【2019秋人教必修2】第六章平面向量及其应用章末复习课

章末复习课[网络构建]1[核心归纳]1.五种常见的向量(1)单位向量：模为1的向量.(2)零向量：模为0的向量.(3)平行(共线)向量：方向相同或相反的非零向量.(4)相等向量：模相等，方向相同的向量.(5)相反向量：模相等，方向相反的向量.2.两个重要定理(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底.3.两个非零向量平行、垂直的等价条件若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则：(1)a∥b⇔a＝λb(λ≠0)⇔x1y2－x2y1＝0，23(2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.4.平面向量的三个性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2.(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB→|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.5.向量的投影向量a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝a ·b |b |，其中θ为a 与b 的夹角.6.向量的运算律(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ，a ·b ＝b ·a .(2)结合律：a ＋b ＋c ＝(a ＋b )＋c ，a －b －c ＝a －(b ＋c )，(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb ). (3)分配律：(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ，λ(a ＋b )＝λa ＋λb ，(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c . (4)重要公式：(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2，(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2.7.正弦定理与余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asin A＝bsin B＝csin C＝2Ra2＝b2＋c2－2bc cos Ab2＝c2＋a2－2ac cos B；c2＝a2＋b2－2ab cos C；变形公式①a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sinC；②sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R；③a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；④a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝asin Acos A＝b2＋c2－a22bc；cos B＝a2＋c2－b22ca；cos C＝a2＋b2－c22ab要点一平面向量的线性运算及应用向量线性运算的基本原则和求解策略45(1)基本原则：向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算.向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面.(2)求解策略：①向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧.②字符表示下线性运算的常用技巧：首尾相接用加法的三角形法则，如AB →＋BC →＝AC →；共起点两个向量作差用减法的几何意义，如OB→－OA →＝AB →.【例1】 若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为( )A.165B.125C.85D.456解析 因为CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，所以CD →＝45CB →＝45(AB →－AC →)＝rAB→＋sAC →，所以r ＝45，s ＝－45，所以3r ＋s ＝125－45＝85.答案 C【训练1】 如图所示，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC →＝λAM →＋μBD →，则λ＋μ等于( )A.43B.53C.158D.2解析 因为AC→＝λAM →＋μBD →，＝λ(AB→＋BM →)＋μ(BA →＋AD →) ＝λ⎝⎛⎭⎪⎪⎫AB →＋12AD →＋μ(－AB→＋AD →)7＝(λ－μ)AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫λ2＋μAD →，且AC →＝AB →＋AD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝1，12λ＋μ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53，故选B.答案 B要点二 向量的数量积数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题：(1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0， a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (2)求向量的夹角和模的问题①设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21.②两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π)cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.【例2】已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且|k a＋b|＝3|a－k b|(k>0).(1)用k表示数量积a·b；(2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角θ的大小.解(1)由|k a＋b|＝3|a－k b|，得(k a＋b)2＝3(a－k b)2，∴k2a2＋2k a·b＋b2＝3a2－6k a·b＋3k2b2.∴(k2－3)a2＋8k a·b＋(1－3k2)b2＝0.∵|a|＝cos2α＋sin2α＝1，|b|＝cos2β＋sin2β＝1，∴k2－3＋8k a·b＋1－3k2＝0，∴a·b＝2k2＋28k＝k2＋14k(k>0).(2)a·b＝k2＋14k＝14⎝⎛⎭⎪⎪⎫k＋1k.89由对勾函数的单调性可知，f (k )＝14⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k ＋1k 在(0，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，∴当k ＝1时，f (k )min ＝f (1)＝14×(1＋1)＝12，此时a 与b 的夹角θ的余弦值cos θ＝a ·b |a ||b |＝12，又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.【训练2】 已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF→·BC →的值为( )A.－58B.18C.14D.118解析 ∵BC→＝AC →－AB →，AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋32DE →＝12AB →＋34AC →， ∴BC →·AF →＝(AC →－AB →)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12AB →＋34AC →＝34AC →2－12AB →2－14AC →·AB →＝34×1×1－12×1×1－14×1×1×co s 60°＝18.答案 B要点三平面向量在几何中的应用把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题.这样的解题方法具有普遍性.【例3】如图，半径为3的扇形AOB的圆心角为120°，点C在AB︵上，且∠COB ＝30°，若OC→＝λOA→＋μOB→，则λ＋μ等于( )A. 3B.33C.433D.2 3解析由题意，得∠AOC＝90°，故以O为坐标原点，OC，OA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，1011则O (0，0)，A (0，3)，C (3，0)，B (3cos 30°，－3sin 30°)， 因为OC→＝λOA →＋μOB →， 所以(3，0)＝λ(0，3)＋μ⎝⎛⎭⎪⎪⎫3×32，－3×12， 即⎩⎪⎨⎪⎧3＝μ×3×32，0＝3λ－3×12μ，则⎩⎪⎨⎪⎧μ＝233，λ＝33，所以λ＋μ＝3.答案 A【训练3】 在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为AB 的中点，E 为△ACD 的重心，F 为△ABC 的外心，证明：EF ⊥CD .证明 建立如图所示的平面直角坐标系.设A (0，b )，B (－a ，0)，C (a ，0)，12则D ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－a 2，b 2，CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32a ，b 2.易知△ABC 的外心F 在y 轴上，可设为(0，y ).由|AF→|＝|CF →|，得(y －b )2＝(－a )2＋y 2，所以y ＝b 2－a 22b ，即F ⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，b 2－a 22b . 由重心坐标公式，得E ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 6，b 2，所以EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－a 6，－a 22b .所以CD →·EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32a ×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－a 6＋b 2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－a 22b ＝0， 所以CD→⊥EF →，即EF ⊥CD .要点四 利用余弦、正弦定理解三角形1.已知三角形的任意两个角和一边，可结合三角形内角和定理及正弦定理解此三角形.2.已知三角形的两边和其中一边的对角，这个三角形解的情况是不确定的.如已知△ABC 的边长a ，b 和角A ，根据正弦定理求角B 时，可能出现一解、两解、无13解的情况，这时应借助已知条件进行检验，务必做到不漏解、不多解.【例4】 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cosB .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值.解 (1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理a sin A ＝bsin B，得sin B ＝3cos B ，所以tan B ＝3，又0<B <π，所以B ＝π3.(2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C，得c ＝2a . 由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得9＝a 2＋c 2－ac .所以a ＝3，c ＝2 3.【训练4】 已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对应的边分别是a ，b ，c ，且C ＝2A ，a ＋c ＝10，cos A ＝34，求b 的值.14解 在△ABC 中，由正弦定理得，c a ＝sin C sin A ＝sin 2A sin A＝2cos A ＝32，∴3a ＝2c .又a ＋c ＝10，所以a ＝4，c ＝6.由余弦定理的推论得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝34， 代入数据化简得：b 2－9b ＋20＝0， ∴b ＝4或b ＝5.若b ＝4，而在△ABC 中，a ＝4，∴△ABC 为等腰三角形，且A ＝B ，又C ＝2A ，且A ＋B ＋C ＝180°，∴A ＝B ＝45°，C ＝90°，△ABC 为等腰直角三角形，由勾股定理得c ＝42，这与已求出的c ＝6相矛盾，故要舍去.经检验b ＝5满足题意.要点五 余弦、正弦定理在实际问题中的应用正、余弦定理在实际生活中，有着非常广泛的应用，常见的问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面.解决这类问题，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求解.注意隐含条件和最后将结果还原为实际问题进行检验.【例5】如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3) n mile的两个观测点.现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20 3 n mile的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 n mile/h，该救援船到达D点需要多长时间？解由题意知AB＝5(3＋3) n mile，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，在△DAB中，由正弦定理得DBsin ∠DAB＝ABsin ∠ADB，∴DB＝AB·sin ∠DABsin ∠ADB＝5（3＋3）·sin 45°sin 105°＝5（3＋3）·sin 45°sin 45°cos 60°＋cos 45°·sin 60°＝53（3＋1）3＋12＝103(n mile)，1516又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝203(n mile)， 在△DBC 中，由余弦定理得CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC＝300＋1 200－2×103×203×12＝900， ∴CD ＝30(n mile).则需要的时间t ＝3030＝1(h).答：救援船到达D 点需要1 h.【训练5】 为了测量两山顶M ，N 间的距离，飞机沿水平方向在A ，B 两点进行测量.A ，B ，M ，N 在同一个铅垂平面内(如图).飞机能够测量的数据有俯角和A ，B 间的距离.请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M ，N 间的距离的步骤.解 ①需要测量的数据有：A 观测M ，N 的俯角α1，β1，B 观测M ，N 的俯角α2，β2；A ，B间的距离d(如图所示).②法一第一步：计算AM.在△ABM中由正弦定理得AM＝d sin α2sin（α1＋α2）；第二步：计算AN.在△ABN中，由正弦定理得AN＝d sin β2sin（β2－β1）；第三步：计算MN.在△AMN中由余弦定理得MN＝AM2＋AN2－2AM×AN cos（α1－β1）. 法二第一步：计算BM.在△ABM中由正弦定理得BM＝d sin α1sin（α1＋α2）；第二步：计算BN.在△ABN中由正弦定理得BN＝d sin β1sin（β2－β1）；第三步：计算MN.在△BMN中由余弦定理得17MN＝BM2＋BN2＋2BM×BN cos（β2＋α2）.18。