函数列与函数项级数
函数列与函数项级数
法
2021/6/21
n=2y3=x.^6;y4=x.^100;
plot(x,y1,x,y2,x,y3,'b',x,y4,'r','linewidth',2)
2021/6/21
19
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
1 2.
0 ，
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7
所以该函数列是不一致收敛的。 例 函数列 {xn}在[0,1]上不一致收敛，但在 [0, ] , 1 上一致收敛。 先看看该函数列的图象
clf,x=0:1/100:1; y1=x.^4;y2=x.^10;y3=x.^50; plot(x,y1,x,y2,x,y3,'linewidth',2)
对定义在区间 I 上的函数列{ fn (x) }, x E ，设 x0 E ，若数列 { fn (x0 ) } 收 敛，则称函数列{ fn (x) }在点 x0 收敛， x0 称为函数列{ fn (x) }收敛点；若数列 { fn (x0 ) }发散，则称函数列{ fn (x) }在点 x0 发散。
clf,x=0:1/100:1; y1=8*x./(1+64*x.^2); y2=20*x./(1+400*x.^2); y3=50*x./(1+2500*x.^2); plot(x,y1,x,y2,x,y3,'linewidth',2) hold on plot([-0.1,1],[0,0],'b',[0,0],[-0.1,0.6],'b') axis([-0.1,1.2,-0.1,0.6]) legend('y1,n=8','y2,n=20','y3,n=50')
函数项级数和函数列的区别
函数项级数和函数列的区别函数项级数和函数列是数学中的两种重要概念，它们在数学分析和数值计算中有着广泛的应用。
虽然它们都涉及到无穷项的求和，但在定义和性质上有一些不同之处。
我们来看函数项级数。
函数项级数是指一系列函数按照一定的顺序进行求和的过程。
具体地说，给定一个函数项序列{an(x)}，其中an(x)表示第n个函数项，函数项级数可以写成S(x) = a1(x) + a2(x) + a3(x) + ...的形式。
在函数项级数中，每一项都是一个函数，而求和的结果也是一个函数。
函数项级数的求和可以通过逐项求和的方式进行，即对每个函数项分别求和，并将结果相加得到函数项级数的和。
函数项级数的收敛性和性质可以通过一系列定理进行研究和判断。
与函数项级数相比，函数列是一系列函数按照一定的顺序排列的序列。
给定一个函数列{fn(x)}，其中fn(x)表示第n个函数，我们可以将函数列写成f1(x), f2(x), f3(x), ...的形式。
函数列的性质和收敛性可以通过逐点收敛和一致收敛来刻画。
逐点收敛是指对于每个x值，函数列在该点处的极限存在，而一致收敛是指函数列在整个定义域上的极限存在且收敛速度足够快。
从定义上看，函数项级数和函数列有一些相似之处。
它们都是一系列函数按照一定的顺序排列的序列。
然而，它们的主要区别在于求和的方式和求和的结果。
函数项级数的求和结果是一个函数，而函数列的求和结果是一个极限值。
此外，函数项级数的求和是逐项进行的，而函数列的求和是对整个函数列进行的。
在应用上，函数项级数和函数列都有着重要的作用。
函数项级数在数学分析中常用于研究函数的性质和逼近问题，如泰勒级数和傅里叶级数。
函数列在数值计算中常用于逼近函数的值和求解方程，如插值方法和迭代法。
函数项级数和函数列是数学中的两个重要概念。
它们在定义和性质上有所不同，但在应用上具有相似之处。
函数项级数和函数列在数学分析和数值计算中有着广泛的应用，对于理解和研究函数的性质和逼近问题具有重要意义。
函数表示列数
函数表示列数函数表示列数 1函数表示列数 1函数列指的是 { S n ( x ) } \{S_n(x)\} {Sn(x)} 这样的序列，等价于数列，而函数项级数指的是将函数列 { u n ( x ) } \{u_n(x)\} {un(x)}进行累加得到的∑ u n ( x ) \sum u_n(x) ∑un(x) ，等价于数项级数。
虽然我们一般都有等式S n ( x ) = ∑ n u k ( x ) S_n(x)=\sum^n u_k(x) Sn(x)=∑nuk(x)，讨论收敛性，或者是收敛后的分析性质时，描述的东西本质上是一样的，但是在处理方法上大有区别。
比如说对于函数列的一致收敛，我们一般用β \beta β上界判别法，或者用柯西收敛原理。
对于函数项级数的一致收敛，我们一般用Dirichlet判别法或者Abel判别法或者柯西收敛原理进行判定，如果判定不了，还可以对函数项级数进行求和转化成函数列（这点尤为重要）。
所以区分函数列和函数项级数是很有必要的。
1.2 逐点收敛应该意识到最重要的事情：逐点收敛是数的收敛，一致收敛是函数的收敛。
但是即使这么说也要强调，收敛、绝对收敛、条件收敛描述的都是数项级数，也就是说描述的是逐点收敛，而不是一致收敛。
再详细的说，收敛就是逐点收敛，千万不能产生概念辨析上的困难。
要想学好这一章，最重要的就是区分这些概念的辖域。
在逐点收敛中，自变量x不再是一个自变量，而是数项级数中一个参量，就像 1 n p \frac{1}{n^p} np1 中的p一样。
对于逐点收敛的处理，其实就是对数项级数的处理，方法也是沿用数项级数的处理方法。
在逐项收敛中，有一个重要的概念就是和函数，对应的还有和函数的收敛域。
注意这两个概念都是逐点性质。
所谓的逐点，就是在一开始就给出了自变量x的值，比如求S n ( x ) = n α x e − n x S_n(x)=n^\alpha x e^{-nx} Sn(x)=nαxe−nx若要求 S ( x ) S(x) S(x) ，不能令 x = 1 n x=\frac{1}{n} x=n1 ，因为 x x x 在n之前取值，所以不能写作n的函数。
一致收敛函数列与函数项级数的性质
1 n 1
12n
2
(2n 2n2x)dx
而
1
lim
0 n
1
1 0dx
n
fn (x)dx
1 2
0
不相等
(2) 定理的条件是充分的, 但不必要
例3 fn (x) nxenx n 1, 2,... 在区间[0,1]上讨论.
f
(x)
lim
n
fn (x)
lim nxenx
n
0
x [0,1]
但在[0,1]上, fn(x) nxenx n 1, 2,...不一致收敛. 事实上,
{ fn(x)}的每一项在[a,b]上有连续的导数, 且{ fn(x)}在[a,b]上一致收敛,
则
d dx
f
(x)
d (lim dx n
fn (x))
lim n
d dx
fn (x)
3. 可微性
定理13.10 设{ fn (x)}为定义在[a,b]上的函数列, x0 [a,b]为{ fn(x)}的收敛点,
f (x)
f (x0 )
lim lim
xx0 n
fn (x)
f (x0 )
又 lim n
fn (x0 )
f (x0 )
lim
x x0
fn (x)
fn (x0 )
lim lim
n xx0
fn (x)
f (x0 )
所以
lim lim
xx0 n
fn
(x)
lim
n
lim
x x0
fn (x)
★ 在一致收敛条件下, 关于x与n极限可以交换极限顺序
fn (x) nxenx 在[0,1]的最大值为:
华东师范数学分析- 一致收敛
根据一致收敛定义可推出下述定理:
f n ( x ) f ( x )， ), x D limsup | f n ( x ) f ( x ) | 0 (n 定理13.2
证 必要性 若 f n ( x ) f ( x )( n ), x D.
∴对ε>0,不依赖于x的正整数N，当n>N时,有
y
1
图 13 2
1 x0 1 (0, 1), 有 n0 1 1 n0 x0 0 1 . n0 6
1 n0
x1
0
x2 x3
0
O
1
x
n 若函数列 { x }只限于在区间 0, b ( b 1)上, y ln 1 (其中 0 1), 只要 n ln b
∴ {fn(x)} 在(-1 , 1]外发散, 0, | x | 1, ∴ {fn(x)}收敛域是(-1 , 1] , 且极限是 f ( x )
sin nx , x ( , ) n 1,2,. 例2 求 函数列 f n ( x ) n 收敛域和极限函数。 sin nx =0 =f ( x )， 解一：lim f n ( x ) lim n n n 解二： 对实数 x , 对 0, 只要 n N 1 , 就有 sin nx 1 . 0 n n ∴收敛域为 ( ,), 极限函数为f(x)=0.
图 13 2
x n 0 bn <
x1
x2 x3
曲线 y x 就全部落在 y 和 y 之间成的带状区域内，
n
x n 在 0, b 上是一致收敛的. ∴
O
1
函数列{fn(x)}一致收敛性判断 定理13.1 (函数列一致收敛的柯西准则) {fn(x)}在D上一致收敛 0,N >0,当n, m N , x D时,有 | f n ( x ) f m ( x ) | . 证 必要性 设 f n ( x ) f ( x ) ( n ), x D 0,N >0,当n N , x D时,有 | f n ( x ) f ( x ) | 2 当 n, m N时,有 | f n ( x ) f m ( x ) | | f n ( x ) f ( x ) f ( x ) f m ( x ) | | fn ( x ) f ( x ) | | f ( x ) fm ( x ) | . 2 2 充分性 若 0,N >0, 当n, m N , x D时,有 | f n ( x ) f m ( x ) | . 对xD,由数列收敛柯西准则， {fn(x)} 收敛, 设极限函数为f(x), xD, 现固定n, 让m , 当n N时, 对一切 xD 都有 | f n ( x ) f ( x ) | . 由一致收敛定义知, f n ( x ) f ( x ) ( n ), x D.
函数列及其一致收敛性
函数列 nx(1 x )n }在区间 0,1]非一致收敛. { [
函数列及其一致收敛性
2 sup | f n ( x ) f ( x ) | . 1 n x[0,1]
显然， sup | f n ( x ) f ( x ) |} 0. lim{
n x[0,1]
nx 函 数 列 { }在 区 间0， 一 致 收 敛 [ 1] . 1 n x
2){nx(1 x)n }
1 n0 n0 1 | f n0 ( x0 ) f ( x0 ) | [( ) ] 0 . 3 3 即函数列x n }在区间0,1)非一致收敛 { [ .
1
1
函数列 f n ( x ) 一致收敛于 f ( x ) 的 y
y f ( x)
几何意义：
0, N N , 对于序号大于N
成 立 ， 解 得n
l n l n , 取N [ ] lnx lnx
函数列及其一致收敛性
§9.2 函数项级数
1 , 证 明 其 在0,1)收 敛. ( 例2 设f n ( x ) n x 1 证 ：x (0,1), 有 lim 0, n n x
1 1 1 | f n ( x ) f ( x ) || 0| 0, 要使不等式 n x n x n
即 0, N N , n N , x I , 有 | f n ( x) f ( x) |
sup | f n ( x ) f ( x ) | .
xI
即lim{sup | f n ( x ) f ( x ) |} 0.
n xI
充分性 lim{sup | f n ( x ) f ( x ) |} 0.
《数学分析》知识点整理.pdf
《数学分析（3）》复习资料第十三章 函数列与函数项级数（5%）1．（1）函数列收敛域为(),1,2,nn f x x n == (1,1]-，极限函数为0,1,()1, 1.x f x x ⎧<⎪=⎨=⎪⎩．（2）函数列sin (),1,2,n nxf x n n == 收敛域为(,)-∞+∞，极限函数为()0f x =． 2．（1）函数列在(02(),1,2,nx n f x nxe n -== ,)+∞上不．一致收敛． （2）函数列()1,2,n f x n == 在(1,1)-上一致收敛． （3）函数列22(),1,2,1n xf x n n x ==+ 在(,上一致收敛．)-∞+∞（4）函数列(),1,2,n xf x n n== 在[0上不．一致收敛． ,)+∞（5）函数列()sin,1,2,n xf x n n== 在上不．一致收敛． (,-∞+∞)3．（1）函数项级数nn x∞=∑在(1上不．一致收敛． ,1)-（2）函数项级数2sin nx n ∑，2cos nxn ∑在上一致收敛．(,-∞+∞)（3）函数项级数(1)!nx n -∑在上一致收敛． [,]r r -（4）函数项级数122(1)(1)n nx x --+∑在(,上一致收敛． )-∞+∞（5）函数项级数n n x ∑在11r x r r ∙>⎧⎪>⎨=⎪⎩上一致收敛上不一致收敛．（6）函数项级数2nx n ∑在上一致收敛．[0,1]（7）函数项级数12(1)n x n --+∑在上一致收敛．(,-∞+∞)（8）函数项级数221(1)n x x -+∑在(,上不．一致收敛． )-∞+∞第十四章 幂级数（10%）1．对于幂级数，若0n n n a x ∞=∑lim n ρ=（1limn n na a ρ+→∞=） 则（i ）当0ρ=时，收敛半径R =+∞，收敛域为(,)-∞+∞；（ii ）当ρ=+∞时，收敛半径，仅在0R =0x =处收敛； （iii ）当0ρ<=+∞时，收敛半径1R ρ=，收敛域为(,)R R -，还要进一步讨论区间端点x R =±处的敛散性．2．幂级数展开式： （1）()2(0)(0)(0)()(0)1!2!!n nf f f f x f x x x n '''=+++++（2）011nn x x ∞==-∑，01(1)1n n n x x ∞==-+∑ (1x )<． （3）2(1)(1)(1))12!!m n m m m m m n x mx x x n ---++=+++++ (11)x -<<111]，．1110101m m m ≤--⎧⎪-<<-⎨⎪>-⎩时，收敛域为（，）时，收敛域为（，]时，收敛域为[，(1（4）1110(1)(1)ln(1)(11)1n n n n n n x x x x n n -∞∞+==--+==-<≤+∑∑，1ln(1)nn x x n∞=--=∑ (11)x -≤<． （5）210(1)sin (21)!n n n x x n ∞+=-=+∑，20(1)cos (sin )(2)!n nn x x n ∞=-'==∑ ()x -∞<<+∞．（6）10(1)arctan (11)21n n n x x n ∞+=-=-≤+∑≤（7）0)!nxn x n ∞==-∞<<+∞∑e x3．幂级数的和函数（1）1)(0,1,2,k 1knn kx x x x ∞==<-)∑ = ． （2）()(1)1)1knnn kx x x x ∞=--=<+)∑ ． (0,1,2,k = （3）1ln(1)nn x x n∞==--∑ ．(11)x -≤<（4）121111()1(1)n nn n n n x nxx x x x ∞∞∞-===''⎛⎫⎛⎫'==== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑∑ (1x )<． （5）223)21111(1)()1(1)(1n n n n n n x n n x x x x x x ∞∞∞-==='''''⎛⎫⎛⎫⎛⎫''-===== ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑ (1x <)． 第十五章 傅里叶级数（10%）()f x 是以2π为周期且在[,]ππ-上可积的函数： 1．01()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑，01()a f x πππ-=⎰dx ，1()cos n a f x nx πππ-=⎰dx ，1()sin nbf x nx πππ-=⎰dx 1,2,n ，= ．2．01()cos sin 2n n n a n x n x f x a b l l ππ∞=⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∑，01()ll a f x l -=⎰dx ， 1()cos l n l n x a f x dx πl l -=⎰，1()sin l n l n xb f x dx πl l-=⎰，1,2,n = ．3．（1）偶函数的傅里叶级数：01()cos2n n a n x f x a l π∞==+∑，012()cos ()cos l l n l n x n xa f x dx f x dx πl l l l π-==⎰⎰，． 1,2,n = 01()cos 2n n a f x a nx ∞==+∑，012()cos ()cos n a f x nxdx f x nxd πππππ-==⎰⎰x ，1,2,n = ．（2）奇函数的傅里叶级数：1()sinn n n x f x b lπ∞==∑，012()sin ()sin l l n l n x n xf x dx f x dx l l l l πb π-==⎰⎰1,2,，n = ．1()sin n n f x b ∞==∑nx ，012()sin ()sin n b ，f x nxdx f x nxdx πππππ-==⎰⎰1,2,n = ．第十六章 多元函数的极限与连续（5%）1．若累次极限00lim lim (,)x x y y f x y →→，00lim lim (,)y y x x f x y →→和重极限00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →都存在，则三者相等．2．若累次极限00lim lim (,)x x y y f x y →→与00lim lim (,)y y x x f x y →→存在但不相等，则重极限00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →必不存在．3．2222(,)(0,0)lim 0x y x y x y →=+，2222(,)(0,0)1lim x y x y x y →++=+∞+，22(,)lim 2x y →=，22(,)(0,0)1lim ()sin 0x y x y x y →+=+，2222(,)(0,0)sin()lim 1x y x y x y →+=+． 第十七章 多元函数微分学（20%）1．全微分：z zdz dx dy x y ∂∂=+∂∂． 2．zzz x y x yx x y yt t∂∂s t s sts∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂z z x z y s y t∂∂∂∂∂=+s x s y z z x z t x t y ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂． 3．若函数f 在点可微，则0P f 在点沿任一方向的方向导数都存在，且0P 000(,,)l x y z 0000()()cos ()cos ()cos l x y z f P f P f P f P αβγ=++，其中cos α，cos β，cos γ为方向l x 的方向余弦，000(,,)y z即cos α=cos β=，cos γ=4．若(,,)f x y z 在点存在对所有自变量的偏导数，则称向量0000(,,)P x y z 000((),(),())x y z f P f P f P 为函数f 在点的梯度，记作0P 000(),()ad )z ((),x y gr f P f =P f P f ．向量grad f 的长度（或模）为gra d f =．5．设，(,z f x y xy =+)f 有二阶连续偏导数，则有1211z 212()z f yf z x x y y y ∂⎛⎫∂ ⎪''∂+∂∂⎝⎭==∂∂∂∂2f f y f yf x∂'''=⋅+⋅=+∂'，11122212221112221(1)()f f x f y f f x f f x y f xyf ''''''''''''''''=⋅+⋅++⋅+⋅=++++．6．设，令00()()0x y f P f P ==0()xx f P A =，0()xy f P B =，0()yy f P C =，则（i ）当，时，20AC B ->0A >f 在点取得极小值； 0P （ii ）当，20AC B ->0A <时，f 在点取得极大值； 0P （iii ）当时，20AC B -<f 在点不能取得极值； 0P （iv ）当时，不能肯定20AC B -=f 在点是否取得极值．0P 第十八章 隐函数定理及其应用（10%）1．隐函数，则有(,)0F x y =x yF dydx F =-． 2．隐函数，则有(,,)0F x y z =x z F zx F ∂=-∂，y zF z y F ∂=-∂(,,,)0(,,,)0F x y u v G x y u v ． =⎧⎨3．隐函数方程组：=⎩，有x yu v xyuv F F F F F F F F x y u v G G G G GG G G x yuv ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭， 则uv uv uv F F J G G =，xv xv xv F F J G G =，uxux u x F F J G G =，y v yv y v F F J G G =，uyuy uyF F JG G =， xv uv J u x J ∂=-∂ ，ux uv J vx J ∂=-∂，yv uv J u y J ∂=-∂，uy uvJ v y J ∂=-∂． 4．平面曲线在点的切线．．方程为(,)0F x y =000(,)P x y 000000(,)()(,)()0x y F x y x x F x y y y -+-=， 法线．．方程为000000(,)()(,)()0y x F x y x x F x y y y -+-=． 5．空间曲线：在点处的L (,,)0(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩0000(,,)P x y z切线．．方程为00z x yz x y z x y z x y 0x x y y z z F F F F F F G G G G G G ---==⎛⎫⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎫⎪⎭00000()()()0x y z F x x F y y F z z ， 法线．．方程为． 00()()()yz xy zx yz xy zx F F F F F F x x y y z z G G G G G G ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6．曲面在点处的切平面．．．方程为(,,)0F x y z =0000(,,)P x y z -+-+-=， 法线．．方程为00x y 0zx x y y z z F F F ---==． 7．条件极值例题：求函数在约束条件22u x y z =++222z x y =+与4x y z ++=下的最大值和最小值．解：令，22222(,,,,)()(4)L x y z x y z z x y x y z λμλμ=+++--+++-则由，得稳定点22220222040x yz L x x L y y L z L z x y L x y z λμλμλμλμ=-+=⎧⎪=-+=⎪⎪=++=⎨⎪=--=⎪=++-=⎪⎩00112x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩及228x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故当1x y ==，时函数在约束条件下取得最小值， 2z =22u x y z =++28z =26当，时函数在约束条件下取得最大值．2x y ==-22u x y z =++72第十九章 含参量积分（5%）1．，；10()s xs x e +∞--Γ=⎰dx 0s >(1)(s s )s Γ+=Γ；1(2Γ=；1()2n Γ+=，1()2n Γ-=． 2．1110(,)(1)p q p q x x ---⎰)dx (0,0p q >>B =；(,)(,)p q q p B =B ；1(,)(,1)1q p q p q p q -B =B -+- ；(0,1p q >>)1(,)(1,)1p p q p q -p q B =B -+-) ；(1,0p q >>(1)(1)(,)(1,1)(1)(2)p q p q p q p q p q --B =B --+-+- ．(1,1p q >>)3．()()(,)()p q p q p q ΓΓB =Γ+ ．(0,0p q >>)第二十章 曲线积分（5%）1．设有光滑曲线：L (),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩t [,]αβ∈，函数(,)f x y 为定义在L 上的连续函数，则(,)((),(Lf x y ds f t t βαϕψ=⎰⎰；当曲线由方程L ()y x ψ=，[,]x a b ∈表示时，(,)(,(bLaf x y ds f x x ψ=⎰⎰．2．设平面曲线：L (),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩t [,]αβ∈，其中()t ϕ，在[,]αβ上具有一阶连续导函数，且((),())A ϕαψα，((),())B ϕβψβ． 又设与为上的连续函数，则沿L 从A 到(,)P x y (,)Q x y L B 的第二型曲线积分(,)(,)[((),())()((),())()]LP x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt βαϕψϕϕψψ''+=+⎰⎰．第二十一章 重积分（20%）1．若(,)f x y 在平面点集}{12(,)()(),D x y y x y y x a x b =≤≤≤≤（x 型区域）上连续，其中1()y x ，2()y x 在[,上连续，则]a b 21()()(,)(,)b y x ay x Df x y d dx f x y dy σ=⎰⎰⎰⎰，即二重积分可化为先对y ，后对x 的累次积分．若}{12(,)()(),D x y x y x x y c y d =≤≤≤≤，其中1()x y ，2()x y 在]上连续，则二重积分可化为先对[,c d x ，后对y 的累次积分21()()(,)(,dx y cx y D)f x y d dy f x y σ=⎰⎰⎰⎰dx ．在二重积分中，每次积分的上、下限一定要遵循“上限大，下限小”的原则，且一般来说，第一次（先）积分的上、下限一般为第二次（后）积分的积分变量的函数或常数，而第二次（后）积分的上、下限均为常数． 2．格林公式：若函数，在闭区域上连续，且有一阶偏导数，则有(,)P x y (,)Q x y D ()L DQ Pd Pdx Qdy x yσ∂∂-=+∂∂⎰⎰⎰ （或L Dx y d Pdx Q +dy P Qσ∂∂∂∂=⎰⎰⎰ D ），这里为区域的边界曲线，并取正方向． L 3．设是单连通闭区域．若函数，在内连续，且具有一阶连续偏导数，则以下四个条件等价：D (,)P x y (,)Q x y D （i ）沿内任一按段光滑封闭曲线，有D L 0LPdx Qdy +=⎰；（ii ）对中任一按段光滑曲线，曲线积分与路线无关，只与的起点及终点有关；D L LPdx Qdy +⎰L （iii ）是内某一函数的全微分，即在内有Pdx Qdy +D (,)u x y D du Pdx Qdy =+；（iv ）在内处处成立D P Qy x∂∂=∂∂． (,)4．设f x y 在极坐标变换cos ,:sin ,x r T y r θθ=⎧⎨=⎩0r ≤<+∞，02θπ≤≤下，xy 平面上有界闭区域与D r θ平面上区域∆对应，则成立(,D)(cos ,sin )f x y dxdy f r r rdrd θθθ∆=⎰⎰⎰⎰．通常积分区域为圆形、扇形、环形或为其一部分，或积分区域的边界线用极坐标方程表示较简单，且被积函数为22()f x y +，(y f x ，(xf y，()f x y +等形式时常选用在极坐标系下计算二重积分．。
函数列及其一致收敛性
对每一个x I， 0，N N ,n N , 有 | fn ( x) f ( x) | .
例1 设fn ( x) xn , 证明其在(0,1)收敛.
证：x (0,1),有 lim xn 0, n 0,要使不等式
| fn ( x) f ( x) || xn 0 | xn
成立， 解得n ln , 取N [ ln ]
lim{sup |
n xI
fn(x)
f
( x) |} 0.
函数列及其一致收敛性
§9.2 函数项级数
证：必要性 函数列{ fn ( x)}在区间I一致收敛于极限函数f ( x)
即 0, N N ,n N ,x I , 有 | fn ( x) f ( x) |
sup | fn( x) f ( x) | .
的所有曲线 y fn( x) (n N ),
都落在曲线 y f ( x) 与
y f (x) 所夹的带状区域内. O
y f (x) y f (x)
a
y f (x) y fn(x)
bx
函数列及其一致收敛性
§9.2 函数项级数
定理1 (函数列的柯西一致收敛准则) 函数列{ fn( x)}
2) 0
1 3
0, N
N , n0
N , x0
(
1
)
1 n0
3
[0,1), 有
|
fn0 ( x0 )
f
(
x0
)
|
[(
1 3
)
1 n0
]n0
1 3
0.
即函数列{ xn }在区间[0,1)非一致收敛.
函数列 fn( x) 一致收敛于 f ( x) 的 y
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第十三章函数列与函数项级数教学目的：1.使学生理解怎样用函数列（或函数项级数）来定义一个函数；2.掌握如何利用函数列（或函数项级数）来研究被它表示的函数的性质。
教学重点难点：本章的重点是函数列一致收敛的概念、性质；难点是一致收敛的概念、判别及应用。
教学时数：20学时§ 1 一致收敛性一．函数列及极限函数：对定义在区间I上的函数列，介绍概念：收敛点，收敛域（注意定义域与收敛域的区别），极限函数等概念.逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“”定义.例1 对定义在内的等比函数列, 用“”定义验证其收敛域为, 且例2 .用“”定义验证在内.例3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: .⑴..⑵..⑶设为区间上的全体有理数所成数列. 令, .⑷. , .⑸有, , . （注意.）二. 函数列的一致收敛性:问题: 若在数集D上, . 试问: 通项的解析性质是否必遗传给极限函数? 答案是否定的. 上述例1、例3⑴⑵说明连续性未能遗传,而例3⑶说明可积性未能遗传. 例3⑷⑸说明虽然可积性得到遗传, 但.用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段. 特别是表达非初等函数的一种手段. 对这种函数, 就是其表达式.于是,由通项函数的解析性质研究极限函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收敛加强为所谓“整体收敛”的结果.定义( 一致收敛 )一致收敛的几何意义.Th1 (一致收敛的Cauchy准则 ) 函数列在数集D上一致收敛,, .( 介绍另一种形式.)证 ( 利用式),……,有易见逐点收敛. 设, 对D成立,. 令, ，D.即推论1 在D上, ，.D ,推论2 设在数集D上, . 若存在数列使, 则函数列在数集D上非一致收敛时, 常选为函数―在数集D上的最值点.. 证明函数列在R内一致收敛.例4例5. 证明在R 内, 但不一致收敛.证 显然有,在点处取得极大值,. 由系2 ,不一致收敛.例6. 证明在内,.证 易见 而在内成立.由系1 , ……例7 对定义在区间上的函数列证明:, 但在上不一致收敛. P38—39 例3, 参图13-4.证时, 只要, 就有 . 因此, 在上有. ,.于是, 在上有. 但由于,上不一致收敛.. 考查函数列在下列区间上的一致收例8敛性:⑴ ; ⑵.三. 函数项级数及其一致收敛性:1．函数项级数及其和函数：，, 前项部分和函数列，内的函数项级数( 称为几何级数 )例9 定义在.的部分和函数列为, 收敛域为2.一致收敛性: 定义一致收敛性.Th2 (Cauchy准则 ) 级数在区间D上一致收敛,,对在区间D上一致收敛, ,推论级数Th3 级数在区间D上一致收敛,.例10 证明级数在R内一致收敛 .证令=, 则时R成立. ……对例11几何级数在区间上一致收敛；但在上 , 有证在区间, . 一致收敛 ;内 , 取, 有而在区间, .非一致收敛.( 亦可由通项在区间内非一致收敛于零,非一致收敛.)几何级数虽然在区间内非一致收敛 , 但在包含于内的任何闭区间上却一致收敛 . 我们称这种情况为“闭一致收敛”. 因此 , 我们说几何级数在区间内闭一致收敛 .四.函数项级数一致收敛判别法:1.M - 判别法:Th 4 ( Weierstrass判别法 ) 设级数定义在区间D上,充分大时, 对D有|, 则在D是收敛的正项级数.若当上一致收敛 .证然后用Cauchy准则.亦称此判别法为优级数判别法. 称满足该定理条件的正项级数是级数的一个优级数.于是Th 4 可以叙述为: 若级数在区间D上存在优级数 , 则级数在区间D上一致收敛 . 应用时, 常可试取在区间D上不存在优级数 ,.但应注意, 级数级数在区间D上非一致收敛.注意区分用这种控制方法判别函数列和函数项级数一致收敛性的区别所在.例12判断函数项级数和在R内的一致收敛性 .例13 设是区间上的单调函数. 试证明 :都绝对收敛, 则级数在区间上绝对若级数与并一致收敛 .简证 ,留为作业. .……2. Abel判别法:在区间上收敛; ⅱ> 对每个, 数列Th 5 设ⅰ> 级数在上一致有界, 即, 使对和, 有. 则级数在区间上一致收敛 . ( [1]P43 )2.Dirichlet判别法:的部分和函数列在区间上一致Th 6 设ⅰ> 级数有界;, 数列单调; ⅲ> 在区间上函数列ⅱ> 对于每一个一致收敛于零. 则级数在区间上一致收敛 .例14判断函数项级数在区间上的一致收敛性.解记. 则有ⅰ> 级数收敛;, ↗；ⅲ> 对ⅱ> 对每个和成立. 由Abel判别法, 在区间上一致收敛.单调收敛于零 . 试证明 : 级数例15设数列在区间上有.的部分和函数列在区间上一致有界 . 取可见级数的部分和函数列在区间, . 就有级数对每一个单调且在区间上一一致收敛于零.由Dirichlet判别法,级数致收敛.单调收敛于零的条件下, 级数在不包含其实 , 在数列习题课设,, . 且,例1若对每个自然数有|―|对成立, 则函数列{证明函数列在区间上非一致收敛.例2例3, . 讨论函数列{}的一致收敛― 0|. 可求得解 0, . |.函数列{设函数在区间上连续 . 定义.例4试证明函数列{证法一由|;||;|………………………|.|注意到对, .0, , .证法二.有界. 设在区间上||. 把函数阶Taylor公式 , 注意到,就有,, , .所以 , 0, , .设. 且, . 令例5. …….和, 有 , 则函数试证明: 若对列{取, 使时, 有. 于是对任何自然证对数.}在区间上一致收敛 .由Cauchy收敛准则 , 函数列{例6 设在数集上函数列{}一致收敛于函数. 若每个在数集证( 先证函数对||,|< . 即函数在数集上|有界.}在数集上一致有界 ) 时, 对,有( 次证函数列{|取易见对和有||.即函数列{例7设{数在点右连续 , 但数列{} 发散. 试证明: 对), 函数列{证反设对成立..{}为Cauchy列,即{§ 2 一致收敛函数列和函数项级数的性质一. 一致收敛函数列极限函数的解析性质:1.连续性:上,且对,函数在上连续 ,Th 1 设在在, 在点连续 . 即证: 对,, 当|估计上式右端三项. 由一致收敛 , 第一、三两项可以任意小; 而由函数连续, 第二项也可以任意小 . ……在点推论设在上. 若在上间断，则函数列{}在上一致收敛和所有在上连续不能同时成立.註 Th1表明: 对于各项都连续且一致收敛的函数列{即极限次序可换 .2. 可积性:Th 2若在区间上函数列{}一致收敛 , 且每个在上连续. 则有.证设在上, 由Th1, 函数在区间上连续,因此可积. 我们要证. 注意到在上成, 可见只要立.Th2的条件可减弱为: 用条件“在上( R )可积”代替条件“在上连续”.关于函数列逐项积分条件的减弱有一系列的工作. 其中之一是:}是定义在区间上的函数列. 若{}在Th 设{上收敛且一致可积 , 则其极限函数.3. 可微性:}定义在区间上, 在某个点收敛.Th 3 设函数列{对}在区间上收敛, 且有.，. , .证设, 注意到函数连续和+, 就有对+ （对第二项交换极限与积分次序）+ +.+――估计 |―| + |,可证得.|.即. 亦即求导运算与极限运算次序可换.例1 P38 例1 ( 说明定理的条件是充分的, 但不必要. )例2 P39例2( 说明定理的条件是充分的, 但不必要. )Ex P42 9，11 P43 4 .二. 一致收敛函数项级数和函数的解析性质:把上述Th1—3表为函数项级数的语言，即得关于和函数解析性质的相应结果.例3P40例3证明函数在区间内连续.例4在区间内闭一致收敛.)对证( 先证，有，；又，一致收敛.在( 次证对段讨论 , 在区间上一致收敛; 又函数连续,上连续, 在点连续. 由点的任意性,在区间在区间, . 计算积分.例5。