF=DE=2，然后由S △ABC =S △ABD +S △ACD 及三角形的面积公式得出结果．【详解】解：AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，∠EAD=∠FADDE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ，∴DF=DE ，又∵S △ABC =S △ABD +S △ACD ，DE=2，AB=4，11742222AC ∴=⨯⨯+⨯⨯ ∴AC=3.故答案为：B【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质、灵活运用所学知识是解题的关键.4．△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3，最小边BC ＝4cm ，则最长边AB 的长为( )cmA ．6B ．8CD ．5【答案】B【解析】【分析】根据已知条件结合三角形的内角和定理求出三角形中角的度数，然后根据含30度角的直角三角形的性质进行求解即可.【详解】设∠A ＝x ，则∠B ＝2x ，∠C ＝3x ，由三角形内角和定理得∠A+∠B+∠C ＝x+2x+3x ＝180°，解得x ＝30°，即∠A ＝30°，∠C ＝3×30°＝90°，此三角形为直角三角形，故AB ＝2BC ＝2×4＝8cm ，故选B ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握“直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半”是解题的关键.5．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，则DE 的长为（ ）A．65B．85C．125D．245【答案】D【解析】【分析】连接AD，根据已知等腰三角形的性质得出AD⊥BC和BD=6，根据勾股定理求出AD，根据三角形的面积公式求出即可．【详解】解：连接AD∵AB=AC，D为BC的中点，BC=12，∴AD⊥BC，BD=DC=6，在Rt△ADB中，由勾股定理得：22221068AB BD=+=，∵S△ADB=12×AD×BD＝12×AB×DE，∴DE=8624105 AD BDAB⨯⨯==，故选D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合）、勾股定理和三角形的面积，能求出AD的长是解此题的关键．6．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是()A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cm C．3cm，4cm，8cm D．3cm，3cm，4cm 【答案】D【解析】【详解】A．因为2+3=5，所以不能构成三角形，故A错误；B．因为2+4＜6，所以不能构成三角形，故B错误；C．因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C错误；D ．因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D 正确．故选D ．7．如图，已知AB ∥CD ，直线AB ，CD 被BC 所截，E 点在BC 上，若∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝（ ）A ．65°B ．70°C ．75°D ．80°【答案】D【解析】【分析】 由平行线的性质可求得∠C ，在△CDE 中利用三角形外的性质可求得∠3．【详解】解：∵AB ∥CD ，∴∠C ＝∠1＝45°，∵∠3是△CDE 的一个外角，∴∠3＝∠C+∠2＝45°+35°＝80°，故选：D ．【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a ∥b ，b ∥c ⇒a ∥c ．8．如图，在Rt ABC ∆中，90BCA ∠=︒，CD 是高，BE 平分∠ABC 交CD 于点E ，EF ∥AC 交AB 于点F ，交BC 于点G ．在结论：(1) EFD ∠=BCD ∠；(2) AD CD =；(3)CG EG =；(4) BF BC =中，一定成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CGE=∠BCA=90°，然后根据等角的余角相等即可求出∠EFD=∠BCD ；只有△ABC 是等腰直角三角形时AD=CD ，CG=EG ；利用“角角边”证明△BCE 和△BFE 全等，然后根据全等三角形对应边相等可得BF=BC ．【详解】∵EF ∥AC ，∠BCA=90°，∴∠CGE=∠BCA=90°，∴∠BCD+∠CEG=90°，又∵CD 是高，∴∠EFD+∠FED=90°，∵∠CEG=∠FED （对顶角相等），∴∠EFD=∠BCD ，故（1）正确；只有∠A=45°，即△ABC 是等腰直角三角形时，AD=CD ，CG=EG 而立，故（2）（3）不一定成立，错误；∵BE 平分∠ABC ，∴∠EBC=∠EBF ，在△BCE 和△BFE 中，EFD BCD EBC EBF BE BE ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△BCE ≌△BFE （AAS ），∴BF=BC ，故（4）正确，综上所述，正确的有（1）（4）共2个．故选：B ．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，综合题，但难度不大，熟记性质是解题的关键．9．把一副三角板如图（1）放置，其中∠ACB ＝∠DEC ＝90°，∠A ＝45°，∠D ＝30°，斜边AB ＝4，CD ＝5．把三角板DCE 绕着点C 顺时针旋转15°得到△D 1CE 1（如图2），此时AB 与CD 1交于点O ，则线段AD 1的长度为（ ）A 13B 5C ．22D ．4【答案】A【解析】试题分析：由题意易知：∠CAB=45°，∠ACD=30°．若旋转角度为15°，则∠ACO=30°+15°=45°．∴∠AOC=180°-∠ACO-∠CAO=90°．在等腰Rt△ABC中，AB=4，则AO=OC=2．在Rt△AOD1中，OD1=CD1-OC=3，由勾股定理得：AD1=13．故选A.考点: 1.旋转；2.勾股定理.10．如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为（）A．23B．13C．4 D．32【答案】B【解析】【分析】如下图，作AD⊥BC，设半径为r，则在Rt△OBD中，OD=3－1，OB=r，BD=3，利用勾股定理可求得r.【详解】如图，过A作AD⊥BC，由题意可知AD必过点O，连接OB；∵△BAC是等腰直角三角形，AD⊥BC，∴BD=CD=AD=3；∴OD=AD-OA=2；Rt△OBD中，根据勾股定理，得：22+BD OD13故答案为：B.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和勾股定理的应用，解题关键是利用等腰直角三角形ABC判定点O在AD上.11．如图,已知AB=AE,AC=AD,下列条件中不能判定△ABC≌△AED的是()A．BC=ED B．∠BAD=∠EACC．∠B=∠E D．∠BAC=∠EAD【答案】C【解析】解：A．∵AB=AE，AC=AD，BC=ED，∴△ABC≌△AED（SSS），故A不符合题意；B．∵∠BAD=∠EAC，∴∠BAC=∠EAD．∵AB=AE，∠BAC=∠EAD ，AC=AD，∴△ABC≌△AED（SAS），故B不符合题意；C．不能判定△ABC≌△AED，故C符合题意．D．∵AB=AE，∠BAC=∠EAD，AC=AD，∴△ABC≌△AED（SAS），故D不符合题意．故选C．12．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠ADC＝∠GCD；③CA平分∠BCG；④∠DFB＝12∠CGE．其中正确的结论是( )A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质、角平分线的定义、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．【详解】①∵EG∥BC，∴∠CEG=∠ACB，又∵CD是△ABC的角平分线，∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，故正确；②∵∠A=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD=∠BCD ，∴∠ADC+∠BCD=90°．∵EG ∥BC ，且CG ⊥EG ，∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，∴∠ADC=∠GCD ，故正确；③条件不足，无法证明CA 平分∠BCG ，故错误；④∵∠EBC+∠ACB=∠AEB ，∠DCB+∠ABC=∠ADC ，∴∠AEB+∠ADC=90°+12（∠ABC+∠ACB ）=135°， ∴∠DFE=360°-135°-90°=135°， ∴∠DFB=45°=12∠CGE ，，正确． 故选B ．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理及多边形内角和，三角形外角的性质，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键．13．如图，在菱形ABCD 中，60BCD ∠=︒，BC 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，垂足为E ，连接BF 、DF ，则DFC ∠的度数是（ ）A ．130︒B ．120︒C ．110︒D ．100︒【答案】A【解析】【分析】 首先求出∠CFB=130°，再根据对称性可知∠CFD=∠CFB 即可解决问题；【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ACD ＝∠ACB ＝12∠BCD=25°， ∵EF 垂直平分线段BC ，∴FB=FC ，∴∠FBC=∠FCB=25°，∴∠CFB=180°-25°-25°=130°，根据对称性可知：∠CFD=∠CFB=130°，故选：A ．【点睛】此题考查菱形的性质、线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14．如图，在△ABC 中，点D 为BC 的中点，连接AD ，过点C 作CE ∥AB 交AD 的延长线于点E ，下列说法错误的是（ ）A ．△ABD ≌△ECDB ．连接BE ，四边形ABEC 为平行四边形 C ．DA ＝DED ．CE ＝CD【答案】D【解析】【分析】 根据平行线的性质得出∠B=∠DCE ，∠BAD=∠E ，然后根据AAS 证得△ABD ≌△ECD ，得出AD=DE ，根据对角线互相平分得到四边形ABEC 为平行四边形，CE=AB ，即可解答．【详解】∵CE ∥AB ，∴∠B=∠DCE ，∠BAD=∠E ，在△ABD 和△ECD 中，===B DCE BAD E BD CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ABD ≌△ECD （AAS ），∴DA=DE ，AB=CE ，∵AD=DE ，BD=CD ，∴四边形ABEC 为平行四边形，故选：D ．【点睛】此题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质以及平行四边形的性判定，解题的关键是证明△ABD ≌△ECD ．15．如图，已知A ,D,B,E 在同一条直线上，且AD = BE, AC = DF,补充下列其中一个条件后，不一定能得到△ABC ≌△DEF 的是（ ）A ．BC = EFB ．AC//DFC ．∠C = ∠FD ．∠BAC = ∠EDF【答案】C【解析】【分析】 根据全等三角形的判定方法逐项判断即可．【详解】∵BE ＝CF ，∴BE ＋EC ＝EC ＋CF ，即BC ＝EF ，且AC = DF ，∴当BC = EF 时，满足SSS ，可以判定△ABC ≌△DEF ；当AC//DF 时，∠A=∠EDF ，满足SAS ，可以判定△ABC ≌△DEF ；当∠C = ∠F 时，为SSA ，不能判定△ABC ≌△DEF ；当∠BAC = ∠EDF 时，满足SAS ，可以判定△ABC ≌△DEF ，故选C.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ．16．如图,在ABC ∆中,90C ∠=︒,2AC =,点D 在BC 上,5AD =,ADC 2B ∠=∠,则BC 的长为（ ）A 51B 51C 31D 31【答案】B【解析】【分析】 根据ADC 2B ∠=∠，可得∠B=∠DAB ，即5BD AD ==Rt △ADC 中根据勾股定理可得DC=1，则51.【详解】解：∵∠ADC 为三角形ABD 外角∴∠ADC=∠B+∠DAB∵ADC 2B ∠=∠∴∠B=∠DAB ∴5BD AD ==在Rt △ADC 中，由勾股定理得：22DC 541AD AC =-=-=∴BC=BD+DC=51+故选B【点睛】 本题考查勾股定理的应用以及等角对等边，关键抓住ADC 2B ∠=∠这个特殊条件.17．如图为一个66⨯的网格，在ABC ∆，A B C '''∆和A B C ''''''∆中，直角三角形有（ ）个A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】【分析】 根据题中的网格，先运用勾股定理计算出各个三角形的边长，再根据勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形即可．【详解】设网格的小正方形的边长是1，由勾股定理（两直角边的平方等于斜边的平方）可知，ABC ∆的三边分别是：10，5，5； 由于2225510+=， 根据勾股定理的逆定理得：ABC ∆是直角三角形； '''A B C ∆的三边分别是：''A B 10， ''B C 5 ，''AC 13 由于()()(22210513+?， 根据勾股定理的逆定理得：'''A B C ∆不是直角三角形；A B C ''''''∆的三边分别是：A B ''''18B C ''''8 ，A C ''''26；由于()()()22218826+=， 根据勾股定理的逆定理得：A B C ''''''∆是直角三角形；因此有两个直角等三角形；故选C ．【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能灵活运用所学知识是解题的关键．18．等腰三角形有一个是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（ ）A ．25°B ．40°C ．25°或40°D ．50°【答案】C【解析】∵等腰三角形有一个是50°∴有两种可能①是三个角为50°、50°、80°；②是三个角为50°、65°、65°分情况说明如下： ①当三个角为50°、50°、80°时，根据图①，可得其一条腰上的高与底边的夹角∠DAB=40°；②当三个角为50°、65°、65°，根据图②，可得其一条腰上的高与底边的夹角∠DAB=25°故故选：C① ②点睛：本题主要考查三角形内角和定理：三角形内角和为180°.19．如图,AA',BB'表示两根长度相同的木条,若O 是AA',BB'的中点,经测量AB=9 cm,则容器的内径A'B'为( )A ．8 cmB ．9 cmC ．10 cmD ．11 cm【答案】B【解析】解：由题意知：OA=OA′，∠AOB=∠A′OB′，OB=OB′，∴△AOB≌△A′OB′，∴A′B′=AB=9cm．故选B．点睛：本题考查了全等三角形的判定及性质的应用；解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，若CD＝8 cm，MB＝2 cm，则直径AB的长为（）A．9 cm B．10 cm C．11 cm D．12 cm【答案】B【解析】【分析】由CD⊥AB，可得DM=4．设半径OD=Rcm，则可求得OM的长，连接OD，在直角三角形DMO中，由勾股定理可求得OD的长，继而求得答案．【详解】解：连接OD，设⊙O半径OD为R,∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，∴DM=12CD=4cm，OM=R-2,在RT△OMD中，OD²=DM²+OM²即R²=4²+(R-2)²,解得：R=5,∴直径AB的长为:2×5=10cm．故选B．【点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．。
人教版初中八年级上册数学方法技巧专题练习：三角形中有关角度的计算
方法技巧专题：三角形中有关角度的计算——全方位求角度，一网搜罗◆类型一已知角的关系，直接利用内角和或结合方程思想求角度1．一个三角形三个内角的度数之比是2∶3∶5，则这个三角形一定是()A．直角三角形B．等腰三角形C．钝角三角形D．锐角三角形2．在△ABC中，∠A＝2∠B＝75°，则∠C＝________.3．在△ABC中，∠A＝3∠B，∠A－∠C＝30°，则∠A＝________°，∠C＝________°.4．如图，已知在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．◆类型二综合内、外角的性质求角度5．如图，∠B＝20°，∠A＝∠C＝40°，则∠CDE的度数为()A．40°B．60°C．80°D．100°6．如图，在△ABC中，D是BC上的一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠B＝40°，求∠BAC的度数．7．如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA.(1)求证：∠EAC＝∠B；(2)若∠B＝50°，∠CAD∶∠E＝1∶3，求∠E的度数．◆类型三在三角板或直尺中求角度8．如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在矩形直尺的一组对边上，如果∠2＝60°，那么∠1的度数为()A．60°B．50°C．40°D．30°第8题图第9题图9．(2016－2017·湘潭市期末)将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是()A．75°B．90°C．105°D．120°10．(2016－2017·娄底市新化县期中)如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1＝50°，∠2＝60°，则∠3的度数为()A．50°B．60°C．70°D．80°11．(1)如图①，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY，XZ分别经过点B，C.在△ABC中，∠A＝30°，则∠ABC＋∠ACB＝________，∠XBC＋∠XCB＝________；(2)如图②，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY，XZ仍然分别经过B，C，那么∠ABX＋∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX＋∠ACX 的大小．◆类型四与平行线结合求角度12．如图，已知AB∥CD，∠A＝60°，∠C＝25°，则∠E等于()A．60°B．25°C．35°D．45°第12题图第13题图13．(2016·丽水中考)如图，在△ABC中，∠A＝63°，直线MN∥BC，且分别与AB，AC相交于点D，E，若∠AEN＝133°，则∠B的度数为________．◆类型五与截取或折叠结合求角度14．如图，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝24°，则∠BDC等于()A．42°B．66°C．69°D．77°第14题图第15题图15．如图所示，一个含60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，那么∠1＋∠2的度数为()A．120°B．180°C．240°D．300°16．★如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE的内部A′处，已知∠1＋∠2＝80°，则∠A的度数为________．【变式题】如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内部C′处，若∠1＝20°，求∠2的度数．参考答案与解析1．A 2.67.5° 3.90604．解：设∠A＝x，则∠C＝∠ABC＝2x.根据三角形内角和为180°知∠C＋∠ABC＋∠A＝180°，即2x＋2x＋x＝180°，∴x＝36°，∴∠C＝2x＝72°.在△BDC中，∠DBC＝180°－90°－∠C＝18°.5．C6．解：∵∠1＝∠2，∠B＝40°，∴∠2＝∠1＝(180°－40°)÷2＝70°.又∵∠2是△ADC的外角，∴∠2＝∠3＋∠4.∵∠3＝∠4，∴∠2＝2∠3，∴∠3＝12∠2＝35°，∴∠BAC＝∠1＋∠3＝105°.7．(1)证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.又∵∠EAD＝∠EDA，∴∠EAC＝∠EAD －∠CAD＝∠EDA－∠BAD＝∠B.(2)解：设∠CAD＝x°，则∠E＝3x°.由(1)知∠EAC＝∠B＝50°，∴∠EAD＝∠EDA＝(x＋50)°.在△EAD中，∠E＋∠EAD＋∠EDA＝180°，即3x°＋2(x＋50)°＝180°，解得x＝16.∴∠E＝48°.8．D9.C10.C11．解：(1)150°90°(2)不变化．因为∠A＝30°，所以∠ABC＋∠ACB＝150°.因为∠X＝90°，所以∠XBC＋∠XCB＝90°，所以∠ABX＋∠ACX＝(∠ABC－∠XBC)＋(∠ACB－∠XCB)＝(∠ABC＋∠ACB)－(∠XBC＋∠XCB)＝150°－90°＝60°.12．C13.70°14.C15．C解析：因为∠1＝180°－∠AMN，∠2＝180°－∠ANM，所以∠1＋∠2＝360°－(∠ANM ＋∠AMN)．又因为∠ANM＋∠AMN＝180°－∠A＝120°，所以∠1＋∠2＝240°.故选C.16．40°解析：由折叠的性质得∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE.因为∠1＋∠A′EA＝180°，∠2＋∠A′DA＝180°，所以∠1＋∠2＋2∠AED＋2∠ADE＝360°，所以∠AED＋∠ADE＝140°，所以∠A＝40°.【变式题】解：如图，因为∠A＝65°，∠B＝75°，所以∠CEF＋∠CFE＝∠A＋∠B＝140°，所以∠CEF ＋∠CFE＋∠C′EF＋∠C′FE＝280°，所以∠2＝360°－(∠CEF＋∠CFE＋∠C′EF＋∠C′FE)－∠1＝360°－280°－20°＝60°.作者留言：非常感谢！您浏览到此文档。
2024_2025学年八年级数学上学期期中核心考点专题01三角形的基础含解析新人教版
期中考点专题01 三角形的基础重点突破三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。
三角形特性三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”。
三角形按边分类：等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。
等边三角形：底边与腰相等的等腰三角形叫做等边三角形，即三边都相等。
三角形三边的关系（重点（1）三角形的随意两边之和大于第三边。
三角形的随意两边之差小于第三边。
（这两个条件满意其中一个即可）用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。
（2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b三角形的分类：三角形按边的关系分类如下：三角形按角的关系分类如下：三角形的稳定性➢三角形具有稳定性➢四边形及多边形不具有稳定性要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了。
考查题型考查题型一三角形的个数问题典例1．（2024·西林县期中）如图所示，其中三角形的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】D【提示】依据三角形的定义解答即可，由不在同始终线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.【详解】图中的三角形有：△ABC，△BCD，△BCE，△ABE，△CDE共5个.故选D.【名师点拨】本题考查了三角形的概念，由不在同始终线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻边的公共端点叫做三角形的顶点.相邻两条边组成的角，叫做三角形的内角，简称为三角形的角.变式1-1．（2024·秦皇岛市期中）图中三角形的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】D【解析】图中的三角形有: △ABD, △ADE, △AEC, △ABE, △ADC, △ABC,共6个.故选D.变式1-2．（2024·洛阳市期末）图中三角形的个数是（）A．4个B．6个C．8个D．10个【答案】C【提示】依据三角形的定义即可得．【详解】图中的三角形是，共8个故选：C．【名师点拨】本题考查了三角形的定义，驾驭理解三角形的概念是解题关键．变式1-3．（2024·恩施市期中）如图，图中三角形的个数有（）A．6个B．8个C．10个D．12个【答案】B【解析】试题解析：以O为一个顶点的有△CBO、△CDO、△ABO、△ADO，不以O为顶点的三角形有△CAD、△CBA、△BCD、△BAD，共有8个．故选B.考查题型二三角形的分类典例2（2024·石家庄市期末）在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC的形态是（）A．等边三角形 B．锐角三角形C．直角三角形 D．钝角三角形【答案】D【解析】试题提示：依据三角形的内角和定理求出∠C，即可判定△ABC的形态．解：∵∠A=20°，∠B=60°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣20°﹣60°=100°，∴△ABC是钝角三角形．故选D．变式2-1．（2024·黄冈市期中）一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形肯定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】试题提示：依据三角形的内角和为180°，可知最大角为90°，因式这个三角形是直角三角形.故选B.变式2-2．（2024·深圳市期中）在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：3：5，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．形态不确定【答案】C【提示】依据∠A：∠B：∠C=1：3：5，可设∠A=x°，∠B=3x°，∠C=5x°，再依据三角形内角和为180°可得方程x+3x+5x=180，解方程算出x的值，即可推断出△ABC的形态．【详解】解：∵∠A：∠B：∠C=1：3：5，∴设∠A=x°，∠B=3x°，∠C=5x°，∴x+3x+5x=180，解得：x=20，∴∠C=5×20°=100°，∴△ABC是钝角三角形．故选：C．【名师点拨】本题考查三角形内角和定理，关键是利用方程思想列出三个角的关系式．变式2-3．（2024·石家庄市期末）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能确定三角形类型的是（）A．B．C．D．【答案】A【提示】依据三角形按角分类的方法一一推断即可．【详解】视察图象可知：选项B，D的三角形是钝角三角形，选项C中的三角形是锐角三角形，选项A中的三角形无法判定三角形的类型．故选A．【名师点拨】本题考查了三角形的分类，解题的关键是娴熟驾驭基本学问，属于中考常考题型．考查题型三构成三角形的条件典例3．（2024·宜兴市期末）下列各组线段不能组成三角形的是 ( )A．4cm、4cm、5cm B．4cm、6cm、11cmC．4cm、5cm、6cm D．5cm、12cm、13cm【答案】B【提示】依据三角形的随意两边之和大于第三边对各选项提示推断后利用解除法求解.【详解】A 、4485+=>，∴445cm cm cm 、、能组成三角形，故本选项错误；B 、461011+=<，∴4611cm cm cm 、、不能组成三角形，故本选项正确；C 、5496+=>，∴456cm cm cm 、、能组成三角形，故本选项错误；D 、5121713+=>，∴51213cm cm cm 、、能组成三角形，故本选项错误.故选：B .【名师点拨】本题考查了三角形的三边关系，是基础题，熟记三边关系是解题的关键.变式3-1．（2024·太仓市）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（ ）A ．12B ．15C ．12或15D ．18【答案】B【解析】试题提示：依据题意，要分状况探讨：①、3是腰；②、3是底．必需符合三角形三边的关系，随意两边之和大于第三边．解：①若3是腰，则另一腰也是3，底是6，但是3+3=6，∴不构成三角形，舍去．②若3是底，则腰是6，6．3+6＞6，符合条件．成立．∴C=3+6+6=15．故选B ．变式3-2．（2024·兰州市期末）等腰三角形的一边长为4，另一边长为9，则这个三角形的周长为( )A ．22B ．17C ．13D ．17或22【答案】A【提示】分4是腰长和底边两种状况探讨求解即可．【详解】解：4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、9，∵4+4=8＜9，∴不能组成三角形，4是底边时，三角形的三边分别为4、9、9，能组成三角形，周长=4+9+9=22，综上所述，该等腰三角形的周长为22．故选A ．【名师点拨】本题主要考查了三角形三边关系，难点在于分状况探讨并利用三角形的三边关系推断是否能组成三角形．cm cm长的两根木棒首尾相接成一个三角形的变式3-3．（2024·哈尔滨市期中）下列长度的四根木棒中，能与49，是（）A．4cm B．5cm C．9cm D．13cm【答案】C【提示】依据三角形三边关系：三角形随意两边之和大于第三边，逐一推断选项，即可.【详解】∵4+4<9，cm cm长的木棒首尾相接，不能组成三角形，∴4cm，49，∴A错误；∵5+4=9，cm cm长的木棒首尾相接，不能组成三角形，∴5cm，49，∴B错误；∵9+4>9，cm cm长的木棒能组成三角形，∴9cm，49，∴C正确；∵4+9=13，cm cm长的木棒，不能组成三角形，∴13cm，49，∴D错误；故选C.【名师点拨】本题主要考查三角形的三边关系，驾驭“三角形随意两边之和大于第三边”，是解题的关键.m-=，且m，n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，变式3-4．（2024·濮阳市期末）若实数m，n满意20则△ABC的周长是( )A．12 B．8 C．10 D．10或8【答案】C【提示】依据非负数的性质求出,m n的值，依据等腰三角形的性质求解即可.m-=【详解】20m n∴==2,4,当三角形的腰长为2时，224+=，构不成三角形；++=.当三角形的腰长为4时，三角形的周长为：44210故答案选：C.【名师点拨】考查非负数的性质以及等腰三角形的性质，驾驭三角形的三边关系是解题的关键.考查题型四三角形第三边的取值范围典例4．（2024·三明市期末）已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（）A．1 B．2 C．8 D．11【答案】C【提示】依据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可确定出第三边的范围，据此依据选项即可推断. 【详解】设第三边长为x，则有7-3<x<7+3，即4<x<10，视察只有C选项符合，故选 C.【名师点拨】本题考查了三角形三边的关系，娴熟驾驭三角形三边之间的关系是解题的关键.a的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（）变式4-1．（2024·龙岩市期中）若长度分别为,3,5A．1 B．2 C．3 D．8【答案】C【提示】依据三角形三边关系可得5﹣3＜a＜5+3，解不等式即可求解．【详解】由三角形三边关系定理得：5﹣3＜a＜5+3，即2＜a＜8，由此可得，符合条件的只有选项C，故选C．【名师点拨】本题考查了三角形三边关系，能依据三角形的三边关系定理得出5﹣3＜a＜5+3是解此题的关键，留意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．变式4-2．（2024·齐齐哈尔市期末）已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样的三角形个数为A．2 B．3 C．5 D．13【答案】B【提示】依据“三角形两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边”，可得x的取值范围，一一推断可得答案. 【详解】解：依据“三角形两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边”可得:13-2<x<13+2,即11<x<15,因为取正整数,故x的取值为12、13、14,即这样的三角形共有3个.故本题正确答案为B.【名师点拨】本题主要考查构成三角形的三边的关系.变式4-3．（2024·广州市期中）一个三角形的两边长为3和8，第三边长为奇数，则第三边长为（）A ．5或7B ．7或9C ．7D ．9【答案】B 【详解】依据三角形三边关系可得：5＜第三边＜11，依据第三边长为奇数，则第三边长为7或9．故选B.考查题型五 三角形三边关系的应用典例5．（2024·德州市期末）已知三角形的两边分别为1和4，第三边长为整数 ，则该三角形的周长为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C【提示】依据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再依据第三边是整数，从而求得周长．【详解】设第三边为x ，依据三角形的三边关系，得：4-1＜x ＜4+1，即3＜x ＜5，∵x 为整数，∴x 的值为4．三角形的周长为1+4+4=9．故选C.【名师点拨】此题考查了三角形的三边关系．关键是正确确定第三边的取值范围．变式5-1．（2024·汕头市期中）已知a b c 、、是ABC ∆的三边长，化简a b c b a c +----的值是（ ）A ．2c -B ．22b c -C ．22a c -D ．22a b - 【答案】B【提示】依据三角形的三边关系“随意两边之和大于第三边，随意两边之差小于第三边”，得到a+b-c ＞0，b -a -c ＜0，再依据肯定值的性质进行化简计算.【详解】依据三角形的三边关系，得a+b-c>0，b -a -c <0.∴原式= a+b-c −(a +c −b)= 22b c -.故选择B 项.【名师点拨】本题考查三角形三边关系和肯定值，解题的关键是娴熟驾驭三角形三边关系.变式5-2．（2024·保定市期末）如图，为估计池塘岸边A ，B 的距离，小明在池塘的一侧选取一点O ，测得OA=15米，OB=10米，A ，B 间的距离可能是（ ）A．30米B．25米C．20米D．5米【答案】C【解析】设A，B间的距离为x．依据三角形的三边关系定理，得：15-10＜x＜15+10，解得：5＜x＜25，所以，A，B之间的距离可能是20m．故选C．变式5-3．（2024·滨州市期末）若（a﹣3）2+|b﹣6|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（）A．12 B．15 C．12或15 D．18【答案】B【提示】依据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，可得a、b的值，依据等腰三角形的判定，可得三角形的腰，依据三角形的周长公式，可得答案．【详解】由（a﹣3）2+|b﹣6|＝0，得a﹣3＝0，b﹣6＝0．则以a、b为边长的等腰三角形的腰长为6，底边长为3，周长为6+6+3＝15，故选B．【名师点拨】本题考查了非负数的性质，利用非负数的和为零得出每个非负数同时为零是解题关键．变式5-4．（2024·南开区期末）假如一等腰三角形的周长为27，且两边的差为12，则这个等腰三角形的腰长为（）A．13 B．5 C．5或13 D．1【答案】A【详解】设等腰三角形的腰长为x，则底边长为x﹣12或x+12，当底边长为x﹣12时，依据题意，2x+x﹣12=27，解得x=13，∴腰长为13；当底边长为x+12时，依据题意，2x+x+12=27，解得x=5，因为5+5＜17，所以构不成三角形，故这个等腰三角形的腰的长为13，故选A．考查题型六三角形的稳定性典例6．（2024·路北区期中）下列图形具有稳定性的是（）A．B．C．D．【答案】A【提示】依据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行推断即可得．【详解】A、具有稳定性，符合题意；B、不具有稳定性，故不符合题意；C、不具有稳定性，故不符合题意；D、不具有稳定性，故不符合题意，故选A．【名师点拨】本题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，正确驾驭三角形的性质是解题关键．变式6-1．（2024·乌鲁木齐市期末）为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是（）A．两点之间，线段最短B．垂线段最短C．三角形具有稳定性D．两直线平行，内错角相等【答案】C【解析】试题提示：三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形态就不会变更．解：这样做的道理是三角形具有稳定性．故选：C．变式6-2．（2024·安阳市期末）王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（）．A．0根B．1根C．2根D．3根【答案】B【解析】三角形具有稳定性，连接一条对角线，即可得到两个三角形，故选B变式6-3．（2024·济南市期末）如图，窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，其所运用的几何原理是（）A．三角形的稳定性B．垂线段最短C．两点确定一条直线D．两点之间，线段最短【答案】A【提示】依据点A、B、O组成一个三角形，利用三角形的稳定性解答．【详解】解：一扇窗户打开后，用窗钩将其固定，正好形成三角形的形态，所以，主要运用的几何原理是三角形的稳定性．故答案选A.【名师点拨】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用．变式6-4．（2024·深圳市期末）如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的依据是( )A．两点之间的线段最短B．长方形的四个角都是直角C．三角形有稳定性D．长方形是轴对称图形【答案】C【详解】用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形的依据是三角形具有稳定性．故选：C．【名师点拨】本题考查了三角形具有稳定性在实际生活中的应用，是基础题．变式6-5．（2024·抚顺市期中）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（）A．两点之间，线段最短B．垂线段最短C．两直线平行，内错角相等D．三角形具有稳定性【答案】D【提示】依据三角形的稳定性解答即可．【详解】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性，故选：D．【名师点拨】此题考查三角形的性质，关键是依据三角形的稳定性解答．。
人教版初中数学三角形技巧及练习题含答案
人教版初中数学三角形技巧及练习题含答案一、选择题1．如图，在□ABCD中，延长CD到E，使DE＝CD，连接BE交AD于点F，交AC于点G．下列结论中：①DE＝DF；②AG＝GF；③AF＝DF；④BG＝GC；⑤BF＝EF，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】【分析】由AAS证明△ABF≌△DEF，得出对应边相等AF=DF，BF=EF，即可得出结论，对于①②④不一定正确．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，即AB∥CE，∴∠ABF=∠E，∵DE=CD，∴AB=DE，在△ABF和△DEF中，∵===ABF EAFB DFE AB DE∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△ABF≌△DEF（AAS），∴AF=DF，BF=EF；可得③⑤正确，故选：B．【点睛】此题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．2．AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A ．4B ．3C ．6D ．2【答案】B【解析】【分析】 首先由角平分线的性质可知DF=DE=2，然后由S △ABC =S △ABD +S △ACD 及三角形的面积公式得出结果．【详解】解：AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，∠EAD=∠FADDE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ，∴DF=DE ，又∵S △ABC =S △ABD +S △ACD ，DE=2，AB=4， 11742222AC ∴=⨯⨯+⨯⨯ ∴AC=3.故答案为：B【点睛】 本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质、灵活运用所学知识是解题的关键.3．将一个边长为4的正方形ABCD 分割成如图所示的9部分，其中ABE △，BCF V ，CDG V ，DAH V 全等，AEH △，BEF V ，CFG △，DGH V 也全等，中间小正方形EFGH 的面积与ABE △面积相等，且ABE △是以AB 为底的等腰三角形，则AEH △的面积为（ ）A ．2B ．169C ．32D 2【答案】C【解析】【分析】【详解】解：如图，连结EG 并向两端延长分别交AB 、CD 于点M 、N ，连结HF ，∵四边形EFGH 为正方形，∴EG FH =，∵ABE △是以AB 为底的等腰三角形，∴AE BE =，则点E 在AB 的垂直平分线上，∵ABE △≌CDG V ，∴CDG V 为等腰三角形，∴CG DG =，则点G 在CD 的垂直平分线上，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB 的垂直平分线与CD 的垂直平分线重合，∴MN 即为AB 或CD 的垂直平分线，则,EM AB GN CD ^^，EM GN =，∵正方形ABCD 的边长为4，即4AB CD AD BC ====，∴4MN =，设EM GN x ==，则42EG FH x ==-，∵正方形EFGH 的面积与ABE △面积相等， 即2114(42)22x x ?-，解得：121,4x x ==， ∵4x =不符合题意，故舍去，∴1x =，则S 正方形EFGH 14122==⨯⨯=V ABE S ， ∵ABE △，BCF V ，CDG V ，DAH V 全等，∴2====V V V V ABE BCF CDG DAH S S S S ，∵正方形ABCD 的面积4416=⨯=，AEH △，BEF V ，CFG △，DGH V 也全等， ∴1(4=V AEH S S 正方形ABCD − S 正方形EFGH 134)(16242)42-=⨯--⨯=V ABE S ， 故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是求得ABE △的面积．4．如图，已知ABC ∆，若AC BC ⊥，CD AB ⊥，12∠=∠，下列结论：①//AC DE ；②3A ∠=∠；③3EDB ∠=∠；④2∠与3∠互补；⑤1B ∠=∠，其中正确的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【解析】【分析】 根据平行线的判定得出AC ∥DE ，根据垂直定义得出∠ACB=∠CDB=∠CDA=90°，再根据三角形内角和定理求出即可．【详解】∵∠1=∠2，∴AC ∥DE ，故①正确；∵AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，∴∠ACB=∠CDB=90°，∴∠A+∠B=90°，∠3+∠B=90°，∴∠A=∠3，故②正确；∵AC ∥DE ，AC ⊥BC ，∴DE ⊥BC ，∴∠DEC=∠CDB=90°，∴∠3+∠2=90°（∠2和∠3互余），∠2+∠EDB=90°，∴∠3=∠EDB ，故③正确，④错误；∵AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，∴∠ACB=∠CDA=90°，∴∠A+∠B=90°，∠1+∠A=90°，∴∠1=∠B ，故⑤正确；即正确的个数是4个，故选：C ．【点睛】此题考查平行线的判定和性质，三角形内角和定理，垂直定义，能综合运用知识点进行推理是解题的关键．5．如图11-3-1，在四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C ，点E 在边AB 上，∠AED=60°，则一定有（ ）A ．∠ADE=20°B ．∠ADE=30°C ．∠ADE=12∠ADCD ．∠ADE=13∠ADC 【答案】D【解析】【分析】【详解】设∠ADE=x ，∠ADC=y ，由题意可得， ∠ADE+∠AED+∠A=180°，∠A+∠B+∠C+∠ADC=360°，即x+60+∠A=180①，3∠A+y=360②，由①×3-②可得3x-y=0，所以13x y =，即∠ADE=13∠ADC ．故答案选D ．考点：三角形的内角和定理；四边形内角和定理．6．如图，在ABC V 中，90C ∠=︒，60CAB ∠=︒，按以下步骤作图：①分别以A ，B 为圆心，以大于12AB 的长为半径画弧，两弧分别相交于点P 和Q ．②作直线PQ 交AB 于点D ，交BC 于点E ，连接AE ．若4CE =，则AE 的值为（ ）A ．6B ．2C ．43D ．8【答案】D【解析】【分析】根据垂直平分线的作法得出PQ是AB的垂直平分线，进而得出∠EAB＝∠CAE＝30°，即可得出AE的长．【详解】由题意可得出：PQ是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝60°，∴∠CBA＝30°，∴∠EAB＝∠CAE＝30°，∴CE＝12AE＝4，∴AE＝8．故选D．【点睛】此题主要考查了垂直平分线的性质以及直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半，根据已知得出∠EAB＝∠CAE＝30°是解题关键．7．如图，□ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝12BC，连接OE．下列结论：①AE＝CE；②S△ABC＝AB•AC；③S△ABE＝2S△AOE；④OE＝14BC,成立的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4【答案】C【解析】【分析】利用平行四边形的性质可得∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，利用角平分线的性质证明△ABE是等边三角形，然后推出AE=BE=12BC，再结合等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一进行推理即可．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD=60°∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=BE，∠AEB=60°，∵AB=12 BC，∴AE=BE=12 BC，∴AE=CE，故①正确；∴∠EAC=∠ACE=30°∴∠BAC=90°，∴S△ABC=12AB•AC，故②错误；∵BE=EC，∴E为BC中点，O为AC中点，∴S△ABE=S△ACE=2 S△AOE，故③正确；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=CO，∵AE=CE，∴EO⊥AC，∵∠ACE=30°，∴EO=12 EC，∵EC=12 AB，∴OE=14BC，故④正确；故正确的个数为3个，故选：C．【点睛】此题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质．注意证得△ABE是等边三角形是解题关键．8．如图，在ABC ∆中，AB AC =，分别是以点A ，点B 为圆心，以大于12AB 长为半径画弧，两弧交点的连线交AC 于点D ，交AB 于点E ，连接BD ，若40A ∠=︒，则DBC ∠=（ ）A ．40︒B ．30︒C ．20︒D ．10︒【答案】B【解析】【分析】 根据题意，DE 是AB 的垂直平分线，则AD=BD ，40ABD A ==︒∠∠，又AB=AC ，则∠ABC=70°，即可求出DBC ∠.【详解】解：根据题意可知，DE 是线段AB 的垂直平分线，∴AD=BD ，∴40ABD A ==︒∠∠，∵AB AC =，∴1(18040)702ABC ∠=⨯︒-︒=︒， ∴704030DBC ∠=︒-︒=︒；故选：B.【点睛】 本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，以及三角形的内角和，解题的关键是熟练掌握所学的性质，正确求出DBC ∠的度数.9．如图，已知OP 平分∠AOB ，∠AOB ＝60°，CP ＝2，CP ∥OA ，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E ．如果点M 是OP 的中点，则DM 的长是( )A．2 B．2C．3D．23【答案】C【解析】【分析】由OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，易得△OCP是等腰三角形，∠COP=30°，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得PE的值，继而求得OP的长，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得DM的长．【详解】解：∵OP平分∠AOB，∠AOB=60°，∴∠AOP=∠COP=30°，∵CP∥OA，∴∠AOP=∠CPO，∴∠COP=∠CPO，∴OC=CP=2，∵∠PCE=∠AOB=60°，PE⊥OB，∴∠CPE=30°，∴CE=12CP=1，∴PE=22CP CE3-=，∴OP=2PE=23，∵PD⊥OA，点M是OP的中点，∴DM=12OP=3．故选C．考点：角平分线的性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（0，3），以点A为圆心，AB 长为半径画弧，交x轴的正半轴于点C，则点C的横坐标介于（）A．0和1之间B．1和2之间C．2和3之间D．3和4之间【答案】B【解析】【分析】先根据点A，B的坐标求出OA，OB的长度，再根据勾股定理求出AB的长，即可得出OC 的长，再比较无理数的大小确定点C的横坐标介于哪个区间．【详解】∵点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（0，3），∴OA＝2，OB＝3，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝22=2+313∴AC＝AB＝13，∴OC＝13﹣2，∴点C的坐标为（13﹣2，0），<<，∵3134<-<，∴11322即点C的横坐标介于1和2之间，故选：B．【点睛】本题考查了弧与x轴的交点问题，掌握勾股定理、无理数大小比较的方法是解题的关键．11．如图，△ABC≌△A E D，∠C=40°，∠E AC=30°，∠B=30°，则∠E AD=（）；A．30°B．70°C．40°D．110°【答案】D【解析】【分析】【详解】∵△ABC≌△AED，∴∠D=∠C=40°，∠C=∠B=30°，∴∠E AD=180°－∠D－∠E＝110°，故选D.12．如图，在△ABC中，点D为BC的中点，连接AD，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，下列说法错误的是（）A ．△ABD ≌△ECDB ．连接BE ，四边形ABEC 为平行四边形 C ．DA ＝DED ．CE ＝CD【答案】D【解析】【分析】 根据平行线的性质得出∠B=∠DCE ，∠BAD=∠E ，然后根据AAS 证得△ABD ≌△ECD ，得出AD=DE ，根据对角线互相平分得到四边形ABEC 为平行四边形，CE=AB ，即可解答．【详解】∵CE ∥AB ，∴∠B=∠DCE ，∠BAD=∠E ，在△ABD 和△ECD 中，===B DCE BAD E BD CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ABD ≌△ECD （AAS ），∴DA=DE ，AB=CE ，∵AD=DE ，BD=CD ，∴四边形ABEC 为平行四边形，故选：D ．【点睛】此题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质以及平行四边形的性判定，解题的关键是证明△ABD ≌△ECD ．13．如图，在ABC ∆，90C =o ∠，以A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以M ，N，为圆心，大于12MN 长为半径画弧，两弧交于点O ，作弧线AO ，交BC 于点E ．已知3CE =，5BE =，则AC 的长为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】C【解析】【分析】直接利用基本作图方法得出AE 是∠CAB 的平分线，进而结合全等三角形的判定与性质得出AC=AD ，再利用勾股定理得出AC 的长．【详解】过点E 作ED ⊥AB 于点D ，由作图方法可得出AE 是∠CAB 的平分线，∵EC ⊥AC ，ED ⊥AB ，∴EC=ED=3，在Rt △ACE 和Rt △ADE 中，AE AE EC ED ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △ACE ≌Rt △ADE （HL ），∴AC=AD ，∵在Rt △EDB 中，DE=3，BE=5，∴BD=4，设AC=x ，则AB=4+x ，故在Rt △ACB 中，AC 2+BC 2=AB 2，即x 2+82=（x+4）2，解得：x=6，即AC 的长为：6．故答案为：C ．【点睛】此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确得出BD 的长是解题关键．14．如图，ABC V 中，5AB AC ==，AE 平分BAC ∠交BC 于点E ，点D 为AB 的中点，连接DE ，则DE 的长为（ ）A ．2B ．2.5C ．3D 5【答案】B【解析】【分析】 根据等腰三角形三线合一可得AE ⊥BC ，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可求得DE 的长度．【详解】解：∵5AB AC ==，AE 平分BAC ∠，∴AE ⊥BC ，又∵点D 为AB 的中点， ∴1 2.52DE AB ==， 故选：B ．【点睛】 本题考查等腰三角形三线合一和直角三角形斜边上的中线．熟练掌握相关定理，并能正确识图，得出线段之间的关系是解题关键．15．如图，经过直线AB 外一点C 作这条直线的垂线，作法如下：（1）任意取一点K ，使点K 和点C 在AB 的两旁．（2）以点C 为圆心，CK 长为半径作弧，交AB 于点D 和E ．（3）分别以点D 和点E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧相交于点F ． （4）作直线CF ．则直线CF 就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定．．．是等腰三角形的为（ ）A．△CDF B．△CDK C．△CDE D．△DEF 【答案】A【解析】【分析】根据作图过程和等腰三角形的定义进行分析即可.【详解】由作图过程可得：CD=CD,DF=EF,CD=CK所以，是等腰三角形的有△CDK，△CDE，△DEF；△CDF不一定是等腰三角形.故选：A【点睛】考核知识点：等腰三角形.理解等腰三角形的定义是关键.16．如图，已知AE=AD，AB=AC，EC=DB，下列结论：①∠C=∠B；②∠D=∠E；③∠EAD=∠BAC；④∠B=∠E；其中错误的是() A．①②B．②③C．③④D．只有④【答案】D【解析】【分析】【详解】解：因为AE＝AD，AB＝AC，EC＝DB；所以△ABD≌△ACE(SSS)；所以∠C＝∠B，∠D＝∠E，∠EAC=∠DAB；所以∠EAC-∠DAC=∠DAB-∠DAC；得∠EAD=∠CAB．所以错误的结论是④，故选D．【点睛】此题考查了全等三角形的判定方法，根据已知条件利用SSS证明两个三角形全等，还考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，全等三角形的对应边相等．17．王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（）．A．0根B．1根C．2根D．3根【答案】B【解析】三角形具有稳定性，连接一条对角线，即可得到两个三角形，故选B18．如图,已知AC=FE,BC=DE,点A,D,B,F在一条直线上,要利用“SSS”证明△ABC≌△FDE,还可以添加的一个条件是()A．AD=FB B．DE=BD C．BF=DB D．以上都不对【答案】A【解析】∵AC=FE，BC=DE，∴要利用“SSS”证明△ABC≌△FDE，需添加条件“AB=DF”或“AD=BF”.故选A.19．满足下列条件的两个三角形不一定全等的是()A．有一边相等的两个等边三角形B．有一腰和底边对应相等的两个等腰三角形C．周长相等的两个三角形D．斜边和一条直角边对应相等的两个等腰直角三角形【答案】C【解析】A.根据全等三角形的判定，可知有一边相等的两个等边三角形全等，故选项A不符合；B.根据全等三角形的判定，可知有一腰和底边对应相等的两个等腰三角形全等，故选项B 不符合；C.根据全等三角形的判定，可知周长相等的两个三角形不一定全等，故选项C符合；D.根据全等三角形的判定，可知斜边和直角边对应相等的两个等腰直角三角形全等，故选项B 不符合.故本题应选C.20．如图，D 、E 分别是ABC V 边AB 、BC 上的点，2AD BD =，点E 为BC 中点，设ADF V 的面积为1S ，CEF △的面积为2S ，若ABC S =V 9，则12S S -=（ ）A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】C【解析】【分析】根据12S S -=ABE BCD S S -V V ,根据三角形中线的性质及面积求解方法得到ABE S V ，BCD S △，故可求解．【详解】∵点E 为BC 中点∴ABE S V =12ABC S =V 4.5 ∵2AD BD = ∴BCD S △=13ABC S =V 3 ∵ABE BCD S S -V V =()()ADF CEF BEFD BEFD S S S S +-+V V 四边形四边形=ADF CEF S S -V V ∴12S S -=4.5-3=32故选C ．【点睛】此题主要考查三角形的面积求解，解题的关键是熟知中线的性质．。
八年级数学上册第十一章《三角形》小专题(一)三角形三边关系的巧用试题(新版)新人教版
小专题(一)三角形三边关系的巧用“三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边”是常考的重要知识点之一.解题时注意方程思想和分类讨论思想的应用,注意根据题意列方程(组)或不等式(组)进行求解,解题时容易忽视检验所得的三角形是否存在,巧用三角形的三边关系往往能化难为易,起到事半功倍的解题效果.类型1判断三条线段能否组成三角形1.判断下列所给的三条线段能否围成三角形?(1)5,5,a(0<a<10);(2)a+1,a+2,a+3;(3)三条线段的长度之比为2∶3∶5.解:(1)∵0<a<10,∴5+5>a,因而能构成三角形.(2)当a=0时,a+1+a+2=2a+3=3,因而不能组成三角形.(3)∵三条线段之比为2∶3∶5,∴设三条线段为2k,3k,5k,∵2k+3k=5k,因而不能组成三角形.类型2确定三角形的个数2.以长度为5 cm,7 cm,9 cm,13 cm的线段中的三条为边,能组成三角形的情况有(B)A.2种B.3种C.4种D.5种3.边长为整数并且最大边长是5的三角形共有9个.4.现有长为7 cm,3 cm的木棒各一根,另有一堆长短不等的木棒若干,请在这堆木棒里选取长为偶数且能与原两根木棒钉成三角形的木棒,则符合条件的木棒有几种?解:设符合条件的木棒的长为x cm,则4<x<10,又x为偶数,则x可取6和8,故符合条件的木棒有两种.类型3确定第三边或字母的取值范围5.若三角形三条边长分别是3,1-2a,8,则a的取值范围是(B)A.a>-5B.-5<a<-2C.-5≤a≤-2D.a>-2或a<-56.一个三角形有两边长为2和5,则第三边长x的取值范围是3<x<7.若它的周长是偶数,则第三边的长为5.类型4确定等腰三角形的边长7.已知有两边相等的三角形的两边长分别为6 cm,4 cm,则该三角形的周长是16 cm或14 cm.8.在△ABC中,AB=AC,边AC上的中线BD把三角形的周长分为10 cm和18 cm两部分,求△ABC 各边的长.解:设等腰三角形的腰长AB=AC=2x cm,BC=y cm,∵BD是腰上的中线,∴AD=DC=x cm.若AB+AD=10 cm,则解得此时组不成三角形,应舍去.若AB+AD=18 cm,则解得∴AB=AC=12 cm,BC=4 cm,即△ABC各边的长分别为12 cm,12 cm和4 cm.类型5在代数中的应用9.已知等腰△ABC的周长为10,求腰长x的取值范围.解:设腰长为x,则底边长为10-2x,依题意得解得<x<5.故腰长的取值范围为<x<5.10.已知a,b,c是△ABC的三边,a,b满足|a-4|+(b-2)2=0,c为奇数,求△ABC的周长.解:∵|a-4|+(b-2)2=0,∴a-4=0且b-2=0,∴a=4,b=2,∴2<c<6.∵c为奇数,∴c=3或5,∴△ABC的周长为4+2+3=9或4+2+5=11.11.已知a,b,c为△ABC的三边长,化简|a+b+c|-|a-b-c|-|a-b+c|-|a+b-c|.解:∵a,b,c是△ABC的三边长,∴a+b+c>0,a-b-c<0,a-b+c>0,a+b-c>0,∴|a+b+c|-|a-b-c|-|a-b+c|-|a+b-c|=(a+b+c)-[-(a-b-c)]-(a-b+c)-(a+b-c)=a+b+c+a-b-c-a+b-c-a-b+c=0.类型6证明线段之间的不等关系12.如图,点P是△ABC内任意一点.试说明:PB+PC<AB+AC.证明:延长BP交AC于点D,在△ABD中,PB+PD<AB+AD,①在△PCD中,PC<PD+CD,②①+②得PB+PD+PC<AB+AD+PD+CD,即PB+PC<AB+AC.13.如图,P为△ABC中任意一点.证明:AB+BC+CA>PA+PB+PC>(AB+BC+CA).证明:延长BP交AC于点D,∵在△ABD中,AB+AD>PB+PD,在△DPC中,DP+DC>PC,∴AB+AD+DP+DC>PB+PD+PC,∴AB+CA>PB+PC.同理AC+BC>PA+PB,AB+BC>PA+PC,∴2AB+2AC+2BC>2PA+2PB+2PC,即AB+BC+CA>PA+PB+PC.又∵PA+PB>AB,PB+PC>BC,PC+PA>CA,∴2(PA+PB+PC)>AB+BC+CA,∴PA+PB+PC>(AB+BC+CA),∴AB+BC+CA>PA+PB+PC>(AB+BC+CA).。
人教版七年级下数学三角形知识点归纳、典型例题及考点分析
BC三角形知识点归纳、典型练习题及考点分析一、三角形相关概念 1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形 要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2．三角形的表示通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A 、B 、C 表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC ，其中线段AB 、BC 、AC 是三角形的三条边，∠A 、∠B 、∠C 分别表示三角形的三个内角．3．三角形中的三种重要线段三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段．（1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注意：①三角形的角平分线是一条线段，可以度量，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．②三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部．③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画．（2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线． 注意：①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点．②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可．（3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高．注意：①三角形的三条高是线段②画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．练习题：1、图中共有（ A ：5 B ：6 C ：7 D ：82、如图，AE ⊥BC ，BF ⊥AC ，CD ⊥AB ，则△ABC 中AC 边上的高是（ ） A ：AE B ：CD C ：BF D ：AF 3、三角形一边上的高（ ）。
A ：必在三角形内部B ：必在三角形的边上C ：必在三角形外部D ：以上三种情况都有可能 4、能将三角形的面积分成相等的两部分的是（ ）。
人教版八年级数学上册第11章《三角形》全章复习与巩固—知识讲解(提高)含习题答案
1.三角形内角和定理：三角形的内角和为 180°． 推论：1.直角三角形的两个锐角互余 2.有两个角互余的三角形是直角三角形
2.三角形外角性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于 360°.
举一反三：
【变式】已知 a、b、c 是三角形三边长，试化简：|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|﹣|a-b+c|．
【答案】解：∵a、b、c 是三角形三边长，
∴b+c-a＞0，b-c-a＜0，c-a-b＜0，a-b+c＞0，
∴|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|-|a-b+c|，
=b+c-a-b+c+a-c+a+b-a+b-c =2b． 2.如图，O 是△ABC 内一点，连接 OB 和 OC．
类型三、与三角形有关的角
4.已知△ABC 中，AE 平分∠BAC （1）如图 1，若 AD⊥BC 于点 D，∠B=72°，∠C=36°，求∠DAE 的度数； （2）如图 2，P 为 AE 上一个动点（P 不与 A、E 重合，PF⊥BC 于点 F，若∠B＞∠C，则
∠EPF=
是否成立，并说明理由．
【思路点拨】 （1）利用三角形内角和定理和已知条件直接计算即可； （2）成立，首先求出∠1 的度数，进而得到∠3 的度数，再根据∠EPF=180°﹣∠2﹣∠3 计 算即可． 【答案与解析】 证明：（1）如图 1，∵∠B=72°，∠C=36°，
解：如图(1)，设 AB＝x，AD＝CD＝ 1 x ． 2
人教版初中数学三角形技巧及练习题附解析
A．20°B．30°C．45°D．60°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据内角和定理求得∠BAC=60°，由中垂线性质知DA=DB，即∠DAB=∠B=30°，从而得出答案．
【点睛】
本题考查角平分线的作图原理和平行四边形的性质．
10．如图，在 中， ，将 沿直线 翻折，点 落在点 的位置，则 的度数是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由折叠的性质得到∠D=∠B，再利用外角性质即可求出所求角的度数．
【详解】
解：如图，由折叠的性质得：∠D=∠B=33°，
根据外角性质得：∠1=∠3+∠B，∠3=∠2+∠D，
A．BP是∠ABC的平分线B．AD=BDC． D．CD= BD
【答案】C
【解析】
【分析】
A、由作法得BD是∠ABC的平分线，即可判定；
B、先根据三角形内角和定理求出∠ABC的度数，再由BP是∠ABC的平分线得出∠ABD＝30°＝∠A,即可判定；
C，D、根据含30°的直角三角形，30°所对直角边等于斜边的一半，即可判定.
2．如图，在矩形 中， 将其折叠使 落在对角线 上，得到折痕 那么 的长度为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由勾股定理求出AC的长度，由折叠的性质，AF=AB=3，则CF=2，设BE=EF=x，则CE= ，利用勾股定理，即可求出x的值，得到BE的长度．
【详解】
解：在矩形 中， ，
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人教版初中数学三角形技巧及练习题一、选择题1．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，DC=1，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】试题解析：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于P，连接CP．此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小．∵DC=1，BC=4，∴BD=3，连接BC′，由对称性可知∠C′BE=∠CBE=45°，∴∠CBC′=90°，∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45°，∴BC=BC′=4，根据勾股定理可得DC′=22+=22BC BD'+=5．故选B．342．长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，的值可以是（）A．4B．5C．6D．9【答案】C【解析】【分析】根据三角形的三边关系可判断x的取值范围，进而可得答案.【详解】解：由三角形三边关系定理得7－2＜x＜7+2，即5＜x＜9．因此，本题的第三边应满足5＜x＜9，把各项代入不等式符合的即为答案．4，5，9都不符合不等式5＜x＜9，只有6符合不等式，故选C．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，属于基础题型，掌握三角形的三边关系是解题的关键.3．如图，在▱ABCD中，E为边AD上的一点，将△DEC沿CE折叠至△D′EC处，若∠B＝48°，∠ECD＝25°，则∠D′EA的度数为（）A．33°B．34°C．35°D．36°【答案】B【解析】【分析】由平行四边形的性质可得∠D＝∠B，由折叠的性质可得∠D'＝∠D，根据三角形的内角和定理可得∠DEC，即为∠D'EC，而∠AEC易求，进而可得∠D'EA的度数．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠B＝48°，由折叠的性质得：∠D'＝∠D＝48°，∠D'EC＝∠DEC＝180°﹣∠D﹣∠ECD＝107°，∴∠AEC=180°﹣∠DEC=180°﹣107°＝73°，∴∠D'EA＝∠D'EC﹣∠AEC＝107°﹣73°=34°.故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的内角和定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题关键．4．把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=45°，则∠2的度数为（）A．115°B．120°C．145°D．135°【答案】D【解析】【分析】由三角形的内角和等于180°，即可求得∠3的度数，又由邻补角定义，求得∠4的度数，然后由两直线平行，同位角相等，即可求得∠2的度数．【详解】在Rt△ABC中，∠A=90°，∵∠1=45°（已知），∴∠3=90°-∠1=45°（三角形的内角和定理），∴∠4=180°-∠3=135°（平角定义），∵EF∥MN（已知），∴∠2=∠4=135°（两直线平行，同位角相等）．故选D．【点睛】此题考查了三角形的内角和定理与平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等与数形结合思想的应用．5．如图，在菱形ABCD中，AB＝10，两条对角线相交于点O，若OB＝6，则菱形面积是（）A．60 B．48 C．24 D．96【答案】D【解析】【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝6，由勾股定理可求AO的长，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝6，∴AO22100368AB OB-=-=，∴AC＝16，BD＝12，∴菱形面积＝12162⨯＝96，故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对角线互相垂直平分是本题的关键．6．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】 欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】A 、72+242=252，152+202≠242，(7+15)2+202≠252，故A 不正确；B 、72+242=252，152+202≠242，故B 不正确；C 、72+242=252，152+202=252，故C 正确；D 、72+202≠252，242+152≠252，故D 不正确，故选C ．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．勾股定理的逆定理：若三角形三边满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形．7．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC 的顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，90ABC ∠=︒，CA x ⊥轴，点C 在函数()0k y x x=>的图象上，若1AB =，则k 的值为（ ）A ．1B ．22C 2D ．2【答案】A【解析】【分析】根据题意可以求得 OA 和 AC 的长，从而可以求得点 C 的坐标，进而求得 k 的值，本题得以解决．【详解】Q 等腰直角三角形ABC 的顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，90ABC ∠=︒，CA ⊥x 轴，1AB =，45BAC BAO ︒∴∠=∠=， 2OA OB ∴==，2AC =， ∴点C 的坐标为2,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝，Q 点C 在函数()0k y x x=>的图象上， 221k ∴=⨯=， 故选：A ．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．8．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=30°，E 为BC 延长线上一点，∠ABC 与∠ACE 的平分线相交于点D ，则∠D 的度数为（ ）A ．15°B ．17.5°C ．20°D ．22.5°【答案】A【解析】【分析】 先根据角平分线的定义得到∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据三角形外角性质得∠1＋∠2＝∠3＋∠4＋∠A ，∠1＝∠3＋∠D ，则2∠1＝2∠3＋∠A ，利用等式的性质得到∠D ＝12∠A ，然后把∠A 的度数代入计算即可．【详解】解答：解：∵∠ABC 的平分线与∠ACE 的平分线交于点D ，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠ACE＝∠A＋∠ABC，即∠1＋∠2＝∠3＋∠4＋∠A，∴2∠1＝2∠3＋∠A，∵∠1＝∠3＋∠D，∴∠D＝12∠A＝12×30°＝15°．故选A．【点睛】点评：本题考查了三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和是180°和三角形外角性质进行分析．9．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB＝60°，CP＝2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB 于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是()A．2 B2C3D．3【答案】C【解析】【分析】由OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，易得△OCP是等腰三角形，∠COP=30°，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得PE的值，继而求得OP的长，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得DM的长．【详解】解：∵OP平分∠AOB，∠AOB=60°，∴∠AOP=∠COP=30°，∵CP∥OA，∴∠AOP=∠CPO，∴OC=CP=2，∵∠PCE=∠AOB=60°，PE⊥OB，∴∠CPE=30°，∴CE=12CP=1，∴PE=22CP CE3-=，∴OP=2PE=23，∵PD⊥OA，点M是OP的中点，∴DM=12OP=3．故选C．考点：角平分线的性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．10．如图所示，将含有30°角的三角板(∠A=30°)的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1=38°，则∠2的度数（）A．28°B．22°C．32°D．38°【答案】B【解析】【分析】延长AB交CF于E，求出∠ABC，根据三角形外角性质求出∠AEC，根据平行线性质得出∠2=∠AEC，代入求出即可．【详解】解：如图，延长AB交CF于E，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∠ABC=60°，∵∠1=38°，∴∠AEC=∠ABC-∠1=22°，∵GH∥EF，故选B ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角性质，平行线性质的应用，主要考查学生的推理能力．11．如图，在ABC V 中，分别以点A 和点B 为圆心，以相同的长(大于12AB )为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接CD ．已知CDE △的面积比CDB △的面积小4，则ADE V 的面积为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A【解析】【分析】 由作图步骤可知直线MN 为线段AB 的垂直平分线，根据三角形中线的性质可得S △CDA =S △CDB ，根据△CDE 的面积比△CDB 的面积小4即可得答案．【详解】由作图步骤可知直线MN 为线段AB 的垂直平分线，∴CD 为AB 边中线，∴S △CDA =S △CDB ，∵△CDE 的面积比△CDB 的面积小4，∴S △ADE =S △CDA -S △CDE =S △CDB -S △CDE =4．故选：A ．【点睛】本题考查尺规作图——垂直平分线的画法及三角形中线的性质，三角形的中线，把三角形分成两个面积相等的三角形；熟练掌握三角形中线的性质是解题关键．12．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （﹣2，0），B （0，3），以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，交x 轴的正半轴于点C ，则点C 的横坐标介于（ ）A ．0和1之间B ．1和2之间C ．2和3之间D ．3和4之间【答案】B【解析】【分析】 先根据点A ，B 的坐标求出OA ，OB 的长度，再根据勾股定理求出AB 的长，即可得出OC 的长，再比较无理数的大小确定点C 的横坐标介于哪个区间．【详解】∵点A ，B 的坐标分别为（﹣2，0），（0，3），∴OA ＝2，OB ＝3，在Rt △AOB 中，由勾股定理得：AB ＝222+313= ∴AC ＝AB ＝13 ，∴OC ＝13﹣2，∴点C 的坐标为（13﹣2，0），∵3134<< ，∴11322<-< ，即点C 的横坐标介于1和2之间，故选：B ．【点睛】本题考查了弧与x 轴的交点问题，掌握勾股定理、无理数大小比较的方法是解题的关键．13．如图,在ABC ∆中,90C ∠=︒,2AC =,点D 在BC 上,5AD =,ADC 2B ∠=∠,则BC 的长为（ ）A 51B 51C 31D 31【答案】B【解析】【分析】根据ADC 2B ∠=∠，可得∠B=∠DAB ，即5BD AD ==，在Rt △ADC中根据勾股定理可得DC=1，则BC=BD+DC=51+.【详解】解：∵∠ADC 为三角形ABD 外角∴∠ADC=∠B+∠DAB∵ADC 2B ∠=∠∴∠B=∠DAB∴5BD AD ==在Rt △ADC 中，由勾股定理得：22DC 541AD AC =-=-=∴BC=BD+DC=51+故选B【点睛】 本题考查勾股定理的应用以及等角对等边，关键抓住ADC 2B ∠=∠这个特殊条件.14．在直角三角形中，自锐角顶点引的两条中线为10和35，则这个直角三角形的斜边长是( )A ．3B ．23C ．25D ．6【答案】D【解析】【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理解答即可．【详解】设AC =b ，BC =a ，分别在直角△ACE 与直角△BCD 中，根据勾股定理得到：2222 10235,2a b b a ⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩两式相加得：2236a b +=，根据勾股定理得到斜边36 6.==故选:D.【点睛】考查勾股定理，画出图形，根据勾股定理列出方程是解题的关键.15．如图，ABC V 中，5AB AC ==，AE 平分BAC ∠交BC 于点E ，点D 为AB 的中点，连接DE ，则DE 的长为（ ）A ．2B ．2.5C ．3D 5【答案】B【解析】【分析】 根据等腰三角形三线合一可得AE ⊥BC ，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可求得DE 的长度．【详解】解：∵5AB AC ==，AE 平分BAC ∠，∴AE ⊥BC ，又∵点D 为AB 的中点， ∴1 2.52DE AB ==， 故选：B ．【点睛】 本题考查等腰三角形三线合一和直角三角形斜边上的中线．熟练掌握相关定理，并能正确识图，得出线段之间的关系是解题关键．16．如图,已知AC=FE,BC=DE,点A,D,B,F 在一条直线上,要利用“SSS”证明△ABC ≌△FDE,还可以添加的一个条件是( )A．AD=FB B．DE=BD C．BF=DB D．以上都不对【答案】A【解析】∵AC=FE，BC=DE，∴要利用“SSS”证明△ABC≌△FDE，需添加条件“AB=DF”或“AD=BF”.故选A.17．一个等腰三角形的顶角为钝角，则底角a的范围是（）A．0°<a<9 B．30°<a<90° C．0°<a<45° D．45°<a<90°【答案】C【解析】：∵等腰三角形顶角为钝角∴顶角大于90°小于180°∴两个底角之和大于0°小于90°∴每个底角大于0°小于45°故选：C18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A的度数为( )A．30°B．45°C．36°D．72°【答案】A【解析】∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD，又∵∠BDC=∠A+∠ABD，∴∠BDC=∠C=∠ABC=2∠A，∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴∠A+2∠A+2∠A=180°，即5∠A=180°，∴∠A=36°.故选A.19．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD ，AB=CB ，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC ⊥BD ；②AO=CO=12AC ；③△ABD ≌△CBD ， 其中正确的结论有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】D【解析】 试题解析：在△ABD 与△CBD 中，{AD CDAB BC DB DB===，∴△ABD ≌△CBD （SSS ），故③正确；∴∠ADB=∠CDB ，在△AOD 与△COD 中，{AD CDADB CDB OD OD=∠=∠=，∴△AOD ≌△COD （SAS ），∴∠AOD=∠COD=90°，AO=OC ，∴AC ⊥DB ，故①②③正确；故选D ．考点：全等三角形的判定与性质．20．如图，在ABC V 中，90C ∠=︒，60CAB ∠=︒，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，以大于12AB的长为半径画弧，两弧分别相交于点P和Q．②作直线PQ交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若4CE ，则AE的值为（）A．6B．2C．43D．8【答案】D【解析】【分析】根据垂直平分线的作法得出PQ是AB的垂直平分线，进而得出∠EAB＝∠CAE＝30°，即可得出AE的长．【详解】由题意可得出：PQ是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝60°，∴∠CBA＝30°，∴∠EAB＝∠CAE＝30°，∴CE＝12AE＝4，∴AE＝8．故选D．【点睛】此题主要考查了垂直平分线的性质以及直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半，根据已知得出∠EAB＝∠CAE＝30°是解题关键．。